山东省九年级中考一轮复习导学案：40课时+二次函数背景综合题
数学中考复习资料《与二次函数有关的综合问题》备课
与二次函数有关的综合问题二次函数是中考的重点和热点问题,而二次函数综合问题是中考中难中之难,要求考生不但对二次函数的特点要牢固掌握,而且还要善于将二次函数和其他的有关知识(方程、不等式以及几何等知识)联系在一起。
解决这类问题的关键就是要认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理,有条不紊地进行"抽丝剥茧",最终解决问题。
下面就近五年德州中考题谈一谈二次函数综合题常见类型及应对策略。
一：常见题型： 2011年23． (本题满分12分)在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x x y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时：①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．A P y =本题考查了二次函数的综合运用，关键是用菱形、圆的性质，形数结合解题。
2012年23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．2013年：24．(本题满分12分)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线2=++经过点A、B、C．y ax bx c（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标．②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用。
中考数学二次函数与一元二次方程一轮复习课教案设计与反思
授课人 备课时间 2.26 学 科 数学执教班级课 题 二次函数与一元二次方程 教学课时第 1 课时教学课型复习课授课时间3.19教材 分析 本课时主要包括两方面的内容，一方面，给出函数值，利用解一元二次方程或观察图像，得到自变量的取值范围，或利用二次函数的顶点坐标，求出最大值或最小值。
另一方面涉及从实际问题及图形信息中建立二次函数模型，并根据二次函数的最值解决实际问题 教学目标1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；情感态度与价值观：学会利用二次函数解决实际问题，提高学习数学知识的自豪感。
应用信息技术2.0教学重点难点重点：会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
难点：会利用韦达定理解决有关二次函数的问题教学难点克服方法小组合作交流媒体运用电子白板 华为智慧云课堂预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等） 个人修改一、 构建知识网络首先我们一起来回顾一下各部分的知识结构图 函数 一元二次方程（找学生到黑板建构这部分的知识结构图，并找其他同学不断地完善。
）二、 典型例题：【例1】已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有⎩⎨⎧>=∆≠-0012m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）又∵1-=∆=m m a AB∴2112121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC∴34=m 或54=m∴132312--=x x y 或156512---=x x y【例2】已知抛物线)6(2)8(222+++-=m x m x y 。
九年级数学二次函数一轮复习导学案
二次函数一轮复习导学案学习目标：1、理解二次函数的概念；2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用五点作图法画二次函数的图象；3、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系；4、了解特殊与一般相互联系和转化的思想；5、会用待定系数法求二次函数的解析式；一、知识回顾1、当m__________时，函数22(2)m y m x -=-是二次函数。
【知识提要】：二次函数的一般式是_____________________________________________ 2、已知二次函数243y x x =++（1）写出抛物线的开口方向；（2）写出抛物线的对称轴、顶点坐标，最值； （3）求出抛物线与X 轴和Y 轴的交点坐标；（4）画出草图根据图像回答①当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？②当x 取何值时，y>0？y<0?（5）抛物线243y x x =++可由抛物线2y x =向_________平移__________个单位，再向_________平移__________个单位得到。
3、二次函数243y x x =++与x 轴有________个交点，两交点之间的距离是_________【】4、已知如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a ；(2)b ；(3)c ；(4)b 2－4ac ；(5)2a ＋b ；(6)a ＋b ＋c ；(7)a －b ＋c二、综合运用（2016 临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．三、课后练习1、下列函数：①(1)(3)y x x =-+；②y=ax ²+bx+c ；③22y x x=-+；④22(5)y x x =-- ⑤2132y x =-其中是二次函数的是_______________。
二次函数中考复习专题教案
二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。
2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。
3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。
4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。
5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。
三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。
五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。
二次函数(导学案)九年级数学上册同步备课系列(人教版)(解析版)
22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
学习重点：二次函数的概念和解析式。
学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。
比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。
如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。
九年级数学《二次函数》单元复习(导学案)
九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。
a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。
4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。
a 的作用决定开口方向a>0开口 ；a<0开口 决定开口的大小 ︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的 侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的 侧 顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过 点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有 交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。
中考数学一轮复习 二次函数(含答案)
中考数学一轮复习二次函数一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A.y =5(x-2)2+1B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a＞0B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C.a﹣b+c＞0D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20mB.10mC.20mD.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题1.在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是2.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．3.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y= ．4.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a-b+c>0．正确的是．第4题图第5题图第6题图5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．6.如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD,AB=2,CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是________m。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
中考数学第一轮复习 二次函数的应用 教案 人教新课标版
《二次函数》的应用教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P=－150(x －30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x －30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P ＝－150(25－30)2＋10=9.5(万元) 则前5年的最大利润为M 2=9.5×5=47.5万元设后5年中x 万元就是用于本地销售的投资。
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次函数的几何变换综合题(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：二次函数的几何变换综合题（附答案）1．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣5）2﹣1C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x+5）2﹣5 2．把抛物线y＝12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝12（x+1）2﹣3B．y＝12（x﹣1）2﹣3C．y＝12（x+1）2+1D．y＝12（x﹣1）2+13．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝x2+2D．y＝x24．把抛物线y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+1）2+1B．y＝﹣（x+1）2﹣1C．y＝﹣（x﹣1）2+1D．y＝﹣（x﹣1）2﹣15．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣1）D．（1，5）6．将抛物线（）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．A．y＝﹣2（x﹣5）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1D．y＝﹣2（x﹣4）2+37．抛物线y＝x2﹣2x﹣15，y＝4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．10B．7C．5D．88．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①BE＝BC；②当t＝6秒时，△ABE≌△PQB；③点P运动了18秒；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．③④D．①②④9．设抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D的左侧）．若点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），给出下列结论：①c ＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a＝﹣．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③D．②④10．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2C．D．11．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确的判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③12．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m 时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．＜m≤13．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是．14．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是．15．将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线的解析式为．16．抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是．17．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．18．小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝﹣的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），对该抛物线，小甬将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A，B的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是．19．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x+b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是．20．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A 作AH⊥x轴于点H．在抛物线y＝x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是．21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象过点A（3，m）．（1）当a＝﹣1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）如图，直线l：y＝kx+c（k＜0）交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝β，当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，a＝．22．如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．那么使得M＝1的x值为．23．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．（1）求b，c的值；（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．24．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．25．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求此时m的值；（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．26．已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣2）x+（n﹣2020）（m，n为常数）．（1）若抛物线的的对称轴为直线x＝1，且经过点（0，﹣1），求m，n的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数a，b（a＜b），当a≤x≤b时，恰好有≤y≤，请直接写出a，b的值．27．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：（1）若x☆3＝1，求x的值；（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．28．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．29．抛物线y＝ax2+bx﹣6a与x轴交于A，B两点，且A（﹣2，0），抛物线的顶点为P．（1）求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）（2）若﹣8≤a≤﹣5，求△ABP面积的最大值；（3）当a＝1时，把抛物线y＝ax2+bx﹣6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象．若直线y＝﹣x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围．30．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP 的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D 的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）．（1）抛物线的解析式是；（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标；（3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x﹣1﹣4）2+2+3，即y＝（x﹣5）2+5，故选：C．2．解：∵把抛物线y＝12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y＝12（x﹣1）2﹣3，故选：B．3．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，故选：A．4．解：∵y＝﹣x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣1．故选：B．5．解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．故选：C．6．解：∵将y＝﹣2（x﹣3）2+1，先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到y＝﹣2（x﹣5）2+2，∴平移前抛物线的解析式是：y＝﹣2（x﹣5）2+2．故选：A．7．解：如图∵抛物线y＝x2﹣2x﹣15与直线y＝4x﹣23交于A、B两点，∴x2﹣2x﹣15＝4x﹣23，解得：x＝2或x＝4，当x＝2时，y＝4x﹣23＝﹣15，当x＝4时，y＝4x﹣23＝﹣7，∴点A的坐标为（2，﹣15），点B的坐标为（4，﹣7），∵抛物线对称轴方程为：x＝﹣作点A关于抛物线的对称轴x＝1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x＝1）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF＝B′F，AE＝A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C＝4，B′C＝7+15＝22，∴A′B′＝＝10．∴点P运动的总路径的长为10．故选：A．8．解：观察图象可知，AD＝BC＝5×2＝10，BE＝1×10＝10，ED＝4×1＝4，AE＝10﹣4＝6，∴BE＝BC，故①正确，如图1中，当t＝6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，在△ABE与△PQB中，，∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，在Rt△ABE中，AB＝＝＝8，∴BE+DE+DC＝10+4+8＝22，∴点P运动了22秒，故③错误，当t＝秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．∴①②正确，故选：A．9．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≤3，（顶点在y轴上时取“＝”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确；若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x＝1，此时顶点与B重合，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小时，顶点与A重合，此时点C的横坐标为﹣2﹣4＝﹣6，故③错误；根据顶点坐标公式，＝3，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，设方程的两根为x1，x2，则CD2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝3，∴＝﹣12，∴CD2＝×（﹣12）＝﹣，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴﹣＝32＝9，解得a＝﹣，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选：D．10．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．11．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．12．解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，c＝﹣，故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．13．解：由“上加下减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2﹣1，由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（x+2）2﹣1，故答案是：y＝2（x+2）2﹣1．14．解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1，故答案为：y＝（x﹣2）2+1．15．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移2个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣2）2向上平移3个单位所得的抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2+3．故答案为：y＝（x﹣2）2+3．16．解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为（1，﹣1），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．17．解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（0，﹣4），所以平移后的抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．故答案为y＝2x2﹣4．18．解：如图，作垂线AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F．设A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，①×n+②×m得，（m+n）b＝﹣（m2n+mn2）＝﹣mn（m+n），∴b＝﹣mn．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE＝∠OBF（同角的余角相等），又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴＝，∴mn＝4，∴b＝﹣×4＝﹣2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）．故答案是：（0，﹣2）．19．