二阶非线性泛函差分方程的混合边值问题

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二阶差分方程Neumann边值问题解得多重性

进一步定的正整数，Ｚ［１，Ｎ］表示离散区间
∑ｒ △
一＝一∑ （ △ （ｒＡｕ ¨））ｕ
｛１，２， …， Ⅳ｝， △是向前差分算子，即Ａｕ（ｋ）＝／Ｚ（ｋ＋１）一“ （ｋ）， △ “ （ｋ）＝△（Ａｕ（ｋ）） ∈Ｃ（Ｚ［１，Ｎ］×
每一个Ａ ∈ Ａ，：＝
ｆ＼ｔ（Ｊ）， ’ — — — １，泛函ＡＬ为强制的．ｓｕｐ㈦ ≤ｒ “ ／ ¨ 一 …
（１）
Ｉｌ “Ｉｌ≥√ ｑｌＩｕｌ．ｌ定义泛函数：一Ｒ为
满足ｒ＜（）和㈤＜；
尺，尺），Ａ是正参数，｛ｒｆ｝ Ⅳ ＿。和｝是有限序列且Ｃ。（Ｅ，Ｒ）是强制和弱下半连续的，在Ｅ上连续
为了给出（）的变分结构，定义Ⅳ维Ｂａｎａｃｈ空间
满足＞０和ｇ＞０．
１预备知识
因此，（Ｐ）的解等于在上的临界点．
引理１设Ｅ为一实自反的Ｂａｎａｃｈ空间， ∈ 可逆；： — Ｒ为一连续的Ｇ可微泛函，是紧的，并且（Ｏ）＝（Ｏ）＝０．假设存在ｒ＞０和 ∈Ｘ，
定理１若正常数ｃ，ｄ、Ｍ、Ｍ２、ｓ满足ｃ＜ｄ和ｓ＜２，并且还满足
（Ｈ。）ｃ＜Ｅ（ｄ）；
结合（）得
（）≥ １ＭＮ（ＭＩｕｌ＋Ｍ）
≥ １ＩｌＩ一∑ （ＩＭｌ Ⅳ ｑＩＩｕ＋Ｍ２）

非线性泛函分析与优化理论

非线性泛函分析与优化理论引言：非线性泛函分析与优化理论是数学中的一个重要分支，它在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。

通过研究非线性函数的性质和优化方法，我们可以解决许多实际问题。

本文将介绍非线性泛函分析与优化理论的基本概念、方法和应用。

一、非线性泛函分析基础概念1.1 泛函在函数空间中，函数本身也可以被视为一个变量。

泛函就是从函数空间中的每个函数到实数域的一个映射。

泛函既可以是线性的，也可以是非线性的。

1.2 非线性泛函非线性泛函是指泛函中包含非线性的部分。

与线性泛函不同，非线性泛函的性质更为复杂，难以直接求解。

非线性泛函的研究需要借助于泛函分析的方法和工具。

1.3 函数空间函数空间是指由一组满足特定条件的函数构成的空间。

函数空间的选择取决于问题的需求和性质。

常见的函数空间包括连续函数空间、可微函数空间和Lp空间等。

二、非线性泛函分析方法2.1 极值问题在非线性泛函分析中，求解函数的极值问题是一个重要的研究方向。

通过寻找使得泛函取得极值的函数，可以得到问题的最优解。

常用的方法包括变分法、最优控制理论和固定点理论等。

2.2 变分法变分法是一种通过对变分问题进行变分运算，得到极值条件的方法。

通过对泛函进行变分运算，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程，从而求得极值点。

变分法广泛应用于力学、物理学和优化问题中。

2.3 固定点理论固定点理论是非线性泛函分析的重要工具之一。

通过构造适当的映射和空间，我们可以利用不动点定理来解决非线性泛函方程的求解问题。

固定点理论在拓扑学和优化理论中有着广泛的应用。

三、非线性优化理论3.1 优化问题优化问题是非线性泛函分析的核心内容之一。

优化问题旨在寻找使得目标函数取得最优值的变量。

常见的优化问题包括最小化问题和最大化问题。

3.2 优化算法解决优化问题的一种主要方法是使用优化算法。

常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

这些算法通过迭代的方式逐步优化目标函数，直到满足指定条件。

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。

二阶常微分方程为(,,),y f x y y a x b '''=≤≤(1.1)当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类：第一类边界条件为(),()y a y b αβ==(1.3)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。

第二类边界条件为(),()y a y b αβ''==(1.4)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。

第三类边界条件为0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+=(1.5)其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。

