数学思想与数学文化——第二讲 数学概观
第2讲 数学思想方法 高考数学(文科)二轮复习
sin x
热点训练 1:(1)已知 a= ln 2 ,b= ln 3 ,c= 1 ,则( )
2
3e
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)b>a>c (D)c>b>a
解析:(1)构造函数 f(x)= ln x ,则 f′(x)= 1 ln x ,
解析:(2)构造函数 g(x)= f x ,则 g′(x)= f xex ex f x = f x f x ,
ex
ex 2
ex
因为对于∀ x∈R,均有 f(x)>f′(x),并且 ex>0,所以 g′(x)<0,
故函数 g(x)= f x 在 R 上单调递减,
解析:(1)设公比为 q,由题意得 4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,又 a1≠0,所以
4q=4+q2,解得
q=2,所以
1 S4=
1 24
=15,故选 B.
1 2
(2)(2019·武汉市调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=12,S5=90,则 等差数列{an}的公差 d 等于( )
sin120o
3
2
设外接球的球心为 O,半径为 R,连接 AO′,PO′,AO, 由 PB=PC=PA=2,易知 PO′⊥平面 ABC,且球心 O 一定在线段 PO′上, 则有 OA=R,OO′=PO′-R, 又 PO′= PA2 AO2 = 3 , 所以 R2=1+( 3 -R)2,得 R2= 4 ,
(A)2
如何理解数学基本思想[5篇]
![如何理解数学基本思想[5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/753358a6dbef5ef7ba0d4a7302768e9951e76ea4.png)
如何理解数学基本思想[5篇]第一篇：如何理解数学基本思想如何理解数学基本思想１、数学基本思想一般的是指数学学科赖以发展的核心思想主要是指：数学的抽象，数学的推理，数学的模型。
其核心在于数学归纳和演绎，这应当是整个数学教学的主线。
２、数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等３、之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。
每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性,将其作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。
这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。
第二篇：方差分析的基本思想方差分析的基本思想试验指标的变化可以用指标值的方差反映，导致试验指标值发生变化的原因有两方面：一是可控因素，二是不可控因素或未加控制因素。
方差分析就是将试验指标值的方差分解成条件变差与随机误差，然后，将各因素形成的条件变差与随机误差进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。
方差分析结果不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足；————>分析终止。
拒绝H0，接受H1，表示总体均数不全相等.哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？————>需要进一步作多重比较对于变量之间的因果关系，统计学的任务是查明因果关系是否存在，若存在，判定强弱，并找出揭示这种关系的模型，用于预测、控制、优化。
对于相关关系（又叫相依关系），统计学的任务是找出刻画这种关系强弱的指标，并用于判定这种关系存在性及强弱。
前者就是回归分析，后者就是相关分析。
回归分析与相关分析的联系：研究在专业上有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题，需进行直线相关和回归分析。
从研究的目的来说，若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向，宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程，宜选用直线回归分析。
现代数学思想概观
现代数学思想概观目录第一节现代数学的涵义一"数学"的涵义二对现代数学中"现代"的理解第二节现代数学与社会发展一世界数学中心转移与社会发展二现代数学与社会实践三现代数学与社会管理四数学的教育功能第三节现代数学与社会发展一科学数学化的发展进程二社会科学数学化的必然性三社会科学数学化的进展第四节现代数学的特点与发展趋势一高度的抽象和统一二注重公理化体系的建立和结构的分析三注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域四研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题五与电子计算机的紧密联系六数学向一切学科和社会部门渗透和应用第四节普及现代数学教育的意义复习体参考文献数学是一门古老而又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。
