9.2 两条直线的位置关系练习题
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两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（ 1）平行的判断：①当 l1 , l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1 // l 2k1 k2 , b1 b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1// l 2A1 B2 A2 B1 0,C1B2C2 B10 .（ 2）垂直的判断：①当 l1, l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1l 2l1 : y k1x b1 ,l 2 : y k2 x b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1l 2A1 A2 B1B2 0 .2、两条直线的交点：若 l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C20A1x B1 y C10则 l1 ,l 2的交点为__方程B2 y C2的解 .A2 x03、点到直线的距离：（ 1）点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 Ax By C0 的距离为d Ax0 By0 C0_.A2B2(2) 两平行直线间的距离求法：两平行直线： l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2C2C1.0 ，则距离d dB2A2（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（ 1）已知直线l的方程为3x 4 y 120 ，求与l平行且过点1,3 的直线方程；（ 2）已知直线l1: 2x 3y 100, l2 : 3x 4 y 2 0 ，求过直线 l1和 l2的交点，且与直线 l3 : 3x 2 y 4 0垂直的直线 l 方程.易错笔记：解：（ 1）设与直线 l 平行的直线 l 1 的方程为 3x4 y C 0 ，则点1,3 在直线 3x 4y C 0 上，将点1,3 代入直线 3x 4 yC0 的方程即可得：314 3 C0 ， C9 ，所求直线方程为：3x 4y9 0 .（ 2）设与直线 l 3 : 3x 2y40 垂直的直线 l 方程为： 2 x3yC0 ，Q 方程2x 3 y 10 0x 2的解为：y 2，3x 4 y 2 0直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0 的交点是 2,2 ，直线 l 过直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0的交点 2,2 ，22 3 2 C 0 ， C 2 ， 直线 l 方程为： 2x3y 2 0 .考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为2 m x 1 2m y 4 3m 0 ，(1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程 .解： (1) 设直线方程为2 m x1 2m y4 3m0 过定点A, B ，2 A B 4A 1A2B ，B，32直线方程为2 m x1 2m y 4 3m 0 过定点 1,2 .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b 0 ，x y 直线 l 在 x 轴上的交点坐标为M a,0 ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为设直线 l 的方程为： 1，abN 0,b ，Q 直线 l 夹在两坐标轴间的线段被点1, 2 平分，点1, 2 是线段 MN 的中点，a21a2, b4，，b2 2直线 l 的方程为：x y 2x y 4 0 .21，即4易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3xy 1 0 和直线 6x2 y 1 0 的位置关系是（B）A ．重合B．平行C．垂直D．相交但不垂直2 、点 2,1 到直线 3x4 y 2 0 的距离是（A）A ．4B．5C．4D． 25542543 、如果直线 x 2ay 10 与直线 (3a 1) x ay 1 0 平行，则 a 等于（A）A ． 0B ．1C ． 0 或 1 D． 0 或1661解： 1a 2a 3a 1 0①，且 2a 1a 0 ②，由①得： a 0，由②得： a0 ，a0 .或 a64、若三条直线2x 3y 80, x y 1 0 和 x ky0 相交于一点， 则 k（ B）A ． -2B．1 C． 2D．122解： Q 方程2x 3y 8 0 x1x y1 0 的解为：y，2直线 2x 3y 80, xy 1 0 的交点是 1, 2 ，Q 三条直线 2 x 3 y 8 0, x y 1 0 和 x ky 0 相交于一点1, 2 ，直线 xky 0 过点 1, 2 ，1 k 20 ，k 1，故选 B .25 、已知点 M 4,2 与 M 2,4 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（D）A ． x y 6 0B ． x y 6 0C ． x y 0D ． x y 06、已知直线 3x4 y 3 0 与直线 6 x my 14 0 平行， 则它们间的距离是（ D ）A ．17B． 17C ．8D． 210 5解： Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6x my 140 平行，3m 4 6 0， m 8 ，直线 6xmy 14 0 的方程为 6 x8 y14 0 ，即 3x 4 y 7 0 ，4 143 m直线 3x 4 y 3 0 与直线 3x 4 y 7C 2 C 1 732.0 之间的距离 dA 2B 2 3242Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 x 8y 14 0 的距离等于直线 3x 4y 3 0 与直线 3x 4 y7 0 之间的距离，直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 xmy 14 0 的距离 d C 2 C 1 7 3，故选 D.A 2B 232 242二、填空题7 、如果三条直线l1 : mx y 3 0,l2 : x y 2 0,l3 : 2x y 2 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 _______ .．．8、过点过点2,3且平行于直线 2 x y50的方程为______2 x y70 __________. 2,3且垂直于直线3x 4 y30 的方程为______ 4x 3 y10 __________.分析：设与直线2x y50平行的直线方程为：2x y C0 ，则点2,3 在直线2x y C0 上，将点2,3代入直线 2 x y C0的方程即可得：223C0 ，C7 ，所求直线方程为：2x y 7 0 .分析：设垂直于直线3x4y30 的方程为： 4x3y C0 ，则点2,3在直线4x3y C0 上，将点2,3代入直线4x 3 y C0的方程即可得： 4 233C0 ，C1，所求直线方程为：4x 3y10.9、已知直线l13l2 A 1,2 B 2, a l 1// l 2，a _ 3 _l1l2，则 a5__.的斜率为经过点，若直线，直线，；若3当直线 l1// l 2时： Q 直线 l1的斜率： k13，且直线 l1// l 2，直线 l2的斜率 k2k1 3 ，Q 直线 l 2经过点 A 1,2， B 2, a ，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a23，x2x121a 5 .当直线 l1l2时，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l 2的斜率为 k2，则直线 l1的斜率： k13， Q 直线 l 1l 2，k1k2 1 ，直线 l2的斜率 k211k1，3又Q 直线 l2经过点 A1,2， B 2,a，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a2 1 ，x2x1213 5a.310、设直线l1:3 x 4 y20,l2 :2x y20,l3 :3 x4y20 ，则直线l1与l2的交点到l3的距离为 __12__.5解： Q 方程3x 4 y20x2，2x y2的解为：y 2直线 2x3y80, x y10 的交点是2,2，点2,2 到直线l3的距离为：d Ax0By0C3 2 4 2 212 .A2B23242511、过点 A1,2，且与原点距离等于2的直线方程为 x y30或 7x y90．2解：设所求直线的斜率为 k ，则Q直线过点A1,2，方程为y2k x1k x1，即kx y k20 ，直线到原点的距离为： d Ax0By0 C k 0 1 0 k 2k 2 2，A2B2 1 2 1 2k 2k 2222k 222 1 ，k28k7 0 ，k1或 k7 ，k 2122所求直线的方程为： x y 3 0 或 7x y9 0 ．三、解答题12、已知直线 l 1 : x my 60,l 2 : m 2 x 3y 2m 0，求 m 的值，使得 (1)l 1 和 l 2 相交；（ 2） l 1l 2 垂直； (3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和 l 2 重合 .解： (1) Q l 1 和 l 2 相交， m m 2 1 3 0 ，m 1．(2) Q l 1l 2 垂直，1 m 2m 3 0 ，m1.2(3)Ql 1 // l 2 ，m m 21 3 0 12m m 360 2，由（ 1）得： m3 或 m1，由（ 2）得： m3 ， m 1.(4) Q l 1 和 l 2 重合， m m 213 0 12m m3 6 0 2，由（ 1）得： m 3 或 m1m 3 或 m3，，由（ 2）得：当 m 3 ，或 m3 ，或 m 1时， l 1 和 l 2 重合 .13、已知直线 l 过点 1,2 ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点A 、 By（1）、求 AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；B(1,2)（2 ）、在（ 1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程 .解：（ 1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b0 ，OAx设直线 l 的方程为：x y1，Q 直线 l 过点 1,2 ，ab 1 211①， QAOB面积为4a bab 4②，由①、②得： a 2， b4，，1a b22 直线 l 的方程为：x yy 40 .21，即 2x4（ 2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l 1 ，斜率为 k 1 ，直线 l 1 过原点 O 0,0 ，Q 直线 l 的方程为： 2x y 4 0 ， 边 AB 所在的直线方程为： 2xy 4 0 ，斜率为斜率 k2 ，Q ll 1 ，k k 11 ，k 11 1 1， Q 直线 l 1 过原点 O 0,0 ，1k2 2直线 l 1 的方程为： yx 0 ，即 x 2y 0 . 综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x 2 y 0 .2。
两直线的位置关系题目
两直线的位置关系题目
1. 已知直线y = 2x + 1和直线y = -3x + 4，请问这两条直线是
否平行？
2. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们的位置关系。
3. 已知两条直线的方程分别为2x - 3y = 6和4x + 5y = 10，请
问它们的位置关系是相交、平行还是重合？
4. 给出两条平行直线的方程，请求它们的间距。
5. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们是否相交，并求出相交点的坐标。
6. 给出两条直线的斜率和截距，判断它们是否垂直。
7. 已知两直线的方程分别为y = 3x - 2和y = -1/3x + 4，请问它
们的位置关系是相交还是平行？
8. 给出两条直线的截距和过一个点的斜率，判断它们是否相交。
9. 给出两条直线的斜率和过两个不同点的截距，判断它们是否相交。
10. 给出两条直线的截距和斜率，判断它们是否平行或重合。
两条直线的位置关系综合练习题及标准答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一)知识梳理:１、两直线的位置关系（1)平行的判断：①当21,l l 有斜截式（或点斜式)方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=,则⇔21//l l 1212,k k b b =≠ .②当21,l l 有一般式方程:0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，则⇔21//l l 122112210,0A B A B C B C B -=-≠ .（2)垂直的判断:①当21,l l 有斜截式（或点斜式）方程222111:,:b x k y l b x k y l +=+=，则⇔⊥21l l 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ．②当21,l l 有一般式方程：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ,则⇔⊥21l l 12120A A B B += .2、两条直线的交点:若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l则21,l l 的交点为＿_方程11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解. 3、点到直线的距离：(１)点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0Ax By C ++=的距离为d =＿． （2)两平行直线间的距离求法：两平行直线:1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则距离d d ==（二)例题讲解：考点1：直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线l 的方程为34120x y +-=,求与l 平行且过点()1,3-的直线方程；（2)已知直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=,求过直线1l 和2l 的交点,且与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程.易错笔记：解:（1）设与直线l 平行的直线1l 的方程为340x y C ++=,则点()1,3-在直线340x y C ++=上,将点()1,3-代入直线340x y C ++=的方程即可得:()31430C ⨯-+⨯+=，∴9C =-，∴所求直线方程为：3490x y +-=.(2)设与直线3:3240l x y -+=垂直的直线l 方程为：230x y C ++=,方程231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为:22x y =-⎧⎨=⎩, ∴直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点是()2,2-,∴直线l 过直线12:23100,:3420l x y l x y -+=+-=的交点()2,2-，∴()22320C ⨯-+⨯+=，∴2C =-,∴直线l 方程为:2320x y +-=.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=,(1）求证：无论m 取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分,求这条直线方程.解：(1)设直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点(),A B ,∴2423A B A B +=-⎧⎨-=⎩,∴12A B =-⎧⎨=-⎩, ∴直线方程为()()212430m x m y m ++-+-=过定点()1,2--.(2） 由题意知，直线l 在x 轴上的截距0a ≠,在y 轴上的截距0b ≠，∴设直线l 的方程为:1x y a b+=,∴直线l 在x 轴上的交点坐标为(),0M a ，直线l 在y 轴上的交点坐标为()0,N b ,直线l 夹在两坐标轴间的线段被点()1,2--平分，∴点()1,2--是线段MN 的中点, ∴012022a b +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，∴2,4a b =-=-, ∴直线l 的方程为：124x y +=--,即240x y ++=. 易错笔记:。
