轨迹问题
高中轨迹问题教案模板范文
课时：2课时教学目标：1. 知识目标：理解轨迹问题的基本概念，掌握解决轨迹问题的方法。
2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学思维能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
教学重点：1. 轨迹问题的基本概念和解决方法。
2. 分析和解决轨迹问题的能力。
教学难点：1. 轨迹问题的多样性和复杂性。
2. 对轨迹问题的综合分析和解决。
教学过程：一、导入1. 复习直线方程、圆方程等基本知识，为轨迹问题打下基础。
2. 引入轨迹问题，展示几个简单的轨迹问题实例，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲解1. 讲解轨迹问题的基本概念，包括定义、分类和特点。
2. 介绍解决轨迹问题的方法，如解析法、几何法等。
3. 结合实例，讲解如何分析轨迹问题的条件和要求，以及如何运用解决方法。
三、课堂练习1. 分组讨论，让学生自主解决几个简单的轨迹问题。
2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。
3. 对学生的解题过程进行点评，强调解题思路和方法。
四、课堂小结1. 总结轨迹问题的基本概念、解决方法和注意事项。
2. 强调在解决轨迹问题时，要注重分析问题和综合运用知识。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解轨迹问题的应用和拓展。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神等。
2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和数量。
3. 课后反馈：了解学生对轨迹问题的掌握程度，以及对教学方法的意见和建议。
教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和内容。
2. 注重培养学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力。
3. 结合实际，拓展轨迹问题的应用，提高学生的综合素质。
轨迹问题方法与例题大全
轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 二、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。
在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
数学轨迹问题
数学轨迹问题
数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。
这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。
常见的数学轨迹问题包括：
1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。
2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解螺线上一动点的坐标关系。
3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。
4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。
数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。
通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。
轨迹类问题
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题，凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）。
另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
本来以前在初中教学大纲有轨迹的内容，但是已经被删除很久了。
为什么我们要拿出来说一下，因为从轨迹的观点出发很多动点问题就会变得很容易。
1到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合2到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线。
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线3到直线L的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的的两条直线。
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。
主要解决同底等高面积相等的问题。
4到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
这个是应用最多的。
昨天辅助圆的思想也是用到这个定义。
另外把圆的方程提出来圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a 、b 、r ，即圆心坐标为(a ，b)，只要求出a 、b 、r ，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
在平面直角坐标系中，设有圆O ，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。
圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
所以两边平方，得到（丰台一模29）设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为； （2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值.5,平面内有两点A,B ，在平面内找一点P 使得三角形ABP 为等腰三角形。
点的轨迹问题知识点
点的轨迹问题常见于数学、物理学以及计算机科学等领域。
在这些领域中，人们常常需要研究和分析移动点在空间中的轨迹。
点的轨迹问题可以通过“逐步思考”方法进行解决，下面将介绍一些常用的步骤和思考方式。
第一步：理解问题在开始解决点的轨迹问题之前，我们需要先对问题进行深入理解。
我们要明确点是如何移动的，移动的速度、方向等信息。
同时，还要了解问题中给出的条件和要求。
第二步：绘制图形为了更好地理解问题，我们可以将问题中的点的轨迹用图形来表示。
可以使用纸和笔进行绘制，也可以使用计算机绘图工具进行绘制。
通过图形，我们可以更加清晰地看到点的轨迹特点。
第三步：分析特点通过观察图形，我们可以得到点的轨迹的一些特点。
这些特点可能包括轨迹的形状、是否闭合、是否有周期性等。
我们可以根据这些特点来进行后续的分析和推理。
第四步：确定解决方法根据问题的特点和要求，我们可以选择合适的解决方法。
例如，如果点的轨迹是一个封闭曲线，我们可以使用计算曲线长度的方法来求解。
如果点的轨迹是一个周期性曲线，我们可以使用周期性函数来描述。
第五步：进行推理和计算在确定解决方法后，我们可以开始进行推理和计算。
根据问题给出的条件和要求，我们可以使用数学公式、物理定律或者计算机算法来进行推导和计算。
需要注意的是，推理和计算过程中要注意精确性和准确性，尽可能避免出错。
第六步：验证结果在完成推理和计算后，我们需要对结果进行验证。
可以通过比较计算结果和实际观测结果来进行验证。
如果结果与实际观测结果相符，说明我们的推理和计算是正确的；如果不符，说明我们需要重新分析和计算。
第七步：总结和应用在解决问题的过程中，我们可能会获得一些有价值的结论和方法。
我们可以对这些结论和方法进行总结，并应用到其他类似的问题中。
这样可以提高我们解决问题的能力和效率。
总之，点的轨迹问题是一个常见且重要的问题，解决这类问题需要我们进行逐步思考。
通过理解问题、绘制图形、分析特点、确定解决方法、进行推理和计算、验证结果以及总结和应用，我们可以有效地解决点的轨迹问题，并提高我们的问题解决能力。
