人教A版高中数学选修一1.1.2四种命题

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知能巩固提升(二)/课后巩固作业(二)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（易错题）命题“若△ABC 有一内角为3
,则△ABC 的三个内角成等差数列”
的逆命题( )
（A ）与原命题同为假命题 （B ）与原命题的否命题同为假命题 （C ）与原命题的逆否命题同为假命题 （D ）与原命题同为真命题 2.有下列四个命题：
①“已知函数y=f(x)，x ∈D ，若D 关于原点对称，则函数y=f(x)，x ∈D 为奇函数”的逆命题；
②“对应边平行的两角相等”的否命题；
③“若a≠0，则方程ax+b=0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B=B，则B≠A”的逆否命题,
其中的真命题是( )
（A）①②（B）②③
（C）①③（D）③④
3.命题“若a2+b2=0（a,b∈R），则a=b=0”的逆否命题是( )
(A)若a≠b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(B)若a=b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(C)若a≠0且b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(D)若a≠0或b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
4.命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )
(A)若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
(B)若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
(C)若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
(D)若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2012·许昌高二检测）命题“若a＞3,则a＞5”的逆命题是________.
6.命题“若a·b不为零，则a,b都不为零”的否命题是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
8.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：
（1）当x=2时，x2-3x+2=0；
（2）若x>8，则x>0.
【挑战能力】
（10分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S m,S m+2,S m+1成等差数列，则a m,a m+2,a m+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假；何时为真，并给出证明.
答案解析
1.【解析】选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成
”,它是真命题，故选D.
等差数列，则△ABC有一内角为
3
2.【解析】选C.①“若函数y=f(x),x∈D为奇函数，则定义域D关于原点对称”，为真命题；
②“对应边不平行的两角不相等”，为假命题；
③“若方程ax+b=0无实根，则a=0”，为真命题；
④“若B=A，则A∪B≠B”，是假命题.
3.【解题指南】解答本题的关键点是对条件“a=b=0”的否定，为了便于否定应首先将其改写为“a=0且b=0”,然后再否定.
【解析】选D.命题中的条件及结论的否定分别是a2+b2≠0，a≠0或b≠0（a,b ∈R），所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0”.
【变式训练】“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题是
________.
【解析】命题中的条件及结论的否定分别是b>－1, 方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，所以命题的逆否命题是“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”.
答案：“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”
4.【解析】选A.由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为“若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”．
【变式训练】命题“若函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则a2 <1”的逆否命题是________.
【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为“若a2≥1，则函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”.
答案：“若a2≥1，则函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”
5.【解析】因为命题“若a＞3,则a＞5”的条件是“a＞3”,结论是“a＞5”，所以它的逆命题是“若a＞5,则a＞3”.
答案：“若a＞5,则a＞3”
6.【解析】因为命题中的条件及结论的否定分别是“a·b=0，a,b至少有一个为零”，所以命题的否命题为“若a·b=0，则a,b至少有一个为零”.
答案：“若a·b=0，则a,b至少有一个为零”
7.【解析】(1)原命题为“若a是正数，则a的平方根不等于0”；
逆命题为“若a的平方根不等于0，则a是正数”；
否命题为“若a不是正数，则a的平方根等于0”；
逆否命题为“若a的平方根等于0，则a不是正数”.
(2)原命题为“若x ＝2，则x 2＋x －6＝0”； 逆命题为“若x 2＋x －6＝0，则x ＝2”； 否命题为“若x ≠2，则x 2＋x －6≠0”； 逆否命题为“若x 2＋x －6≠0，则x ≠2”.
8.【解析】（1）逆命题为若x 2-3x+2=0，则x=2，假命题； 否命题为若x ≠2，则x 2-3x+2≠0，假命题； 逆否命题为若x 2-3x+2≠0，则x ≠2，真命题. （2）逆命题为若x>0，则x>8，假命题； 否命题为若x ≤8，则x ≤0，假命题； 逆否命题为若x ≤0，则x ≤8，真命题. 【挑战能力】
【解析】(1)这个命题的逆命题是：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列.
(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q=1时，这个命题的逆命题为假， 理由如下：
因a m =a m+2=a m+1=a 1，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m+2-S m =2a 1，S m+1-S m+2=-a 1，显然S m+2-S m ≠S m+1-S m+2.
当q ≠1时，这个命题的逆命题为真， 理由如下：因a m =a 1q m-1，a m+2=a 1q m+1，a m+1=a 1q m ，
若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则a 1q m-1+a 1q m =2a 1q m+1，即1+q=2q 2，也就是1-q 2=q 2-q,
又m 2m 11m 2m a 1q a 1q S S 1q 1q ++---=---（）（）=2m
1a 1q q ,1q
--（） S m+1-S m+2=m 1m 211a 1q a 1q 1q 1q ++-----（）（） =2m 2m
11a q q q a 1q q ,1q 1q
--=--（）（）
即S m+2-S m=S m+1-S m+2.。