9.2 两条直线的位置关系 练出高分(含答案解析)
§9.2 两条直线的位置关系A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0答案 A解析 由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2． (2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．3． 从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4． 已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若不同两点 P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________． 答案 －1解析 由题可知k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，又k l k PQ ＝－1⇒k l ＝－1.6． 若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．答案 1解析 由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1.7． 若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________． 答案 ①⑤解析 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合． 三、解答题(共22分)8． (10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)． 即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得：k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.9． (12分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a ＋b (a －1)＝0，∴b ＝a1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是 ( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析 由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．2． 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光 线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5答案 A解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210. 3． 过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0答案 A解析 所求直线与直线OA 垂直，∵k OA ＝2， ∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________． 答案 18解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.5． 一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________． 答案 x －2y ＋7＝0解析 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )， 则⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5，∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4， ∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)， ∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上， 其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.6． 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________． 答案 12解析 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a2＋b ≥2ab2， 所以1≥2ab 2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫1，12时，ab 取得最大值12. 三、解答题7． (13分)如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线， 垂足分别为M ，N . (1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． (1)证明 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1. (2)解 直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM | ＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0 ＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2.。
9.2 两条直线的位置关系 高三数学总复习讲义Word版含答案
§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 知识拓展 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ ) 题组二 教材改编2．[P110B 组T2]已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．[P101A 组T10]已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1. 题组三 易错自纠4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______． 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的位置关系典例 (2018·青岛模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0. ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**) 由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.题型二 两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____． 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB . ∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.2．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________________． 答案 x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d ＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．2 5答案 C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题典例 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3(2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案 4x －3y ＋9＝01．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 故选C.2．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1， 解得a ＝－1，故选C.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州一模)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.故选B.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B ．4 2 C.823 D ．2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)答案 B解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．(2017·浙江嘉兴一中月考)已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．13．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4) D ．(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.14．(2017·岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．答案 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．15.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是______________． 答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4，∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18. ∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.。
9-2第2讲-两条直线的位置关系习题有答案
第2讲 两条直线的位置关系基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是________．解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2且k 1k 2≠－1. 答案 相交但不垂直2．(2017·盐城中学模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．解析 依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1.答案 充要3．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________．解析设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．答案 (0,3)4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析 法一 由⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y＝37－197x＝－319x，即3x＋19y＝0.法二设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 3x ＋19y ＝05．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝06．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案 －97．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________． 解析 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点为N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.答案 y ＝2x －38．(2017·无锡模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝________.解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案1729．(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 答案 (1，3)10．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为________．解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0. 答案 x ＋2y －4＝011．(2017·南京师大附中)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝012．(2017·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x－y－6＝0.答案6x－y－6＝0能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2017·南京模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则MP2＋MQ2的值为________．解析由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ为直径的圆上，∵PQ＝9＋1＝10，∴MP2＋MQ2＝PQ2＝10.答案1014．如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．解析易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离，于是A1A2＝4＋22＋2－02＝210.答案21015．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．解析易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，∴PA·PB≤PA2＋PB22＝AB22＝102＝5.当且仅当PA ＝PB 时，等号成立． 答案 516．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析 设平面上任一点M ，因为MA ＋MC ≥AC ，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理MB ＋MD ≥BD ，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若MA ＋MC ＋MB ＋MD 最小，则点M 为所求．∵k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.① 又∵k BD ＝5－－11－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.② 由①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2,4)．答案 (2,4)（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高考数学 9-2 两条直线的位置关系配套课时作业 理
