湖南省长沙市麓山国际实验学校2020-2021学年度八年级上学期入学考试数学试卷( 无答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初二数学上期中第一次模拟试题(及答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初二数学上期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD 是斜边AB 上的高，若AD=3cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 2．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF=600，那么∠DAE 等于（ ）A ．45°B ．30 °C ．15°D ．60°3．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180° 4．若分式11x x -+的值为零，则x 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．1± D ．25．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形6．已知x 2+mx+25是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．20D ．±20 7．计算b a a b b a +--的结果是 A ．a-b B ．b-a C ．1 D ．-18．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1< C ．a 1<且a 2≠- D ．a 1>且a 2≠10．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140° 11．式子：222123,,234x y x xy 的最简公分母是（ ） A ．24x 2y 2xyB ．24 x 2y 2C ．12 x 2y 2D ．6 x 2y 2 12．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1＝∠2，BE ＝CD ，则△ADE 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状二、填空题13．关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________． 14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．16．已知210x x +-=，则2421x x x ++的值是______． 17．已知：a+b=32，ab=1，化简（a ﹣2）（b ﹣2）的结果是 ． 18．七边形的内角和为_____度，外角和为_____度．19．如图，在等边ABC V 中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60o 得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是 ．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．三、解答题21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．22．已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数？23．“已知a m =4，a m+n =20，求a n 的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： a m+n =a m a n ，所以20=4a n ， 所以a n =5．请利用这样的思考方法解决下列问题：已知a m =3，a n =5，求下列代数的值：（1）a 2m+n ； （2）a m-3n ．24．已知 a m =2，a n =4，a k =32（a≠0）．（1）求a 3m+2n ﹣k 的值；（2）求k ﹣3m ﹣n 的值．25．如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,且CD=BE,△ADC 与△AEB 全等吗?请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC ，再求出AB 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠A=60º，∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AC=12AB （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， 又∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC=90º，∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AD=12AC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，又∴AC=12 AB，∴12AB ．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．2．C解析：C【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．3．D解析：D【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．4．A解析：A【解析】试题解析：∵分式11xx-+的值为零，∴|x|﹣1=0，x+1≠0，解得：x=1．故选A．5．C解析：C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.6．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.【详解】∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．7．D解析：D【解析】【分析】将第二个式子提出一个负号，即可使分母一样，然后化简即可得出答案.【详解】b a b --aa b-=b aa b--=-1，所以答案选择D.【点睛】本题考查了分式的化简，熟悉掌握计算方法是解决本题的关键.8．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n ∠A n ，∴∠A n =(12)n ∠A=642n ︒， ∵∠A n 的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 9．D解析：D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，解得：a 1>且a 2≠，故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．10．A解析：A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′处，点B 落在点B ′处，∴∠BFE =∠EFB '，∠B '=∠B =90°．∵∠2=40°，∴∠CFB '=50°，∴∠1+∠EFB '﹣∠CFB '=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A ．11．C解析：C【解析】【分析】分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它们相乘即可求得．【详解】式子：222123,,234x y x xy的最简公分母是：12 x 2y 2． 故选：C ．【点睛】本题考查最简公分母的定义与求法．12．B解析：B【解析】【分析】先证得△ABE ≌△ACD ，可得AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵∠1＝∠2，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1可解得x=-a-1由于关于x 的方程＝1的解是正数则x ＞0并且x-1≠0即-a-1＞0且-a-1≠1解得a ＜-1且a≠-2详解：去分母得2x+a=x-1解析：a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1，可解得x=-a-1，由于关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数，则x ＞0并且x-1≠0，即-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2．详解：去分母得2x+a=x-1，解得x=-a-1， ∵关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数， ∴x ＞0且x≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2，∴a 的取值范围是a ＜-1且a≠-2．故答案为a＜-1且a≠-2．点睛：本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =2 16．【解析】【分析】由可知x≠0根据分式的基本性质可得进而可得根据分式的基本性质可得把代入即可得答案【详解】∵∴x≠0∴两边同时平方得：∴故答案为：【点睛】本题考查分式的基本性质分式的分子分母同时乘以或 解析：12【解析】【分析】由210x x +-=可知x≠0，根据分式的基本性质可得11x x-=-，进而可得2211x x +=，根据分式的基本性质可得242221111x x x x x=++++，把2211x x +=代入即可得答案． 【详解】∵210x x +-=，∴x≠0， ∴11x x-=-， 两边同时平方得：2211x x +=， ∴24222111121x x x x x==++++． 故答案为：12【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变；灵活运用分式的基本性质把已知和所求分式变形是解题关键． 17．2【解析】【分析】根据多项式相乘的法则展开然后代入数据计算即可【详解】解：（a ﹣2）（b ﹣2）=ab ﹣2（a+b ）+4当a+b=ab=1时原式=1﹣2×+4=2故答案为2考点：整式的混合运算—化简求解析：2【解析】【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．【详解】解：（a﹣2）（b﹣2）=ab﹣2（a+b）+4，当a+b=32，ab=1时，原式=1﹣2×32+4=2．故答案为2．考点：整式的混合运算—化简求值．18．360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°把多边形的边数代入公式就得到多边形的内角和任何多边形的外角和是360度【详解】（7﹣2）•180＝900度外角和为360度【点睛】已知多边形解析：360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．【详解】（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．【点睛】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．19．6【解析】【分析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD∠A=∠POD=60°∴∠APO=∠COD在△APO和△COD中∠A=∠CAPO=∠CODP=OD∴△APO≌△COD（AAS）∴A解析：6【解析】【分析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，∠A=∠C ,APO=∠COD ,P=OD ，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故答案为：6.20．mn（m+3）（m﹣3）【解析】分析：原式提取mn后利用平方差公式分解即可详解：原式=mn（m2-9）=mn（m+3）（m-3）故答案为mn（m+3）（m-3）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综解析：mn （m+3）（m ﹣3）【解析】分析：原式提取mn 后，利用平方差公式分解即可．详解：原式=mn （m 2-9）=mn （m+3）（m-3）．故答案为mn （m+3）（m-3）.点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题21．()4,x +【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．22．所求的多边形的边数为7，这个多边形对角线为14条．【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和是（n-2）•180°，外角和是360°，列出方程，求出n 的值，再根据对角线的计算公式即可得出答案．【详解】设这个多边形的边数为n ，根据题意，得：(n ﹣2)×180°＝360°×2+180°，解得 n ＝7，则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为：12×7×(7﹣3)＝14(条)， 答：所求的多边形的边数为7，这个多边形对角线为14条．【点睛】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，注意：边数是n 的多边形的内角和是（n-2）•180°，外角和是360°．23．（1）45；（2）3125 . 【解析】试题分析：（1）逆用“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算法把2m n a +化成2()m n a a ⋅结合已知条件即可求值了；（2）逆用“同底数幂的除法”和“幂的乘方”的运算法则把3m n a -化成3m n a a ÷结合已知条件即可求值了.试题解析：（1）∵35m n a a ==，，∴222()3545m n m n a a a +=⋅=⨯=；（2）∵35m n a a ==，， ∴333()3125125m n m n a a a -=÷=÷=. 24．（1）4（2）0【解析】【分析】（1）根据已知条件可得a 3m =23，a 2n =24，a k =25，再逆用同底数幂的乘除法法则计算即可； （2）由已知条件计算出a k-3m-n 的值，继而求得k-3m-n 的值．【详解】（1）∵a 3m =23，a 2n =42=24，a k =32=25，∴a 3m+2n-k=a 3m •a 2n ÷a k=23•24÷25=23+4-5=22=4；（2）∵a k-3m-n =25÷23÷22=20=1=a 0， ∴k-3m-n=0，即k-3m-n 的值是0．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．25．答案见解析【解析】试题分析：由中点定义及AB=AC，可得到AD=AE，再通过SAS证明△ADC≌△AEB即可．试题解析：解：△ADC≌△AEB．理由如下：∵AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴AD=AE．在△ADC和△AEB中，∵AC=AB，∠A=∠A(公共角)，AD=AE，∴△ADC≌△AEB(SAS)．。
湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷(含解析)
八年级数学学科一、选择题（每小题3分，10小题，共30分）1. 下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：解：根据对顶角的定义可知：只有第三个图中的两个角是对顶角，其它都不是．故选：B．本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键．2. 下列命题是真命题的是( )A. 相等的角是对顶角B. 互相垂直的直线一定相交C. 内错角相等D. 邻补角相等答案：B解析：A、相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题；B、互相垂直的直线一定相交，该命题是真命题；C、内错角不一定相等，该命题是假命题；D、邻补角互补，该命题是假命题；故选：B．本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3. 下列各数﹣0.101001，，，，，0，中，无理数的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：解：=4，∴无理数有：，，共3个，故选C．本题主要考查了无理数，掌握无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，能快速准确的找出无理数．4. 点A（x，y）的坐标满足xy＞0，x+y＜0，那么点A在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C解析：解：∵xy＞0，∴xy为同号即为同正或同负，∵x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，∴点A（x，y）在第三象限，故选：C．此题考查点的坐标，坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求字母的取值范围．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符．5. 用含盐与含盐的盐水配含盐的盐水千克，设需含盐的盐水千克，含盐盐水千克，则所列方程组为（ ）A. B.C. D.答案：A解析：解：∵含盐的盐水x千克中含盐，含盐的盐水y千克中含盐，含盐的盐水300千克中含盐，∴，故所列方程组为：故选：A．此题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．6. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 35°答案：C解析：解：如图，∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF=，∠CFE=，∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，∵∠1=95°，∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°，∴，∴∠2=25°．故选C．本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了三角形的内角和定理的应用．7. 如图，平分，，于点E，，，则的长度为（）A. B. C. D. 答案：D解析：解：过C作交延长线与F，∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，则，故选：D．本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．8. 如图，在中，，平分，于E，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的是（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D解析：解：∵，平分，，∴，故①正确；在和中，，∴，∴，∴，故②正确；平分，故④正确；∵，，∴，故③正确；综上所述，结论正确是①②③④共4个．故选：D．本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．9. 如图，已知，，如果添加一个条件使，则添加的条件不可以是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵，∴，即，当时，由可证，故A不符合要求；当时，由可证，故B不符合要求；当时，由可证，故C不符合要求；当，无法使，故D符合要求．故选：D．10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（2，0），在平面内有一点C（不与点B重合），使得△AOC与△AOB全等，这样点C有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C解析：如图所示，满足条件的点有三个，分别为C1(-2，0)，C2(-2，4)，C3(2，4)故选：C本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键．二、填空题（每小题3分，8小题，共24分）11. 对于方程，用含x的代数式表示y为____________．答案：y=8-解析：试题分析：由＋去分母得x+6y=8，移项得y=8-12. 已知样本：8，6，10，13，10，8，7，10，11，12，10，8，9，11，9，12，10，12，11，9．在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成__________组，这一组的频率是______．答案：①. 4 ②. ##0.4解析：解：根据题意，得最大的是13，最小的是6，即极差是7，则组数是（组），观察数据，可得这一小组的频数为8个，样本的容量为20，则其频率为．故答案为：4；0.4．本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数，以及频率的计算方法是解题的关键．13. 已知不等式组的解集为，则的值是______．答案：解析：解：，由①可得：，由②可得：，∵不等式组解集为，∴，解得：，∴，故答案为：．本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．14. 某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车．则共有___辆车，___个学生．答案：①. 5 ②. 240解析：解：设车有x辆，则根据两次学生人数不变，得:45x+15＝60（x﹣1），解得x＝5，即有辆车，把x＝5代入60（x﹣1）＝240，即有240个学生，故答案为：①5，②240.本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．15. 若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______．答案：m≤2解析：解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，当m=2时，不等式组的解集也是x＞2，所以m≤2．故答案为：m≤2．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．16. 已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是______．解析：解：方程，移项得：，∴根据题意得：，解得：，所以m的取值范围是．点评：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握．17. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是_____．答案：10解析：解：设边数为n，由题意得，，解得．所以这个多边形的边数是10．故答案为：10．本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．18. 如图，在平面直角坐标系中，，根据这个规律，可得点的坐标是__________.解析：解：观察图形可知，点……的横坐标依次是1、2、3、4、……、n，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、……，四个一循环，故点坐标是．故答案为．本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形中点的坐标得出规律．三、解答题（7小题，共66分）19. 计算：+|﹣2|．答案：﹣﹣1．解析：解：原式＝4﹣4﹣3+2﹣＝﹣﹣1．此题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题的关键．20. （1）解方程组：（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．答案：（1）；（2）−1≤x＜3，在数轴上表示解集见解析．解析：解：（1）①×2＋②×3，得：13x＝26，解得x＝2，将x＝2代入②，得：6＋2y＝12，解得y＝3，∴方程组的解为；（2）解不等式①，得：x≥−1，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为−1≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21. 如图，直线、相交于O，平分，于点O，，求、的度数．答案：，解析：解：∵于点O，，∴，∵与是对顶角，∴．∵平分，∴，∴．此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题的关键．22. 已知：，，（1）在坐标系中描出各点，画出．（2）求的面积；（3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标．答案：（1）见解析（2）4（3）或或或小问1解析：解：如图所示：小问2解析：解：过点C向、轴作垂线，垂足为∴四边形的面积，的面积，的面积，的面积∴的面积=四边形的面积−的面积−的面积−的面积小问3解析：解：①当点在x轴上时，的面积，即解得：所以点P的坐标为或；②当点在y轴上时，的面积，即，解得：．所以点P的坐标为或．所以点P的坐标为或或或本题考查坐标与图形．用点的坐标正确表示出图形面积是解题关键．23. 如图，四边形中，，，，，与相交于点F．（1）求证：；（2）判断线段与的位置关系，并说明理由．答案：（1）见解析（2），理由见解析小问1解析：证明：在和中，，∴；小问2解析：解：垂直；由（1）可得，，∴，∵，∴，∴，即．本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法有，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．24. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为_______；（2）已知关于x，y 的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值；（3）已知整数m，n，t满足条件，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”求m的值．答案：（1）或（2）2024 （3）小问1解析：解：当的交换系数方程为时，联立，解得：；当的交换系数方程为时，联立，解得：；故答案为：或；小问2解析：解：当的“交换系数方程”为时，联立，解得：，∵，∴，∴，当的“交换系数方程”为时，联立，解得：，∵，∴，∴，综上：与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为，把代入方程得：，∴．小问3解析：解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，∴或，①当时，整理得：，解得：，∵，∴，∵m，n，t均为整数，∴，解得：，∴；②当时，整理得：，解得：，不符合题意，综上：．本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想“消元”，有加减消元法和代入消元法．25. 问题初探和是两个都含有角的大小不同的直角三角板（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：类比探究（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．拓展延伸如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．答案：（1）见解析；（2），；（3）解析：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，∴，，，∴，∴；（2），，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，，延长与交于点，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）过作交延长线于，过作交于，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，，∴，∵A到直线的距离为7，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴．此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．。
湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题
湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列根式中是最简二次根式的是( )A B C D 2．下列各式中，是分式的是( )A ．2xB ．213xC ．2x π-D ．213x x +-3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．x≥3B ．x≤9C ．x≥﹣3D ．x≤﹣9 4．下列因式分解正确的是( )A ．222()m n m n +=+B ．2222()a b ab b a ++=+C ．222()m n m n -=-D ．2222()a ab b a b +-=-5( )A B C D 6．下列计算：①a 2n •a n =a 3n ；②22•33=65；③32÷32=1；④a 3÷a 2=5a ；⑤（﹣a ）2•（﹣a ）3=a 5．其中正确的式子有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个 7．计算201920183223⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是( ) A ．23 B ．32 C ．23- D ．32- 8．已知（x -m ）（x +n ）=x 2-3x -4，则m -n 的值为( )A ．1B ．-3C ．-2D ．39．若a =−22，b =2−2，c =(12)−2，d =(12)0，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜d ＜c B ．a ＜b ＜c ＜dC ．b ＜a ＜d ＜cD ．a ＜c ＜b ＜d 10．若a ＋b ＝10， ab ＝11，则代数式a 2－ab ＋b 2的值是（ ）A ．－67B ．67C ．－89D ．89113a =-，则a 与3的大小关系是（ ）A ．a ＜3B ．a≤3C ．a ＞3D ．a≥312．若x ＜y ＜0，则222y xy x +- ）A ．2xB ．2yC ．－2xD ．－2y二、填空题13．用科学记数法表示0.00000107=______．14．因式分解：228ax a =_____． 15．若分式||44x x --的值为零，则x 的值是______． 16．若多项式x 2＋kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值等于_________________.17．关于x 的方程11m x =-的解是正数，则m 的取值范围是______．18．若38y ==______．三、解答题19．计算：（1）2201801(1)( 3.14)2π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ （2）222111442x x x x x x --⋅---+- （3）()()2223123ab c a b c ----÷（420．解分式方程： （1）15144x x x--=-- （2）2236111x x x +=+-- 21．先化简，再求值：22211111x x x x x x -+-⎛⎫÷-+ ⎪-+⎝⎭，其中2x =．22|235|0x y --=，求：（1）x ，y 的值；（2）24x y -的平方根．23．如图，已知：在等边△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD=CE ，BE 、CD 相交于点P ．（1）说明△ADC ≌△CEB 的理由；（2）求∠BPC 的度数．24．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲品牌手机四月份售价比三月份每台降价500元．如果卖出相同数量的甲品牌手机，那么三月份销售额为9万元，四月份销售额只有8万元．（1）四月份甲品牌手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划五月份购进甲品牌及乙品牌手机销售，已知甲每台进价为3500元，乙每台进价为4000元，预算用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，问按此预算要求，可以有几种进货方案，请写出所有进货方案？ （3）该店计划五月在销售甲品牌手机时，在四月份售价基础上每售出一台甲品牌手机再返还顾客现金a 元，而乙品牌手机按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？25．如图，已知BAD ∆和BCE ∆均为等腰直角三角形，90BAD BCE ∠=∠=︒，点M 为AN 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1)，求证：M 为DE 的中点；（2）将图1中的BCE ∆绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图2)，求证：ACN ∆为等腰直角三角形；绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，（3）将图1中BCE试证明之，若不成立，请说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】B.原式=B 不是最简二次根式；C.原式=C 不是最简二次根式；D.原式2=，故D 不是最简二次根式； 故选A ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2．D【分析】根据分式的定义确定即可.【详解】解：A 选项2x 分母是2，不含字母，是整式，不是分式，故A 不符合题意； B 选项213x 分母是3，不含字母，是整式，不是分式，故B 不符合题意； C 选项2x π-分母是2π-，不含字母，是整式，不是分式，故C 不符合题意； D 选项213x x +-分母是3x -，含有字母，是分式，故D 符合题意. 故选：D.【点睛】 本题考查了分式的定义，即形如A B的形式，A 、B 均为整式，且B 中含有字母，分母中含有字母是判断分式的关键.特别注意π是数字.3．B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围．【详解】∵9﹣x ≥0∴x ≤9故选B ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．4．B【分析】根据因式分解的公式法222)2(a ab b a b ±+=±判断即可.【详解】解：A 选项2222()m mn n m n ++=+，所以222()m n m n ≠++，A 错误；B 选项2222()a b ab b a ++=+是因式分解，B 正确；C 选项2222()m mn n m n -+=-，所以222()m n m n -≠-，C 错误；D 选项2222()a ab b a b -+=-，所以2222()a ab b a b ≠+--，D 错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了因式分解的方法公式法，灵活利用平方差公式及完全平方公式进行因式分解是解题的关键.5．D【分析】.【详解】=A =A 错误；B =B 错误；C =，被开方数与C 错误；D =，被开方数与D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.6．C【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【详解】①a 2n •a n =a 3n ，正确；②22•33=4×27=108，故此选项错误；③32÷32=1，正确；④a 3÷a 2=a ，故此选项错误；⑤（﹣a ）2•（﹣a ）3=﹣a 5，故此选项错误．故选C ．【点睛】此题主要考查了用同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．B【分析】 将201932⎛⎫ ⎪⎝⎭写成20183322⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭再利用积的乘方的逆运算()m m m a b ab ⋅=求解即可.【详解】 解：201920183223⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20182018332223⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝2018332()223⎡⎤⋅⨯-⎢⎥⎣⎦=20183(1)2=⨯- 312=⨯ 32= 故选：B.【点睛】 本题考查了积的乘方的逆运算，灵活利用积的乘方法则化简计算是解题的关键. 8．D【解析】【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照 即可得到m-n 的值．【详解】（x-m ）（x+n ）=x 2+nx-mx-mn=x 2+（n-m ）x-mn ，∵（x-m ）（x+n ）=x 2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D ．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．9．A【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案.【详解】224a =-=-，2124b -==，2142c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0112d ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴14144-<<<， ∴a b d c <<<.故选：A .【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键. 10．B【分析】把a+b=10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=11代入求出a 2+b 2的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：把a+b=10两边平方得：（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=100，把ab=11代入得：a 2+b 2=78，∴原式=78-11=67，故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 11．B【解析】【详解】由题意得：a －3≤0，a ≤3.故选B.12．C【解析】解：∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x +y ＜0．原式x y x y-++=－（x -y ）－（x +y ）=－x +y －x －y =－2x ．故选C ．13．61.0710-⨯【分析】科学计数法的表示形式为10(110)n a a ⨯<≤，表示绝对值小于1的数时，n 为负整数，其值为原数中第一个非零数字前边所有零（包括小数点前的零）的个数的相反数，由此表示即可.【详解】解：0.00000107=61.0710-⨯.故答案为：61.0710-⨯.【点睛】本题考查了科学计数法，灵活的利用科学计数法表示绝对值小于1的数是解题的关键. 14．()()222a x x +-【分析】分析题目先观察有公因式2a ，利用提取公因式法可得22(4)a x -；接下来观察多项式，利用平方差公式进行分解即可得出结果.【详解】解：228ax a 2=2(4)=2(2)(2)a x a x x -+-故答案为：()()222a x x +-【点睛】本题考查用公式法分解因式，提公因式法分解因式15．4x =-【分析】分式值为0时，分子等于0，分母不为0，由此即可确定x 的值.【详解】解:由题意可得40x -=且40x -≠，解得4x =-.故答案为：4x =-.【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键，解题过程中易忽视分母不为0这一条件.16．±6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k 的值.【详解】解：∵多项式x 2+kx +9是一个完全平方式，∴原式=x 2+kx +32，积的2倍：kx =±2×x ×3∴k =±6．故答案为：±6【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．1m >-且0m ≠【分析】由分式方程有意义可知1x ≠，由方程的解是正数可知0x >，表示出方程的解代入其满足的条件即可确定m 的取值范围.【详解】 解：11m x =- 方程两边同乘以(1)x -得1m x =-，解得1x m =+由分式方程有意义可知10x -≠，即1x ≠，可得11m +≠，即0m ≠，由方程的解是正数可知0x >，可得10m +>，即1m >-.所以m 的取值范围是1m >-且0m ≠.故答案为：1m >-且0m ≠.【点睛】本题考查了分式方程，已知解的情况求参数，灵活的表示出分式方程的解是解题的关键，解题过程中易忽视分母不等于0这一条件.18【分析】0a ≥可确定x 的值，代入即可求出y .解：由题意得20x -≥，20x -≥即20x -≤20x ∴-=解得2x =，将2x =代入38y =得38y =，2===.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及其性质，灵活应用二次根式有意义的条件确定被开方数中未知数的值是解题的关键.19．（1）4；（2）2x x -；（3）889b c；（4）【分析】（1）根据零指数幂01(0)a a =≠及负指数幂1(0)p p a a a-=≠的计算公式求解即可；（2）先将分式22144x x x --+的分子和分母因式分解，再约分计算即可；（3）先算乘方，再根据单项式除以单项式法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法法则计算最后再化简合并即可.【详解】（1）原式21111()2=-+ 1014=+4=（2）原式22(1)(1)11(2)2x x x x x x -+-=⋅---- 112x x +-=- 2x x =- （3）原式22462423a b c a b c -----=÷08819a b c -= 889b c=（4）原式==【点睛】本题综合考查了实数运算、分式的混合运算、整式的除法及二次根式的混合运算，熟练的掌握相应的运算法则是解题的关键.20．（1）x =5；（2）无解【分析】（1）方程两边同时乘(4)x -去分母化为一元一次方程再求解，最后检验即可得出结果；（2）方程两边同时乘2(1)x -去分母化为一元一次方程再求解，最后检验即可得出结果.【详解】解：（1）方程两边同时乘(4)x -，得：415x x --=-解得：5x =检验：当5x =时，45410x -=-=≠∴原方程的解为5x =（2）方程两边同时乘2(1)x -，得：2(1)3(1)6x x -++= 解得：1x =检验：当1x =时，21110x -=-=∴原方程无解【点睛】本题考查了解分式方程，熟练的去分母将分式方程化为一元一次方程是解题的关键，分式方程一定要进行检验，这一点易忽略.21．1x-，12- 【分析】根据分式的除法法则及异分母分式的加减法法则化简再代入求值即可.【详解】 解：原式2(1)1(1)(1)(1)(1)11x x x x x x x x ---++⎡⎤=÷+⎢⎥+-++⎣⎦ 2(1)1(1)(1)(1)x x x x x x -+=⋅+-- 1x=- 将2x =代入式中，得：原式12=-【点睛】 本题考查了分式的化简求值，分式的分子分母能因式分解的先进行因式分解，异分母分式加减时先通分化为同分母分式再计算，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解题的关键. 22．（1）1x =，1y =-；（2）±5【分析】（1）根据绝对值及算术平方根的非负性可得关于x 、y 的二元一次方程组，求解即可；（2）将x 、y 的值代入求24x y -的平方根即可.【详解】解：（1）由题意得2302350x y x y --=⎧⎨--=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩答：1x =，1y =-（2）5===±答：平方根为5±【点睛】本题考查了二元一次方程组及平方根，灵活的根据二元一次方程组确定未知数的值是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）120°．【解析】【分析】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可知三边相等，三内角都为60°，可得AC=CB，∠A=∠ACB=60°，又AD=CE，利用SAS的方法可得三角形ADC与三角形CEB全等；（2）由（1）证明的两三角形全等，根据全等三角形的对应角相等可得∠ACD=∠CBE，又∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°，等量代换可得∠CBE+∠DCB=60°，最后利用三角形的内角和定理即可求出∠BPC的度数．【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，在△ADC和△CEB中，AC CBA ACB AD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB（SAS）；（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°，∴∠CBE+∠DCB=60°，∴∠BPC=120°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．24．（1）四月份甲品牌每台售价4000元；（2）有3种方案：①购进甲种8台，乙种12台；②购进甲种9台，乙种11台；③购进甲种乙种各10台；（3）a 的值应取100．【分析】（1）可设四月份售价x 元，则三月份售价(500)x +元，根据题中三月份及四月份的销售额及销售数量可列出关于x 的分式方程，求解即可；（2）可设购进甲种y 台，则购进乙种(20)y -台，根据题中预算资金的范围可列出关于y 的一元一次不等式组，求解即可确定进货方案；（3）由要使（2）中所有方案获利相同可列出关于a 的一元一次方程，求解即可.【详解】解：（1）设四月份售价x 元，则三月份售价(500)x +元 可得：9000080000500x x=+ 解得：4000x =经检验4000x =是原分式方程的解且符合题意∴原方程的解为4000x =答：四月份甲品牌每台售价4000元（2）设购进甲种y 台，则购进乙种(20)y -台35004000(20)7500035004000(20)7600y y y y +-≥⎧⎨+-≤⎩ 解得810y ≤≤因为y 只能取整数，所以①8y =，2012y -=；②9y =，2011y -=；③10y =，2010y -=， 答：有3种方案：①购进甲种8台，乙种12台，②购进甲种9台，乙种11台，③购进甲种乙种各10台；（3）8(40003500)12400a ⨯--+⨯9(40003500)11400a =⨯--+⨯解得：100a =将100a =代入10(40003500400)a ⨯--+中，得：原式8000=将100a =代入8(40003500)12400a ⨯--+⨯中，得：原式8000=∴100a =符合题意答：a 的值应取100【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式组、一元一次方程的综合应用，正确理解题意找准题中的等量关系或不等关系是解题的关键.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析．【分析】（1）利用ASA 证明ADM NEM ∆∆≌，可得=DM EM ，易证结论；（2）由ADM NEM ∆∆≌及BAD ∆、BCE ∆为等腰直角三角形的性质可得NE AB =，BC CE =，CEN ABC ∠=∠，由SAS 可证ABC NEC ∆∆≌，由全等三角形的性质易证ACN ∆为等腰直角三角形；（3）由ADM NEM ∆∆≌及BAD ∆、BCE ∆为等腰直角三角形的性质可得NE AB =，BC CE =，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可知ABC CEN ∠=∠，利用SAS 证明ABC NEC ∆∆≌，由全等三角形的性质易证ACN ∆为等腰直角三角形.【详解】证明：（1）∵//AD EN∴DAM ENM ∠=∠(两直线平行，内错角相等)∵点M 为AN 的中点∴AM NM =，在ADM ∆和NEM ∆中DAM ENM AM NMDMA EMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ADM NEM ASA ∆∆≌∴=DM EM∴M 为DE 的中点（2）∵ADM NEM ∆∆≌∴AD NE =∵BAD ∆为等腰直角三角形∴DA AB NE ==∵BCE ∆为等腰直角三角形∴BC CE =∴45CBE CEB ∠=∠=︒∵45CBE ∠=︒∴135ABC ∠=︒∵//AD NE∴90AEN DAE ∠=∠=︒∵45CEB ∠=︒且90AEN ∠=︒∴135CEN ABC ∠=︒=∠∵NE AB CEN ABC BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC NEC SAS ∆∆≌∴AC NC =∴ACB NCE ∠=∠∴90ACN ACB BCN NCE BCN ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴ACN ∆为等腰直角三角形（3）（2）中的结论仍成立.∵ADM NEM ∆∆≌∴AD NE =∵BAD ∆为等腰直角三角形∴AD AB NE ==∵BCE ∆为等腰直角三角形∴BC CE =∵180ABC CBN ∠=︒-∠，180CEN NCE CNE ∠=︒-∠-∠180CBN BCN CNB ∠=︒-∠-∠，90NCE BCN ︒∠=-∠90CNE BNC ∠=︒-∠∴9090NCE CNE BCN BNC ∠+∠=︒-∠+︒-∠180BCN CNB CBN =︒-∠-∠=∠ ∴ABC CEN ∠=∠∵NE AB CEN ABC CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC NEC SAS ∆∆≌∴AC NC =，ACB NCE ∠=∠∴90ACN ACB BCN NCE BCN ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴ACN ∆为等腰直角三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，灵活的利用等腰直角三角形的性质判定三角形全等是解题的关键.。
麓山国际学校初二数学入学考试卷
麓山国际实验学校初二入学测试卷（数学试卷）满分：120分 考试时间：120分钟一、选择题（共10小题，每题3分）1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）A .屋顶支撑架B .自行车三脚架C .伸缩门D . 旧木门钉木条2.下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ）A .了解岳麓区中小学生的睡眠时间B .了解长沙市初中生的兴趣爱好C .了解湖南省中学教师的健康状况D .了解“天宫二号”飞行器零部件的质量3.长沙市岳麓区参加中考的考生有25000名，为了了解数学考试情况从中随机抽查了1800名学生的数学成绩进行统计分析.下列描述正确的是（ ）A .25000名学生是总体，每名学生是总体的一个个体B .1800名学生的数学成绩是总体的一个样本C .样本容量是25000D .以上调查是全面调查4.方程是关于的二元一次方程，则的值为（ ）A .B .C .D .5.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）A .2, 3, 4B .5, 7, 7C .5, 6, 12D .6, 8, 10 6.在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放,则∠1的度数为（ ）A .B .C .D .第6题图 第7题图 第8题图7.如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为E ,F ，则在下列条件中选择一组，其中不能判定Rt △ABE ≌Rt △DCF 的是（ ）A .AB =DC ，∠B =∠C B . AB =DC ，AB ∥CD C . AB =DC ，BE =CF D . AB =DF ，BE =CF8.如图，在△ABC 中，∠BAC =x °，∠B =2x °，∠C =3x °，则∠BAD =（ ）A .145°B .150°C .155°D .160°()229(3)0m x x m y -+-+=,x y m 3±33-932o 36o 40o 42o9.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=∠B=∠C④∠A=∠B=2∠C⑤∠A=2∠B=3∠C.能判定△ABC为直角三角形的条件有（）A.2个B.3个C. 4个D. 5个10.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形。
湖南省长沙市麓山国际学校2020-2021学年八年级下学期线上月考数学试题
