江苏省南京市2013届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含答案
南京二模数学
南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=， （1）求B ； （2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值； （3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(,),(3,1)22a aA B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。
江苏省盐城市2013届高三第二次模拟考试数学试题 Word版含答案
江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
⒈若集合}2,1{-=m A ，且}2{=B A ，则实数m 的值为 。
⒉若复数z 满足2)1(=-z i （为虚数单位），则=z 。
⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。
⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。
⒌若1e ，2e 是两个单位向量，212e e -=，2145e e +=，且⊥，则1e ，2e 的夹角为 。
⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。
⒎函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2)(πx x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间为 。
⒏若等比数列{}n a 满足43=-m a 且244a a a m m =-（*N m ∈且4>m ），则51a a 的值为 。
⒐过点)3,2(且与直线1l ：0=y 和2l ：x y 43=都相切的所有圆的半径之和为 。
⒑设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈，0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f 。
已知当]1,0[∈x 时，有242)(--=x x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛62013f 的值为 。
⒒椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于A ，B 两点，若FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积为ab ，则椭圆的离心率为 。
⒓定义运算，则关于非零实数x 的不等式的解集为 。
⒔若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为 。
⒕若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 。
江苏省南京市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷(南京、淮安)
南京市2013届高三第二次模拟考试 数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若AB={1,2,3}，则实数a 的值为____．2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______． 5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=， （1）求B ； （2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值； （3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(,),22a aA B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
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数学-江苏省2013届高三二模适应性考试试题(含附加)
江苏省2013届高三二模适应性考试试题一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共计70分)1.已知复数2012201320132012iz i+=-的虚部为 .2.已知集合211{|},{|340,}3A xB x x x x Z x =≤=--≤∈,则A B = .3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 .4.根据图中的伪代码,输出的结果I 为 .5.若12320122013,,,,,x x x x x 的方差为3,则12201220133(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ---- 的方差为 .6.一个底面边长为2cm ,高为3cm 的正三棱锥,其顶点位于球心,底面三个顶点位于球面上,则该球的体积 为 3cm . 7.已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是 .8.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线:30l mx y ++=的距离相等,则实数m 的值为 . 9.已知动圆M 的圆心在抛物线2:2012x y Γ=上,且与直线503y =-相切,则动圆M 过定点 . 10.已知,αβ为锐角,且满足sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ=++,则cos()αβ+= . 11.在闭区间[1,1]-上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是 . 12.已知,(0,1]x y ∈,的最大值为 .13.任取三个互不相等的正整数,,a b c ,若100a b c ++<,则由这三个数构成的不同的等差数列共有 个. 14.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“保三角形函数”,若函数()ln ()h x x x M =≥是保三角形函数,则M 的最小值为 .二、解答题(本题共6小题,共计90分)15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,1sin 5ac B AB AC bc +⋅= .(1)求tan 2A的值;(2)若a =求ABC ∆面积的最大值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AD DC ⊥,,E F 分别为,BC PA 的中点. (1)求证:AD PC ⊥;(2)求证://EF 平面PCD .17.某个公园有个池塘,其形状为直角ABC ∆,90C ∠= ,200AB =米,100BC =米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(1),使得//,EF AB EF ED ⊥, 游客在DEF ∆内喂食,求DEF ∆面积S 的最大值;(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(2),建造DEF ∆连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF ∆为正三角形,求DEF ∆边长的最小值.18.椭圆22122:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,A B ,离心率为23,且 225AF F B ⋅=.(1)求椭圆Γ的方程;(2)点00(,)M x y (002,0x y ≠>)是圆2222:x y a Γ+=上的任意一点,连结AM ,交椭圆1Γ于P ,记直线2,MF PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.19.已知函数32()23(1)6()f x x a x ax a R =-++∈(1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,求实数a 的取值集合; (2)当[1,3]x ∈时,()f x 的最小值为4,求实数a 的值.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,且221(1)(1)()n m n m S S S a a +=++--,其中m ,n 为任意正整数.(1)求23,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)数列{}n b 满足3(1)nnnb a -=,且,,(110,,,*)x y z b b b x y z x y z N ≤<<≤∈能构成等差数列,求x y z ++的取值集合.江苏省2013届高三二模适应性考试试题（理科附加）21. （选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC AB =，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编2：函数 Word版含答案.pdf
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编2：函数 一、填空题 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设函数f(x)的定义域为D,如果(x∈D,(y∈D,使=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C. 已知四个函数:①y=x3 (x∈R);②y=()x (x∈R);③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_____.(填满足要求的所有的函数的序号) 【答案】①③④ ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某同学为研究函数的性质,构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些信息,推知函数的零点的个数是_______. 【答案】2个 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）定义在 上的函数 ;当若;则的大小关系为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(),如果 (),那么的值是______. 【答案】 . ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））若方程仅有一个实根,那么的取值范围是____ 【答案】或; ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知为奇函数,_____ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知奇函数的图像关于直线对称,当时,,则=________._ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知函数,若在任意长度为2的闭区间上总存在两点,使得成立,则的最小值为_____________. 【答案】 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）给出四个函数:①;②;③;④,则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号). 甲 乙 丙 丁 【答案】解析:④,①,②,③ ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是_______. 【答案】 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数,则方程的实数解的个数为_________. 【答案】 3 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））设定义域为R的函数若关于的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为______. 【答案】8 提示:,设两切点分别为,,(,),:,即,令,得;令,得.:,即,令,得;令,得.依题意, ,得, +===,=,可得当时,有最小值8.．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）函数的单调减区间是________. 【答案】 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是_____. 【答案】(0, )∪(e, +∞) ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为_________ 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当 时,,则的值为______________. 【答案】 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知函数,若,则的取值范围是____. 【答案】 ．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）对任意两个实数,定义若,,则的最小值为____. 【答案】-1 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是_______【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数(其中,为常数),若的图象如右图所示,则函数在区间[-1,1]上的最大值是__________. 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2013)=________. 【答案】- ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））函数对于任意实数满足条件,若,则______. 【答案】.; ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是_____________. 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设实数a,x,y,满足则xy的取值范围是_____. 【答案】[-,+] ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,,,若为偶函数,则的零点为________. 【答案】解析:根据函数的图像,有,所以或(舍去),所以的零点为. ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设的奇函数,则使的X的取值范围是______________. 【答案】(一1. 0) ．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值范围是_____________. 