陕西省西安市七年级第二学期数学解答题冲刺训练含解析

陕西省西安市七年级第二学期数学解答题冲刺训练
解答题有答案含解析
1．（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB ∥CD ，则∠B+∠D ∠E （用“＞”、“＝”或“＜”填空）； （2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用：如图②，已知AB ∥CD ，在∠ACD 的平分线上取两个点M 、N ，使得∠AMN ＝∠ANM ，求证：∠CAM ＝∠BAN ．
2．计算：
（1）因式分解：()()a x y b y x -+-； （2）因式分解：2
2
2
(1)4x x +-；
（3）211x x x -++；
（4）
11b
a b a b a b
-÷-+-（）． 3．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图①，分别过点A 、B 作AD l ⊥于点D ，BE l ⊥于点E ．求证：ACD CBE ≌． （2）当8AC =，6BC =时，如图②，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF 、CF ，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC 边向终点C 运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿F C B C F →→→→向终点F 运动，点M 、N 到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD l ⊥于点D ，过点N 作NE l ⊥于点E ，设运动时间为t 秒． ①用含t 的代数式表示CN ．
②直接写出当MDC △与CEN 全等时t 的值．
4．在Rt ABC 中，AC BC =，90C =∠，D 为AB 边的中点，90EDF ︒∠=，EDF ∠绕D 点旋转，
它的两边分别交AC 和CB （或它们的延长线）于E ，F .
（1）当DE AC ⊥于E 时（如图1），可得DEF CEF S S +=△△______________ABC
S
.
（2）当DE 与AC 不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABC
S
的关系.
（3）当点E 在AC 延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出DEF S △，CEF S △，ABC
S
的关系.
5．某中学在商场购买A 种品牌的足球50个和B 种物品的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B 种品牌的足球比购买一个A 种品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A 种品牌、一个B 种品牌的足球各需多少元；
（2）学校根据需要决定再次购进A 、B 两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了4元，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买
A 、
B 两种品牌足球的总费用不能超过第一次花费的70%，则这次学校最多可以购买B 种品牌的足球多
少个？
6．在△ABC 中，点D 在边BA 或BA 的延长线上，过点D 作DE ∥BC ，交∠ABC 的角平分线于点E ． （1）如图1，当点D 在边BA 上时，点E 恰好在边AC 上，求证：∠ADE=2∠DEB ；
（2）如图2，当点D 在BA 的延长线上时，请直接写出∠ADE 与∠DEB 之间的数量关系，并说明理由．
7．（1）操作发现：如图①，点D 是等边△ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，连接AE ，则AE 与BD 有怎样的数量关系？说明理由．
（2）类比猜想：如图②，若点D 是等边△ABC 的边BA 延长线上一动点，连接CD ，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，连接AE ，请直接写出AE 与BD 满足的数量关系，不必说明理由；
（3）深入探究：如图③，点D 是等边△ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边分别在CD 上方、下方作等边△CDE 和等边△CDF ，连接AE ，BF 则AE ，BF 与AB 有怎样的数量关系？说
明理由．
8．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，点E落在AD边上，若AF＝1．AB＝2．
（1）旋转中心为
；旋转角度为；
（2）求DE的长度；
（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．
9．解不等式组:
593(1)
31
11
22
x x
x
-<-
⎧
⎪
⎨
-≤-
⎪⎩
，并写出它的整数解．
10．如图，已知△ABC
（1）作△ACD，使△ACD与△ACB在AC的异侧，并且△ACD≌△ACB（要求：尺規作图、保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于O，试说明OB＝OD．
11．在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
12．（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？
（2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为
58
，落在黄色区域的概率为
14，落在白色区域的概率为18
．
13．如图在下面平面直角坐标系中，已知A ()0,a ，B (),0b ，C ()3,c 三点.其中,,a b c 满足
()2
2340a b c -+-+-=.
（1）求,,a b c 的值；
（2）如果在第二象限内有一点P 1,2m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积为△ABC 的面积的两倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
14．如图，AD ，AE 和AF 分别是△ABC 的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF ；②∠CAE=1
2
∠CAB ；③BE=CE ；④AD ⊥BC ；⑤S △AFB =S △ADC ．其中错误的是______(只填序号)；
（2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE 的度数．
15．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如下表:
第一次
第二次
甲种货车的辆数 2辆 5辆 乙种货车的辆数 3辆 6辆 累计运货重量
14吨
32吨
(1)分别求甲乙两种货车每辆载重多少吨?
(2)现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元?