湖南省长沙市麓山国际学校2020-2021学年八年级下学期线上月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若一组数据2，3，x ，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ） A ．2 B ．3 C ．5.5 D ．72．为调査某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了 30 名同学，结果如下表：则这 30 名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）A ．15，15B ．20，17.5C ．20，20D ．20，15 3．在数据 1，3，5，7，9 中再添加一个数据，使得该组数据的平均数不变，则添加的数据为（ ）A ．25B ．3C ．4.5D ．54．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x （单位：环），下列说法中正确的个数是（ ）①若这5次成绩的平均数是8，则8x =；②若这5次成绩的中位数为8，则8x =；③若这5次成绩的众数为8，则8x =；④若这5次成绩的方差为8，则8x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知-1是关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个根，则-a b 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．26．利用配方法解一元二次方程2670x x -+=时，将方程配方为()2x m n -=，则m 、n 的值分别为（ ）A ．9m =，2n =B ．3m =-，2n =-C ．3m =，0n =D ．3m =，2n = 7．方程()55x x x -=-的根是（ ）A ．5x =B ．0x =C ．15=x ，20x =D ．15=x ，21x = 8．图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（ ）A ．小明B ．小华C ．两人一样D ．无法确定 9．有 5 人患了流感，经过两轮传染后共有 605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（ ）A ．10B ．50C ．55D ．4510．如果（m +2）x |m |+mx －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（ ） A ．2或－2 B ．2 C ．－2 D ．011．若关于x 的一元二次方程2(2)210k x x +--=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3k >B ．3k ≥-C ．3k >-且2k ≠-D ．3k ≥-且2k ≠-12．设,a b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，则22a a b +-的值为（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020二、填空题13．数据﹣3，6，0，5的极差为_____．14．某单位定期对员工按照专业能力、工作业绩、考勤情况三方面进行考核（每项满分100分），三者权重之比为3:5:2，小明经过考核后三项分数分别为90分，86分，83分，则小明的最后得分为_________分． 15．已知样本数据1234x x x x ，，，的方差为2，则12344444x x x x ，，，的方差是__________． 16．若关于x 的一元二次方程2()x a b -+=有实数根，则b 的取值范围是__________．17．若a，b是一元二次方程210x-+=的两根,则11a b+=________.三、解答题18．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm2，求剪去的小正方形的边长．19．某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表请根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求被抽查的学生人数和m 的值；（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；（3）若该校共有1200 名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4 篇的人数．20．某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如下图所示：根据图示信息，整理分析数据如下表：（说明：图中虚线部分的间隔距离均相等）（1）求出表格中a b c ，，的值；（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；（3）计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．21．解方程：（1）x 2﹣2x+1=0 （2）2x 2﹣3x+1=022．解下列方程（1）23640x x +-= （2）3(21)42x x x +=+23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2021年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，且从2021年到2021年，每年盈利的年增长率相同.（1）求每年盈利的年增长率；（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2021年该公司盈利能否达到2500万元？24．已知关于 x 的一元二次方程 2x +（2k+1）x+2k ＝0 有实数根．（1）求 k 的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为1x 、 2x ，若 21x 2x ﹣1x ﹣2x ＝1，求 k 的值． 25．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？(2)在(1)中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由.26．如果关于 x 的一元二次方程 a 2x +bx+c ＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程2x +x ＝0 的两个根是 1x ＝0，2x ＝﹣1，则方程 2x +x ＝0 是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①2x ﹣x ﹣6＝0；②22x ﹣＝0．（2）已知关于 x 的方程2x ﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；（3）若关于 x 的方程 a 2x +bx+1＝0（a 、b 是常数，a ＞0）是“邻根方程”，令 t ＝8a-2b ，试求 t 的最大值．参考答案1．C【分析】根据众数的定义可得x 的值，再依据中位数的定义即可得答案．【详解】∵数据2，3，x ，5，6，7的众数为7，∴x ＝7，则这组数据为2，3， 5，6，7，7∴中位数为5.5，故选：C ．【点睛】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．2．B【分析】利用众数的定义可以确定众数在第四组，由于随机调查了30名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．【详解】解：∵童老师随机调查了30名同学∴3025869x =----=∴20出现了9次，它的次数最多∴众数为20∵随机调查了30名同学∴根据表格数据可以知道，中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数 ∴中位数为()1520217.5+÷=故选：B【点睛】本题考查了中位数和众数的意义．众数是数据中出现次数最多的数；将数据从小到大排列后，中间的数（或中间的两数的平均数）就是中位数．3．D【分析】依据平均数的定义和公式计算添加数据前后的平均数求解即可．【详解】解：设添加的数据为x∵原数据 1，3，5，7，9的平均数为1357955++++=，再添加一个数据x ，使得该组数据的平均数不变∴新数据1，3，5，7，9，x 的平均数为1357956x +++++= ∴5x =故选：D【点睛】本题考查了平均数的定义，指的是一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，确定总数量以及与总数量对应的总个数是解题的关键．4．A【分析】根据中位数，平均数，众数和方差的概念逐一判断即可．【详解】①若这5次成绩的平均数是8，则8589788x =⨯----=,故正确；②若这5次成绩的中位数为8，则x 可以任意数，故错误；③若这5次成绩的众数为8，则x 只要不等于7或9即可，故错误；④若8x =时，方差为2221[3(88)(98)(78)]0.45⨯-+-+-=，故错误．所以正确的只有1个故选：A ．【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数，方差的求法是解题的关键． 5．A【分析】把x ＝−1代入方程计算求出a−b 的值即可．【详解】把x ＝−1代入方程得：a−b ＋1＝0，即a−b ＝−1，故选：A ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 6．D【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．【详解】解：∵2670x x -+=∴267x x -=-∴()()2226373x x -+-=-+-∴()232x -=∴3m =，2n =．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 7．D【分析】先移项然后通过因式分解法解一元二次方程即可．【详解】 ()5(5)0x x x ---=()(1)50x x --=10x -=或50x -=121,5x x ∴==故选：D ．【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．8．B【分析】根据图中的信息找出波动性小的即可．【详解】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，则这两人中成绩稳定的是小明；故射箭成绩的方差较大的是小华，故选：B ．【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．9．C【分析】根据题意先间接设未知数，认真审题找到等量关系，进而列出方程求解即可．【详解】解：设一个人可以传染给x 个人，根据题意得，()5555605x x x +++=2121200x x +-=()()10120x x -+=100x -=，120x +=110x =，212x =-（不合题意，舍去）∴第一轮后患流感的人数为：55551055x +=+⨯=．故选：C【点睛】本题主要考查了列方程解决实际问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中找出等量关系，设未知数，进而根据等量关系列出方程解决问题．【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=2，且m+2≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0，解得：m=2．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”．11．D【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与∆的关系列出不等式，即可求出实数k 的取值范围.【详解】解：由题意可知：()()()22024210k k +≠⎧⎪⎨--+-≥⎪⎩ 解得：23k k ≠-⎧⎨≥-⎩∴3k ≥-且2k ≠-.故选：D.【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与∆的关系是解决此题的关键.12．D【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=-3；然后根据a 是方程2320170x x +-=的实数根，可得2320170a a +-=，据此求出232017a a +=,利用根与系数关系得：+a b =-3，22a a b +- 变形为（2a 3a +）-（+a b ），代入即可得到答案．解：∵a 、b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，∴+a b =-3；又∵2320170a a +-=，∴232017a a +=，∴22a a b +-=（2a 3a +）-（+a b ）=2017-（-3）=2020即22a a b +-的值为2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解，把22a a b +-化成（2a 3a +）-（+a b ）是解题的关键．13．9【分析】根据极差的定义直接得出结论．【详解】∵数据﹣3，6，0，5的最大值为6，最小值为﹣3，∴数据﹣3，6，0，5的极差为6﹣（﹣3）＝9，故答案为9．【点睛】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．14．86.6【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分．解：小明的最后得分=352908683101010⨯+⨯+⨯=27+43+16．6=86.6（分）， 故答案为：86.6．【点睛】此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算方法．若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则112212n n nx w x w x w w w w ++⋯+++⋯+叫做这n 个数的加权平均数．15．32【分析】根据数据1234x x x x ，，，的方差为s 2，得数据1234nx nx nx nx ，，，的方差为n 2•s 2．【详解】根据数据1234x x x x ，，，的方差为2， 得数据12344444x x x x ，，，的方差为42×2＝16×2＝32． 故答案为32．【点睛】本题考查了根据一组数据的方差计算另一组数据方差的问题，是基础题．16．0b ≤【分析】根据等式的基本性质，将方程变为2()x a b +=-，然后根据平方的非负性即可求出b 的取值范围．【详解】解：∵2()x a b -+=∴2()x a b +=-∵2()0x a +≥，关于x 的一元二次方程2()x a b -+=有实数根， ∴0b -≥解得：0b ≤故答案为：0b ≤【点睛】此题考查的是一元二次方程根的情况，掌握平方的非负性是解决此题的关键．17．【分析】 将11a b+通分变形为a b ab +，然后利用根与系数的关系即可求解. 【详解】∵a 、b 是一元二次方程210x -+=的两根∴+=a b 1ab =∴11=++=a b a b ab故答案为：【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键.18．剪去的小正方形的边长为 1cm ．【分析】设剪去的小正方形的边长为 xcm ，即可列出关于x 的一元一次方程，求出即可.【详解】设剪去的小正方形的边长为 xcm ， 根据题意得：（10﹣2x ）（6﹣2x ）＝32，整理得：x 2﹣8x +7＝0，解得：x 1＝7，x 2＝1．∵7＞6，∴x 1＝7 舍去．答：剪去的小正方形的边长为 1cm ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程.19．（1）50人；6（2）5篇；4篇（3）336人【分析】（1）先由6篇的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他篇数的人数，从而求得m 的值；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）用总人数乘以样本中4篇的人数所占百分比即可得答案．【详解】解：（1）∵被调查的总人数为816%50÷=人∴()501614866m =-+++=；（2）∵共有50个数据，并将其按从小到大的顺序排列∴其中位数为第25、26个数的平均数，即5552+=篇 ∴中位数为5篇∵出现次数最多的是4篇∴众数为4篇；（3）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数为14120033650⨯=人． 故答案是：（1）50人；6（2）5篇；4篇（3）336人【点睛】本题考查了表格、扇形统计图、频数、频率和总量的关系，中位数，众数，用样本估计总体等知识点，认真审题并从中提取有效信息是解题的关键．20．（1）a=85，b=80，c=85；（2）初中部成绩较好；（3）初中代表队的方差为70，高中代表队的方差为160，初中代表队选手成绩较为稳定【分析】（1）直接利用中位数、平均数、众数的定义分别分析求出答案；（2）利用平均数以及中位数的定义分析得出答案；（3）利用方差的定义得出答案．【详解】解：（1）填表：（2）初中部成绩较好，因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩较好．（3）∵()()()()222221758580858585210085705s -+-+-⨯+-==， ()()()()2222227085100852758580851605s -+-⨯+-+-==，∴s 12＜s 22，因此初中代表队选手成绩较为稳定．【点睛】此题主要考查了平均数、众数、方差、中位数的定义和性质，正确把握相关定义是解题关键． 21．（1）x 1=x 2=1 ；（2）x 1=1，x 2=12 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；（2）利用十字相乘法解一元二次方程即可得出答案.【详解】解：（1）x 2﹣2x+1=0(x-1)2=0∴x 1=x 2=1（2）2x 2﹣3x+1=0(2x-1)(x-1)=0∴x 1=1，x 2=12【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解一元二次方程主要有以下几种解法：直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.22．（1）12x x ==;（2）1212,23x x =-= 【分析】 （1）先找出方程中a ，b 和c 的值，求出b 2-4ac 的值，即可利用求根公式解答． （2）提取公因式（2x+1）得到（2x+1）（3x-2）=0，再解两个一元一次方程即可；【详解】解：（1）a=3，b=6，c=-4=24b ac -=36-4×3×(-4) =84>0∴66x -±==，∴1233,33x x -+-== （2）3x(2x+1)=2(2x+1)∴(2x+1)(3x-2)=02x+1=0或3x-2=01212,23x x =-= 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．23．（1）每年盈利的年增长率为20%；（2）2021年该公司盈利能达到2500万元.【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x ，根据题意列出方程求解即可；（2）利用2021年盈利=2160×（1+x ），由此计算即可；【详解】解：（1）设每年盈利的年增长率为x ，根据题意得()2150012160x += ，解得10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去）答：每年盈利的年增长率为20% .（2）()2160?10.22592+=，25922500>.答：2021年该公司盈利能达到2500万元.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．24．（1）14k ≥-（2）0k = 【分析】（1）由已知条件可知，根的判别式0∆≥，从而列出关于k 的不等式，即可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系可知1221x x k +=--、212x x k ⋅=，代入等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 2x +（2k+1）x+2k ＝0 有实数根∴()222421410b ac k k ∆=-=+-⋅⋅≥ ∴14k ≥- （2）∵方程()22210x k x k +++=的两个实数根分别为1x 、 2x ∴1221b x x k a +=-=--，212c x x k a⋅== ∵121221x x x x --=∴()121221x x x x -+=∴()22211k k ---= ∴2220k k +=∴()210k k +=∴20k =，10k +=∴10k =，21k =-∵14k ≥- ∴0k =．故答案是：（1）14k ≥-（2）0k = 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系、根与系数的关系，熟记相关知识点是解题的关键．25．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm .【分析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【详解】解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．26．（1）260x x --=不是邻根方程；2210x -=是邻根方程（2）0m =或2m =-（3）4t =最大值【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解；（2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于1，从而得到关于m 的方程，解方程即可；（3）利用根与系数的关系表示出121x x -==，进一步化简可得224b a a =+，整体代入28t a b =-再配方可得()224t a =--+，即可确定t 的最大值．【详解】解：（1）①260x x --= ()()320x x -+=30x -=，20x +=∴13x =，22x =-∵1251x x -=≠∴不符合邻根方程的定义∴260x x --=不是邻根方程．②2210x -=∵2a =，b =-，1c =∴(22442140b ac ∆=-=--⨯⨯=>∴x ===∴1x =，2x =∴121x x -=∴符合邻根方程的定义∴2210x -=是邻根方程．（2）∵关于x 的方程()210x m x m ---=（m 是常数）是邻根方程 ∴解方程可得：1x m =，21x =- ∴()12111x x m m -=--=+=∴10m =，22m =-∴0m =或2m =-．（3）∵关于x 的方程210ax bx ++=（a 、b 是常数，0a >）是邻根方程，设两个根为1x 、2x ∴121x x -= ∵12b x x a +=-，121c x x a a ⋅==∴121x x -==== ∴224b a a =+∴()2228424t a b a a a =-=-+=--+∴当2a =时，4t =最大值．故答案是：（1）260x x --=不是邻根方程；2210x -=是邻根方程（2）0m =或2m =-（3）4t =最大值【点睛】本题考查了解一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值的方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键．。
【冲刺实验班】湖南长沙麓山国际实验学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
【冲刺实验班】湖南长沙麓山国际实验学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．12．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108 5．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞06．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．28．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或310．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是万步．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB 上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是；（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．1【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；B、球体的主视图为圆，不合题意；C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数，属于随机事件；B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下，属于随机事件；C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3，属于随机事件；D．太阳每天从东方升起，属于必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.000 000 04＝4×10﹣8，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，解得：x≥0且x≠3．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠4＝∠2＝55°，又∵∠4＝∠1+∠3，∴∠3＝∠4﹣∠1＝55°﹣30°＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac＝0即可求解【解答】解：依题意，方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8a＝0，得a＝2故选：D．【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．8．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：∵将直线l：y＝3x﹣1平移后，得到直线：y＝3x+1，∴3x﹣1+a＝3x+1，解得：a＝2，故将l向上平移2个单位长度．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．10．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，可求CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，由“SAS”可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF，∠1＝∠FEC，可求∠EAF＝45°，即可求cos（∠1+∠2）的值．【解答】解：连接EF∵矩形ABCD长与宽的比为5：3，∴设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，∵tan∠1＝＝，tan∠2＝＝，∴BE＝2a，DF＝a，∴CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，且∠B＝∠C＝90°∴△ABE≌△ECF（SAS）∴AE＝EF，∠1＝∠FEC∵∠1+∠AEB＝90°∴∠AEB+∠FEC＝90°∴∠AEF＝90°，且AE＝EF∴∠EAF＝45°∴∠1+∠2＝45°∴cos（∠1+∠2）＝故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，证明△ABE ≌△ECF是本题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝4．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝﹣2．【分析】已知第一个等于左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，且a﹣b＝﹣4，∴a+b＝﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是21．【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，解得，S△ABC＝25，∴四边形DBCE的面积＝25﹣4＝21，故答案为：21．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是 1.4万步．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是1.4万步，故答案为：1.4．【点评】本题考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是7．【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到a的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出a的范围，进而求出a的值，得到所有满足条件的整数a的值之和．【解答】解：分式方程去分母得：2a﹣4＝x﹣2解得：x＝2a﹣2由分式方程的解为正数，得到：2a﹣2＞0，2a﹣2≠2∴a＞1且a≠2不等式组整理得：∵不等式组无解，∴3﹣2a≥﹣5∴a≤4∴综上，a的范围为1＜a≤4且a≠2∴整数a＝3，4∴所有满足条件的整数a的值之和是7故答案为：7【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．