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点； ②点M 的轨迹是菱形； ③点M 轨迹的长度为2④点M . 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】连接,AC BD ，交于O ，则O 为,AC BD 中点，因为F 为1BD 的中点，所以1//FO DD ， 由正方体的性质可知1DD ⊥平面ABCD ， 所以FO ⊥平面ABCD ， 因为DE ⊂平面ABCD ， 所以FO DE ⊥，过点O 作PQ DE ⊥，分别交,BC AD 于,P Q ，过点,P Q 分别作11//,//PH BB QG AA ，分别交1111,B C A D 于点,H G ，连接GH ， 所以，PQGH 四点共面，且//,GQ PH GQ PH =， 所以，四边形PQGH 为平行四边形， 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面ABCD ， 所以PH PQ ⊥所以，四边形PQGH 为矩形，因为PQ FO O =，,PQ FO ⊂平面PQGH ， 所以DE ⊥平面PQGH ，因为点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥ 所以，当FM ⊂面PQGH 时，始终有FM DE ⊥， 所以，点M 的轨迹是矩形PQGH ，如下图，因为2DQO QDE QDE AED π∠+∠=∠+∠=，所以，DQO AED ∠=∠， 所以，AQO BED ∠=∠， 因为4OAQ EBD π∠=∠=，所以AOQ △∽BDE △，所以AQ AO BE BD =，即12AQ=，即14AQ = 所以14CP AQ ==，PQ =， 所以，点M 不可能是棱AD 的中点，点M 的轨迹是矩形PQGH ，轨迹长度为矩形PQGH的周长212⎫⎪⎪⎝⎭，1 故正确的命题为③④.个数为2个. 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D −的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（ ）A B ．2CD ．1【答案】A【解析】画出示意图如下：取1CC 中点N ，取11D C 中点M ，连接11,,,B M B N MN ME ,则11,ME B B ME B B =∥,则四边形1MEBB 为平行四边形，所以1B M ∥BE ， 连接1D C ,则11,MN D C EF D C ∥∥,故MN ∥EF ，又1B M MN M BE EF E ⋂=⋂=， ，1,B M MN ⊂平面1B MN ,BE EF ⊂平面BEF, 所以平面BEF ∥平面B 1MN ，平面1B MN ∩平面11CDD C =MN ，所以P 点轨迹即为MN ，长度为11||||2MN D C == 证明：因为平面BEF ∥平面1B MN ，P 点是MN 上的动点，故1B P ⊂平面1B MN ，所以1B P ∥平面BEF ，满足题意. 故选：A ．例3.（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为π3C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD −所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆 【答案】D【解析】可将四棱锥P ABCD −补形成正方体ABCD PB CD ''−，如图①，直线AG 即体对角线AC '，易证AC '⊥平面PDB ，A 选项正确； 如图②，取CD 的中点H ，连接FH ，可知FH AC //，所以GFH ∠ （或其补角）与直线FG 和直线AC 所成的角相同，在FGH 中，FG GH FG ==，所以π3GFH ∠=，B 选项正确；如图③，延长EF 交直线CD 于点H ，交直线BC 于点I ，连接GI 交PB 于点M ，连接GH 交PD 于点N ，则五边形EFNGM 即为平面EFG 截 四棱锥P ABCD −所得的截面，C 选项正确；当12AGT S =△时，因为AG 所以点T 到AG 点T 在以AC 为轴，底面半径r =T 在平面ABCD 上，所以点T 的轨迹是椭圆．D 选项错误． 故选：D例4．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体1AC ，P 为平面11B BD 内一动点，设二面角11A BD P −−的大小为α，直线1A P 与平面11BD A 所成角的大小为β.若cos sin βα=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】连接AC 交BD 于O ，取11B D 中点1O ,连接1OO以O 为原点,分别以OA 、OB 、1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图：令正方体边长为2，则11(,)A C A B ，(0,,)P y z =面11BD A 的一个法向量为1(2,AB =−，面11BB D 的一个法向量为(AC =− 则1(co 1s 2,AC AB −==，故二面角111A BD B −−的大小为π3又二面角11A BD P −−的大小(]0,παÎ，则π3α=或2π3α=由cos sin βα=，，可得π6β=又1(,)y z A P =−1111(1sin 2A P AB A P AB β⋅−===⋅整理得240z z +++= 即3)1y z z =−+，是双曲线. 故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCD A B C D −''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是（ ）A ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧【答案】C【解析】由P 点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线，其中这个正圆锥面的中心轴即为AC '，顶点为A ，顶角的一半即为MAC '∠， 以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,1,0),(,1,1)2AC M ，可得1(1,1,1),(,1,0)2ACAM '=−=，1111cos MAC ⨯+⨯'∠===，设AC '与底面A BC D ''''所成的角为θ，则A C cos AC θ''===>'，所以MAC θ'<∠，''''的交线是双曲线弧，所以该正圆锥面和底面A B C D同理可知，P点在平面CDD C''的交线是双曲线弧，故选：C．。
高中轨迹问题教案模板范文
教学对象：高中学生教学目标：1. 理解轨迹问题的概念和特点，掌握解决轨迹问题的基本方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 轨迹问题的概念和特点2. 解决轨迹问题的基本方法教学难点：1. 轨迹问题的解题思路和方法2. 复杂轨迹问题的求解教学准备：1. 教学课件2. 相关教学资料3. 实例题教学过程：一、导入1. 提问：什么是轨迹问题？请举例说明。
2. 回答后，教师简要介绍轨迹问题的概念和特点。
二、新课讲授1. 轨迹问题的概念和特点- 轨迹问题：在几何学中，如果一个动点在满足一定条件下运动，其运动轨迹称为轨迹问题。
- 特点：轨迹问题通常涉及两个或多个几何元素，要求找出动点的运动轨迹。
2. 解决轨迹问题的基本方法- 方法一：几何法：通过分析几何元素之间的关系，找出动点的运动轨迹。
- 方法二：代数法：利用代数方程描述几何元素之间的关系，求解动点的运动轨迹。
- 方法三：综合法：结合几何法和代数法，解决较复杂的轨迹问题。
三、实例讲解1. 例题1：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=2，求点P的轨迹方程。
2. 解答：- 分析：本题是一个典型的轨迹问题，可以通过代数法求解。
- 解题步骤：1. 建立坐标系：以点O为原点，建立平面直角坐标系。
2. 列方程：由|OP|=2，得到动点P的坐标满足方程x^2+y^2=4。
3. 求解：动点P的轨迹方程为x^2+y^2=4。
四、课堂练习1. 完成以下练习题，巩固所学知识。
- 练习题1：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=1，求点P的轨迹方程。
- 练习题2：一个动点P在平面直角坐标系中，满足条件|OP|=3，且与点A(2,0)的距离为2，求点P的轨迹方程。
五、课堂总结1. 回顾本节课所学内容，强调轨迹问题的概念、特点和解决方法。
2. 鼓励学生在课后继续练习，提高解题能力。
教学反思：1. 本节课通过实例讲解和课堂练习，使学生掌握了轨迹问题的基本解题方法。