现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。
鉴于以往本科院校数学系都不开设"现代数学"这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是"只见树木，不见森林"，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。
第一节现代数学的涵义"现代数学"一词由两部分组成，即"现代"与"数学"，要理解现代数学必须从这两个词入手。
一、"数学"的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。
（一）数学的研究对象恩格斯指出："纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
"因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。
数学基本思想讲座
数学基本思想的内涵、特征及其教学意蕴2011年，课程标准的修订稿终于出台了。
原定是5年修改到位的，实际上经过了10年的时间。
中间的风风雨雨大家应该都听说过一些，最为激烈争论的时候，以为会把实验稿翻掉重来的。
2005年，姜伯驹院士联合90名政协委员，联名向“两会”提交提案，要求立即停止推进新课标的实施。
一时山雨欲来风满楼，在国内教育界引起不小的地震。
后来，据说派出多个专家小组前往全国各地调研，发现“新课标”实施四年并不是那么糟糕，反而教师拥护的居多数。
现在我们来看一看修改稿，与实验稿的变化真的不大。
要说有什么显著的变化，我看双基变四基，双能变四能我看是最大的亮点。
就是在以前的基础知识、基本技能的基础上，增加了基本思想、基本活动经验。
在以前分析问题、解决问题的基础上，增加了发现问题、提出问题的能力。
更为准确的说，只是在原有基础上的丰富、补充、矫正，而不是实质性的改变。
因为他们的基本方向是一致的。
在改变的内容中，新增的基本数学思想、基本活动经验是目前老师们最为关注的，因为过去对这两个名词儿老师们接触不多。
因为从深层次上分析，积累数学基本活动经验，是形成数学基本思想的一个途径，数学基本思想是源、是根，所以，我今天重点和老师们谈一谈数学基本思想。
当然，谈这个话题有一定的难度，因为对于数学基本思想，并没有一个统一的界定，课标中采用的举例的方式，对数学基本思想进行的一个描述性的定义，原文是这样的：“数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。
”然后，举了一个例子，比如分类是一种重要的数学思想。
不关心这个话题的老师，或许不会认为分类就是一种数学思想，我就教过分类啊，低年级的时候，就教过给纽扣分类，有两个孔的，有三个空的，有四个孔的纽扣一堆，其中有红色的、绿色的、黑色的、白色的。
中学数学方法论课本主要内容
绪论数学思想方法的对象和意义第一节中学数学思想方法的研究对象第二节学习中学数学思想方法的意义第三节中学数学思想方法的学习方法第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评介第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括‘第五节特殊与一般第四章数学的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析第五章几种重要的数学方法第一节模型方法第二节化归方法第三节公理化方法第六章数学思维方法第一节思维及数学思维第二节数学逻辑思维方法第三节数学形象思维方法第四节创造性思维及其培养第七章数学思想方法的教学第一节数学思想方法教学的原理第二节符号化意识的培养第三节化归意识的培养第四节整体化意识的培养第五节帮助学生形成正确的数学观1、方法：就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同学科的不同问题，需要用不同的方法。
2、方法论：研究各种方法共同规律和原则的学问3、数学方法论：狭义：解决数学问题的方法和手段，包括：数学概念的定义方法、数学的推理和证明方法、数学的计算和解决问题的思想方法等。
广义：还应包括对数学概念、数学理论的概念、数学理论的概念认识，包括对各种数学方法进行分类、整理和总结，从中寻找某些共同的规律，从而使我们能更好地学习数学和运用数学。
更广义：研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学的发现、发明和创新的学科。
4、正确的数学观应该包含如下成分：数学的整体观；数学的价值观；数学的问题观；数学的审美观；数学教学和数学学习观。
第一章数学的起源与发展一、数学发展史1、数学萌芽时期（公元前600年以前）（1）数学的对象：社会生活的农业生产上的实际计算和测量的问题。
7现代数学(二)20世纪数学概观
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11.4.2 三大学派
▪ 集合论公理化运动是假定数学运用的逻辑 本身不成问题，但数学家们对于这一前提 陆续提出了不同观点，并开始从逻辑上去 寻找问题的症结，从而形成了数学基础的 三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义， 以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯 特为代表的形式主义。
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11.4.1 集合论悖论