【分析】连接EC，由∠COE＝90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，求出OE 和OC，根据勾股定理求出EC，解直角三角形求出即可．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，∵∠COE＝90°，∴EC是⊙A的直径，即EC过O，∵A（﹣2，1），∴OM＝2，ON＝1，∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴AM∥OC，同理AN∥OE，∴N为OC中点，M为OE中点，∴OE＝2AN＝4，OC＝2AM＝2，由勾股定理得：EC＝＝2，∵∠OBC＝∠OEC，∴sin∠OBC＝sin∠OEC＝＝＝．故答案为．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），8﹣x+3≤2x+2﹣3x≤﹣9∴原不等式的解集为：x≥3，在数轴上表示不等式的解集：【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝4时，原式＝＝4．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；（2）利用“ASA”证明△ACD≌△AED得到AC＝AE．【解答】解：（1）如图，AD为求作；（2）如图，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（ASA），∴AC＝AE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定与性质．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？【分析】设有x人，物品价值y元，根据题意可得，8×人数﹣3＝物品价值，7×人数+4＝物品价值，据此列方程组求解．【解答】解：设共有x人，每件物品的价格为y元，依题意得：解得答：共有7人，每件物品的价格为53元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．【分析】（1）将A、B点坐标代入y1＝﹣x+2即可求得a、b的值；（2）根据解得A、B的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）把A（﹣3．a）和B（b，﹣2）代入y1＝﹣x+2得，a＝﹣×（﹣3）+2＝4，﹣2＝﹣b+2，则b＝6；（2）∵A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞6．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了160人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是45°；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．【分析】（1）①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数，然后补全条形统计图；③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数；（2）画树状图展示9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）①40÷25%＝160，所以小杰共调查统计了160人；②参加A项目的人数为160×62.5%＝100（人），图1补充完整为：③图2中C所占的圆心角的度数＝360°×＝45°；故答案为160；45°；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5，所以两人中至少有一个选择“A”的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用tan∠MCP＝tan∠QPF，则，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣（﹣1﹣2）2+b，解得：b＝9；（2）过点C作CM⊥EF，垂足为M，∴∠CMP＝∠CPQ＝∠PFQ＝90°∴∠MCP＝∠QPF，∴tan∠MCP＝tan∠QPF，∴，∴n＝m2﹣m+2＝（m﹣）2﹣，∵n＜2，∴0≤m＜5，∴当时，n的最小值为﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值、解直角三角形等知识，难度不大．24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB 上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是4；（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．【分析】（1）由AB是圆的直径知∠C＝90°，再根据勾股定理求解可得；（2）连结ON，OM，先证tan∠B＝＝知∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，设ON＝OA＝r，证△OBN∽△ABC得＝，据此求出r的值，再计算出2S扇形MON和S△AOM，从而得出答案；（3）设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，证△AGE∽△AFC得＝，由AC＝2，CM＝x知AM＝2﹣x，再证∠AOM＝60°得OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，从而知AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，据此得出答案．【解答】解：（1）∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝2，∴AB＝4故答案为4；（2）如图2，连结ON，OM，∵⊙O与边BC相切于点N，∴ON⊥BC在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，∴tan∠B＝＝，∴∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，∵OA＝OM，∴∠OMA＝∠A＝60°，∴∠AOM＝60°，∠MON＝60°，设ON＝OA＝r，∵∠BNO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△OBN∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝，∴2S扇形MON＝2×＝，∵S△AOM＝×（）2＝，∴⊙O与△ABC重合部分的面积是+．（3）AE•AF不为定值，理由如下：如图3，设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，∵AG是⊙O的直径，∴∠GEA＝90°＝∠C，在圆内接四边形AGEF中，∠AGE+∠AFE＝180°，∵∠AFC+∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠AFC，∴△AGE∽△AFC，∴＝，∵AC＝2，CM＝x，∴AM＝2﹣x，∵∠OMA＝∠OAM＝60°，∴∠AOM＝60°，∴OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，∴AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，∵x不是定值∴AE•AF不是定值．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、三角函数的运用、相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识点．25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．【分析】（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，即可求解；（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三种情况分别求解；（3）MN≤MA+AD，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCO中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝；（2）如图2，连结AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）如图4，∵a＝4，点M是矩形ABCO的对称中心∴AO＝4，AM＝，以A为圆心，分别以AO、AM为半径作圆，AD交小圆于P，过M作MN⊥ED于N∴DE切大圆于D∴MN≥PD根据“垂线段最短”，MN≤MA+AD，如图5，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，∴s的最大值是ED×（MA+AD）＝；如图6，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，∴s的最小值是ED×PD＝，s的取值范围是．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．12．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞06．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．28．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或310．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是万步．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．。
【2020-2021自招】长沙麓山国际实验学校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年长沙麓山国际实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学八年级(上)入学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区雅礼洋湖实验中学八年级（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列实数中，是无理数的为( )A. √4B. √−83C. πD. 13 2. 若a >b ，则下列不等式变形正确的是( )A. a +5<b +5B. a 3<b 3C. −4a >−4bD. 3a >3b3. 下列调查中，适合用普查方式的是( )A. 了解某班学生“50米跑”B. 了解一批灯泡的使用寿命C. 了解一批炮弹的杀伤半径D. 调查长江流域的水污染情况4. 下列图形中，线段AD 的长表示点A 到直线BC 距离的是( )A. B.C. D.5. 点P(−3,4)到x 轴的距离是( )A. −3B. 3C. 4D. 5 6. 已知y =kx +b ，当x =0时，y =−1；当x =12时，y =2，那么当x =−12时，y 的值为( )A. −2B. −3C. −4D. 27. 一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为( )A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°8. 三角形两条边的长分别是4和10，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为( )A. 5B. 6C. 11D. 169. 已知点P(2a −4,a −3)在第四象限，化简|a +2|+|8−a|的结果( )A. 10B. −10C. 2a −6D. 6−2a10.如图，在矩形ABCD中放入6个全等的小矩形，所标尺寸如图所示，设小矩形的长为a，宽为b，则可得方程组()A. {a+3b=16a−b=4B. {a+3b=16a−2b=4C. {2a+b=16a−b=4D. {2a+b=16a−2b=411.如图，已知∠1=40°，∠A+∠B=140°，则∠C+∠D的度数为()A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°12.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE=∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD.其中正确的是()A. ①③B. ①②③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.16的算术平方根是______．14.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A=∠D，②AC=DB，③AB=DC，其中不能确定△ABC≌△DCB 的是_____(只填序号)．15.如图，△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，AD是角平分线，AE是高，则∠DAE=______°.16.如图，三角形ABC中，∠BAC=70°，点D是射线BC上一点(不与点B、C重合)，DE//AB交直线AC于E，DF//AC交直线AB于F，则∠FDE的度数为______．17.已知不等式组{x≥1x<a的整数解为1，2，3，则a的取值范围是______．18.某地突发地震，为了紧急安置30名地震灾民，需要搭建可容纳3人或2人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有______种．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：√(−2)2+√273−|√3−2|−√3．20.解不等式组：{−3(x−2)≥4−x 1+2x3>x−1．21.为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：(1)此次共调查了多少名同学？(2)将条形图补充完整，并计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数(3)如果该区七年级共有2000名学生参加这4个课外兴趣小组，而每名教师最多只能辅导本组的20名学生，则绘画兴趣小组至少需要准备多少名教师？22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．(1)若∠C=70°，∠B=30°求∠DAE的度数；(2)若∠C−∠B=20°，则∠DAE=______°.23.如图，四边形ABCD中，AD//BC，点E、F分别在AD、BC上，AE=CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．(1)求证：△AGE≌△CHF；(2)连接AF、CE，线段AF与CE是否相等？请说明理由．24.某家电超市经营甲、乙两种品牌的洗衣机经投标发现，1台甲品牌洗衣机进价比1台乙品牌洗衣机进价贵500元；购进2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需进货款13500元．(1)购进1台甲品牌洗衣机和1台乙品牌洗衣机进价各需要多少元？(2)超市根据经营实际情况，需购进甲、乙两种品牌的洗衣机总数为50台，购进甲、乙两种品牌的洗衣机的总费用不超过145250元．①请问甲品牌洗衣机最多购进多少台？②超市从经营实际需要出发，其中甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，则该超市共有几种购进方案？试写出所有的购进方案．25.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例：1，4，9这三个数，√1×4=2，√1×9=3，√4×9=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．(1)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．(2)已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．26.已知AM//BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN(1)求∠AEB的度数．(2)如图2，过点E的直线交射线线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD=AB；(3)如图3，过点E的直线交射线线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5，AC=3，S△ABE−S△ACE=2，求△BDE的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、√4=2是有理数，故A错误；3=−2是有理数，故B错误；B、√−8C、π是无理数，故C正确；D、1是有理数，故D错误；3故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】D【解析】解：A、两边都加5，不等号的方向不变，故A错误；B、两边都除以3，不等号的方向不变，故B错误；C、两边都乘−4，不等号的方向改变，故C错误；D、两边都乘3，不等号的方向不变，故D正确；故选：D．根据不等式的性质，可得答案．本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键，注意不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】A【解析】解：A、工作量小，没有破坏性，适合普查．B、D、范围广，工作量大，不宜采用普查，只能采用抽样调查；C、调查具有破坏性，适宜抽样调查；故选：A．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．4.【答案】D【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离，则AD⊥BC，符合题意的是图D，故选D．点到直线的距离是指垂线段的长度．本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．5.【答案】C【解析】解：∵|4|=4，∴点P(−3,4)到x轴距离为4．故选：C．纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．6.【答案】C【解析】解：根据题意得：{b =−112k +b =2，解得：{k =6b =−1， ∴y =6x −1，当x =−12时，y =−3−1=−4，故选：C ．把x 与y 的值代入y =kx +b 中计算，求出k 与b 的值，确定出y 与x 关系式，再将x 的值代入计算即可求出y 的值．此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°， ∴这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：(5−2)×180°=540°．故选：B ．由一个多边形的每一个外角都是72°，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．此题考查了多边形的内角和与外角和．注意多边形的内角和为：(n −2)×180°；多边形的外角和等于360°．8.【答案】C【解析】解：设此三角形第三边的长为x ，则10−4<x <10+4，即6<x <14，四个选项中只有11符合条件．故选：C ．设此三角形第三边的长为x ，根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．9.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了点的坐标，正确得出a 的取值范围是解题关键．直接利用第四象限内点的坐标特点得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【解答】解：∵点P(2a −4,a −3)在第四象限，∴2a −4>0，a −3<0，解得：3>a >2∴|a +2|+|8−a|=a +2+8−a=10．故选：A ．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小矩形的长为a ，宽为b ，根据矩形的性质列出方程组即可．【解答】解：设小矩形的长为a ，宽为b ，则可得方程组{a +3b =16a −b =4． 故选：A ．11.【答案】C【解析】解：连接CD ，如图：∵∠1=40°，∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°−40°=140°，∵∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=360°，∠A+∠B=140°，∴∠ADC+∠BCD=360°−140°=220°，∴∠BCE+∠ADE=(∠ADC+∠BCD)−(∠2+∠3)=220°−140°=80°，故选：C．根据三角形内角和定理和多边形内角和公式解答即可．本题主要考查三角形内角和定理和多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和多边形内角和公式．12.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴∠ABE=∠DCE，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，DH=DH，∴△ADH≌△CDH(SAS)，∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°−90°=90°，∴AG⊥BE，故②正确；∵AD//BC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE−S△DEH=S△CDE−S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：B．根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，可知①正确；利用正方形性质证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到②正确．根据AD//BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE−S△DEH=S△CDE−S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确；本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．13.【答案】4【解析】【分析】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵42=16，∴√16=4．故答案为：4．14.【答案】②【解析】解：∵已知∠ABC=∠DCB，且BC=CB∴若添加①∠A=∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；若添加②AC=DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB=DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，HL据此可逐个对比求解．本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．15.【答案】40【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°−30°−110°=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12×40°=20°，∵∠B=30°，AE是BC边上高线，∴∠BAE=90°−30°=60°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=60°−20°=40°．故答案为：40．根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠DAE=∠BAE−∠BAD计算即可得解．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．16.【答案】70°或110°【解析】解：如图1所示，当点D在B、C之间时，∵DE//AB交直线AC于E，DF//AC交直线AB于F，∴四边形AFDE是平行四边形，∴∠FDE=∠A=70°；如图2所示，当点D在点C外时，∵∠BAC=70°，∴∠CAF=180°−70°=110°．∵DE//AB 交直线AC 于E ，DF//AC 交直线AB 于F ，∴四边形ACDF 是平行四边形，∴∠FDE =∠CAF =110°．综上所述，∠FDE 的度数为70°或110°．故答案为：70°或110°．根据题意画出图形，分点D 在B 、C 之间与点C 外两种情况进行讨论．本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．17.【答案】3<a ≤4【解析】解：∵不等式组{x ≥1x <a有整数解， ∴不等式组的解集为1≤x <a ，∵不等式组{x ≥1x <a的整数解为1，2，3， ∴3<a ≤4，故答案为：3<a ≤4．根据不等式组的整数解可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】6【解析】解：设3人的帐篷有x 顶，2人的帐篷有y 顶，依题意，有：3x +2y =30，整理得y =15−1.5x ，因为x 、y 均为非负整数，所以15−1.5x ≥0，解得：0≤x ≤10，从0到10的偶数共有6个，所以x 的取值共有6种可能．故答案是：6．可设3人的帐篷有x 顶，2人的帐篷有y 顶．根据两种帐篷容纳的总人数为30人，可列出关于x 、y 的二元一次方程，根据x 、y 均为非负整数，求出x 、y 的取值．根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案．此题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是找到人数的等量关系，及帐篷数的不等关系．19.【答案】解：原式=2+3─(2─√3)─√3=2+3─2+√3─√3=3．【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：{−3(x−2)≥4−x①1+2x3>x−1②，由①得：x≤1，由②得：x<4，不等式组的解集为x≤1．【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：小小取小确定不等式组的解集即可．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：(1)此次调查的学生人数为120÷40%=300(名)；(2)音乐的人数为300−(60+120+40)=80(名)，补全条形图如下：扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为360°×80300=96°；(3)60÷300×2000÷20=20．∴需准备20名教师辅导．