最值系列问题之轨迹问题(瓜豆原理)
最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．⑧到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线．本文讨论一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．该题型常见于中考的大小压轴题中，以最值计算或函数解析式的方式出题。
一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。
轨迹方程问题
轨迹方程问题轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它涉及到对实体运动轨迹的计算和描述。
它是数学中的一种重要问题，也是物理、航空、机械等领域的研究基础。
本文将从轨迹方程问题的定义、特点以及应用等方面全面介绍，以期为读者提供帮助。
一、轨迹方程问题的定义轨迹方程问题是指求解实体运动轨迹的问题，即对实体运动轨迹描述的数学形式问题。
它是指根据实体运动轨迹的定义，给出实体的运动轨迹的数学形式，从而求解实体的运动轨迹的问题。
二、轨迹方程问题的特点1、数学特点轨迹方程问题是一个典型的微分方程问题，其定义是由实体运动轨迹的定义所推导，其解也是由运动轨迹的定义所推导出来的。
因此，轨迹方程问题具有很强的数学特点。
2、实际特点轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它具有实际特点，可以描述实体的运动轨迹，从而更深入地研究实体的运动规律。
三、轨迹方程问题的应用1、物理领域轨迹方程问题可以用于物理领域，比如可以用来求解抛体运动的轨迹，从而研究物体运动的规律，从而更好地掌握物理知识。
2、航空领域轨迹方程问题也可以用于航空领域，比如可以用来求解飞行器的轨迹，从而了解飞行器的运动规律，从而更好地掌握飞行技术。
3、机械领域轨迹方程问题也可以用于机械领域，比如可以用来求解机械设备的运动轨迹，从而了解机械设备的运动规律，从而更好地掌握机械设备的技术。
四、总结轨迹方程问题是一种比较复杂的数学问题，它涉及到对实体运动轨迹的计算和描述。
它是一个典型的微分方程问题，具有很强的数学特点，也具有实际特点，可以描述实体的运动轨迹，并且可以用于物理、航空、机械等领域的研究基础。
因此，轨迹方程问题是一个重要而又有趣的问题，我们有必要更深入地研究它，以期取得更多的科学成果。
(完整版)高考数学轨迹问题
第23讲：轨迹问题一．高考要求能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程，在高考中小题大题均会出现，注重数学方法和数学思想的运用，综合性较强．二．两点解读重点：①求轨迹方程的两大类方法：直接法（定义法、直译法)；间接法（坐标转移法、参数法、交轨法)②几何性质转化为方程;③运用向量知识．难点：①求轨迹方程的“完备性”、“纯粹性"；②数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．三．课前训练1．分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是221x y +=2．椭圆14922=+y x 与直线 y x =平行的所有弦的中点的轨迹方程为490x y += 3．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ A ）（A ）圆 (B)椭圆 (C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4．抛物线22y x =上各点与焦点连线中点的轨迹方程是214y x =- 四．典型例题例1 直角坐标平面xoy 中,若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=⋅OA OP ，则点P 的轨迹方程是_____________ 解:由向量的坐标运算知 24OP OA x y •=+=，则点P 的轨迹方程是：24x y +=例2 与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在 （ ）（A ） 一个椭圆上 （B ）双曲线的一支上（C)一条抛物线上 （D ）一个圆上解：将228120x y x +-+=配方得22(4)4x y -+=，设所求圆心为P ，则由题意知211PO PO R r -=-=,故选B例3 在圆229x y +=中,过已知点(1,2)P 的弦中点轨迹方程为解：设弦的中点为M ,则OM PM ⊥，所以M 在以OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为 2215()(1)24x y -+-= 例4 过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹方程是解：(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得 l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l FM y k k x -==，12x y x -∴=，即2112y x =+ 例5 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系,则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得:222PN PM =因为两圆的半径均为1,所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）。
与圆有关的轨迹问题归纳
与圆有关的轨迹问题归纳大家好，今天咱们聊聊一个看似简单却又充满趣味的数学话题——与圆有关的轨迹问题。
说到圆，谁能不想起那形状完美得让人忍不住想拍一张照的饼干呢？不过，今天可不是讨论美食，而是要深入探讨圆和它的轨迹。
我们一起轻松地理清楚这其中的奥秘，保证让你听了以后恍若看了一场精彩的电影！1. 圆的基本知识1.1 圆的定义首先，咱们得明白什么是圆。
圆就是一个平面上的所有点到中心的距离都相等的地方。
是不是听上去很简单？没错，就是这么简单，像咱们吃饼干那样，随便一咬就能享受到。
而这个中心点，我们通常叫做“圆心”，它就像圆的老大，指挥着整个圆的“舞蹈”。
1.2 圆的性质而且，圆还有一些好玩的性质哦！比如，任何一条经过圆心的直线，都会把圆分成两个完全相同的部分，咱们叫它“直径”。
想象一下，就像切披萨时那样，一刀下去，两边的馅料恰好均匀，不用担心谁吃得多谁吃得少。
2. 与圆有关的轨迹2.1 轨迹的定义说到轨迹，咱们先得知道它是什么。
轨迹就是一个点在运动时所经过的路径。
听起来有点高深，实际上就是那种“我走过的路”嘛。
比如，踢足球的时候，球的路径就是它的轨迹，乒乓球飞舞的样子也是。
2.2 圆的轨迹那么，和圆有关的轨迹又是什么呢？最简单的例子就是一个点围绕圆心转动时所形成的轨迹。
想象一下，假如你手上有一根线，另一端绑着个小球，你把小球绕着圆心转，结果就形成了一个完整的圆。
这就叫做“圆周轨迹”。
哇，真是简单又美丽，就像那首歌里唱的：“只要你心中有圆，世界就会很美好！”3. 应用实例3.1 日常生活中的圆那这跟咱们的生活有什么关系呢？其实，圆的轨迹无处不在！比如，转动的轮胎、旋转的风车，甚至是咱们每年的生日蛋糕，都是圆的！没准在吃蛋糕的时候，你还没意识到，自己正在欣赏一道数学美景呢。
想想，这种“无形的美”，是不是让你有点感动呢？3.2 科技中的应用不仅如此，科技领域也离不开圆的轨迹。
比如，卫星在绕地球飞行时，走的就是一个圆形轨迹。
轨迹问题