解：∵抛物线y＝ax2经过C（4，3），∴抛物线的解析式为y＝x2，∵C是线段AB的中点，∴B（0，6），A（8，0），∵△AOB∽△DOE，∴＝＝，设点D的坐标为（0，a），则点E的坐标为（a，0），∵点P为DE的中点，∴点P的坐标为（，），∵点P在抛物线y＝x2上，∴＝×（a）2，解得：a＝6，∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）．设D在x轴上，E在y轴上，∵△AOB∽△DOE，∴＝＝，设点D的坐标为（a，0），则点E的坐标为（0，a），∵点P为DE的中点，∴点P的坐标为（，），∵点P在抛物线y＝x2上，∴a＝×（a）2，解得：a＝，∴点P的坐标为：（，）．故答案为：（，）．20．解：在Rt△AOH中，∠AOH＝30°；由题意，可知：当∠POQ＝30°或∠POQ＝60°时，以点Q为直角顶点的△POQ与△AOH 全等，故∠POx＝60°或∠POx＝30°；①当∠POx＝60°时，k OP＝tan60°＝，所以，直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，有：，解得，，∴P1（，3），∴A1（3，）；②当∠POx＝30°时，k OP＝tan30°＝，所以，直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，有：，解得，，∴P2（，），∴A2（，）．故答案：（3，），（，）．21．解：（1）当a＝﹣1，m＝0时，y＝﹣x2+2x+c，A点的坐标为（3，0），∴﹣9+6+c＝0．解得c＝3．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣（x﹣1）2+4．∴抛物线的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．（2）∵点Q（x，y）在抛物线上，∴y＝ax2﹣2ax+c．又∵QD⊥x轴交直线l：y＝kx+c（k＜0）于点D，∴D点的坐标为（x，kx+c）．又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，∴QD＝ax2﹣2ax+c﹣（kx+c）＝ax2﹣（2a+k）x．∵QE＝x，∴在Rt△QED中，tanβ＝＝＝ax﹣2a﹣k．∴tanβ是关于x的一次函数，∵a＜0，∴tanβ随着x的增大而减小．又∵当2≤x≤4时，β恰好满足30°≤β≤60°，且tanβ随着β的增大而增大，∴当x＝2时，β＝60°；当x＝4时，β＝30°．∴，解得，故答案为：﹣．22．解：如图，∵y1＝﹣2x2+2，∴抛物线与坐标轴的交点是：（﹣1，0），（1，0），（0，2）．∵直线y2＝2x+2，∴该直线与坐标轴的交点是：（﹣1，0），（0，2）．即A（﹣1，0），B（1，0），C（0，2）．根据图示知，①当﹣1＜x＜0时，y1＞y2，∴使得M＝1时，y2＝2x+2＝1，解得：x＝﹣；②当x＞0时，y2＞y1，使得M＝1时，即y1＝﹣2x2+2＝1，解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），∴使得M＝1的x值是﹣或．故答案是：﹣或．23．（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，∴，解得；（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴顶点为（1，3），∵正方形边长为2，∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．24．解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．25．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．26．解：（1）根据题意得，﹣＝1，n﹣2020＝﹣1，∴m＝6，n＝2019；（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：，∴两式相加可得：﹣4x02+2（n﹣2020）＝0．∴n＝2x02+2020，∴n的取值范围为：n＞2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，∴y≤1，∵0＜a＜b，当a≤x≤b时，恰好有≤y≤，∴≤1，即a≥1．∴1≤a＜b．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当a≤x≤b时，y随x的增大而减小．∴当x＝a时，y最大值＝﹣2a2+4a﹣1．当x＝b时，y最小值＝﹣2b2+4b﹣1．又≤y≤，∴．将①整理，得2b3﹣4b2+b+1＝0，变形，得2b2（b﹣1）﹣（2b+1）（b﹣1）＝0．∴（b﹣1）（2b2﹣2b﹣1）＝0．∵b＞1，∴2b2﹣2b﹣1＝0．解得b1＝（舍去），b2＝．同理，由②得到：（a﹣1）（2a2﹣2a﹣1）＝0．∵1≤a＜b，∴2a2﹣2a﹣1＝0．解得a1＝1，a2＝（舍去），a3＝（舍去）．综上所述，a＝1，b＝．27．解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝1，x2＝2；（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．所以，顶点坐标（）；（3）根据题意知，新的抛物线解析式为y＝﹣（x+）2+．28．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．29．解：（1）∵点A（﹣2，0），在抛物线y＝ax2+bx﹣6a上，∴4a﹣2b﹣6a＝0，∴b＝﹣a，∴．∴点P坐标为．（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，∴点B与点A关于直线对称，∴B（3，0），∴AB＝5，∵点P坐标为，设△ABP面积为S，则．∵﹣8≤a≤﹣5∴，S随a的增大而减小．∴a＝﹣8时，△ABP面积的最大值为125．（3）∵a＝1，b＝﹣a，∴y＝x2﹣x﹣6，∵y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）．∴新函数为，①当直线y＝﹣x+t过点B（3，0）时，直线与新函数图象有3个不同的交点．即﹣3+t＝0，解得t＝3；②当直线y＝﹣x+t与抛物线y＝﹣x2+x+6（﹣2＜x＜3）有唯一公共点时，直线与新函数的图象有3个不同的交点．即方程﹣x2+x+6＝﹣x+t有两个相等的实数根．整理，得x2﹣2x+t﹣6＝0∴△＝4﹣4（t﹣6）＝0，解得t＝7，∴t的取值范围为3≤t≤7．30．解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，将B（0，3）代入可得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）连接PO，BO＝3，AO＝3，设P（n，﹣n2+2n+3），∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，S△BPO＝n，S△APO＝﹣n2+3n+，S△ABO＝，∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，∴当x＝时，S△ABP的最大值为；（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，在Rt△CGD中，CG＝DG，∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，∴t＝3+3或t＝3（舍）∴D（3+3，﹣3），∴AG＝3，GD＝3，连接AD，在Rt△ADG中，∴AD＝＝6，∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，∴AQ2＝AC2，∴9+m2＝36，∴m＝3或m＝﹣3，综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．31．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：﹣9+6+m＝0，m＝3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，x2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或3，∴B（﹣1，0）；（3）∵S△ABD＝S△ABC，当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，﹣x2+2x＝0，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或2，∴只有（2，3）符合题意．综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO＝OC＝3，故∠P AB＝45°，∴矩形ABP′Q′为正方形，故点Q′的坐标为（3，4）；②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，﹣2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）．32．解：（1）∵点A与点B（4，0）关于直线是x＝，∴点A（，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣）（x﹣4），即y＝x2﹣x+2；故答案为y＝x2﹣x+2；（2）如图，∠ABP＝2∠ABC，直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，DH⊥BE于H，则∠ABC＝∠ABD，∴∠ABD＝∠PBD，∴DO＝DH，当x＝0时，y＝x2﹣x+2＝2，则C（0，2），∴OD＝DH＝2，设DE＝t，∵∠DEH＝∠BEO，∴△EDH∽△EBO，∴＝，即＝，则EH＝1+t，在Rt△DEH中，22+（1+t）2＝t2，解得t1＝﹣2，t2＝，∴OE＝OD+DE＝2+＝，∴E（0，﹣），设直线BE的解析式为y＝mx+n，把B（4，0），E（0，﹣）代入得，∴直线BE的解析式为y＝x﹣，解方程组得或，∴P点坐标为（，﹣）；（3）在抛物线上不存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形．理由如下：若BC为对角线，则MN不能与BC互相垂直平分，点B，C，M，N构成的四边形不是菱形；若BC为边，则CN∥BM，则CN＝，而BC＝＝2，所以点B，C，M，N 构成的四边形不可能为菱形．。
九年级数学二次函数复习导学案.doc
精品文档九年级数学二次函数复习导学案一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；22 3．会平移二次函数y＝ ax(a ≠ 0) 的图象得到二次函数y＝ a(x-h)＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、知识要点：1.二次函数的图象22+)成y=a(x+图象时通常先通过配方配在画二次函数y=ax ≠ +bx+c(a0) 的的形式 , 先确定顶点 (,),然后对称找点列表并画图, 或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由 a 的符号来确定, 当 a>0 时 , 在对称轴左侧y 随 x 的增大而;时,y 时y最最大值小值在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而;简记左减右增,这时当x==;反之当a<?0时,简记左增右减,当x==.3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式为2 +bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ;y=ax 2+k，顶点是（ h， (2) 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时, 可设解析式为y=a(x-h)k ） ;(3) 在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴, 则可设解析式为 y=a(x-x)(x-x) 来求解 . 214.二次函数与一元二次方程的关系22+bx+c=0,即时抛物线便转化为一元二次方程axy=ax +bx+c 当 y=0 抛物线2+bx+c=0有两个不相等实根 ax;当抛物线与x 轴有两个交点时, 方程 (1) 22+bx+c=0 有两个相等实根 ax; x 轴有一个交点 , 当抛物线(2)y=ax 方程 +bx+c 与22+bx+c=0 无实根 . 轴无交点 ,? 方程）当抛物线（ 3y=axax+bx+c 与 x 2+bx+c 中 a、 b、 y=ax5. 抛物线 c 符号的确定（1） a 的符号由抛物线开口方向决定, 当 a>0 时 , 抛物线开口当 a<0 时 ,? 抛物线开口;（2） c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c 0 时 , 抛物线交 y 轴于正半轴 ;当 c 0时,抛物线交y 轴于负半轴 ;（3） b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 的符号相同 ; 当对称轴在 y轴右侧时 ,b 的符号与 a 的符号相反 ;? 