数学思想与数学文化——第二讲 数学概观

2. 精确性
数学的精确性表现在数学定义的准确性，推理和 计算的逻辑严格性以及数学结论的确定无疑与无 可争辩性。 数学中的严谨推理和一丝不苟的计算，使得每个 数学结论都是牢固的、不可动摇的。这种思想方 法不仅培养了科学家，而且它也有助于提高人的 科学文化素质，它是全人类共有的精神财富。 数学理论的严密性就要求学数学的人在学习的过 程中，不仅要做习题,掌握解题方法，而且要重视 和学会证明结论的思想和技巧，理解数学问题背 后的精神、方法。
五. 数学家的思维
数学家的思维特点取决于数学的特点． 数学家的思维特点归纳起来就是思维的严谨性、思维的抽象 性（广阔性）、思维的灵活性及思维的批判性．此外，还有 数学家的直觉和想象、美感和审美能力． 还要特别强调数学家的拼搏精神和奉献精神，他们为了发展 数学，废寝忘食、勤奋钻研，甚至忘记了自我．数学家对数 学之所以如此执着、甚至痴迷，是因为他们喜爱数学，不断 地用数学中的“美”来陶冶自己． 数学是一个生机勃勃的科学，有无数未解决的问题，有许多 形形色色的未开垦的处女地，等待有想象力、有创新精神和 坚忍不拔毅力的学者去征服！
1936年获得博士学位．从汉堡大学毕业之后，他来到巴 黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E·嘉当那里从事 研究．E·嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一 小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对面的指导， 使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈 省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做 学问应该去找这方面最好的人”． 陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究 所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美 国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长． 陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分 方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．
wenku.baidu.com等数学阶段
进代数学阶段
现代数学阶段
时 间 17世纪前
17---18世纪
19世纪---
对 特 数→常量 象 点 形→简单图形
变量 曲线（形与数统一） 曲面
集合、空间 构件、流形 （以集合和映射 为工具）
代 表 初等代数 课 程 立体几何
数学分析、高等代数、泛函分析、近世 解析几何（老三样） 代数、拓扑学 （新三样）
近半个多世纪以来，现代自然科学和技术的发展，正在改 变着传统的学科分类与科学研究的方法．“数、理、化、 天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科与日新 月异的技术相结合，使用数值、解析和图形并举的方法， 推出了横跨多种学科门类的新兴领域，在数学科学内也产 生了新的研究领域和方法，如混沌（Chaos）、分形几何 Fractal geometry Wavelet transform （Fractal geometry）、小波分析（Wavelet transform） 等．可以这样说，数学发展至今，已经拥有100多个分支 的科学体系，尽管如此， 数学科学的核心领域还是： ---代数学―――研究数的理论； ---几何学―――研究形的理论； ---分析学―――沟通形与数且涉及极限运算的部分．
晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在建设第一线。他还 多次应邀赴欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美 国伊利诺依大学、香港中文大学授予荣誉博士学位，还于 1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。1985年6月12日， 他在日本东京作学术报告时，因心脏病突发不幸逝世，享年 74岁。 华罗庚初中学历，自学成才，经过艰苦的努力成为国际公认 的世界级大数学家，在他研究的数论、代数、矩阵几何学、 多复变函数论、调和分析与应用数学的众多领域中，都有以 他的名字命名的定理与方法。华罗庚为中国和世界的数学事 业作出了巨大贡献。
二.数学科学的内容
☆数学科学按其内容可分成五个大学科：
1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics） 3）计算数学（Computational mathematics） 4）运筹与控制（Operational research and control） 5）概率论与数理统计（Probability and mathematical statistics）
从1931年起，华在清华大学边工作边学习，用一年半时间 学完了数学系全部课程。他自学了英、法、德文，在国外杂 志上发表了3篇论文后，被破格任用为助教。 1936年夏，华罗庚被保送到英国剑桥大学进修，与著名数学 家相互切磋，两年中发表了10多篇论文，引起国际数学界赞 赏。 1938年，在抗日的烽火中，华毅然回国，在西南联大任教。 在昆明郊外一间牛棚似的小阁楼里，他艰难地写出名著《堆 垒素数论》。 1946年3月，他应邀访问苏联，回国后不顾反动当局的限制， 在昆明为青年作“访苏三月记”的报告。 1946年9月，华罗庚应纽约普林斯顿大学邀请去美国讲学， 并于1948年被美国伊利诺依大学聘为终身教授。
3. 应用的广泛性
1959年5月，著名数学家华罗庚教授在人民日报上发表了 《大哉数学之为用》的文章，精辟的叙述了数学的各种运用： “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献。” 凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量 的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学，数学之 为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与 工具，缺少了它就不能准确刻画出客观事物的变化，更不能 由已知数据推出其他数据，因而就减少了科学预见的准确性。 例子： ---飞机制造 ---沙漠风暴与数学战 ---通讯技术
《数学思想与数学文化》第二讲
数学科学概观
内容
一. 前言 二. 数学科学的内容 三. 数学进展的大致概况 . 四. 数学学科的特点 五. 数学家的思维 六. 数学家介绍（华罗庚、陈省身）
一. 前言
被后人称为“数学王子”的德国大数学家高斯 （Gauss, 1777-1855）曾说过：“数学是科学之王， 数论是数学之王，它常常屈尊去为天文学和其他自 然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一．” 随着科学技术的迅猛发展，数学的地位也日益提高， 这是因为当今科学技术发展的一个重要特点是高度 的、全面的定量化．定量化实际上就是数学化．因 此，人们把数学看成是与自然科学、社会科学并列 的一门科学，叫数学科学．
华罗庚的名言
---聪明在于学习，天才在于 积累。 ---埋头苦干是第一，熟练生 出百巧来，勤能补拙是良 训，一份辛勤一份才。 ---人做了书的奴隶，便把活 人带死了。把书作为人的 工具，则书本上的知识 便活了，有生命了。
2. 陈省身（1911-2004）