【答案】 (0,1) ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数k的取值范围是_______. 【答案】[,1); ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）函数f(x)=lg(x2ax1)在区间(1,+∞)上单调增函数,则a的取值范围是________. 【答案】填(-∞,0]. g(x)=x2ax1的对称轴x=≤1,且 g(1)=a≥0, 所以a≤0. 二、解答题 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,; ③,其中t为常数,且. 求:(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.【答案】解:(1)设,当时,,可得:,∴ ∴定义域为,为常数,且 (2) 当时,即,时,当,即,在上为增函数∴当时, ∴当,投入时,附加值y最大,为万元;当,投入时,附加值y最大,为万元14分 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为,其中a为与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,求t的取值范围.(2)求函数M(a)的表达式;(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的完全污染指数是多少?是否超标?【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义域为的奇函数. (1)求值; (2)若,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围; (3)若,且,在上的最小值为,求的值. 【答案】解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) 单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为恒成立, ,解得 (3)∵f(1)=,,即 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m,舍去综上可知m=2. ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为‰,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:) 【答案】⑴设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 ⑵卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数. (1)若,求不等式的解集;(2)当方程恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】解:(1)由得当时,恒成立 ∴ 当时,得或又 ∴ 所以不等式的解集为 (2)由得 令由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意,即由得由图知时方程恰有两个实数根(3) 当时,,,, 所以 当时 ①当时,,即,令 时,,所以 时,,所以, 所以 ②当时,,即 所以, 综上,的取值范围是 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.(1)求、的值;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;【答案】解:(1),因为,所以在区间上是增函数,故,解得. (2)由已知可得,所以可化为,化为,令,则,因,故,记,因为,故, 所以的取值范围是. ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为,其中是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作. (1)令,,求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?【答案】解析:(1)当时,t=0; 当时,(当时取等号),∴,即t的取值范围是. (2)当时,记,则,∵在上单调递减,在上单调递增,且.故. ∴当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. y x 0 y x 0 y x 0 y x 0。
2013届江苏省高三数学二轮专题训练解答题(20)
江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（20）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：;PQ PA ⊥ （2)42sin(πα+的值．2. (本题满分14分)设集合{}32|≤≤-=x x A ,函数)34(log)(26+++=k x kx x f (1)当1-=k 时, 求函数)(x f 的值域.(2)若 B 为函数)(x f 的定义域,当A B ⊆时,求实数k 的取值范围.3. (本题满分14分)已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2f C =,2sin cos()cos()B A C A C =--+,求tan A 的值.BP4. (本题满分14分)已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠（1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若b a 3-=，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．5. (本题满分16分)如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴若12CDDB =，求||AD ； ⑵求CP BQ ⋅的最小值．⑶判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．6. (本题满分18分)已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-． （1）若2m =，写出函数)(x f 的对称轴方程、并求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．1. 解：（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a POPA -+--=⋅ .1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P 因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA =即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a ……………………9分因为,20π<<a 所以.54sin =a因此.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a ……………………12分从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……………14分2. 解:(1) 当1-=k 时, 66)2(3422≤+--=+++x k x kx ……………2分 ∴26log)(6=≤x f ……………4分∴函数)(x f 的值域为]2,(-∞……………5分(2)设g (x)=kx 2+4x+k+3,则B={x|g(x)>0}.①当k=0时,B=(-,+∞)⊈A,不合题意,故舍去. ……………7分②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B ⊈A,故舍去. ……………9分 ③当k<0时,由A B ⊆知解得-4<k ≤-.综上知k ∈(-4,-]. ……………14分3. 解：（1）f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1． ………………………………3分因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6．……………………………………………5分所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1．所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2所以f (x )∈[0，3]．即函数f (x )在[－π6，π3]上的值域为[0，3]．………………………7分（2）由f (C )＝3得，2sin(2C ＋π6)＋1＝2，所以sin(2C ＋π6)＝12．在△ABC 中，因为0＜C ＜π，所以π6＜2C ＋π6＜13π6．所以2C ＋π6＝5π6．所以C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3． ………………………………………9分 因为2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )．所以2sin B ＝2sin A sin C ． …………………11分因为B ＝2π3－A ， C ＝π3．所以2sin(2π3－A )＝3sin A ． 即3cos A ＋sin A ＝3sin A ．即(3－1)sin A ＝3cos A ．所以tan A ＝sin A cos A ＝33－1＝3＋32．………………14分4. 解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数……………6分 当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数。
江苏省南京市江宁高中2013届高三迎市统测模拟考试数学试题(含详解)
2012-2013年南京市江宁高级中学迎市统测高三模拟试卷2012-12-16姓名 班级 成绩 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知ni i+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = 1 ． ２．命题p ：∀x ∈R ，2x 2+1>0的否定是____∃x ∈R ，2x 2+1≤0 __________.3．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 36 个.(用数字作答)4．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重y (kg)的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是ˆ27yx =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是 17 kg ．5．定义nx M =x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，其中x ∈R ，n ∈N *，例如 4-4M =(-4)(-3)(-2)(-1)=24，则函数f(x)= 2007x-1003M 的奇偶性为____奇函数__________.6．曲线y=x x 62+-,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 x y 6= ．7．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则yx8．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，ab 可被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为 假设,a b 都不能被3整除 ． 9．给出下面类比推理命题（其中R 为实数集，C 为复数集）：①“若,,a b R ∈则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,a b R ∈则0ab =0a ⇒=或0b =”类比推出“若,,a b C ∈则0ab =0a ⇒= 或0b =”；③“若,,a b R ∈则0a b a b ->⇒>” 类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b ->⇒>”； ④“若,,a b R ∈则220a b +≥”类比推出“若,,a b C ∈则220a b +≥” 所有命题中类比结论正确的序号是 ①② ．10．对于R 上的可导函数()f x ，若满足(2)'()0x f x -≥，则(0)(3)f f +与2(2)f 的大小关系为 不小于 ．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）11．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤)N *∈，共有1m n C +种取法。
1560数学-南京九中2013届高三下学期二模模拟数学试题