简记左同右异 .三、典例剖析：c2），（的图像如图，则点二次函数 1 例 1（） y=ax+bx+cMb ）在（ a 精品文档．精品文档A．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2+bx+c（a≠02）已知二次函数y=ax ）的图象如图所示，（ ? 则下列结论：① a、 b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A ． 1 个B ． 2 个C．3个D ． 4 个例 2(1) 若二次函数 y =（ m + 1） x + m – 2m – 3 的图象经过原点，则m的值必为（）2 2A ．– 1 和 3 B. – 1 C.3 D. 无法确定2a9x a 2)y x (已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．(2)2b ax 2axy x0)，B( 10a轴y轴的一个交点为）与（例 3 如图，已知抛物线，与．的负半轴交于点 C，顶点为 D x 的坐标；轴的另一个交点 A ）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与（ 1 ．AD 为直径的圆经过点C（ 2）以①求抛物线的解析式；EFA，， B， FE 四点为顶点的四在抛物线上，②点在抛物线的对称轴上，点且以 F 为平行四边形，求点的坐标．边形yBxOACD四、随堂练习：224xm (m 1)x 2y 时，函数的图象是直线；．当 1. 已知函数 m函数的图象是开口向上且经过时，当m 当 m 时，函数的图象是抛物线；原点的抛物线．2 ）a≠ 0）的图象，下列叙述正确的是（ 2.对于y = ax （越大开口越小， B.aa 越小开口越大 A.a 越大开口越大， a 越小开口越小D.| a |越大开口越大，越小开口越小| a | C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大1122x xy y 12x 向平移抛物线 3. 个单位，再向可由抛物线平22移个单位而得到．2y=(m -1)x+2mx+2m -1m=_______. 的图象的最低点的纵坐标为零，则 4. 若抛物线精品文档．精品文档2y a(x 1) b有最小值–1，则 a 与 5.已知二次函数 b 之间的大小关系是（）A ． a＜ bB ． a=b C． a＞ b D ．不能确定520 x 52x 3，-1的两根是 6.已知方程，则二次函数y223xx 5y 2与x轴的两个交点间的距离为．E F DC3xC（ 1，，平行于） 2， 0）、 B（ 6， 0）、7.抛物线过点 A（x AB O为直径的圆交，以ABCD轴的直线交抛物线于点C、D）F，则CE+FD的值是（直线 CD 于点 E 、5D． 6C ．A2 B ． 4．12x y 1 在抛物线PP8.如图，已知⊙的半径为2，圆心 2 运动，当⊙ P 与坐标轴相切时，圆心P 的坐标为21x ax 3y ax a的值及交点坐标．的图象与x9.函数轴有且只有一个交点，求2, 象 y 的图 2x BA 或点是以点、向右平移 2 个单位，得到抛物线＝10.（1）将抛物线y21则= 2 轴， y＝ t 平行于）如图，P 是抛物线y 对称轴上的一个动点，直线B．若△ ABP 分别与直线y＝ x 、抛物线y 交于点 A 2。
2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编和解析
2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编与解析一．解答题（共14小题）1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．2．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•枣庄）已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．4．（2019•滨州）如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠PAD 的值．5．（2019•德州）如图，抛物线y＝mx2﹣52mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．6．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•莱芜区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12 PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．9．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6x （x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）10．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG 的内心为I，试求CI的最小值．12．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．13．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝5P的坐标．2019年中考山东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编参考解析一．解答题（共14小题）1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【解】：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或2316（舍去0），则点P（154，2316）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝12OB•OC＝＝16，BC＝＝45，∴S△PDF＝•S△BOC＝15PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝15PD2＝165．2．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝14OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝14，故抛物线的表达式为：y＝14x2+12x﹣2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣12x﹣2，则tan∠ABC＝12，则sin∠ABC5，设点D（x，0），则点P（x，14x2+12x﹣2），点E（x，﹣12x﹣2），∵PE＝14OD，OD＝﹣x，∴PE＝（14x2+12x﹣2+12x+2）＝14x2+x，解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即点D（﹣5，0）S△PBE＝12×PE×BD＝12（14x2+12x﹣2﹣12x+2）（﹣4﹣x）＝58；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，BD＝1＝BM，则MH＝y M＝BM sin∠ABC＝1×15＝55，则x M＝﹣，故点M（﹣，55）；②当BD＝DM（M′）时，同理可得：点M′（﹣285，45）；故点M坐标为（﹣，5）或（﹣285，45）．3．（2019•枣庄）已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．【解】：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，∴﹣＝3，解得a ＝﹣14， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+32x +4．当y ＝0时，﹣14x 2+32x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8，∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+32x +4；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）． （2）当x ＝0时，y ＝﹣14x 2+32x +4＝4，∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b 得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣12x +4． 假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大， 设点P 的坐标为（x ，﹣14x 2+32x +4），如图所示，过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，﹣12x +4）， 则PD ＝﹣14x 2+32x +4﹣（﹣12x +4）＝﹣14x 2+2x ， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC＝12×8×4+12PD •OB ＝16+12×8（﹣14x 2+2x ）＝﹣x 2+8x +16＝﹣（x ﹣4）2+32∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32 ∵0＜x ＜8，∴存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（4，6），四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为（m ，﹣+32m +4）则点N 的坐标为（m ，﹣），∴MN ＝|﹣+32m +4﹣（﹣）|＝|﹣214m +2m |，又∵MN ＝3，∴|﹣214m +2m |＝3， 当0＜m ＜8时，﹣214m +2m ﹣3＝0，解得m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m ＜0或m ＞8时，﹣214m +2m +3＝0，解得m 3＝4﹣27，m 4＝4+27， ∴点M 的坐标为（4﹣27，7﹣1）或（4+27，﹣7﹣1）．答：点M 的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣27，7﹣1）或 （4+27，﹣7﹣1）．4．（2019•滨州）如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠PAD 的值．【解】：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝﹣18x 2+12x +4，解得，x 1＝﹣4，x 2＝8，则点B 的坐标为（﹣4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ， ∴∠BAD ＝90°， ∴OAD ＝45°， ∴∠ODA ＝45°， ∴OA ＝OD ，∴点D 的坐标为（4，0），设直线AD 的函数解析式为y ＝kx +b ，，得14kb=-⎧⎨=⎩，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣18t2+12t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣18t2+12t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣18t2+32t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝22PN＝22（﹣18t2+32t）＝t＝﹣216（t﹣6）2+924，∴当t＝6时，PH取得最大值24，此时点P的坐标为（6，52），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，52），最大距离是24；②当点P到直线AD 52时，如右图②所示，则t＝524，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，92），P2的坐标为（10，﹣72），当P1的坐标为（2，92），则P1A＝＝17，∴sin∠P1AD＝534；当P2的坐标为（10，﹣72），则P2A227(100)(4)2-+--＝252，∴sin∠P2AD＝524252＝210；由上可得，sin∠P AD 534或210．5．（2019•德州）如图，抛物线y＝mx2﹣52mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝11 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．