1516高考数学解析几何解答题专题训练(附解析)
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习及答案解析版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ． 54B ．45C ．254D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32 B ．2 C ．2 D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为 A 、 B 、、 C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23-22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ）A ．)1,1 B ．C ．(D ．)+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( ) A.B.C. D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ） A ．1 B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r = 29．F 1、F 2是双曲线C ：x 2－22y b＝１的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．12 B ．22C ．32D ．3230．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x31．如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 32．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A.B 两点，F 为C的焦点，若2FA FB=，则k =（ ）A. 13B. 2C. 23D. 2233．已知椭圆23)0(1:2222的离心率为>>=+b a by a x C ，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与B A C ,相交于两点，若3=，则=k （ ） A. 1 B ．2 C ． 3 D ．234．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则P 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=4xD.y 2=-4x36．若R k ∈，则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（ ）A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k37．点（-1，2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是 （A ）（3，2） （B ）（-3，-2） （C ）（-3，2）（D ）（3，-2）38．设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB 的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、839．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( )A ．直线与圆相交但不过圆心.B ． 相切.C ．直线与圆相交且过圆心.D ． 相离40．椭圆的长轴为A1A2，B 为短轴的一个端点，若∠A1BA2=120°，则椭圆的离心率为A ．36B ．21C ．33D ．2341．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ）A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝142．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.3y x = B ．3y x = C ．33y x =D ．3y x =43．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5(,)12+∞44．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)45．已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点，O 为坐标原点，1(,0)2OA =，则OA OP ⋅的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．246．已知0AB >且0BC <，则直线0Ax By C ++=一定不经过( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 47．[2012·课标全国卷]等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|＝43，则C 的实轴长为( ) A.2 B.22 C.4 D.8 48．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。
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D．x2＋ (y－ 1)2＝1
y2 4 x 3 0 相切， 切点在第四象限， 则
直线 l 的方程为 ( )
A. y 3x B ． y
3x
C ．y
3 x
D ．y
3 x
3
3
43．当曲线 y 1 4 x2 与直线 kx y 2k 4 0 有两个相异的交点时，
x2 y 2 C ： a2 b2 1(a、 b 0) 右 支 上 的 点 P 的 切 线 l 平 分
F1PF2 。 现过原点作 l 的平行线交 PF1 于 M ， 则 | MP |
等于（ ▲ ）
A． a B ． b
C
．
2
a
2
b
D ．与点 P 的位置有关
49．已知直线 x y a 2 0 与圆 x2 y2 4交于 B 、 C 两点， A是圆上一点（与点
若∠ A1BA2=120°， 则椭圆的离心率
6 A． 3
1 B ．2
3
C
．3
3
D
．2
41．已知圆 C 与圆 (x－ 1)2＋y 2＝ 1 关于直线 y＝－ x 对称， 则圆 C 的方程为（
）
A． (x＋1)2 ＋ y2＝ 1
B． x2＋ y2＝ 1
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C． x2＋(y＋ 1)2＝ 1
，
且 与底面所成二面角为
心率为（
）
， 已知
6
与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，
则此椭圆的离
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（ A） 3 4
（ B） 3 2
（ C） 3 3
（ D） 2 2
32．已知直线 y k( x 2)(k 0) 与抛物线 C： y2 8 x 相交于 A.B 两点， F 为 C 的焦点，
高考数学平面解析几何专项训练(100题-含答案)
高考数学平面解析几何专项训练（100题-含答案）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点12(1,0),(1,0)F F -，点M 满足12MF MF +=记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于,A B 两点和,P Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)2212x y +=(2)0【解析】【分析】（1）根据122MF MF +=，利用椭圆的定义求解；（2）设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立，利用参数的几何意义求解.(1)解：因为122MF MF +=，所以点M 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，则21,1a c b ===，所以椭圆的方程是2212x y +=；(2)设()2,T m ，直线AB 的参数方程为()2cos ,sin x t y m t θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数，与椭圆方程联立()()2222cos 2sin 4cos 4sin 420t m t m θθθθ+++++=，由参数的几何意义知：12,TA t TB t ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m t t θθθ++⋅=-=-+-，设直线PQ 的参数方程为：()2cos ,sin x y m λαλλα=+⎧⎨=+⎩为参数,则12,TP TQ λλ==，则22122224242cos 2sin 2cos m m λλααα++⋅=-=-+-，由题意得：222242422cos 2cos m m θα++-=---，即22cos cos θα=，因为αθ≠，所以cos cos θα=-，因为0,0θπαπ<<<<，所以θαπ+=，所以直线AB 的斜率tan θ与直线PQ 的斜率tan α之和为0.2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =+(2)152522n n n T ++=-【解析】【分析】（1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T .(1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦；13a =也满足上式，故21n a n =+.(2)解：112122n n n n a n c +++==.则2341357212222n n n T ++=++++ ，所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++ ，上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎝⎭- 252542n n ++=-，因此，152522n n n T ++=-.3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点(3,1).(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B ，P 三点在椭圆C 上，O 为原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，且1213k k ⋅=-，若OP OA OB λμ=+，证明：221λμ+=.【答案】(1)221124x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由条件可得c a22911a b +=，222c b a +=，解出即可；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，由条件可得012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，12123x x y y =-，然后将01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程可得2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后可得答案.(1)因为ca=22911a b +=，222c b a +=所以可解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程221124x y +=.(2)设()()()112200,,,,,A x y B x y P x yOP OA OB λμ=+ ，012012x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩()()222212120011124124x x y y x y λμλμ+++=∴+= 即2222221122121221124124124x y x y x x y y λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112211124124x y x y +=+= ，，即22121221124x x y y λμλμ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭又1212121133y y k k x x ⋅=-∴=- ，即12123x x y y =-，221λμ∴+=4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ､B 分别为椭圆C 的右顶点､上顶点，F 为椭圆C的右焦点，椭圆C 的离心率为12，ABF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆C 上的动点（不是顶点），点P 与点M ，N 分别关于原点､y 轴对称，连接MN 与x 轴交于点E ，并延长PE 交椭圆C 于点Q ，则直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，定值为32-【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c 的关系，再结合ABF 的面积可得到()a c b -=，由此解得a,b ，可得答案.（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP 的斜率与直线MQ 的斜率之积，代入化简可得答案.(1)由题意得12c a =，则2a c =，b =.ABF 的面积为()1322a cb -=，则()a c b -将2a c =，b =代入上式，得1c =，则2a =，b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由题意可知直线PQ 的斜率一定存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,M x y --，()11,N x y -，()1,0E x -，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，∴()12122286223434km m y y k x x m k m k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭，∴21212263348434MQmy y k k km x x kk ++===-+-+，112PEPQ y k k k x ===，∵11112222MP PE y yk k k x x ====，∴33242MP MQ k k k k ⋅=-⨯=-∴MP MQ k k ⋅为定值32-.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.5．已知圆M 过点()1,0，且与直线1x =-相切.(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '.问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)24y x =(2)()2,0-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,A x y '-，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线A B '的方程，将12y y +、12y y 代入整理即可得解；(1)解：由题意知动点M 的轨迹C 是以(0,0)O 为顶点，()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心M 的轨迹方程为：24y x =；(2)解：设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y 、()22,B x y 不妨令21y y >，则()11,A x y '-，联立直线l 与抛物线方程得224x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则124y y t +=、128y y =-，则直线A B '的方程为()()211121y y y y x x x x +--=--，即()()21212121x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()2121212122ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，()()()2121211222t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()21211222y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t ⋅=-⨯--⨯，即()2y t x =+，令200x y +=⎧⎨=⎩解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线A B '恒过定点()2,0-；6．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222104x yb b+=>的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B两点，且22::3:4:5AF AB BF =.(1)求C 的离心率；(2)设M ，N 分别为C 的左、右顶点，点P 在C 上（P 不与M ，N 重合），证明：MPN MAN ∠≤∠.【答案】(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，由勾股定理的逆定理可得290BAF ∠=︒，再根据椭圆的定义可求出m 的值，从而可求出12,AF AF 的值，则可得点A 是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，（2）由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠，则可得0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，然后求出tan tan αβ+，tan tan αβ，再利用正切的两角和公式可得02tan()y αβ+=，由正切函数可求出αβ+的最小值，从而可求出()MPN παβ∠=-+的最大值，进而可证得结论(1)由()222104x y b b+=>，得24a =，得2a =，由题意设223,4,5AF m AB m BF m ===，则22222AF AB BF +=，所以290BAF ∠=︒，因为223451248AF AB BF m m m m a ++=++===，所以23m =，所以22AF =，所以122422AF a AF =-=-=，所以12AF F △为等腰直角三角形，所以点A 是椭圆短轴的一个端点，所以b c =，因为222224b c b a +===，得b c =所以椭圆的离心率为2c e a ==(2)由（1）可得椭圆方程为22142x y +=，则(2,0),(2,0)M N -,因为点A是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设A ,由椭圆的对称性，不妨设00(,)P x y，0y ∈，,PMN PNM αβ=∠=∠,则0000tan ,tan 22y y x x αβ==+-，2200142x y +=，所以2200002200001tan tan 22422y y y y x x x y αβ⋅=⋅===+--，00002200000442tan tan 2242y y y y x x x y y αβ+=+===+--，所以0tan tan 4tan()1tan tan y αβαβαβ++==-，所以当0y =tan()αβ+取得最小值由（1）可知290BAF ∠=︒，所以()0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当tan()αβ+取得最小值时，αβ+取得最小值，即点P 与点A 重合时，αβ+取得最小值，此时()MPN παβ∠=-+取得最大，所以MPN MAN∠≤∠7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为，且过点)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BO AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？