运筹学4-目标规划(天津理工大学经管系)

3. 目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近 一个或若干个已给定的指标值。 4. 线性规划的约束条件是不分主次地同等对待， 而目标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考 虑。 因此，可以认为目标规划更能确切地描述和 解决经营管理中的许多实际问题。目前，目标规划
已在经济计划、生产管理、市场管理、财务分析、 技术参数的选择等方面得到广泛的应用。
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目 标的数值。于是，目标规划的目标函数应该 是求极小：min f ＝ f （d +，d -)． 其基本形式有三种：
① 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可能 地小。这时取 min （d + + d - )； ② 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。这 时取 min （d + )；
首先，产量不能超过市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满 足时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2 倍． 试建立这个问题的数学模型． 讨论： 若把总利润最大看作目标，而把产量不能 超过市场预测
的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足 市场需求的目标看作约束，则可建立一个单 目标线性规划模型 设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 60 x1 9 x2 8 x 1 , x2 0
x 20 15 +
G-1
-
+
10 5 +
+
G-3 15 G-4 20
G-2
0 5 10
y
图4 - 1
下面我们根据目标函数的优先因子来分析 求解．首先考虑第一级具有P1优先因子的目 标的实现，在目标函数中要求实现min（d1++ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图 4 – 2 中阴影部分即表示 出该最优解集合的所有点。 我们在第一级目标的最优解集合中找满足 第二优先级要求min（d3+ )的最优解.取d3+= 0 , 可得到图 4– 3 中阴影部分即是满足第一、第 二优先级要求的最优解集合。
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等 式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行 解，所以它们是硬约束。设例1 中生产A，B 产品所需原材料数量有限制，并且无法从其 它渠道予以补充，则构成绝对约束。 目标约束是目标规划特有的，我们可以把约束 右端项看作要努力追求的目标值，但允许发 生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差 变量来表示，于是称它们是软约束。
台获利40元。该厂确定的目标是：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时；
第二优先级：允许装配线加班，但每周加班时间尽量
不超过10小时；
第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场的需要
。又因彩色电视机的利润高，我们取其权系数为2。 试建立该问题的目标规划模型，并求解黑白和彩 色两种电视机的产量。 解：设 x1 、 x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。 这个问题的目标规划问题的数学模型为：
1 1
1 1
2
3
4
我们用图解法求解该问题如下图所示：
x-
d 4-
G
E(24,26) F d4+ d2-

d1A B
0
d1
+
d2+
x1
§4.3 求解目标规划的单纯形方法
目标规划的数学模型,特别是约束的结构与 线性规划模型没有本质的区别，只是它的目标 不止是一个,虽然其利用优先因子和权系数把 目标写成一个函数的形式, 但在计算中无法按 单目标处理, 所以可用单纯形法进行适当改进 后求解。在组织、构造算法时，我们要考虑目 标规划的数学模型一些特点，作以下规定： (1) 因为目标规划问题的目标函数都是求 最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是 相同的；
x 20
15 10 A(3,8)
G-1
+
+
+ G-2
5
0 5
+
G-3 15 G-4 20
-
10
y
图4– 4
例 ：某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装
配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划
开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销售量是24
台，每台获利80元；黑白电视机的销售量是30台，每
下面引入与建立目标规划数学模型有关的概 念． （1）、正、负偏差变量d +，d 设 x1 、 x2 为决策变量，此外，引进正偏差 变量d + 表示决策值超过目标值的部分；负偏 差变量d - 表示决策值不足目标值的部分。因 决策值不可能既超过目标值同时又末达到目 标值，故恒有 d + d - ＝ 0 ． （2）、绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝 对约束和目标约束。
容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有多种. 在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要 求, 它只实现了经理的第一、二、三条目标， 而没有达到最后的一个目标。进一步分析可 知，要实现全体目标是不可能的。
4.1.2 目标规划模型的基本概念 把例1的4个目标表示为不等式.仍设决策 变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量. 那麽, 第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成 不等式需要找到一个目标上界，这里可以估 计为252（=129 + 188），于是有 12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
对于例1, 我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 (1.1)
x2 + d2- -d2+ = 8
4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60
(1.2)
(1.3)
12x1+18x2 + d4- -d4+ =252
(1.4)
(3)、优先因子与权系数． 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,,fL, 决策者在要求达到这些目标时，一般有主次 之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i = 1,2,,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为 f1,f2,,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于 优先因子P1，次位的目标赋于优先因子 P2、…，并规定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,,L-1.
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。 §4.2 目标规划的几何意义及图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学 模型，我们可以用图解法来分析求解．通过图 解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、 负偏差变量及权系数等的几何意义。
下面用图解法来求解例1 我们先在平面直角坐标系的第一象限内， 作出与各约束条件对应的直线，然后在 这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3， 4。图中x，y分别表示问题（1.5）的x1和 x2；各直线移动使之函数值变大、变小 的方向用 +、- 表示 di+ ,di- （如图1.1所 示）．
③ 要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏 差变量要尽可能地小。这时取 min （d - )； 对于例7.1.1, 我们根据决策者的考虑知 第一优先级要求 min（d1+ + d2+ )； 第二优先级要求 min（d3+ )； 第三优先级要求 min（d4- )； 第四优先级要求 min（d1- + 2d2- )，这里, 当不 能满足市场需求时, 市场认为B产品的重要性是 A产品的2倍．即减少B产品的影响是A产品的2 倍，因此我们引入了2:1的权系数。
第
四
章
目 标 规 划
目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经
营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标
规划是一种数学方法。它是在企业决策者所规定的若
干指标值及要求实现这些指标值的先后顺序，并在给
定有限资源条件下，求得总的偏离指标值最小的方案。 称这种方案为满意方案。 目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美
4.1 目标规划模型
4.1.1 问题提出 为了便于理解目标规划数学模型的特征及建 模思路, 我们首先举一个简单的例子来说明. 例1 某公司分厂用一条生产线生产两种产 品A和B ，每周生产线运行时间为60小时，生 产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6 小时．根据市场预测，A、B产品平均销售量分 别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18 万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目 标：
国学者查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)首次
在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中提出。
当时是作为解一个没有可行解的线性规划而引入的 一种方法。这种方法把规划问题表达为尽可能地接 近预期的目标。1965年，尤吉· 艾吉里(Yuji · Ijiri)在 处理多目标问题，分析各类目标的重要性时，引入 了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念；并 进一步完善了目标规划的数学模型。表达和求解目 标规划问题的方法是由杰斯基莱恩(Jashekilaineu) 和桑李(SangLi)给出并加以改进的。
x 20 15 10 5 A(3,8) +
G-1 +
+ G-2 + -
G-3
15
G-4
20 y
0
5
10
图4 - 2