微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。

1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。

【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为(,,)()()y f x y y y a y a t α'''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩(1.6)令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组(,,)()()y zz f x y z y a z a tα'=⎧⎪'=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (1.7)原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解(,)y x t 在x b =的值满足右端边界条件(,)y b t β=(1.8)这样初值问题(1.7)的解(,)y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。

2m阶差分方程边值问题解的存在性

2m阶差分方程边值问题解的存在性周展;徐菲【摘要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题【作者】周展;徐菲【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.8差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI 等讨论了如下差分方程的周期边值问题：这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7] 中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意n∈Z(1,T).设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：由E上的内积可以诱导空间E上的范数：对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E这里u.显然J ∈C1(E,R)，其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有f(n,un),∀n∈Z(1,T).因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A 使得显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义}.设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,w∈R,i∈Z(1,T)},且下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)，如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.记Bρ={y∈S: ‖y‖<ρ}是以0为中心，半径为ρ的开球，‖y‖=ρ}为Bρ的边界.引理1(环绕定理[14]) 设S=S1⨁S2是一个Hilbert空间, 其中，S1是S的一个有限维的子空间. 若J∈C1(S,R)满足P.S.条件且满足：(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0<r<R1}.那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.定理1 如果以下假设都满足:(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T); (A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且(A4)存在正常数R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v), n∈Z(1,T),|v|≥R2；(A5)存在正常数R3和α<β使得0<sg(s)≤αG(s),n∈Z(1,T),|s|≥R3.那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.记p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.则p*≥p*>0.为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.证明设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有‖a1c1β(β)‖‖‖u(l)‖α-‖注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得‖‖u(l)‖2-‖C.因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E 上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件. 定理1的证明由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点. 可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,‖u‖2-ε‖u‖2=‖u‖2令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有‖‖w‖β.定义,‖w‖β.可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到，则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|0<r<R4}.由引理1知J存在一个临界值c≥σ>0,其中}.令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|0<r<R5}，再次利用引理1可以得到J存在一个临界值c′≥σ>0,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0对照式(5), 有因此易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.【相关文献】[1] AGARWAL R P, O′REGAN D. Singular discrete (n,p) boundary value problems[J]. Appl Math Lett, 1999, 12(8): 113-119.[2] AGARWAL R P, WONG F H. Upper and lower solutions method for higher-orderdiscrete boundary values problems[J]. Math Ineq Appl, 1998, 1(4): 551-557.[3] GUO Z M, YU J S. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J]. Sci China Ser A, 2003, 46(4): 506-515.[4] ZHOU Z, YU J S, CHEN Y M. Periodic solutions of a 2nth-order nonliner difference equation[J]. Sci China Math, 2010, 53(1): 41-50.[5] ATICI F M, CABADA A. Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems[J]. Comput Math Appl, 2003, 45(6/9): 1417-1427. [6] LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Neumann boundary value problems[J]. Indag Math, 2015, 26(1): 293-305.[7] ZOU Q R, WENG P X. Solutions of 2nth-order boundary value problem for difference equation via variational method[J]. 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二阶p-Laplacian差分方程的边值问题

２
辽宁师专学报
２１００年第１期
１变分框架及基本引理
为了应用临界点理论，本文将引进适当的变分框架，并给出一些证明结论所需的引理．首先介绍一些
基本的概念．
ｌ
考定在Ｒ上泛Ｊ（） ∑ｌＩ一（，＋“ ，虑义的函，＝ △ ｌ∑Ｆｎ。Ｖｕ，， ∈ Ｊ１Ｉ，）＝。 … ），
ｆ咒，，，，【ｌ３２
（Ｊ５）
、
ｌ — — — — ，、十＂ｉ — — 一：０ｒｍ＝、／１２０
ｒ０ｒ
（２存在常数口Ｆ）＞０：，，＞０以及＞Ｐ，得使
Ｆ，， ≥ 。／（）（＿￣孺
界点理论是研究常微分方程与偏微分方程各种问题解的存在性的强有力的工具】，直到２００３年，庾建设、郭志明成功地将临界点应用于差分方程周期解、次调和解及边值问题的研究，为研究离散系统提供了新的理论和方法．他们所得的结论填补了离散系统研究领域的空白，对差分方程定性理论的发展起着重要的促进作用】．然而，据目前所知，关于方程（）１边值问题的结果几乎没有．因为在方程（）ｐ１ｅｆ依赖于
Ｕ￣及 “ 一ｎｌ，而在文［～７中建立泛函的方法面对本文情况则无能为力．５］
鉴于此，本文应用临界点理论给出一类二阶Ｐ—Ｌｐａｉａｌａ分方程边值问题的存在性和多重性的充ｃｎ差分条件，所采用的方法主要是利用山路引理结合变分技巧．主要结果如下．定理１假设下列条件（１、（２Ｆ）Ｆ）成立：

