江苏省泰州中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题理(扫描版)
【精品】2015年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣y﹣1=0的斜率是．2．（5分）圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是．3．（5分）椭圆+=1的焦点坐标是．4．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．5．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=．7．（5分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（5分）若方程表示椭圆，则k的取值范围是．9．（5分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．10．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为．11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若点P关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是．12．（5分）已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1：，则P点轨迹方程是．13．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．14．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=3，且cos∠AF2B=，则椭圆C的离心率是．二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知点P为直线l1：2x﹣3y﹣1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（﹣1，﹣5）．（Ⅰ）求过点P 且与直线l3：3x+y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）求过点P且与直线MN垂直的直线方程．16．（14分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．17．（14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标．18．（16分）过点P（﹣4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点．（Ⅰ）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为﹣，求弦AB的长；（Ⅲ）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；（Ⅲ）设点P（﹣1，m），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k3=2k2．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省泰州市姜堰区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）在直角坐标系中，直线2x﹣y﹣1=0的斜率是2．【解答】解：直线2x﹣y﹣1=0可化为y=2x﹣1，由直线的斜截式可知直线斜率为：2故答案为：22．（5分）圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为圆（x+1）2+（y﹣1）2=9，∴圆x2+y2+2x﹣2y﹣7=0的半径是3，故答案为：33．（5分）椭圆+=1的焦点坐标是（1，0）和（﹣1，0）．【解答】解：∵椭圆+=1，∴a2=5，b2=4，∴c==1，∴椭圆焦点为（1，0）和（﹣1，0）．故答案为：（1，0）和（﹣1，0）．4．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．5．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：6．（5分）若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m=±3．【解答】解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．7．（5分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（5分）若方程表示椭圆，则k的取值范围是（1，5）∪（5，9）．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴9﹣k＞0，k﹣1＞0，9﹣k≠k﹣1∴k∈（1，5）∪（5，9）故答案为：（1，5）∪（5，9）．9．（5分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y﹣5=0．【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y ﹣5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y﹣5=0．10．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PF=PD，∴要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PM+PD最小，且最小值为3﹣（﹣1）=4令y=2，可得x=1，∴当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．11．（5分）已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若点P关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是18．【解答】解：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，故由曲线x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0上的任意一点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在圆C上可得，直线x+2y﹣1=0过点（2a，b），则2a+2b﹣1=0，即a+b=（a＞0，b＞0），则+=2（a+b）（+）=2（5++）≥2（5+4）=18．（当且仅当=时，等号成立）故答案为：18．12．（5分）已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P与两点O、A的距离之比为1：，则P点轨迹方程是（x+1）2+y2=3．【解答】解：设P（x，y），∵动点P到两点O、A的距离之比为1：，∴|PA|=|PO|，∴（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），化简得（x+1）2+y2=3，故答案为：（x+1）2+y2=3．13．（5分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是[1﹣2，3] ．【解答】解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，M∩N≠∅，∴直线y=x+b与半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）有交点，半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d==2，解得b=1﹣2或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是[1﹣2，3]．∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]．故答案为：[1﹣2，3]．14．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=3，且cos∠AF2B=，则椭圆C的离心率是．【解答】解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），化简可得a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴e==．故答案为：．二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知点P为直线l1：2x﹣3y﹣1=0和直线l2：x+y+2=0的交点，M（1，2），N（﹣1，﹣5）．（Ⅰ）求过点P 且与直线l3：3x+y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）求过点P且与直线MN垂直的直线方程．【解答】解：由题意得：（Ⅰ），解得：，∴P（﹣1，﹣1）．∵所求直线与直线l3：3x+y﹣1=0平行，∴k=﹣3，∴所求直线方程为：3x+y+4=0．（Ⅱ）直线MN所在直线的斜率为：，∵所求直线与两点M（1，2），N（﹣1，﹣5）所在直线垂直，∴k=，则所求直线方程为：2x+7y+9=0．16．（14分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．17．（14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标．【解答】解：由题意可得圆形道的方程为x2+y2=502，引伸道与北向道路的交接点C的坐标为（0，250）．设CP的方程为y=kx+250，由图可知k＜0．又CP与圆O相切，∴O到CP距离=50，解得k=﹣7，∴CP的方程为y=﹣7x+250①．