▪ 罗素的悖论称：以M表示是其自身成员的 集合的集合，N表示不是其自身成员的集合 的集合，那么集合N无论是否为它自身的成 员，都将导出矛盾的结论。罗素悖论除了 集合之外并不涉及任何其他概念，从而明 白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛 盾，在数学界引起了一片震惊。
▪ 19世纪后期，极限理论的发展成为概率 论研究的中心课题，俄国数学家切比雪 夫在1866年建立了关于独立随机变量序 列的大数定律，使伯努利定理和泊松大 数定律成为其特例。
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▪ 切比雪夫还将棣莫弗-拉普拉斯极限定理 推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫 的成果后又被他的学生马尔可夫等发扬光 大，影响了20世纪概率论发展的进程。
▪ 关于泛函的抽象理论在19世纪末 20世纪初首先由意大利数学家伏 尔泰拉和法国数学家阿达马在变 分法的研究中开创。“泛函”这 个名称就是由阿达马首先采用的。 伏尔泰拉称之为曲线的函数。
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▪ 泛函分析的另一个来源是积分方 程理论。19世纪末，瑞典数学家 弗雷德霍姆创造了一种优美的方
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11.3 数学的统一化
▪ 20世纪下半叶，数学科学的统一化趋势空 前加强。不同分支领域的数学思想与数学 方法相互融合，导致了一系列重大发现以 及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。 以下仅以拓扑学与微分几何学若干研究方 法发展为例对此略加说明。
中学数学概观(04-8-10)
中学数学概观——谈谈我对中学数学的理解各位老师，感谢大家使用我们的教材。
作为主编，为了帮助大家更好2地理解我们的教材，我想把自己对中学数学的理解与大家交流一下。
这里，我把“中学数学”限定在本套教材的必修系列1~5以及选修1、2中所涉及的基本数学内容。
在进行具体内容的教学时，对它在中学数学整体结构中的位置有一清晰的了解是重要的，为此需要对中学数学有一个概括的描述。
这里我把中学数学概括为一些知识点，并选择“数量关系”“空间形式”“数形结合”等三条粗线把它们编织起来，以使大家对它有一个粗线条但略有秩序的理解。
事实上，我们可以用不同观点、从不同角度、用不同的呈现方式来观察中学数学。
我们这里选择恩格斯观察数学的角度。
恩格斯说，数学是研究数量关系与空间形式的科学。
这样，数学的研究对象有的可以纳入较单纯状态的“数量关系”或“空间形式”，有的可以纳入两者混合状态的“数形结合”。
概率与统计、算法当然也可以也可以纳入上述三条粗线中。
但我们考虑到：概率与统计是研究不确定现象的，其他中学数学则是研究确定现象的，因此若把后者称为确定性数学，则概率与统计是以确定性数学为工具来研究不确定现象的数学；“算法”和“理论”是相辅相成地促进数学发展的两条思想路线，“算法”和“理论”同时出现在数学的各个分支，是数学的两个互相协作的方面军。
考虑到概率与统计、算法的这些独特地位，以及它们是中学数学新成员的特点，我愿意把它们放在特殊地位，以引起大家的注只要研究问题，就有研究对象。
这些研究对象都是数学中的元素。
把一些元素放在一起作为一个整体看待，就形成一个集合。
因而元素、集合是处处存在的。
另一方面，从有关自然数的Peano公理，以及关于欧氏几何的公理体系可以看到或感觉到，无论是“数量关系”“空间形式”中涉及的对象和概念，还是“数形结合”中遇到的对象和概念，都能用集合论的语言（元素、集合、属于、子集、映射等）给出它们的定义。
在这个意义上，可以说数学研究的很多对象都是元素间具有某些关系的集合。
数学思想讲座数学文化PPT课件
286243 1是一个25000多位的数, 需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的. Mersen数在代数编码（密码学） 中有用。
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区间 1-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
6的因数为1, 2,3 6 1 2 3
28的因数为1, 2, 4, 7， 14 28 1 2 4 7 14
496的因数为1, 2, 4,8,18,31, 62,124, 248 496 1 2 4 8 18 31 62 124 248
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第四个完美数是8,128(1000多年前)
1.正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论吗？ 正整数优美吗？
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因 数: xi | a,i 1, , n. 1 xi a
完美数: a 1 x1 x2 xn
素 数: n 的因数之和恰好为 n 1 即 n 1n
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完美数有多少?