南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A ．（2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______． 136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组 为_________． ()81,8-分数 频率组距90 100 110 120 130 140 0.0050.010 0.015 0.025 0.045NMED CBA7、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm .100π. 8、若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .0k <或4k =9、若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．410、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ． 解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得255c e a ==． 11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ▲ . 912、当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为 ． 1322a -≤≤13．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2， 则CD ED ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数231()sin 2cos ,22f x x x x R =--∈．（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 15. 解：（1）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<<Q 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =Q ，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分 16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．ACE F P1A 1B 1C16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆, 而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且132EH AB ==，由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=…………………………………14分17、（本小题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=当1x c ≤≤时，16P x =-，21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩------------------------- 6 HGB（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知 函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 -------------------------14 18．（本小题满分16分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，一条准线:2l x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点． ①若6PQ =，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18. 解：（1）由题设：2222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：2212x y += ………………………… 4分（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，则圆D 的方程：222(1)()124t t x y -+-=+， ………………………… 6分直线PQ 的方程：220x ty +-=， ………………………… 8分6PQ ∴=，22222222(1)()644t t t+-∴+-=+， ………………………… 10分24t ∴=，2t ∴=±∴圆D 的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= …………… 12分②解法（一）：设00(,)P x y ，由①知：2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩，即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩， ………………………… 14分消去t 得：2200x y +=2∴点P 在定圆22x y +=2上． ………………………… 16分 解法（二）：设00(,)P x y ，则直线FP 的斜率为001FP yk x =-，∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-， 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --． …………………………14 分 ∵MP ⊥OP ，∴0OP MP ⋅=,∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上． …………………………16 分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．19.解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ………………………2分解得11=a ，2=d ，21n a n ∴=-又21n a n =- 时，2n S n =满足221n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ ， 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++ ． ………………5分（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121)12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠ ，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分 (n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥ ，等号在2n =时取得．∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分 ②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n - 是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分 综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………………………………………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++， 即2244163m nm m n =+++． ………………………12分 由2244163m n m m n =+++，可得2232410m m n m-++=>，即22410m m -++>， ∴661122m -<<+． ……………………………………14分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…16分[另解：因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<， ∴661122m -<<+，（以下同上）． ……………………………………14分] 20．(本小题满分16分)已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (III)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f x g x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以33|3||2|131()22x xx x xx x x e e e e f x e e e e e e e e e--+--=+=+=+≥⨯=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==②当a <1时,可知2a －1<a ,所以(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)a f e -=(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -=③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e -=(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e ==(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值为52(6)a f e -=综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466a a a a e a e a a e a e a a e----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩。
江苏省高考数学一轮复习 试题选编27 概率 苏教版
江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（教师版）填空题 1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .【答案】232 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素, 所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 【答案】0.2 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.【答案】254 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.【答案】355 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】【命题立意】本题主要考查了古典概型的概念以及古典概型概率的求法.31【解析】从四个数中随机取两个数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),12个基本事件,一个数是另一个数的两倍包括(1,2)(2,1)(2,4)(4,2)这四个基本事件,因此所求概率为13. 6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.【答案】8157 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.【答案】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105. 8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________. 【答案】0.41P ≤< 10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.【答案】38;11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___. 【答案】【答案】0.2 【解析】略12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________【答案】0.2 13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.【答案】1814．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.【答案】132815．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______. 【答案】11216．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.【答案】3818．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.【答案】【解析】m 取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n 取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯. 19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.【答案】5920．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________. 【答案】51221．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x ,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线4x y +=上的概率为______.【答案】2 22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.【答案】12;23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.【答案】6124．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____【答案】53625．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.【答案】1226．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.【答案】8727．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.【答案】1328．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:【答案】11629．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x ,y ,则x y 2=的概率为_____. 【答案】121; 30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:【答案】【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:9059288919089=++++=x .方差为:25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S . 31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.【答案】1332．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______. 【答案】91033．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ． 【答案】【答案】1434．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____【答案】1235．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.【答案】71036．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________【答案】 .3737．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.【答案】14解答题 38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立 (1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 【答案】解:(1)(2)依题意,至少需要生产3件一等品33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱, ∴共有238C 对相交棱.∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1的共有6对,∴ 212661(6611P C ξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=---. ∴随机变量ξ的分布列是:ξ 01()P ξ411 611 111∴其数学期望61()=11111E ξ⨯+40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望; (2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.【答案】41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ；（2）求E（X）【答案】解：⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件， 事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=，从而17()220P X =≥．⑵X 的分布列为：X0 14 12P320 1020 620 120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 答：17()220P X =≥，13()40E X =．…………………………………………10分 42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X 表示取出的3件中不合格品的件数. (1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;(2)求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P (X ≥7);(2)求X 的概率分布列,并求其数学期望E (X ).2013届高三学情调研卷【答案】解(1)P (X =7)=C 23C 12 + C 22C 12C 37=835,P (X =8)=C 22C 13C 37=335. 所以P(X≥7)=1135(2)P (X =6)=C 12C 13C 12 + C 33C 37=1335,P (X =5)=C 22C 12 + C 23C 12C 37=835,P (X =4)=C 22C 13C 37=335. 所以随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8 P3358351335835335所以E (X )=4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=644．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.【答案】解:(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X ,则~(3,4,6)X H ,所以34236()k k C C P X k C -==,1,2,3k = 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=;(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y ,则2~(3,)3Y B ,所以3321()()()33k k k P Y k C -==,0,1,2,3k =12820(2)272727P Y ≥=+= 又314(2),555P X ≥=+=且(2)(2)P X P Y ≥>≥,从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大, 因此可以判断甲的实验操作能力较强 45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.(Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望. 【答案】46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含答案.pdf
南京市2013届高三第次模拟考试 数学：1．．参考公式： 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)的定义域为B，则A∩B＝2．已知复数z满足(z＋)i＝＋＝ 4．右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么 这组数据的方差是 ▲ ． 5．已知函数f (x)＝ωx＋()((＞0)的部分图象如图所示，则ω＝＝(3，1)，＝(0，)．若·＝0，＝λ，则λ的为 8．已知m，n是直线，α，β是 ①若mα，m⊥β，则α⊥β；②若m(α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n； ③若mα，nβ，α∥β则m∥n；④若m∥α，m(β，α∩β＝n，则m∥n． 中为真命题的是． °，D是BC边上一点，AD＝5， AC＝7，DC＝3，则AB的长为 ▲ ． 10．记定义函数＝f′(x)．如果x0[a，b]，使得－f′(x0)(b－)成立，则称x0为函数区间上的中值点．＝x－在区间－上中值点为 11．双曲线－＝1(a＞b＞0)的焦点过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点若＝，则双曲线的离心率为12．已知圆x2＋y2－(－2m)x－my＋m2－m＝0直线l点(，0)直线l圆截得的弦长为定，则直线l的方程为 13．bn＝2n－cn＝若在数列{cn}中，c8＞cn(n∈N*，n≠8)，则实数p的取值范围是 ▲ ． 14．设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) α，β(0，π)，α＝2，cosβ＝－求α的值求α－β的值．16．(本小题满分14分) －AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点． （1）F∥平面A； ⊥平面BDE． 17．(本小题满分1分) m(x－)2－＋＋∈R． （1）当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间； （2）当m＞0时，若曲线y＝(1，1)处的切线l与曲线y＝18．(本小题满分1分) 19．(本小题满分16分) 椭圆＋＝1． 若椭圆x轴上，求实数m的取值范围； 若是椭圆上点的坐标为的A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： 是定值，并求出这个定值． 20．(本小题满分16分) an}的前n项和为Sn． （1）求证：数列{}是等差数列； （2）若a1＝1，且对任意正整数n，k(n＞k)，都有＋＝2成立，求数列{an}的通项公式； （3）记bn＝a (a＞0)，求证：≤． 南京市2013届高三第次模拟考试 数学附加题： ．．． 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA＝12，PC＝6，求AB的长． C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知圆C的极坐标方程为ρ＝cos(θ－)，点M的极坐标为(6，)，直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程． D．选修4—5：不等式选讲 解不等式x|x－4|－3＜0． 答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分) 如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥面ABC，△ABC正三角形，DE分别为PBPC中点． 若PA＝2，求直线A与B所成角的弦值；若ADE⊥平面PBC，求PA的长． 23．(本小题满分10分) 如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn． （1）求p1，p2的值； （2）求证：＞． 南京市2013届高三第次模拟考试 数学参考及评分标准2013.05 说明： 1．本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 只给整数分数，填空题不给中间分数．、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(1，3 2．5 3． 4． 5． 6． 7． 8．①④ 9． 10．11． 12．＋－＝ 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．α＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα．………………………… 2分α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝． ………………………… 4分α＝cos2α－sin2α＝－．………………………… 6分α＝cos2α－sin2α………………………… 2分 ＝， ………………………… 4分α＝2，所以cos2α＝＝－．………………………… 6分α(0，π)，α＝2，所以α(0，)． 又cos2α＝－α(，π) ，sin2α＝． ………………………… 8分β＝－β(0，π)，β＝，β(，π)． ………………………… 10分α－β)＝sin2αcosβ－αsinβ＝×(－)－(－)×－………… 12分α－β(－)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分α(0，π)，α＝2，所以α(0，)，tan2α＝＝－． 从而2α(，π)． ………………………… 8分β＝－β(0，π)，β＝，β(，π)， 因此tanβ＝－………………………… 10分α－β)＝＝＝－………………………… 12分α－β(－)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分16．C1C． 在三棱柱ABC－C1C，且E为A1A的中点， 所以FGEA． 所以四边形AEFG是平行四边形． 所以EF∥AG． ………………………… 4分 因为EF(平面ABC，AG(平面ABC， 所以EF∥平面A………………………… 6分 （2）因为在正三棱柱ABC－⊥平面ABC，BD(平面ABC， 所以A1A⊥BD． 因为D为AC的中点，⊥AC． 因为A1A∩AC＝A，A1A(平面A1ACC1，AC(平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1． 因为C1E(平面A1ACC1，所以BD⊥C1E． ………………………… 9分 根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB， 所以C1E⊥平面BDE． ………………………… 14分 17．解－＋＋′(x)＝－＋＝……………………… 2分 由f′(x)＞0得x∈(0，) ． 所以函数f(x)的单调增区间为(0，)． ……………………… 4分 （2）由f′(x)＝－－＋′(1)＝－＝(1，1)处的切线l的方程为y＝－＋…………………… 6分 由题意得，关于x的方程f(x)＝－＋m(x－)2－＋＋＝g(x)＝(x－)2－＋＋(x＞0)． 则g′(x)＝(x－)－＋＝＝()． …………… 8分 ①当0＜＜′(x)＞0得0＜＜，由g′(x)＜＜＜g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，＋)上为增函数． 又g(1)＝→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)＜＜……………………… 10分 ②当m＝′(x)≥0，g(x)在(0，＋)上为增函数，且g(1)＝＝③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜＜′(x)＜＜＜g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，＋)上为增函数． 又g(1)＝→0时，g(x)→－∞＝g(x)＝……………………… 14分 18．解③中MN≥6，故当l＝4时，折痕必定是情形①． 设AM＝xcm，AN＝ycm，则x2＋y＝……………………… 2分 因为x2＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号， 所以S1＝xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号． 即S1的最大值为4． ……………………… 5分 （2）由题意知，长方形的面积为S＝6×8＝48． 因为S1∶S2＝1∶2，S1≤S2，所以S1＝16，S2＝32． 当折痕是情形①时，设AM＝xcm，AN＝ycm，则xy＝＝得≤x≤8． 所以l＝＝≤x≤8． ……………………… 8分 设f(x)＝x＋f ′(x)＝x－，x＞0．故 x（，4）4（4，8）8f ′(x)－0＋f(x)646480所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]；……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM＝xcm，DN＝ycm，则(x＋＝＝得0≤x≤． 所以l＝＝． 所以l的范围为[6，]； ……………………… 13分 当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm，则(x＋＝＝得0≤x≤4． 所以l＝＝]． 综上，l的取值范围为[6，4]． ……………………… 16分 19．解……………………… 2分 （2）因为m＝6，所以椭圆C＋＝1． ①设点P坐标为（x，y），则＋＝1． 因为点M的坐标为x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－＝－2x＋3 ＝(x－)2＋，x∈[－，]． ……………………… 4分 所以当x＝时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（，±）． ……………………… 6分 ②由a2＝6，b2＝2，得c2＝4，即c＝2， 从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x＝3，离心率e＝． 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则 ＋＝1，＋＝1， 所以＋＝0，即kAB＝＝－． ……………………… 9分 令k＝kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y－y0＝－(x－x0)． 令y＝0，则xN＝ky0＋x0＝x0． 因为F(2，0)，所以FN＝|xN－|x0－3|． ……………………… 12分 因为AB＝＋＝x1)＋e(3－x2)＝|x0－3|． 故＝×＝．……………………… 2分 （2）因为对任意正整数n，k(n＞k)，都有＋＝2成立， 所以＋＝2，即数列{}是等差数列． ……………………… 4分 设数列{}的公差为d1，则＝＋(n－)d1＝＋(－)d1， 所以Sn＝＋(－)d1]2，所以当n≥2时， an＝－＋(－)d1]2－＋(－)d1]2＝n－＋an}是等差数列，所以a2－＝－(4d－＋)－＝(－＋)－(－＋)， 所以d1＝an＝－an＝－＋＝2对任意正整数n，k(n＞k)都成立， 因此an＝－……………………… 7分 （3）设等差数列{an}的公差为d，则an＝＋(－)d，bn＝a， 所以＝a－＝ad， 即数列{bn}是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q(q＞0)． 