【解】：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝54＝，而且x2﹣x1＝112，将上述两式联立并解得：x1＝﹣32，x2＝4，则函数的表达式为：y＝m（x+32）（x﹣4）＝m（x2﹣4x+32x﹣6），即：﹣6m＝﹣4，解得：m＝23，故抛物线的表达式为：y＝23x2﹣53x﹣4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝54，则x＝92和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，又a≤x1≤a+2，x2≥92时，均有y1≤y2，结合函数图象可得：2922aa≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得：﹣2≤a≤52；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），则OB＝OC＝4，CG＝GD＝1，BC＝42，CD＝2，故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝4，∠BDC＝∠MCE，则tan∠MCE＝4，将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BD的表达式为：y＝53x﹣203，故点E（0，﹣203），设点M（n，53n﹣203），过点M作MF⊥CE于点F，则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝83﹣53n，tan∠MCE＝＝＝4，解得：n＝32 23，故点M（3223，﹣10023）．6．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣125中，得0＝﹣4k﹣125，解得k＝35-，∴直线l解析式为y＝35-x﹣125，∵D（m，﹣m2﹣4m），∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，∴E（﹣m，m2+4m）如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，则H（m，35-m﹣125），K（﹣m，35m﹣125），∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（35-m﹣125）＝﹣m2175-m+125，EK＝m2+4m﹣（35m﹣125）＝m2+175m+125，∵DE＝2EM∴＝13，∵DH∥y轴，EK∥y轴∴DH∥EK∴△MEK∽△MDH∴＝＝13，即DH＝3EK∴﹣m2175-m+125＝3（m2+175m+125）解得：m1＝﹣3，m2＝25 -，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝2如图3，连接BG ，在△ABG 中，∵AB 2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG 2＝2，AG 2＝20∴AB 2+BG 2＝AG 2∴△ABG 是Rt △，∠ABG ＝90°，∴tan ∠GAB ＝＝＝13， ∵∠DEP ＝∠GAB∴tan ∠DEP ＝tan ∠GAB ＝13， 在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH ＝13OE ＝2， 过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；∵E （3，﹣3），∴∠EOT ＝45°∵∠EOH ＝90°∴∠HOT ＝45°∴H （﹣1，﹣1），设直线EH 解析式为y ＝px +q ，则，解得∴直线EH 解析式为y ＝﹣12x 32-， 解方程组213224y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，得11773735x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，11773735x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴点P的横坐标为：或．7．（2019•莱芜区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△P AC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得：，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△P AC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△P AC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝10，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠P AB＝2，∴∠ACB＝∠P AB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（65，185），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（65，185），8．（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12P A的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【解】：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝12AB•OC＝12×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝12AB•MH＝12×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD＝12 AP∴PC+12P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+12P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+12P A419．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6x （x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t 为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）【解】：（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y＝6x上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小即为M 'D '+MD 的长；∴M '（﹣1，4），D '（2，﹣3），∴M 'D '直线的解析式为y ＝﹣73x +53 ∴N （57，0），F （0，53）； （3）设P （0，t ），N （r ，t ），作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时此时圆心N 到BD 的距离最小，圆心角∠DNB 最大，则，∠BPD 的度数最大；∴PN ＝ND ，∴r 22(2)(3)r t -+-∴t 2﹣6t ﹣4r +13＝0，易求BD 的中点为（52，32）， 直线BD 的解析式为y ＝﹣3x +9，∴BD的中垂线解析式y＝13x+23，N在中垂线上，∴t＝13r+23，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+215或t＝9﹣215，∵圆N与y轴相切，∴圆心N在D点下方，∴0＜t＜3，∴t＝9﹣215．10．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝12x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣92）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣92），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝25．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣32．∴，解得：34158xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴G（）．11．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG 的内心为I，试求CI的最小值．【解】：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣3 2∴P（0，﹣32）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝72∴P（0，72）综上所述，点P坐标为（0，﹣32）或（0，1）或（0，3）或（0，72）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣32）2+（n+32）2＝92∴点I（m，n）与定点Q（32，﹣32）的距离为∴点I在以点Q（32，﹣32）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．12．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【解】：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴9302422a b cca b c++=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得：∴二次函数表达式为y＝23x2﹣43x﹣2（2）如图1，记直线BP交x轴于点N，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，23t2﹣43t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝23t2﹣43t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝23t2﹣43t﹣2∴k＝23t﹣43∴直线BP：y＝（23t﹣43）x﹣2当y＝0时，（23t﹣43）x﹣2＝0，解得：x＝∴N（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点N一定在点A左侧∴AN＝3﹣∵S△PBA＝S△ABN+S△ANP＝12AN•OB+12AN•PD＝12AN（OB+PD）＝4∴12＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴23t2﹣43t﹣2＝∴点P的坐标为（4，103）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝12OA•OB＝12AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝2413，OF＝OE＝3613∴E（2413，﹣3613）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：2413e﹣2＝﹣3613，解得：e＝﹣512∴直线BE：y＝﹣512x﹣2当﹣512x﹣2＝23x2﹣43x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝118∴点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118．13．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣12≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB＝12×AB×PH＝1222PQ×2＝1，则PQ＝y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，2）或（﹣1﹣2，﹣2）．14．（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．【解】：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝12＝tanα，则sinα＝5，cosα＝5，AC＝20，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝34，故抛物线的表达式为：y＝34x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝12EF＝25，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，34x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝34x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝143或2，则点P（143，193）或（2，1）．。