二阶混合偏导差分格式的详解

二阶混合偏导差分格式的详解文章标题：深度解析二阶混合偏导差分格式正文：一、引言在数学和计算机科学领域中，二阶混合偏导差分格式是一种重要的数值计算方法，它在求解偏微分方程和数值模拟中发挥着关键作用。

本文将针对二阶混合偏导差分格式进行全面深入的解析，从简单的定义和原理出发，逐步深入探讨其数学推导和应用场景，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数值计算方法。

二、基本概念二阶混合偏导差分格式是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。

它通过将偏微分方程中的偏导数用差分表示，然后构建差分方程并进行数值求解，从而得到偏微分方程的近似解。

在二阶混合偏导差分格式中，一阶导数使用中心差分逼近，二阶导数则结合前向和后向差分来逼近，从而实现更高的数值精度和稳定性。

三、数学推导接下来，我们将通过数学推导来深入探讨二阶混合偏导差分格式的具体计算过程。

假设我们要求解的偏微分方程为一维扩散方程，即∂u/∂t = α∂²u/∂x²我们可以使用二阶混合偏导差分格式来离散化这个方程，首先对时间t 进行离散化，然后对空间x进行离散化，最终得到差分方程，并通过迭代求解得到数值解。

具体的推导过程将在以下几个步骤中详细展开。

第一步，对时间进行离散化，使用显式欧拉方法进行离散化求解。

第二步，对空间进行离散化，使用中心差分逼近一阶导数，结合前向和后向差分逼近二阶导数。

第三步，构建差分方程，将离散化的时间和空间方程组合在一起。

第四步，通过迭代求解差分方程，得到偏微分方程的数值解。

通过以上数学推导，我们可以清晰地了解二阶混合偏导差分格式的具体计算过程，以及其在求解偏微分方程中的应用。

四、应用场景二阶混合偏导差分格式主要适用于求解具有时间和空间耦合的偏微分方程，例如扩散方程、波动方程和热传导方程等。

在工程、物理、生物和环境科学等领域，这些偏微分方程广泛应用于模拟和预测各种复杂现象，而二阶混合偏导差分格式则成为了求解这些偏微分方程的重要数值方法之一。

二阶常微分方程边值问题的数值解法

二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equationswith the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problemsthrough the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab to solve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

数学专业的非线性泛函分析

数学专业的非线性泛函分析在数学领域中，非线性泛函分析是一门重要的学科，它研究的是非线性泛函的性质与行为。

本文将介绍非线性泛函分析的基本概念、应用领域以及研究方法。

一、基本概念1.1 泛函与非线性泛函在数学中，泛函是一个将函数映射到实数的映射。

这意味着泛函是一种能够将一个函数作为输入，并输出一个实数的操作。

而非线性泛函则是指那些不满足线性特性的泛函，即不符合齐次性和可加性。

1.2 函数空间函数空间是一组函数的集合，它通常具有一定的结构和性质。

在非线性泛函分析中，我们常常研究的是某个特定函数空间上的非线性泛函的性质和行为，如Sobolev空间和Banach空间等。

1.3 变分原理变分原理是非线性泛函分析的重要工具之一。

它通过对泛函的微小变分来研究函数的极值问题。

变分原理在物理学、工程学和经济学等领域中有着广泛的应用，并且在非线性泛函分析中有着深入的理论基础。

二、应用领域2.1 偏微分方程非线性泛函分析在偏微分方程中有着广泛的应用。

通过研究非线性泛函的性质，可以得到偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。

这对于解决现实生活中的许多实际问题具有重要意义。

2.2 最优控制理论最优控制理论是一门研究如何选择控制函数，使得系统在给定约束条件下的性能达到最优的学科。

非线性泛函分析在最优控制理论中起到了重要的作用，可以通过研究非线性泛函的极值来求解最优控制问题。

2.3 图像处理与计算机视觉图像处理与计算机视觉是目前计算机科学中的热门领域，而非线性泛函分析在图像处理与计算机视觉中也发挥着重要作用。

通过研究非线性泛函的特性，可以实现图像去噪、图像恢复和图像分割等重要任务。

三、研究方法3.1 鞍点理论鞍点理论是非线性泛函分析中的重要工具之一，它用于研究泛函的临界点和鞍点的性质。

通过鞍点理论，我们可以得到泛函的极值并求解相关的方程和不等式。

3.2 无穷维分析方法由于非线性泛函通常涉及无穷维空间中的函数，因此无穷维分析方法在非线性泛函分析中是必不可少的。

二阶常微分方程边值问题数值方法

其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的项，不妨y设变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]