【答案】(1)221102x y +=(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b+=，将点)P代入C 得251110b +=，解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+，1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅，又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k m k mkx xmk x x mm kk+-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得1NQ NA ⋅=-等于定值1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是22y x =的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，A ，B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且A ，B ，H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线HA ，HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点D ，E ，求证：直线DE 过定点.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率求出,a c 的关系式，再由,4a M b ⎛⎫⎪⎝⎭为抛物线22=y x 上的点，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程.（2）设点()(),20H m m -≠，求得HA ，HB 的方程，与椭圆联立求得,D E 坐标，写出直线DE 的方程，即可求出DE 恒过的定点.(1)由题意知，222224c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设点()(),20H m m -≠，易知()0,1A ，()0,1B -，∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--.联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴22436D m x m =+，223636D m y m -=+，同理可得284E m x m -=+，2244E m y m -=+，∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-，∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)E y px p =>上.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线12,l l 都过点12(2,0),,l l 的斜率之积为1-，且12,l l 分别与抛物线E 相交于点A ，C 和点B ，D ，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，求证：直线MN 恒过定点.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入求解抛物线方程；（2）设出直线方程，表达出,M N 的坐标，求出直线MN 的斜率，利用直线斜率之积为-1，求出直线MN 恒过的定点，从而证明出结论.(1)∵点(1,2)M -在抛物线2:2E y px =上，∴2(2)2p -=，∴解得:2p =，∴抛物线E 的方程为：24y x =.(2)由12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和点B ，D ，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.∴设1122:2,:2l x m y l x m y =+=+由214,2y x x m y ⎧=⎨=+⎩得：21480y m y --=设()()1122,,,A x y C x y ，则1214y y m +=，∴12M y m =，又2122M x m =+，即()21122,2M m m +同理可得：()22222,2N m m +∴()()212212212212222MN m m k m m m m -==++-+，∴()211121:222MN y m x m m m -=--+即MN ：()1212121y x m m m m =--⎡⎤⎣⎦+，∵12,l l 的斜率之积为1-，∴12111m m ⋅=-，即121m m =-，∴121:(4)MN y x m m =-+，即直线MN 过定点(4,0).10．已知抛物线()20x ay a =>，过点0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线12,l l ，设12,l l 分别与抛物线相交于,A B 及,C D 两点，当A 点的横坐标为2时，抛物线在点A 处的切线斜率为1.(1)求抛物线的方程；(2)设线段,AB CD 的中点分别为,E F ，O 为坐标原点，求证直线EF 过定点.【答案】(1)24x y =；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）结合导数知识，利用切线斜率构造方程可得a ，由此可得抛物线方程；（2）将直线AB 方程代入抛物线方程中，结合韦达定理可确定中点坐标，同理可得CD中点坐标，利用直线方程两点式可得直线EF 方程，化简可知其过定点()0,4.(1)由2x ay =得：21y ax =，则2y x a '=，241x y a=∴=='，解得：4a =，∴抛物线方程为：24x y =；(2)由题意知：直线12,l l 的斜率都存在且都不为零，由（1）知：()0,2M ，设直线:2AB y kx =+，代入24x y =得：2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，()21212444y y k x x k ∴+=++=+，AB ∴中点()22,22E k k +；12l l ⊥ ，1:2CD y x k ∴=-+，同理可得：CD 中点222,2F k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；EF ∴的方程为：()()222222222222k k y k x k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭-+=-+，化简整理得：14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当0x =时，4y =，∴直线EF 恒过定点()0,4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.11．在直角坐标系xOy 中，曲线:C 221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后的曲线为1C ，以x 轴正半轴为级轴，建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若1C 上的一点P 到2C 的距离的最大，求距离的最大值及P 点的坐标.【答案】(1)1C ：2213y x +=，2C ：40x y +-=；(2)max d =，1322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果.(1)解：由伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得，代入曲线:C 221x y +=得：1C 的普通方程为2213y x +=，由极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin y ρθ=，cos x ρθ=可得：2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(2)解：直线2C 的普通方程为40x y +-=，设1C上的为点()cos P θθ，到2C 的距离为d =当且仅当()223k k Z πθπ=-+∈时，取得max d =，又因为1cos 23y 2x θθ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点P 的坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭.12．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程；（2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标．(1)由题意可得1,1c b ==从而22a =.所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++，直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+.可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，13．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H 两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）.(1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.【答案】(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =.设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-.所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=.同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=，()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.14．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA = .(1)若λ=4，求直线l 的方程；(2)设点E (a ，0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=.若λ=4μ，求a的值.【答案】(1)4340x y --=或4340x y +-=(2)4【解析】【分析】（1）由4PF FA =得014y y =-，设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立，结合韦达定理，即得解；（2）由PF λFA = 得01y y λ=-，结合014y y =-，可得204y λ=，再由PE EB μ= 得02y y μ=-，设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立由韦达定理可得024y y a =-，故204y aμ=，又4λμ=，代入运算即得解(1)易知焦点F (1，0)，设P (0x ，0y )，A (1x ，1y )由4PF FA =得014y y =-设直线l ：1x my =+，与抛物线C :24y x =联立得2440y my --=，其中216160m ∆=+>，所以014y y =-由①②可得0141y y =⎧⎨=-⎩或0141y y =-⎧⎨=⎩又014y y m +=，所以34m =或34m =-所以直线l 的方程为314x y =+或314x y =-+.化简得4340x y --=或4340x y +-=(2)由PF λFA =得01y y λ=-又014y y =-可得204y λ=设点B (2x ，2y )，由PE EB μ= 得02y y μ=-设直线PB ：x ny a =+，与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=.所以216()0n a ∆=+>，024y y a=-故204y aμ=又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，考虑到点P 异于原点，所以00y ≠，解得4a =此时2216()16(4)0n a n ∆=+=+>所以a 的值为415．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:136x y C -=的右焦点为F ，T 为直线:1l x =上一点，过F 作TF 的垂线分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，交l 于点A ．(1)证明：直线OT 平分线段PQ ；(2)若3PA QF =，求2TF 的值．【答案】(1)证明见解析(2)12+【解析】【分析】（1）设直线PQ 的方程为3x ty =+，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ 的中点N 的坐标，计算得出ON OT k k =，证明出O 、T 、N 三点共线，即可证得结论成立；（2）由3PA QF =得3PA QF = ，可得出1238x x -+=，变形可得出()()12212184384x x x x x x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相乘结合韦达定理可求得2t 的值，再利用两点间的距离公式可求得2TF 的值.(1)解：依题意，3F x ==，即()3,0F ，设()1,2T t ，则直线PQ 的方程为3x ty =+，由22326x ty x y =+⎧⎨-=⎩得()222112120t y ty -++=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()222210Δ14448210t t t ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，故212t ≠，由韦达定理可得1221221t y y t +=--，1221221y y t =-，所以()121226621x x t y y t +=++=--，又直线PQ 分别交C 的左、右支于P 、Q 两点，所以()()()22121212122963339021t x x ty ty t y y t y y t +=++=+++=-<-，故212t >所以PQ 中点为2236,2121t N t t ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以2ON OT k t k ==，故O 、T 、N 三点共线，即直线OT 平分线段PQ ．(2)解：依题意，由3PA QF =得3PA QF =，则()12133x x -=-，即1238x x -+=，所以()12284x x x ++=，①，()121384x x x +-=，②①×②得()()21212123166416x x x x x x +++-=，所以()22222366963166416212121t t t t+⨯-⨯-=-⨯---，解得28374t +=，或28374t -=（舍去），此时，224412t TF =+=+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知抛物线2:4E y x =，F 为其焦点，O 为原点，A ，B 是E 上位于x 轴两侧的不同两点，且5OA OB ⋅=．(1)求证：直线AB 恒过一定点；(2)在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)在（2）的条件下，当F 为ABC 的内心时，求ABC 重心的横坐标．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)173【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，结合向量的数量积，转化求解直线AB 的方程，推出结果．（2）在x 轴上求一定点C ，使F 到直线AC 和BC 的距离相等即CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，根据斜率和为零，从而可得结果；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，由题意可得32AC CF AN NF ==，坐标化，结合点在抛物线上可得点的坐标，从而得到结果.(1)设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消x 得：2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅= 得：21212()516y y y y +=，所以：1220y y =-或124y y =（舍去），即4205n n -=-⇒=，所以直线AB 的方程为5x my =+，所以直线AB 过定点(5,0)P ．(2)由（1）知，直线AB 过定点(5,0)P 可设直线AB 的方程为5x my =+，此时124y y m +=，1220y y =-，设x 轴上定点C 坐标为(,0)t ，要使F 到直线AC 和BC 的距离相等，则CF 平分ACB ∠，即直线AC 与直线BC 关于x 轴对称，故0AC BC k k +=，即21210y yx t x t+=--，∴()()21120y x t y x t -+-=，∴()()1212250my y t y y +-+=，∴()40450m m t -+-=对任意m 恒成立，∴510t -=，5t =-，故在x 轴上有一定点C (5,0)-，使F 到直线AC 和BC 的距离相等；(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴交于N ，∵F 为ABC 的内心，∴32AC CF AN NF ==，32=，即2211126250x y x +-+=，又2114y x =，∴21122250x x -+=，同理22222250x x -+=，∴12,x x 是方程222250x x -+=的两个根，∴1222x x +=，∴三角形重心的横坐标为1251733x x +-=.17．已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线()()10y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于Q ，求MN PQ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2)(4,【解析】【分析】（1）由顶点和离心率直接求,,a b c 即可；（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长MN ，再求出垂直平分线和Q 坐标，表示出PQ ，最后分离常数求取值范围即可.(1)由题意知2222,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩可得1,2a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222418440k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222844,4141k k x x x x k k -+=⋅=++，()121222241k y y k x x k -+=+-=+，线段MN 的中点为2224,4141k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，线段MN 的垂直平分线方程为22214()4141k k y x k k k --=--++，令0y =，得22341kx k =+，所以223,041k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又(1,0)P ，则22223114141k k PQ k k +=-=++,又12MN x x =-=所以2241141MN k k PQk +==++220,1331k k ≠∴<-<+ ，故MN PQ的取值范围为(4,.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的关系式求解；（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长MN 、PQ ，转化成关于k 的代数式求范围即可.18．定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C 上一点M ，且与曲线C 在点M 处的切线垂直的直线称为曲线C 在点M 处的法线．设点()()000,0M x y y >为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点．(1)求抛物线C 在点M 处的切线的方程（结果不含0x ）；(2)求抛物线C 在点M 处的法线被抛物线C 截得的弦长||AB 的最小值，并求此时点M 的坐标．【答案】(1)002y py x y =+(2)；()p 【解析】【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解；（2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值.