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1-n的区间 n 100 n 1000 n 10000 n 100000
素数个数π(n) 25 168
1229 9592
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π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
lim ln n 1
n n / (n)
n
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100
1000
10000 100000 1000000
人体: 躯干部分的宽与长之比 肚脐、膝盖
植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光
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数学思想和数学文化讲解
数学是什么？
数学是一种工具 数学是一种语言 (1)自然语言(2) 符号语言(3)图
像表格语言 数学是一种文化
数学是什么？
数学是一种工具 数学是一种语言 (1)自然语言(2) 符号语言(3)图
联系生活实际，让学生明白数学来源于生活，生 活中处处有数学，让他们从生活中理解数学，感 悟数学。
比如说：家里要装修房子，给客厅铺地砖需要多 少块，能花多少钱？这样的问题很实际，学生参 与的热情很高，让他们合作，利用休息时间去市 场调查，找出要解决这两个问题所需要的一些数 学信息，如客厅的面积，每块地砖的大小、单价 等，从而提取有价值的信息来解决问题。在解决 问题的过程中，也能培养学生的合作能力，社交 能力。
极限思想
《庄子·天下》中的“一尺之棰(chuí)， 日取其半，万世不竭”充满了极限思想。 古代数学家刘徽的“割圆术”就是利用极 限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内 接正多边形，当多边形的边数越多时，多 边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总 结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割 以至于不可割，则与圆合体无所失矣。” 正是用这种极限的思想，刘徽求出了π， 即“徽率”
但科学家们发现，大海的波浪并不是严格的正弦曲线或者其它单纯性的数学曲线。 水的深度、风的强度、潮汐的变化等因素，在描述海的波浪时都应加以考虑。因此， 人们又用上了概率论和统计。
趣味数学题
1.有 3 个人去投宿,一晚 30 元.三个人每人掏了 10 元凑够 30 元交给了老板. 后来老板说今天 优惠只要 25 元就够了,拿出 5 元命令服务生退 还给他们, 服务生偷偷藏起了 2 元,然后,把剩 下的 3 元钱分给了那三个人,每人分到 1 元. 这 样,一开始每人掏了 10 元,现在又退回 1 元,也 就是 10-1=9, 每人只花了 9 元钱,3 个人每人 9 元, 3 X 9 = 27 元 + 服务生藏起的 2 元=29 元， 还有一元钱去了哪里？？？
数学文化二(精编课件).ppt
谷超豪，中国科技大学校长
谷超豪：中国科技大学校长
简历：
1926年生于浙江温州。1948年毕 业于浙江大学数学系，1953年起 在复旦大学任教，1957年赴前苏 联莫斯科大学进修，获科学博士 学位。历任复旦大学副校长和中 国科技大学校长。1980年当选为 中国科学院数学物理学部委员。 专长偏微分方程、微分几何和数
精品课件
展涛，山东大学校长
展涛，男，回族，1963年4月出 生，山东兖州人，中共党员，理学 博士，教授，博士生导师。1979年9 月入山东大学数学系学习，先后获 得学士、硕士、博士学位；1987年 留校任教，先后被评聘为讲师、副 教授、教授；1991年1月至1992年 12月获德国洪堡基金会奖励基金， 赴德国弗莱堡大学从事合作研究； 1993年4月任山东大学数学系副主任； 1995年3月任山东大学副校长； 1996年12月任山东大学党委 常委、副校长；2000年7月任 山东大学党委常委、校长。
第一章 概 述
第一节 数学是什么
精品课件
一、数学的“定义”
恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空 间形式的一门科学。
随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、 数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含 在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。
但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以 有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。
精品课件
15个“定义” 来自
精品课件
只 讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。
