超球谐展开的收敛行为He原子的1S态
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
习题答案1-9教程
第一章绪论1. 光电子器件按功能分为哪几类？每类大致包括哪些器件？光电子器件按功能分为光源器件、光传输器件、光控制器件、光探测器件、光存储器件。
光源器件分为相干光源和非相干光源。
相干光源主要包括激光和非线性光学器件等。
非相干光源包括照明光源、显示光源和信息处理用光源等。
光传输器件分为光学元件(如棱镜、透镜、光栅、分束器等等)、光波导和光纤等。
光控制器件包括调制器、偏转器、光开关、光双稳器件、光路由器等。
光探测器件分为光电导型探测器、光伏型探测器、热伏型探测器、各种传感器等。
光存储器件分为光盘(包括CD、VCD、DVD、LD等)、光驱、光盘塔等。
2．谈谈你对光电子技术的理解。
光电子技术主要研究物质中的电子相互作用及能量相互转换的相关技术，以光源激光化，传输波导（光纤）化，手段电子化，现代电子学中的理论模式和电子学处理方法光学化为特征，是一门新兴的综合性交叉学科。
3．谈谈光电子技术各个发展时期的情况。
20世纪60年代，光电子技术领域最典型的成就是各种激光器的相继问世。
20世纪70年代，光电子技术领域的标志性成果是低损耗光纤的实现，半导体激光器的成熟特别是量子阱激光器的问世以及CCD的问世。
20世纪80年代，出现了大功率量子阱阵列激光器；半导体光学双稳态功能器件的得到了迅速发展；也出现了保偏光纤、光纤传感器，光纤放大器和光纤激光器。
20世纪90年代，掺铒光纤放大器(EDFA)问世，光电子技术在通信领域取得了极大成功，形成了光纤通信产业；。
另外，光电子技术在光存储方面也取得了很大进展，光盘已成为计算机存储数据的重要手段。
21世纪，我们正步入信息化社会，信息与信息交换量的爆炸性增长对信息的采集、传输、处理、存储与显示都提出了严峻的挑战，国家经济与社会的发展，国防实力的增强等都更加依赖于信息的广度、深度和速度。
⒋举出几个你所知道的光电子技术应用实例。
如：光纤通信，光盘存储，光电显示器、光纤传感器、光计算机等等。
量子力学知识点
量子力学知识点量子力学是20世纪初发展起来的一种物理学理论，它主要描述微观粒子如原子、电子等的行为。
量子力学的核心概念包括波函数、量子态、不确定性原理、量子纠缠等。
以下是量子力学的一些主要知识点总结：1. 波函数：量子力学中，一个粒子的状态由波函数描述，波函数是一个复数函数，其模的平方给出了粒子在某个位置被发现的概率密度。
2. 薛定谔方程：这是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。
薛定谔方程是量子力学的核心，它是一个偏微分方程，能够预测粒子的行为。
3. 量子态：量子系统的状态可以由波函数表示，这些状态是离散的，并且遵循一定的量子数规则。
4. 量子叠加原理：量子系统可以同时处于多个可能的状态，这些状态的叠加构成了系统的总状态。
5. 不确定性原理：由海森堡提出，指出无法同时精确测量粒子的位置和动量。
这是量子力学与经典力学的一个根本区别。
6. 量子纠缠：两个或多个粒子可以处于一种特殊的相关状态，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变也会立即影响到另一个粒子的状态。
7. 量子隧道效应：粒子有可能穿过一个经典力学中不可能穿越的势垒，这是量子力学中的一个非直观现象。
8. 波粒二象性：量子力学中的粒子既表现出波动性也表现出粒子性，这种性质由德布罗意提出。
9. 量子力学的诠释：包括哥本哈根诠释、多世界诠释等，不同的诠释试图解释量子力学中观察到的现象。
10. 量子计算：利用量子力学原理进行信息处理的技术，量子计算机能够执行某些特定类型的计算任务，速度远超传统计算机。
11. 量子纠缠与量子通信：量子纠缠是量子通信的基础，可以实现安全的信息传输。
12. 量子退相干：量子系统与环境相互作用，导致量子态的相干性丧失，是量子系统向经典系统过渡的过程。
13. 量子场论：将量子力学与相对论结合起来，描述粒子的产生和湮灭过程。
14. 量子信息：研究量子系统在信息处理中的应用，包括量子密码学、量子通信等。
15. 量子测量：量子力学中的测量问题涉及到波函数的坍缩，即测量过程会导致量子态的不确定性减少。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答局部 1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅对频率为n 的谐振子, 最小能量e 为: νh =ε波粒二象性〔wave-particle duality 〕是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者那么组成了我们常说的“物质〞。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开场意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波〞假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干预和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，那么 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。
