最新高中数学必修二知识体系整合

第二章点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1、含义：平面是无限延展的

2、“3个公理”

公理内容图形符号

公理1如果一条直线上的两点在一个

平面内，那么这条直线在此平面

内

A∈l，B∈l，且A

∈α，B∈α

⇒l⊂α

公理2过不在一条直线上的三点，有且

只有一个平面

A，B，C三点不共

线⇒存在唯一的α,

使A，B，C∈α

推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面

②两条相交直线可确定一个平面

③两条平行直线可确定一个平面

公理3如果两个不重合的平面有一个公

共点，那么它们有且只有一条过

该点的公共直线

P∈α，P∈β

⇒α∩β＝l，且P∈l

二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”）

1、空间两条直线的位置关系

位置关系特点

共面相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

异面直线的画法

1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】 00<θ≤900

2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面

直线互相垂直，记作a⊥b；

2.直线与平面的位置关系

位置关系直线a在平面α内

直线a在平面α外

直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α

图形表示

3.两个平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

两平面平行α∥β没有公共点

两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线

上)

三、平行（3种）

线线平行 线面平行 面面平行

⎭⎪

⎬⎪

⎫a ∥α

a ⊂βα∩β＝

b ⇒a ∥b

⎭⎪

⎬⎪

⎫a ⊄α

b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α

β

ααα

ββ

//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪

⎪⎪⎬⎫

=⋂⊂⊂b a p b a b a

⎭⎪

⎬⎪

⎫α∥β

α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b

αββα////a a ⇒⎭

⎬⎫

⊂ β

αααββ

//////⇒⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎬⎫=⋂⊂⊂=⋂⊂⊂m b n a Q n m n m p b a b a

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 垂直于同一平面的 两直线平行

βαβα//⇒⎭

⎬⎫

⊥⊥l l 垂直于同一条直线 的两平面平行

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .

βαγβγα//////⇒⎭

⎬⎫

四、垂直（3种）

线线垂直线面垂直面面垂直a

l

a

l

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊂

⊥

α

α

α

α

α

⊥

⇒

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⊥

⊥

=

⋂

⊂

⊂

l

b

l

a

l

p

b

a

b

a

β

α

α

β

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊂

⊥

l

l

⎭⎪

⎬

⎪⎫

α⊥β

α∩β＝l

a⊂α

a⊥l

⇒a⊥β

β

α

γ

β

γ

α

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊥

//

α

α

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊥

a

b

a

b

//

五、角（3种）

异面直线所成角直线与平面所成角度二面角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角

范围：]90,0(︒︒ 范围：]90,0[︒︒

①当直线AP 与平面垂直时，它们所成的角是90°.

②当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.

范围：]180,0[︒︒

第三章 直线与方程

一、倾斜角和斜率

1、倾斜角：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

2、斜率：k ＝ tan α ＝ y 2－y 1

x 2－x 1 (x 1≠x 2

)

直线

倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°

斜率

>0

不存在

<0

二、直线的位置关系

直线方

程

b kx y +=

1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），

2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）