哲学说
亚里士多德：“新的思想家把数学和
哲学看作是相同的。”
来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 《几何原本》：点是没有部分的那种东西；
20世纪数学概观2
从19世纪末到第二次世界大战结束，数理统计 得到蓬勃发展并日臻成熟。英国数学家K·皮尔逊是 使用数学方法系统研究生物统计的第一人。他用数 理统计的方法得出生物统计学和社会统计学的基本 法则，他用回归和相关理论系统地将生物进化数量 化，潜心研究数据的分布理论，并先后提出标准差、 正态曲线、概率、相关等一系列数理统计学名词和 概念。1900年提出检验拟合程度的χ2统计量和χ2分 布，建立了χ2检验法。
1935年，正在剑桥皇家学院读书的图灵，在听
了数理逻辑学家纽曼的课程后，开始注意希尔伯特 的判定问题，并进行了潜心的研究。该问题要求判 定是否存在一种有效的算法（今天在计算机科学中 称为“程序”），把某个结论从一组给定的假设中 用逻辑方法推演出来。图灵将算法看做一个机械的 过程，或者是一组规则，它规定了人们在任何情况 下必须执行的某类操作的指令。
• 1940年，瑞典数学家克拉默发表《统计学 的数学方法》，这部书收集了半个多世纪 以来的数理统计研究成果，它标志着数理 统计作为一门独立的数学分支正式确立。 这本书运用测度论方法总结数理统计的成 果，使现代数理统计趋于成熟。
运筹学
• 运筹学一词原意为作战研究，最早产生于第二次 世界大战中的英国，用以解决空防雷达信息系统 与战斗机系统的协同配合问题。
• 英国科学家W.S.戈塞特是小样本统计理论的创造 者。他在酿酒公司担任酿造化学技师期间，注意 到供酿酒用的每批麦子质量相差很大，每批样本 在不同的温度下做实验，其结果相差很大。这样 一来，实际上取得的麦子样本只能是小样本。小 样本理论就是在这样的背景下孕育的。
数学思想与数学文化——第二讲-数学概观
▪ 1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。
▪ 1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。
▪ 从1960年起，华罗庚开始在工农业生产中推广统筹法和优选 法，足迹遍及27个省自治区直辖市，创造了巨大的物质财富 和经济效益。
▪ 随着科学技术的迅猛发展，数学的地位也日益提高， 这是因为当今科学技术发展的一个重要特点是高度 的、全面的定量化．定量化实际上就是数学化．因 此，人们把数学看成是与自然科学、社会科学并列 的一门科学，叫数学科学．
二.数学科学的内容
☆数学科学按其内容可分成五个大学科： 1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics） 3）计算数学（Computational mathematics） 4）运筹与控制（Operational research and control） 5）概率论与数理统计（Probability and
《数学思想与数学文化》第二讲
数学科学概观
内容
一. 前言 二. 数学科学的内容 三. 数学进展的大致概况 四. 数学学科的特点 五. 数学家的思维 六. 数学家介绍（华罗庚、陈省身）
一. 前言
▪ 被后人称为“数学王子”的德国大数学家高斯 （Gauss, 1777-1855）曾说过：“数学是科学之王， 数论是数学之王，它常常屈尊去为天文学和其他自 然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一．”
▪ 数学是一个生机勃勃的科学，有无数未解决的问题，有许多 形形色色的未开垦的处女地，等待有想象力、有创新精神和 坚忍不拔毅力的学者去征服！
数学的基本思想
数学的基本思想一、概述数学，作为自然科学的重要分支，是人类探索世界奥秘、解析自然规律的强大工具。
其基本思想，是数学学科得以发展的基石，也是我们在学习和应用数学时应当深入理解和把握的核心内容。
数学的基本思想首先体现在其抽象性上。
数学通过抽象的方式，将现实世界中的具体对象和现象提炼为数学概念和模型，进而用这些概念和模型去描述和解释世界的本质规律。
这种抽象性使得数学具有广泛的应用性，能够跨越不同领域，为各种实际问题提供精确、量化的分析和解决方案。
数学的基本思想还包括逻辑推理和演绎证明。
数学是一门严谨的学科，其结论的得出必须建立在严格的逻辑推理和演绎证明的基础之上。
这种思想不仅保证了数学结论的准确性和可靠性，也培养了我们分析问题、解决问题的逻辑思维能力和严谨的科学态度。
数学的基本思想还体现在其优化和求解上。
数学中的很多问题都需要通过优化算法和求解方法来找到最优解或近似解。
这种思想不仅在数学内部有着广泛的应用，也在计算机科学、工程学等领域发挥着重要作用。
数学的基本思想包括抽象性、逻辑推理和演绎证明、优化和求解等方面。
这些思想不仅是数学学科的核心内容，也是我们学习和应用数学时需要深入理解和把握的关键所在。
通过深入学习和掌握这些基本思想，我们可以更好地运用数学工具和方法去解决实际问题，推动科学技术的发展和社会的进步。
1. 数学的定义与重要性数学，作为一门精确的科学，其本质在于对数量、结构、变化和空间的研究。
