07曲线积分与曲面积分

其中 为 在 轴上方部分.
②曲线 关于 轴对称，则有
其中 为 在 轴右方部分.
（2）积分关于积分变量的对称性
若在曲线 的方程中， 与 对调后方程不变，则有
.
（3）计算方法
①直接计算法（参数方程法）
ⅰ）如果曲线 的方程为 ，则
ⅱ）如果曲线 的方程为 ，则
ⅲ）如果曲线 的方程为 ，则
ⅳ）如果曲线 的方程为 ，则
【解答】：
【例10】曲线 与 轴的两个交点分别为 及 ，又曲线在点 的切线交 轴于 ，弧 是从 到 的直线段，求 的值，使得
为最小.
【解答】：
【例11】设 为分段光滑简单闭曲线， 为曲线 的外法线方向， 为 所围成的闭区域， 在 上具有连续二阶偏导数，证明： .
【解答】：
【例12】求 ，其中 为八分之一球面：
高斯公式的使用条件：（ⅰ） 在 上连续；
（ⅱ） 是封闭曲面；
（ⅲ） 取外侧.
高斯公式的作用：把第二类曲面积分和三重积分相互转化.
3．通量与散度
设有向量场
,
其中函数 、 、 有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面， 是曲面 的单位法向量.则沿曲面 的第二类曲面积分
称为向量场 通过曲面 流向指定侧的通量.而
【解答】：
【例4】求面密度为1的均匀锥面 ，对直线
的转动惯量.
【解答】：
【例5】求一段均匀圆柱面 对原点处单位质点的引力（其中面密度 为常数）.
【解答】：
【题型六】求散度、旋度与梯度
【例1】设一刚体以等角速度 绕定轴 旋转，求刚体内任意一点 的线速度 的旋度.
【解答】：
【例2】设 求gradu；div(gradu)；rot(gradu).
【解答】：
2．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
（1）【定义7.4】设 为光滑的有向曲面, 在 上有界，则
其中 分别表示第 个小有向曲面 在坐标面 上的投影.
(2)性质
性质1
.
性质2
这里 表示曲面的两侧（如 表示外侧， 表示内侧）.
(3)两类曲面积分之间的关系
其中 为曲面 上点 处法线的方向余弦.
(4)计算方法
【题型二】第二类曲线积分的计算
【例1】求 ，其中 是抛物线 从 到 ，再沿直线到 所形成的曲线.
【解答】：
【例2】求 ，其中 是 到 ，再到 的折线段..
【解答】：
【例3】求 ，其中 是 的直线再沿半圆周到 的曲线.
【解答】：
【例4】求 .其中 是圆周
沿 到 的一段弧.
【解答】：
【例5】求线积分 的最大值，其中 是 的正向.
【解答】：
【题型五】多元函数积分的应用
【例1】设 是曲面 所围成的空间区域，求其体积.
【解答】：
【例2】设球面 ,柱面 .
（1）求球面在柱面内的面积；（2）求柱面在球面内的面积.
【解答】：
【例3】在球面 上取以 三点为顶点的球面三角形（其中弧 均为大圆弧）.若球面的面密度为 ，求此球面三角形的质量.
（ ）表达式 为某二元函数 的全微分；
（ ） 在 内恒成立；
（ ）对 内任一闭曲线 ， .
注意：①利用线积分与路径无关解题条件： 和 在单连通区域 上连续；②结论：在单连通的条件下：
（ ） 在 内与路径无关（判别与路径无关的充要条件）.
（ ） 存在函数 使得
（ ） 在 内与路径无关 选择路径的一般经验是：平行于坐标轴的路径（方便，简单）.
如果曲线 的方程为 起点为a,终点为b，则
如果曲线 的方程为 起点为c,终点为d，则
②间接计算法（利用格林公式，与路径无关，求原函数法）
ⅰ）格林公式（格林定理）：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 及 在D上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的取正向的边界曲线.
注意：1）公式使用条件：① 和 在 上连续；②L的方向为正方向，即某人沿着 的方向行走时，区域 始终在他的左手边（可简单的理解为外边界是逆时针方向，内边界是顺时针方向）③ 必须是封闭的.
（3）计算方法
①直接计算法（化为二重积分法）
设曲面 在 平面上的投影区域为 ， 在 上连续，
在 上有一阶连续偏导数，则有
设曲面 在 平面上的投影区域为 ， 在 上连续， 在 上有一阶连续偏导数，则有
设曲面 在 平面上的投影区域为 ， 在 上连续，
在 上有一阶连续偏导数，则有
②利用对称性（积分曲面的对称性和被积函数的对称性）计算.
【解答】：
【例3】求 ， 是锥面 在
的部分. 是 上任一点 的法向量的方向余弦，且 .