(1)因为点()()000,0M x y y >在抛物线上方，所以由2:2(0)C y px p =>得y =py y'=，所以在点M 处的切线斜率0y y pk y y ='==，所求切线方程为000()py y x x y -=-，又202y x p=，故切线方程为2000()2y p y y x y p -=-，即002y p y x y =+.(2)点M 处的法线方程为2000()2y y y y x p p-=--，即220022y p p x y y p +=-+.联立抛物线2:2(0)C y px p =>，可得()2232000220y y p y y p y +-+=，可知0∆>，设()()1122,,,A x y B x y ，()2221212002,2p y y y y y p y +=-⋅=-+，所以322212202()y p AB y y y +⋅-=.令200t y =>，则3222()(0)t p AB t t +=>，令3222()()(0)t p f t t t +=>，1312222222223()()()(2)2()2t p t t p t p t p f t t t +⋅-++⋅-'=⨯=，所以()f t 在()20,2p 单调递减，在()22,p +∞单调递增，所以()2min ()2f t f p ==，即min AB =，此时点M的坐标为()p .【点睛】（1）关键在于化简出0y >时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率；（2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值.19．已知点()11,0F -，()21,0F ，M 为圆22:4O x y +=上的动点，延长1F M 至N ，使得1MN MF =，1F N 的垂直平分线与2F N 交于点P ，记P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)过2F 的直线l 与Γ交于,A B 两点，纵坐标不为0的点E 在直线4x =上，线段OE 分别与线段AB ，Γ交于,C D 两点，且2OD OC OE =⋅，证明：AC BC =.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得12124PF PF F F +=>，可知P 点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；（2）由已知可知24D C x x =；当l 斜率不存在时显然不成立；当l 斜率存在时，设l 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB 中点横坐标；设():0OE y k x k ''=≠，与直线l 和椭圆方程联立可求得34k k'=-，由此可整理得到C x ，与AB 中点横坐标相同，由此可得结论.(1)连接1,MO PF，PM 是1NF 的垂直平分线，1PF PN ∴=，1222PF PF PN PF NF ∴+=+=；,M O 分别为112,NF F F 中点，224NF MO ∴==，12124PF PF F F ∴+=>，P ∴点轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =，1c =，23b ∴=，P ∴点轨迹Γ的方程为：22143x y +=；(2)2OD OC OE =⋅ ，即OD OE OC OD =，D EC Dx x x x ∴=，由题意知：0C x >，4E x =，24D C x x ∴=，①当直线l 斜率不存在时，即:1l x =，此时1C x =，2D x <，此时24D C x x =不成立；②当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，AB ∴中点的横坐标为21224234x x k k +=+；设直线OE 的方程为：()0y k x k ''=≠，由()1y k x y k x ='=⎧⎨-⎩得：kx k k ='-，即C k x k k ='-；由22143y k xx y =⎧='⎪⎨+⎪⎩得：221234x k ='+，即221234D x k ='+；由24D C x x =得：212434k k k k =''+-，整理可得：34k k '=-，2122434324C x x kk x k k k+∴===++，C ∴为线段AB 的中点，AC BC ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查定义法求解轨迹方程、直线与椭圆综合应用问题；本题证明C 为AB 中点的关键是能够通过已知等式得到,C D 两点横坐标之间满足的等量关系，进而表示出AB 中点横坐标和C 点横坐标，证明二者相等即可.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率2e =，P为椭圆上一动点，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆E 长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM 交椭圆于点N ，O 为坐标原点.证明：OM ON ⋅为定值；(3)平面内到两定点距离之比是常数()1λλ≠的点的轨迹是圆.椭圆E 的短轴上端点为A ，点Q 在圆228x y +=上，求22QA QP PF +-的最小值.【答案】(1)22142x y +=；(2)见解析；4.【解析】【分析】（1）结合离心率和12PF F △面积的最大值列出关于,,a b c 的方程，解方程即可；（2）设直线CM 方程，写出点M 坐标，联立椭圆方程，求点N 坐标，通过向量数量积计算即可；（3）设点R 坐标，借助点Q 在圆228x y +=上，将2QA 转化成RA ，再借助椭圆定义将2PF 转化成14PF -，最后通过1,,R P F 三点共线求出最小值.(1)当P 为短轴端点时，12PF F △的面积最大，2bc =，222222,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===，故椭圆E 的方程为22142x y +=.(2)由（1）知，()2,0,(2,0)C D -,设直线():2CM y k x =+，11(,)N x y ，,(2,4)MD CD M k ⊥∴ ，联立221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22222218840k x k x k +++-=，由21284221k x k --=+得2122421k x k -=+，1124(2)21ky k x k =+=+，222244(,)2121k k N k k -∴++,2222442442121k kOM ON k k k -⋅=⨯⨯++ ，故OM ON ⋅为定值4.(3)由题意(A ，设()(0,),,R m Q x y ，使2QA QR =，()()22222,4QR x y m QAx y +-==+，整理得222282833m m x y y --++=，又点Q 在圆228x y +=上，20,883m =∴⎨-⎪=⎪⎩解得m =，(0,R 由椭圆定义得124PF PF =-，2112(4)4QA QP PF QR QP PF QR QP PF +-=+--∴=++-，当1,,R P F三点共线时，(10,,(R F 22QA QP PF +-∴4.【点睛】（1）关键在于建立,,a b c 的方程；（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N 坐标；（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将2QA 转化成RA ，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，P 为椭圆C 上的一个动点，过点E0）作OP 的平行线交椭圆C 于M ，N 两点，问：是否存在实数t （t ＞0），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)存在，12t =【解析】【分析】（1）由题意可得2a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中可求出2b ，从而可求得椭圆的方程，（2）①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，将直线方程代入椭圆方程中可求出22,x y ，则可得2OP ，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，再利用两点间的距离公式表示出||,||EM EN ，再计算||||EM EN 与2OP 比较可求出t 的值，②当OP 的斜率不存在时，可得||OP =MN的方程为x ||||EM EN 的值，进而可求出t (1)由题意可得24a =，所以2a =．因为点（1，32）在椭圆C 上，所以221914a b +=，解得23b =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2)①当OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =．联立方程，得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得221234x k =+，2221234k y k =+．解得()2222221211212||343434k k OP k k k+=+=+++，设直线MN的方程为()()1122(,,,y k x M x y N x y =-．联立方程，得(22143y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩化简，得()22223412120k x x k +=+-=．因为点E0）在椭圆内部，所0∆>，221213221212,3434k x x x x k k-+=⋅=++，所以1||EM x =-．同理可得2||EN x =所以()(())22121212||||113EM EN kx xk x x x x ⋅=+=+⋅++()()22222223112122413343434k k kk k k k +-=+⋅-+=+++，假设存在实数(0)t t >），使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列，则22||||||EM EN t OP ⋅=．所以()()22222311213434k k tk k ++=⋅++．解得214t=．四为1t >，所以12t =，②当OP 的斜率不存在时，||OP =MN 的方程为x =x =22143x y +=，得234y =．所以||||2EM EN ==，当||,||,||EM t OP EN 构成等比数列时，22||||||EM EN t OP ⋅=，即2334t =．因为0t >，所以12t =．综上所述，存在实数12t =，使得||,||,||EM t OP EN 构成等比数列．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为()cos sin 3m m ρθθ++=l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB =CD .【答案】(1)2212x y +=，30mx y m ++=；(2)4.【解析】【分析】（1）消参法求曲线C 的普通方程，公式法求直线l 的直角坐标方程.（2）由（1）所得普通方程，结合圆中弦长、半径、弦心距的几何关系求圆心到直线l 的距离，再利用点线距离公式列方程求参数m ，即可得直线的倾斜角大小，由AB 、CD 的关系求CD 即可.(1)由题意，消去参数α，得曲线C 的普通方程为2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()cos sin 3m m ρθθ++得直线l的直角坐标方程为30mx y m ++=.(2)设圆心到直线l：30mx y m ++=的距离为d，则AB =3d =.3=，解得3m =-.所以直线l的方程为60x +=，则直线l 的倾斜角为30θ=︒.所以4cos30AB CD ==︒.23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线340x y ++=与圆1C ：222x y r +=相切，另外，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于C ，D 两点．且1CD =．(1)求圆1C 的方程与椭圆2C 的方程；(2)经过圆1C 上一点P 作椭圆2C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆1C 相交于M ，N 两点（异于点P ），求△OAB 的面积的取值范围．【答案】(1)225x y +=，2214x y +=；(2)4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r ，即可得圆1C 的方程，根据椭圆离心率、22b CD a=及椭圆参数关系求出a 、b 、c ，即可得椭圆2C 的方程.（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，讨论直线PA ，PB 斜率存在性，则直线PA 为()111y k x x y =-+、直线PB 为()222y k x x y =-+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程0∆=求1k 、2k ，进而得直线PA 为1114x x y y +=、直线PB 为2214x xy y +=，结合P 在直线PA ，PB 上有AB 为0014x xy y +=，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得0OAB S = .(1)由题设，圆1C ：222x y r +=的圆心为()0,0，因为直线340x y ++=与圆1C相切，则r ==所以圆1C 的方程为225x y +=，因为椭圆2Cc e a ==c =，由221b CD a==，则22a b =，又222a b c =+，所以22324a a a =+，解得2a =，1b =，所以椭圆2C 的方程为2214x y +=．综上，圆1C 为225x y +=，椭圆2C 为2214x y +=.(2)设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ．当直线PA ，PB 斜率存在时，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则直线PA 为()111y k x x y =-+，直线PB 为()222y k x x y =-+．由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y 得：()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=．所以()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦．令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=，则11111122111444x y x y x k x y y --=-==-，所以直线PA 为()11114x y x x y y -=-+，化简得：22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=．经验证，当直线PA 斜率不存在时，直线PA 为2x =或2x =-也满足1114x xy y +=．同理，可得直线PB 为2214x xy y +=．因为()00,P x y 在直线PA ，PB 上，所以101014x x y y +=，202014x xy y +=．综上，直线AB 为0014x xy y +=．由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22200035816160y x x x y +-+-=．所以01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+．所以12AB x =-=)20203135y y +==+．又O 到直线AB的距离d ==所以)20200311235OABy S y +=⋅+ t =，[]1,4t ∈，则24444OAB t S t t t∆==++，又[]44,5t t+∈，所以△OAB 的面积的取值范围为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA ，PB 的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA ，PB 的方程，由P 在直线PA ，PB 上求直线AB 的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.24．已知点A ，B 是抛物线x 2=2py (p 为常数且p >0)上不同于坐标原点O 的两个点，且0OA OB ⋅= .(1)求证：直线AB 过定点；(2)过点A 、B 分别作抛物线的切线，两切线相交于点M ，记 OMA 、 OAB 、 OMB 的面积分别为S 1、S 2、S 3;是否存在定值λ使得22s =λS 1S 3?若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，4λ=【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为y kx t =+，代入抛物线方程中，消去y ，。
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB（O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y xD.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（ ）A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
高中数学解析几何解答题(有答案)
高中数学解析几何解答题（有答案）高中数学解析几何解答题（有答案）解析几何解答题1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心…………………1分故该椭圆中即椭圆方程可为………3分设H（x,y）为椭圆上一点，则…………… 4分若，则有最大值…………………5分由（舍去）(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分若…………………7分由所求椭圆方程为………………… 8分（1）设，则由两式相减得（3）设，求的面积。
．解：（1）设，，，的方程为．（2）将代人并整理得，从而直线的方程为，即令所以点在直线上（3）由①知，因为，故，解得所以的方程为又由①知故4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线．(I)求椭圆的方程及直线的斜率；(Ⅱ)求面积的最大值．解：（I）设椭圆的方程为，则，得， .所以椭圆的方程为.…………………3分设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)，设，则由，得,由，得，，设,易知，由OT与OP斜率相等可得，即，所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为 (6)分（II）设直线AB的方程为，即，由得，，.………………8分点P到直线AB的距离为 .于是的面积为……………………10分设，，其中 .在区间内，，是减函数；在区间内，，是增函数.所以的最大值为 .于是的最大值为18.…………………12分5、设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程．解：（Ⅰ）由题意， -------1分为的中点------------2分即：椭圆方程为 ------------3分（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积不符合题意故舍掉；------------4分同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉；------------5分当直线，均与轴不垂直时，设 : ，代入消去得： ------------6分设 ------------7分所以，------------8分所以，------------9分同理 ------------11分所以四边形的面积由，------------12分所以直线或或或 ---------13分6、已知抛物线P：x2=2py(p0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F 的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；，解得．抛物线的方程为．4分（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由，消y得，6分，解得．7分切线方程为．8分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，，由消y得．且．∵ ，直线：，与联立可得，同理得．10分∵焦点，，，12分以为直径的圆过焦点．14分7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I）由题意可得，2分所以，即 4分即，即动点的轨迹的方程为 5分（II）设直线的方程为 , ，则 .由消整理得，6分则，即 .7分.9分直线12分即所以，直线恒过定点 .13分8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周所以，1分又椭圆的离心率为，即，所以，2分所以， .4分所以，椭圆的方程为 .5分（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为 . 由得，6分设，，因为，所以，7分同理可得，8分所以，，10分，12分设，则，13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为 .14分方法二：不妨设直线的方程 .由消去得，6分设，，则有， .①7分因为以为直径的圆过点，所以 .由，得 .8分将代入上式，得 .将①代入上式，解得或（舍）.10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.12分设，则 .所以当时，取得最大值 .14分9、过抛物线C: 上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