以下证明：b1＋n≥bp＋bk，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n． 因为(b1＋n)－(bp＋bk)＝b1＋b1qn－1－b1qp－1－b1qk－1＝b1(qp－1－)( qk－1－)． 当q＞1时，因为y＝－－－－＋n≥bp＋bk． 当q＝1时，b1＋n＝bp＋bk． 当0＜＜＝－－－－＋n≥bp＋bk． 综上，b1＋n≥bp＋bk，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．………………… 14分 所以n(b1＋n)＝(＋n)＋(＋n)＋＋(＋n) ≥(b1＋n)＋(＋n－1)＋(＋n－2)＋＋(＋) ＝(＋＋＋n)＋(＋－＋＋)， 即≤． …………………… 16分 南京市2013届高三第次模拟考试 数学参考及评分标准2013.05 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A．选修4—1：几何证明选讲 证明 如图，延长PO交⊙O于D，连结AO，BO．AB交OP于点E． 因为PA与⊙O 相切， 所以PA2＝PC·PD． 设⊙O的半径为R，因为PA＝12，PC＝6， 所以122＝6(2R＋6)，解得R＝9． …………………… 4分 因为PA，PB与⊙O均相切，所以PA＝PB． 又OA＝OB，所以OP是线段AB的垂直平分线． …………………… 7分 即AB⊥OP，且AB＝2AE． 在Rt△OAP中，AE＝＝． 所以AB＝． …………………… 10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解 （1） ＝，即 解得 …………………… 4分 （2）设P' (x，y)是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C上的点P (x0，y0) 经矩阵M所表示的变换得到， 所以 ＝ ，即解得 …………………… 7分 因为x0y0＝1，所以·＝1，即－＝1． 即曲线C' 的方程为－＝1． …………………… 10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解则圆C的直角坐标方程为x－)2＋y－2＝，3)． …………………… 3分 当直线l的斜率不存在时，不合题意． 设l的方程为y－3＝k(x－3)，1)到直线l的距离等于半径2． 故＝．． 解得或 即4≤x＜2＋或3＜x＜4或x＜1． 综上，原不等式的解集为{x| x＜1或3＜x＜2＋}． …………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，(0，，)， ＝(，1，－)， ＝(0，，)． 设直线A与B所成角为θ，则θ＝|＝． 直线A与B所成角的弦值． （2）设PA的长为a，则P(0，0，)，＝(，1，－)，＝(0，2，－)． 设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0， 所以x＋y－z＝0，2y－z＝0． 令z＝，则y＝，x＝． 所以n1＝(，，)是平面PBC的一个法向量． 因为DE分别为PBPC中点，所以D(，，)，E(0，1，)， 则＝(，，)，＝(0，1，)设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0． 所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0． 令z＝2，则y＝－，x＝－． 所以n2＝(－，－，2)是平面ADE的一个法向量． 因为面ADE⊥面PBC所以n1⊥n2，n1·n2＝(，，)·(－ ，－，2)a2－a2＋4＝0，，即PA的长．…………………… 10分 23．解， p2＝×＋×(1－． …………………… 2分 （2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1－pn． 于是移了n＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1＝pn＋(1－pn)＝pn＋． …………………… 4分 从而pn+1－＝(pn－)． pn－，公比为． 所以pn－＝×()n－1pn＝×． …………………… 6分 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左式＝＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立． 当n＝2时，左式＝＋＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立． ②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＞． 则n＝k＋1时，＋＞＋＝＋． 要证＋≥， 只要证≥－． 只要证≥． 只要证≤． 只要证3k+1≥2k2＋k＋2 因为≥2， 所以3k+1＝3(1＋2)k≥3(1＋2k＋4C)＝6k2＋2k2＋k＋22k(2k－＋1＞2k2＋k＋2＋≥． 即n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，不等式＞对任意的n∈N*都成立． ……………………10分 A （第16题） F B1 A1 C1 （第9题） C D B A （第5题） －2 － y O x （第4题） 8 8 9 9 9 0 1 1 2 （第题） Read x If x≤0 Then ←x＋2 Else y←log2x End If Print y P O C （第21题A） A BB CB EB DB PB （第22题） A B C D E F （第23题） （第16题） A B C D G A B C D （情形②） M N A B C D （情形③） M N A B C D （情形①） M N A B P O C （第21题A） D E A BB CB EB DB PB （第22题） y x z F。
江苏省南师大数科院2013届高三模拟最后一卷数学试题Word版含答案
江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若12(1)ai bi i +=-，其中a 、b ∈R，i 是虚数单位，则||a bi += ▲ ．2．已知集合R U =，集合},2{R x y y M x∈==，集合)}3lg({x y x N -==，则()=N M C U ▲ ．3．某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一 950人，髙二 1000人，高三1050人．现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ ．4．某国际体操比赛，我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加, 最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是5．以椭圆22143x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ ． 6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点(6,4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．P CA B Q （第6题）图（5）MN F D CB A E11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 8 9 15x lgb a -2c a +c a 333-- b a 24- 13++-c b a请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知A 为直线2:=+y x l 上一动点，若在1:22=+y x O 上存在一点B 使︒=∠30OAB 成立，则点A 的横坐标取值范围为 ▲ ．14．若方程)1ln(2ln +=x kx没有实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分15分）已知函数2sin 2cos2sin3)(2ϕωϕωϕω++++=x x x x f 0(>ω，)20πϕ<<．其图象的两个相邻对称中心的距离为2π，且过点)23,6(π．（Ⅰ）求ω、ϕ的值；（Ⅱ）在△ABC 中．a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，5a =，25ABC S ∆=，角C 为锐角。
江苏省一轮复习数学试题选编：概率学生 含答案
江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。
2013南京市江宁区数学二模试卷
江宁区2013年九年级数学学业水平调研卷（二）（满分120分 时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上） 1． 3-的倒数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．我市深入实施环境污染整治，关停40家化工企业、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为 （ ） A ．316710⨯B ．416.710⨯C ．51.6710⨯D ．60.16710⨯3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量其中三个角是否都为直角 4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出了统计图（如图），则符合这一结果的实验可能是（ ） A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B .从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C .抛一枚硬币，出现正面的概率D .任意写一个整数，它能被2整除的概率5.已知⊙O 1的半径是2cm ，⊙O 2的半径是3cm ，若这两圆相交，则圆心距d （cm ）的取值范围是 ( )A . d ＜1B . 1≤d ≤5C . d ＞5D . 1＜d ＜5 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，则在△ABC 扫过的区域中（不含边界上的点），到点O 的距离为无理数的格点的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．纸．相应位置．．．．上） 7．212ab ⎛⎫⎪⎝⎭= ▲ ．8．在函数2xy x =-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．9．已知21x y =-⎧⎨=⎩是方程2x+my=-3的解，则m 的值是 ▲ ．10．如图，AB CD ，相交于点O ，AO=CO ，试添加一个条件使得AOD COB △≌△，你添加的条件是 ▲ （只需写一个）．11．学校篮球集训队11名队员进行定点投篮训练，11名队员在1分钟内投进篮框的球数和则11名队员投进篮框的球数的众数和中位数分别是 ▲ 个 、 ▲ 个．12．如图，若将木条a 绕点O 旋转后与木条b 平行，则旋转角的最小值为 ▲ °．13.如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 ▲ 个单位时，它与x 轴相切．14．15．如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 ▲ ．（结果保留π）16．如图：在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b 的关系式为 ▲ ．三、解答题（本大题共有12小题，共88分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题5()0122cos4514π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭o ．18．（本题6分）先化简：23111x x x----，再选择一个你喜欢的数代入求值．19．（本题8分）江宁区随机抽取若干名八年级学生进行数学学业水平测试，并对测试成绩（x 分）进行了统计，具体统计结果见下表：八年级数学学业水平测试成绩统计表（1） 填空：①本次抽样调查共测试了 名学生；②参加数学学业水平测试的学生成绩的中位数落在分数段 上；③若用扇形统计图表示统计结果，则分数段为90＜x ≤100的人数所对应扇形的圆心角的度数为 ；（2）确定数学成绩60分以上（含60分）的为合格，要求合格率不低于97%．现已知本次测试得60分的学生有117人，通过计算估计本次数学学业水平测试的合格率是否达到要求？20．（本题6分）已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ,与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM 、DN ．(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2) 若8 , 16 ,AB AD ==求MD 的长．21．（本题6分）从2名男生和2名女生中随机抽取学生参加“我爱南京，参与青奥”演讲比赛，求下列事件的概率： （1）抽取1名，恰好是男生；（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．22．(本题7分) 如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象过点A （-1，0），对称轴为过点（1，0）且与y 轴平行的直线．（1）求该二次函数的关系式； （2）结合图象，解答下列问题：①当x 取什么值时，该函数的图象在x 轴上方？ ②当-1＜x ＜2时，求函数y 的取值范围．23．（本题8分）近年来，某地区为发展教育事业，加大了对教育科研经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入8640万元．（1）求2010年至2012年该地区投入教育科研经费的年平均增长率；（2）该地区预计2013年投入教育科研经费9500万元，问能否继续保持前两年的平均增长率？请通过计算说明理由．24．（本题7分）苏果超市进了一批成本为8元/个的文具盒. 调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x （元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x （元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？最高利润是多少？25．（本题7分）据交管部门统计，超速行驶是引发交通事故的主要原因．某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，双龙大道某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l 的距离为0.1千米的P 处．这时，一辆轿车由江宁东山向禄口机场匀速直线驶来，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为3秒，并测得∠APO ＝59°，∠BPO ＝45°．试计算AB 并判断此车是否超速？ （参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）26．（本题6分）如图，A （10，0），B （6，0），点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO =45°，CD ∥AB ．∠CDA =90°．点M 从点N （－8，0）出发，沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．（1）点D 的坐标是 ； （2）当∠BCM =15°时，求t 的值．27．（本题10分）根据三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． （1）应用：如图1，P A =PB ，过准外心P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD =AB 63，求∠P AD ；（2）探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠A=900，BC =10，AB =6，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象与y 轴交于点C ，以OC 为一边向左侧作正方形OCBA.（1）判断点B 是否在二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象上？并说明理由；（2）用配方法求二次函数y =﹣x 2﹣2x +2的图象的对称轴；（3）如图2，把正方形OCBA 绕点O 顺时针旋转α后得到正方形A 1B 1C 1O （0°＜α＜90°）。