【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-2 两条直线的位置关系配套课时作业 理 新人教A 版一、选择题1．(2012年茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．(2012年浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：A4．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －7＝0D ．2y －x －4＝0解析：由题意得A (－1,0)、P (2,3)、B (5,0)， 由两点式，得PB 方程为x ＋y －5＝0. 答案：B5．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，所以交点在第二象限． 答案：B6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为 A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.答案：A 二、填空题7．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案：358．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝|c2＋1|13.解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±19．(2012年武汉调研)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，若其欧拉线方程为：x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标是________．解析：AB 的中点坐标为(1,2)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝12x ＋32，将其与欧拉线方程联立，解得外心(－1,1)． 设C (a ，b )，则重心⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 3，4＋b 3，有2＋a 3＋2＝4＋b 3与(a ＋1)2＋(b －1)2＝(2＋1)2＋(0－1)2＝10， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4(不合题意，舍去)．即C (－4,0)．答案：(－4,0) 三、解答题10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.12．(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程； (3)求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点的坐标． 解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝－3，2＋y2＝4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6，故所求的对称点的坐标为C (－9,6)．(2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上，∴3(4－x )－(－2－y )－4＝0. ∴3x －y －10＝0.∴所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4)．[热点预测]13．(1)(2012年河北质检)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF 的中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关(2)一条光线经过点P (2,3)射在直线x ＋y ＋1＝0上，反射后，经过点A (1,1)，则光线的入射线和反射线所在的直线方程分别为________．解析：(1)设M 点关于原点的对称点为M ′，N 点关于原点的对称点为N ′，易知点M ′、N ′在正六边形的边上．当直线l 在某一个确定的位置时，对应有一个t 值，那么易得直线M ′N ′的斜率仍为k ，对应的直线M ′N ′在y 轴上的截距为－t ，显然△OMN 的面积等于△OM ′N ′的面积，因此函数S ＝f (t )一定是偶函数，选B.(2)入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于直线x ＋y ＋1＝0对称，设点P 关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为Q (x 0，y 0)，因此PQ 的中点在直线x ＋y ＋1＝0上，且PQ所在直线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－3x 0－2－＝－1，x 0＋22＋y 0＋32＋1＝0，解得Q (－4，－3)，∵反射光线经过A 、Q 两点，∴反射光线所在直线的方程为4x －5y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，4x －5y ＋1＝0，得反射点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.入射光线经过P 、R 两点，∴入射光线所在直线的方程为5x －4y ＋2＝0. 故填5x －4y ＋2＝0；4x －5y ＋1＝0.答案：(1)B (2)5x －4y ＋2＝0；4x －5y ＋1＝0。
高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系(含答案)
高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系（含答案）9.2两条直线的位置关系两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式.点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系.两点间的距离.点到直线的距离.两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆.椭圆.双曲线.抛物线交汇考查题型主要以选择.填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解2几种距离1两点P1x1，y1，P2x2，y2之间的距离|P1P2|x2x12y2y12.2点P0x0，y0到直线lAxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2.3两条平行线AxByC10与AxByC20其中C1C2间的距离d|C1C2|A2B2.知识拓展1直线系方程1与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0mR且mC2与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0nR2两直线平行或重合的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1A1xB1yC10与l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R，但不包括l2.5点到直线.两平行线间的距离公式的使用条件1求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式2求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.2如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.3已知直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数，若直线l1l2，则A1A2B1B20.4点Px0，y0到直线ykxb的距离为|kx0b|1k2.5直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离6若点A，B关于直线lykxbk0对称，则直线AB的斜率等于1k，且线段AB的中点在直线l上题组二教材改编2P110B组T2已知点a,2a0到直线lxy30的距离为1，则a等于A.2B22C.21D.21答案C解析由题意得|a23|111.解得a12或a12.a0，a12.3P101A组T10已知P2，m，Qm,4，且直线PQ垂直于直线xy10，则m________.答案1解析由题意知m42m1，所以m42m，所以m1.题组三易错自纠4xx郑州调研直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则m等于A2B3C2或3D2或3答案C解析直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则有2mm1342，故m2或3.故选C.5直线2x2y10，xy20之间的距离是______答案324解析先将2x2y10化为xy120，则两平行线间的距离为d2122324.6若直线3a2x14ay80与5a2xa4y70垂直，则a________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得3a25a214aa40，解得a0或a1.题型一题型一两条直线的位置关系两条直线的位置关系典例xx青岛模拟已知两条直线l1axby40和l2a1xyb0，求满足下列条件的a，b的值1l1l2，且l1过点3，1；2l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解1由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点3，1，3a40，即a43矛盾，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab1a1.*又l1过点3，1，3ab40.**由***联立，解得a2，b2.2l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即ab1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4bb，联立，解得a2，b2或a23，b2.a2，b2或a23，b2.思维升华1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行.垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练已知直线l1ax2y60和直线l2xa1ya210.1试判断l1与l2是否平行；2当l1l2时，求a的值解1方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1不平行于l2；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1ya2x3，l2y11axa1，l1l2a211a，3a1，解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得aa1120，由A1C2A2C10，得aa21160，l1l2aa1120，aa21160，a2a20，aa216，可得a1，故当a1时，l1l2.2方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1ya2x3，l2y11axa1，由a211a1，得a23.方法二由A1A2B1B20，得a2a10，可得a23.题型二题型二两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题1已知直线ykx2k1与直线y12x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_____答案16，12解析方法一由方程组ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1.若2k10，即k12，则两直线平行交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.方法二如图，已知直线y12x2与x轴.y轴分别交于点A4,0，B0,2而直线方程ykx2k1可变形为y1kx2，表示这是一条过定点P2,1，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上不包括端点，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA16，kPB12.16k12.2若直线l过点P1,2且到点A2,3和点B4,5的距离相等，则直线l的方程为________________________答案x3y50或x1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1||3k3|，k13.直线l的方程为y213x1，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB13，直线l的方程为y213x1，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为1,4直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华1求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三题型三对称问题对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P0,1作直线l，使它被直线l12xy80和l2x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________答案x4y40解析设l1与l的交点为Aa,82a，则由题意知，点A关于点P的对称点Ba,2a6在l2上，代入l2的方程得a32a6100，解得a4，即点A4,0在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A4,0，B0,4，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A33B6C210D25答案C解析直线AB的方程为xy4，点P2,0关于直线AB的对称点为D4,2，关于y轴的对称点为C2,0，则光线经过的路程为|CD|6222210.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l2x3y10，求直线m3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M2,0，则M2,0关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点Ma，b，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，M613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x3y10，3x2y60，得N4,3又直线m经过点N4,3，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法1中心对称点Px，y关于Qa，b的对称点Px，y满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称点Aa，b关于直线AxByC0B0的对称点Am，n，则有nbmaAB1，Aam2Bbn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练已知直线l3xy30，求1点P4,5关于l的对称点；2直线xy20关于直线l对称的直线方程；3直线l关于1,2的对称直线解1设Px，y 关于直线l3xy30的对称点为Px，y，kPPkl1，即yyxx31.又PP的中点在直线3xy30上，3xx2yy230.由得x4x3y95，y3x4y35.把x4，y5代入得x2，y7，点P4,5关于直线l的对称点P的坐标为2,72用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得7xy220.3在直线l3xy30上取点M0,3，关于1,2的对称点Mx，y，x021，x2，y322，y1，M2,1l关于1,2的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13x2，即3xy50.妙用直线系求直线方程一.平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1求与直线3x4y10平行且过点1,2的直线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0c1规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0c1，又因为直线过点1,2，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二.垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A2,1，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A2,1，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三.过直线交点的直线系典例3xx湖南东部校联考经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为____________思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解解析方法一由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79，即交点为53，79，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k43.