高考数学解析几何解答题专项练习题(附解析)
高考数学解析几何解答题专项练习题（附解析）各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大伙儿一定要在平常的练习中不断积存，查字典数学网为大伙儿整理了解析几何解答题专题训练题，期望同学们牢牢把握，不断取得进步!1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+ p2=0，因此x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，因此p=4，从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，从而A(1，-22)，B(4,42).设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，又y23=8x3 ，因此[22(2-1)]2=8(4+1)，即(2-1)2=4+1，解得=0，或=2.2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在如此的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?假如存在，求出l的方程;假如不存在，请说明理由.解(1)设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知|3a+7|32+42=R，a2+3=R解得a=1或a=138，又S=13，a=1，R=2.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得y=kx+3x-12+y2=4，消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200，解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，36k-21+k2=2k+61+k2，解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，不存在如此的直线l.3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN 的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.解(1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，则AB+AC=(x0+6，y0)，故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.解得x0=2x-2，y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2，得x2+y2=1，即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)，①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理，得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切，故|2k|k2+1=1，解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24)，解得a2=8，经检验，现在0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，关于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出那个定值;若不是，说明理由.解(1)设|PF1|=m，|PF2| =n.在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，化简得，m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.化简得mn=43.因此(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22，由此可得，a=2.又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，由y=kx-1，x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ 为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.解(1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时，则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时，可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0，得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
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25 高三数学训练题及解答（解析几何1）一、非解答题1 (10安徽文)过点(1, 0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )(A) x-2y-l=0(B)x-2y+l=0(C)2x+y-2=0(D) x+2y-l=0【解析】设直线方程为x —2y + c = 0,又经过（1,0）,故c = —1,所求方程为x-2y-l = 0.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为x-2y + c = 0 ,代入 此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个 过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行.2. （02全国）椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是（0, 2）,那么斤等于（ ）A. — 1B.lC. A /5D. —y/~525解：椭圆方程可化为：#+'=1•.•焦点（0, 2）在y 轴上，.•<2=—，b 2=l,£ kk又 c 2=a 2—Z?2=4, /. k= 1Y 2 y 23、 （98全国）椭圆—+ ^-=1的焦点为Fi 和尸2，点P 在椭圆上•如果线段PFi 的中点在y 轴上， 那么是卩砂的（ ） A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析：不妨设几7。
），兔（3, 0）由条件得P （3, ±亍，即阳盲 因此卩刊=7卩砂，故选A.4. （09江西）过椭圆l + £ = l （a 〉b 〉0）的左焦点耳作x 轴的垂线交椭圆于点P ,瑪为右焦点, a" b~则椭圆的离心率为（解：因P （-c,±—）,再由ZF {PF 2=60°有竺= 2a,从而可得e = - = — ,故选Ba aa 32 25、（11辽宁理14文16）设椭圆—+ ^ = 1上一点P 到左准线的距离为10, F 是该椭圆的左焦点,解析：椭圆—+ = 1左准线为% = ,左焦点为（-3, 0）, P （二土型），由已知M为PF25 16 3 3 3中点，M （—彳，土芈），所以\OM\= ^（-|）2+（±^-）2 =26（10上海文）圆C:x2 + y2-2x-4y + 4 = 0的圆心至Q直线3x + 4y + 4 = 0的距离d = ______ 。
高考数学解析几何专项训练.docx
高中数学学习材料唐玲出品解析几何专项训练一．选择题：（共12小题，每小题5分，计60分）1.在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)2.已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．3 5 B ．6 5 C ．415D ．2153.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝14.已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 5.已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 26.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)7.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 28.已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．29.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．510.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝011.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12C.32D.3－112.已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43二．填空题：（共4小题，每小题5分，计20分）13.在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．14.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．15.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.16.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.三．解答题：（共70分）17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝⎛⎭⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．18.（14分）在△ABC 中，顶点B (－1,0)，C (1,0)，G ，I 分别是△ABC 的重心和内心，且IG →∥BC →.(1)求顶点A 的轨迹M 的方程；(2)过点C 的直线交曲线M 于P ，Q 两点，H 是直线x ＝4上一点，设直线CH ，PH ，QH 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，试比较2k 1与k 2＋k 3的大小，并加以证明．19.（14分）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．20.（15分）如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21.（15分）如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.答案：1.解析：选A.圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2⇒a <－2，|2a |>2故选A.2.解析：选D.将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.3.解析：选D.利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝± bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.4.解析：选A.由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A. 5.解析：选B.|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3， 所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 6.解析：选D.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ， 又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.7.解析：选C.如图，设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝2a ＋x .又∵△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB |＝|AF 1|＝2a ＋x ，∴|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝4a ，∴4a ＝2(2a ＋x )，x ＝2(2－1)a ，又∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(2a ＋x )2＋x 2＝4c 2，即8a 2＋4(3－22)a 2＝4c 2，e 2＝c 2a2＝5－2 2.8.解析：选B.因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.9.解析：选C.将点的坐标代入直线的方程，得到a ，b 所满足的关系式，再利用基本不等式求最值．将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 10.解析：选A.设C 1的离心率e 1＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2，C 2的离心率e 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.e 1e 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝32.∴⎝⎛⎭⎫b a 4＝1－34＝14， ∴b a ＝22. ∴渐近线y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.11.解析：选D.设A (m ，n )，则⎩⎨⎧nm ＋c ×(－3)＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.12.解析：选B.先根据已知条件分析△ABC 的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离．在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B. 13.解析：设出点D 的坐标，求出点D 的轨迹后求解．设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0, 3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1. 答案：7＋114.解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |， ∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x15.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.答案：4±1516.解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：3317.解：(1)由题意可知圆心到⎝⎛⎭⎫12，0的距离等于到直线x ＝－12的距离，由抛物线的定义可知，曲线E 的方程为y 2＝2x .(2)法一：设P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )，直线PB 的方程为：(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0，又圆心(1,0)到PB 的距离为1， 所以|y 0－b ＋x 0b |(y 0－b )2＋x 20＝1，整理得：(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0， 同理可得：(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2， 依题意bc <0，即x 0>2，则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2， 因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2， 所以S ＝12|b －c |x 0＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8， 当x 0＝4时上式取得等号，所以△PBC 面积的最小值为8.法二：设P (x 0，y 0)，直线PB ：y －y 0＝k (x －x 0)，由题知PB 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则 |k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝1，整理得： (x 20－2x 0)k 2＋2(1－x 0)y 0k ＋y 20－1＝0，k 1＋k 2＝－2(1－x 0)y 0x 20－2x 0，k 1k 2＝y 20－1x 20－2x 0， 依题意x 0>2，则|y B －y C |＝|(y 0－k 1x 0)－(y )－k 2x 0|＝|k 1－k 2|x 0，又|k 1－k 2|＝2|x 0－2|，则|y B －y C |＝⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2， 所以S ＝12|y B －y C ||x 0|＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8，当且仅当x 0＝4时上式取得等号， 所以△ PBC 面积的最小值为8.18.解：(1)由题意知S △ABC ＝12(|AB |＋|AC |＋|BC |)·r ＝12|BC |·|y A |，且|BC |＝2，|y A |＝3r ，其中r 为内切圆半径， 化简得：|AB |＋|AC |＝4，顶点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)2k 1＝k 2＋k 3，以下进行证明：当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)且P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，H (4，m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －1)可得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2， x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. 由题意：k 1＝m 3，k 2＝y 1－m x 1－4，k 3＝y 2－m x 2－4. k 2＋k 3＝(y 1－m )(x 2－4)＋(y 2－m )(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4)＝8m ＋8k ＋2kx 1x 2－(m ＋5k )(x 1＋x 2)x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝24mk 2＋24m 36k 2＋36＝2m 3＝2k 1. 当直线PQ 的斜率不存在时，不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32， 则k 2＋k 3＝m －323＋m ＋323＝2m 3＝2k 1. 综上可得2k 1＝k 2＋k 3.19.(1)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2. ∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x ＝k 4＝k ， 即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB .证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k 2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0， ∴m ＝k ，即l 1∥AB .(2)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝ 12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. ∵|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1)＝12k 2＋1×k 2＋16. ∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2， ∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N .20.解：(1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0， 由于直线P A 与抛物线相切Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0， 解得⎩⎨⎧x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32. 21.解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3.即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)方法一：连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1， x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝(a a 2－2b 2c ＋c )2＋b 4c 2 ＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|，又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(42＋2－1)2＝6－ 3. 方法二：如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，则|PF 1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a. 由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