相位不定性如果常数 ，那么 和对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
原子物理学总结
原子物理学总结（乙型）物理实验Rutherford的α粒子散射实验，证实了原子的核式结构Frank—Hertz实验，证实了原子内部分立能级的存在Stern—Gerlach实验，证实了磁场中原子角动量空间取向的量子性黑体辐射，光电效应，证实了光具有粒子性Compton散射实验，证实了光的粒子性Davision—Germer实验，证实了电子的波动性Zeeman效应；顺磁共振实验Bohr氢原子模型氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系，Rydberg方程，光谱项及其组合法则Bohr模型的三个基本假设，由Bohr模型获得Rydberg常数精细结构常数量子力学初步波粒二象性：de Broglie的物质波由波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确定关系；量子态Schrödinger方程的含义、力学量的算符、力学量的平均值Halmilton方程的本征值、本征函数氢原子的量子力学解：角动量及其量子数n，l，m l的意义单电子原子的能级和光谱碱金属原子的能级，和四个光谱线系电子的自旋：角动量、磁矩，相关的量子数自旋—轨道相互作用：总角动量及其量子数，能级与光谱的精细结构辐射跃迁的选择定则；量子态的符号表示多电子原子氦原子的光谱与能级：单重态和三重态价电子的耦合：电子组态、原子态，包括多个价电子的耦合Pauli原理与同科电子：全同粒子的交换对称性与交换反对称性Hund规则（包括对于同科电子的附加定则）、Landè间隔定则复杂原子的能级、原子的壳层结构：各个量子数的物理意义由原子的壳层结构确定原子的基态磁场中的原子原子的磁矩：有效总磁矩、Landèg因子、外磁场中原子能级的分裂顺磁共振：可以测量Landèg因子Zeeman效应：选择定则、Grotrain图X射线X射线的产生：连续谱（轫致辐射），标识谱（内壳层电子跃迁）Moseley定律，Kα线壳层的标记，电离态的能级，辐射跃迁的选择定则X射线的吸收：特征吸收，即吸收边（限）。
南昌大学《材料性能学》课后答案
《工程材料力学性能》（第二版）课后答案第一章材料单向静拉伸载荷下的力学性能一、解释下列名词滞弹性：在外加载荷作用下，应变落后于应力现象。
静力韧度：材料在静拉伸时单位体积材科从变形到断裂所消耗的功。
弹性极限：试样加载后再卸裁，以不出现残留的永久变形为标准，材料能够完全弹性恢复的最高应力。
比例极限：应力—应变曲线上符合线性关系的最高应力。
包申格效应：指原先经过少量塑性变形，卸载后同向加载，弹性极限(ζP)或屈服强度(ζS)增加；反向加载时弹性极限(ζP)或屈服强度(ζS)降低的现象。
解理断裂：沿一定的晶体学平面产生的快速穿晶断裂。
晶体学平面－－解理面，一般是低指数，表面能低的晶面。
解理面：在解理断裂中具有低指数，表面能低的晶体学平面。
韧脆转变：材料力学性能从韧性状态转变到脆性状态的现象（冲击吸收功明显下降，断裂机理由微孔聚集型转变微穿晶断裂，断口特征由纤维状转变为结晶状）。
静力韧度：材料在静拉伸时单位体积材料从变形到断裂所消耗的功叫做静力韧度。
是一个强度与塑性的综合指标，是表示静载下材料强度与塑性的最佳配合。
二、金属的弹性模量主要取决于什么?为什么说它是一个对结构不敏感的力学姓能?答案：金属的弹性模量主要取决于金属键的本性和原子间的结合力，而材料的成分和组织对它的影响不大，所以说它是一个对组织不敏感的性能指标，这是弹性模量在性能上的主要特点。
改变材料的成分和组织会对材料的强度(如屈服强度、抗拉强度)有显著影响，但对材料的刚度影响不大。
三、什么是包辛格效应，如何解释，它有什么实际意义?答案：包辛格效应就是指原先经过变形，然后在反向加载时弹性极限或屈服强度降低的现象。
特别是弹性极限在反向加载时几乎下降到零，这说明在反向加载时塑性变形立即开始了。
包辛格效应可以用位错理论解释。
第一，在原先加载变形时，位错源在滑移面上产生的位错遇到障碍，塞积后便产生了背应力，这背应力反作用于位错源，当背应力(取决于塞积时产生的应力集中)足够大时，可使位错源停止开动。
2-2-1 量子数的物理意义
s电子： M 0 p电子： M 2
* 磁矩：物理上，具有角动量的带电粒子的运动
会产生磁矩
对于电子：
e
M
2mec
e l(l 1) l(l 1) e
2mec
2mec
e 2mec
B
玻尔磁子
l(l 1)B
c. 磁量子数m
Mˆ z
i
Mˆ z n,l,m m n,l,m M z m
与平均动能<T>的关系为：<T>=n<V>/2.