江苏省南师附中等四校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试题Word版含答案
2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学试卷2013．02注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ={－1,0,1, 2}，B ={x |x 2－x ≤0}，则A ∩B = ▲ ．2．设a 为实数，若复数 (1＋2i)(1＋a i) 是纯虚数，则a 的值是 ▲ ．3．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ）数据绘制的 频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间 [96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是 ▲ ．4．如图所示的流程图的输出S 的值是 ▲ ．（第3题） （第4题）5．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 ▲ ．6． 设k 为实数，已知向量a →＝(1，2)，→b ＝(－3，2)，且(ka →＋→b )⊥(a →－3b →)，则k 的值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在射线y ＝－3x （x ＞0）上，则sin5α＝ ▲ ． 8. 已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ， 则z ＝2x ＋y 的最小值是 ▲ ．9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的离心率的值是 ▲ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．11．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f (1)＜f (ln x )，则x 的取值范围是 ▲ ．12．若点P 、Q 分别在函数y ＝e x 和函数 y ＝ln x 的图象上，则P 、Q 两点间的距离的最小值是 ▲ ．13．已知一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b ＝2aca ＋c，则此数列的第15项是 ▲ ．14．设a 1，a 2，…，a n 为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，存在k ，l （k ≠l ，且异于i 与j ）使得a i ＋a j ＝a k ＋a l ，则n 的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m?(第15题)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，CD =13，AB=12，BC =10，AD ＝12 BC . 点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点.（1）求证：AB ⊥面P AD ； （2）求证：EF ∥面P AD .（（第16题） 17．（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （1）求a 的值；（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N . （1）设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； （2）求线段MN 长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．19. （本小题满分16分）（第18题）设非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|} (n ∈N*，n ≥2)与数列{n ＋12} (n ∈N*)中没有相同数值的项.20. （本小题满分16分）设函数f (x )的定义域为M ，具有性质P ：对任意x ∈M ，都有f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1). （1）若M 为实数集R ，是否存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1，x ∈R ) 具有性质P ，并说明理由；（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意x ∈M ，都有f (x )∈N . 记d (x )＝f (x ＋1)－f (x ).(ⅰ) 求证：对任意x ∈M ，都有d (x ＋1)≤d (x )且d (x )≥0；(ⅱ) 求证：存在整数0≤c ≤d (1)及无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c .2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数 学（附加题） 2013.0221、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、（几何证明选讲选做题）如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE ．B 、（矩阵与变换选做题）已知M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C 、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t y ＝－3＋22t（t 为参数）；在以O 为极点、射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． D 、（不等式选做题）设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．22、【必做题】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.（1）求异面直线AE 与A 1 F 所成角的大小； （2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.23、【必做题】在数列{a n }（n ∈N *）中，已知a 1＝1，a 2k ＝－a k ，a 2k －1＝(－1)k +1a k ，k ∈N *. 记数列{a n }的前n 项和为S n .（1）求S 5，S 7的值；（2）求证：对任意n ∈N *，S n ≥0.A12012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研 数学参考答案一、 填空题：·1. {0, 1}2. 123. 604. 205. 126. 197. 328. 29.2 10. 2 11. (0, 1e )∪(e, ＋∞) 12. 2 13. 10100714.13二、解答题：15. （1）解：设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b . 由题设可知A ＝50，b ＝60. ………………2分又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60. ………………4分再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π2.……………… 6分因此，y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0). ………………8分（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－12.………………10分于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π3，即1＜t ＜2. ………………12分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟.………………14分16. 证明：（1）因为PD ⊥面ABCD ，所以PD ⊥AB . ………………2分 在平面ABCD 中，D 作DM //AB ，则由AB =12得 DM =12.又BC =10，AD ＝12BC ，则AD =5，从而CM =5.于是在△CDM 中，CD =13，DM =12，CM=5，则 由22251213+=及勾股定理逆定理得DM ⊥BC .又DM //AB ，BC //AD ，所以AD ⊥AB . 又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥面P AD . ………………6分 （2）[证法一] 取AB 的中点N ，连结EN 、FN . 因为点E 是棱PB 的中点，所以在△ABP 中，EN //12P A .又P A ⊂面P AD ，所以EN //面P AD . ………………8分因为点F 分别是边CD 的中点，所以在梯形ABCD 中，FN //AD .又AD ⊂面P AD ，所以FN //面P AD . ……………10分 又EN ∩FN ＝N ，P A ∩DA ＝A ，所以面EFN //面P AD . ………………12分 又EF ⊂面EFN ，则EF //面P AD . ………………14分 [证法二] 延长CD ，BA 交于点G .连接PG ，EG ，EG 与P A 交于点Q.由题设AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，所以CD ＝DG ，BA＝AG ，即点A 为BG 的中点. 又因为点E 为棱PB 的中点，所以EA 为△BPG 的中位线，即EA ∥PG ，且EA :PG ＝1:2，故有EA :PG ＝EQ :QG ＝1:2. ………………10分又F 是边CD 的中点，并由CD ＝DG ，则有FD :DG ＝1:2. ………………12分 在△GFE 中，由于EQ :QG ＝1:2，FD :DG ＝1:2，所以EF ∥DQ .又EF ⊄面P AD ，而DQ ⊂面P AD ，所以EF ∥面P AD . ………………14分17. 解：（1）由题设知x ＝5时y ＝11，则11＝a5－3＋10(5－6)2，解得a ＝2. ………………3分（2）由（1）知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3) [2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3) (x －6)2，3＜x ＜6. ………………6分对函数f (x )求导，得f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．令f ′(x )＝0及3＜x ＜6，解得x ＝4． ………………10分 当3＜x ＜4时，f ′(x )＞0，当4＜x ＜6时，f ′(x )＜0，于是有函数f (x )在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x ＝4时函数f (x )取得最大值f (4)＝42. ………………13分 答：当销售价格x ＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.………………14分 18. 解：（1）由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1x 0. ………………2分又点P 在椭圆上，所以220014x y +=（x 0≠0），从而有 k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14. ………………4分 （2）由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)，直线PB 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0).由⎩⎨⎧-==-211y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y k x ； 由⎩⎨⎧-==+212y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212y k x .所以，直线AP 与直线l 的交点13(,2)N k --，直线PB 与直线l 的交点21(,2)M k --. ………………7分于是|13|21k k MN -=，又k 1·k 2＝－14，所以 111133|4|4||||MN k k k k =+=+≥43， 等号成立的条件是1134||||k k =，解得12k =±. 故线段MN 长的最小值是4 3. ………………10分（3）设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN →＝0，故有1231()()(2)(2)0x x y y k k +++++=.又1214k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为 22113(2)12(4)0x y k x k ++-+-=. ………………13分令22(2)120x x y =++-=⎧⎨⎩，解得02x y ==-+⎧⎨⎩02x y ==--⎧⎨⎩. 所以，以MN 为直径的圆恒过定点)322,0(+-（或点)322,0(--）．………………16分注：写出一点的坐标即可得分. 19. （1）解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列. ………………4分②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. ………………8分 （2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-. ………………10分又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）. ………………12分由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.