【解析】(1)根据球类人数及其所占百分比可得总人数；(2)根据各组人数之和等于总人数求得音乐人数，据此可补全条形图，再用360°乘以音乐人数所占比例可得；(3)总人数乘以样本中绘画人数所占比例，再除以20即可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】(1)如图，∵在△ABC中∠C=70°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−70°−30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×80°=40°；∵AD⊥BC，∠C=70°，∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，∵∠CAE=40°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=40°−20°=20°；(2)10【解析】解：(1)见答案(2)如图，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12(180°−∠C−∠B)，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°−∠C，∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=(90°−∠C)−12(180°−∠C−∠B)=12(∠C−∠B)=10°．故答案为：10．【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数即可；根据AD⊥BC及三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，再由(1)中求出的∠BAE 的度数即可求出∠DAE的度数；(2)先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用∠B、∠C表示出∠BAE的度数，再根据直角三角形的性质用∠B表示出∠BAD的度数，∠DAE=∠BAD−∠BAE，化简即可求出∠DAE的度数．本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，涉及面较广，难度适中．23.【答案】(1)证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G=∠H=90°，AG//CH，∵AD//BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠AEG=∠DEF，∠CFH=∠BFE，∴∠AEG=∠CFH，在△AGE和△CHF中，{∠G=∠H∠AEG=∠CFH AE=CF，∴△AGE≌△CHF(AAS)；(2)解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由(1)得：△AGE≌△CHF，∴AG=CH，∵AG//CH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【解析】(1)由垂线的性质得出∠G =∠H =90°，AG//CH ，根据平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG =∠CFH ，由AAS 即可证明△AGE≌△CHF ；(2)连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG =CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定与性质．24.【答案】解：(1)设购买1台甲品牌洗衣机需要x 元，购买1台乙品牌洗衣机需要y 元，根据题意得：{x −y =5002x +3y =13500， 解得：{x =3000y =2500， 答：购买1台甲品牌洗衣机需要3000元，购买1台乙品牌洗衣机需要2500元；(2)①设购买甲品牌洗衣机m 台，则购买①品牌洗衣机(50−m)台，根据题意得：3000m +2500(50−m)≤145250，解得：m ≤40.5，∵m 为整数，∴m ≤40．答：甲品牌洗衣机最多购买40台；②设购买甲品牌洗衣机m 台，则购买乙品牌洗衣机(50−m)台，根据题意得：m ≥3(50−m)，解得：m ≥37.5，∵m 为整数，∴m ≥38，则38≤m ≤40.5，∴有3种购买方案，方案一：购买甲品牌洗衣机38台，乙品牌洗衣机12台；方案二：购买甲品牌洗衣机39台，乙品牌洗衣机11台；方案三：购买甲品牌洗衣机40台，乙品牌洗衣机10台．【解析】(1)设购买1台甲品牌洗衣机需要x 元，购买1台乙品牌洗衣机需要y 元，根据“购买1台甲品牌洗衣机比购买1台乙品牌洗衣机贵500元；购买2台甲品牌洗衣机和3台乙品牌洗衣机共需13500元”，得出关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到答案；(2)①设购买甲品牌洗衣机m台，则购买乙品牌洗衣机(50−m)台，根据总价=单价×数量结合购买甲、乙两种品牌洗衣机的总费用不超过145250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论；②设购买甲品牌洗衣机m台，则购买乙品牌洗衣机(50−m)台，根据甲品牌洗衣机购进的台数不少于乙品牌洗衣机台数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合①的结论即可找出各购买方案．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：(1)∵√2×18=6，√2×8=4，√18×8=12，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．(2)分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，√25a=3√9a，解得a=0(不合题意)；②当a≤9<25时，√9×25=3√9a，(不合题意)；解得a=259③当9<25≤a时，√25a=3√9×25，解得a=81，综上所述，a的值为81．【解析】(1)对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；(2)分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9<25时，③当9<25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．26.【答案】解：(1)∵AM//BN，∴∠BAM+∠ABN=180°，∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，∴∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，∴∠BAE+∠ABE=12(∠BAM+∠ABN)=90°，∴∠AEB=90°；(2)在AB上截取AF=AC，连接EF，在△ACE与△AFE中，{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE，∴△ACE≌△AFE，∴∠AEC=∠AEF，∴∠AEB=90°，∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°，∴∠FEB=∠DEB，在△BFE与△BDE中，{∠FBE=∠DBE BE=BE∠FEB=∠DEB，∴△BFE≌△BDE，∴BF=BD，∵AB=AF+BF，∴AC+BD=AB；(3)延长AE交BD于F，∵∠AEB=90°，∴BE⊥CD，BE平分∠ABN，∴AB=BF=5，AE=EF，∵AM//BN，∴∠C=∠EDF，在△ACE与△FDE中，{∠C=∠EDF∠AEC=∠FEN AE=EF，∴△ACE≌△FDE，∴DF=AC=3，∵BF=5，∴设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，∵S△ABE−S△ACE=2，∴5x−3x=2，∴x=1，∴△BDE的面积=8．【解析】(1)根据平行线的性质得到∠BAM+∠ABN=180°，根据角平分线的定义得到∠BAE=12∠BAM，∠ABE=12∠ABN，于是得到结论；(2)在AB上截取AF=AC，连接EF，根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠AEF，BF= BD，等量代换即可得到结论；(3)延长AE交BD于F，根据等腰三角形的性质得到AB=BF=5，AE=EF，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，设S△BEF=S△ABE=5x，S△DEF=S△ACE=3x，根据S△ABE−S△ACE=2，即可得到结论．本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
湖南长沙麓山国际实验学校2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（每小题5分，共60分）1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是岁．2．若与互为相反数，则a2+b2＝．3．若不等式组无解，则m的取值范围是．4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为．5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3tan C，则sin B＝．7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为．9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为．11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是．12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）14．计算：+++…+．参考答案一、填空题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：4（x+5）＝7x+5，解得：x＝5，．故答案为：5．2．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a2+b2＝16+1＝17．故答案是：17．3．【解答】解：∵不等式组无解，∴m+1≤2m﹣1，∴m≥2．故答案为m≥2．4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为﹣3．5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；∵半径为1∴OA＝1；∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN∴∠BAC＝75°或15°．6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴tan C＝，∵tan B＝3tan C，∴tan B＝3，解得tan B＝，∴∠B＝60，∴sin B＝sin60°＝．故答案为：．7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴＝，设BE＝x，∵BE：EC＝1：4，∴EC＝4x，∴AB•CD＝x•4x，∴AB＝CD＝2x，∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．故答案为2：5．8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，∴，∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，∴AO：OC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，则S△ACD＝3，S△BOC＝4，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BDC，∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，∴S△AOB＝S△DOC＝2，∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．故答案为：1：4；9．9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC∴＝BC•EF，∵BE＝BC＝1，∴PQ+PR＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，sin45°＝，∴＝，∴EF＝，即PQ+PR＝．∴PQ+PR的值为．故答案为：．10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，…＝（22048﹣1）（22048+1）+1，＝24096﹣1+1＝24096，因为24096的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，∴第4个数与第1个数相同，是25，同理，第7个数与第4个数相同，是25，即第1、4、7…个数字相同，同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，所以第9个数与第3个数相同，是2x，∵2000÷3＝666…2，∴第2000个数与第2个数相同，∵相邻三个数的和是96，∴25+x+5+2x＝96，解得x＝22．故答案为：22．12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．14．【解答】解：∵＝（﹣），∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（每小题5分，共60分）1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是岁．2．若与互为相反数，则a2+b2＝．3．若不等式组无解，则m的取值范围是．4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为．5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3tan C，则sin B＝．7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为．9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为．11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是．12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）14．计算：+++…+．参考答案一、填空题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：4（x+5）＝7x+5，解得：x＝5，．故答案为：5．2．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a2+b2＝16+1＝17．故答案是：17．3．【解答】解：∵不等式组无解，∴m+1≤2m﹣1，∴m≥2．故答案为m≥2．4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为﹣3．5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；∵半径为1∴OA＝1；∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN∴∠BAC＝75°或15°．6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴tan C＝，∵tan B＝3tan C，∴tan B＝3，解得tan B＝，∴∠B＝60，∴sin B＝sin60°＝．故答案为：．7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴＝，设BE＝x，∵BE：EC＝1：4，∴EC＝4x，∴AB•CD＝x•4x，∴AB＝CD＝2x，∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．故答案为2：5．8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，∴，∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，∴AO：OC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，则S△ACD＝3，S△BOC＝4，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BDC，∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，∴S△AOB＝S△DOC＝2，∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．故答案为：1：4；9．9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC∴＝BC•EF，∵BE＝BC＝1，∴PQ+PR＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，sin45°＝，∴＝，∴EF＝，即PQ+PR＝．∴PQ+PR的值为．故答案为：．10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，…＝（22048﹣1）（22048+1）+1，＝24096﹣1+1＝24096，因为24096的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，∴第4个数与第1个数相同，是25，同理，第7个数与第4个数相同，是25，即第1、4、7…个数字相同，同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，所以第9个数与第3个数相同，是2x，∵2000÷3＝666…2，∴第2000个数与第2个数相同，∵相邻三个数的和是96，∴25+x+5+2x＝96，解得x＝22．故答案为：22．12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．14．【解答】解：∵＝（﹣），∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．重点高中提前招生模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（每小题5分，共60分）1．现在爸爸的年龄是儿子的7倍，5年后爸爸的年龄将是儿子的4倍，则儿子现在的年龄是岁．2．若与互为相反数，则a2+b2＝．3．若不等式组无解，则m的取值范围是．4．如图，函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），则的值为．5．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan B＝3tan C，则sin B＝．7．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且BE：EC＝1：4，AE⊥DE，则AB：BC＝．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC＝；若S△AOD＝1，则梯形ABCD的面积为．9．如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BE，则PQ+PR的值为．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1的末位数字为．11．一行数从左到右一共2000个，任意相邻三个数的和都是96，第一个数是25，第9个数是2x，第2000个数是x+5，那么x的值是．12．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．有一个底面周长为4πcm的圆柱体，斜着截去一段后，剩下的几何体如图所示，求该剩下几何体的体积（结果保留π）14．计算：+++…+．参考答案一、填空题（每小题5分，共60分）1．【解答】解：设儿子现在的年龄是x岁，则爸爸的年龄是7x岁，由题意得：4（x+5）＝7x+5，解得：x＝5，．故答案为：5．2．【解答】解：根据题意得：，解得：．则a2+b2＝16+1＝17．故答案是：17．3．【解答】解：∵不等式组无解，∴m+1≤2m﹣1，∴m≥2．故答案为m≥2．4．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，∴原式＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故答案为﹣3．5．【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；∵半径为1∴OA＝1；∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN∴∠BAC＝75°或15°．6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴tan C＝，∵tan B＝3tan C，∴tan B＝3，解得tan B＝，∴∠B＝60，∴sin B＝sin60°＝．故答案为：．7．【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴＝，设BE＝x，∵BE：EC＝1：4，∴EC＝4x，∴AB•CD＝x•4x，∴AB＝CD＝2x，∴AB：BC＝2x：5x＝2：5．故答案为2：5．8．【解答】解：（1）∵△AOD和△DOC中AO和CO边上的高相等，S△AOD：S△ACD＝1：3，∴，∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，（2）∵S△AOD：S△ACD＝1：3，∴AO：OC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4；若S△AOD＝1，则S△ACD＝3，S△BOC＝4，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△BDC，∵S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC，S△DOC＝S△BDC﹣S△BOC，∴S△AOB＝S△DOC＝2，∴梯形ABCD的面积＝1+4+2+2＝9．故答案为：1：4；9．9．【解答】解：根据题意，连接BP，过E作EF⊥BC于F，∵S△BPC+S△BPE＝S△BEC∴＝BC•EF，∵BE＝BC＝1，∴PQ+PR＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵在Rt△BEF中，∠EBF＝45°，BE＝1，sin45°＝，∴＝，∴EF＝，即PQ+PR＝．∴PQ+PR的值为．故答案为：．10．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）…（22048+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）…（22048+1）+1，…＝（22048﹣1）（22048+1）+1，＝24096﹣1+1＝24096，因为24096的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．【解答】解：∵第1个数是25，任意相邻三个数的和都是96，∴第4个数与第1个数相同，是25，同理，第7个数与第4个数相同，是25，即第1、4、7…个数字相同，同理可得，第2、5、8…个数字相同，第3、6、9…个数相同，所以第9个数与第3个数相同，是2x，∵2000÷3＝666…2，∴第2000个数与第2个数相同，∵相邻三个数的和是96，∴25+x+5+2x＝96，解得x＝22．故答案为：22．12．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，P A，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故答案为：．二、解答题（2小题，共40分）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤13．【解答】解：两个几何体的体积和为：π×（）2×（6+4）＝40πcm3．一个几何体的体积为×40πcm3＝20πcm3，即剩下几何体的体积20πcm3．14．【解答】解：∵＝（﹣），∴原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. π-14.3的相反数是（ ）A ．14.3-πB ．0C ．π-14.3D ．以上答案都不对2．我们把形如),(是实数b a bi a +的数叫做复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，则复数i z ⋅-=0045cot 30tan 的虚部是（ ）A ．33B ．-1C ．1D ．33．已知非零实数b a ,满足 24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．A.－1B.0C.1D.24．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．A ．12 B.12C.1D.25. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC 剪下△ABC ，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36︒），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC 的度数为（ ）A ．126︒ B.108︒ C.90︒ D.72︒ 6．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+（1≠m 的实数）其中正确的结论有：（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7.关于y x ,的方程22229x xy y ++=的整数解（y x ,）的组数为（ ）． A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于y x ,的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）．A.121 B.92 C.185 D.3613 9．下列运算正确的是（ ）A ．021********sin 201=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B ．23160cot 3)14.3(2710=+︒----）（πC ． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋127121-=-D ．()00202020cot 20tan 281+--- 2240c o s30sin 2-=-+二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目212332中的横线上.）10．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v =v uv +．若关于x 的方程x *(a *x ) = 41-有 两个相同的实数根，则实数a 的值是 .11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．12．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号） （1）若等腰三角形的一个外角为 70，则它的底角为 35（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。
湖南省长沙市麓山国际学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题