差分方程pdf

差分方程pdf标题：差分方程pdf引言概述：差分方程是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将从五个大点出发，详细阐述差分方程的概念、特点、解法以及其在实际问题中的应用。

通过本文的阅读，读者将对差分方程pdf有更深入的了解。

正文内容：1. 差分方程的概念与特点1.1 差分方程的定义与基本形式1.2 差分方程与微分方程的关系1.3 差分方程的离散性与连续性1.4 差分方程的初值问题与边值问题1.5 差分方程的稳定性与收敛性2. 差分方程的解法2.1 递推法2.2 特征方程法2.3 变量分离法2.4 矩阵法2.5 迭代法3. 差分方程在实际问题中的应用3.1 科学与工程领域中的应用3.2 经济与金融领域中的应用3.3 生物与医学领域中的应用3.4 物理与化学领域中的应用3.5 计算机科学与信息技术领域中的应用4. 差分方程pdf的编写与应用4.1 差分方程pdf的编写要点4.2 差分方程pdf的应用场景4.3 差分方程pdf的优势与局限性5. 差分方程的未来发展5.1 差分方程在数学领域的前景5.2 差分方程在科学与工程领域的前景5.3 差分方程在实际问题求解中的前景总结：通过本文的阐述，我们了解了差分方程的概念、特点、解法以及其在实际问题中的应用。

差分方程是一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。

差分方程pdf的编写与应用对于学习与研究差分方程具有重要意义。

随着科学技术的不断发展，差分方程在数学领域和实际问题求解中的前景将更加广阔。

对于读者来说，深入了解差分方程pdf将有助于提升数学建模与问题求解能力，为解决实际问题提供有力的工具与方法。

非线性边值问题的一些解法郭柏灵译

非线性边值问题的一些解法郭柏灵译把一个问题分解成一系列子问题，求解每个子问题的最优解，从而得到原问题的最优解这便是一个典型的非线性边值问题(Nonlinear Boundary-Value Problem,NBVP)。

线性边值问题是数学建模、实际应用中常见的一类问题，它可以用来模拟复杂的系统或进行优化计算。

线性边值问题的求解通常是一个比较困难的问题，人们对它提出了不同的解法。

中，郭柏灵(Bo-Ling Guo)提出的一些解法受到了广泛的关注，这里我们就来简要介绍一下它们。

首先，郭柏灵引入了解耦的理念，将非线性边值问题分解成一系列线性边值问题。

将子问题的解分解成一系列解矢量，再求得每一步的最优解，最终得到整个非线性边值问题的最优解。

这种求解方法能够节省计算量，同时也能够充分发挥算法的优势。

同时，郭柏灵还提出了一种基于缩减系数的算法，利用反问题历史信息和反问题特征信息，可以有效地暗示反问题的特征，从而减少非线性边值问题的计算量。

此外，郭柏灵还提出了一种基于梯度信息的算法，将NBVP问题抽象为一个非凸优化问题，然后利用梯度信息来求解。

这种算法在求解复杂的NBVP问题上具有出色的性能，能够极大地减少计算量，同时也能够得到一个比较准确的结果。

最后，郭柏灵还提出了一种基于多种优化方法的综合算法，综合算法把子问题分为线性和非线性优化问题，并尽可能利用反问题信息，从而达到更好的求解效果。

总而言之，郭柏灵提出的一些解法，大大改善了非线性边值问题求解的效率，受到了广泛的关注和应用。

在实际应用中，这些解法可以有效地解决实际问题，帮助我们更好地探索解决问题的思路，朝着更高效的求解方向不断前进。

因此，郭柏灵提出的非线性边值问题求解算法具有重要的工程实用价值，值得我们深入研究。

我们认为，在研究非线性边值问题求解算法方面，仍然有很多改进的空间，例如用更高效的方法设计差分处理、优化梯度算法等。

同时也希望有更多的研究者能够从郭柏灵的研究经验中受益，探索出更多的非线性边值问题求解算法，从而为我们解决实际应用问题提供帮助。

几类差分方程周期边值问题研究

几类差分方程周期边值问题研究几类差分方程周期边值问题研究引言：差分方程是数学中的一种常见形式，它描述了相邻点之间的离散关系。

差分方程在各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学、生物学和经济学等领域中，差分方程的周期边值问题一直是研究的焦点。