江苏省2015-2016学年高中数学二轮专题 解析几何分解
第1讲直线与圆高考定位高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．多为B级或C级要求．真题感悟1．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y －2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 考 点 整 合1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在且l 1与l 2不重合时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.特别地，当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l 1⊥l 2.2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2；对于二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎨⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF ＞0.3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.热点一 直线与圆有关问题[微题型1] 求圆的方程【例1－1】 (2015·广州模拟)若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析 因为圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4， ∴b 2＝3，b ＝±3.答案 (x －2)2＋(y ±3)2＝4探究提高圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．[微题型2]圆的切线问题【例1－2】(2015·重庆卷改编)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB ＝________．解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，AB＝AC2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.答案 6探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．[微题型3]与圆有关的弦长问题【例1－3】(2015·泰州调研)若圆上一点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是________．解析设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，故r2－2＝2，依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以，所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244探究提高 涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝r 2求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|.【训练1】 (2015·全国Ⅰ卷改编)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝________．解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.答案 4 6热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON→＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以MN ＝2.探究提高 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．【训练2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交．(1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，圆C 1与圆C 2的半径分别为r 1、r 2，由题意得PC 21－r 21＝PC 22－r 22，即[(x 0－3)2＋(y 0＋2)2]－4＝[(x 0＋m )2＋(y 0＋m ＋5)2]－(2m 2＋8m ＋10)， 化简得x 0＋y 0＋1＝0，因为P 为坐标轴上的点，所以点P 的坐标为(0，－1)或(－1，0)．(2)证明 依题意可设直线l 的方程为：y ＋2＝k (x －3)，k ＞0，化简得kx －y －3k －2＝0，则圆心C 2(－m ，－m －5)到直线l 的距离为|k －1|·|m ＋3|k 2＋1， 又圆C 2的半径为2m 2＋8m ＋10，所以“直线l 与圆C 2总相交”等价于“∀m ≠－3，|k －1|·|m ＋3|k 2＋1＜2m 2＋8m ＋10”， 即|k －1|k 2＋1＜ 2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2，① 记y ＝2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2，整理得(y －2)m 2＋2(3y －4)m ＋9y －10＝0， 当y ＝2时，m ＝－2；当y ≠2时，判别式Δ＝[2(3y －4)]2－4(y －2)(9y －10)≥0，解得y ≥1；综上得y ＝2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2， m ≠－3的最小值为1，所以①式⇔|k －1|k 2＋1＜1⇔k ＞0，即证． 热点三 直线、圆与其他知识的交汇【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1，0)，点P ，B 在椭圆上，BP→＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，P A 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)因为BP→＝DA →且A (3，0)，所以BP ＝DA ＝2，而B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横坐标为1，从而得P (1，2)，B (－1，2)，所以直线BD 的方程为x ＋y －1＝0.(2)线段BP 的垂直平分线方程为x ＝0，线段AP 的垂直平分线方程为y ＝x －1，所以圆C 的圆心为(0，－1)，且圆C 的半径为r ＝10，又圆心(0，－1)到直线BD 的距离为d ＝2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝4 2.(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，P A 是圆N 的弦，则点M 一定在y 轴上，点N 一定在线段P A 的垂直平分线y ＝x －1上，当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有P ，M ，N 在一条直线上，且PM ＝PN . 设M (0，b )，则N (2，4－b )，根据N (2，4－b )在直线y ＝x －1上，解得b ＝3.所以M (0，3)，N (2，1)，PM ＝PN ＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x 2＋(y －3)2＝2，(x －2)2＋(y －1)2＝2.探究提高 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB ＝2r 2－d 2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．【训练3】 (2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2OQ 2＝1OM 2＋1ON 2.请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则OM2＝(1＋k2)x21，ON2＝(1＋k2)x22. 又OQ2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2.由2OQ2＝1OM2＋1ON2，得2（1＋k2）m2＝1（1＋k2）x21＋1（1＋k2）x22，即2m2＝1x21＋1x22＝（x1＋x2）2－2x1x2x21x22.由(*)式可知，x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，所以m2＝365k2－3.因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝nm，代入m2＝365k2－3中并化简，得5n2－3m2＝36.由m2＝365k2－3及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805.于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称．3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.一、填空题1．(2015·广东卷改编)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________．|0＋0＋c|解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝5，解得c＝±5，所22＋12以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案2x＋y±5＝02．(2015·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝23．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.答案25554．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为(3，4)，半径为r ＝5，则过点(3，5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6. 答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________．解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a ，0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有⎝⎛⎭⎫6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32，解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，设圆心C(4，0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝|4k－2|k2＋1，由题意知问题转化为d≤2，即d＝|4k－2|k2＋1≤2，得0≤k≤43，所以k max＝4 3.答案4 37．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0，1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．答案[－1，1]8．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB 是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为________．解析根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，根据勾股定理得AB＝2，∴OC ＝12AB ＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b2＝22， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数． ∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝（2－1）2＝2－1.答案2－1二、解答题9．(2013·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2，3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0，9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2，0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4，0)，B (4，0)，F (2，0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t ＞0)．∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2，3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8. 圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1，2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0，9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.11.如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵MN ＝219， ∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0，∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP → ＝BA →·BP→. 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52.则BP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， 又BA→＝(1，2)，∴BQ →·BP →＝BA →·BP→＝－5. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP→＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP→＝－5.第2讲 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆有关知识为B 级要求，双曲线的有关知识为A 级要求．真 题 感 悟1．(2013·江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 解析 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 答案 y ＝±34x2．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 解析 建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 23．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4，0)． ∴MF ＝1＋15＝4.法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝a2c＝1的距离比为离心率e＝ca＝2，∴MF3－1＝2，MF＝4.答案 44．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.答案22考点整合1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)；(2)双曲线：|MF1－MF2|＝2a(2a<F1F2)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2；(2)双曲线：①e ＝ca ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±ab x .4．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 2－x 1|或P 1P 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.热点一 圆锥曲线的定义和标准方程【例1】 (1)(2015·福建卷改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2等于________．(2)(2015·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析 (1)由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴PF 2－PF 1＝6， ∴PF 2＝9.(2)由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故双曲线方程为x 24－y 23＝1.答案 (1)9 (2)x 24－y 23＝1探究提高 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟悉记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求|PF 1－PF 2|＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，画出合理草图．【训练1】 (1)(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝________．