湖南省长沙市麓山国际学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．M N ∠=∠B ．AM CN =C ．AB CD = D ．AC BD = 9．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x 人，物价为y 钱，下列方程组正确的是（ ）A ．8374y x y x =-⎧⎨=+⎩B ．8374y x y x =+⎧⎨=+⎩C ．8374y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．8374y x y x =+⎧⎨=-⎩10．在ABC V 中，BD BE 、分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH BE ⊥交BD 于点G ，交BC 于点H ，下列结论：①DBE EFH ∠=∠；②2BEF BAF C ∠=∠+∠；③2EFH BAC C ∠=∠-∠，④BGH ABE C ∠=∠+∠；其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．若264x =，则x 的值为．12．将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为．13．在平面直角坐标系中，点(3,1)A a a -+在x 轴上，则点A 的坐标为．14．如图，已知直线a //b ，将一块45°含角的直角三角板ABC 按如图的方式放置，若∠1=24°，则∠2的度数是．15．已知x，y满足方程组202120225202220214x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值是．16．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD ＝5，CD＝7，则BE＝．三、解答题(2)补全条形图，在扇形统计图中的横线上填上正确的数值为________；(3)该校有3000名学生，请你估计该校喜爱娱乐节目的学生有多少人？20．2021年12月31日，财政部、工信部、科技部和发改委联合发布2022年新能源汽车补贴方案，明确了2022年新能源汽车购置补贴政策将于2022年12月31日终止．目前，新能源汽车销售形势越发见好．某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为39万元，本周已售出3辆A 型车和2辆B 型车，销售额为66万元．(1)求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少万元；(2)某公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共22辆，且A 型号车不超过13辆，购车费不超过300万元，则该公司有哪几种购车方案？21．如图，在ABC V 中，AD 是高，AE BF 、是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒，求DAC ∠、BOA ∠的度数．22．如图，已知在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，AN 是过点A 的一条直线，BD AN ⊥于点D ，CE AN ⊥于点E ．(1)求证：ABD CAE △△≌；(2)若8BD =，3CE =，求DE 的长．23．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，点D 是边BC 上一点，CD=AB ，点E 在边AC 上．BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．备用图(1)求∠BEC的度数；(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．。
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级(上)开学数学试卷 ( 解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（上）开学数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（）A．1B．0C．D．﹣32．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）A．159°B．161°C．169°D．138°3．（3分）若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣14．（3分）用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜26．（3分）给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm7．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M ⊥AB，则∠DP1M的大小是（）A．135°B．120°C．112.5°D．115°8．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．（3分）如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE 度数是（）A．45°B．60°C．72°D．无法确定10．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 11．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D12．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝度．14．（3分）计算：﹣﹣|﹣5|＝．15．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了场．16．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是．17．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON 上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为．18．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．正确的是（填上正确的结论序号）．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）解方程组：（1）；（2）．20．（6分）（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组并写出它的所有整数解．21．（8分）完成下面的证明：已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（）∴∥，（）∴∠1＝∠2．（）22．（8分）如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN平分∠BND．（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．23．（9分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD 和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：（1）∠BDE＝90°；（2）AF＝DE﹣DF．24．（9分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）26．（10分）已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（）A．1B．0C．D．﹣3【分析】直接利用实数的比较大小的方法分析得出答案．【解答】解：四个实数1，0，，﹣3中，﹣3＜0＜1＜，故最大的数是：．故选：C．2．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）A．159°B．161°C．169°D．138°【分析】直接利用对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出∠BOM＝∠DOM，进而得出答案．【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝42°，∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，∵射线OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠DOM＝21°，∴∠AOM＝138°+21°＝159°．故选：A．3．（3分）若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】把代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．【解答】解：∵是方程nx+6y＝4的一个解，∴代入得：﹣2n+6m＝4，∴3m﹣n＝2，∴3m﹣n+1＝2+1＝3，故选：A．4．（3分）用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据不等式组的解集是构成该不等式组的两个不等式解集的交集解答．【解答】解：根据题意知，所以不等式组有解．故选：B．5．（3分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2【分析】根据新定义列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：∵2※x＞2，∴2x﹣2+x﹣2＞2，解得x＞2，故选：B．6．（3分）给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；B中，8+7＝15，不能组成三角形；C中，13+12＝25，不能够组成三角形；D中，5+5＝10＜11，不能组成三角形．故选：A．7．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M ⊥AB，则∠DP1M的大小是（）A．135°B．120°C．112.5°D．115°【分析】由折叠前后对应角相等且∠P1MA＝90°可先求出∠DMP1＝∠DMA＝45°，进一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，∵折叠，∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故选：C．8．（3分）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】由∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB＝45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EDC的度数，结合三角形外角的性质可得结论．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝45°．∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，∴∠DEF＝30°．∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DEF＝30°，∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．故选：A．9．（3分）如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE 度数是（）A．45°B．60°C．72°D．无法确定【分析】可设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，根据多边形内角和定理可得4x+4y＝540，可得x+y＝135，再根据三角形内角和为180°即可求得∠AFE度数．【解答】解：设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，依题意有4x+4y＝540，解得x+y＝135，则∠AFE＝180°﹣135°＝45°．故选：A．10．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．11．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC ≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．12．（3分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD ＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝30度．【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠CDF＝135°，∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，∵AB∥EF，∠ABC＝75°，∴∠1＝∠ABC＝75°，∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，故答案为：30．14．（3分）计算：﹣﹣|﹣5|＝0．【分析】首先开方，化简绝对值，再按实数的加减运算顺序运算即可．【解答】解：原式＝3﹣（﹣2）﹣5＝3+2﹣5＝0，故答案为：0．15．（3分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了9场．【分析】设该队胜了x场，负了y场，根据：①某队14场比赛；②得到23分；列方程组即可求解．【解答】解：设该队胜了x场，负了y场，依题意有，解得．故该队胜了9场．故答案为：9．16．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2．【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为18，可以确定整数解为6，5，4，3这四个数，再根据解集确定m的取值范围．【解答】解：解不等式组得：m＜x≤6，∵所有整数解的和是18，18＝6+5+4+3∴x＝6，5，4，3，因此不等式组的整数解为①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2∴2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2；故答案为：2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2．17．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON 上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为3或5．【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝4，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长．【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，∴PE＝PN，在Rt△OPE和Rt△OPN中，，∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL），∴OE＝ON＝4，∵OM＝3，ON＝4，∴MN＝ON﹣OM＝1；若点D在线段OE上，在Rt△PMN和Rt△PDE中，，∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）∴DE＝MN＝1∴OD＝OE﹣DE＝3若点D在射线EA上，在Rt△PMN和Rt△PDE中，，∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL），∴DE＝MN＝1，∴OD＝OE+DE＝5；故答案为：3或5．18．（3分）如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．正确的是①②③④（填上正确的结论序号）．【分析】由折叠的性质可得AC＝CF，AD＝DF，∠ACD＝∠DCB＝22.5°，由余角的性质可得∠EBC＝67.5°，可求∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，通过证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD＝2BE．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，∴△ACD≌△FCD，∴AC＝CF，AD＝DF，∠ACD＝∠DCB＝22.5°，故①正确；∵BE⊥CD，∴∠EBC＝67.5°，∴∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝22.5°，故②正确；∵△BDF的周长＝BD+DF+BF＝BD+AD+BF＝AC+BF＝CF+BF，∴△BDF的周长为8，故③正确，如图，延长CA，BE交于点H，∵∠ACD＝∠BCD，CE＝CE，∠BEC＝∠CEH＝90°，∴△BCE≌△HCE（ASA）∴BE＝EH，∴BH＝2BE，∵∠EBA＝∠ACD＝22.5°，∠BAH＝∠CAD＝90°，AC＝AB，∴△ACD≌△ABH（ASA）∴CD＝BH，∴CD＝2BE，故④正确，故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法解答即可；（2）把方程组整理后，利用加减消元法解答即可．【解答】解：（1），解：把②代入①，得6y﹣7﹣y＝13，∴y＝4，把y＝4代入②，得x＝17，所以这个方程组的解是；（2），解：由①，得x﹣3y＝﹣6③，②+③，得3x＝﹣3．解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入③，得，所以这个方程组的解是．20．（6分）（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组并写出它的所有整数解．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）去分母，得：2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，去括号，得：6x+2﹣5x+1≤4，移项、合并，得：x≤1，将不等式的解集表示在数轴上如下：（2）由3﹣x＞0得：x＜3，由+1≥x得：x≥﹣1，不等式组的解集是﹣1≤x＜3，∴所有整数解是﹣1.0，1，2．21．（8分）完成下面的证明：已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（等量代换）∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠ADE，再根据角平分线的定义，即可得出∠3＝∠4，进而得到BE∥DF，最后依据平行线的性质，即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（等量代换）∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．（8分）如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN平分∠BND．（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，先求出∠NBD+∠NDB，再求得∠BND，最后根据角平分线求得结果；（2）根据平行线的性质与角平分线的定义得∠BND＝2∠ABF，再由三角形的内角和定理得∠BND＝∠A+∠ABF+∠ADE，进而根据∠BND＜180°，得∠ABF＜90°，由上面的关系便可求得∠A的取值范围．【解答】解：（1）∵∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，∴∠NBD+∠NDB＝180°﹣62°﹣35°﹣20°＝63°，∴∠BND＝180°﹣（∠NBD+∠NDB）＝117°，∵MN平分∠BND，∴∠MND＝∠BND＝58.5°；（2）∵MN∥AB，∴∠ABN＝∠BNM，∵MN平分∠BND，∴∠BND＝2∠ABF，∵∠NBD+∠NDB＝180°﹣∠A﹣∠ABF﹣∠ADE，∴∠BND＝180°﹣（∠NBD+∠NDB）＝∠A+∠ABF+∠ADE，∵∠ADE＝35°，∴2∠ABF＝∠A+∠ABF+35°，∴∠A＝∠ABF﹣35°，∵∠BND＜180°，∴∠ABF＜90°，∴∠A＜55°，∴0°＜∠A＜55°．23．（9分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD 和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：（1）∠BDE＝90°；（2）AF＝DE﹣DF．【分析】（1）证明△ABC≌△EBD（SAS）即可；（2）∠CDF＝180﹣∠BDE﹣∠BDC＝30°，∠DCA＝∠BCA﹣∠BCD＝30°，则：CF＝DF，再用DE＝AC，即可证明．【解答】证明：（1）∵BCD和BAE是等边三角形，∴BD＝CD，BE＝BA，∠DBE＝60°﹣∠DBA＝∠CBA，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴∠ABC＝∠BDE＝90°，DE＝AC；（2）∠CDF＝180﹣∠BDE﹣∠BDC＝30°，∠DCA＝∠BCA﹣∠BCD＝30°，∴CF＝DF，AC＝AF+CF＝AF+DF，而DE＝AC，∴AF＝DE﹣DF．24．（9分）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？【分析】（1）有两个等量关系：大包装箱装药水瓶数+小包装箱装药水瓶数＝3250，购买大包装箱钱数+购买小包装箱钱数＝1700，直接设未知数，列出二元一次方程组求解．（2）有两个不等关系：A型车装运大包装箱个数+B型车装运大包装箱个数≥250，A型车装运小包装箱个数+B型车装运小包装箱个数≥150，设适当的未知数，列出一元一次不等式组，求出解集，根据实际问题含义，确定方案．（3）根据题意，选择A型车多的方案．【解答】解：（1）设公司采购了x个大包装箱，y个小包装箱．根据题意得：（2分）解之得：答：公司采购了250个大包装箱，150个小包装箱．（4分）（2）设公司派A种型号的车z辆，则B种型号的车为（10﹣z）辆．根据题意得：（6分）解之得：（7分）∵z为正整数∴z取5、6、7、8（8分）∴方案一：公司派A种型号的车5辆，B种型号的车5辆．方案二：公司派A种型号的车6辆，B种型号的车4辆．方案三：公司派A种型号的车7辆，B种型号的车3辆．方案四：公司派A种型号的车8辆，B种型号的车2辆．（9分）（3）∵A种车省油，∴应多用A型车，因此最好安排A种车8辆，B种车2辆，即方案四．（10分）25．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质即可得解；（2）①添加辅助线，利用（1）中结论解决问题即可；②同①的思路求解即可．【解答】解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）①延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠F AD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．26．（10分）已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论BM﹣DN＝MN；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．【分析】（1）延长CB到G使BG＝DN，容易证明△AGB≌△AND，由此得到AG＝AN 而根据∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，可以得到∠GAM＝∠NAM＝45°，从而证明△AMN ≌△AMG，然后根据全等三角形的性质可以证明BM+DN＝MN；（2）BM﹣DN＝MN．在BC上截取BG＝DN，连接AG，然后也可以证明△AMN≌△AMG，也根据全等三角形的性质就可以得到结论；（3）DN﹣BM＝MN．在ND上截取DG＝BM，连接AG，首先证明△AMB≌△AGD，再证△AMG为等腰直角三角形，即可．【解答】解：（1）延长CB到G使BG＝DN，∵AB＝AD，GB＝DN，∠AGB＝∠ADN＝90°，∴△AGB≌△AND，∴AG＝AN，∠GAB＝∠DAN，∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，∴∠GAM＝∠GAB+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠GAM＝∠NAM，而AM是公共边，∴△AMN≌△AMG，∴MN＝GM＝BM+GB＝MB+DN；（2）BM﹣DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN．证明：如图3，在ND上截取DG＝BM，∵AD＝AB，∠ABM＝∠ADN＝90°，∴△ADG≌△ABM，∴AG＝AM，∠MAB＝∠DAG，∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，∴∠MAG＝90°，△AMG为等腰直角三角形，∴AN垂直MG，∴AN为MG垂直平分线，所以NM＝NG．∴DN﹣BM＝MN．。
2025届湖南省长沙市麓山国际实验学校数学八上期末学业质量监测模拟试题含解析