它不仅仅是一种工具，更是一种语言，一种思维方式，它以逻辑和推理为基础，追求精确和普遍性。
数学的重要性体现在它对其他科学领域的基础性作用，以及在技术、经济和社会发展中的广泛应用。
在科学研究中，数学是不可或缺的语言和工具。
它为物理学、化学、生物学等自然科学提供了描述自然现象、建立理论模型和进行科学预测的基础。
例如，牛顿的运动定律和万有引力定律，都是通过数学公式精确表达的。
在工程学领域，数学模型和计算方法对于设计、分析和优化各种工程系统至关重要。
漫谈数学的基本思想.doc
漫谈数学的基本思想.doc漫谈数学的基本思想一、应当把握数学思想从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两个理由。
首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学文化的课程，这是非常重要的，而数学思想是数学文化的核心。
梁漱溟在《东西文化及其哲学》的书中区别了文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是那个时代人们创造的东西。
据此或许可以说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。
那么，数学文化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
其次，是为了培养创新性人才。
在修改《义务教育阶段数学课程标准》的过程中，把传统的ldquo;双基rdquo;扩充为ldquo;四基rdquo;，即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。
基本活动经验的重要性是不言而喻的，因为数学的结果是ldquo;看rdquo;出来的，而不是ldquo;证rdquo;出来的，这就依赖于直观判断。
正如希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：1/ 12人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。
几乎所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维经验的积累。
那么，数学思想是什么呢？二、数学思想是什么人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法而不是数学思想。
基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。
这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。
二是学习过数学的人所具有的思维特征。
这些特征表现在日常的生活之中。
这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。
通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。
数学文化第二讲
1736年29岁的欧拉向圣彼得 堡科学院递交了《哥尼斯堡 的七座桥》的论文， 欧拉通过对七桥问题的研 究，不仅圆满地回答了问 题，而且得到并证明了更为 广泛的 “欧拉定理”。 在解答问题的同时，开创了 数学的新的分支-----图论与 代数拓扑。
数学思维
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连通的“点线图”能够一笔画的充要条件： “奇结点”不多于两个。
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谷超豪，中国科技大学校长
谷超豪：中国科技大学校长
1926年生于浙江温州。1948年 毕业于浙江大学数学系，1953 年起在复旦大学任教，1957年 赴前苏联莫斯科大学进修，获 科学博士学位。历任复旦大学 副校长和中国科技大学校长。 1980年当选为中国科学院数学 物理学部委员。专长偏微分方 程、微分几何和数学物理
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关于“晶体的结构有多少种”的讨论
曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各 不相同的结论。 数学家介入以后，运用“群”的理论，得到了明确的 答案：晶体的结构只能有240种。 而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得 之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经 确定无疑。
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海王发现 的。天文学家分析了天王星运动的 不规律性，推断出这是由其他行星 的引力而产生的。勒未累计算出它 应处的位置，观察员在指定位置发现 了该行星。
牛顿力学和微积分应用的巨大成就。
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航海家2号拍摄, 1989.8.