解析几何中的轨迹问题 一、定义法：1．已知M 是直线l ：x =−1上的动点，点F 的坐标是(1,0)，过M 的直线l′与l 垂直，并且l′与线段MF 的垂直平分线相交于点N ． （Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程； 试题解析：（Ⅰ）依题意，|NM|=|NF|，即曲线C 为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l ：x =−1，所以曲线C 的方程为y 2=4x ．2．已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆ρ与圆M 外切并与圆N 内切，圆心ρ的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；试题解析：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =，设圆ρ的圆心为(),P x y ，半径为R .（1）因为圆ρ与圆M 外切并且与圆N 内切，所以由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为顶点除外）……5分 3．动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；试题解析： （1所以圆内切于圆，所以点的轨迹为椭圆，，所以1b =，所以轨迹的方程为 4．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P 满足条件|PM|－|PN|＝P 的轨迹为W ． ⑴求W 的方程； 【解析】 试题分析：（1）利用双曲线的定义，可求W 的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，N M N E试题解析：(1)P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，半焦距2c =，故徐半轴长W5．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PE 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹P 的方程； 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆方程；（2）通过设而不求法，列方程，解得2λ=.试题解析：（1）连结，故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆可知2,1a c ==，则所以点Q 的轨迹Γ的方程为 6．已知椭圆的左、右焦点分别为21F F 、，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点． （1）求点的轨迹的方程；试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线． ∴点的轨迹的方程为．7．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点QF 1C 1F x 1l 2l 1l P 2PF 2l M M 2C ||||2MF MP =M 1l 2-=x )0,2(2F M 2C 1l 2F M 2C x y 82=()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以，所以点Q 的轨迹是以点,CA 为焦点，焦距为28．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F的距离比它到轴的距离多1. (Ⅰ)求点的轨迹的方程；试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =；9、已知点M(-3,0)，N （3,0），B （1,0），动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相较于点P ，则P 点轨迹方程是 。
第1讲 轨迹问题(解析版)
第1讲 轨迹问题1．方程|1|x -=( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x - 得22(1)(1)1x y -+-=，其中02x ，02y ．因此方程|1|x -=(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x -=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y -=-， 化简得22(||1)(1)1x y -+-=，由||10x -得||1x ，即1x 或1x -， 当1x 时，方程为22(1)(1)1x y -+-=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x -时，方程为22(1)(1)1x y ++-=， 表示圆心为(1,1)-且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x -= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)-，(0,1)，(0,1)-，(1,1)，(1,1)-，(1,1)-，(1,1)--，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)--均在曲线C 上，而这两点间的距离为2>，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y -+-=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay -；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =，将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( ) ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠，亦即022a ay -，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =-∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +-=（原点除外）B ．2220x y py +-=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=-， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得23||2OP ==． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x 且0y 时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+，即22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径R =，则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+，故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y ---+=B ．( 22)(1)0x y -+=C ．2(||1)(10x y x ---+=D ．(2)(10x -+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩，或||10x y --=，||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或2210x y -+=，22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示折线||1y x =-在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y -+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩或22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩， 22||1010x y x y --=⎧⎨-+⎩表示表示折线||1y x =-在双曲线的外部（包括有原点）的一部分， 22||1010x y x y --⎧⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)1}M x y y xy =-，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( )A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy 时，只需要满足21x ，21y 即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x -，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y -，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y -，y 换为x -，可得方程不变，则曲线关于直线y x =-对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==y x ==，即有曲线C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +， 则223223()8()x y x y xy +=，即18xy ，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为()（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x -+=，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x -代替x ，y -代替y 22(2)16x --=成立，16=也成立， 即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=<，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在-到同理y 的取值只可能在-所以曲线C 在一个面积为 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a -，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a -的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．故点0(P x ，0)y 2a =，点(M x -，0)y -代入2a =，得到2a =，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a -+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误；对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +-+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=，所以2PO 的最大值为22a ，22PO a -的最大值为2a ，故D 错误． 故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++，去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y -+-=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；令2214x y +=中的0y =，解得2x =，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x -，故选项B 错误；令2214x y +=中的0x =，解得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=， 所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；令22(1)1()142x y -+-=中的0x =，可得12y =1(0,)2，故选项D 正确． 故选：ACD ．个结论：①曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“花形”区域的面积小于4． 其中，所有正确结论的序号是 ② ．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+，方程化为：||1xy ，∴曲线C 上任意一点到原点的距离|11d xy =+=C ，可知正确．③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y -替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x 时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++，可得222x y +，所以曲线经过点(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)-，(1,1)-，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x 时，222x y +，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)-，(1,0)，(1,1)，(1,1)-围成的矩形面积122⨯=，在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)-，(1,0)，(0,1)-围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y+=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是②④．【解答】解：22 223222 ()16()2x yx y x y++=，224x y∴+（当且仅当222x y==时取等号），则②正确；将224x y+=和22322()16x y x y+=联立，解得222x y==，即圆224x y+=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy<，得方程22322()16x y x y+=表示的曲线C在第二象限和第四象限，故④正确．故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是 (0,3) ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y 22(1)|1|3x y x -+++=， ①当4x <-时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x --22(1)4x y x -+=+，化为231015(1)2y x x =+--，与y 轴无交点；③当1x >-22(1)2x y x -+=-，化为223y x =-+，3(1)2x -<． 令0x =，解得3y =综上①②③可知：曲线C 与y 轴的交点为(0,3)； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+--⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x -+=，解得1.4x =-或1．①当 1.4a -或1a 时，||||||PA PB AB +，d ∴（a ）22||(1)122AB a a a ==-+-+；②当11a -<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =-+-<相交时的交点P 满足||||PA PB +||2QB a ==-取得最小值，此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）； ③当 1.41a -<-时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+--相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =-，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q -，此时d （a ）||4QB a ==+． 综上可知：d （a ）222, 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a a a ⎧-+-⎪⎪=+-<-⎨⎪--<<⎪⎩或19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ．【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==， 所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+-，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ，所以可得P 的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a c =2221b a c =-=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b --=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =-③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b -+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+；设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+．22．已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y -是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x，1(A 0)，2A 0)， 直线1A P的斜率为1k =，∴直线1A P的方程为y x =+，⋯① 同理可得直线2A Q的方程为y x =．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =--．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y -=上， ∴221112x y -=，可得22211111(2)22x y x =-=-，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x -=-=--，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)，由题意得：12||2||2CF CF +=-或21||2||2CF CF +=-，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴-==<==， 可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c 2221b c a =-=，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10F Q =．点P是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=-===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)-在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；。
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结
平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。
它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。
一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。
要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。
例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。
这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。
二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。
到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。
到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。
2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。
解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。
2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。
解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。
轨迹方程问题—6大常用方法
轨迹方程问题—6大常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
初中数学轨迹问题解析教案
初中数学轨迹问题解析教案教学目标：1. 理解动点轨迹问题的基本概念和特点；2. 掌握判断动点轨迹的方法和技巧；3. 能够解决实际问题中的动点轨迹问题。
教学内容：1. 动点轨迹问题的定义和分类；2. 判断动点轨迹的方法和技巧；3. 动点轨迹问题的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入动点轨迹问题的概念，让学生初步了解动点轨迹问题的基本特点；2. 提问学生：动点轨迹问题有哪些分类？让学生思考并回答。
二、讲解（20分钟）1. 讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义；2. 讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法；3. 通过具体例题，演示解决动点轨迹问题的过程，让学生跟随步骤进行解题；4. 让学生进行练习，巩固所学的知识和技巧。
三、应用（15分钟）1. 给出实际问题，让学生应用所学的动点轨迹问题解决方法进行解决；2. 引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路；3. 给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。
四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的知识和技巧，进行自我总结；2. 强调动点轨迹问题的重要性和实际应用价值，激发学生学习的兴趣和动力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习的积极性和参与度；3. 学生对实际应用问题的理解和解决能力。
教学资源：1. PPT课件；2. 动点轨迹问题的习题集。
教学反思：本节课通过讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义。
通过讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法。
通过实际问题的应用，让学生将所学的知识和技巧应用到实际问题中，提高学生解决实际问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路。
同时，要给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。
在教学评价中，要关注学生对动点轨迹问题的理解和解决能力的提高，同时也要关注学生对实际应用问题的理解和解决能力的提高。
轨迹问题
轨迹问题一．考点梳理常见的轨迹:(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线．(2)在平面内，到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆．(4)在平面内，到定直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条定直线平行且距离等于定长的两条直线．(5)圆锥曲线的统一定义：在平面内，到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线．其中，当常数大于1时，表示双曲线；当常数等于1时，表示抛物线；当常数大于0而小于1时表示椭圆．定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线． 椭圆第一定义：到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．双曲线第一定义：到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹．二．考点突破类型一 直接法求轨迹方法：建系、设点(,)M x y 、列式、代换、化简、证明(可省略)，并注意是否需要 “挖点”或“补点”，若题设求轨迹还需文字说明方程的轨迹图形。