又OP⊥CP，∴K OP•K CP=﹣1，∴K OP=﹣=．则OP的方程是：y=x ②．由①②解得P点坐标为（35，5），∴引伸道所在的直线方程为7x+y﹣250=0，出口P的坐标是（35，5）．18．（16分）过点P（﹣4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点．（Ⅰ）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为﹣，求弦AB的长；（Ⅲ）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为x（x+4）+y（y﹣4）=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=8；…（4分）（Ⅱ）因为直线l的斜率为﹣，所以直线l的方程是：y﹣4=﹣（x+4），即x+2y﹣4=0，…（6分）设点O到直线l的距离为d，则d=，所以AB=2=；…（10分）（Ⅲ）设切点Q的坐标为（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．则切线斜率为﹣．所以切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0）．又x02+y02=4，则x0x+y0y=4 …（12分）此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S==．…（14分）由x 02+y02=4≥2x0y0，知当且仅当x0=y0=时，x0y0有最大值．即S有最小值．因此点Q的坐标为（，）．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；（Ⅲ）设点P（﹣1，m），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k3=2k2．【解答】（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为：y2=2px，（p＞0），因为抛物线经过点A（1，2），所以4=2p，解得：p=2，则抛物线C的标准方程是：y2=4x．…（3分）（Ⅱ）解：由（1）知：F（1，0），OA的中点M的坐标为（），则k FM==﹣2，所以直线FM的方程是：2x+y﹣2=0．…（6分）（Ⅲ）证明：当直线的斜率不存在时，则F（1，0），B（1，2），D（1，﹣2），所以，，，则k1+k3=2k2，…（8分）当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为y=k（x﹣1），设B（x1，y1），D（x2，y2），则=，同理可得：，所以=2k﹣（2k+m）﹣，…（12分）由方程组，消去y，并整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，所以x1x2=1，…（14分）则k1+k3=2k﹣（2k+m）×1=﹣m，又，所以k1+k3=2k2，综上所述：k1+k3=2k2．…（16分）20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则k PA=，x≠﹣4，k PB=，x≠4，因为动点P与A、B连线的斜率之积为﹣，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）设M（a，2a+3）（a＞0），则⊙M 的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：a=，…（10分）所以圆M的方程为．…（11分）（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，…（12分）当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由|k×﹣r﹣3+b|=r，得：（）2r2+（k﹣2）（b﹣3）r+（b﹣3）2=（1+k2）r2，…（14分）所以，解得：或，所以存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．…（16分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015-2016年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷及参考答案
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在 答题卡相应位置上． 1． （5 分） 设全集 U=R， 若集合 A={1， 2， 3， 4}， B={x|2≤x≤3}， 则 A∩B= 2． （5 分）sin20°cos10°+cos20°sin10°= ． 条件． （填充分不必 ．
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（φ 为参数） ，以 O 为极
（1）设 M（x，y）是圆 C 上的动点，求 m=3x+4y 的取值范围； （2）求圆 C 的极坐标方程． 23．班上有四位同学申请 A，B，C 三所大学的自主招生，若每位同学只能申请 其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有 2 人申请 A 大学或 B 大学的概率； （2）求申请 C 大学的人数 X 的分布列与数学期望 E（X） ． 24．已知数列{an}满足 Sn，cn=Sn﹣2n+2ln（n+1） （1）令 ，证明：对任意正整数 n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ| ，记数列{an}的前 n 项和为
11． （5 分）已知方程 x3﹣ax+2=0（a 为实数）有且仅有一个实根，则 a 的取值范 围是 ．
12． （5 分）已知数列{an}满足 an+1=qan+2q﹣2（q 为常数） ，若 a3，a4，a5∈{﹣5， ﹣2平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点 E，F 分别 在线段 BC， DC 上运动， 设 ， 则 的最小值是 ．
（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式； （2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数 a 的值； （3）若数列{an}是公比为 a 的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，记 Mn=2Sn+1﹣Tn，求 Mn＜ 对任意 n∈N*恒成立的 a 的取值范围． 20． （16 分）设 f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2． （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若存在 x∈（0，+∞） ，使 f（x）＞g（x） ，求实数 a 的取值范围； （3）若使方程 f（x）﹣g（x）=0 在 x∈[e ，en]（其中 e=2.7…为自然对数的
江苏省泰兴中学高二数学上学期期中试题 理
江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为 ．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是 ．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为 ． 5、抛物线2y x =的焦点坐标为 ．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，L 从中归纳出一般结论： ． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为 ． 8、已知函数4y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为 ．10、已知121212,,||||1,||3z z C z z z z ∈==+=，则12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是 ．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l的方程为 ．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--．(1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭． （1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θπ∈．（1）用数学归纳法证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+；（2）已知3z i =+，试利用（1）的结论计算10z ；20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为23+和23-，直线()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =u u u r u u u r，求斜率k 的值；（3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈L ；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩Q ， ............................. 2分3m ∴=- .......................................................... 6分 （2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， ............. 8分 依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩......................