2025届湖南省长沙市麓山国际实验学校数学八上期末学业质量监测模拟试题监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）1．当x 时，分式3621x x -+的值为0（ ） A ．x≠-12 B ．x= -12 C ．x≠2 D ．x=22．下列计算中，正确的是（ ）A ．21(3)9--=-B ．428x x x ⋅=C ．2339()a a a ⋅=D ．0(2)1a -= 3．给出下列命题:（1）有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形；（2）三个内角度数之比为1:2:3的三角形是直角三角形；（3）有三条互不重合的直线,,a b c ，若//,//a c b c ，那么//a b ；（4）等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的周长为8或10．其中真命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知：32(1263)320a a a a a -+÷-=且2b =，则式子：221(2)32ab ab ab -•的值为（ ）A ．13- B ．12 C ．-1 D ．25．如图，已知AB AC =，AE AF =，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．①、②和③6．如图，C 3∠=∠，280∠=︒，13140∠+∠=︒，A D ∠=∠，则B 的度数是（ ）A ．80°B ．40°C ．60°D ．无法确定7．若m n >，则下列不等式正确的是（ ）A ．22m n -<-B ．33m n >C ．44m n <D ．55m n ->-8．某数学兴趣小组要统计学生在一天中睡觉学习，活动，吃饭及其他在一天中所占的百分比，应选用（ ）A ．条形统计图B ．折线统计图C ．扇形统计图D ．以上都可以9．下列命题中是假命题的是（ ）A ．两个无理数的和是无理数B ．（﹣10）2的平方根是±10 C 23(8)-＝4D ．平方根等于本身的数是零10．如果把分式2xy x y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．缩小6倍 D ．不变 1181 ）A ．9B ．9或－9C ．3D ．3或－312．如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ．已知PE=5，则点P 到AB 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（每题4分，共24分）13．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．14．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，求甲、乙两种商品原来的单价．现设甲商品原来的单价x 元，乙商品原来的单价为y 元，根据题意可列方程组为_____________；15．若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，如图①是用4个长方形纸片围成的正方形，其阴影部分的面积为16；如图②是用8个长方形纸片围成的正方形，其阴影部分的面积为8；如图③是用12个长方形纸片围成的正方形，则其阴影部分图形的周长为__________．16．如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，垂足分别为B C 、，4AB =，6BC =，2CD =，点P 为BC 边上一动点，当BP =_______时，形成的Rt ABP ∆与Rt PCD ∆全等．17．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D ，AD=3，则BC=________．18．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为__.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，直线11:23l y x =+与直线22:1l y kx =-交于点A ，点A 的横坐标为1-，且直线1l 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，直线2l 与y 轴交于点C ．（1）求点A 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）连接BC ，求ABC ∆的面积.20．（8分）如图是小亮同学设计的一个轴对称图形的一部分．其中点,,,A B C D 都在直角坐标系网格的格点上，每个小正方形的边长都等于1．（1）请画出关于y 轴成轴对称图形的另一半，并写出B ，C 两点的对应点坐标． （2）记B ，C 两点的对应点分别为1B ，1C ，请直接写出封闭图形11ABCDC B 的面积．21．（8分）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM ；（2）过点C 作CE ⊥AP ，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE =ED ．22．（10分）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如图9的两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）分别求出安全意识为“淡薄”的学生占被调查学生总数的百分比、安全意识为“很强”的学生所在扇形的圆心角的度数.23．（10分）某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示．（1）月用电量为100度时，应交电费元；（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？24．（10分）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）25．（12分）参加学校运动会，八年级1班第一天购买了水果，面包，饮料，药品等四种食品，四种食品购买金额的统计图表如图1、图2所示，若将水果、面包、药品三种食品统称为非饮料食品，并规定t=饮料金额：非饮料金额．（1）①求t的值；②求扇形统计图中钝角∠AOB的度数（2）根据实际需要，该班第二天购买这四种食品时，增加购买饮料金额，同时减少购买面包金额假设增加购买饮料金额的25%等于减少购买面包的金额，且购买面包的金额不少于100元，求t的取值范围26．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，且∠AOC=40°，求∠COF的度数.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于零；（2）分母不等于零．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：∵分式3621x x -+的值为0 ∴360210x x -=⎧⎨+≠⎩∴2x =．故选：D【点睛】本题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件． 2、C【详解】选项A ， ()23--=21193()=-； 选项B ，426x x x ⋅=；选项C ， ()323639 a a a a a ⋅=⋅=；选项D ，()021a -=，必须满足a-2≠0.故选C.3、B【分析】分别根据等边三角形的判定、直角三角形的判定、平行公理的推论、等腰三角形的性质逐一判定即可【详解】解：（1）有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形；正确；（2）三个内角度数之比为1:2:3的三角形各个角的度数分别是30°、60°、90°，是直角三角形；正确；（3）有三条互不重合的直线,,a b c ，若//,//a c b c ，那么//a b ；正确；（4）等腰三角形两条边的长度分别为2和4，则它的三边长可能是2、2、4或2、4、4，其中2+24，不能构成三角形，所以等腰三角形的周长10；错误． 故选：B【点睛】熟练掌握等边三角形，直角三角形等的性质平行公理的推论、等腰三角形的性质以及三角形三边关系,熟练掌握相关的知识是解题的关键．4、A【分析】先通过约分将已知条件的分式方程化为整式方程并求解，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得．【详解】解：∵()321263320a a a a a -+÷-=∴()23421320a a a a a -+÷-=∴24410a a -+=∴()2210a -= ∴12a = 经检验得12a =是分式方程的解． ∵2b =∴1ab = ∴221232ab ab ab ⎛⎫-• ⎪⎝⎭ 112132ab b ab ⎛⎫=-• ⎪⎝⎭ ()2113ab b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13=- 故选：A ．【点睛】本题考查分式的基本性质及整式的乘除法运算，熟练掌握完全平方公式是求解关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式．5、D【分析】按照已知图形，证明ABE ACF ≅，得到B C ∠=∠；证明△△CDE BDF ≅，证明△△ADC ADB ≅，得到CAD BAD ∠=∠，即可解决问题；【详解】如图所示，在△ABE 和△ACF 中，AB AC EAB FAC AE AF ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ABE ACFSAS ≅，∴B C ∠=∠，∵AB AC =，AE AF =，∴BF CE =，在△CDE 和△BDF 中， B C BDF CDE BF CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△CDE BDFAAS ≅，∴DC=DB ，在△ADC 和△ADB 中， AC AB C B DC DB ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ADC ADB SAS ≅，∴CAD BAD ∠=∠．综上所述：①②③正确；故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，准确判断是解题的关键．6、B【解析】首先证明EF BC ∥，求出340C ∠=∠=︒，然后证明AB CD ∥，根据平行线的性质即可得解.【详解】解：∵C 3∠=∠，∴EF BC ∥，∴12180∠+∠=︒.∵280∠=︒.∴1100∠=︒，∵13140∠+∠=︒，∴340C ∠=∠=︒.∵A D ∠=∠.∴AB CD ∥.∴40B C ∠=∠=︒.故选B.【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质及角的和差计算．7、B【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【详解】解：∵m ＞n ，∴m-2＞n-2，∴选项A 不符合题意；∵m ＞n ，∴33m n >，∴选项B 符合题意； ∵m ＞n ，∴4m ＞4n ，∴选项C 不符合题意；∵m ＞n ，∴-5m ＜-5n ，∴选项D 不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．8、C【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【详解】解：根据统计图的特点，知：一学生统计其在一天中睡觉、学习、活动、吃饭及其他在一天中所占的百分比，应选用扇形统计图，故选：C ．【点睛】本题考查了统计图的特点，熟知各种统计图的特点是解题的关键．9、A【分析】根据无理数的概念、平方根和立方根的概念逐一分析即可．【详解】解：A 、0=，0不是无理数，∴两个无理数的和是无理数，是假命题；B 、（﹣10）2＝100，100的平方根是±10， ∴（﹣10）2的平方根是±10，是真命题；C ＝4，本选项说法是真命题；D 、平方根等于本身的数是零，是真命题；故选：A ．【点睛】本题主要考查真假命题，掌握平方根，立方根的求法和无理数的运算是解题的关键． 10、A【分析】把原分式中的x 换成3x ，把y 换成3y 进行计算，再与原分式比较即可．【详解】解：把原分式中的x 换成3x ，把y 换成3y ，那么23333x y x y ⋅⋅+＝6xy x y+＝3×2xy x y +． 故选：A ．【点睛】考核知识点：分式性质.运用性质变形是关键.11、D【分析】根据算术平方根的定义和平方根的定义计算即可．3或－3故选D ．【点睛】此题考查的是算术平方根和平方根的计算，掌握算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．12、C【解析】试题分析：过点P 作PF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE ．解：如图，过点P 作PF ⊥AB 于F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，PE ⊥AC ，∴PF=PE=1，即点P 到AB 的距离是1．故选C ．考点：角平分线的性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．14、1000.9 1.4 1.2100x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩ 【分析】根据“甲、乙两种商品原来的单价和为1元”可得出方程为x+y=1．根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价之和比原来的单价和提高了20%”，可得出方程为0.9 1.4 1.2100x y +=⨯，联立即可列出方程组．【详解】解：根据题意可列方程组：1000.9 1.4 1.2100x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩，故答案为：1000.9 1.4 1.2100x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．15、16【分析】根据题意可得图①和图②中阴影部分的边长，依据图中线段间的关系即可得到方程组，然后求图③中阴影部分的边长即可求解.【详解】由题意，得4==设矩形长为a ，宽为b ，根据题意，得42a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得84a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴图③阴影正方形的边长=(38344a b -=--=，∴图③是用12个长方形纸片围成的正方形，其阴影部分的周长为16，故答案为：16.【点睛】此题主要考查正方形的性质和算术平方根的运用，熟练掌握，即可解题.16、1【分析】当BP=1时，Rt △ABP ≌Rt △PCD ，由BC=6可得CP=4，进而可得AB=CP ，BP=CD ，再结合AB ⊥BC 、DC ⊥BC 可得∠B=∠C=90°，可利用SAS 判定△ABP ≌△PCD ．【详解】解：当BP=1时，Rt △ABP ≌Rt △PCD ，∵BC=6，BP=1，∴PC=4，∴AB=CP ，∵AB ⊥BC 、DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，在△ABP 和△PCD 中90AB PC B C BP CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△PCD （SAS ），故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．17、9【分析】根据勾股定理求出AB ，再利用相似即可求解.【详解】∵AB=AC ，∠BAC=120°∴∠C=30°，又∵AD ⊥AC ，AD=3∴∠DAC=90°，CD=6勾股定理得AC=AB=33，由图可知△ABD ∽△BCA ，∴BC=9【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键.18、 (－12，－12) 【解析】试题解析：先过点A 作AB′⊥OB ，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B 重合时AB 最短，∵点B 在直线y=x 上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形，过B′作B′C ⊥x 轴，垂足为C ，∴△B′CO 为等腰直角三角形，∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴OC=CB′=12OA=12×1=12， ∴B′坐标为（﹣12，﹣12）， 即当线段AB 最短时，点B 的坐标为（﹣12，﹣12）． 考点：一次函数综合题．三、解答题（共78分） 19、 (1) 221y x =--;(2)1.【解析】（1）将x=-1代入11:23l y x =+得出纵坐标，从而得到点A 的坐标；再用待定系数法求得直线2l 的函数表达式；（2）连接BC ，先根据解析式求得B,C ，D 的坐标，得出BO,CD 的长，然后利用割补法求ABC ∆的面积，1314411222ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=. 【详解】解：（1）因为点A 在直线1l 上，且横坐标为1-，所以点A 的纵坐标为2(1)31⨯-+=，所以点A 的坐标为(1,1)-.因为直线2l 过点A ，所以将(1,1)-代入21y kx =-，得11k =--，解得2k =-，所以直线2l 的函数表达式为221y x =--.（2）如图，连接BC ，由直线1l ，2l 的函数表达式，易得点B 的坐标为3(,0)2-，点D 的坐标为(0,3)，点C 的坐标为(0,1)-，所以4CD =.32BO =所以1314411222ABC BCD ACDS S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了两直线相交问题，要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数再求得解析式；求三角形的面积时找出高和底边长，对不规则的三角形面积可以使用割补法等方法．20、（1）图见解析；B1(−2，−1)，C1(−4，−5)；（2）2【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出B，C两点的对应点B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）先利用一个矩形的面积减去三个三角形的面积得到四边形ABCD的面积，然后把四边形ABCD的面积乘以2得到封闭图形ABCDC1B1的面积．【详解】（1）如图，四边形AB1C1D即为所作的对称图形，B，C两点的对应点B1、C1的坐标分别为(−2，−1)，(−4，−5)；（2）四边形ABCD的面积=4×6−111 4612424215 222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，所以封闭图形ABCDC1B1的面积=2×15=2．【点睛】本题考查了作图‒轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．21、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．【详解】解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA 平分∠BAC 的外角∠CAM ，∴∠DAE=∠CAE ，∵CE ⊥AP ，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED 和△AEC 中，DAE CAE AE AEDEA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△AEC （ASA ），∴CE=ED ．【点睛】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS 和△AED ≌△AEC ，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．22、（1）120；（2）详见解析；（3）10%；108°. 【解析】（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，再根据各层次人数之和等于总人数求得“较强”的人数及百分比的概念求得“很强、淡薄”的百分比可补全图形；（2）总人数乘以“较强”和“很强”的百分比之和．【详解】解：（1）调查的总人数是：18÷15%=120（人），；（2）如图所示：；（3）安全意识为“淡薄”的学生占被调查学生总数的百分比==10%；安全意识为“很强”的学生所在扇形的圆心角的度数==108° 【点睛】 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23、（1）60；（2）y =0.5x +10（x ≥100）；（3）140元．【分析】（1）根据函数图象，当x =100时，可直接从函数图象上读出y 的值； （2）设一次函数为：y =kx +b ，将（100，60），（200，110）两点代入进行求解即可； （3）将x =260代入（2）式所求的函数关系式进行求解可得出应交付的电费．【详解】(1)根据函数图象，知：当x =100时，y =60，故当月用电量为100时，应交付电费60元，故答案是：60；(2)设一次函数为y =kx +b ，当x =100时，y =60；当x =200时，y =11010060200110,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：0.510.k b =⎧⎨=⎩所求的函数关系式为：0.510(100).y x x =+≥(3)当x =260时，y =0.5×260+10=140∴月用量为260度时，应交电费140元.24、（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.【分析】（1）乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；（2）设甲种图书进货a 本，总利润w 元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．【详解】（1）设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元．由题意得：1400168010 1.4xx ， 解得：20x ．经检验，20x 是原方程的解．所以，甲种图书售价为每本1.42028⨯=元，答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．（2）设甲种图书进货a 本，总利润w 元，则()()()28203201421200w a a =--+--- 4800a =+．又∵()2014120020000a a +⨯-≤， 解得：16003a ≤． ∵w 随a 的增大而增大，∴当a 最大时w 最大，∴当533a =本时w 最大，此时，乙种图书进货本数为1200533667-=（本）．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．25、（1）①911；②126︒；（2）9131110t ≤≤ 【分析】（1）①按照规定的t 的含义，代入计算即可；②按占比乘以360º即可； （2）设减少购买面包的金额为x 元，则增加饮料金额为4x 元，根据规定用x 表示t ，再通过变形，用t 表示x ，根据x 的范围列出关于t 的不等式，解出即可.【详解】解：（1）①t =225927511= ②12550360126500AOB +∠=⨯︒=︒． (2)设减少购买面包的金额为x 元，则增加饮料金额为4x 元．依题意得2254275x t x+=- 且125100x -≥即25x ≤ 由2254275x t x +=-得2752254t x t -=+ 275225254t t -∴≤+，解得1310t ≤ 综上，9131110t ≤≤．【点睛】本题考查了统计图的相关知识，不等式的应用问题，及求函数的值域；在由未知数的范围求代数式的范围中，所体现出的换元思想是解题的关键.26、110°【分析】通过对顶角性质得到∠BOD度数，再通过角平分线定义得到∠DOE的度数，通过垂直定义得到∠EOF的度数，再通过角的和差得到∠2的度数，最后通过邻补角性质即可得到∠COF的度数．【详解】解：∵∠BOD 与∠AOC是对顶角，且∠AOC=40°，∴∠BOD =∠AOC=40°，∵ OE平分∠BOD，∴∠1 =∠2=12∠BOD=12×40°=20°，∵ OE⊥OF ，∴∠EOF=90°，∴∠2=∠EOF-∠1=90°-20°=70°，∴∠COF=∠COD-∠2=180°-70°=110°．【点睛】本题考查垂直定义、角平分线定义和对顶角性质、邻补角性质，关键是理清图中角之间的关系．。
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级(上)第一次限训练数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区长郡梅溪湖中学八年级（上）第一次限训练数学试卷1.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列各式中，计算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a53.在平面直角坐标系中，点P(2,5)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是()A. (−2,5)B. (2,−5)C. (−2,−5)D. (5,2)4.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x−4，则长方体的体积为()A. 3x3−4x2B. 6x2−8xC. 6x3−8x2D. 6x3−8x5.等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为()A. 10B. 13C. 17D. 13或176.在锐角△ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC()A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点C. 三条高的交点D. 三条垂直平分线的交点7.某同学在计算−3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2−x+1，由此可以推断该多项式是()A. 4x2−x+1B. x2−x+1C. −2x2−x+1D. 无法确定8.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是()A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°9.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10.(2x+p)(x−2)的展开式中，不含x的一次项，则p值是()A. −1B. −4C. 1D. 411.如图，△ABC中，AB=AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为()A. 75°B. 80°C. 70°D. 85°12.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列五个结论：①AD上任意一点到AB、AC两边的距离相等；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF.其中，正确的有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个13.小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是______．14.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=______ ．15.如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN//BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是______．16.已知3m=2，3n=5，则32m+n的值是______．17. 对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，如∣∣∣102(−2)∣∣∣=1×(−2)−0×2=−2，那么当∣∣∣(x +1)(x +2)(x −3)(x −1)∣∣∣=27时，则x = ______ ． 18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，且∠ABO =60°，点Q 在坐标轴上，△ABQ 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______ 个.19. 幂的运算(1)(−2ab)3．(2)(x 2y 3)4+(−2x 4y)2y 10．20. 整式的乘法(1)(−2a)2(a 2−2a +1)．(2)(x −3y)(x +5y)．21. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为(4,−1)．(1)请以y 轴为对称轴，画出与△ABC 对称的△A 1B 1C 1，并求出B 1坐标；(2)已知D(3,−3)，求△BCD 的面积．22.先化简，再求值：(x−2y)(x+3y)−(2x−y)(x−4y)，其中x=−1，y=2．23.如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为14cm，AC=6cm，求DC长．24.如图△ABC是等边三角形，E是边BC上的动点，过点E作DE//AC交AB于点D，过E作EF//AB交AC于点F，连接CD、BF交于点G，连接GE．(1)求证：△BDE是等边三角形；(2)在E的运动过程中，∠BGD是否为定值，如果是请求出来，若不是请说明理由；(3)在E的运动过程中，设m=DG−BG，请计算m2020的值．GE25.定义：L(A)是多项式A化简后的项数.例如多项式A=x2+2x−3，则L(A)=3.一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C(即C=A×B)，如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1，则称B是A的“郡园多项式”；如果L(A)=L(C)，则称B是A的“郡园志勤多项式”．(1)若A=x−2，B=x+3；那么B是不是A的“郡园多项式”，说明理由；(2)若A=x−2，B=x2+ax+4是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值？(3)若A=x2−x+3m，B=x2+x+m是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值？26.