回到恩格斯的定义： 数学是研究（现实世界中的）数量关系与空间形式的一门科学。
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[思]：
请你在学习“数学文化”课的过 程中，始终带着下面的问题——在学完 “数学文化”课后，给出一个你自己对 “数学”的定义。
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1949年10月1日中华人民共和国成立，华罗庚毅然放弃伊力 诺依大学的优裕生活携全家返回祖国。在归国途中发表了 《致中国全体留美学生的公开信》，他在信中深情地说： “梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！” 1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、 中科院数学所所长等职。50年代，他在百花齐放、百家争鸣 的学术空气下著述颇丰，还发现和培养了王元、陈景润等数 学人才。 1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。 1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。 从1960年起，华罗庚开始在工农业生产中推广统筹法和优选 法，足迹遍及27个省自治区直辖市，创造了巨大的物质财富 和经济效益。 1978年3月，他被任命为中科院副院长并于翌年入党。
1936年获得博士学位．从汉堡大学毕业之后，他来到巴 黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E·嘉当那里从事 研究．E·嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一 小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对面的指导， 使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈 省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做 学问应该去找这方面最好的人”． 陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究 所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美 国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长． 陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分 方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．
六. 数学家介绍（华罗庚、陈省身）
1. 华罗庚（1910---1985） -------《初中文凭，独步中华》
华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县。父亲以开杂 货铺为生。他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴 们戏称为“罗呆子”。他进入金坛县立初中后，其数学才能 被老师王维克发现，并尽心尽力予以培养。初中毕业后，华 罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学， 故一生只有初中毕业文凭。 此后，他开始顽强自学，每天达10个小时以上。他用5年时 10 5 间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。1928年，他不 幸染上伤寒病，虽挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，他 以一篇论文轰动数学界，被清华大学（算学系主任熊庆来） 破例于1931年请去任数学系助理员。
总结
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来， 数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的 部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限 运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构 成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围， 由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相 渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
华罗庚的名言
---聪明在于学习，天才在于 积累。 ---埋头苦干是第一，熟练生 出百巧来，勤能补拙是良 训，一份辛勤一份才。 ---人做了书的奴隶，便把活 人带死了。把书作为人的 工具，则书本上的知识 便活了，有生命了。
2. 陈省身（1911-2004）
1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得 数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常 “自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”． 1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影 响很大．在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教． 1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成 为中国国内最早的数学研究生之一．在孙光远博士指导下， 发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的．1932 年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响 也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向． 1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的 奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希 克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何 中的应用．
五. 数学家的思维
数学家的思维特点取决于数学的特点． 数学家的思维特点归纳起来就是思维的严谨性、思维的抽象 性（广阔性）、思维的灵活性及思维的批判性．此外，还有 数学家的直觉和想象、美感和审美能力． 还要特别强调数学家的拼搏精神和奉献精神，他们为了发展 数学，废寝忘食、勤奋钻研，甚至忘记了自我．数学家对数 学之所以如此执着、甚至痴迷，是因为他们喜爱数学，不断 地用数学中的“美”来陶冶自己． 数学是一个生机勃勃的科学，有无数未解决的问题，有许多 形形色色的未开垦的处女地，等待有想象力、有创新精神和 坚忍不拔毅力的学者去征服！