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞-U ......................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或..................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ............................................. 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ...................................... 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. ............................................ 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. .............................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b Mc a ⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ..................................4分 2213,2()2c ca c ac e e a a ∴-=⇒====-或舍去； ....................6分 （2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r Q ， ....................... 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ............................ 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................. 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， ................................................ 2分 :129220l x y +-=，.............................................. 6分 (2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--， 即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ... 8分令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ................................... 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形， 面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，............. 14分 当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． ........................ 16分19、（1）证明：1o 当1n =时，左边=右边=cos sin i θθ+，所以命题成立； .. 2分 2o 假设当n k =时，命题成立，即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， .... 4分 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++g()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时，命题成立；........................................ 6分 综上，由1o和2o可得，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ............... 8分（2）31322cos sin 2266z i i i ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ................ 12分 10105513cos sin cos sin 663322z i i ππππ⎛⎫∴=+=+=- ⎪⎝⎭...............16分20、解（1）)由题意，2323a c a c ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩ 解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ............... 2分故椭圆的方程为2214x y +=． .................................... 4分 （2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ................................... 6分 设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx ，且1241x k =+则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+u u u r u u u r，因为6ED DF =u u u r u u u r ，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-= 8分所以D ⎛⎫在直线AB220-=， 化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． .................... 10分 （3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=............................ 12分421k +====..........................................14分因为0k >，所以E F d d +≤=， 当且仅当14k k =，即12k=时取“＝”号．所以max 12S ==16分。
江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一。
填空题（每题5分,共计70分)1．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g(x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=,=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人,高二学生270人,高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式(﹣)6的展开式中的常数项是．（用数字作答)7．如图，在正四面体ABCD中,点E为BC中点，点F为AD中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻(有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列｛a n｝为a0，a1，a2，a3，…,a n(n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题(本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL（不含80）之间,属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80)以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点,不包括右端点)（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人,记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y｜≤10的概率是多少？16．已知(+2x）n．（1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图:已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．(1)试用，，表示，并求｜|;(2）求证:CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球,白球和红球共n（n∈N＊）个,这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ;（2）当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式,如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1,求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x)k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+［（﹣1)i b i C]且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果,满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12,有（2，6)、（3，4）、（4，3)、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是(﹣∞,0)∪{1｝．