【解答】：
【例4】求 ， 是由曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面.
【解答】：
【例5】求 ， 是曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面，其法线向量与 轴正向夹角为锐角.
【解答】：
【例6】求 ， 是 在 平面上方部分.
【解答】：
【例8】求 ， 是椭球面 取外侧.
, 的计算于此完全相同.
②向量点积法（投影轮换法）
设光滑曲面 ： ，它在 面上的投影区域为 , 在 上连续，函数 在 上的一阶偏导数连续，则
正负号的确定方法同前.
③间接法（利用高斯公式）
高斯定理：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数 、 、 在 上具有一阶连续偏导数，则有公式
或
这里 是 的整个边界曲面的外侧, 是 上点 处的法向量的方向余弦.
其中 表示第 个小弧段长度， 为这 个小弧段长度的最大值.
（2）性质
性质1设 为常数，则
.
性质2设 由 和 两段光滑曲线组成(记为 )，则
性质3设在 有 ，则
性质4（中值定理）设函数 在光滑曲线 上连续，则在 上必存在一点 ，使
其中 是曲线 的长度.
性质5对称性
（1）曲线 关于坐标轴的对称性
①若曲线 关于 轴对称，则有
其中 为这 个小弧段长度的最大值.
（2）性质
性质1设L是有向曲线弧, 是与L方向相反的有向曲线弧，则
；
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2如 由 和 两段光滑曲线组成，则
.
（3）计算方法
①直接计算法（参数方程法）：如果曲线 的参数方程为 则
.
其中 是指参数的 的起点值到参数 的终点值（它可以由小到大，也可以由大到小。必须强调的是：它是 的起点值 终点值）。
2)结论：把第二类曲线积分转化为二重积分的计算.
3）用法技巧：
①条件不满足时，创造条件（连续、正向、封闭）尽可能使用格林公式；
②常用技巧：补线，挖洞、换曲线（当积分值与路径无关时）。
ⅱ）曲线积分与路径无关的定理：设开区域 是一个单连通域，函数 及 在 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（ ）曲线积分 在 内与路径无关；
①直接计算法（化为投影的二重积分）
设光滑曲面 ： ，与平行于 轴的直线至多交于一点，它在 面上的投影区域为 ,则.
【计算步骤】：
一投：把 向 面投影得到投影区域 ；
二代：把被积函数中的 中的 用 代入；
三定号：确定 投影的正负号，确定方法是：若 的法向量 与 轴正向的夹角 为锐角时取“+”号，若 为钝角时取“”号.
【题型三】第一类曲面积分的计算
【例1】求 ，其中 是球面： .
【解答】：
【例2】求 ，其中 是平面： 在第一卦限的部分.
【解答】：ห้องสมุดไป่ตู้
【例3】求 ，其中 是柱面 被 所截得的在第一卦限的部分.
【解答】：
【例4】求 ，其中 是正八面体 的全表面.
【解答】：
【例5】球面 被曲面 分为三部分，试求这三部分曲面的面积之比.
【解答】：
【例3】求 ，其中 是 ，且 的周长为 .
【解答】：
【例4】求 ，其中 是点 到点 的直线段.
【解答】：
【例5】求 ，其中 ： .
【解答】：
【例6】计算 ，其中 ： .
【解答】：
2．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（1）【定义7.2】设曲线 为 平面上从点 到点 的有向光滑曲线， 为曲线 上的有界函数，则 沿曲线 的第二类曲线积分为
注意：以上计算中要注意两点：①曲线 的方程的参数形式已知（参数可以不同），即一定要把曲线 的方程化为参数方程；②积分的下限一定要小于上限即积分限必须由小到大（与起点终点大小无关）。
②利用积分曲线与积分变量的对称性计算.
【题型一】第一类曲线积分的计算
【例1】求 ，其中 为 .
【解答】：
【例2】求 ， 是椭圆 在第一象限的部分.
并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值 时,这和式的极限存在,则称此极限值为 在 上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
其中 称为被积函数， 称为积分曲面.
（2）性质
性质1第一类曲面积分与曲面的侧的方向无关，即 .
性质2 .
性质3 .
性质4 .
性质5（对称性）
①若 关于 平面对称， 关于变量 有奇偶性，则有
的边界线，从球心看 , 为逆时针方向.
【解答】：
【例13】求 ，其中 ： ， 的方向是由 轴正向看去（即人眼与 轴正向一致）是逆时针.
【解答】：
二、曲面积分
1．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
（1）【定义7.3】设曲面 是光滑的,函数 在 上有界,把 任意分成 小块 ( 同时也表示第i小块曲面的面积),在 上任取一点 作乘积
第七章曲线积分与曲面积分（仅数学一）
【大纲要求】：
1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
2.掌握两类曲线积分的计算方法.
3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分函数的原函数.