16．为了了解2018年全国中学生数学竞赛情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下(部分未完成).请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题:
(1)本次调查的样本容量为______________. (2)在表中:m =_____________，n =____________. (3)补全频数分布直方图；
(4)如果比赛成绩80分以上(含80分)为优秀，某中学有200人参加比赛，那么你估计该校约有多少人取得优秀成绩?
17．如图是由边长为1的小正方形组成的1010⨯网格，直线EF 是一条网格线，点E ，F 在格点上，ABC ∆的三个顶点都在格点（网格线的交点）上.
（1）作出ABC ∆关于直线EF 对称的111A B C ∆；
（2）在直线EF 上画出点M ，使四边形AMBC 的周长最小；
（3）在这个1010⨯网格中，到点A 和点B 的距离相等的格点有_________个.
18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：用直尺画图）
（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的111A B C ∆； （2）在DE 上画出点P ，使(PB+PC)的值最小；
19．（6分）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程,甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等． （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 20．（6分）阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且AB DC =
说明：BAE D ∠=∠
分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明BAE D ∠=∠，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅加线的方法如下： 如图①过点C 作//CF AB ，交DE 的延长线于点F ． 如图②延长DE 至点M ，使ME DE =，连接BM ． （1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．
（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________． （3）反思应用：
如图，点B 是AE 的中点，BC BD ⊥于点B ．
请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段AC DE +与CD 之间的大小关系，并说明理由．
21．（6分）已知关于x 、y 的方程组x 2y 2x 3y 2m 4m -=⎧⎨+=+⎩
①②的解满足不等式组3x y 0
x 5y 0+≤⎧⎨
+≥⎩.求满足条件的m 的整数值.
22．（8分）如图，将长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好都落在AD 边的点P 处，若PFH ∆的周长为10cm ，2AB cm =，求长方形ABCD 的面积
.
23．（8分）如图，BD 平分∠ABC ，F 在AB 上，G 在AC 上，FC 与BD 相交于点H ，∠3＋∠4＝180°，求证：∠1＝∠
2.
24．（10分）已知n 边形的内角和等于1800°，试求出n 边形的边数． 25．（10分）若21x y =⎧⎨
=⎩和1
2
x y =⎧⎨=⎩是方程mx + ny = 3的两组解，求m 、n 之值．
26．（12分）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E ，试说明：∠A=∠EBC ，（请按图填空，并补理由，） 证明：∵∠1=∠2（已知）， ∴______∥______，________ ∴∠E=∠______，________ 又∵∠E=∠3（已知）， ∴∠3=∠______（等量代换），
∴______∥______（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A=∠EBC ，________
27．（12分）如图，∠E =∠1，∠3＋∠ABC =180°，BE 是∠ABC 的角平分线．试说明DF ∥AB ．
28．我们知道每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，如图，在数轴上画出表示2的点A（要求保留作图痕迹，先用2B铅笔画图，然后0.5毫米碳素笔描黑加粗），数轴上3表示的点B，如果数轴上的线段BC的中点是A，求数轴上的点C表示的数是多少？
29．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
30．为迎接边境贸易博览会，组织部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
参考答案
解答题有答案含解析
1．（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD，该逆命题为真命题，见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
(1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC ＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【详解】
（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
故答案为：＝；
（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM ＝∠NCD ， ∴∠CAM ＝∠BAN ．
【点睛】
本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键． 2．（1）（a-b ）（x-y ）；（2）（x+1）2（x-1）2；（3）1
1x +；（4）2a b
+ 【解析】 【分析】
（1）提取公因式法分解因式即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可求解； （3）先通分，再计算减法即可求解；
（4）先通分计算小括号里面的减法，再计算括号外面的除法即可求解． 【详解】
：（1）a （x-y ）+b （y-x ）= a （x-y ）-b （x-y ） =（a-b ）（x-y ）；
（2）（x 2+1）2-4x 2=（x 2+1+2x ）（x 2+1-2x ）=（x+1）2（x-1）2；
（3）()()22
111111
x x x x x x x x +--+=-
+++ 2211
11
x x x x -+==
++； （4）
()()112b b b
a b a b a b a b a b a b
-÷=÷-+-+--（） ()()2
2b a b a b a b b a b -=
⨯=
+-+．
【点睛】
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用和分式的混合运算，解答的关键是熟练掌握其公式和运算法则．
3．（1）证明见解析；（2）①CN=6-3t ；（2）3.5秒或5秒或6.5秒 【解析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；
（2）①由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，即可得出结果；
②分点F 沿F→C 路径运动，点F 沿C→B 路径运动，点F 沿B→C 路径运动，点F 沿C→F 路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】
（1）证明：△ACD 与△CBE 全等．
理由如下：∵AD ⊥直线l ，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）解：①由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE ，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD ，
∴当CM=CN 时，△MDC 与△CEN 全等，
当点F 沿F→C 路径运动时，8-t=6-3t ，
解得，t=-1（不合题意），
当点F 沿C→B 路径运动时，8-t ═3t-6，
解得，t=3.5，
当点F 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
当点F 沿C→F 路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
4．（1）12；（2）成立，理由详见解析；（3）12
DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【解析】
【分析】
（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形，边长是AC 的一半，即可得出结论； （2）成立；先证明△CDE ≌△BDF ，即可得出结论；
（3）不成立；同（2）得：△DEC ≌△DBF ，得出12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+
五方形 【详解】
解:（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC=8C=a ，则正方形CEDF 的边长为号12
a ， ∴212ABC S a =，正方形CEDP 的面积2
21124CEDF S a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
； ∴12ABC CEDF S S =△,故答案为：12
；
（2）成立.