2021年九年级数学中考一轮复习练习题函数——二次函数【含答案】
的图象，下列说法不正确的是（ 2021 年九年级数学中考一轮复习练习题函数——二次函数时间 100 分钟满分：120 分一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ） 1. 下列函数中是二次函数的是（）A.y = x + 2B.y = 2x 21y = C. xD.y = 2x2. 下列关于抛物线y = (x−1)2+ 3的说法不正确的是（ ）A.抛物线开口向上B.抛物线的顶点是(1, 3)C.抛物线与y 轴的交点是(0, 3)D.当x > 1时，y 随x 的增大而增大3. 若y = kx 2−(2k−3)x + k−1是y 关于x 的二次函数，且函数值恒大于0，则k 的取值范围是（ ）A.k > 08k > B. 99k > C. 890 < k < D.8 4. 当函数y = (a−1)x 2+ bx + c 是二次函数时，a 的取值为（ ）A.a = 1B.a = −1C.a ≠ −1D.a ≠ 15. 对于二次函数y = 2(x−m )2）A.开口向上B.对称轴是直线x = mC.二次函数的最小值为0D.与x 轴无交点6. 已知二次函数y = −x 2−2x + 3，下列叙述中正确的是（）A.图象的开口向上B.图象的对称轴为直线x = 1C.函数有最小值D.当x > −1时，函数值y 随自变量x 的增大而减小7. 将函数y = x 2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（）A.y = (x + 1)2B.y = x 2 + 4x + 3C.y = x 2 + 4x + 4D.y = x 2−4x + 48. 将二次函数y = x 2+ 4x + 3化成顶点式，变形正确的是（）A.y = (x−2)2−1B.y = (x + 1)(x + 3)C.y = (x−2)2+ 1 D.y = (x + 2)2−19. 为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司这一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数表达式 y = −n 2+ 14n−24.若在当月无利润时公司会停产，则该公司停产的月份为（）A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月10. 李力练习定点抛球游戏，假设球在第t 秒时的高度为h 米，且高度与时间满足关系： h = at 2+ bt + c (a ≠ 0)．若某次抛球在第1.5秒与第2.5秒时的高度相等，则在下列时间中球所在高度最高的时间是（ ）A.第1.5秒B.第2秒C.第2.5秒D.第3秒二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计 12 分 ） 11. 二次函数y = (x + 1)2−1的图象的顶点坐标为 . 212. 若y = (m−1)x m + 1 + 3x + 1是二次函数，则m =.13. 抛物线y = −x 2 + 2x + 1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ．14. 若点P (a,b )在抛物线y = −2x 2+ 2x + 1上，则a−b 的最小值为.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计 78 分 ）15. （9 分）已知二次函数y = (m−2)x 2−3x + m 2+ 1的图象过点(0,5)求二次函数关系式．( )3 2y = − x + bx + c B(−4,−9)16.（9 分）已知二次函数16的图象经过A(0,3)， 2 两点，求b，c的值．17.(10 分) 已知点(0,3)在二次函数y = ax2 + bx + c的图象上，且当x = 1时，函数y有最小值2.(1)求这个二次函数的表达式；(2)如果两个不同的点C(m,6),D(n,6)也在这个函数的图象上，求m + n的值．18.(10 分) 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函1 2y = −x−4+ 3数关系是12．如图，A，B是该函数图象上的两点．(1)画出该函数的大致图象；(2)请判断铅球推出的距离能否达到11m，并说明理由．19.(10 分) 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌的粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润W（元）最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？20.(10 分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y = −x + 5与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y = −x2 + bx + c过A，B两点．(1)点A，B的坐标分别是A ，B ；(2)求抛物线的解析式；(3)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．21.(10 分) 如图，已知抛物线y = ax 2−2x + c经过△ ABC的三个顶点，其中点A(0, 1)，点B(9, 10)，AC // x轴．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求tan∠ABC 的值；(3)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△ CDE与△ ABC相似时，求点E的坐标．22.(10 分) 某公司根据往年市场行情得知，从5月1日起的300天内，某商品每件的市场售价y（单位：元）与上市时间t（单位：天）的关系可用图(1)的折线表示，商品每件的成本Q（单位：元）与上市时间t的关系可用图(2)的一部分抛物线表示．(1)上市50天时，销售该商品每件可获得的利润是元；(2)求出y与t之间的函数关系式：(3)求出从销售第一天至第300天每件商品的利润W（元）与时间t（天）之间的函数关系式，若该公司在某一天内共售出此种商品2000件，请你计算一下最多可获利多少元．参考答案一、选择题1.B【解答】解：A，y = x + 2是一次函数，故A选项错误；B，y = 2x2是二次函数，故B选项正确；1C，y = x是反比例函数，故C选项错误；D，y = 2x是正比例函数，故D选项错误．故选B．2.C【解答】解：∵ 二次函数y = (x−1)2+ 3 = x2−2x + 4.∴ 抛物线开口向上，故A正确；抛物线顶点坐标为(1,3)，故B正确；抛物线与y轴的交点是(0,4)，故C错误；抛物线对称轴是直线x = 1，则当x > 1时，y随x的增大而增大，故D正确.故选C.3.C【解答】解：∵ y = kx2−(2k−3)x + k−1是关于x的二次函数，∴ k > 0，∵ 二次函数的函数值恒大于0，∴ Δ = b2−4ac < 0，{ k > 0,联立[−(2k−3)]2−4k(k−1) < 0,9k >解得8，故选C.4.D【解答】解：由题意得：a−1 ≠ 0，解得：a ≠ 1.故选D.5.D【解答】，解：∵ 二次函数y = 2(x−m)2∴ a = 2 > 0，抛物线的对称轴是直线x = m，顶点坐标为(m,0)，故B正确；∴ 抛物线的开口向上，有最小值，最小值为0，故A，C正确；∵ 该抛物线的顶点坐标为(m,0)，∴ 抛物线与x轴有一个交点，交点的坐标为(m,0)，故D错误.故选D.6.D【解答】解：A，∵ y = −x2−2x + 3，∴ a = −1 < 0，∴ 二次函数开口向下，故A错误；B，∵ y = −x2−2x + 3 = −(x + 1)2 + 4，∴ 二次函数图象的对称轴为直线x = −1，故B错误；C，∵ y = −x2−2x + 3，∴ a = −1 < 0，∴ 二次函数有最大值，故C错误；D，∵ y = −x2−2x + 3 = −(x + 1)2 + 4，∴ a = −1 < 0，∴ 二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线x = −1，∴ 当x > −1时，函数值y随自变量x的增大而减小；当x < −1时，函数值y随自变量x的增大而增大，故D正确.故选D.7.C【解答】解：将函数y = x 2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是： y = (x + 2)2 = x 2+ 4x + 4. 故选C ．8.D 【解答】解：利用配方法把一般式化为顶点式，y = x 2 + 4x + 3= x 2 + 4x + 4−1= (x + 2)2−1. 故选D ．9.D 【解答】解：由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y = −n 2+ 14n−24，∴ y = −(n−2)(n−12)，当n = 1时，y < 0， 当n = 2时，y = 0， 当n = 12时，y = 0，故停产的月份是1月、2月、12月． 故选D ．10.B 【解答】解： ∵ 球在第1.5秒与第2.5秒时的高度相等， 1.5 + 2.5∴x = 2= 2 抛物线的对称轴为，∴ 第2s 时，球所在的高度最高． 故选B ．二、填空题11.(−1,−1)【解答】解：在y = a(x−h)2 + k中，顶点坐标为(h, k)．∵ 二次函数y = (x + 1)2−1为顶点式，∴ 顶点坐标为(−1, −1).故答案为：(−1, −1).12.−1【解答】解：根据题意得，m 2 + 1 = 2，解得，m 2 = 1，m =± 1，当m = 1时，m−1 = 0，不合题意，舍去，∴ m = −1，故答案为：−1.13.x ≤ 1【解答】解：∵ a = −1 < 0，∴ 二次函数图象开口向下.又∵ 对称轴是直线x = 1，∴ 当x ≤ 1时，y随x的增大而增大．故答案为：x ≤ 1．9−14. 8【解答】则a−b 8 − 3 9 × 16−4b + c = − ， { 解：∵ 点P(a,b)在抛物线y = −2x 2 + 2x + 1上，∴ b = −2a 2 + 2a + 1，∴ a−b = a−(−2a 2 + 2a + 1)= 2a 2−a−1= 2(a−1)2−94 8， 9 − 的最小值为 .9− 故答案为： 8.三、 解答题15.解：由题意得：m 2 + 1 = 5且m−2 ≠ 0，解得m = −2，所以二次函数的解析式为y = −4x 2−3x + 5.16.9 3 2 解：把A(0,3) B(−4,−2) y = −16x + bx + c ， 分别代入 ， { c = 3， 得16 2 b = 9 8 解 得 c = 3.17.解：(1)∵ 二次函数y = ax 2 + bx + c ，当x = 1时，函数y 有最小值2，∴ 点 (1,2)为抛物线的顶点.设二次函数的表达式为y = a (x−1)2+ 2，把(0,3)代入得a + 2 = 3， 解得a = 1，∴ 二次函数的表达式为y = (x−1)2 + 2， ，即y = x 2−2x + 3.(2)∵ 点C (m,6)， D (n,6)都在抛物线上，∴ 点C ，D 关于直线x = 1对称，m + n= 1 ∴2 ，∴ m + n = 2．18.解：(1)该函数的大致图象如图所示．(2)铅球推出的距离不能达到11m ．1 2 理由如下：当x = 10 y = −12 × (10−4) + 3 = 0 时， ， ∴ 该男生此次推球最远距离为10m ，而10 < 11 ，∴ 铅球推出的距离不能达到11m ．19.解：(1)由题意得，y = 700−20(x−45)= −20x + 1600(45 ≤ x ≤ 80).(2)W = (x−40)(−20x + 1600)= −20x 2 + 2400x−64000= −20(x−60)2 + 8000，∵ 45 ≤ x ≤ 80，a = −20 < 0，∴ 当x = 60时，W 最大值 = 8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润W （元）最大，最大利润是8000元.(3)由题意，得−20(x−60)2 + 8000 = 6000，解得x 1 = 50，x 2 = 70．∵ 抛物线W = −20(x−60)2 + 8000的开口向下，∴ 当50 ≤ x ≤ 70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润． 又∵ x ≤ 58，∴ 50 ≤ x ≤ 58．∵ 在y = −20x + 1600中，k = −20 < 0，∴ y 随x 的增大而减小，∴ 当x = 58时，y 最小值 = −20 × 58 + 1600 = 440，即超市每天至少销售粽子440盒．20.解：(1)y = −x + 5，令y = 0，得x = 5，令x = 0，得y = 5，即点A ，B 的坐标分别为(0,5)，(5,0).故答案为：(0,5)；(5,0).