本文将介绍几类常见的差分方程周期边值问题，并探讨其研究方法和应用。

一、线性差分方程的周期边值问题对于形如x_n+1 = ax_n + b的线性差分方程，其中a和b为常数，周期边值问题是研究如何确定x的周期解以及边界条件的问题。

通过对差分方程进行变换，可以得到形如x_n+1 =cx_n-1的差分方程，其中c为常数。

对于这种形式的差分方程，可以采用特征根法求解周期边值问题。

即先求出差分方程的特征方程，并根据特征方程的根的性质确定解的形式。

二、非线性差分方程的周期边值问题非线性差分方程的周期边值问题较为复杂，需要采用不同的方法进行求解。

首先，可以尝试将非线性差分方程转化为线性形式，进而利用线性差分方程的求解方法解决问题。

若转化不成功，则需要运用其他数学工具，如微分方程的离散化方法或迭代方法，来逼近解的形式。

三、混合差分方程的周期边值问题混合差分方程由线性差分方程和非线性差分方程的组合形成，是一类综合了两者特点的差分方程。

对于混合差分方程的周期边值问题，可以利用线性差分方程和非线性差分方程的求解方法进行处理。

首先，将混合差分方程划分为线性和非线性两个部分，并分别求解。

然后，将两个部分的解进行组合，得到混合差分方程的周期边值解。

四、应用实例差分方程周期边值问题在实际应用中有广泛的应用。

以物理学中的振动问题为例，差分方程可以模拟物体的振动过程。

对于一些具有周期性振动的系统，如弹簧振子或钟摆，可以建立相应的差分方程模型。

通过求解差分方程的周期边值问题，可以得到系统的周期解和边界条件，从而更好地理解和控制物体的振动行为。

结论：差分方程周期边值问题是差分方程研究的重要内容，它在物理学、生物学和经济学等领域有广泛的应用。

平面二阶偏微分方程组的边值问题

平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组是将二阶变分操作应用到平面区域上的一种重要方法，其又称为非线性偏微分方程系统或二阶偏微分方程组。

这种方程组常常被用来求解弹性理论、热传导、流体动力学等众多物理现象中的重要问题，这些现象处于不同的变量域。

对平面二阶偏微分方程组的边界值问题提出的要求是提供一组独立的条件，用于定义边界上的解，即在边界上解的某个变量的值必须可以从边界上的这组条件中确定，而这组条件又是由解的一些给定特性定义的。

其中，一种常见的边界条件是“自由边界”，在这种情况下，在边界上得到的解值必须满足解在边界点处满足一定标准，如解必须是一个恒定的特定值，这也就确定了边界条件。

另一种常见的边界条件是“内禀边界”，这种边界条件要求解的某个变量只有在某个内禀函数下才能被确定，故边界条件也可以称为内禀函数条件。

在这种情况下，边界上具体的解值可以根据所计算出来的内禀函数来计算，然后可以得到特定的边界条件，而这些边界条件也是独立的，可以用于求解整个问题。

总之，平面二阶偏微分方程组的边界值问题可以抽象地认为是将某个物理场的动力学特性定义在边界上的一种重要的分析方法，它是从二阶变分的角度来理解平面问题的解的一种重要框架，是解决物理量在多变量域中的多维动力学问题中的常用方法。

一类二阶非线性差分方程边值问题的多重解

２．ＳｈｏｆＭａｈｍａｉｓａｄＣｏｕａｉｎｌＳｉｎｅ，ＳｎＹａ— ｅｉｅｓｔｃｏｌｏｔｅｔｃｎｍｐｔｔａｃｅｃｏｕｔｓｎＵｎｖｒｉｙ，
Ｇａｇｈｕ５０７Ｃｉａｕｎｚｏ２５，ｈｎ）１
第４９卷
２１００年
第５期
９月
中山大学学报（自然科学版）
ＡＴＳＩＮＩＲＭＮＴＲＬＵＵＩＥＳＴＴＳＳＮＡＳＮＣＡＣＥＴＡＵＡＵＡＩＭＮＶＲＩＡＩＵＹＴＥＩ
Ｖｏ．９Ｎｏ５１４．Ｓｅ．２０ｐ０１
一
类二阶非线性差分方程边值问题的多重解
连福云，远通徐
（．中国海洋大学数学系，山东青岛２６０；１６１０２中山大学数学与计算科学学院，东广州５０７）．广１２５
摘要：非线性差分方程已经广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网络、生态学及控制论等学科中出现 ห้องสมุดไป่ตู้
记Ｚ，Ｒ分别为整数集与实数集。对于任意的ａｂ∈Ｚ且ａ≤ ｂ，记Ｚ［，］＝｛，，ａｂａａ＋１ … ，，ｂ一
ｎｎｉｅｒｄｆｅｅｃｏｄｒａｕｅｐｏｌｍｓｉｔｄｅｎｅｓｆｃｅｔｃｎｄｔｏｓｏｔｉｅｏｌａｉｆｒｎｅｂｕｎａｖｌｒｂｅｓｓｕｉｄａｄａｎｗｕｎｙｉｉｎｏｉｎｉｂａｎｄｉＫｅｒｓ：ｄｆｅｅｃｑａｉｎ；ｂｕｄｒａｕｒｂｌｍ；ｃｉｉａｏｎ；ｍｕｈｐｅｓｌｔｏｙｗｏｄｉｒｎｅｅｕｔｏｆｏｎａｖｌｅｐｏｅｙｒｔｌｐｉｔｃｉｌｏｕｉｎｓ