证明：连接CD ，∵AC BC =（已知）
∴A B ∠=∠（等边对等角）
∵90ACB ∠=（已知），180A B ACB ︒∠+∠+∠=（三角形内角和为180度）
∴45A B ︒∠=∠=（等式性质）
∵AC BC =（已知），BD AD =（中点的意义）
∴CD AB ⊥（等腰三角形的三线合一）
∴90CDB =∠（垂直的意义）
∵︒（三角形内角和为180度）
∴45DCB =∠(等式性质)
∴DCB B ∠=∠（等量代换）
∴CD DB =（等角对等边）
∵CD AB ⊥（已证）
∴90CDF FDB ︒∠+∠=（垂直的意义）
∵90EDF =∠（已知）
∴CDE BDF ∠=∠（等式性质）
在CDE △与BDF 中，
ECD B CD BD
EDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
（已证）（已证）（已证） ∴(...)CDE BDF A S A △≌△
∴CDE BDF S S △≌△（全等三角形的面积相等） ∴
12
DEF CEF CDB ABC S S S S +==△△△△（等量代换）
（3）不成立；12
DEF CEF ABC S S S -=△△△；理由如下：连接CD ，如图3所示： 同（2）得：,135DEC DBF DCE DBF ︒∠=∠=≌
∴DEF DBFEC S S ∆=五方形12
CFE DBC CFE ABC S S S S ∆∆∆∆=+=+ 12
DEF CFE ABC S S S ∆∆∆∴-=
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键.
5．（1）购买一个A 种品牌足球需要50元，购买一个B 种品牌的足球需要80元；（2）最多可以购买B 种品牌的足球25个．
【分析】
（1）设出A 种品牌足球的单价为x 元，B 种品牌足球的单价为y 元，依据题意列出方程组可得答案， （2）设第二次购买B 种足球m 个，根据题意列出不等式可得答案．
【详解】
解：（1）设A 种品牌足球的单价为x 元，B 种品牌足球的单价为y 元，
依题意，得5025450030x y y x +=⎧⎨=+⎩
解得5080x y =⎧⎨=⎩
故购买一个A 种品牌足球需要50元，购买一个B 种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买B 种足球m 个，则购买A 种足球()50m -个．
依题意，得(504)(50)800.9450070%m m +⋅-+⨯⨯≤⨯，解得25m ≤．
所以这次学校最多可以购买B 种品牌的足球25个．
【点睛】
本题考查的是方程组与一元一次不等式的应用，掌握找相等关系与不等关系是解题的关键．
6．（1）详见解析；（2）∠ADE+2∠DEB=180°.