* 有关主量子数的规律： n越大，En越大
在一维势箱量子数n决定波函数的节点数（n-1个） 对单电子原子体系，n决定原子波函数的总节面数 （n-1个）
* n与简并度 n相同，l或m不同的状态，能量相同
简并态
简并能极 简并态
简并度
n=1 E1=-Z2R 1,0,0
例题2.氢原子的第三激发态是几重简并的? 解答: nlm n1m nlm 400 42 0 430 4 1 0 4 2 -1 4 3 -1 4 1 -1 4 2 1 4 3 1 4 1 1 4 2 -2 4 3 -2 42 2 432 4 3 -3 43 3 是16重简并的
例题3. 求Li 2+的311态的能量，角动量的大小， 角动量在z方向的大小,及角动量和z方向的夹角。
自旋磁矩 s s(s 1)B
自旋磁矩在磁场方向上的分量 sz ms B
例题1.计算Li2+离子的基态到第二激发态的跃 迁能.
解答: Z=3 E1=(-32/12)*13.6= -122.4(eV) E3=(-32/32 )* 13.6 = -13.6 (eV)
E=E3-E1=108.8 (eV)
原子Bos-Einstein凝聚中的Feshbach共振
◆可爱的自由度——原子Bose-Einstein凝聚中的Feshbach共振张永德中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室量子信息部二零一零年五月目录序言一，低能共振散射与原子Bose-Einstein凝聚I，低能势散射II，低能势散射中的共振现象III，全同雾状原子的Bose-Einstein凝聚a，凝聚温度的估算之一，b，凝聚温度的估算之二二，超冷全同原子凝聚体Feshbach共振（I）I，低能Feshbach共振理论II，Feshbach共振宽度III，Feshbach共振的散射矩阵IV，磁可控，超精细诱导Feshbach共振三，原子凝聚体Feshbach共振的多体效应（II）V，全同原子多体系统中的Feshbach共振相互作用VI，凝聚体混合动力学VII，粒子损失效应VIII，关于分子凝聚体形成的结论与注记四，原子凝聚体Feshbach共振的静力学（III）五，附录——超精细Zeeman分裂与内态之间的散射I，碱金属的基态电子构形与超精细分裂II，Li原子例子及双态模型计算III，不同内态之间的散射序言这篇讲义主要依据脚注1几篇文献，讲解Bose-Einstein凝聚系统多体行为的Feshbach共振现象。
因时间仓促和作者知识所限，只限于基本理论推导和主要物理解释，不涉及相关问题的历史及应用。
按照定义，Feshbach共振涉及两体准束缚的中间态，所以又称作闭道碰撞。
这些中间态并不像字面那样被束缚住，由于和（比如，入射弹丸-靶系统的）其它道连续态相互作用，这些中间态只能生存有限寿命，所以称作准束缚态。
比如，在电子-原子和电子-离子散射中，中间态会发射所俘获的电子而衰变掉。
这些态被称作自动电离态。
现在感兴趣的原子-原子散射的Feshbach共振中，中间态是带有电子和核自旋（精细相互作用重排了两个碰撞原子的自旋）的分子。
入射道连续态是单道原子-原子散射问题的散射态，而中间分子态将与入射道连续态相互作用。
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论量子力学（Quantum mechanics）是研究微观领域中物质和辐射的行为的物理学理论，也是现代物理学的基石之一。
量子力学的基本概念和理论涵盖了很多方面，本文将介绍大学物理易考的量子力学知识点，帮助读者更好地理解相关内容。
一、波粒二象性（Wave-particle duality）波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质，也具有波动性质。
在量子力学中，粒子的行为既可以用粒子模型解释，也可以用波动模型解释。
这一概念首先由德布罗意（Louis de Broglie）提出，并在实验中得到了验证。
1. 德布罗意假设德布罗意提出，与粒子相对应的波动特性可以用波长（也称为德布罗意波长）来描述，其公式为λ = h/p，其中λ 是波长，h 是普朗克常量，p 是粒子的动量。
这一假设为量子力学奠定了基础。
2. 实验验证实验中，例如双缝干涉实验和扫描隧道显微镜实验，通过观察到物质波的干涉和衍射现象，验证了波粒二象性的存在。
这些实验结果对量子力学的发展产生了深远的影响。