数学的非线性泛函分析研究

数学的非线性泛函分析研究数学的非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是非线性泛函，对于理解非线性现象和复杂系统具有重要意义。

本文将介绍数学的非线性泛函分析的基本概念、研究方法以及应用领域。

一、非线性泛函的基本概念在数学中，泛函是定义在函数空间上的一种函数。

非线性泛函则是不满足线性性质的泛函。

非线性泛函通常具有更复杂的性质和行为，研究它们需要借助于非线性泛函分析的方法和工具。

非线性泛函的性质十分丰富多样，包括泛函的连续性、可微性、收敛性等。

非线性泛函的微分性质对于研究非线性偏微分方程、最优控制问题等具有重要作用。

二、非线性泛函分析的研究方法非线性泛函分析是一门数学理论，它借助于函数分析、拓扑学、微分几何等学科的方法，研究非线性泛函的性质和行为。

在非线性泛函分析中，常用的方法包括变分法、不动点定理、紧算子理论等。

变分法是研究泛函的最常用方法，通过极值原理和变分原理，可以求得非线性泛函的临界点和解。

不动点定理是非线性泛函分析中的重要工具，它可以构造非线性泛函的不动点从而求解非线性方程的解。

紧算子理论是研究紧算子和紧算子的性质的数学理论，它在非线性泛函分析中有广泛的应用。

三、非线性泛函分析的应用领域非线性泛函分析在数学和物理学中有广泛的应用。

在数学中，非线性泛函分析被广泛应用于非线性偏微分方程、最优控制、拓扑学等领域的研究中。

在物理学中，非线性泛函分析被应用于量子力学、电磁场理论、相对论等领域。

非线性泛函的理论和方法为物理学家提供了重要的工具，帮助他们理解和描述复杂的物理现象。

总结：数学的非线性泛函分析是一门重要的数学理论，它研究的是非线性泛函的性质和行为。

非线性泛函的研究需要借助于函数分析、拓扑学、微分几何等学科的方法和工具。

非线性泛函分析在数学和物理学等领域有广泛的应用，为研究复杂问题提供了重要的数学工具和理论基础。

（注：本文所述非线性泛函分析的基本概念、研究方法和应用领域仅作简要介绍，具体内容涉及的理论和技术较为复杂，需要进一步深入学习和研究。

非线性泛函分析与微分方程

非线性泛函分析与微分方程非线性泛函分析与微分方程是数学领域中两个重要的研究方向，它们的相互关系密切，对于理解非线性现象和解决实际问题具有重要意义。

本文将从非线性泛函分析和微分方程的基本概念入手，探讨它们之间的联系和应用。

一、非线性泛函分析基础非线性泛函分析是对非线性空间中的映射进行研究的数学分支。

它主要研究泛函的性质、梯度的存在性以及变分问题的解。

非线性泛函分析广泛用于描述实际问题中的非线性现象，如物理学中的宏观系统、力学中的弹性体等。

在非线性泛函分析中，常用的工具包括巴拿赫空间、赋范空间以及变分法等。

巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，它在非线性泛函分析中具有重要地位。

赋范空间则用于描述泛函的连续性和收敛性等性质。

变分法是非线性泛函分析中的一种重要方法，用于求解变分问题的极值。

二、微分方程的基本概念微分方程是描述物理现象和数学模型中变化率的方程。

它是自变量、函数及其导数之间关系的数学描述。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程则涉及多个自变量。