适用于题目中的条件有明显的等量关系或可以利用平面几何知识推出等量关系，即易于列式表述成含有,x y 的等式，是求轨迹方程最基本最常用的方法。
例1.在平面直角坐标系中，点(2,0)Q ，圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹．变式训练1：给定抛物线28(2)y x =+，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程.类型二 定义法求轨迹方法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，可直接由曲线定义写出轨迹方程；或用待定系数法设出相应的曲线方程并求出所需参数。
定义法要充分联想定义，灵活运用定义。
例2.如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处.其中100AP m =，150BP m =，60APB ∠= ，问怎样运土才能最省工？变式训练2:已知(6,0)A -，点M 为圆O ：22100x y +=上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的轨迹方程.类型三 相关点法求轨迹方法：若动点(,)P x y 的变动依赖于另一动点00(,)Q x y ，而00(,)Q x y 在某已知曲线(,)0f x y =上，则可先写出方程00(,)0f x y =，再找到两点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩形式，最后代入方程00(,)0f x y =将00,x y 换为,x y 后即可得到点(,)P x y 的轨迹方程。
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轨迹问题基本知识概要：一、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。
在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
三．基础训练1．分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是221x y += 2．椭圆14922=+y x 与直线 y x =平行的所有弦的中点的轨迹方程为490x y += 3．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ A ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4．抛物线22y x =上各点与焦点连线中点的轨迹方程是214y x =-5．由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；6．点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；7．一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 8．圆229x y +=中，过已知点(1,2)P 的弦中点轨迹方程为解：设弦的中点为M ，则O M P M ⊥，所以M 在以OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为2215()(1)24x y -+-=9． 过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是解：(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l FM y k k x -==，12x y x-∴=，即2112y x =+【典型例题选讲】一、直接法题型：例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
解：设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN-=。
设),(y x M ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。
（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
变式： 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得：222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）练习：（待定系数法题型）在PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，且PMN ∆的面积为1，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。
二、定义法题型：例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处，其中AP=100m ，BP=150m ，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？ 解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP 到P 较近，二是沿BP 到P 较近，三是沿AP 或BP 一样近。
其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M 为分界线上的任一点，则有BPMB AP MA +=+，即75050=≤=-=-AB PA PB MB MA ，故M 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上。
建立如图直角坐标系，得边界的方程为)25(1375062522>=-x y x ,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处，在曲线上面的土两边都可运。
说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。
练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。
解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为1251625)3(22=++y x三、代入法题型：例3 如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线y=-x ，关于直线y=3对称的曲线方程。
(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：例4 经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。
解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(2k p p kp -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2kp p p k --，又M 为BC 中点，设M （x,y ）,则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=kpk py p p k k p x 222，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。
五、交轨法与几何法题型例5 抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
（考例5）解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A Ay py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2224)2(p y p x =+-。
所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。
所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。
六、点差法：例6（2004年福建，22）如图，P 是抛物线C ：221x y =上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。