(2)(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 解析 (1)由4＝25－m 2(m ＞0)⇒m ＝3.(2)设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由AF 1＝3F 1B ， 可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案 (1)3 (2)x 2＋32y 2＝1 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析 (1)抛物线y 2＝－4x 的焦点坐标是(－1，0)，即双曲线的一个顶点坐标是(－1，0)，设双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝1，又a 2c ＝12，因此c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，故其渐近线方程是y ＝±3x .(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎨⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a .∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54. 设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.答案 (1)y ＝±3x (2)32探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【训练2】 (1)(2015·临沂模拟)已知对称中心为坐标原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，其左、右焦点都在x 轴上，分别设为F 1，F 2，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 2为底边的等腰三角形，若PF 2＝3，且椭圆的离心率为23，则双曲线的离心率为________．(2)(2015·镇江期末)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 解析 (1)如图，设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，F 1F 2＝2c ，则PF 1＝F 1F 2＝2c.在椭圆中，由离心率的定义可知，e 1＝2c 2a 1＝2cPF 1＋PF 2＝2c3＋2c＝23，解得c ＝3，即PF 1＝F 1F 2＝6.在双曲线中，2a 2＝|PF 1－PF 2|＝6－3＝3，故其离心率e 2＝2c 2a 2＝63＝2.(2)设左焦点F (－c ，0)，A 点坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋c ×（－3）＝－1，3×x 0－c 2＋y2＝0，解得：x 0＝c 2，y 0＝32c ，又点A 在椭圆C 上．∴222ca⎛⎫⎪⎝⎭＋22b⎫⎪⎝⎭＝1，又b2＝a2－c2，整理得：c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，解得：e2＝4±23，∴e＝3－1(e＝3＋1舍去)．答案(1)2(2)3－1热点三有关圆锥曲线的弦长问题【例3】(2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB 于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解(1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2 ＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）， 从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.探究提高 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．【训练3】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154，由c a ＝23， 得b ＝53a ， 所以54a ＝154， 得a ＝3，b ＝5，故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.1．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线．2．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础． 3．在椭圆焦点三角形PF 1F 2，∠F 1PF 2＝α，则12PF F S＝c |y 0|＝b 2·tan α2.4．求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .5．通径：过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短.一、填空题1．(2015·南通·泰州调研)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________． 解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．(2015·安徽卷改编)双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为________． 解析 焦点在y 轴上的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±2x .答案 y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 5x 2－54y 2＝14．(2015·湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________． 解析 不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e＝ 5. 答案55．(2015·江苏五市模拟)已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0＜m ＜9)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________．解析 已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0＜m ＜9)中，a 2＝9，b 2＝m .AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10，∴AB ≥2，AB min ＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3. 答案 36．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 x 218＋y 29＝17．(2013·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________．解析 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2. 答案 28．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3，0)．又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3，0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.答案 x 25－y 24＝1 二、解答题9．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1，0)的距离与到定点B (1，0)的距离之比为 2. (1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1，2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若MN ＝4，求直线l 的方程． 解 (1)由题意得P A ＝2PB ， 故（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2， 所以MN ＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.10．(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ， 故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b＋yb ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.11．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.第3讲 圆锥曲线的综合问题高考定位 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．真 题 感 悟(2012·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，由点(1，e )在椭圆上， 得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0， 解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝（my 1）2＋y 21。
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高中数学圆锥曲线1516高考真题高中数学圆锥曲线高考真题一(解答题(共30小题)1(已知椭圆C:+=1过点A(2，0)，B(0，1)两点((1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证:四边形ABNM的面积为定值(2(平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a,b,0)的离心率是，抛2=2y的焦点F是C的一个顶点( 物线E:x(I)求椭圆C的方程;(?)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M((i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点G，记?PFG的面积为S，?PDM的面积为S，求的12最大值及取得最大值时点P的坐标(3(设椭圆+=1(a,)的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率((1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF?HF，且?MOA=?MAO，求直线l的斜率( 第1页(共61页)24(如图，设椭圆C:+y=1(a,1)(?)求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长(用a，k表示)(?)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围(5(设椭圆+=1(a,)的右焦点为F，右顶点为A(已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率((1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线l的斜率的取值范围( 26(在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t?0)交y轴于点M，交抛物线C:y=2px(p,0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H( (?)求;(?)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点,说明理由(27(已知抛物线C:y=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l，l分别交C于A，12B两点，交C的准线于P，Q两点((?)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ;(?)若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程( 8(已知椭圆C:+=1(a,b,0)的长轴长为4，焦距为2( (?)求椭圆C的方程;(?)过动点M(0，m)(m,0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第2页(共61页)第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B((?)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值; (?)求直线AB的斜率的最小值(9(已知椭圆E:+=1(a,b,0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上((?)求椭圆E的方程;(?)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明:,MA,•,MB,=,MC,•,MD,10(已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k,0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA?NA((?)当t=4，|AM|=|AN|时，求?AMN的面积;(?)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围(11(已知A是椭圆E:+=1的左顶点，斜率为k(k,0)的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA?NA((I)当|AM|=|AN|时，求?AMN的面积(II) 当2|AM|=|AN|时，证明:,k,2(12(如题图，椭圆=1(a,b,0)的左、右焦点分别为F，F，过F的直122第3页(共61页)线交椭圆于P，Q两点，且PQ?PF 1(?)若|PF|=2+|=2,，求椭圆的标准方程; 1(?)若|PF|=|PQ|，求椭圆的离心率e( 113(如题图，椭圆=1(a,b,0)的左右焦点分别为F，F，且过F的直122线交椭圆于P，Q两点，且PQ?PF( 1(?)若|PF|=2+，|PF|=2,，求椭圆的标准方程( 12(?)若|PQ|=λ|PF|，且?λ,，试确定椭圆离心率e的取值范围( 114(设椭圆E的方程为=1(a,b,0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为((1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0，,b)，N为线段AC的中点，证明:MN?AB(215(已知抛物线C:x=4y的焦点F也是椭圆C:+=1(a,b,0)的一个12焦点，C与C的公共弦的长为2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，与121第4页(共61页)C相交于C，D两点，且与同向( 2(?)求C的方程; 2(?)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率(16(已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称( (1)求实数m的取值范围;(2)求?AOB面积的最大值(O为坐标原点)(217(已知抛物线C:x=4y的焦点F也是椭圆C:+=1(a,b,0)的一个12焦点(C与C的公共弦长为2( 12(?)求C的方程; 2(?)过点F的直线l与C相交于A、B两点，与C相交于C、D两点，且与12同向((?)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率;(?)设C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明:直线l绕点F旋转时，?1 MFD总是钝角三角形(18(一种画椭圆的工具如图1所示(O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系((1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l:x,2y=0和l:x+2y=0分别交于P，Q两点(若12直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究:?OPQ的面积是否存在最小值, 第5页(共61页)若存在，求出该最小值;若不存在，说明理由(19(已知椭圆E:+=1(a,b,0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c((?)求椭圆E的离心率;22(?)如图，AB是圆M:(x+2)+(y,1)=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程(20(椭圆C:=1，(a,b,0)的离心率，点(2，)在C上( (1)求椭圆C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M(证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(21(如图，椭圆E:+=1(a,b,0)经过点A(0，,1)，且离心率为( (?)求椭圆E的方程;(?)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明:直线AP与AQ斜率之和为2(第6页(共61页)2222(已知椭圆C:x+3y=3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M((1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由(22223(已知椭圆C:9x+y=m(m,0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M((1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形,若能，求此时l的斜率;若不能，说明理由(24(已知椭圆E:+=1(a,b,0)过点，且离心率e为( (1)求椭圆E的方程;(2)设直线x=my,1(m?R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由(225(已知点F为抛物线E:y=2px(p,0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3，(?)求抛物线E的方程;(?)已知点G(,1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明:以点F为圆心且第7页(共61页)与直线GA相切的圆，必与直线GB相切(26(平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:+=1(a,b,0)的离心率为，左、右焦点分别是F，F，以F为圆心以3为半径的圆与以F为圆心以1为半1212径的圆相交，且交点在椭圆C上((?)求椭圆C的方程;(?)设椭圆E:+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q((i)求||的值;(ii)求?ABQ面积的最大值(27(设椭圆E的方程为+=1(a,b,0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为(?)求E的离心率e;(?)设点C的坐标为(0，,b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程(28(已知椭圆+=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心率为，点22M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=(第8页(共61页)(?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(29(如图，椭圆E:的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2((?)求椭圆E的方程;(?)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立,若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由(30(已知椭圆C:+=1(a,b,0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m?0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M((?)