………………16分20．证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).………………2分由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . ………………4分 （2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ). ………………6分下面用反证法证明：对任意x ∈N ，d (x )≥0.假设存在某个非负整数k 使d (k )＜0，则由题设对任意x ∈N ，f (x )∈N ，得d (x )∈Z ，于是有d (k )≤－1. ………………8分 由任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x )，所以－1≥d (k )≥d (k ＋1)≥d (k ＋2)≥…≥d (k ＋n )≥….，这里n 是自然数. 于是有d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )≤(n ＋1) d (k )≤(n ＋1)×(－1). 而d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )＝f (k ＋n ＋1)－f (k )， 所以f (k ＋n ＋1)－f (k )≤－(n ＋1).取n ＝f (k )，得f (k ＋f (k )＋1)≤－f (k )－1＋f (k )＝－1，这与f (k ＋f (k )＋1)∈N 矛盾. 因此，必有对任意x ∈N ，d (x )≥0. ..................12分 (ⅱ)由(ⅰ)可知 d (1)≥d (2)≥d (3)≥...≥d (n )≥ 0当d (1)＝0时，则有d (1)＝d (2)＝d (3)＝…＝d (n )＝0，结论成立. 当d (1)≠0时，对任意n ∈N ，有d (n ) ∈N ，且d (n ) ∈[0, d (1)]. 因为在区间[0, d (1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d (n )有无数多个，所以，必存在自然数c ∈[0, d (1)]和无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c . ……………16分【附加题答案】21.A. 解：因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°． …………2分在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3． …………5分 又因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝∠4． ……………7分 因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1+∠2=90°，从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE ＝90°． ………………9分 所以OP ⊥PE ． ………………10分B. 解：由题设得1110022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ………………4分 设所求曲线F 上任意一点的坐标为（x ,y ），x y s i n=上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212. ………………7分 把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=. 所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=. ………………10分C. 解：直线m 的普通方程为6=-y x . ………………2分曲线C 的普通方程为x y 82=. ………………4分 由题设直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，可令),(11y x A ,),(22y x B .联立方程⎩⎨⎧=-=682y x x y ，解得)6(82+=y y ，则有821=+y y ，4821-=⋅y y .………………7分于是AB ===故 216=AB . ………………10分D ． 证明：由题设x ＞0，y ＞0，x ＞y ，可得x －y ＞0. ………………2分因为2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1 (x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2. ………………5分又(x －y )＋(x －y ) ＋1 (x －y )233≥，等号成立条件是x －y ＝1 . ………………9分所以，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ≥3，即2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3． ……………10分22．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(A ,)2,0,2(E ,)6,0,0(1A ,)4,2,0(F ，从而(2,0,2)AE =,1(0,2,2)A F =-. ………………2分记AE 与A 1的夹角为θ，则有111cos 2||||8AE A F AE A F θ⋅===-⋅.又由异面直线AE 与F A 1所成角的范围为),0(π，可得异面直线AE 与F A 1所成的角为60º. ………………4分 （2）记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令(1,,)y z =n ，且有平面ABC 的法向量为1(0,0,6)AA ==m , )4,2,0(=,)2,0,2(=. 由0AF ⋅=n ，得042=+z y ；由0AE ⋅=n ，得022=+z .所以2,1=-=y z ，即(1,2,1)=-n .………………8分记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos ||||6β⋅===⋅n m n m .由题意可知β为锐角，所以cos 6β=. ………………10分A23. 解：（1）S 5＝3，S 7＝1. ………………2分（2）由题设i a 的定义可知，对于每个正整数k ，有241234----==k k k a a a . ①k k k k a a a a =-==-2414. ② ……………4分则 ∑=---+++=ki i i i i k a a a aS 141424344)]()[(k ki i S a 2)20(1=+=∑=，③k k k k k S a a S S 42414424)(=++=+++. ④ ……………6分下面证明对于所有的n ≥1，S n ≥0.对于k ，用数学归纳法予以证明.当i ＝1，2，3，4，即k =0时，S 1＝1，S 2＝0， S 3＝1， S 4＝2. 假设对于所有的i ≤4k ，S i ≥0，则由①、②、③、④知，S 4k +4＝2S k +1≥0， S 4k +2＝S 4k ≥0，S 4k +3＝S 4k +2＋a 4k +3＝S 4k +2＋a 4k +4＝S 4k +2＋(S 4k +4－S 4k +3)，S 4k +3＝S 4k +2＋S 4k +42≥0.接下来证明：S 4k +1≥0.若k 是奇数，则S 4k ＝2S k ≥2.因为k 是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知S k 也是一个奇数. 于是S 4k ≥2. 因此，S 4k +1＝S 4k ＋a 4k +1≥1.若k 是偶数，则a 4k +1＝a 2k +1＝a k +1. 所以S 4k +1＝S 4k ＋a 4k +1＝2S k ＋a k +1＝S k ＋S k ＋1≥0.综上，对于所有的n ≥1，S n ≥0. ………………10分。
江苏省2013届高三数学上学期第二次质量检测试卷苏教版
江苏省诚贤中学2013届高三第二次质量检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 ．2．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = ．3．在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 ．4．已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+= ． 5．已知定义域为R 的函数121()2xx f x a+-+=+是奇函数，则a = ．6．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7．在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ ．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量 为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．9．已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．10．已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ．11．已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a = ．12．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F ． 设M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 ．样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的等差数列{}n a 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a nλ+≥成立，则实数λ的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈ （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，090BAD ∠=，3AD BC =，O 是AD 上一点．(1)若//CD PBO 平面，试确定点O 的位置；(2)求证:PAB PCD ⊥平面平面．17．（本小题满分14分）如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中1tan 3α=,在距离O 地a 5（a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=,现有110指挥部紧急征调离O 地正东p 公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时.（1）求S 关于p 的函数关系； （2）当p 为何值时，抢救最及时.OPDCBA第16题BNA OCα东北第17题18．（本小题满分16分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数．（1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设0a b <<，n S 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分） 已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.数学Ⅱ（理科附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA ＝AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，垂足为点C ． 求证：∠ACB ＝31∠OAC ． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ． C ．选修4—3：坐标系与参数方程已知椭圆C 的极坐标方程为2223cos 4sin aρθθ=+，焦距为2，求实数a 的值． D ．选修4—4：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且()0PQ OA λλ=>，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．23．已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x +．设1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++．（1）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值； （2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.答案1．-1； 2．(1,2]； 3．2π； 4．17； 5．2； 6．7500；7．4； 8．360；9； 10．9； 11．2n ；12．)45,1(； 13．1515． 解：（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分 最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<< 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分16．（1） …………7分 （2）……14分17．解：（1）以O 为原点，正北方向为y 轴建立直角坐标系，……… 2分则x y l OA 3:= .设00N x y （，），有05sin 3x a a β==,05cos 4y a a β==, (3,4)N a a ∴.又0B p （，），∴直线BC 的方程为：)(34p x pa ay --=.……… 6分 由⎪⎩⎪⎨⎧--==)(343p x p a a y x y 得C 的纵坐标)35(5312a p a p ap y c >-=，∴2165||,()2353c ap S OB y p a p a ∆=⋅=>-.……… 10分 （2）由（1）得22625353ap ap S p a p a ==--,令5(0)3t p a t =->∴222510402[]933a a S a t a t =++≥， ∴当且仅当,9252ta t =即53a t =,此时103a p =时，上式取等号，……… 13分∴当103ap =公里时，抢救最及时. ……… 14分 18． （1）y x =±（2e ≤≤3）22(2)16x y +-= 19．解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾． 所以｛an ｝不是等比数列．