二、波函数和薛定谔方程（Wave function and Schrödinger equation）波函数是量子力学中用来描述粒子状态的数学函数。
在波函数的框架下，薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律，是量子力学的基本方程之一。
1. 波函数的概念波函数用Ψ 表示，其表示了粒子在空间中的分布。
波函数的模长的平方|Ψ|^2 表示了粒子在某个位置被观测到的概率密度。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学体系演化的基本方程，可以写作HΨ = EΨ，其中 H 是哈密顿算符，Ψ 是波函数，E 是体系的能量。
薛定谔方程将量子力学问题转化为一个本征值问题，解这个方程可以得到体系的能级和波函数。
三、量子力学的观测和不确定性原理（Observation and uncertainty principle）量子力学中的观测和不确定性原理是描述微观领域的探测和测量所面临的限制。
原子物理学第三次作业答案 (10)
第四章 复杂原子的能级结构及光谱复杂原子：除碱金属原子外，核外有两个和两个以上电子的原子。
以最简单的复杂原子He 原子（两个核外电子）为例，受力情况：电子1：库仑力 1f ,1,2f ；)()(1,211t f t f F+=磁场力。
电子2：库仑力2f , 2,1f ；)()(2,122t f t f F+=磁场力。
结论：复杂的受力使原子的相互作用能量计算非常复杂！无法精确求解, 必须采用近似计算方法。
§4.1 复杂原子中电子的本征函数和本征能量4.1.1 平均有心力场近似 回顾： 氢原子和类氢原子：022041r r Ze F n πε-=， ⇒ r Ze r V 2041)(πε-= 碱金属原子：022*041r r e Z F n πε-=，⇒ re Z r V 2*041)(πε-= 共同特点：（1）电子受有心力作用（指向核，属保守力），可以引入作用势能；（2）势能和时间无关，可用定态S. eq 求解；（3）磁场力远远小于库仑力，解定态S. eq 时不考虑磁场力（能量）。
对复杂原子计算的启示：（1）首先，忽略磁场力；（2）假定：每个电子都处于一个“平均有心力场”的作用，则可以引入作用势能，作用势能和时间无关。
电子1：)()(1,211t f t f F +=1112)(r r r F -=, ⇒ )(11r V12Ze 1l 1s2s 2l电子2：)()(2,122t f t f F +=2222)(r r r F -=, ⇒ )(22r V一般地，由N 个电子组成的原子，第i 个电子受力及势能为：iii i i r r r F F )(-=, ⇒ )(i i r V（1）设：u i (r, ϕ,θ) 和 εi 为此第i 个电子的本征波函数和能量本征值，其定态S. eq 为：[μ222i ∇- +V i (r i )] u i (r i , ϕi ,θi ) = εi u i (r i , ϕi ,θi )（2）(2) 式的解为：u i (r i , ϕi ,θi ) ＝R ni, li （r i ）Y li, mi （θi , ϕi ）（3）式中，Y li, mi （θ, ϕ）：球谐函数，同氢原子；R ni, li （r ）：径向函数，不同氢原子。
广州大学原子物理学简答题整理
为什么T.M.不能解释a粒子散射实验？TM提出了“葡萄干面包模型”认为原子的大部分质量和正电荷均匀分布在整个原子球体内，而电子镶嵌在其中。
这样根据计算原子表面正电荷所组成的电场较小，α粒子以趋近于光速的速度打向原子应该是直接穿透原子。
而实验表明，实验证明大多数散射角很小，约1/8000散射角大于90°极个别的散射角等于180°；为什么卢瑟福散射理论在q角较小时不适用？•大角散射=一次大角+很多次小角（忽略小角散射）•小角散射=多次小角散射•卢瑟福理论核外电子屏蔽效应，在小角时相当于大的碰撞参数，那时候，在一般实验条件下，核外电子的作用可以忽略的假定就不再成立。
在碰撞参数b到达院子大小时，由于原子呈中性，库伦散射根本不会发生。
卢瑟福模型的问题和困难。