由点斜式得所求直线方程为y7943x53，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40，可解得交点为53，79，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为2x3y1x3y40，即2x33y140，又所求直线与直线3x4y70垂直，324330，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y901直线2xym0和x2yn0的位置关系是A平行B 垂直C相交但不垂直D不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k212，则k1k2，且k1k21.故选C.2xx邢台模拟“a1”是“直线ax3y30和直线xa2y10平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，直线ax3y30和直线xa2y10平行的充要条件是aa231，a131，解得a1，故选C.3从点2,3射出的光线沿与向量a8,4平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80答案A解析由直线与向量a8,4平行知，过点2,3的直线的斜率k12，所以直线的方程为y312x2，其与y轴的交点坐标为0,2，又点2,3关于y轴的对称点为2,3，所以反射光线过点2,3与0,2，由两点式知A正确4xx兰州一模一只虫子从点O0,0出发，先爬行到直线lxy10上的P点，再从P点出发爬行到点A1，1，则虫子爬行的最短路程是A.2B2C3D4答案B解析点O0,0关于直线xy10的对称点为O1,1，则虫子爬行的最短路程为|OA|1121122.故选B.5若直线l1xay60与l2a2x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为A.423B42C.823D22答案C解析l1l2，a2且a0，1a2a362a，解得a1，l1与l2的方程分别为l1xy60，l2xy230，l1与l2的距离d6232823.6若直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2经过定点A0,4B0,2C2,4D4，2答案B解析直线l1ykx4经过定点4,0，其关于点2,1对称的点为0,2，又直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，故直线l2经过定点0,27若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为________答案9解析由y2x，xy3，得x1，y2.点1,2满足方程mx2y50，即m12250，m9.8将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点m，n重合，则mn________.答案345解析由题意可知，纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点7,3与点m，n连线的中垂线，于是3n227m23，n3m712，解得m35，n315，故mn345.9xx浙江嘉兴一中月考已知直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，若l1l2，则a________，此时点P的坐标为________答案13,3解析直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，且l1l2，a11a20，即a1，联立方程xy60，xy0，易得x3，y3，P3,310已知直线l1axy10，直线l2xy30，若直线l1的倾斜角为4，则a________；若l1l2，则a________；若l1l2，则两平行直线间的距离为________答案1122解析若直线l1的倾斜角为4，则aktan41，故a1；若l1l2，则a1110，故a1；若l1l2，则a1，l1xy10，两平行直线间的距离d|13|1122.11已知方程2x1y2320与点P2,21证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；2证明该方程表示的直线与点P的距离d小于42.1解显然2与1不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6xy40，2xy60，xy40，解得x2，y2，故直线经过的定点为M2，22证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ||PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ||PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|42，|PQ|0，c0恒过点P1，m且Q4,0到动直线l的最大距离为3，则12a2c的最小值为________答案94解析因为动直线laxbyc20a0，c0恒过点P1，m，所以abmc20，又Q4,0到动直线l的最大距离为3，所以412m23，解得m0.所以ac2，则12a2c12ac12a2c1252c2a2ac12522c2a2ac94，当且仅当c2a43时取等号15.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为________答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设Ba，2，Cb,3ACAB，ab60，ab6，b6a.RtABC 的面积S12a24b2912a2436a2912729a2144a21272726当且仅当a24时取等号16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点2,3对称，则直线l的方程是______________答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1ykx35b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为ykx31b52，即ykx34kb，b34kb，解得k34，直线l的方程为y34xb，直线l1为y34x114b，取直线l上的一点Pm，b3m4，则点P关于点2,3的对称点为4m，6b3m4，6b3m4344mb114，解得b18.直线l的方程是y34x18，即6x8y10.。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
则 l , l 的交点为__方程 ⎨ 的解.A x +B y +C = 0⎩ A 2+ B 2_.+ B两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l // l ⇔k = k , b ≠ b .1 21212②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l // l ⇔A B - A B = 0, C B - C B ≠ 0 .1 21 22 11 22 1（2）垂直的判断：①当 l , l 有斜截式（或点斜式）方程 l : y = k x + b , l : y = k x + b ，1 2111222则 l ⊥ l ⇔l : y = k x + b , l : y = k x + b .1 2111222②当 l , l 有一般式方程： l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 0 ，1 211112222则 l ⊥ l ⇔ A A + B B = 0 .1 21 21 22、两条直线的交点：若 l : A x + B y + C = 0, l : A x + B y + C = 01 1112222⎧ A x + B y + C = 01 1 1 12 2 2 23、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P( x , y ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =0 0(2)两平行直线间的距离求法：Ax + By + C0 0 0两平行直线： l : Ax + By + C = 0, l : Ax + By + C = 0 ，则距离 d = d =1122C - C2 1A 2 2.（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（1）已知直线 l 的方程为 3x + 4 y - 12 = 0 ，求与 l 平行且过点 (-1,3 ) 的直线方程；（2）已知直线 l : 2 x - 3 y + 10 = 0, l : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线 l 和 l 的交点，且与直线l : 3x - 2 y + 4 = 0 12123垂直的直线 l 方程.⎩y=2⎧∴⎨，∴⎨，A-2B=3B=-2∴设直线l的方程为：x+=1，∴直线l在x轴上的交点坐标为M(a,0)，直线l在y轴上的交点坐标为⎧a+0⎪⎪2∴⎨，∴a=-2,b=-4，⎪=-2∴直线l的方程为：x易错笔记：解：（1）设与直线l平行的直线l的方程为3x+4y+C=0，则点(-1,3)在直线3x+4y+C=0上，将点1(-1,3)代入直线3x+4y+C=0的方程即可得：3⨯(-1)+4⨯3+C=0，∴C=-9，∴所求直线方程为：3x+4y-9=0.（2）设与直线l:3x-2y+4=0垂直的直线l方程为：2x+3y+C=0，3方程⎨2x-3y+10=0⎩3x+4y-2=0⎧x=-2的解为：⎨，∴直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点是(-2,2)，12∴直线l过直线l:2x-3y+10=0,l:3x+4y-2=0的交点(-2,2)，12∴2⨯(-2)+3⨯2+C=0，∴C=-2，∴直线l方程为：2x+3y-2=0.考点2：直线的交点问题例2、已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0，(1)求证：无论m取何值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(A,B)，⎧2A+B=-4⎧A=-1⎩⎩∴直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0过定点(-1,-2).(2)由题意知，直线l在x轴上的截距a≠0，在y轴上的截距b≠0，ya bN(0,b)，直线l夹在两坐标轴间的线段被点(-1,-2)平分，∴点(-1,-2)是线段MN的中点，=-10+b⎪⎩2y+=1，即2x+y+4=0.-2-4易错笔记：B ．C ．D ．5 25A ．0B ． 11 0解： 方程 ⎨⎧2 x + 3 y + 8 = 0 ⎩ x - y - 1 = 0 ⎩ y = -2∴ 直线 x + ky = 0 过点 (-1, -2)，∴ -1 + k (-2) = 0 ，∴ k = - ，故选 B .A ． 17⎪⎩4 ⨯14 - (-3)m ≠ 0 ，∴ m = 8 ，∴ 直线 6 x + my + 14 = 0 的方程为 6 x + 8 y + 14 = 0 ，即 3x + 4 y +7 =0 ，离，∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - -3 = 2 ，故选 D.（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y + 1 = 0 和直线 6 x + 2 y + 1 = 0 的位置关系是（ B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点 (2,1 ) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（ A ）A ． 4 4 255 4 43、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线 (3a - 1) x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（ A ）D ．0 或16C ．0 或 16解： 1⋅ (-a )- 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (- )- (-a ) ≠ ②，由①得：a = 0 或 a =16，由②得：a ≠ 0 ，∴ a = 0 .4、若三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（ B ）A ．-2B ． - 1C ．2D ． 12 2⎧ x = -1 的解为： ⎨ ，∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-1, -2)，三条直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点 (-1, -2)，1 25、已知点 M (4,2 )与 M (2,4 )关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（ D ）A ． x + y + 6 = 0B ． x + y - 6 = 0C ． x + y = 0D ． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，则它们间的距离是（ D ）17B ．C ．8D ．210 5解： 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + my + 14 = 0 平行，⎧⎪3m - 4 ⨯ 6 = 0 ∴⎨∴ 直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离 d = C 2 - C 1 = 7 - (-3) = 2 .A 2 +B 232 + 42直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 6 x + 8 y + 14 = 0 的距离等于直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线 3x + 4 y + 7 = 0 之间的距( )A 2 +B 232 + 42二、填空题一个值是_______. 9、已知直线 l 的斜率为 3，直线 l 经过点 A (1,2 ) ，B (2, a )，若直线 l // l ，a = _ 3 _；若 l ⊥ l ，则 a = __ __.3x - x k x - x 5解： 方程 ⎨的解为： ⎨ ， 2 x + y + 2 = 0 y = 2=3⨯(-2)-4⨯2+232 + (-4)2 =) A 2 + B 2 = = ⎪ 7、如果三条直线 l : mx + y + 3 = 0,l : x - y - 2 = 0,l : 2x - y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么 m 的12 3．．8、过点 (2,3 )且平行于直线 2 x + y - 5 = 0 的方程为______ 2 x + y - 7 = 0 __________.过点 (2,3 )且垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为______ 4 x - 3 y + 1 = 0 __________.分析：设与直线 2 x + y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2 x + y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 2 x + y + C = 0 上， 将点 (2, 3)代入直线 2 x + y + C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 + C = 0 ， ∴ C = -7 ，∴ 所求直线方程为：2 x + y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线 3x + 4 y - 3 = 0 的方程为：4 x - 3 y + C = 0 ，则点 (2,3 )在直线 4 x - 3 y + C = 0 上，将点 (2,3 )代入直线 4 x - 3 y + C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = 1 ，∴ 所求直线方程为： 4 x - 3 y + 1 = 0 .51 2 1 2 1 2当直线 l // l 时： 直线 l 的斜率： k = 3 ，且直线 l // l ，∴ 直线 l 的斜率 k = k = 3 ，1 21112221直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 = 2 2 2 21∴ a = 5 .