{−25 + 5b + c = 0,(2)将点A ，B 的坐标代入二次函数表达式得：{b = 4,c = 5, 解得： c = 5,即抛物线的表达式为：y = −x 2+ 4x + 5.(3)设点P 的坐标为(x,−x 2 + 4x + 5)，4 − = 2 因为抛物线的对称轴为 −1 × 2 ，所以点C 的坐标为\left(4, 5\right)，点D 坐标为(x,−x + 5).所以AC = 4.因为AC ⊥ PD ，1S 四边形APCD = 2× AC × PD = 2(−x 2 + 4x + 5 + x−5)= −2x 2 5 2 25 + 10x = −2(x− ) +2 2 .2 2 中， D D(3,− 2) 因为a = −2 < 0，所以四边形APCD 有最大值，5 25 x = 当 2时，其最大值为2 ．(5,35)此时点P 的坐标 2 4 .21.解：(1)抛物线y = ax 2−2x + c 经过点A(0, 1)和点B(9, 10)， { c = 1， 1a = ， 3∴ 81a−18 + c = 10，解得 c = 1，1 2 y = x −2x + 1 ∴ 这条抛物线的解析式为 3 .(2) 过点B 作BH ⊥ AC 交AC 延长线于点H ，∵ AC//x 轴，A(0, 1)，B(9, 10)，∴ H(9, 1). ∴ BH = AH = 9．又∵ BHA = 90 ∘ ，∴△ HAB 是等腰直角三角形.∴ HAB = 45 ∘ .∵ AC//x 轴，A(0, 1)，对称轴为直线x = 3，∴ c(6, 1)．过点C 作CG ⊥ AB ，垂足为点G ，∵ GAC = 45 ∘ ，∠AGC = 90 ∘ ，∴ CG = AC ⋅ sin45 ∘ = 3 2. ∴ AG = 3 2.BH 又∵ 在Rt △ ABH AB = sin45 ∘ = 9 ，∴ BG = 9 2−3 = 6 2.tan ∠ABC = CG = 1 ∴ 在Rt △ BCG 中， BG 2.(3) 如图2所示：过点D 作DK ⊥ AC ，垂足为K ，1 2 y = x −2x + 1 ∵ 点 是抛物线 3 的顶点，∴ ．{∴ K(3, 1).∴ CK = DK = 3.又∵ ∠CKD = 90 ∘ ，∴ △ CDK 是等腰直角三角形，∠DCK = 45 ∘ .又∵ 2∠BAC = 45 ∘ ，∴ ∠DCK = ∠BAC .∴ 要使△ CDE 与 △ ABC 相似，则点E 在点C 的左侧．AC EC 6 EC= = 当ABCD 时，则9 2 3 2，∴ EC = 2. ∴ E(4，1).AC DC 6 = = 当AB EC 时，则9 2 EC ，∴ EC = 9. ∴ E (−3,1).综上所述，当△ CDE 与 △ ABC 相似时，点E 的坐标为(4, 1)或(−3, 1)． 22.解：(1)设0 ≤ t ≤ 200 时，y = kt + b ，{b = 300，得 200k + b = 100， {k = −1，解得 b = 300，∴ y = −t + 300，∴ 当t = 50时，y = −50 + 300 = 250，由图2得，t = 50时，Q = 150，∴ 利润= 250−150 = 100(元).故答案为：100.(2)由(1)知y = −t + 300(0 ≤ t ≤ 200)；当200 ≤ t ≤ 300时，有题可设y = mt + n ，将(200,100),(300,300)分别代入，得 200m + n = 100， 300m + n = 300，解得： 故y = 2t−300，n = 2，m = −300，y = { −t + 300(0 ≤ t ≤ 200)， 综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： 2t−300(200 ≤ t ≤ 300)，3 2 { {代入得 { 2 ， 2 ， 1(3)设商品的成本Q 与时间t 的关系为Q = a (t−150)2 + 100把点(50,150) a = 200，Q = 1 (t−150)2 + 100∴ 200 ，{ − t 2 ∴200 + t−512.5(200 < t ≤ 300)， 21− (t−50) + 100(0 ≤ t ≤ 200) 200 1 − (t−350) + 87.5(200 < t ≤ 300) 即200 ∴ 当0 ≤ t ≤ 200时，t = 50时，W 的最大值为100； 当200 < t ≤ 300时，W 的最大值为87.5 ∵ 100 > 87.5,100 × 2000 = 200000（元），故该公司最多可获利20万元． 7 1 W = y−Q = 1 − 200t 2 + 12 t + 87.5(0 ≤ t ≤ 200) ， W =。
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数(含解析)
2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。
新人教版九年级数学上册 二次函数总复习导学案
新人教版九年级数学上册 二次函数总复习导学案知识点一、二次函数的概念和图像 1、 二次函数的概念：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 3、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
4、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.5、抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . （3）顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--6、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）7、几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时 开口向上当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-= (ab ac a b 4422--，)案例分析：考点一、二次函数的定义例1函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是（ ） A ：m n 、为常数，且m ≠0。
中考一轮复习第13讲：二次函数的图像和性质(二)导学案
中考数学一轮复习第13讲：二次函数的图像和性质（二）学习目标1. 掌握二次函数解析式的三种确定方法.2.掌握二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系.3.掌握二次函数的图形三种变换.考点1：确定二次函数的解析式知识梳理适用条件及求法难点突破1.已知变量y是x的二次函数，，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图象顶点坐标为P（3，－2）.求这个函数的解析式.2. （2018•四川凉州）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；方法总结考点2：二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系知识梳理难点突破1．（2018·湖北省孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．2.（2018•湖北黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为( )A.-1B.2C.0或2D.-1或2方法总结考点3：二次函数图象常见的变换知识梳理顶点坐标的变化，按照“横坐标加减____________”、“纵坐标加减_______________”的方法进行．难点突破1、抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（）A．向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C．向左平移5个单位 D.向右平移5个单位2.抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）．A．y=3x2+2x﹣5 B．y=3x2+2x﹣4C．y=3x2+2x+3 D．y=3x2+2x+43．（2018•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）方法总结随堂检测1．（2018•哈尔滨）将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．y=﹣5（x+1）2﹣1 B ．y=﹣5（x ﹣1）2﹣1； C ．y=﹣5（x+1）2+3 D ．y=﹣5（x ﹣1）2+32．（2018•广安）抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度3．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．2C ．0或2D ．﹣1或24．（2018•遂宁）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A ． 2040abc b ac >⎧⎨-<⎩B ．020abc a b <⎧⎨+>⎩C ． 00abc a b c >⎧⎨++<⎩D ．2040abc b ac <⎧⎨->⎩5．（2018•天津）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y 轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax 2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36. （2018•山东枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；课堂小结：1. 掌握二次函数的顶点式，交点式，一般式三种解析式的求法.2.能利用图像解决二次函数与方程与不等式的解的问题.3.掌握二次函数的图形对称、平移、旋转等变换规律.通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案：考点1 知识梳理若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式y=ax 2+bx+c.难点突破：1. 解：因为函数图象顶点坐标为P （3，－2），在x 轴上截得的线段AB 长为4个单位， 所以抛物线与x 轴的两个交点为A （1，0），B （5，0）设所求二次函数解析式为y=a （x －1）（x －5），图象经过（3，－2），代入，求得a=21y=21x 2－3x+25 2. 【分析】（1）利用待定系数法，将点A ，B 的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A （1，0），B （0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C 点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x 2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：y=x 2﹣3x+1；【解答】解：（1）已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A （1，0），B （0，2），∴01200b c c =++⎧⎨=++⎩，解得32b c =-⎧⎨=⎩，∴所求抛物线的解析式为y=x 2﹣3x+2； （2）∵A（1，0），B （0，2）， ∴OA=1，OB=2，可得旋转后C 点的坐标为（3，1）， 当x=3时，由y=x 2﹣3x+2得y=2， 可知抛物线y=x 2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1.方法总结(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)如果知道二次函数与x轴的两个交点，一般采用交点式；(3)所求的二次函数解析式最后要化成一般式或者顶点式皆可. 考点2知识梳理难点突破1. 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y axy bx c⎧=⎨=+⎩的解为112 4x y =-⎧⎨=⎩，2211xy=⎧⎨=⎩，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组2y axy bx c⎧=⎨=+⎩的解为1124xy=-⎧⎨=⎩，2211xy=⎧⎨=⎩，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1故答案为x1=﹣2，x2=1．2. 【分析】由题意知函数y=x2-2x+1≥1，可得出x的取值范围，再由a≤x≤a+1可得出a的值。
九年级中考一轮复习导学案：40课时二次函数背景综合题