1、原子稳定性问题：电子在核外作加速运动，因辐射电磁波（发光）而损失能量，将导致原子坍缩（~10-9s）;2、原子线状光谱问题：电子因作加速运动而发光，其频率随其能量的减小而连续变化，应是连续光谱;3、原子的同一性问题：同种元素的原子都一样，而没有两个相同的太阳系；4、原子的再生性问题：a粒子散射后原子很快复原，而行星被彗星撞击后不会；第二章玻尔氢原子理论的三条假说？1频率条件：当原子从一个能量状态跃迁到另一个状态时，会发射或吸收一个光子，光的频率决定于跃迁前后两状态的能量差。
2定态假说：氢原子的核外电子只能在某些特定的分立轨道上绕核运动，这时电子虽然做加速运动，但是并不辐射电磁能量，这些具有确定能量的轨道是一些稳定的状态——定态。
（轨道半径是分立的，是量子化的）3,、角动量量子化假说：电子轨道运动的角动量是量子化的，只能ћ取的整数倍。
原子中能够实现的电子轨道必须满足下列条件：原子光谱系限外的连续光谱的物理解释；如果定义距离核无穷远处的势能为0，那么位于r=∞处的电子势能为0，但可具有任意的动能 E K =1/2 mV 02，当该电子被 H + 捕获并进入第n 轨道时，具有能量 En 相应两能级的能量差为 021mV E E E N W =-=∆ 所以n E mV hc-=021λ因为E n 是一定的，而V 0是任意的，所以可以产生连续的λ值，对应连续的光谱，这就是原子光谱系限外出现连续光谱的原因弗兰克-赫兹实验简介及物理意义；☐ 弗兰克-赫兹实验是用电子碰撞原子的方法，使原子从低能级跃迁到高能级。
如何证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开
如何证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开文章标题：深入探讨：如何证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开在量子力学中，总角动量平方本征态的性质一直是一个备受关注的领域。
在本文中，我们将深入探讨如何证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开。
通过对这一主题的全面评估，我们将带您进入一个关于量子力学的深度与广度兼具的探索之旅。
1. 基本概念让我们回顾一下总角动量平方本征态的基本概念。
总角动量算符是量子力学中的一个重要概念，它描述了一个粒子的旋转运动。
在三维空间中，总角动量算符可以表示为L^2 = Lx^2 + Ly^2 + Lz^2。
而总角动量平方本征态则是指总角动量算符的本征态，满足L^2|l, m> = ħ^2l(l+1)|l, m>的特殊状态。
在深入探讨中，我们将重点关注如何证明这些本征态是球谐函数的展开。
2. 球谐函数的基本性质在证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开之前，我们需要先了解球谐函数的基本性质。
球谐函数是描述三维空间中各向同性系统的函数，它在原子物理、量子力学等领域有着广泛的应用。
球谐函数具有正交性、归一性和递推关系等特点，这些性质是理解总角动量平方本征态展开的重要基础。
3. 证明过程接下来，让我们深入探讨如何证明总角动量平方本征态是球谐函数的展开。
我们可以利用角动量算符的对易关系和本征值方程的性质，推导出总角动量平方本征态与球谐函数的关系。
通过对球谐函数的展开和总角动量算符的性质进行适当的变换和简化，我们可以得到总角动量平方本征态与球谐函数的具体表达式。
通过对比和验证，我们可以得出总角动量平方本征态确实是球谐函数的展开，从而完成了证明过程。
4. 个人观点与理解对于这一主题，我个人认为理解总角动量平方本征态是球谐函数的展开需要具备扎实的量子力学和数学基础。
需要通过对角动量算符、球谐函数等相关概念的深入学习和探讨，才能够更加全面、深刻地理解这一证明过程。
我认为在学习过程中，注重逻辑思维和数学推导能力的培养也至关重要。
结构化学习题集(厦大考研复试题)
结构化学习题集习题1:1.1 某同步加速器,可把质子加速至具有100×109eV的动能,试问此时质子速度多大？1.2 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光子的能量。
1.3 在黑体辐射中，对一个电热容器加热到不同温度，从一个针孔辐射出不同波长的极大值，试从其推导Planck常数的数值：T/℃1000 1500 2000 2500 3000 3500l max/nm 2181 1600 1240 1035 878 7631.4 计算下列粒子的德布洛意波长(1) 动能为100eV的电子;(2) 动能为10eV的中子;(3) 速度为1000m/s的氢原子.1.5 质量0.004kg子弹以500ms-1速度运动，原子中的电子以1000ms-1速度运动,试估计它们位置的不确定度, 证明子弹有确定的运动轨道, 可用经典力学处理, 而电子运动需量子力学处理。
