2.3 正规表达式与有限自动机简介

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{S:=f(S,c); c:=getchar(); }; if S is in Z then return (‘yes’) else return (‘no’)
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2. 非确定有限自动机(NFA) (NonDeterministic) 非确定有限自动机的主要特点是，一个状 态的不同输出边可标有相同的符号。这时在给 定状态和符号的情况下，不能唯一地确定下一 个状态，因此称之为非确定的；DFA是NFA的 特例。 非确定有限自动机Mn(记为NFA Mn)是一个 五元组Mn=(S,Σ, f, Q, Z), 其中, (1) S、Σ、Z的意义与DFA相同； (2) f是从S×Σ*到S的子集的映射； (3) Q 是一个非空初态集，Q S 。
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a b c
s2 s3 s4
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∑*上的符号串t被M接受(识别，accept)
– 若t∑*，f(s0，t)=P，其中s0为 M的开始状态， P
Z，Z为终态集。

DFA M所能接受的符号串的全体记为L(M)。 结论：
– 上一个符号串集V是正规的，当且仅

当存在一个上的确定有穷自动机M，使得 V = L(M)。
编 译 原 理 Principle of Compiling
郭 一 晶
厦门大学嘉庚学院 2008 年 9 月
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2.3 正规表达式与有限自动机简介

2.3.1 正规表达式与正规集 2.3.2 有限自动机(DFA、NFA)
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2.3.1 正规表达式与正规集
状态转换图对构造词法分析器非常有效，为 便于词法分析器的自动生成，需将状态转换图的 概念形式化。正规表达式(Regular Expression) 就 是一种形式化表示法，它可以表示单词符号的结 构，从而精确定义单词符号集。正规表达式也称 为正则表达式，简称正规式，它表示的集合称为 正规集(Regular Language) 。 描述程序设计语言中单词的工具主要有：正 规表达式、正规文法(3型文法)和自动机。它们 的功能相当，最简单而数学化的是正规表达式。
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注意：
1) 字母表Σ上的一个字指的是由Σ中字符构 成的一个有穷序列; 不包含任何字符的序列称为空字ε。
Σ*表示Σ上所有字的全体, 包括空字ε。
例如, 若Σ={a, b}
则Σ*={ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, …}
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2) Ф表示不含任何元素的空集{}。
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例2.2 判断下述正规式之间是否等价： (1) (a|b)*与a*|b* (2) (ab)*与a*b* (3) (a|b)*与(a*b*)* 解: (1) (a|b)*对应的正规集其a,b可任意交 替出现, 如abbaaab…, 而(a*|b*)对应的正规 集只可出现任意个a或任意个b, 因此两者 不等价。 (2) (ab)*对应的正规集以任意个ab对 出现，即ababab…, 而a*b*对应的正规集则 是任意个a后接任意个b, 即a…ab…b, 因此 两者不等价。

1. 确定有限自动机（DFA）(Deterministic) 确定有限自动机Md(记为DFA Md)是一个 五元组Md=(S,Σ, f, s0, Z)，其中, (1)S是一个有限状态集； (2)Σ是一个有穷输入字母表； (3) f是一个从S×Σ到S的单值映射， 如f(si,a)=sj, 其中si,sj∈S, a∈Σ；
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正规式和正规集的递归定义： (1)ε和Ф为字母表Σ上的正规式， 它们表示的正规集分别为{ε}和Ф。 (2) 对任一a∈Σ, a是Σ上的正规式， 它表示的正规集为{a}。 (3)若R和S是Σ上的正规式, 它们表示的 正规集为L(R)和L(S), 则 ① R|S是Σ上的正规式， 它表示的正规集为L(R)∪L(S)；{或}
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NFA和DFA的主要区别： <1>NFA可有若干个初态，而DFA仅有 一个初态； <2>NFA 的状态转换函数 f 不是单值函 数，即f(si, a)={某些状态的集合}，它表示 由当前状态和当前输入字符不能唯一确定 下一个状态，即允许同一个状态对同一个 输入字符可有不同的输出边；而 DFA 的状 态转换函数f是一个单值函数。 <3>DFA 中 不 允 许 状 态 有 转 换 ， 而 NFA 允许；另外， NFA 允许输入字符为字。
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例如,图示NFA表示为: a s Mn=(S,Σ, f, Q, Z), 其中, 2 S={s1, s2, s3, s4} Σ={a, c} a a s1 s 3 f是S×Σ*到S子集的映射: f(s1,a)= {s1,s2,s3} c s f(s1, c)=s4 4 Q={ s1} 图2–7 NFA状态转换 Z ={s2, s3, s4}
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(3) (a|b)*对应的正规集其a,b可任意交替出 现, 如aababbb, 而(a*b*)*可采用如下方法 得到相应的字: (a*b*)*(a*b*)(a*b*) (a2b1)(a1b3) aababbb 。反之 , (a*b*)* 产 生的任意字也可由 (a|b)*得到, 因此两者 等价。
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下面以标识符为例来说明正规式与正规集: 标识符是以字母开头的字母数字串。