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；
（2）由角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．
【详解】
证明：（1）∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．
（2）∠ADE+2∠DEB=180°．
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE．
∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠DEB，
∴∠ADE+2∠DEB=180°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：
（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．
7．（1）AE ＝BD ；（2）AE ＝BD ；（3）AE+BF ＝AB ．
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS 可以证得△BCD ≌△ACE;然后由全等三角形的对应边相等知AE=BD
(2)通过证明△BCD ≌△ACE,即可证明AE=BD;
(3)1.AF+BF=AB;利用全等三角形△BCD ≌△ACE(SAS)的对应边BD ＝AE;同理△BCF ≌△DCA (SAS),则BF ＝AD,所以AE+BF =AB
【详解】
解：（1）AE ＝BD ，理由如下：
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，
∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠DCE ﹣∠ACD ，
即∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 和△ACE 中，
AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠ ， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ），
∴AE ＝BD ；
（2）AE ＝BD ．
∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠ACB+∠ACD ＝∠DCE+∠ACD ，
即∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 和△ACE 中，
AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ），
∴AE ＝BD ；
（3）AE+BF ＝AB ．
证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝AE ，
同理可证，△BCF ≌△DCA （SAS ），
∴BF ＝AD ，
∴AB ＝AD+BD ＝AE+BF ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行求证
8．（1）旋转中心为点A ，旋转角为∠BAD ＝90°；（2）3；（3）BE ＝DF ，BE ⊥DF ，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质，点A 为旋转中心，对应边AB 、AD 的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE ＝AF ，AD ＝AB ，然后根据DE ＝AD−AE 计算即可得解；
（3）根据旋转可得△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE ＝DF ，全等三角形对应角相等可得∠ABE ＝∠ADF ，然后求出∠ABE ＋∠F ＝90°，判断出BE ⊥DF ．
【详解】
解：（1）旋转中心为点A ，旋转角为∠BAD ＝90°；
（2）∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE ，
∴AE ＝AF ＝1，AD ＝AB ＝2，
∴DE ＝AD ﹣AE ＝2﹣1＝3；
（3）BE 、DF 的关系为：BE ＝DF ，BE ⊥DF ．理由如下：
∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE ，
∴△ABE ≌△ADF ，
∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE+∠F＝90°，
∴BE⊥DF，
∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
9．不等式的解集为：1≤x＜3，整数解为：1，1．
【解析】
试题分析：分别解出两个不等式的解，进而求出不等式组的解集，再写出整数解即可.
试题解析：
解：
() 5931
3
1
11
22
x x
x
⎧-<-
⎪
⎨
-≤-
⎪⎩
①
②
，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥1，
则不等式的解集为：1≤x＜3，
则整数解为：1，1．
点睛：掌握不等式组的解法.
10．（1）如图所示，△ACD即为所求；见解析；（2）见解析. 【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质即可作图
根据全等三角形的定义即可证明
【详解】
（1）如图所示，△ACD即为所求；
（2）如图所示，∵△ACD≌△ACB，
∴∠BAO＝∠DAO，AB＝AD，
又∵AO＝AO，
∴BO＝DO．
【点睛】本题考查全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质及定义是解题的关键.
11．（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；（2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑1台，电子白板13台；（3）选择方案三最省钱，即购买电脑1台，电子白板13台最省钱．需要28万元．
【解析】
【分析】
（1）先设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x，y的值即可；（2）先设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a只能取整数，得出购买方案；（3）根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案．
【详解】
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
根据题意得：
2 3.5 2 2.5 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
0.5
1.5 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，
则
0.5 1.5(30)30
0.5 1.5(30)28
a a
a a
+-
⎧
⎨
+-
⎩
，
解得：15≤a≤1，即a＝15、16、1．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑1台，电子白板13台．
（3）方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）；方案二：总费用为16×0.5+1.5×14＝29（万元），
方案三：1×0.5+1.5×13＝28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案三最省钱，即购买电脑1台，电子白板13台最省钱．需要28万元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．
12．（1）1
3
，
2
3
；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率；
(2)把圆分成8等份，然后把红色占5份，黄色占2份，白色占1份即可．
【详解】
解：（1）P（指针落在红色区域）
1201 3603
︒
==
︒
.