1.6 用测不准原理说明普通光学光栅(间隙约10-6m)观察不到10000V电压加速的电子衍射。
1.7 小球的质量为2mg,重心位置可准确到2μm,在确定小球运动速度时,讨论测不准关系有否实际意义?1.8 判断下列算符是否是线性\厄米算符：（1）（2）（3）x1+x2（4）1.9 下列函数是否是的本征函数？若是，求其本征值：（1）exp（ikx）（2）coskx （3）k （4）kx1.10 氢原子1s态本征函数为（a0为玻尔半径），试求1s态归一化波函数。
1.11 已知一维谐振子的本征函数为其中a n和α都是常数，证明n=0与n=1时两个本征函数正交。
1.12 若是算符的本征函数(B为常数), 试求α值，并求其本征值。
1.13 计算Poisson 方括,1.14 证明Poisson 方括的下列性质:(1)(2)1.15 角动量算符定义为:, ,证明: (1) (2)1.16 在什么条件下?1.17 设体系处于状态中，角动量和M Z有无定值。
南开大学结构化学习题及答案
1.5 计算动能为 300eV 的电子的 de Broglie 波长。
(3)写出 1s 电子概率密度最大处离核的距离。 2.8 (1)H 原子基态能量为-13.6eV，据此计算 He+离子基态的能量；
(2)若 He 原子基态能量为-78.61eV，据此计算 H-离子基态的能量(假定 He 原子和 H-离子中有相同的屏蔽常数)；
2.9
若用 p+1 和 p-1 依次分别代表两个复球谐函数 Y1,1(,
是下面哪些算符的本征函数？
(1) Hˆ (2) pˆ x2 (3) pˆ x (4) xˆ
1.38 求处于一维势箱 2 sin nπx 状态粒子的动量大小(即其绝对值|p|)。 ll
2
结构化学习题
第二章
2.1 若 AeBr 是 H 原子 Schrödinger 方程的一个解，这是一个球对称的波函数(只含变量 r，不含变量和)。以此波函数作 为未知函数代入 H 原子 Schrödinger 方程 (1)定出常数 B 和该状态下相应的能量 E； (2)定出归一化常数 A； (3)写出 B 与波尔半径 a0 之间的关系式； (4)若用 Rydberg 常数(R = 13.6eV)作能量单位，该状态下的能量 E 是多少？
1.36 三维方箱(箱长为 a)中粒子所处状态为
8 a3
sin
πx a
sin
2πy a
sin
πz a
，请写出粒子出现概率密度最大点的坐标；不考虑边
氦原子1s2s组态能量
引以一个参数λ，令 H H (0) H ' ，当λ=0 时， H H (0) 即未微扰体系，当λ=1 时，出现微扰项，微扰态的薛定谔方程为
( H (0) H ') n En n
将 n 和 En 按λ的幂的泰勒级数展开，有
(1)
(H (0) H ')( n(0) n(1) ' n(2) )
,
2 1 Z I (1s) (1s 0 m (r1 ) 1s 0 m (r1 )) 2 r1
,
（19）
I (2s) (2 s 0 m (r2 )
2 Z 2 2 s 0 m (r2 )) 2 r2
,
（20） （21）
1 2 2 2 F 0 (1s, 2s) R12s (r1 ) R2 s (r2 )r 1 r2 d r1 d r2 , r 0 0 G (1s, 2s)
1
r R (r ) R2 s (r2 ) R2 s (r1 ) R1s (r2 )r12r22d r1 d r2 . 2 1s 1 r 0 0
（22）
式中： r min(r1 , r2 ) ， r max(r1 , r2 ) 在本文中 r1 r2 ，故 r min(r1, r2 ) r1 ， r max(r1 , r2 ) r2 , 为保证激发态波函数与基态波函数正交，将试探性单电子径向波函数取为：
(0)
将以上各式代入（17） （18）式，得到用参数 和 表示的能量表达式为
2c (Z 1) (Z 1) (1 c) E( S ) Z 2 8 4 4(1 3c 3c 2 )
（13）
多电子原子光谱-- 电偶极跃迁的选择定则
轫致辐射(bremsstrahlung，刹车辐射)