当直线 l ⊥ l 时，设直线 l 的斜率为 k ，直线 l 的斜率为 k ，121122a - 2 2 - 1= a - 2 = 3 ，则直线 l 的斜率： k = 3 ，直线 l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ 直线 l 的斜率 k = -1111 2 1 2 2 2 11=- ，3又 直线 l 经过点 A (1,2 ) ， B (2, a )，∴ 直线 l 的斜率 k = y 2 - y 1 =2 2 2 2 1a - 2 1= a - 2 = - ， 2 - 1 35∴ a = .310、设直线 l :3 x + 4y - 2 = 0,l : 2x + y + 2 = 0,l :3 x - 4y + 2 = 0 ，则直线 l 与 l 的交点到 l 的距离为__ 12 __.12 3 1 2 3⎧3x + 4 y - 2 = 0 ⎧ x = -2⎩ ⎩∴ 直线 2 x + 3 y + 8 = 0, x - y - 1 = 0 的交点是 (-2,2 )，∴ 点 (-2,2 )到直线 l 的距离为：3d = Ax 0 + By 0 + C12 .511、过点 A (-1,2 )，且与原点距离等于 22的直线方程为 x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．解：设所求直线的斜率为 k ，则kx - y + k + 2 = 0 ，直 线 过 点 A (-1, 2 ， ∴ 方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k (x + 1) ， 即∴ 直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d = Ax 0 + By 0 + C k ⋅ 0 - 1⋅ 0 + k + 2 k 2 + (-1)2 = k + 2 k 2 + (-1)2 = 22 ，(k + 2)2 ⎛ 2 ⎫2 k 2 + (-1)2 ⎝ 2 ⎭ =12，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ，(2 ) ， ⎪⎩2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 ≠ 0⎪⎩ 2m ⋅ m - 3 ⨯ 6 = 0 (2 )∴ 1 a b ∆AOB 面积为 4，∴ = = ， 直线 l 过原点 O (0,0 )， k -2 2∴ 所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或 7 x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线 l : x + m y + 6 = 0,l : (m - 2)x + 3y + 2m = 0 ，求 m 的值，使得 12(1) l 和 l 相交；（2） l ⊥ l 垂直；(3) l // l ； (4) l 和 l 重合. 1 21 2 1 2 1 2解：(1)l 和 l 相交，∴ m (m - 2)-1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1．1 2(2)(3)l ⊥ l 垂直，∴ 1⋅ (m - 2)+ m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 1 2 ⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l // l ，∴ ⎨1 2 1 2.由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.(4)⎧⎪m (m - 2)- 1⨯ 3 = 0 (1)l 和 l 重合，∴ ⎨ ， 1 2由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ，∴ 当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 和 l 重合.1 2y13、已知直线 l 过点 (1,2 ) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 BB（1）、求 ∆AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；(1,2)AOx（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线 l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距 b > 0 ，x y∴ 设直线 l 的方程为： + a b= 1 ， 直线 l 过点 (1,2 ) ，2 + = 1①， 1 1a b = ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ，2 2x y∴ 直线 l 的方程为： + = 1 ，即 2 x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l ，斜率为 k ，直线 l 过原点 O (0,0 )，111直线 l 的方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，∴ 边 AB 所在的直线方程为： 2 x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ，l ⊥ l ，∴ k ⋅ k = -1 ，∴ k =1 1 1 -1 -1 11∴ 直线 l 的方程为：y - 0 = 1 1 (x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x - 2 y = 0 .2。
七年级数学下册《两条直线的位置关系》练习题及答案(北师大版)
七年级数学下册《两条直线的位置关系》练习题及答案(北师大版) 一选择题（共10小题）1. 如图一块含角的直角三角板的直角顶点在直线上且则等于A. B. C. D.2. 两条直线的位置关系可以是A. 平行或垂直B. 相交或垂直C. 平行或相交D. 以上都不正确3. 如图所示将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上如果那么等于A. B. C. D.4. 如图那么A. B. C. D.5. 如图直线相交于点那么直线与的夹角的大小为A. B. C. D.6. 平面内不重合的两条直线的位置关系有A. 平行和垂直B. 相交和平行C. 相交和垂直D. 以上都不对7. 如图所示那么与相等的角有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 下列说法错误的是A. 不相交的两条直线叫做平行线B. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短C. 平行于同一条直线的两条直线平行D. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9. 如图所示直线为直线上两点为直线上两点与交于点则图中面积相等的三角形有A. 对B. 对C. 对D. 对10. 在同一平面内有条直线如果依此类推那么与的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 垂直或平行D. 重合二填空题（共6小题）11. 如图所示与相交所成的四个角中的邻补角是的对顶角是．12. 如图的网格纸中．13. 如图（1）若则；（2）若则．14. 如图则．15. 如图直线与相交所成的四个角中的对顶角是的邻补角是图中对顶角有对邻补角有对．16. 如图所示分别交于两点为的延长线．若则．三解答题（共5小题）17. 如图和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们是什么角?和是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们是什么角?18. 把图中的互相平行的线写出来互相垂直的线写出来：19. 如图①所示都是直角．（1）试猜想和在数量上是否存在相等互余或互补关系?你能说明你猜想的正确性吗?（2）当绕点旋转到如图②所示的位置时你的猜想还成立吗?20. 已知一个角的补角是这个角的余角的倍求这个角21. 如图为直线上一点平分．（1）的度数；（2）推测与的位置关系并说明理由．参考答案1. A2. D3. B4. C5. C6. B7. B8. A9. C10. A11.12.13.14.15.16.17. 和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线被直线所截形成的同位角．18. ；．19. （1）与互补．理由如下：即所以与互补．（2）与互补仍然成立．理由如下：都是直角所以即与互补．20. ．21. （1）因为所以．（2）位置关系：．因为平分所以.所以.。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l i」2有斜截式（或点斜式）方程h : y = ：y = k?x • b2，则1l//* 二 _k i =k2,b i =6丄②当h, l2有一般式方程：l1: A1x B1y G = 0,12: A2x B2y C2= 0，则h // 丨2 = _ AB2「民 3 = 0,C1B2「C2B^- 0 .（2）垂直的判断：①当丨1,丨2有斜截式（或点斜式）方程丨 1 : y二«x • 4,丨 2 : y二k?x • b2，贝V h _ 丨2 = — 11: y = k1x d,丨2: y = k2x b2_•②当丨1,丨2有一般式方程：丨1 ： Ax B』C = 0,丨 2 : A?x B?y C2 = 0 ,则h _ 丨2二_ AA B1B2=0丄2、两条直线的交点：右丨 1 : A1X ' B1 y ' C1 —0, 1 2 : A2X ' B2 y ' C2 —0l A,x B1y C^ 0 sr则11,12的交点为方程2 1的解.Ax B?y C2 =03、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点P（x°,y°）到直线Ax + By+C=0的距离为^l Ax^By^C J _.JA2十B2（2）两平行直线间的距离求法：一|c2-C」两平行直线：11: Ax By C^0,12: Ax By C^0，则距离d = d 2.VA2+ B2（二）例题讲解：考点1 :直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线丨的方程为3x 4y -1^0，求与丨平行且过点-1,3的直线方程；（2）已知直线h :2x-3y • 10 =0,丨 2 ：3x • 4y-2 =0，求过直线11和丨2的交点，且与直线l3：3x-2y ' 4 = 0 垂直的直线I方程•易错笔记：解：（1 ）设与直线I平行的直线h的方程为3x・4y・C=0，则点-1,3在直线3x 4y ^0上，将点-1,3代入直线3x 4y C =0的方程即可得：3 -1 4 3^0，C - -9，所求直线方程为：3x 4y -9 =0.（2）设与直线|3:3x -2y 4=0垂直的直线I方程为：2x 3y ^0，方程2x-3y 10-0的解为：x=—2 彳，3x +4y-2 =0 “2.直线h：2x-3y 10=0」2：3x 4y-2=0 的交点是-2,2 ，.直线I 过直线h :2x-3y 10 =0,l2 ：3x 4y-2 =0的交点-2,2，2 -23 2 C =0，C - -2，直线I 方程为：2x 3y-2=0.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为2 • m x • 1 - 2m y • 4 - 3m = 0，（1）求证：无论m取何值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程解：（1）设直线方程为2A B 二-4 2 m x 亠〔1 -2m y 4 -3m = 0过定点A, B ，A= -1A -2B =3 8 = -2-直线方程为2 m x ^2m y • 4 - 3m = 0过定点-1, -2 .⑵由题意知，直线I在x轴上的截距a = 0，在y轴上的截距b = 0，■设直线I的方程为：- —=1，-直线1在x轴上的交点坐标为M a,0，直线I在y轴上的交点坐标为a bN 0,b，直线I夹在两坐标轴间的线段被点-1, -2平分, •点-1, -2是线段MN的中点,口「120 b22直线I的方程为：易错笔记：——=1，即2x y 4=0. -2 -4(三) 练习巩固:、选择题1、直线3x y ^0和直线6x 2y ^0的位置关系是；直线3x ，4y -3 =0与直线6x 8y 1^0的距离等于直线 3x ，4y -3 =0与直线3x 4y 0之间的距A .重合B.平行C2、点21到直线3x -4y • 2 =0的距离是A. 4B. 554.相交但不垂直± D 2525 4 3、如果直线x - 2ay =0与直线(3a -1)x - ay -1 =0平行,则a 等于 .0或丄61解：1 人—a ；-2a 3a -1 = 0①，且 2a 1i • a 0 ②，由①得：a =0或 a,由②得：a = 0 , a = 0.6A. 0C. 0 或 1 D4、若三条直线2x 3y • 8 = 0, x 「y 「1 = 0和x ky =0相交于一点，则k 二A. -2解：；方程2x 3y ^0的解为:_y _1 =0x =—1y 一2■直线 2x • 3y • 8 = 0,x - y -1 = 0 的交点是 -1, -2 ,三条直线 2x 3y 8=0,x -y 「1=0 和 x ky = 0 相交于一点 -1,-2 , •直线 x k^ 0过点 -1,-2 , ■ -1k -2 =0,，故选 B.5、已知点M 4,2与M 2,4关于直线I 对称，则直线I 的方程为A. x y 6=0 B . x y_6=0 C . x y=0 D . X-y=06、已知直线3x 4y -3 =0与直线6x my 1^=0平行，贝U 它们间的距离是A17 厂17 厂cA.B.C . 810 5解：：直线3x • 4y -3 =0与直线6x my 1^0平行，3m-4 6=0二 2，二 m =8，二直线 6x + my+14=0 的方程为 6x +8y + 14 = 0 ,即 3x+4y+74 14 -i —3 m = 0直线3x Vy-3=0与直线3x 4y ^0之间的距离C 2 _C 1 7一 一3 =2. A 2 B 2. 32 ' 4210、设直线 h :3x+4y —2=0,l 2 ：2x+y+2=0,l 3：3x —4y+2=0，则直线 l 1 与 l 2的交点到 l 3 的距离为―125解：；方程3x '4y-2=0的解为:(2x + y+2 = 0x = _2 y =2直线2x 3y •8=0,x -y-1=0的交点是 -2,2，•点-2,2至煩线I 3的距离为:x |Ay +By 。
两条直线的位置关系练习题
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________。
3。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 。
4.如果两个角的和是︒180，那么称这两个角互为_________ 5。
如果两个角的和是︒90，那么称这两个角互为______________将图2—2抽象成成图2-3,ON 与DC 交于点O ，∠DON=∠CON=︒90，∠1=∠2。
在图2-3中： (1）：哪些角互为补角?哪些角互为余角？ (2）:∠3与∠4有什么关系？为什么？ （3）：∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？ 解：(1）互为补角的有(写两组即可），（2）43∠∠与-︒=∠903 ，-︒=∠904=∠1且 ∴（3）BOD AOC ∠=∠ -︒=∠180BOD-︒=∠180AOC ， 且=∠2 =∠∴AOC结论归纳：同角或等角的 相等，同角或等角的 相等。
判断下列说法是否正确（1）300 ，700 与800的和为平角,所以这三个角互余.（ ) （2）一个角的余角必为锐角。
（ ） （3）一个角的补角必为钝角。
（ ）（4)900的角为余角。
（ )（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）总结提示：互余与互补是指两个角之间的________关系,与它们的位置关系无关。
同角或等角的 相等，同角或等角的 相等。
1．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有（ ) A 。
7个 B.6个 C 。
5个 D.3个 2。
α∠的余角等于32°,则α∠的补角等于 . 3．下列说法中错误的个数是( )（1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2 D CO 1 34A NB图2-3(3）不相交的两条直线叫做平行线;(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A.1个B.2个C.3个D.4个4．面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )A. B.C。
课时作业7：9.2 两直线的位置关系
