质点运动学试题与答案讲解

质点运动学试题与答案
一．选择题：
1.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 2
2+=（其中a 、b 为常量）, 则该质点作 (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动．
(C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ ］ 2.一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则
t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ．
(C) 0． (D) -2 m ．
(E) -5 m. ［ ］ 3.某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？ (A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．
(C) 北偏西30°． (D) 西偏南30°． ［ ］ 4.下列说法中，哪一个是正确的？
(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s ，说明它在此后1 s 内一定要经过2 m 的路程．
(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零．
(D) 物体加速度越大，则速度越大． ［ ］ 二．填空题
1.一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t +6t 2-t 3 (SI)
则 (1) 质点在t =0时刻的速度=0v
__________________；
(2) 加速度为零时，该质点的速度=v ____________________．
2.一物体作斜抛运动，初速度0v
与水平方向夹角为θ，如图所
示．物体轨道最高点处的曲率半径ρ为__________________．
3.设质点的运动学方程为j t R i t R r sin cos ωω+= (式中R 、ω 皆为常量)
则质点的v
=___________________，d v /d t =_____________________．
4.轮船在水上以相对于水的速度1v 航行，水流速度为2v
，一人相对于甲板以速度
3v 行走．如人相对于岸静止，则1v 、2v
和3v 的关系是___________________．
2. -12
三．计算：
一人自原点出发，25 s 内向东走30 m ，又10 s 内向南走10 m ，再15 s 内向正西北走18 m ．求在这50 s 内， (1) 平均速度的大小和方向; (2) 平均速率的大小．
有一宽为l 的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正
比．今有相对于水的速度为0v
的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点． 四．证明：
一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为：
()()ααcos :cos v v ++u u 设航路均为直线，α为两直线的夹角．
答案：
一．选择题： BBCC
二．填空题：
1 5m/s 17m/s
2 ρ =v 02cos 2θ /g
3 -ωR sin ω t i
+ωR cos ω t j
4 0321=++v v v
三．计算题：
1解：(1) BC AB OA OC ++=
)45sin )45cos (18)10(30j i j i ︒+︒-+-+=
j i
73.227.17+=
OC ，方向φ =8.98°(东偏北)
2分 =∆=∆∆=t OC t r //
v 0.35
m/s
方向东偏北8.98° 1分
(2) (路程)()181030++=∆S m=58m, 16.1/=∆∆=t S v m/s 2分
2解：以出发点为坐标原点，向东取为x 轴，向北取为y 轴，因流速为-y 方向，
B P
x y u l
α
O
C
A
B
东
y 北
φ
π/4
西 南
x
由题意可得
u x = 0
u y = a (x -l /2)2＋b
令 x = 0, x = l 处 u y = 0, x = l /2处 u y ＝－u 0，
代入上式定出a 、ｂ，而得 ()x x l l
u
u y --=204
船相对于岸的速度v
(v x ，v y )明显可知是 2/0v v =x y y u +=)2/(0v v ， 将上二式的第一式进行积分，有
t x 20v
=
还有，
x
y t x x y t y y d d 2d d d d d d 0v v ===
=
()x x l l u --20
042v 2分 即 ()x x l l u x y
--=0
20241d d v 1
分
因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：
'
3
020********x l u x l u x y v v +-= 2分
到达东岸的地点(x '，y ' )为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=='='=003231v , u l y y l x l x 2分
四．证明：
证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有
αcos 2222xy y x l -+= 2分 对ｔ求导，得
()()t
x
y
t y x t y y t x x t l l d d cos 2d d cos 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 2分 将v , =-=t y u t x d d d d 代入上式，并应用0d d =t
l
作为求极值的条件， 则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v
()()ααcos cos u y u x +++-=v v 3分
由此可求得 α
α
cos cos v v ++=u u y x 1
分
即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为
y 45 °
v 0 u 0
x
l
()()α
αcos
+u
u2分:
cos v
v+。