hν= T − T ′
hν max=
hc
λmin
= T= eU
杜安(W. Duane)和亨特(P. Hunt)于1915年实验测定了h 值，与利用光电效应 实验测定的h值十分接近。
§4.5原子的内层能级和特征X射线—X射线的能谱 X射线特征谱
当加速电压大于一定值时，在连续谱 上出现了分立的线谱： (1) 其波长与加速电压无关，只与靶 材料有关，因此称为特征谱。
(2) 不同的靶材料，除了波长不同外， X射线的特征谱具有相似的结构。
§4.5原子的内层能级和特征X射线—X射线的能谱
1913年，莫塞莱(H. G. J. Moseley)系统地测量了从铝到 金总共38种元素的特征谱。 发现特征谱包含两组谱线，按波长的次序称为： K线系：Kα、Kβ、Kγ 等谱线； L线系：Lα、Lβ、Lγ 等谱线。 原子序数大的元素会出现更多的谱系，分别称为M系，N系。
电偶极辐射的选择定则 (多电子原子情形) 拉波特定则：跃迁只允许在宇称相反的态之间发生。
在中心力场下，单电子的波函数为
unl ml (r ) = Rnl (r )Ylml (θ ,φ )
空间反演 r → -r
Otto Laporte
在球坐标下，这种反演变换为：
r→r θ → π −θ φ →π +φ
45原子的内层能级和特征x射线x射线的能谱20406080050607080910wmocufecrlkz112m12k线和l线的莫塞莱图各元素的特征线波数的平方根与原子序数原子核电荷数成线性关系k线22211112krz?????????莫塞莱经验公式l线222117423lrz?????????莫塞莱定律根据实验测量的特征线波数从莫塞莱图上就可以标识元素的种类所以特征谱又称为标识谱
关于原子的电子组态、谱项和精细结构
关于原⼦的电⼦组态、谱项和精细结构\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\def\t#1{\text{#1}}\def\bra#1{\langle#1|}\def\ket#1{|#1\rangle}\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}参考了《原⼦结构理论》(黄时中), 《⾼等量⼦⼒学》(喀兴林), 《物理学中的群论》(Joshi), 《原⼦结构的量⼦理论II》(Slater)。
第⼀本书推导⼗分⼗分详细, 但不提群论。
⽤群论会很直观简洁, 在最后⼀本书第19章有。
可能有错, 姑妄⾔之。
2019-09-30修改。
补充了j-j耦合。
对于单个具有n个电⼦的原⼦, 如果把原⼦核视为⼀个电荷Z的点电荷且不考虑⾃旋(忽略旋-轨耦合和超精细结构), 则⾮相对论的 Schrodinger ⽅程写为\left[\sum_{i=1}^n\left(-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}\right)+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{1}{r_{ij}}\right]\Psi(x_1,\cdots,x_N)=E\Psi(x_1,\cdots,x_n)上式左边为系统哈密顿, x_i包含了i电⼦的空间坐标和⾃旋坐标。
Hartree ⽅程和 Hartree-Fock ⽅程Hartree⽅程可以从直觉得到。
先假设多电⼦态写为\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\cdots\psi_n(x_n), 现在要得出各个电⼦的态所满⾜的⽅程。
考虑两电⼦之间的库仑排斥能, 则可以写出各个单电⼦态满⾜的⽅程(组)\left[-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}+\sum_{i\neq j}\int\frac{|u_j(\vec{r}_j)|^2}{r_{ij}}\text{d}^3\vec{r}_j\right]u_i(\vec{r}_i)=\lambdau_i(\vec{r}_i)其中u_i(x_i)是\psi_i(x_i)的空间部分, 或者说\psi_j(x_i)=u_j(\vec{r}_i)\chi_{j}(\sigma_i), ⽽\chi是⾃旋部分, 这⾥j是态编号, i是电⼦编号。
球形对称势的移动1／K展开解法