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示);(?)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问:y轴上是否存在点Q，使得?OQM=?ONQ,若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由( 第9页(共61页)高中数学圆锥曲线高考真题参考答案与试题解析一(解答题(共30小题)1((2016•北京)已知椭圆C:+=1过点A(2，0)，B(0，1)两点( (1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证:四边形ABNM的面积为定值(【分析】(1)由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=;(2)设P(x，y)，求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，00BM|(由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定|值2(【解答】(1)解:?椭圆C:+=1过点A(2，0)，B(0，1)两点， ?a=2，b=1，则，?椭圆C的方程为，离心率为e=;(2)证明:如图，设P(x，y)，则，PA所在直线方程为y=， 00取x=0，得;，PB所在直线方程为，取y=0，得(第10页(共61页)?|AN|=，|BM|=1,(?==,===(?四边形ABNM的面积为定值2(【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题(2((2016•山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a,b,0)的离2心率是，抛物线E:x=2y的焦点F是C的一个顶点((I)求椭圆C的方程;(?)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M((i)求证:点M在定直线上;第11页(共61页)(ii)直线l与y轴交于点G，记?PFG的面积为S，?PDM的面积为S，求的12最大值及取得最大值时点P的坐标(【分析】(I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c 的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程;(?)(i)设P(x，y)，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运00用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x，可得y=,(进0而得到定直线;(ii)由直线l的方程为y=xx,y，令x=0，可得G(0，,y)，运用三角形的面000积公式，可得S=|FG|•|x|=x•(+y)，S=|PM|•|x,|，化简1000202整理，再1+2x=t(t?1)，整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P 的0坐标(2【解答】解:(I)由题意可得e==，抛物线E:x=2y的焦点F为(0，)，22即有b=，a,c=，解得a=1，c=，22可得椭圆的方程为x+4y=1;2(?)(i)证明:设P(x，y)，可得x=2y， 00002由y=x的导数为y′=x，即有切线的斜率为x， 0则切线的方程为y,y=x(x,x)， 000可化为y=xx,y，代入椭圆方程， 00222可得(1+4x)x,8xyx+4y,1=0， 0000222222?=64xy,4(1+4x)(4y,1),0，可得1+4x,4y( 000000设A(x，y)，B(x，y)， 1122第12页(共61页)可得x+x=，即有中点D(，,)， 12直线OD的方程为y=,x，可令x=x，可得y=,( 0即有点M在定直线y=,上;(ii)直线l的方程为y=xx,y，令x=0，可得G(0，,y)， 0002则S=|FG|•|x|=x•(+y)=x(1+x); 100000S=|PM|•|x,|=(y+)•=x•， 2000则=，2令1+2x=t(t?1)，则== 02==2+,=,(,)+，则当t=2，即x=时，取得最大值， 0此时点P的坐标为(，)(【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题(3((2016•天津)设椭圆+=1(a,)的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率((1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF?HF，且?MOA=?MAO，求直线l的斜率( 第13页(共61页)【分析】(1)由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x,2)，(k?0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF?HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由?MOA=?MAO，得到x=1，转化为关于k的0等式求得k的值(【解答】解:(1)由+=，得+=，即=，222?a[a,(a,3)]=3a(a,3)，解得a=2(?椭圆方程为;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x,2)，(k?0)，设B(x，y)，M(x，k(x,2))， 1100??MOA=?MAO，?x=1， 0再设H(0，y)， H2222联立，得(3+4k)x,16kx+16k,12=0( 2222?=(,16k),4(3+4k)(16k,12)=144,0(由根与系数的关系得，?，，第14页(共61页)MH所在直线方程为y,k(x,2)=,(x,x)， 00令x=0，得y=(k+)x,2k， H0?BF?HF，?，即1,x+yy=1,[(k+)x,2k]=0， 11H02整理得:=1，即8k=3(?k=,或k=(【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题(24((2016•浙江)如图，设椭圆C:+y=1(a,1)(?)求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长(用a，k表示)(?)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围(【分析】(?)联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可( (?)写出圆的方程，假设圆A与椭圆有4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围(2222【解答】解:(?)由题意可得:，可得:(1+ak)x+2kax=0，第15页(共61页)得x=0或x=， 12直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为:=( (?)假设圆A与椭圆有4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，记直线AP，AQ的斜率分别为:k，k;且k，k,0，k?k，由(1)可知|AP|=121212，|AQ|=，22222故:=，所以，(k,k)[1+k+k+a(21212222,a)kk]=0，由k?k， 1212222222k，k,0，可得:1+k+k+a(2,a)kk=0， 12121222因此a(a,2)?，22因为?式关于k，k;的方程有解的充要条件是:1+a(a,2),1， 12所以a,(因此，任意点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:1,a,，e==得，所求离心率的取值范围是:(【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力(5((2016•天津)设椭圆+=1(a,)的右焦点为F，右顶点为A(已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率((1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交第16页(共61页)于点M，与y轴于点H，若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线l的斜率的取值范围(【分析】(1)由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x,2)，(k?0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF?HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由?MOA??MAO，得到x?1，转化为关于k0的不等式求得k的范围(【解答】解:(1)由+=，得，即，222?a[a,(a,3)]=3a(a,3)，解得a=2(?椭圆方程为;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x,2)，(k?0)，设B(x，y)，M(x，k(x,2))， 1100??MOA??MAO，?x?1， 0再设H(0，y)， H2222联立，得(3+4k)x,16kx+16k,12=0( 2222?=(,16k),4(3+4k)(16k,12)=144,0(由根与系数的关系得，?，，第17页(共61页)MH所在直线方程为，令x=0，得，?BF?HF，?，即1,x+yy=， 11H2整理得:，即8k?3(?或(【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题( 6((2016•新课标?)在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t?0)交y轴于点M，2交抛物线C:y=2px(p,0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H((?)求;(?)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点,说明理由( 【分析】(?)求出P，N，H的坐标，利用=，求;22(?)直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y,4ty+4t=0，利用判别式可得结论(【解答】解:(?)将直线l与抛物线方程联立，解得P(，t)，第18页(共61页)?M关于点P的对称点为N，?=，=t，?N(，t)，?ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H(，2t)?==2;(?)由(?)知k=， MH22?直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y,4ty+4t=0，22??=16t,4×4t=0，?直线MH与C除点H外没有其它公共点(【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键(27((2016•新课标?)已知抛物线C:y=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l，l分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点( 12(?)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ;(?)若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程( 【分析】(?)连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明?PRA=?PQF，即可证明AR?FQ;(?)利用?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程(【解答】(?)证明:连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP?BQ，得?AFP+?BFQ=90?，??PFQ=90?，?R是PQ的中点，?RF=RP=RQ，第19页(共61页)??PAR??FAR，??PAR=?FAR，?PRA=?FRA，??BQF+?BFQ=180?,?QBF=?PAF=2?PAR， ??FQB=?PAR，??PRA=?PQF，?AR?FQ((?)设A(x，y)，B(x，y)， 1122F(，0)，准线为 x=,，S=|PQ|=|y,y|， ?PQF12设直线AB与x轴交点为N，?S=|FN||y,y|， ?ABF12??PQF的面积是?ABF的面积的两倍， ?2|FN|=1，?x=1，即N(1，0)( N设AB中点为M(x，y)，由得=2(x,x)， 12又=，2?=，即y=x,1(2?AB中点轨迹方程为y=x,1(【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题(第20页(共61页)8((2016•山东)已知椭圆C:+=1(a,b,0)的长轴长为4，焦距为2( (?)求椭圆C 的方程;(?)过动点M(0，m)(m,0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B((?)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值; (?)求直线AB的斜率的最小值(【分析】(?)利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程; (?)(?)设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 (?)求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值(【解答】解:(?)椭圆C:+=1(a,b,0)的长轴长为4，焦距为2(可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程:;(?)过动点M(0，m)(m,0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，设N(,t，0)t,0，M是线段PN的中点，则P(t，2m)，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q(t，,2m)，(?)证明:设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==,，第21页(共61页)==,3(为定值;22(?)由题意可得，m=4,t，QM的方程为:y=,3kx+m，PN的方程为:y=kx+m，22联立，可得:x+2(kx+m)=4，222即:(1+2k)x+4mkx+2m,4=0可得x=，y=+m， AA同理解得x=， By=， Bx,x=k,=， ABy,y=k+m,()=， ABk===，由m,0，x,0，可知k,0， AB0所以6k+，当且仅当k=时取等号( 此时，即m=，符合题意( 所以，直线AB的斜率的最小值为:(第22页(共61页)【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力(9((2016•四川)已知椭圆E:+=1(a,b,0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上((?)求椭圆E的方程;(?)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明:,MA,•,MB,=,MC,•,MD, 【分析】(?)由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案;(?)设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把,MA,•,MB,化为，再由两点间的距离公式求得,MC,•,MD,的值得答案( 【解答】(?)解:如图，22由题意可得，解得a=4，b=1，?椭圆E的方程为;(?)证明:设AB所在直线方程为y=，第23页(共61页)22联立，得x+2mx+2m,2=0(222??=4m,4(2m,2)=8,4m,0，即(设A(x，y)，B(x，y)，M(x，y)， 112200则，|AB|==(?x=,m，，即M()， 0则OM所在直线方程为y=,，联立，得或(?C(,，)，D(，,)(则,MC,•,MD,= ==(2而,MA,•,MB,=(10,5m)=(?,MA,•,MB,=,MC,•,MD,(【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题( 第24页(共61页)10((2016•新课标?)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k,0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA?NA( (?)当t=4，|AM|=|AN|时，求?AMN的面积;(?)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围(【分析】(?)方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得?AMN的面积; 方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到; (?)直线AM的方程为y=k(x+)，代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t,3，解不等式即可得到所求范围(【解答】解:(?)方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A(,2，0)，2222直线AM的方程为y=k(x+2)，代入椭圆方程，整理可得(3+4k)x+16kx+16k,12=0，解得x=,2或x=,，则|AM|=•|2,|=•，由AN?AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k,0，可得•=•，22整理可得(k,1)(4k+k+4)=0，由4k+k+4=0无实根，可得k=1，22即有?AMN的面积为|AM|=(•)=;方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA?NA(可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，2代入椭圆方程+=1，可得7x+16x+4=0，第25页(共61页)解得x=,2或,，M(,，)，N(,，,)，则?AMN的面积为××(,+2)=;(?)直线AM的方程为y=k(x+)，代入椭圆方程，22222可得(3+tk)x+2tkx+tk,3t=0，解得x=,或x=,，即有|AM|=•|,|=•，|AN|?•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t,3，即有,3，即有,0，可得,k,2，即k的取值范围是(，2)(【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题(11((2016•新课标?)已知A是椭圆E:+=1的左顶点，斜率为k(k,0)的直线交E 与A，M两点，点N在E上，MA?NA((I)当|AM|=|AN|时，求?AMN的面积(II) 当2|AM|=|AN|时，证明:,k,2(【分析】(I)依题意知椭圆E的左顶点A(,2，0)，由|AM|=|AN|，且MA?NA，可知?AMN为等腰直角三角形，设M(a,2，a)，利用点M在E上，可得3(a22,2)+4a=12，解得:a=，从而可求?AMN的面积;第26页(共61页)(II)设直线l的方程为:y=k(x+2)，直线l的方程为:y=,(x+2)，联立AMAN2222消去y，得(3+4k)x+16kx+16k,12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|x,(,2)|=，|AN|==M，32结合2|AM|=|AN|，可得=，整理后，构造函数f(k)=4k,6k+3k,8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立( 【解答】解:(I)由椭圆E的方程:+=1知，其左顶点A(,2，0)， ?|AM|=|AN|，且MA?NA，??AMN为等腰直角三角形，?MN?x轴，设M的纵坐标为a，则M(a,2，a)，222?点M在E上，?3(a,2)+4a=12，整理得:7a,12a=0，?a=或a=0(舍)，2?S=a×2a=a=; ?AMN(II)设直线l的方程为:y=k(x+2)，直线l的方程为:y=,(x+2)，由AMAN2222消去y得:(3+4k)x+16kx+16k,12=0，?x,2=,，?M第27页(共61页)x=2,=， M?|AM|=|x,(,2)|=•= M?k,0，?|AN|==，又?2|AM|=|AN|，?