9.2 两直线的位置关系一、选择题1．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是( )A ．2x －y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x －2y －1＝02．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最短距离为( ) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2 3．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直4．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1，2)C ．(－1，2)D ．(－1，－2)5．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A.24，12 B.2，22 C.2，12 D.22，126．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．8．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．9．如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．10．已知定点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上，分别求点M和点N，使△AMN的周长最短，最短周长为________．三、解答题11．已知△ABC的顶点A的坐标为(1，2)，x－y－1＝0是一条角平分线所在的直线方程，5x＋7y－16＝0是一条中线所在的直线方程，求BC边所在的直线方程．12．如图，函数f(x)＝x＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：PM·PN为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．13．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|P A|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|P A||最大．答案一、选择题1．【解析】 设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，∴y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0.【答案】 A2．【解析】 当点P 为直线 y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时， 点P 到直线y ＝x ＋2的距离最短．设点P (x 0，y 0)，令f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1. 又x 0>0，∴x 0＝1.∴点P 的坐标为(1，1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝ 2. 【答案】 B3．【解析】 △ABC 中，a sin A ＝b sin B， 又两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝b sin B， ∴k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，∴两直线垂直．故选C. 【答案】 C4．【解析】 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．【答案】 A5．【解析】 由题可知，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，∴|a －b |＝1－4c ∈⎣⎡⎦⎤22，1， 而d ＝|a －b |2，从而d max ＝22，d min ＝12.【答案】 D6．【解析】 要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16； 若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23. 综上可知，m 值最多有4个，故应选D.【答案】 D二、填空题7．【解析】 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，如图，所以四边形的面积S ＝2k 2×2＋(4－k ＋4)×2×12＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.【答案】 188．【解析】 ①由[OP ]＝1，根据新定义得：|x |＋|y |＝1，上式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1（0≤x ≤1，y ≥0），y ＝－x －1（－1≤x ≤0，y ≤0），y ＝x ＋1（－1≤x ≤0，y ≥0），y ＝x －1（0≤x ≤1，y ≤0），画出图象如图所示．根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝⎛⎭⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1， 所以[OP ]的最小值不为1，故②错误．所以正确的结论有：①.【答案】 ①9．【解析】 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b ，3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12·a 2＋4·b 2＋9 ＝12·a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2 ≥12·72＋72＝6. 【答案】 610．【解析】 如图，设点A 关于直线y ＝x 和 y ＝0的对称点分别为 B (1，3)，C (3，－1)，∵|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |，又|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当M 、N 分别为BC 与直线y ＝x 和y ＝0的交点时△AMN 的周长最短． 易求得|BC |＝2 5.由两点式可得BC 的方程为：2x ＋y －5＝0.而且易求得：M ⎝⎛⎭⎫53，53，N ⎝⎛⎭⎫52，0， 此时周长最短，周长为2 5.【答案】 25三、解答题11．【解析】 顶点A 不在直线x －y －1＝0和5x ＋7y －16＝0上．不妨设x －y －1＝0是角B 平分线所在直线方程，5x ＋7y －16＝0是AB 边上中线所在的直线方程．设A (1，2)关于直线x －y －1＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由题意，得A 1在BC 上，且⎩⎪⎨⎪⎧y 1－2x 1－1＝－1，x 1＋12－y 1＋22－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－x 1＋3，y 1＝x 1－3. 解得x 1＝3，y 1＝0，所以A 1(3，0)．设B (x 2，y 2)，则有x 2－y 2－1＝0，①且AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2＋22在直线5x ＋7y －16＝0上，所以有5×x 2＋12＋7×y 2＋22－16＝0， 即5x 2＋7y 2－13＝0，②联立①②解得x 2＝53，y 2＝23，所以B ⎝⎛⎭⎫53，23. 所以边BC 所在的直线方程为x ＋2y －3＝0.12．【解析】 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)．则PN ＝x 0，PM ＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0， 因此PM ·PN ＝1. (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)， 即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得 x ＝y ＝x 0＋22x 0，即M ⎝⎛⎭⎫x 0＋22x 0，x 0＋22x 0. S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12PN ·ON ＋12PM ·OM ＝12x 0x 0＋2x 0＋22x 0x 0＋12x 0＝2＋12x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立， 因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.13．【解析】 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2，8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则|PB |－|P A |≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12，10)。
专题9.2 两条直线的位置关系(练)(解析版)
专题9.2 两条直线的位置关系1．（江苏省盐城一中2019届期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23 D ．－2【答案】D【解析】由a ×1＋2×1＝0得a ＝－2.故选D.2．（河北衡水一中2019届调研）过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0【答案】C【解析】设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，将(1,0)代入， 求得c ＝－2，所以所求方程为2x ＋y －2＝0.故选C.3．（一中2019届期末）已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 【答案】C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m 2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.4．（黑龙江省齐齐哈尔一中2019届期中）“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】因为m ＝1时，两直线方程分别是x －y ＝0和x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直时，有1×1＋(－1)·m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C.5．（湖北省十堰一中2019届期末）已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则点|PM |的最小值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3【答案】B【解析】|PM |的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.6．（吉林省四平一中2019届期中）已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)【答案】C【解析】设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，即(4，－2)．所以直线BC 所在的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 7．（湖北省荆州一中2019届月考）经过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线的方程是________．【答案】2x －y ＋4＝0【解析】因为y ′＝6x －4，所以y ′|x ＝1＝2，所以所求直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．（浙江省衢州一中2019届期中）与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．【答案】12x ＋8y －15＝0【解析】l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0. 9．（福建省莆田一中2019届期末）已知定点A (1,1)，B (3,3)，动点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值是________．【答案】2 5【解析】点A (1,1)关于x 轴的对称点为C (1，－1)，则|P A |＝|PC |，设BC 与x 轴的交点为M ，则|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝2 5.由三角形两边之和大于第三边知当P 不与M 重合时，|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |＞|BC |，故当P 与M 重合时，|P A |＋|PB |取得最小值．10．（江西省九江一中2019届质检）已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．【解析】依题意知k AC ＝－2，A (5,1)，所以直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 和直线CM的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.11．（山东青岛二中2019届模拟）直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值为( ) A ．3或－1 B.0或3 C ．0或－1 D ．－1或0或3 【答案】C【解析】两直线无公共点，即两直线平行．当a ＝0时，这两条直线分别为x ＋6＝0和x ＝0，无公共点；当a ≠0时，由－1a 2＝－a －23a ，解得a ＝3或a ＝－1.若a ＝3，这两条直线分别为x ＋9y ＋6＝0，x ＋9y ＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a ＝－1，这两条直线分别为x ＋y ＋6＝0和3x ＋3y ＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a ＝0或a ＝－1.12．（湖北省宜昌一中2019届模拟）已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )A ．1条 B.2条C ．3条D ．4条 【答案】C【解析】当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝3－12＋1－22＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.13．（河南省商丘一中2019届模拟）若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A.22B.1C. 2D ．2【答案】C【解析】因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，曲线y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2，故选C.14．（山西省吕梁一中2019届模拟）l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是____________________．【答案】x ＋2y －3＝0【解析】当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，此时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.15．（江苏省淮安一中2019届模拟）若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为______________________．【答案】x ＋3y －5＝0或x ＝－1【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．16．（湖南省郴州一中2019届模拟）在平面直角坐标系中，已知点P (－2,2)，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0(a ，b ∈R 且不同时为零)，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是________．【答案】[0,5]【解析】易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的最大距离为－2－12＋2＋22＝5，最小距离为0，所以d 的取值范围是[0,5]．17. （辽宁省大连八中2019届模拟）如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．【答案】6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4· 36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．18．（河北省秦皇岛一中2019届模拟）如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．【答案】(4，＋∞)【解析】从特殊位置考虑．如图所示，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD ＞，即k FD ∈(4，＋∞)．19．（山西省阳泉一中2019届模拟）已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．【解析】(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14.因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不重合，所以a 2＋1≠3， 所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.20．（江苏省南通一中2019届模拟）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P . (1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即交点P (2,1)．由直线l 与A ，B 的距离相等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点．①由l ∥AB 得k l ＝k AB ＝2－33－1＝－12，所以直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2.综上得x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．(2)由题可知直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋yb＝1.又直线l 1过点(2,1)，△ABO的面积为4，所以⎩⎨⎧2a ＋1b＝1，12ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，故直线l 1的方程为x 4＋y 2＝1，即x ＋2y －4＝0.1.（2019·江苏高考）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P 到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q 到直线的距离为，故答案为4。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练9.2两条直线的位置关系(含答案解析)