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x)=f(x）﹣m在R上有且只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x)=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点,则由图可得m＜0或m=1，故答案为：(﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点,则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出,，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：,=，则，连接AN，则，那么：===,故答案为：．4．某校现有高一学生210人,高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10,故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟)分别为x,y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组,求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，(x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3,a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4;第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值,取一组空间基底为{｝，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，,从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，;设正四面体的棱长为1，则，=;=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为:．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35,求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中,令x=1，可得(1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①,分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵(x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=(﹣m）7．又展开式中x3的系数是35,可得•(﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1,可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时,a0=﹣1,由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ,即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1,由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n(m∈R，n∈N＊）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则(1+mx)n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得:2n=32，解得n=5，由(1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32,解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80,解得m=2．则(1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7)=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4,3，2，1个，黑球相应个数为0，1,2，3个,得分的随机变量ξ=4，6,8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3,2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个,∴得分的随机变量ξ=4，6，8,10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P(ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来,采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答)【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论:①、前6次取出的全部为白球,②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解:根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来,则一共有2种情况:①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个,6只白球中取出2个，安排在前5次取出,第6次取出第4只红球,有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形(如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1,5，9，为其中一种颜色时，2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2，6,3,颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9,有3种可能，当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2,6及3，一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关．当1,5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种,故答案为：10814．已知数列{a n｝为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N),b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n｝为等差数列a n=2n（n∈N）,则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n(n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式:x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解:∵a n=2n（n∈N)，∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n(n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n(n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导:（x+1）n+nx(x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1)n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx(x+1)n﹣2=1×2×+x+…+n(n+1）x n ﹣1，令x=1可得：（n2+3n)•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：(n2+3n）•2n﹣2．二。
高二年级2015—2016上学期期中考试数学试卷
泰和七中高二年级2015—2016上学期期中考试数学试卷命题人： 审题人：一、选择题。