如图所示，等边△ABC中AB=8，AD⊥BC于D，点P是AB边上的一动点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，E、F分别BC、CA边上的动点．(1)如图1，当PE⊥BC，EF⊥AC时，求证：2BD=2CF+BE；(2)在(1)的前提条件下，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ=2，求BP的长．(3)直接求出AE+EF+BF的最小值，作出草图不必说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、B、D都是轴对称图形；C、不是轴对称图形．故选：C．根据轴对称图形的概念求解．轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；(a2)3=a2×3=a6，因此选项C不符合题意；a2⋅a3=a2+3=x5，因此选项D符合题意；故选：D．根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．3.【答案】B【解析】解：∵点P(2,5)与点Q关于x轴对称，∴点Q的坐标是(2,−5)．故选：B．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，据此即可求得点P(2,5)关于x轴对称的点的坐标．本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．4.【答案】C【解析】解：由题意知，V长方体=(3x−4)⋅2x⋅x=6x3−8x2．故选：C．根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．5.【答案】C【解析】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3=6<7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有17．故选C因为边为3和7，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA=PB的点的位置，然后思考满足PB=PC的点的位置，答案可得．【解答】解：∵PA=PB∴P在AB的垂直平分线上，同理P在AC，BC的垂直平分线上．∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．故选D．7.【答案】A【解析】解：根据题意得：多项式为x2−x+1−(−3x2)，x2−x+1−(−3x2)=x2−x+1+3x2=4x2−x+1，故选：A．根据整式的减法法则求出多项式，得到答案．本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=70°，∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=110°−70°=40°故选B．9.【答案】A【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∠COD，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∵△PMN周长的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：A．分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；∠COD，证出△OCD是等边三角PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12形，得出∠COD=60°，即可得出结果．本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10.【答案】D【解析】解：根据题意得：(2x+p)(x−2)=2x2−4x+px−2p=2x2+(−4+p)x−2p，∵(2x+p)与(x−2)的乘积中不含x的一次项，∴−4+p=0，∴p=4；故选：D．根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母．11.【答案】B【解析】解：∵AB=AC，以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°−40°−40°−60°−60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B．首先利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出各角度数，进而利用四边形内角和定理得出即可．此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和四边形内角和定理等知识，根据已知得出∠1=∠2=40°是解题关键．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质．做题时要注意思路：由已知结合性质与图形进行思考，由易到难，步步深入．由题意知，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，进而证得△ABD≌△ACD，Rt△BED≌Rt△CFD，△AED≌△AFD，故可得到5个说法均正确．【解答】解：在△ABD和△ACD中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，BD=CD，∴AD⊥BC，故③正确；∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∴①正确；由SAS可知②正确；在Rt△BED和Rt△CFD中，,{BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠BDE=∠CDF，即④正确；在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，故⑤正确．故选D．13.【答案】10：21【解析】解：电子表的实际时刻是10：21．故答案为：10：21．镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的2实际应为5．此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．14.【答案】30°【解析】【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定及其性质的运用．根据垂直平分线的性质可知BE=EC，DE⊥BC，即可得出△CED≌△BED，再根据角平分线的性质可知∠ABE=2∠DBE=2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出∠C的度数．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=EC，DE⊥BC，∴∠CED=∠BED，∴△CED≌△BED，∴∠C=∠DBE，∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE=2∠DBE=2∠C，∴∠C=30°．故答案为30°．15.【答案】15【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，∵MN//BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，∴BM=OM，CN=ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN= AB+AC=9+6=15．故答案为：15．由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN//BC，易证得△BOM 与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．16.【答案】20【解析】解：∵3m=2，3n=5，∴32m=(3m)2=22=4，∴32m+n=32m⋅3n=4×5=20．故答案为：20．首先根据3m=2，求出32m的值是多少；然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出32m+n的值是多少即可．此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①(a m)n=a mn(m,n是正整数)；②(ab)n=a n b n(n是正整数)．17.【答案】22【解析】解：∵∣∣∣(x +1)(x +2)(x −3)(x −1)∣∣∣=27， ∴(x +1)(x −1)−(x +2)(x −3)=27，∴x 2−1−(x 2−x −6)=27，∴x 2−1−x 2+x +6=27，∴x =22；故答案为：22．由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x 的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出x 的值． 此题考查学生理解新定义及灵活运用新定义的能力，同时也考查了学生会进行整式的混合运算及会利用平方差公式来化简运算，是一道中档题．18.【答案】6【解析】解：观察图形可知，若以点A 为圆心，以AB为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点，但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个，Q 1，Q 2，Q 3；若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A 重合，另一个与Q 2重合，故此时符合条件的点有2个，Q 4，Q 5； 线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，其中y 轴上与Q 2重合，此时符合条件的点有1个Q 6．∴符合条件的点总共有：3+2+1=6个．故答案为：6．观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．19.【答案】解：(1)(−2ab)3=(−2)3a3b3=−8a3b3；(2)(x2y3)4+(−2x4y)2y10=x8y12+4x8y2⋅y10=x8y12+4x8y12=5x8y12．【解析】(1)积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可；(2)先根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则化简，再合并同类项即可．本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)原式=4a2(a2−2a+1)=4a4−8a3+4a2；(2)原式=x2−3xy+5xy−15y2=x2+2xy−15y2．【解析】(1)先算乘方，再利用单项式乘多项式计算即可；(2)按多项式乘多项式法则计算即可．本题考查了积的乘方、单项式乘多项式及多项式乘多项式，题目比较简单，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求，B1坐标(−1,−4)；(2)△BCD的面积：2×3−12×2×1−1 2×2×1−12×1×3=52．【解析】(1)首先确定△ABC三个顶点的对称点位置，然后再连接即可；(2)首先确定D点位置，然后再利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图新的个关键点的对称点位置．22.【答案】解：原式=x2+3xy−2xy−6y2−(2x2−8xy−xy+4y2)=x2+3xy−2xy−6y2−2x2+8xy+xy−4y2=−x2+10xy−10y2．当x=−1，y=2时，原式=−1−20−40=−61．【解析】对所求的式子首先利用多项式乘法法则求解，然后合并同类项即可化简，最后代入数值计算即可．本题考查了整式的化简求值，正确理解多项式的乘法法则，对整式尽心化简是关键．23.【答案】(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=EC，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，∴AB=EC；(2)解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC=14(cm)，∵AC=6cm，∴AB+BC=8(cm)，∵AB=EC，BD=DE，∴DC=DE+EC=1(AB+BC)=4(cm)．2【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AE=EC，AB=AE，等量代换证明结论；(2)根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC=14cm，根据AB=EC，BD=DE计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∵DE//AC，∴∠BED=∠ACB=60°，∠BDE=∠A=60°，∴△BDE是等边三角形；(2)解：∠BGD=60°，理由如下：∵EF//AB，∴∠EFC=∠A=60°，∴∠EFC=∠FCE=60°，∴△EFC为等边三角形，∴FC=EF，∵DE//，EF//AB，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，∴AD=CF，在△ADF和△CFB中，{AC=BC∠A=∠BCF AD=CF，∴△ADF≌△CFB(SAS)，∴∠CBF=∠ACD，∴∠BGD=∠GBC+∠GCB=∠ACD+∠GCB=∠ACB=60°；(3)解：在线段GC上取点H，使GH=GE，连接EH，∵DE//AC，∴∠EDC=∠ACD，∵∠CBF=∠ACD，∴∠CBF=∠ECD，∴∠BDE+∠EDC+∠BEG=180°，∴∠EGC=∠ABC=60°，∵GH=GE，∴△GEH为等边三角形，∴EH=EG，∠GEH=60°，∴∠BED=∠GEH，∴∠BED+∠DEG=∠GEH+∠DEG，即∠BEG=∠DEH，在△BEG和△DEH中，{BE=DE∠BEG=∠DEH EG=EH，∴△BEG≌△DEH(SAS)，∴BG=DH，∴BG=DG+GE，∴BG−DG=GE，=−1，∴m=DG−BGGE∴m2020=1．【解析】(1)根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=60°，根据平行线的性质、等边三角形的判定定理证明结论；(2)根据平行四边形的性质得到AD=EF，等量代换得到AD=CF，证明△ADF≌△CFB，根据全等三角形的性质得到∠CBF=∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；(3)在线段GC上取点H，使GH=GE，连接EH，证明△BEG≌△DEH，根据全等三角形的性质得到BG=DH，进而求出m，根据有理数的乘方法则计算即可．本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.【答案】解：(1)B是A的“郡园多项式”，理由如下：(x−2)(x+3)=x2−2x+3x−6=x2+x−6，x2+x−6的项数比A的项数多1项，则B是A的“郡园多项式”；(2)(x−2)(x2+ax+4)=x3+ax2+4x−2x2−2ax−8=x3+(a−2)x2+(4−2a)x−8，∵B是A的“郡园志勤多项式”，∴a−2=0且4−2a=0，解得a=2．∴a的值是2；(3)(x2−x+3m)(x2+x+m)=x4+x3+mx2−x3−2x2−mx+3mx2+3mx+3m2=x4+(4m+1)x2+2mx+3m2，∵B是A的“郡园志勤多项式”，∴4m+1=0或m=0，或0．解得m=−14∴m的值是−1或0．4【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园多项式”的定义判断；(2)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解；(3)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解．本题考查的是多项式乘多项式，掌握“郡园多项式”和“郡园志勤多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=2BD，∠C=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∴∠FEC=30°，∴EC=2FC，∵BC=BE+EC，∴2BD=2CF+BE；(2)①当点Q在点P的上方时，如图1，过F作FQ⊥AB于Q，设PB=x，∵PE⊥BC，∠B=60°，∴BE=12x，CE=8−12x，∵EF⊥AC，∠C=60°，∴CF=12CE=4−14x，∴AF=8−CF=4+14x，∵∠BAC=60°，FQ⊥AB，∴AQ =12AF =2+18x ，∴x +2+2+18x =4， ∴x =169，∴PB =169； ②当点Q 在点P 的下方时，如图2，过E 作GE ⊥AB 于G ，∴EG +EF =AD ，2EG =PE ，∴12PE +EF =AD ，即，PE +2EF =2AB ， ∴BP +AQ −PQ =AB ，即x +2+18x −2=8，解得x =649， ∴PB =649；综上，PB =329或649； (3)作点A 关于BC 的对称点D 交BC 于点M ，作点B 关于AC 的对称点G ，连接DG 交BC 于点E ，交AC 于点F ，则点E 、F 为所求点，理由：AE+EF+BF=DE+EF+GF=GD为最小，根据图形的对称性，OBC为底角为30°的等腰三角形，过点C作CH⊥AB交BG、DA于点O，交DG于点K，根据图形的对称性，HK⊥DG，同理，△ODG为顶角为120°的等腰三角形，则∠D=∠G=30°，在Rt△BOM中，∠OBM=30°，BM=12BC=4，设OM=x，则OB=2x，由勾股定理得：BO2=OM2+MB2，即(2x)2=x2+42，解得x=4√33=OM，同理可得，AM=4√3，则OD=OM+MD=OM+AM=16√33，则Rt△OKD中，OD=16√33，∠D=30°，由勾股定理同理可得：DK=8，在等腰三角形OGD中，HK⊥GD，则DK=12DG=8，故DG=16．即AE+EF+BF的最小值为16．【解析】(1)根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质即可得到结论；(2)①当点Q在点P的上方时，BE=12x，CE=8−12x，CF=12CE=4−14x，AF=8−CF=4+14x，由AB=4即可求解；②点Q在点P的下方时，PE+2EF=2AB，则BP+ AQ−PQ=AB，进而求解；(3)作点A关于BC的对称点D交BC于点M，作点B关于AC的对称点G，连接DG交BC于点E，交AC于点F，则点E、F为所求点，进而求解．本题为三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、点的对称性等，含30°角的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．。
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麓山国际实验学校2020-2021-1初二开学作业检测
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.四个实数1，03-中，最大的数是（ ）
A.1
B.0 D.3-
2.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠BOD ，若∠AOC=42°，则∠AOM 等于（ ） A.159° B.161° C.169° D.138°
8.若2x y m =-⎧⎨=⎩
，是方程64nx y +=的一个解，则代数式31m n -+的值是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.1-
4.用三个不等式0x >，3x <-，2x >-中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
5.对于任意实数a ，b ，定义一种运算：2a b ab a b =-+-※.例如，
252525211=⨯-+-=※.请根据上述的定义解决问题：若不等式22x >※，则不等式的
解为（ ）
A.1x >
B.2x >
C.1x <
D.2x < 6.给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A.3cm ，4 cm ，5 cm
B.8cm ，7 cm ，15 cm
C.13cm ，12cm ，25 cm
D.5 cm ，5 cm ，11 cm 7.将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作： （1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处；
（2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ，若1PM ⊥AB ，则∠1
DPM 的大小是（ ）
第2题图第7题图
第8题图第9题图第10题图
A.135°
B.120°
C.112.5°
D.115°
8.将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF ＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
9.如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D，∠DEF=3∠AEF，则∠AFE等于（）
A.45°
B.60°
C.72°
D.无法确定
10.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）
A.AC=DE
B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE
D.∠ABC=∠AED
11.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC.不能添加的一组条件是（）
A.BC=EC，∠B=∠E
B.BC=EC，AC=DC
C.∠B=∠E，∠A=∠D
D.BC=DC，∠A=∠D
12.如图，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，OA OC <，∠AOB=∠COD=36°.连接AC ，BD 交于点M ，连接OM.下列结论：
①∠AMB=36°；②AC=BD ；③OM 平分∠AOD ；④MO 平分∠AMD. 其中正确的结论个数有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.已知：如图，AB ∥EF ，∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD=
度. 14.计算:3985----= .
15.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队14场比赛得到23分，则该队胜了 场.
第11题图 第12题图
第13题图 第17题图 第18题图
16.若关于x的不等式组
1321
x m
x
->
⎧
⎨
-≥
⎩
的所有整数解的和是18，则m的取值范围
是.
17.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点.已知OM=3，ON=5，点D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长度为.
18.如图，△ABC纸片中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：
①DF=DA；②∠ABE=22.5°；③△BDF的周长为8；④CD=2BE.
正确的是（填上正确的结论序号）.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19.（6分）解方程组：
（1）
13
67
x y
x y
-=
⎧
⎨
=-
⎩
（2）
13
3
22
233
x y
x y
⎧
-=-
⎪
⎨
⎪+=
⎩
20.（6分）（1）解不等式3151
1
24
x x
+-
-≤，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解不等式组
30
51
1
2
x
x
x
->
⎧
⎪
⎨+
+≥
⎪⎩
，并写出它的所有整数解.
21.（8分）完成下面的证明：
已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1=∠2.证明：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE，（）
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，
∴∠3=1
2
∠ABC，∠4=
1
2
∠ADE，
∴∠3=∠4，（）∴BE∥DF，（）∴∠1=∠2.（）
22.（8分）如图，△ABD 中，E ，F ，M 分别在边AB ，AD ，BD 上，BF ，DE 相交于点N ，MN 平分∠BND.
（1）若∠A=62°，∠ADE=35°，∠ABF=20°，求∠MND 的度数. （2）若MN ∥AB ，∠ADE=35°，求∠A 的取值范围.
23.（9分）如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，分别以BC ，BA 为边作等边三角形BCD 和等边三角形BAE ，连接ED 并延长交AC 于点F. 求证：（1）90BDE ∠=︒； （2）AF DE DF =-.
24.（9分）为了整治环境卫生.某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上
采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区.已知一个大包装箱价格为5元，可以装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶.该公司采购的大、小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水.
（1）求该药业公司采购的大、小包装箱各是多少个？
（2）药业公司准备派A，B两种型号的车共10辆运送该批消毒药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱消毒药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大、小包装箱的消毒药水，求出一次性运完这批消毒药水的所有车型安排方案；
（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？
25.（10分）（1）如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线相交于点P ，请探究∠P 与∠A 的关系，并说明理由.
（2）如图2、3，四边形ABCD 中，设∠A=α，∠D=β.∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 的平分线与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图2，若180αβ+>︒，直接写出∠P 的度数.（用α，β的代数式表示）
②如图3，若180αβ+<︒，直接写出∠P 的度数.（用α，β的代数式表示）
26.（10分）已知正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 重合，将此三角板绕点A 旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于点M ，N.
（1）当M ，N 分别在边BC ，CD 上时（如图1），求证：BM DN MN +=；
（2）当M ，N 分别在边BC ，CD 所在的直线上时（如图2），线段BM ，DN ，MN 之间又有 怎样的数量关系，请直接写出结论 ；（不用证明）
（3）当M，N分别在边BC，CD所在的直线上时（如图3），线段BM，DN，MV之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程.。