常微分方程包括一阶和高阶两种情况，高阶常微分方程可以通过转化为一组一阶常微分方程来求解。

偏微分方程则常用分离变量法、特征线法和变换法等方法求解。

三、非线性泛函分析在微分方程中的应用非线性泛函分析在微分方程中有广泛的应用。

例如，通过对泛函的变分可以建立一些非线性微分方程的存在性、唯一性和解的性质定理。

非线性泛函分析的工具还可以用于研究微分方程的奇性及其解的稳定性等问题。

非线性泛函分析在微分方程的边值问题中也发挥着重要作用。

通过建立适当的泛函空间和运用极小极大原理，可以研究非线性边值问题的解的存在性和多解性。

此外，泛函分析中的不动点理论和上确界定理等方法也被广泛应用于微分方程研究中。

四、微分方程在非线性泛函分析中的应用微分方程的解可以看作是非线性泛函分析中的函数，因此微分方程的研究结果可以应用于非线性泛函分析中。

非线性二阶边值问题正解

，Ｍ
ｚ．
收稿日期：０ｌ５～０；稿人：秀华；辑：志平２１ —Ｏ６审杜编任作者简介：淑惠（９８）女，士，教授，要从事非线性微分方程方面的研究魏１６一，硕副主
・１３・１
：
Ｋｎ（Ｑ）Ｋ全连续．果Ｑ＼一如
（ｉ｛ “ｌｌｌ ∈Ｋｎａ并且ｌ “ｌｌ１ ∈ＫＱ；）ｌｌｌ， ≤ “ｌＱ，ｌＩＩ， ≥ “［ｎａ
／
【
或（１ｌ “ｌｌｌ，ＥＫＱ，．ｌＩｌＵｎａ并且ｌｌｌ）ｌ ≥ Ｉ｝中 ≤
文献标识码：Ａ文章编号：００—１９（０１０ｉ０８１２１）４—０１ —０１３４
中图分类号：７．８Ｏｌ５０
０引言
研究一类二阶非线性边值问题：
Ｉ（一洲（＋ｕ￡一（ｕ￡，＇ｔ）ｆ（一，ｔ（）ｕ）ｎｌ），）
ｌｕ一０，１）一０， “（
（１）
式中：，ａ为非负连续函数．函数 “ 为边值满５，（，）Ｏ１ ×Ｅ，。上称（）
问题（）１个正解，果Ｕ ∈ＣＥ，］０１，１的如（）ｏ１ｎＣ（，）以及在（，）（）０并且 “ ｆ满足边值问题０１内＞，（）
超线性和次线性的情形下，明正解的存在性．证
１边值问题（）１的等价形式与Ｇｒｅ ’ ｅｎＳ函数估计

非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释弱收敛，弱*收敛，,0()k pW Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray -Schauder 度二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。

三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G -微分21212221212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}pp n Tu Wu u u L T R ⋅∈=∈，有1,p TW uC u ∞≤五. 设nR Ω⊂是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω⨯上的连续函数，证明积分算子:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ϕϕΩΩ→Ω=⎰是全连续算子。

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞⨯→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解(,)(0)dxf t x dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足()()()(), taw t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤⎰则()()exp(())exp(())t t taasdvw t v a u s ds u d ds dsττ≤+⎰⎰⎰ 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare -Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。