中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1因动点产生的相似三角形问题2 因动点产生的等腰三角形问题3 因动点产生的直角三角形问题4 因动点产生的平行四边形问题5 因动点产生的梯形问题6 因动点产生与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题第二部分图形的平移、翻折与旋转7 图形的平移8 图形的翻折9 图形的旋转中考数学压轴题五大类型一、函数图像中的存在性问题（1）动点与相似三角形问题例题1：（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x 轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．练习：（2013•莱芜压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）动点与等腰三角形问题例题2：6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．。
山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第2章 二次函数(1)复习导学案 (新版)北师大版
第二章二次函数（1）一、知识梳理1．二次函数的概念一般地，形如 (a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y ＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．二、题型、技巧归纳类型一二次函数的定义应用例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.解：方法技巧解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．类型二二次函数图象的平移例2 如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.[解析]方法技巧在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．类型三二次函数与一次函数的综合应用例3 已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．解：类型四二次函数的图象和性质的应用例4 已知抛物线y＝a x2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定[解析]方法技巧解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．类型五求二次函数的表达式例5 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．解：方法技巧求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．典例精析：例6 如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．[解析]把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．解：三、随堂检测1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1<x 1<2,3<x 2<4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( )A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 23．已知二次函数y ＝－x 2＋x －15，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m －1，m ＋1时对应的函数值为y 1、y 2，则y 1，y 2满足( )A ．y 1>0，y 2>0B ．y 1<0，y 2<0C ．y 1<0，y 2>0D ．y 1>0，y 2<04．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y ＝x 2－2x －3，则b 、c 的值为( )A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－3，c ＝25．坐标平面上，若移动二次函数y ＝2(x －175)·(x －176)＋6的图形，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为( )A ．向上移动3单位B ．向下移动3单位C ．向上移动6单位D ．向下移动6单位6．将抛物线y ＝x 2－2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是________________________________．7.如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A ．a ＋b ＝－1B ．a －b ＝－1C ．b<2aD ．ac<08.如图所示，若正方形的棱长不变，CM ＝12DM ，NH ＝34EH ，MN 与CH 的延长线交于P 点，则tan ∠NPH 的值为________．9.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B(－3,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标．【答案】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D6. y ＝(x －5)2＋2或y ＝x 2－10x ＋27 7.B 8.5129. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝36a ＋6b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝1，c ＝6，∴该抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋x ＋6.(2)如图，设点P(x,0)， ∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△CBA. ∴S △CPE S △CBA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CP BC 2. 又∵S △ABC ＝12BC ×OA ＝27，∴S △CPE 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 92. ∴S △CPE ＝6－x23＝13x 2－4x ＋12. S △ABP ＝12BP ×OA ＝3x ＋9.设△APE 的面积为S ，则S ＝S △ABC －S △ABP －S △CPE ＝－13x 2＋x ＋6＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.当x ＝32时，S 最大值为274.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.。
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中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1 因动点产生的相似三角形问题2 因动点产生的等腰三角形问题3 因动点产生的直角三角形问题4 因动点产生的平行四边形问题5 因动点产生的梯形问题6 因动点产生与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题第二部分图形的平移、翻折与旋转7 图形的平移8 图形的翻折9 图形的旋转中考数学压轴题五大类型一、函数图像中的存在性问题（1）动点与相似三角形问题例题1：（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．练习：（2013•莱芜压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）动点与等腰三角形问题例题2：6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．20.（2014•邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m ＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A （3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．（3）动点与直角三角形问题例题3：14.（2014•毕节地区，第27题16分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．练习:（2014•四川自贡，第24题14分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B 两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．（2014•德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．（4）动点与平行四边形问题例题4：（2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y 轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．练习：（2014•浙江湖州，第23题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x 轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形P ACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5）动点与平行问题例题5：13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以BC∥AP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）动点与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题例题6：（2014年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．练习：1、如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．2、（2013甘肃兰州12分、28压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C 2：y=mx 2﹣2mx ﹣3m （m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．二、图形的变化与代数综合问题（7）图形的平移（2014济南28）如图1，抛物线2163x y -=平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．第28题图1S；（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影∠为直角，边MN （2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMNOM=，试探求：与AP相交于点N，设t∆为等腰三角形；①为何值时MAN②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．练习（2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？（8）图形的翻折例题8：（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．练习：（2013•盐都区一模）已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF 沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（9）图形的旋转例题9：如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．（1）求此二次函数的解析式．（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值练习：（2013•南京二模）阅读材料，回答问题：如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y2的图象上，同时二次函数y2的图象的顶点在二次函数y1的图象上，那么我们称y1的图象与y2的图象相伴随．例如：y=（x+1）2+2图象的顶点（-1，2）在y=-（x+3）2+6的图象上，同时y=-（x+3）2+6图象的顶点（-3，6）也在y=（x+1）2+2的图象上，这时我们称这两个二次函数的图象相伴随．。