1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得 数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常 “自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”． 1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影 响很大．在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教． 1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成 为中国国内最早的数学研究生之一．在孙光远博士指导下， 发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的．1932 年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响 也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向． 1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的 奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希 克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何 中的应用．
六. 数学家介绍（华罗庚、陈省身）
1. 华罗庚（1910---1985） -------《初中文凭，独步中华》
华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县。父亲以开杂 货铺为生。他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴 们戏称为“罗呆子”。他进入金坛县立初中后，其数学才能 被老师王维克发现，并尽心尽力予以培养。初中毕业后，华 罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学， 故一生只有初中毕业文凭。 此后，他开始顽强自学，每天达10个小时以上。他用5年时 10 5 间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。1928年，他不 幸染上伤寒病，虽挽回性命，却落下左腿残疾。20岁时，他 以一篇论文轰动数学界，被清华大学（算学系主任熊庆来） 破例于1931年请去任数学系助理员。
1949年10月1日中华人民共和国成立，华罗庚毅然放弃伊力 诺依大学的优裕生活携全家返回祖国。在归国途中发表了 《致中国全体留美学生的公开信》，他在信中深情地说： “梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！” 1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、 中科院数学所所长等职。50年代，他在百花齐放、百家争鸣 的学术空气下著述颇丰，还发现和培养了王元、陈景润等数 学人才。 1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。 1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。 从1960年起，华罗庚开始在工农业生产中推广统筹法和优选 法，足迹遍及27个省自治区直辖市，创造了巨大的物质财富 和经济效益。 1978年3月，他被任命为中科院副院长并于翌年入党。
总结
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来， 数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的 部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限 运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构 成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围， 由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相 渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
四. 数学学科的特点
1. 抽象性 2. 精确性 3. 应用的广泛性
1. 抽象性
数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内 涵没有直接联系。 全部数学概念都具有抽象性。但都有非常现实的背 景。 数学抽象的特点在于： I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃 了其他； II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的 抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象; III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关 系的圈子之中.
三. 数学进展的大致概况
数学发展的历史非常悠久，大约在一万年以前，人类从生产 实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念，但真正形成数 学理论还是从古希腊人开始的．公元300多年以前，希腊数 学家欧几里德（Euclid，公元前330-前275）写了《几何原 本》一书，这是自古以来所有科学著作中发行量最广、沿用 时间最长的巨著． 两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以 前是数学发展的初级阶段，其内容主要是常量数学，如初等 几何、初等代数、；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第 二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高 等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近 代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑 学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支．
菲尔兹奖（1983年）得主、华人数学家丘成桐这样 评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学 家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界 级的数学家．” 2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天 2004 11 2 体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布 第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗 永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身 星”，以表彰他对全人类的贡献。
他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合 微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博 内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤 维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示 性类（简称陈类）．为大范围微分几何提供了不可缺少 的工具．他引进的一些概念、方法和工具，已远远超过 微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要 组成部分 。 陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博 士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获 美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会 “全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学 会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．被国际数学 界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的 微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”。