9.2两条直线的地点关系一、填空题．已知直线 l 1经过两点(－2,3)，－，－，直线 l 2经过两点(2,1)，1(21) ( a，－ 5) ，且 l 1∥ l 2，则 a＝ ________.分析由题意知直线 l 1的倾斜角为°，而l 1∥l2，所以直线l 2 的倾斜角也为9090°，又直线 l 2经过两点 (2,1)，(a ，－ 5) ，所以 a＝2.答案 22．若三条直线 l 1：4x＋y＝4，l 2：mx＋ y＝ 0， l 3：2x－ 3my＝4 不可以围成三角形，则实数 m的取值最多有 ________个．分析三条直线不可以围成三角形，则起码有两条直线平行或三条直线订交于同一1点．若 l 1∥ l 2，则 m＝ 4；若 l 1∥ l 3，则 m＝－6；若 l 2∥ l 3，则 m的值不存在；若2三条直线订交于同一点，则m＝－ 1 或3，故实数 m的取值最多有 4 个．答案43．若三条直线 x＋ y＋ 1＝ 0,2 x－y＋8＝0 和 ax＋ 3y－5＝0 共有三个不一样的交点，则实数 a 知足的条件是 ________．分析当三条直线交于一点时，1与 ax＋y－＝平行时，＝；当 x＋＋＝003135a＝3；当 2x－y＋8＝0 与 ax＋ 3y－5＝0 平行时， a＝－ 6.1故 a 知足的条件是 a≠3且 a≠－ 6 且 a≠3.答案 a≠1且 a≠－ 6 且 a≠3 34．若曲线y＝ x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点 P到直线 l的2(3,2)距离 d＝________.分析由题意得切点坐标为 ( －1，－1) ．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝－×－1)22 3 (＝－ 1，故切线 l 的方程为 y－ ( － 1) ＝－ 1[ x－( － 1)]，整理得 x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得点 P到直线 l 的距离为|3 ＋2＋2|72(3,2)12＋12＝2 .答案 7 22．过点 A 且与原点距离最大的直线方程为 ________．5 (1,2)分析 所求直线过点A 且与 OA 垂直时知足条件，此时k OA ＝ ，故求直线的斜率211为－ 2，所以直线方程为 y －2＝－ 2( x －1) ，即 x ＋2y － 5＝ 0.答案x ＋2y － 5＝ 06．若直线 m 被两平行线 l 1：x －y ＋ ＝ 与 l 2：x －y ＋ ＝ 所截得的线段的长为1 0 3 02 2，则 m 的倾斜角能够是①15°；② 30°；③ 45°；④ 60°；⑤ 75°.此中正确答案的序号是 ________(写出全部正确答案的序号 ) ．分析记直线 m 的倾斜角是 θ . 由题意知直线 l 1、l 2 间的距离等于22. 又直 ＝2线 m 被直线 l 1、l 2 所截得的线段的长是 22，所以直线 m 与直线 l 1 的夹角的正弦值等于 2 1m 与直线 l 1 的夹角是 °，又直线 l 1 的倾斜角是°，因2 2 ＝ ，直线30452此 θ＝15°或 θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤ .答案 ①⑤．已知点 A ，－ 2)，B m, ，且线段 AB 的垂直均分线的方程是 x ＋ y － ＝ ， 7 (1 ( 2)2 2 0 则实数 m 的值是．________分析由已知条件可知线段 AB 的中点 1＋m上，把中点，0 在直线 x ＋ y －＝222坐标代入直线方程，解得 m ＝3. 答案3．假如直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移一个单位后， 8又回到本来的地点，那么直线l 的斜率是．________分析 设 l 的方程是 y ＝ kx ＋b ，由已知 y ＝k( x ＋ 3) ＋b ＋11即 y ＝kx ＋ 3k ＋b ＋1 与 y ＝ kx ＋b 重合，∴3k ＋b ＋1＝b. 即 k ＝－ 3.1答案 －39. 已知直线 l 1：2x － 3y ＋10＝0，l 2：3x ＋ 4y －2＝0，则经过 l 1 和 l 2 的交点，且与直线 l 3： 3x －2y ＋4＝0 垂直的直线 l 的方程为 ________．2 x -3 y， 3+10=0分析 解方程组 x y得交点坐标 (-2,2)．又由 l ⊥l 3，且 kl 3 =2，3，+4 -2=022获得 k l =- 3，所以直线 l 的方程为 y-2=- 3(x+2) ，即 2x+3y-2=0.答案 2x+3y-2=01 110．已知 a ＋b ＝1( a ＞ 0， b ＞ 0) ，点 (0 ，b) 到直线 x －2y －a ＝0 的距离的最小值为 ________．分析b 到直线 x － y －a ＝ 0 的距离为 点(0， ) 2＋ 2b 1 1 1 b a13 ＋2 10a 3＋ 2 ＋≥ 2) ＝ 5 d ＝ ＝ ( a ＋2b) 1＋ b ＝ a b (3 ＋25，5 5 a 5 5当 a 2＝ b 2 且 a ＋ b ＝ ab ，即 a ＝ ＋ 2， b ＝ 2＋ 221 2 时取等号．答案35＋2 10511．已知 0＜k ＜ 4，直线 l 1：kx － 2y －2k ＋8＝0 和直线 l 2： 2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k 值为 ．________ 分析由题意知直线 l 1， l 2 恒过定点 P，直线 l 1 的纵截距为－ k ，直线 l 2(2,4)4k 2＋ ，所以四边形的面积的横截距为 2211221S ＝2×2×(4 － k) ＋2×4×(2 k ＋2) ＝ 4k －k ＋8，故面积最小时， k ＝ 8. 答案1812．将一张坐标纸折叠一次，使点 (10,0) 与( －6,8) 重合，则与点 ( －4,2) 重合的点是 ________．分析 由条件，以 (10,0) 和 － 6,8)为端点的线段的垂直均分线方程为y ＝ x ，(2则与点 ( －4,2) 重合的点即为求点( －4,2) 对于直线 y ＝ x 的对称点，求得点为2(4 ，－2) ．答案 (4 ，－ 2)13．若ab A a,B b C三点共线，则ab的最小值为 ________．>0，且(0) ，(0 ，) ，( －2，－2)分析依据 A a,0)，B，b确立直线的方程为x＋y＝，又 C－，－2)在该直((0)a b1(2－2 －2线上，故 a＋b＝1，所以－2( a＋b)＝ab，又ab>0，故a<0，b<0，依据基本不等式 ab＝－ 2( a＋ b) ≥4 ab，进而ab≤0( 舍去 ) 或ab≥4，故 ab≥16，即 ab 的最小值为 16.答案16二、解答题14.已知两直线l 1：ax－by＋＝， l 2：a－1)x＋y＋b＝0.求分别知足以下条4 0(件的 a，b 的值．(1)直线 l 1过点 ( －3，－ 1) ，而且直线 l 1与 l 2垂直；(2)直线 l 1与直线 l 2平行，而且坐标原点到 l 1，l 2的距离相等．分析(1) ∵l1⊥l2，∴a(a － 1) ＋( －b) ·1＝ 0，即 a2－a－b＝0，①又点 ( －3，－ 1) 在 l 1上，∴－ 3a＋b＋4＝0. ②由①②得 a＝2， b＝ 2.a(2)∵l1∥l2，∴a＋b(a－1)＝0，∴b＝1－a，故 l 1和 l 2的方程可分别表示为：－a(a －1)x ＋y＋a＝0，(a －1)x ＋y＋1－a＝0，又原点到 l 1与 l 2的距离相等．a－1a2∴4 a＝1－a，∴ a＝ 2 或 a＝3，2∴a＝ 2，b＝－ 2 或 a＝3，b＝2.15．一条光芒经过 P(2,3) 点，射在直线 l ：x＋y＋ 1＝ 0 上，反射后穿过 Q(1,1) ．(1)求光芒的入射方程；(2)求这条光芒从 P 到 Q的长度．分析(1) 设点 Q′(x′， y′) 为 Q对于直线 l 的对称点且 QQ′交 l 于 M点，由k l＝－ 1，得 k QQ′＝ 1.所以 QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1)即 x －y ＝0.x ＋y ＋ ＝ ，111lQQ M 由解得 的坐标为－ ，－ 2 .与 ′的交点21＋x ′12 ＝－ 2，又由于 M 为 QQ ′的中点，由此得1＋y ′12＝－ 2.x ′＝－ 2 Q ′ － ，－ ．解之得. 所以 2) ( 2y ′＝－ 2设入射线与 l 交于点 N ，且 P ，N ，Q ′共线．则 P(2,3) ，Q ′( － 2，－ 2) ，得入射线方程为y ＋2 x ＋23＋2＝2＋2，即 5x －4y ＋2＝0.(2) 由于 l 是 QQ ′的垂直均分线，因此 NQ ＝NQ ′.所以 PN ＋NQ ＝PN ＋NQ ′＝ PQ ′＝＋2＋ ＋2＝ 41，即这条光芒从 P 到 Q 的长度是 41.16．已知两直线 l 1：ax －by ＋ 4＝0 和 l 2： ( a －1) x ＋ y ＋ b ＝ 0，求知足以下条件的 a ，b 的值．(1) l 1⊥ l 2，且直线 l 1 过点 ( －3，－ 1) ；(2) l 1∥ l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．分析 (1) ∵l 1⊥ l 2，∴ a( a － 1) －b ＝0.又∵直线 l 1 过点 ( － 3，－ 1) ，∴－ 3a ＋ b ＋ 4＝ 0.故 a ＝2，b ＝2.(2) ∵直线 l 2 的斜率存在， l 1∥ l 2 ，∴直线 l 1 的斜率存在．a∴ k 1 ＝k 2，即 b ＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，4∴ l 1 ，l 2 在 y 轴上的截距互为相反数，即 b ＝b.故 a ＝2，b ＝－ 2 或 a ＝23， b ＝ 2.．过点 P的直线 l 被两平行线 l 1： x ＋ y ＋ ＝ 0 与 l 2： x ＋ y ＋ ＝ 0 截 17 (1,2) 4 3 1 4 3 6 得的线段长 AB ＝ ，求直线 l 的方程 .2分析设直线 l的方程为 y － ＝kx － 1) ，2 (y ＝kx ＋ 2－ k ，3k －7 －5 k ＋ 8由解得 A k ＋ ， k ＋ 4 ；4 x ＋ y ＋ ＝ ，3 4 33 1 0y ＝kx ＋ 2－ k ，3k －12 k8－ 10由解得 B k ＋ 4 ， k ＋ 4 .4 x ＋ y ＋ ＝ ，3 33 6 0∵ AB ＝ 2，∴5 25k2＝ 2，k ＋4＋k ＋433整理，得 7k 2－ 48k －7＝0，1解得 k 1＝7 或 k 2＝－ 7.所以，所求直线 l 的方程为 x ＋7y －15＝ 0 或 7x － y － 5＝ 0.．过点 P 作直线 l 使它被直线 l 1： x ＋y － ＝ 0 和 l 2 ：x － y ＋ ＝ 0 截 18 (0,1)2 83 10 得的线段被点 P 均分，求直线 l 的方程． 分析 设 l 1 与 l 的交点为 A a, － a ，则由题意知，点 A 对于点 P 的对称点 B －( 8 2 )(a, 2a －6) 在 l 2 上，代入 l 2 的方程得－ a －3(2 a －6) ＋10＝0，∴ a ＝ 4，即点 A(4,0) 在直线 l 上，又∵ l 过点 P(0,1) ．所以直线 l 的方程为 x ＋4y －4＝0.。
两条直线的位置关系练习题
两条直线的位置关系练习题1、若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（）A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm2、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，且∠ADC=60°，那么下列说法中错误的是（）A．直线AD与直线BC的夹角为60°B．直线AC与直线BC的夹角为90°C．线段CD的长是点D到直线AC的距离D．线段AB的长是点B到直线AD的距离3、如图，AB⊥BC，BD⊥AC于点D，则B到AC的距离是下列哪条线段的长度？（）A．AB B．BC C．BD D．CD4、三条互不重合的直线的交点个数可能是( )A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，25、已知直线AB和CD相交于O点，OE⊥AB，∠1=55°，则∠BOD= 度；若OF平分∠DOB，则∠EOF的度数是度．6、在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么4条直线两两相交，最多有________个交点，8条直线两两相交，最多有______个交点．7、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．8、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9、如图，直线a、b相交于点O，下列说法：①若∠1=∠2，则a⊥b；②若∠1=∠3，则a⊥b；③若∠1+∠3=180°，则a⊥b；④若∠1+∠2=180°，则a⊥b．其中正确的有（填序号）10、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠B相等的角是．11、如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段的长，点B到CD边的距离是线段的长，图中的直角有，∠A的余角有，和∠A相等的角有．12、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段的长．13、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题．（1）画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线l（2），在l（2）上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？（4）画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？14、如图，AB与CD交于点O，OM为射线．（1）写出∠BOD的对顶角．（2）写出∠BOD与∠COM的邻补角．（3）已知∠AOC=70°，∠BOM=80°，求∠DOM和∠AOM的度数．15、我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．16、如图，AB、CD相交于O点，若∠EOD=40°，∠BOC=130°，猜想射线OE与直线AB的位置关系，并求证．17、如图，AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD于点0，∠DOE=145°．求∠AOF的度数．18、如图，建筑工人经常要测量两堵围墙所成的∠AOB，但人不能进入围墙，聪明的你帮助工人师傅想想办法吧．要求：写出测量方案，给出∠AOB的表达式．19、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，∠1=∠2．求证：∠2+∠3=90°．20、已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：（1）画直线OA；（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．21、如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．22、画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线，在上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？23、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.24、如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么?25、如图的点阵中，哪些线段是互相平行的，请写出来.26、按图所示，所示的方法将几何体切开，所得的三个截面有没有互相平行的线段?如果有，填上字母表示出来.27、如图，AB、CD是一河的两岸，并且AB∥CD，点E为直线AB、CD外一点，现想过点E 作岸CD的平行线，请说出作法，并说明理由.28、如图，在长方体中，A1B1∥AB，AD∥BC，你还能再找出图中的平行线吗?29、判断：互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90º. （）30、判断：如图，线段AB与线段CD不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（）31、判断：一条线段有无数条垂线. （）32、判断：过直线外一点A作的垂线，垂线的长度叫做点A到直线的距离.（）33、判断：过直线上一点不存在直线与已知直线垂直. （）34、判断：在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）。