菲尔兹奖（1983年）得主、华人数学家丘成桐这样 评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学 家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界 级的数学家．” 2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天 2004 11 2 体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布 第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗 永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身 星”，以表彰他对全人类的贡献。
晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在建设第一线。他还 多次应邀赴欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美 国伊利诺依大学、香港中文大学授予荣誉博士学位，还于 1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。1985年6月12日， 他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年 74岁。 华罗庚初中学历，自学成才，经过艰苦的努力成为国际公认 的世界级大数学家，在他研究的数论、代数、矩阵几何学、 多复变函数论、调和分析与应用数学的众多领域中，都有以 他的名字命名的定理与方法。华罗庚为中国和世界的数学事 业作出了巨大贡献。
他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合 微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博 内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤 维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示 性类（简称陈类）．为大范围微分几何提供了不可缺少 的工具．他引进的一些概念、方法和工具，已远远超过 微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要 组成部分 。 陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博 士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获 美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会 “全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学 会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．被国际数学 界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的 微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”。
四. 数学学科的特点
1. 抽象性 2. 精确性 3. 应用的广泛性
1. 抽象性
数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内 涵没有直接联系。 全部数学概念都具有抽象性。但都有非常现实的背 景。 数学抽象的特点在于： I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃 了其他； II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的 抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象; III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关 系的圈子之中.
初等数学阶段
进代数学阶段
现代数学阶段
时 间 17世纪前
17---18世纪
19世纪---
对 特 数→常量 象 点 形→简单图形
变量 曲线（形与数统一） 曲面
集合、空间 构件、流形 （以集合和映射 为工具）
代 表 初等代数 课 程 立体几何
Байду номын сангаас
数学分析、高等代数、泛函分析、近世 解析几何（老三样） 代数、拓扑学 （新三样）
二.数学科学的内容
☆数学科学按其内容可分成五个大学科：
1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics） 3）计算数学（Computational mathematics） 4）运筹与控制（Operational research and control） 5）概率论与数理统计（Probability and mathematical statistics）
3. 应用的广泛性
1959年5月，著名数学家华罗庚教授在人民日报上发表了 《大哉数学之为用》的文章，精辟的叙述了数学的各种运用： “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献。” 凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量 的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学，数学之 为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与 工具，缺少了它就不能准确刻画出客观事物的变化，更不能 由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的准确性。 例子： ---飞机制造 ---沙漠风暴与数学战 ---通讯技术
三. 数学进展的大致概况
数学发展的历史非常悠久，大约在一万年以前，人类从生产 实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念，但真正形成数 学理论还是从古希腊人开始的．公元300多年以前，希腊数 学家欧几里德（Euclid，公元前330-前275）写了《几何原 本》一书，这是自古以来所有科学著作中发行量最广、沿用 时间最长的巨著． 两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以 前是数学发展的初级阶段，其内容主要是常量数学，如初等 几何、初等代数、；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第 二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高 等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近 代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑 学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支．
近半个多世纪以来，现代自然科学和技术的发展，正在改 变着传统的学科分类与科学研究的方法．“数、理、化、 天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科与日新 月异的技术相结合，使用数值、解析和图形并举的方法， 推出了横跨多种学科门类的新兴领域，在数学科学内也产 生了新的研究领域和方法，如混沌（Chaos）、分形几何 Fractal geometry Wavelet transform （Fractal geometry）、小波分析（Wavelet transform） 等．可以这样说，数学发展至今，已经拥有100多个分支 的科学体系，尽管如此， 数学科学的核心领域还是： ---代数学―――研究数的理论； ---几何学―――研究形的理论； ---分析学―――沟通形与数且涉及极限运算的部分．