(Ⅱ)解：因为bn +1=(-1)n +1［an +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32an -2n +14) =32(-1)n ·（an -3n +21）=-32bn 又b 1x -(λ+18)，所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +)，此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0，由上可知bn ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +)． 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列． (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n）－（－ λ 要使a <Sn <b 对任意正整数n 成立，即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b (n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a n n λ ① 令2()1()3n f n =--，则 当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当∴f (n )的最大值为f (1)=35，f (n )的最小值为f (2)= 95，于是，由①式得95a <-53(λ+18)<.1831853--<<--⇔a b b λ当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <Sn < b ．20. 解：解析:由f (x ) = x e k x +ln 可得=')(x f xexk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xe xx ln 11--,令0)(='x f 可得1=x ,当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f .于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx e x x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-xe x x x x ,210)(-+<≤ex g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e exx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q ex x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q exx p x , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p e ,令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q ,则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x >0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='x e xx p , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立 综合(1)(2)可知对任意x >0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立.数学Ⅱ（理科附加题）答案A ．证明：连结OE 、AE ，并过点A 作AF ⊥DE 于点F ．∵DE 是圆的一条切线，E 是切点，∴OE ⊥DC ．又∵BC ⊥DE ，∴OE ∥AF ∥BC ．∴∠CAF ＝∠ACB ，∠FAE ＝∠AEO ．∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠EAO ． ∴∠EAO ＝∠FAE ． 5分 又∵点A 是OB 的中点，∴点F 是EC 的中点．∴AE ＝AC ．∴∠CAF ＝∠FAE ．∴∠EAO ＝∠FAE ＝∠CAF ，即∠ACB ＝31∠OAC ． 10分 B ．1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，2111132212143⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ………………4分 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦…………8分 3211,4322x y x x y y +==-⎧⎧∴∴⎨⎨+==⎩⎩，12α-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． (10)分C ．椭圆的普通方程为22134x y a a += ………………5分 由134a a-=，得a =12 ………………10分 D ．因为2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+22222()32()3a b c x a b c x a b c ++=-++++++22223()3a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分所以3a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++，即222m a b c =++，……5分因为23a b c -+=，由柯西不等式得22222221(1)2()(2)9a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++≥-+=⎣⎦，……………………8分 所以2229362m a b c =++≥=， 当且仅当112a b c ==-，即333442a b c ==-=，，时等号成立，所以m 的最小值为32． …………………………………………………………10分22． 解：（1）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+，整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）． · 3分 （2）设221122(,),(,),P x x Q x x 由()0PQ OA λλ=>可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， …………5分直线OP 方程为：1y x x = ①；直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+， ∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+， 即11(2)1y x x x =-+-- ②联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． …………8分由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足2PQA PSM S S ∆∆=，P 的坐标为(1,1)．········ 10分23．解：（1）依题意111()()2k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+，123(),(),()a x a x a x 的系数依次为01n C =，1122n n C ⋅=，221(1)()28n n n C -⋅=， 所以(1)2128n n n -⨯=+，解得8n =； ………4分 （2）1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++0121(2)23(1)n nn n n n n F C C C nC n C -=+++++ 设012123(1)n n n n n n n n S C C C nC n C -=+++++， 则1210(1)32n n n n nn n n S n C nC C C C -=+++++考虑到k n k n n C C -=，将以上两式相加得：01212(2)()n nn n n nn n S n C C C C C -=+++++所以1(2)2n n S n -=+ 又当[0,2]x ∈时，'()0F x ≥恒成立，从而()F x 是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意12,[0,2]x x ∈，112|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-． (10)。
江苏省南京市2013届高三第二次模拟考试物理试题(word版)概要
南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）物理试题第I卷（选择题共 31分）说明：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，所有题目一律在答题纸上相应位置规范作答。
第Ⅰ卷（选择题，共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．如图所示，某同学斜向上抛出一小石块，忽略空气阻力。
下列关于小石块在空中运动的过程中，加速度a随时间t变化的图象中，正确的是2．如图所示，处于真空中的正方体存在着电荷量为＋q或－q的点电荷，点电荷位置图中已标明，则a、b两点电场强度和电势均相同的图是A3．如图所示，A、B为平行板电容器的金属板，G取的措施是A．断开开关S后，将A、B两极板分开一些B．断开开关S后，将A、B两极板靠近一些C．保持开关S闭合，将A、B两极板靠近一些BD ．保持开关S 闭合，将R 上的滑片向右移动 4．已知通电长直导线周围某点的磁感应强度rIkB度B 与导线中的电流I 成正比、与该点到导线的距离r 如图所示，两根平行长直导线相距为R 的电流。
规定磁场方向垂直纸面向里为正，在0-R 强度B 随x 变化的图线可能是5．如图（甲）所示，两段等长细线串接着两个质量相等的小球a 、b ，悬挂于 O 点。
现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在 b 球上的力大小为 F 、作用在 a 球（甲）二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。
每小题有多个选项符合题意。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分。
6．如图所示，线圈与电源、开关相连，直立在水平桌面上。
铁芯插在线圈中，质量较小铝环套在铁芯上。
闭合开关的瞬间，铝环向上跳起来。
则下列说法中正确的是 A ．若保持开关闭合，则铝环不断升高 B ．开关闭合后，铝环上升到某一高度后回落 C ．若保持开关闭合，则铝环跳起到某一高度停留 D ．如果将电源的正、负极对调，还会观察到同样的现象7．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆。
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南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）
数学2013．3
参考公式：锥体的体积公式为1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A={2a
,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12mi
z i
-=
+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．
5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI
共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．
6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____． 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为2
3
π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：2
2
(3)(1)4x y -+-=交
于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______．
9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，若2222
1234
a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．
10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1
()23x f x -=-，则不等式
()1f x >的解集为______________．
11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC
⋅
的值为____．
12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：
22
143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =
，则直线l 的斜率为_____．
14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且
cos 2cos C a c
B b
-=， （1）求B ； （2）若tan()74
A π
+
=，求cos C 的值．
16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．
（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．
17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在 AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．
18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有
212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．
（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求
2
1
a a 的值； （3）已知12,a a a
b ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意
*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>
过点
(,),22
a a
A B ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．
①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点； ②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．
20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12
()02
x x f +'>．。