（每小题5分，12小题，共60分）1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A .6πB .3π C .65π D .32π 2.若直线03=++a y x 平分圆04222=-++y x y x 的周长，则实数的值为（ ）A .1-B .1C .3D .3-3.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为（ ） A .4条 B .3条 C .2条 D .1条4.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A .m ⊂α，n //m ⇒n //αB .m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC .m ⊂α，n ⊂β，n //m ⇒n //αD .n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β5. 如果两直线b a //,且//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 （ ） A .相交 B .α//b C . b ⊂α D .α//b 或b ⊂α6.如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为（ ）A .61B .31 C .21D .17.下列命题中正确的是 （ ）A .一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行B .平行于同一直线的两个平面平行C .与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D .两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行8.已知坐标原点O 在圆x 2+y 2-x+y+m=0外，则m 的取值范围是 （ ） A .210<<m B .21<m C .21≤m D .0>m 9.在空间点A 是y 轴上一点，点B 3(，0，5-)， ||AB =25,则A 的坐标（ ） A .(0,4,0) B .(0,4-, 0) C .(0,4,0)或(0,4-,0) D .0(，5，0)10.点P 在直线04=-+y x 上，O 为原点，则||OP 的最小值是（ ） A .2 B .6 C .22 D .1011.过点（22，0）引直线l 与曲线x y 24-=交于A ,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 （ ） A .1- B .33- C .2- D .3- 12.中心角为︒135的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则B A :为（ ）A .8:11B .3:8C .3:8D .13:8二、填空题。
江苏省泰州中学2015-2016学年高二上学期第二次质量检测(理)数学试题
江苏省泰州中学高二第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“x R ∀∈，210x x ++≥”的否定是________．2.复数131ii--的共轭复数是________． 3.若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =________．4.命题“若0a =，则0ab =”的逆命题是________命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5.用反证法证明命题：“若,a b N ∈，ab 能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．2y x =在点(1,1)处的切线方程为________．2:2,:4p x q x ==，那么p 是q 的________．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）,,x y z 都是正数，则三个数111,,x y z y z x+++的值说法正确的是________． ①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于29.若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线34120x y --=上，则抛物线方程为_________．P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为3y x =，则2C 的渐近线方程为________．221164x y +=的三个顶点，且圆在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________． ()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是________．(1,1),,A B C 是抛物线2y x =上三点，若090ABC ∠=，则AC 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15.（本小题满分14分）已知:12,:(1)()0p x q x x m +≤+-≤．（1）若4m =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 16.（本小题满分14分）椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2P ，离心率12e =，A 为椭圆1C 上一点，B为抛物线22y =上一点，且A 为线段OB 的中点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求直线AB 的方程． 17.在数列{}n a 中，1131,23n n n a a a a +==+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 18.（本小题满分15分）已知ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等，若111,,a b c成等差数列．（1（2）求证：B 不可能是钝角． 19.（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>连结椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为1k 的直线1l 与椭圆交于不同的两点,A B ，其中A 点坐标为(,0)a -． （1）求椭圆T 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点M ，当10k ≠时，求MA MB 的最大值；（3）设P 为椭圆T 上任意一点，又设过点(,0)C a ，且斜率为2k 的直线2l 与直线1l 相交于点N ，若12154k k -=，求线段PN 的最小值．20.（本小题满分16分）设已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >． （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x -在(1,)+∞内有唯一解．参考答案一、填空题（14*5分）二、解答题15. （14分）（1）[]1,1-；（2）[]3,1- 16.（14分）解：（1）据题意得：22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222a b c =+，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y += ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）设A 点坐标为00(,)x y ，则B 点坐标为00(2,2)x y ，分别代入椭圆和抛物线方程得2200200143(2))x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去0y 并整理得：2003120x -=， 所以00x x ==或，当0x =时，0y =； 当0x =时，0y 无解，所以直线AB 的方程为12y x =±，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 17．（15分）解：123413333,,,26789a a a a =====，猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明： 当1n =时，131152a ==+，猜想成立；假设当(1,)n k k k N +=≥∈时猜想成立， 即35k a k =+. 则当1n k =+时，13333533(1)535k k k a k a a k k ++===+++++， 所以当1n k =+时猜想也成立， 由①②知，对n N +∈，35n a n =+都成立． 18.（15分） （1<， ， 只需证b ca b<， 由题意知a 、b 、0c >，只需证2b ac <， ∵111,,a b c成等差数列， ∴211b a c =+≥ ∴2b ac ≤，又a 、b 、c 任意两边均不相等，∴2b ac <成立．故所得大小关系正确．（2）证明：假设B 是钝角，则cos 0B <，而222222cos 0222a c b ac b ac b B ac ac ac+---=>>>． 这与cos 0B <矛盾，故假设不成立， ∴B 不可能是钝角． 19.（16分） 解：（1）由32c a =得2234a c =， 又222a b c +=，∴2a b =, 又由题意得12242a b ⨯⨯=，即2ab =， 解得2,1a b ==，故椭圆T 的方程为2214x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分解得2x =-或21212814k x k -=+，则2112211284(,)1414k k B k k -++，因而线段AB 中点坐标为211221182(,)1414k k k k -++， ∵10k ≠，则线段AB 的垂直平分线为21122111281()1414k k y x k k k -=-+++，设点M 坐标为0(0,)y ，令0x =得1021614k y k =-+，则00(2,)(,)B B MA MB y x y y =--422211111122222222111116464(16151)722(28)()4114141414(14)(14)k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤+----=++==+⎢⎥++++++⎣⎦， ∵欲求MA MB 的最大值，故可令21720k t -=>，则2122217249492225(14)240225(14)161201207k t t k t t t t-==≤=++++++， 故当154t =，即1k =MA MB 取最大值492894(1)24060+=，．．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）直线2l 方程为2(2)y k x =-，联立1(2)y k x =+得121221212()4(,)k k k k N k k k k +--，由12154k k -=得122145k k k k =-， ∴12121221212121212()42()53N N k k k k k k k k x y k k k k k k k k ++-+=+=+=---- 故点N 在定直线3x y +=上运动． 