P（指针落在白色区域）
3601202402 3603603
︒︒︒
︒︒
-
===
（2）如图：(答案不唯一)
【点睛】
本是考查的是简单事件的概率问题，掌握概率的计算方法是解决此类问题的关键．
13．（1）a=2,b=3,c=4；（2）四边形ABOP的面积为3-m；（3）存在，点P坐标为
1
3,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
分析：（1）根据几个非负数和的性质得到a-2=0，b-3=0，c-4=0，分别解一元一次方程得到a=2，b=3，b=4；（2）根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积=S△AOP+S△AOB进行计算；
（3）若S四边形ABOP≥S△AOP，则-m+3≥2×1
2
×2×（-m），解得m≥-3，则m=-1，-2，-3，然后分别写出P点的坐
标．
详解：（1）∵|a-2|+（b-3）24
c-=0，
∴a=2，b=3，b=4；
（2）A点坐标为（0，2），B点坐标为（3，0），四边形ABOP的面积=S△AOP+S△AOB
=1
2
×2×（-m）+
1
2
×2×3
=-m+3；
（3）存在．理由如下：∵S四边形ABOP≥S△AOP，
∴-m+3≥2×1
2
×2×（-m），
∴m≥-3，
∵m为负整数，∴m=-1，-2，-3，
∴点P的坐标为（-1，1
2
）或（-2，
1
2
）或（-3，
1
2
）．
点睛：本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
14．（1）③⑤；（2）21°。

【解析】
【分析】
（1）根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到AD⊥BC，∠CAE=1
2
∠CAB，BC=2BF，
S△AFB=S△AFC，无法确定AE=BE，S△AFB=S△ADC．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°，再根据角平分线与高线的定义得到
∠CAE=1
2
∠CAB=41°，∠ADC=90°，则∠DAC=90°-∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠DAC计算即
可．
【详解】
（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线，
∴AD⊥BC，∠CAE=∠BAE=1
2
∠CAB，BF=CF，BC=2BF，
∵S△AFB=1
2
BF•AD，S△AFC=
1
2
CF•AD，
∴S△AFB=S△AFC，故①②④正确，∵BF=CF，
∴BE＞CE，
∵BF＞CD，
故答案为③⑤．
（2）∵∠C=70°，∠ABC=28°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°，
∴∠CAE=12
∠CAB=41°， ∵∠ADC=90°，∠C=70°，
∴∠DAC=20°
∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=41°-20°=21°．
【点睛】
本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积． 15．（1）甲种货车每辆载重4吨，乙种货车载2吨；（2）货主应付运费2640元.
【解析】
【分析】
（1）两个相等关系：第一次2辆甲种货车载重的吨数+3辆乙种货车载重的吨数=14；第二次5辆甲种货车载重的吨数+6辆乙种货车载重的吨数=32，根据以上两个相等关系，列方程组求解．
（2）结合（1）的结果，求出3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以120即得货主应付运费．
【详解】
(1)设甲种货车每辆载重x 吨，乙种货车每辆载重y 吨，则
23145632x y x y +=⎧⎨+=⎩
解之，得42x y =⎧⎨=⎩
所以甲种货车每辆载重4吨，乙种货车载2吨.
(2)4×3+2×5=22(吨)
22×120=26400元)
所以货主应付运费2640元.
【点睛】
利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
16．（1）500 （2）200，0.3 （3）见解析（4）120人
【解析】
【分析】
（1）样本容量即为调查的总人数，样本容量=任意分数段的频数÷对应的频率.
（2）m 值可以由调查总人数减去剩下的三组分数段的人数和得到.因为四个分数段的频率之和等于1，则n 值可以由1减去剩下三组分数段的频率和得到.
（3）根据计算出的m 值，补全直方图.
（4）考查的是用样本估计总体，首先把优秀人数在样本总所占样本总人数的比例计算出来，则全校优秀人数的比例可以用该比例求出大约值.
【详解】
解：（1）由图可知：找到分数段在6070x ≤<的频数是50，频率是0.1
则由样本容量=任意分数段的频数÷对应的频率
得样本容量=50÷
0.1=500 故答案为500.（注意：样本容量是一个数值，没有单位）
（2）m=总人数-剩下三个分数段的人数和
即m=500-(50+150+100)=200
n=1-剩下三个分数段的频率和
即n=1-（0.1+0.4+0.2）=0.3
（3）因为m=200
则补充的直方图为：
（4）由表可知：样本中优秀人数所占的比例=0.2+0.4=0.6
则全校优秀人数=全校人数×0.6
即200×0.6=120（人）
∴该校约有120人取得优秀成绩.
【点睛】
本题综合性的考查了，频率分布表和频率分布直方图中的数据计算，用样本估计总体的计算.务必清楚的是公式有频率=频数÷总人数，样本中各部分所占样本的比例大约的等于总体中各部分所占总体的比例. 17．（1）见详解；（2）见详解；（3）1
【解析】
【分析】
（1）利用网格特点和轴对称的性质分别作出A 、B 、C 关于直线EF 的对称点A 1、B 1、C 1即可； （2）连接BA1交直线EF 于M ，利用两点之间线段最短判断MA+MB 的值最小，从而得到四边形AMBC 的周长最小；
（3）利用网格特点，作AB的垂直平分线可确定满足条件的格点．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点M为所作；
（3）如图，到点A和点B的距离相等的格点有1个．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径的解决方法．
18．（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接BC1，与直线DE的交点即为所求的点P．
试题解析：
（1）的三点；
（2）P点见解析.
19．（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天和30天；
（2）甲工程队至少单独施工36天.
【解析】
【分析】。