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（３）
（４）
收稿日期：１— ７１２００— ００作者简介：海平（７一，，石１９）男湖南凤凰人，９广东白云学院基础教学部教师，士，究方向为离散动力系统。博研
一
５８一
第１卷８
石海平：阶非线性泛函差分方程的混合边值问题二
ｚ），＋，）Ｚ，＝ａ＋，，。ｋ（＝ａ１，（６｛ａｌｂａ … ａ）， … ）为某个正整数。表示向量的转置。 △是向前差分算子。表示
恒同算子。
考虑二阶差分方程
Ｌ（，１甜一，ｎｚ１）ｕ＝ｆｎＵ＋材，１，） ∈ （ｋ，（１）
Ｓ（＝（（１（ｕ —）ｔＲｕ）ｆｔｆ）ｆ（１， ∈ ｔ，＋，）ｔ） ” ，其中ＳＳｒ — ｉｖｌ微分算子 ∈ＣＲ，。方程（是方程是ｔｍＬｕｉｅｕｏｌ（４Ｒ）３）
ｃｆ（１口）Ｖｆｕ — ），（＝ｆ）（）（一（１，ａ）＋一ｆ一０｝ｒ‘
：，，ｏ．：
’ ‘
，
ｖ ∈Ｚ１七；（，）
（对任意的ｎ（，）存在常数Ｒ＞０以及卢＞２使得ｈ）ＥＺ１ｋ，，
ａｎｌ２＋ｃ（，，）Ｆ（，，）ｖｖｇｈｖＦｎ２
下
— 一
，１
（对任意的ｎｈ） ∈Ｚ（，，在泛函ＦｌＺ×ａ且Ｆ（，＝，足１ｋ）存Ｅｃ（２Ｒ）０）Ｏ满
ａ（１ｖ２，Ｉ）ａ（ｐｖ）Ｆｎ，＇＇，＋Ｆｎｖ２３，
－
—
—
—
—
＝—
—
—
一
—
—
—
—
—
—
：
，
Ｏ，ｖ
ｆｎｖ，２ｖ）（，ｔ，３，ｖ
第１卷第１８期
２１年１０１月
ＪｕｎｌｆａｇｏｇＢｉｕｎｖｒｉｏｒａｎｄｎａｙｎＵｉｅｓｔｏＧｕｙ
广东白云
学
院
学刊
ＶＩ１Ｎ．ｏ．８ｏ１
ＪＡＮ．０ｌ２１
二阶非线性泛函差分方程的混合边值问题
通过简单的计算易知，的Ｆ６ｈｔ．，ｒｃｅ导数是
＝
一
血ｎ＋ａｎＩ
－
一
（＋ｎ＋，坝６ａ１ａｎ－
）
一
Ｌ（，ｎ７一，即∈ Ｏ七。ｕ＋／＋Ｕ，１ｄｌ，）９／ｚ，）
因是Ｉ临点，ｚ０且当足ⅡＡＡ￣的）＝，一）此，厂的界即（＝当仅满。，ｕＯ。在Ｒ，）＝＝， ’
石海平
（广东白云学院基础教学部，广东广州５０５）１４０
摘要：文应用临界点理论，过建立方程所对应的变分框架，本通获得了具有Ｊｃｂ算子类型的泛函差ａｏｉ
分方程混合边值问题解的存在性和多重性的充分奈件。关键词：边值问题；函差分方程；绕定理；泛环离散变分理论
首先在上考虑泛函，
‘）吉，＝∑
‘ ＝Ｏ
＇
—ｌ
一厶、＋ｎＯ＋Ｆ）－ａ＋ｎ ∑ （ｌｂ一一ｎ
４＝ｎｌｌ
・
‘
｝
（７）
Ｖｌ２）ｅ “＝，Ａｋｏｕ，，ＩＲ，ｏＡｕ＝。 “ …，．
设ｐ＝ａ：ｅ（ｋ１，Ｐ＿ｍｎ：ｅ（ｋ１。一ｍ）Ｚ，）＝ｉＺ１）【Ｏ）ｍ，）
定理１若下列条件（一（。成立：ｈ）ｈ）（对任意的ｎｈ） ∈Ｚ（，一）有＞０对任意的 ∈Ｚ（，，６＋一％＝；０ｋ１，；１ｋ）有％Ｏ＋
中图分类号：１５文献标识码：文章编号：０１４７２１）１０５— ６０７．８Ａ粤－１６（０１Ｏ— ０８０
引言
记Ｎ，Ｚ及Ｒ分别表示自然数集、数集和实数集。任取ｎ，整ｂ∈Ｚ满足ｎｂ，义 ≤ 定
第１期
的更一般形式。方程（受到许多学者的广泛关注。４）例如，ｍｔ和ＷｉｅＩ得到了方程（孤立波的存在性。Ｓｅｓｌｍｌ４）许多学者对方程（的一些特殊情形进行了深刻的讨论，１）得出了一系列有意义的结果。］２本文将应
用临界点理论给出一类二阶泛函差分方程边值问题的存在性和多重Ｉ生的充分条件。们所采用的方法我主要是利用环绕定理结合变分技巧。本文的主要结果如下。
ｖｖ），ｖｐ２＜ｏ
。
≥ 。
（５）
则边值问题（）（）１一２至少存在两个解。
注１５）（蕴涵存在常数０＞０ｑ＞０使得，２，
Ｆ，ｖ一喃（ｌ）ｎ，ｖ２
一
口ｖ∈１。＋，Ｚ：（），
（６）
、
变分框架及基本引理
．
及混合边值条件
０＝Ａ，Ａ０，ｕ
（２）
其中Ｌ是Ｊｅｂ算子Ｌａｏｉｕ＝
＋ｎ＋，ａ一６％与ｂ是ｚ上的实值函数，ＥＣ（４Ｒ）Ａ是常数。ＵＲ，，
方程（）１可看作如下微分方程的离散化：