设与3x y +=平行的直线为y x b =-+，将y x b =-+代入2214x y+=化简整理得2258440x bx b -+-=， 由22(8)45(44)0b b ∆=--⨯-=得b =结合图形可知线段PN的最小值即为y x =-+3x y +=之间的距离，故线段PN =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 20．（16分）（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=， 当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增， 在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增． （2）由()222ln 2(1)0a f x x a x x '=---+=，解得11ln 1x xa x---=+， 令221111ln 1ln 1ln ()2()ln 2()111x x x x x x x x x x x x xϕ---------=-++-++++， 则211(2)2(1)10,()2()011e e e e e e ϕϕ----=>=--<++，故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=． 令00011ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+， 由1()10u x x'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增． 所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e ----=<=<=<++++， 即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==， 由（1）知，函数0()f x '在区间(1,)+∞上单调递增， 故当0(1,)x x ∈时，有0()0f x '<，从而0()()0f x f x '>=； 当0(,)x x ∈+∞时，有0()0f x '>，从而0()()0f x f x '>=； 所以，当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x '=在(1,)+∞内有唯一解．。
2015-2016学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．(★★★★)设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B= {2，3} ．2．(★★★★)sin20ocos10o+cos20osin10o= ．3．(★★★★)设x∈R，则“|x-2|＜1”是“x 2+x-2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）4．(★★★★)方程log 2（3x+2）=1+log 2（x+2）的解为 2 ．5．(★★★)已知数列{a n}是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则a 6的值等于32 ．6．(★★★★)曲线y=2x-lnx在点（1，2）处的切线方程是 x-y+1=0 ．7．(★★★★)设函数，则f（f（-1））的值是 -16 ．8．(★★★★)设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 6 ．9．(★★★★)已知sin（α-45o）=- ，且0o＜α＜90o，则cos2α的值为．10．(★★★)已知△ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 15 ．11．(★★★)已知方程x 3-ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（-∞，3）．12．(★★)已知数列{a n}满足 a n+1=qa n+2q-2（q为常数），若 a 3，a 4，a 5∈{-5，-2，-1，7}，则a 1= -2或- 或79 ．13．(★★)已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60o，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则的最小值是．14．(★★)已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（- ，- ）∪（- ，-1）．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)如图已知四边形AOCB中，| |=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB= ，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．16．(★★★)在等比数列{a n}中，a 1=1，且a 2是a 1与a 3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．求数列{b n}的前n项和．17．(★★★)如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90o，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．18．(★★★)设函数f（x）= ，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈，2的值域为5，6，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2 x）-k（k∈R）的零点个数．19．(★★★)设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a 1=a，b 1=1，c 1=3，对于任意n∈N *，有bn+1= ，c n+1= ．（1）求数列{c n-b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1-T n，求M n＜对任意n∈N *恒成立的a的取值范围．20．(★★★)设f（x）=x 2lnx，g（x）=ax 3-x 2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）-g（x）=0在x∈e ，e n（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．21．(★★★★)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M -1；（2）求直线4x-9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程．22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．23．(★★)班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．24．(★★)已知数列{a n}满足，记数列{a n}的前n项和为S n，c n=S n-2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（b nθ）|≤b n|sinθ|（2）证明数列{c n}是递减数列．。
【精品】2015-2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．【分析】直接利用复数的概念，写出结果即可．【解答】解：复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2；故答案为：﹣2．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=2016．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f′（x）=75x2+26x+2016，∴f′（0）=2016，故答案为：2016．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为11．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=11时，不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【分析】集合A，B满足A∩B=B且A≠B，可得：B⊊A，可得x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．即可判断出结论．【解答】解：集合A，B满足A∩B=B且A≠B，∴B⊊A，∴x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是①②．（写出所有不正确命题的序号）【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．【解答】解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．【分析】对两边求导，令x=可得f′（），再令x=即可求得f′（）．【解答】解：由，得f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，则f′（）=f′（）•cos﹣sin，解得f′（）=﹣1，∴=﹣cosx﹣sinx=﹣cos﹣sin=﹣=，故答案为：﹣．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为8x+25y﹣58=0．