两直线位置练习题
两直线位置练习题在平面几何中，两条直线的位置关系是一个常见的问题。
本文将通过练习题的形式，帮助读者巩固和理解两条直线的相交、平行、重合等不同情况下的几何性质。
以下是一些练习题和详细解答：练习题一：已知直线AB和直线CD，判断以下各组直线的位置关系：1) AB与CD相交于点O；2) AB与CD平行但不重合；3) AB与CD重合。
解答一：1) 直线AB与直线CD相交于点O。
当两条直线相交于一点时，它们的位置关系是相交。
2) 直线AB与直线CD平行但不重合。
当两条直线没有交点且在同一个平面内始终保持平行时，它们的位置关系是平行。
3) 直线AB与直线CD重合。
当两条直线完全重合时，它们的位置关系是重合。
练习题二：已知直线EF与直线GH，判断以下各组直线的位置关系：1) EF与GH相交于点P；2) EF与GH平行但不重合；3) EF与GH重合。
解答二：1) 直线EF与直线GH相交于点P。
当两条直线相交于一点时，它们的位置关系是相交。
2) 直线EF与直线GH平行但不重合。
当两条直线没有交点且在同一个平面内始终保持平行时，它们的位置关系是平行。
3) 直线EF与直线GH重合。
当两条直线完全重合时，它们的位置关系是重合。
练习题三：已知直线IJ与直线KL，判断以下各组直线的位置关系：1) IJ与KL相交于点Q；2) IJ与KL平行但不重合；3) IJ与KL重合。
解答三：1) 直线IJ与直线KL相交于点Q。
当两条直线相交于一点时，它们的位置关系是相交。
2) 直线IJ与直线KL平行但不重合。
当两条直线没有交点且在同一个平面内始终保持平行时，它们的位置关系是平行。
3) 直线IJ与直线KL重合。
当两条直线完全重合时，它们的位置关系是重合。
通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解两条直线在几何中的不同位置关系。
在实际问题中，这些几何性质是解决直线交点、判断平行关系等问题的基础。
通过多做类似的练习，我们的几何直觉和思维能力会得到提升，为解决更复杂的几何问题打下坚实的基础。
两条直线的位置关系专项练习
两条直线的位置关系一．两条直线的相交、平行、重合1.代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如下表所示) 方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A 1B 2－A 2B 1＝0而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)有唯一解 相交 有一个交点A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)有无数个解 重合 无数个交点A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 2.几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y 轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， ①l 1与l 2相交①k 1≠k 2； ①l 1①l 2①k 1＝k 2且b 1≠b 2； ①l 1与l 2重合①k 1＝k 2且b 1＝b 2.二．两条直线垂直 两条直线垂直与斜率的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1①l 2①k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1①l 2图示题型一 判断两直线位置关系(平行、垂直、相交、重合）例1.已知直线方程1:2470l x y -+=，2:250l x y -+=，则1l 与2l 的关系( ) A ．平行 B ．重合C ．相交D ．以上答案都不对练习1.已知直线1:0l x y +=，2:2230l x y ++=，则直线1l 与2l 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直例2.两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定练习1.判断下列各小题中的每对直线是否垂直 （1）1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，1(0,)2B -（2）1l 的倾斜角为45︒，2l 经过点(2,1)P --，(3,6)Q - （3）1l 经过点(1,0)M ，(4,5)N -，2l 经过点(6,0)R -，(1,3)S -例3.直线20x y m ++=和20x y n ++=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定练习1．直线20x y k -+=与4210x y -+=的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合练习2．直线1y x =+与直线1y ax =+的交点的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化题型二 根据两直线位置关系求解参数问题例1.已知直线1:210l x my +-=与直线2:(2)20l m x my --+=平行，则实数m 的值是( ) A ．32B ．32或0 C ．23D ．23或0 练习1.直线1:220l x ay a +--=，2:10l ax y +-=，若12//l l ，则(a = ) A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．2例2.已知1:220l x my +-=，2:210l mx y +-=，且12l l ⊥，则m 的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．不存在练习1.已知直线1:sin 10l x y α+-=，直线2:3cos 10l x y α-+=，若12l l ⊥，则sin 2(α=) A ．23B ．35±C ．35-D ．35例3.已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)50l x m y +--=，问实数m 为何值时，分别有：（1）1l 与2l 相交？（2）12//l l ？（3）1l 与2l 重合？练习1.已知直线1:(1)10l k x y +++=和2:(3)10l k x ky ---=，若1l 与2l 有公共点，则k 的取值范围为( ) A ．1k ≠且3k ≠-B ．3k ≠-C ．1k =D ．1k =且3k =-练习2.设0a >，0b >．若关于x ，y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．题型三 直线系方程的应用1. 过两条相交直线交点的直线系方程的应用例1．求过点(2,1)A 和两直线230x y --=与2320x y --=的交点的直线方程是( ) A ．250x y +-=B ．5730x y --=C ．350x y -+=D ．7240x y --=练习1.求过点(1,1)D -和两直线1:23100l x y +-=和21:3260x y -+=的交点的直线方程．2. 平行直线系和垂直直线系方程的应用例1.（1）已知(3,2)A 和:210l x y -+=．求过点A 且与直线l 平行的直线方程； （2）求过点(3,0)A ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程。
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§9.2 两条直线的位置关系
一、选择题
1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )． A ．3x ＋2y －1＝0 B ．2x －3y ＋5＝0 C ．3x ＋2y ＋7＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
解析 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3
2，由点斜式
可得直线l 的方程为y －2＝－3
2(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.
答案 A
2．m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由两直线垂直⇔3m ＋m(2m －1)＝0⇔m ＝0或－1，所以m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件． 答案 A
3．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0 解析 在对称直线上任取一点P(x ，y)，
则点P 关于点A 对称的点P′(x′，y′)必在直线l 上． 由⎩⎨
⎧
x′＋x ＝2，y′＋y ＝2，
得P′(2－x,2－y)，
∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 答案 B
4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋y －5＝0
解析 所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率
为－12，所以直线方程为y －2＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －5＝0.
答案 A
5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )．
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C
6. 直线10x ay ++=与直线(1)230a x y +-+=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 解析 因为两直线垂直,所以120a a +-=,解得1a =,故选C. 答案 C
7．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．
A.722
B.922
C.1122
D.910
10
解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋1
2
＝72
2. 答案 A 二、填空题
8. 若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___ ____.解析 121212,,12k k k k m ==-∴⋅=- 直线互相垂直,，即12
()1,12m m
⋅-=-∴=.
答案 1
9. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是________.
解析 因为两直线平行,所以当3k =时,成立;当3k ≠时,41k -=,解得5k =. 答案 3或5
10．已知1a ＋1
b
＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值
为________．
解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2b
5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
1
5
⎝ ⎛
⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，
b ＝2＋22时取等号．
答案
35＋210
5
11．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 解析 记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于
2
2
＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因
此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤
12．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________． 解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋1
2×4×(2k 2＋2)＝4k 2
－k ＋8，故面积最小时，k ＝1
8
.
答案
18
三、解答题
13．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
解析：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即
y ′－y
x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×
x ′＋x 2
－
y ′＋y 2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －9
5
， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③及④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋3
5
－2＝0，
化简得7x ＋y ＋22＝0.
14．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．
(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.
又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.
(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．
∴k 1＝k 2，即a b
＝1－a .
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝b .
故a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
15．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解析 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 由⎩⎨
⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎨
⎧
y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB |＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－1
7
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.
16．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程． 解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，
则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。