=，32整理得:4k,6k+3k,8=0，32设f(k)=4k,6k+3k,8，22则f′(k)=12k,12k+3=3(2k,1)?0，32 ?f(k)=4k,6k+3k,8为(0，+?)的增函数，又f()=4×3,6×3+3,8=15,26=,,0，f(2)=4×8,6×4+3×2,8=6,0，?,k,2(【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题(12((2015•重庆)如题图，椭圆=1(a,b,0)的左、右焦点分别为F，1F，过F的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ?PF 221(?)若|PF|=2+|=2,，求椭圆的标准方程; 1(?)若|PF|=|PQ|，求椭圆的离心率e( 1第28页(共61页)【分析】(?)由椭圆的定义，2a=|PF|+|PF|，求出a，再根据2c=|FF|=1212=2，求出c，进而求出椭圆的标准方程; (?)由椭圆的定义和勾股定理，得|QF|=|PF|=4a,2|PF|，解得|PF|=21111(2,)a，从而|PF|=2a,|PF|=2(,1)a，再一次根据勾股定理可求出21离心率(【解答】解:(?)由椭圆的定义，2a=|PF|+|PF|=2++2,=4，故a=2， 12设椭圆的半焦距为c，由已知PF?PF，因此2c=|FF|==2，1122即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为((?)连接FQ，由椭圆的定义，|PF|+|PF|=2a，|QF|+|QF|=2a， 11212从而由|PF|=|PQ|=|PF|+|QF|， 122有|QF|=4a,2|PF|， 11又由PQ?PF，|PF|=|PQ|，知|QF|=|PF|=4a,2|PF|，解得|PF|=2(2,)111111a，从而|PF|=2a,|PF|=2(,1)a， 21由PF?PF，知2c=|FF|=，因此e===2112==(【点评】本题考查了椭圆的定义2a=|PF|+|PF|，椭圆的标准方程，直角三角形12的勾股定理，属于中档题(13((2015•重庆)如题图，椭圆=1(a,b,0)的左右焦点分别为F，F，12第29页(共61页)且过F的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ?PF( 21(?)若|PF|=2+，|PF|=2,，求椭圆的标准方程( 12(?)若|PQ|=λ|PF|，且?λ,，试确定椭圆离心率e的取值范围( 1【分析】(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF|+|PF|，解得a(设椭圆的半焦距为c，12由于PQ?PF，利用勾股定理可得2c=|FF|=，解得c(利用112222b=a,c(即可得出椭圆的标准方程( (II)如图所示，由PQ?PF，|PQ|=λ|PF|，可得|QF|=，由椭圆111的定义可得:|PF|+|PQ|+|QF|=4a，解得|PF|=(|PF|=2a,|PF|，11121由勾股定理可得:2c=|FF|=，代入化简(令t=1+λ，122则上式化为e=，解出即可( 【解答】解:(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF|+|PF|=(2+)+(2,)=4，12解得a=2(设椭圆的半焦距为c，?PQ?PF， 1?2c=|FF|===2， 12?c=(222?b=a,c=1(?椭圆的标准方程为((II)如图所示，由PQ?PF，|PQ|=λ|PF|， 11?|QF|==， 1由椭圆的定义可得:2a=|PF|+|PF|=|QF|+|QF|， 1212第30页(共61页)?|PF|+|PQ|+|QF|=4a， 11?|PF|=4a，解得|PF|=( 11|PF|=2a,|PF|=， 21由勾股定理可得:2c=|FF|=， 122?+=4c ，2?+=e(令t=1+λ，则上式化为=， ?t=1+λ，且?λ,，?t 关于λ单调递增，?3?t,4(?，?，解得(?椭圆离心率的取值范围是(【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((2015•安徽)设椭圆E 的方程为=1(a,b,0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，第31页(共61页)直线OM 的斜率为((1)求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为(0，,b)，N 为线段AC 的中点，证明:MN?AB( 【分析】(1)通过题意，利用=2，可得点M 坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N 坐标，利用•=0即得结论( 【解答】(1)解:设M(x ，y)，?A(a ，0)、B(0，b)，点M 在线段AB 上且|BM|=2|MA|，?=2，即(x,0，y,b)=2(a,x ，0,y)，解得x=a ，y=b ，即M(a ，b)，又?直线OM 的斜率为，?=，?a=b ，c==2b ，?椭圆E 的离心率e==;(2)证明:?点C 的坐标为(0，,b)，N 为线段AC 的中点， ?N(，,)，?=(，)，又?=(,a，b)，222?•=(,a，b)•(，)=,a+=(5b,a)，22由(1)可知a=5b，故•=0，即MN?AB(【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题(215((2015•湖南)已知抛物线C:x=4y的焦点F也是椭圆C:+=1(a,b12,0)的一个焦点，C与C的公共弦的长为2，过点F的直线l与C相交于A，121B两点，与C 相交于C，D两点，且与同向( 2第32页(共61页)(?)求C的方程; 2(?)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率(22【分析】(?)通过C方程可知a,b=1，通过C与C的公共弦的长为2且112C与C的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论; 12(?)设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，D(x，y)，通过=可得(x+x)1122334412 22,4xx=(x+x),4xx，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、123434 直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可(【解答】解:(?)由C方程可知F(0，1)， 122?F也是椭圆C的一个焦点，?a,b=1， 2又?C与C的公共弦的长为2，C与C的图象都关于y轴对称， 1212?易得C与C的公共点的坐标为(?，)， 12?，22又?a,b=1，22?a=9，b=8，?C的方程为+=1; 2(?)如图，设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，D(x，y)， 11223344?与同向，且|AC|=|BD|，?=，?x,x=x,x， 1234第33页(共61页)22?(x+x),4xx=(x+x),4xx， 12123434设直线l的斜率为k，则l方程:y=kx+1，2由，可得x,4kx,4=0，由韦达定理可得x+x=4k，xx=,4， 121222由，得(9+8k)x+16kx,64=0，由韦达定理可得x+x=,，xx=,， 343422又?(x+x),4xx=(x+x),4xx， 121234342?16(k+1)=+，2化简得16(k+1)=，22?(9+8k)=16×9，解得k=?，即直线l的斜率为?(【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题(16((2015•浙江)已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称((1)求实数m的取值范围;(2)求?AOB面积的最大值(O为坐标原点)(第34页(共61页)2【分析】(1)由题意，可设直线AB的方程为x=,my+n，代入椭圆方程可得(m+2) 22y,2mny+n,2=0，设A(x，y)，B(x，y)(可得?,0，设线段AB的中点1122P(x，y)，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得00，代入?,0，即可解出((2)直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S=，再利用均值?OAB不等式即可得出(【解答】解:(1)由题意，可设直线AB的方程为x=,my+n，代入椭圆方程，222可得(m+2)y,2mny+n,2=0，22222设A(x，y)，B(x，y)(由题意，?=4mn,4(m+2)(n,2)=8(m,11222n+2),0，设线段AB的中点P(x，y)，则(x=,m×+n=， 000由于点P在直线y=mx+上，?=+，。
高考数学解析几何解答题专题训练题(附解析)
高考数学解析几何解答题专题训练题（附解析）2019高考数学解析几何解答题专题训练题（附解析）各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，查字典数学网为大家整理了解析几何解答题专题训练题，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步!1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.解 (1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，从而A(1，-22)，B(4,42).设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，又y23=8x3 ，所以[22(2-1)]2=8(4+1)，解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，36k-21+k2=2k+61+k2，解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，不存在这样的直线l.3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.解 (1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，则AB+AC=(x0+6，y0)，故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.解得x0=2x-2，y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2，得x2+y2=1，即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)，①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理，得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切，故|2k|k2+1=1，解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24)，解得a2=8，经检验，此时0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由.解 (1)设|PF1|=m，|PF2| =n.在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，化简得，m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.化简得mn=43.于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22，由此可得，a=2.又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，由y=kx-1，x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时，则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时，可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0，得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).综上，过定点M(-3-3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ=1.解析几何解答题专题训练题连同答案为大家分享完毕，查字典数学网预祝广大考生可以取得更好的成绩。
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15-16高考数学解析几何解答题专题训练（附解
析）
解析几何是很多考生最头疼的题目了，查字典数学网整理了解析几何解答题专题训练，其中是一些典型题型，希望考生可以好好研究。
1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.
解 (1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0，
所以x1+x2=5p4.
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，
所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，
从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，
从而A(1，-22)，B(4,42).
设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，
又y23=8x3 ，
所以[22(2-1)]2=8(4+1)，
即(2-1)2=4+1，
解得=0，或=2.
2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于1
3.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?如果存在，求出l的方程;如果不存在，请说明理由.
解 (1)设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知
|3a+7|32+42=R，a2+3=R
解得a=1或a=138，
又S=13，
a=1，R=2.
圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
(2)当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)， B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，
联立得y=kx+3x-12+y2=4，
消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，
=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200，
解得k 1-263或k1+263.
x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，
OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，
假设OD∥MC，
则-3(x1+x2)=y1+y2，
36k-21+k2=2k+61+k2，
解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，
不存在这样的直线l.
3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，
AD=12(AB+AC).
(1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.
解 (1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，
则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，
则AB+AC=(x0+6，y0)，
故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.
又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.
解得x0=2x-2，y0=2y.
代入|AC|=x0+22+y20=2，
得x2+y2=1，
即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.
(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为
y=k(x+2)，①
设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②
将①代入②整理，
得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③
因为直线l与圆x2+y2=1相切，
故|2k|k2+1=1，
解得k2=13.
故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=-a2a2-3.
由题意有a2a2-3=245(a24)，
解得a2=8，经检验，此时0.
故椭圆的方程为x28+y24=1.
4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由.
解 (1)设|PF1|=m，|PF2| =n.
在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，
化简得，m2+n2-mn=4.
由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.
化简得mn=43.
于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.
m+n=22，由此可得，a=2.
又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.
因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，
由y=kx-1，x22+y2=1
消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.
∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2
=x1-54x2-54+y1y2
=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2
=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2
=-4k2-22k2+1+2516
=-716.
由此可知MAMB=-716为定值.
5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点
为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.
(1)求双曲线E的方程;
(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.
又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.
双曲线E的方程为x23-y2=1.
(2)当直线为y=0时，
则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，
FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.
当直线不为y=0时，
可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，
整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)
由0，得m2+t23.
设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，
y1y2=m2-3t2-3，
FPFQ
=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)
=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2
=t2-2m2-12m-15t2-3.
当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，
解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).
综上，过定点M(-3-3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ=1.
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