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是k≥1．【分析】求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而求出满足条件的k的范围即可．【解答】解：令f（x）=sinx﹣kx，x∈[0，π]，f′（x）=cosx﹣k，k≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[0，π]递减，f（x）的最大值是f（0）=0，符合题意，结合y=sinx和y=kx的图象，如图示：，k＜0时，不合题意，故答案为：k≥1．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为2．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d==﹣1，根据抛物线的定义可知d=﹣1，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2（两边之和大于第三边且A，B，F 三点共线时取等号）故答案为：2．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为（﹣3，0）．【分析】直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：直线的方程为y=k（x+4），由，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴x1=4，x2=，…（6分）∴C（，），又∵点P为AC的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，则k OP•k DQ=﹣1，即﹣•=﹣1，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【分析】（1）由题意可知y=2x（1﹣p）﹣px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润．【解答】解：（1）由题意可知，…（4分）（2）考虑函数当1≤x≤9时，，令f'（x）=0，得．…（6分）当时，2B，函数f（x）在上单调增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调减．所以当时，a取得极大值，也是最大值，又x是整数，，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．…（10分）当10≤x≤20时，，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．…（12分）答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．…（14分）18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．（2）利用（1）的结论即可得出．（3）由于，可，利用（1）的结论．【解答】（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=coskθ+isinkθ，则当n=k+1时，（cosx+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ．]（2）解：∵，∴，（3）解：，∵，∴，记，∴z n=r n（cosnθ+isinnθ），∴|z n|=r n=|z|n．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．【分析】（1）桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，即可得出结论；（2）①求出点A，B的坐标均满足方程，即可证明直线l AB恒过一定点；②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，由事实现象（2）知：直线PI⊥l，即可得出结论．【解答】解：（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以S=2（a﹣c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]（2）①设，则…[（5分）]，…[（6分）]代入，得，…[（7分）]则点A，B的坐标均满足方程，…[（9分）]所以，直线AB恒过定点；…[（10分）]②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，…[（11分）]由事实现象（2）知：直线PI⊥l，∴…[（13分）]令y=0，得点N的横坐标为，…[（5分）]∵x0∈（0，2），∴．…[（16分）]20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f'（x）=2ae2ax，∴，…[（2分）]∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；…[（4分）]（2）由（1）知f（x）=e x，g（x）=kx，…[（5分）]因为当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，所以∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，…[（6分）]∵x=0时，k∈R，∴，…[（7分）]记，则，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），∴h（x）在（﹣1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，…[（8分）]∴，∵，∴，…[（9分）]综上，所求实数k的取值范围是；…[（10分）]（3）由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），…[（11分）]∵，∴，…[（12分）]，∴，…[（13分）]要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，，∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ（μ）＜φ（1）=0，所以，x1•x2＜1…[（16分）]。
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期期中数学试卷与解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．2．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是．3．（5分）双曲线﹣x2=1的渐近线方程是．4．（5分）函数f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为．5．（5分）若命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，则实数r的取值范围是．6．（5分）已知函数f（x）=x+2sinx，x∈[0，π]，则函数y=f（x）的最大值为．7．（5分）命题“p：1＜k＜9”是命题“q：方程+=1表示椭圆”的条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”）8．（5分）函数f（x）=的递减区间为．9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON=．10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是．11．（5分）椭圆C：+=1和圆O：x2+y2=5，动点P在椭圆C上动点，当点P落在圆O内部时，点P横坐标的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF=．13．（5分）已知直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m 的值及点N的坐标．17．（14分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=a（x+），（x＞0，a＞0），点P为函数y=f（x）图象上一动点．（1）当a=2时，过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线，垂足分别为点A，B，试计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；（2）作曲线y=f（x）在点P处的切线l，记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M，N，试计算线段PM，PN长度比值．19．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：2．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是（0，1）．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．3．（5分）双曲线﹣x2=1的渐近线方程是y=±3x．【解答】解：已知双曲线﹣x2=1令：﹣x2=0即得到渐近线方程为：y=±3x；故答案为：y=±3x．4．（5分）函数f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1的极小值为﹣1．【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+3x﹣1，f′（x）=3x2﹣4x+3，令f′（x）=0，即x2﹣4x+3=0，解得：x=1，x=3，f′（x）＞0，解得：x＞3，x＜1，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，∴f（x）的单调递减区间为（1，3），∴当x=3，函数取极小值，极小值为f（3）=×27﹣2×9+3×3﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．