2018_2019学年高中数学第一章三角函数2角的概念的推广学案北师大版必修

§2角的概念的推广
内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．
知识点1 角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型定义
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)
(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)
(4)终边和始边重合的角是零角(×)
(5)经过1小时时针转过30°(×)
知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
【预习评价】
1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
2．第二象限的角比第一象限的角大吗？
提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等(×)
(2)相等的角终边一定相同(√)
(3)终边相同的角有无数多个(√)
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)
题型一角的概念的推广
【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．
解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.
规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”
2．表示角时的两个注意点
(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．
【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；
(2)经过10 min，分针转了________．
解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°
β＝30°＋180°＝210°.
(2)分针按顺时针转过了周角的1
6，即－60°.
答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，
取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.
规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．
解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }
＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．
同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．
【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，
－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C
【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．
解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：
第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．
第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．
【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α
2分别是第几象限角？
解 ∵α是第二象限角，
∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，
180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． 同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k
2
×360°，k ∈Z .
当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，
α
2为第一象限角；
当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α
2为第三象限角．
∴α
2
为第一或第三象限角．
【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α
2是第几象限角．
解 ∵α为第一象限角，
∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α
2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，
∴－45°－k ·180°＜－α
2＜－k ·180°，k ∈Z ，
∴135°－k ·180°＜180°－α
2
＜180°－k ·180°，k ∈Z .
当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α
2＜180°－n ·360°，为第二象限角；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α
2＜－n ·360°，为第四象限角．
∴180°－α
2是第二或第四象限角．
规律方法 1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
2．α，2α，α
2等角的终边位置的确定方法
不等式法：
(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α
2
等角的范围．
(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α
3＜k ×120°＋
30°，k ∈Z ，可画出0°＜
α
3
＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动
120°(如图所示)．
易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.
课堂达标
1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D
2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
答案 D
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
答案195°＋(－3)×360°
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
答案－252°
5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．
课堂小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜
－180°＋k×360°，k∈Z}.
基础过关
1．下列各组角中，终边相同的是( )
A．495°和－495°B．1 350°和90°
C．－220°和140°D．540°和－810°
解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．
答案 C
2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )
A．B C A B．B A C
C．D(A∩C) D．C∩D＝B
解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.
角集合表示
锐角B＝{α|0°<α<90°}
0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}
小于90°的角A＝{α|α<90°}
第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋
90°，k∈Z}
答案 D
3．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C
4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．
解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，
∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.
答案240°
5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．
解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．
答案－160°，200°
6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.
解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
能力提升
8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大
B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则A
B
C ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角
D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.
在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴A
B ，∴B 正确．
又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B
9．集合M ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＝
k ·180°
2
±45°，k ∈Z ，P ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |x ＝
k ·180°
4
±90°，k ∈Z ，则M 、P
之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P
D ．M ∩P ＝∅
解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B
10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．
解析∵α、β终边相同，
∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．
∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．
答案x轴的非负半轴上
11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．
答案一或三
12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.
解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：
(1)α、β的终边关于原点对称；
(2)α、β的终边关于y轴对称．
解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．
两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。