若用letter表示字母, 用digit表示数字, 则标识符可表示为: letter(letter|digit )* 其中并置表示两者的连接, ∣表示两者选一, * 表示零次或多次引用。 letter(letter|digit)* 为标识符的正规式， 该正规式表示的集合为标识符的正规集。
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例2.3 证明:若L(a+)={a}*-{ε},则a+=aa* 证明: L(a+) ={a}*-{ε} ={ε, a, a2, a3, …}-{ε} ={a, a2, a3, …} ={a}·{ε, a, a2…} ={a}{a}* =L(a)L(a*) =L(aa*) 故 a+=aa*
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6) R0={ε}, R*=R0∪R1∪R2∪R3∪…, R*为R的(星)闭包 R+=RR*, 称R+是R的正闭包。 闭包R*中的每个字都是由R中的字经过有限 次连接而成的。
对 于正 规 式 R 和 S, 若 它 们 表 示 的 正 规 集 L(R)=L(S), 则称R和S等价, 记为R=S。
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② R·S是Σ上的正规式， 它表示的正规集为L(R)L(S); {连接积} ③ (R)*是Σ上的正规式， 它表示的正规集为 L((R)*)=(L(R))* ； {闭包} ④ (R)也是Σ上的正规式， 它所表示的正规集为L((R))=L(R)。 (4)仅由有限次使用(1)~(3)得到的表示式是 Σ上的正规式, 它表示的集合是Σ上的 正规集。


(4) s0是唯一的初态，s0∈S；
(5) Z 是一个终态集，Z S 。 注意，约定的顺序不能颠倒!
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例如, 图示DFA可表示为 Md=(S,Σ, f, s0, Z), 其中, S={s1, s2, s3, s4} Σ={a, b, c} s1 f是S×Σ到S的单值映射: f(s1,a)=s2, f(s1,b)=s3 f(s1, c)=s4 s0= s1 Z ={s2, s3, s4}
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符号串的若干定义

字母表(Alphabet):它是非空有限集，如 = { a,b,c,.... }, 其中的元素称为符号或字母。符号 (字母)是最小的单位，即它不能再分割。符号也 不一定是英文字母，可以是+, - ,/ ,[ , ] 等。 符号串(String):它是符号的有限序列，如a,ab, cda等都是上述字母表 上的符号串。符号串也 称为字，特别用或来表示空符号串(什么符号 也没有)。注意：{}并不等于空集合{ }。

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例2.1 Σ={a,b}, R=a(a|b)*是Σ上正规式, 试求R表示的正规集。 解: L(R)=L(a(a|b)*)=L(a)L((a|b)*) =L(a)(L(a|b))*=L(a)(L(a)∪L(b))* = {a}({a}∪{b})*= {a}{a, b}* ={a}{ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, …} ={a,aa,ab,aaa,aab,aba,abb,aaaa, …}
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RE RL {a , b } a|b (a | b ) (a | b ) {aa, ab, ba, bb} aa | ab | ba | bb {aa, ab, ba, bb} a* 由0个或多个a构成的字符串集合 由a和b构成的所有字符串集合 (a | b)* a| a*b 包含串a和零个或多个a后跟 随一个b构成的符号串集合 复杂的例子 ( 00 | 11 | ( (01 | 10) (00 | 11) (01 | 10) ) ) 包含偶数个０和偶数个１的01字符串
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接受 0和1的个数都是偶数的字符串的DFA
1
start
偶 0偶 1
0
1
1 0 0
偶 0奇 1
0
0
1
奇 0偶 12014-4-192 Nhomakorabea1
3
奇 0奇 1
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DFA M=(S,Σ, f, s0, Z)的行为的模拟程序
– S:=s0 ； – c:=getchar(); – while c<>eof do