5．（5分）若命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，则实数r的取值范围是0＜r＜2．【解答】解：双曲线﹣=1中a=2，∵命题“∃r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1有公共点”为假命题，∴命题“∀r∈R+，使得圆x2+y2=r2（r＞0）与双曲线﹣=1没有公共点”为真命题，∴0＜r＜2，故答案为：0＜r＜2．6．（5分）已知函数f（x）=x+2sinx，x∈[0，π]，则函数y=f（x）的最大值为．【解答】解：函数f（x）=x+2sinx，∴f′（x）=1+2cosx，当f′（x）=1+2cosx＞0，解得cosx＞﹣，即0≤x＜，函数单调递增，当f′（x）=1+2cosx＜0，解得cosx＜﹣，即＜x≤π，函数单调递减，故当x=函数有最大值，最大值为f（）=+，故答案为：．7．（5分）命题“p：1＜k＜9”是命题“q：方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”）【解答】解：方程+=1表示椭圆，则1＜k＜9且k≠5，即命题q：1＜k＜9且k≠5，故命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．8．（5分）函数f（x）=的递减区间为（﹣1，0）和．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0）．∵f（x）=，∴f′（x）=令f′（x）＜0，可得函数f（x）=的递减区间为（﹣1，0）和．故答案为：（﹣1，0）和．9．（5分）双曲线9x2﹣16y2=144上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON=5．【解答】解：由题意，M在双曲线的左支上，∵M到左焦点F1的距离为2，∴M 到右焦点F 的距离为10， ∵N 为MF 1的中点，O 为坐标原点， ∴ON=5． 故答案为：5；10．（5分）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 在区间（0，1）上有极值，则实数a 的取值范围是 （1，e ） ．【解答】解：f （x ）的定义域为R ，且 f′（x ）=e x ﹣a ．①当a ≤0时，f （x ）=e x ，故f （x ）在R 上单调递增，从而f （x ）没有极大值，也没有极小值．②当a ＞0时，令f'（x ）=0，得x=lna ．f （x ）和f′（x ）的情况如下：故f （x ）的单调减区间为（﹣∞，lna ）；单调增区间为（lna ，+∞）． 从而f （x ）的极小值为f （lna ）=a ﹣alna ；没有极大值． ∵函数f （x ）=e x ﹣ax 在区间（0，1）上有极值， ∴0＜lna ＜1， ∴a ∈（1，e ）． 故答案为：（1，e ）．11．（5分）椭圆C ：+=1和圆O ：x 2+y 2=5，动点P 在椭圆C 上动点，当点P 落在圆O 内部时，点P 横坐标的取值范围是 ．【解答】解：如图，联立，得5x2=9，即x=．由图可知，当点P落在圆O内部时，点P横坐标的取值范围是．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF=8．【解答】解：由题意，设椭圆的右焦点为F1，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF，F1D．由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1（其中F1是椭圆的左焦点）为平行四边形，所以AF1=FD，同理BF1=CF所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8．故答案为：8．13．（5分）已知直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，2）．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，直线l：y=x﹣4（k∈R）与双曲线C：﹣=1的右支有两个不同的交点，可得＞，解得﹣2＜a＜2，则双曲线的离心率e=＜=2，由e＞1可得e的范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2017）．【解答】解：∵函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，2f（x）+xf′（x）＞x2，∴2xf（x）+x2f′（x）＜x3＜0，∴[x2f（x）]′＜0，∴函数y=x2f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∵（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0，∴（x+2015）2f（x+2015）＞（﹣2）2f（﹣2），∴x+2015＜﹣2，x＜﹣2017故答案为：（﹣∞，﹣2017）二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：实数x满足x2﹣2x﹣8≤0；命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0）．（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p真：﹣2≤x≤4；当m=3时，若q真：﹣1≤x≤5…（3分）∵p且q为真，∴，∴实数x的取值范围为：[﹣1，4]…（7分）（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件…（10分）∵若q真：2﹣m≤x≤2+m∴且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴m≥4．…（14分）16．（14分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m 的值及点N的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，…（1分）由题意得：，解得：，…（4分）∴b2=3，∴椭圆的标准方程：；…（7分）（2）设N（x，y），则，对称轴：x=4m，﹣2≤x≤2…（9分）①当0＜4m≤2即，x=4m时，，解得：，不符合题意，舍去；…（11分）②当4m＞2，即，x=2时，，解得：m=1或m=3；∵，∴m=1；…（13分）综上：m=1，N（2，0）；…（14分）17．（14分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．18．（16分）已知函数f（x）=a（x+），（x＞0，a＞0），点P为函数y=f（x）图象上一动点．（1）当a=2时，过点P分别向y轴及直线y=2x作垂线，垂足分别为点A，B，试计算线段PA，PB长度之积PA•PB的值；（2）作曲线y=f（x）在点P处的切线l，记直线l与y轴及直线y=ax的交点分别为M，N，试计算线段PM，PN长度比值．【解答】解：（1）当a=2时，，设点P的坐标为，则，…（1分）依题意，，…（3分）由，得，…（5分）∴，…（7分）∴…（8分）（2）设点P的坐标为…（9分）∵，∴，…（11分）∴，…（12分）令x=0，得，…（13分）由，得N（2x0，2ax0），…（14分）则点为点和点N（2x0，2ax0）的中点，…（15分）所以…（16分）19．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以，即a2=4b2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①（6分）由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴（8分）又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（9分）（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．（11分）将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．（13分）所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．（14分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f （x ）是增函数；（ii ）当k=±2时，△=0， 若k=﹣2，f′（x ）=＞0，f （x ）是增函数 若k=2，f′（x ）=，那么x ∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x ）＞0，且f （x ）在x=1处连续， 所以f （x ）是增函数；（iii ）当k ＜﹣2或k ＞2时，△＞0，方程x 2﹣kx +1=0有两不等实根 x 1=，x 2=，当k ＜﹣2时，x 1＜x 2＜0，当x ＞0时，x 2﹣kx +1＞0恒成立， 即f′（x ）＞0，f （x ）是增函数当k ＞2时，x 2＞x 1＞0，此时f （x ）的单调性如下表：综上：当k ≤2时，f （x ）在（0，+∞）是增函数 当k ＞2时，f （x ）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k ＞2时，f （x ）有极值 ∵x 1==＜＜1，∴lnx 1＜0，且f 极大值（x ）=f （x 1 ）=＜0，∵f （x ）在（0，x 1 ）是增函数，在（x 1，x 2）是减函数，∴当x ∈（0，x 2]时，f （x ）≤f （x 1）＜0，即f （x ）在（0，x 2]无零点， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）是增函数，故f （x ）在（x 2，+∞）至多有一个零点，另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．。