球形对称势的移动1／K展开解法
胡经国
【期刊名称】《扬州师院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(16)3
【摘要】就一般的球形对称势,扩展移动1/K展开,对任意数量的n和l,准确地给出了截断到1/项的三级微扰论的结果,以计算Morse势的1s,2s,3s和4s态能谱。
结果表明,对于势变化趋势的缓慢情形,这种近似求解结果可靠,收敛良好。
【总页数】4页(P50-53)
【作者】胡经国
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O561.3
【相关文献】
1.非球形轴对称粒子光散射的散射矩阵元素展开系数的数值计算 [J], 丁继烈;许丽生
2.轴对称跨声速流全速势方程的一种解法 [J], 林超强
3.超对称势作用下束缚态体系能量本征值的代数解法 [J], 王长荣
4.球形对称势的能谱计算 [J], 胡经国
5.Morse势的移动1／K展开解法 [J], 凌寅生;陈尧
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赝势平面波方法
赝势平⾯波⽅法第3章赝势平⾯波⽅法(I)基于密度泛函理论的赝势平⾯波⽅法可以计算很⼤范围不同体系的基态属性，它采⽤了平⾯波来展开晶体波函数，⽤赝势⽅法作有效的近似处理。
由于平⾯波具有标准正交化和能量单⼀性的特点，对任何原⼦都适⽤且等同对待空间中的任何区域，不需要修正重叠误差。
因此平⾯波函数基组适合许多体系，其简单性使之成为求解Kohn-Sham ⽅程的⾼效⽅案之⼀。
另外，赝势的引⼊可以保证计算中⽤较少的平⾯波数就可以获得较为可靠的结果。
该⽅法具有较⾼的计算效率，使之⽇益发展成为有效的计算⽅法。
本章⾸先对赝势平⾯波⽅法进⾏重点讨论，其次介绍了基于第⼀性原理计算软件⼀般步骤，最后结合Materials Studio 软件包应⽤，对锐钛矿型TiO 2(101)表⾯及其点缺陷结构进⾏建模和计算。
3.1 基本原理基于密度泛函理论的第⼀性原理计算实质是求解Kohn-Sham ⽅程。
实际求解Kohn-Sham ⽅程时，由于原⼦核产⽣的势场项在原⼦中⼼是发散的，波函数变化剧烈，需要采⽤⼤量的平⾯波展开，因⽽计算成本变得⾮常⼤，所以在计算中选取尽可能少的基函数。
计算中选择的基函数与最终波函数较接近则收敛较快，当然包含的维度也应该尽量少。
众所周知，根据研究对象不同，选择基函数的⽅法也不同的，如原⼦轨道线性组合法(LCAO-TB)、正交平⾯波法(OPW)、平⾯波赝势法(PW-PP)、缀加平⾯波法(APW)、格林函数法(KKR)、线性缀加平⾯波法(LAPW)、Muffin-tin 轨道线性组合法(LMTO)等，选取典型代表⽅法在随后的章节中重点展开讨论。
与LAPW ，LMTO 等精度较⾼的第⼀性原理计算⽅法⽐较，平⾯波赝势法是计算量较少的⽅法，适⽤于计算精度要求不严格，因原胞较复杂⽽导致计算量陡增加的体系。
为此，本章将重点学习赝势平⾯波⽅法，先学习电⼦能带的平⾯波基底展开以及赝势等相关基本概念，然后再讨论赝势引⼊原理。
黑龙江省大庆市喇中高考物理复习 考题精选(129) 核反应核能
高中物理考题精选〔129〕——核反响核能1、某科学家提出年轻热星体中核聚变的一种理论，其中的两个核反响方程为()H＋C―→N＋Q1H＋N―→C＋X＋Q2方程式中Q1、Q2表示释放的能量，相关的原子核质量见下表：原子核H He He C N N质量/u 1.007 8 3.016 0 4.002 6 12.000 13.005 7 15.000 1以下推断正确的答案是()A．X是He，Q2>Q1 B．X是He，Q2>Q1C．X是He，Q2<Q1 D．X是He，Q2<Q1答案解析：H＋C→N中质量亏损为Δm1＝1.007 8 u＋12.000 u－13.005 7 u＝0.002 1 u，根据电荷数守恒和质量数守恒可知H＋N―→C＋X中X的电荷数为2、质量数为4，质量亏损为Δm2＝1.007 8 u＋15.000 1 u－12.000 0 u－4.002 6 u＝0.005 3 u，根据爱因斯坦的质能方程可知Q1＝Δm1c2、Q2＝Δm2c2，如此Q1<Q2.答案：B2、铀是常用的一种核燃料，假设它的原子核发生了如下的裂变反响：，如此a+b可能是( )A．B．C．D．答案 D【解析】重核裂变反响方程的书写应遵循质量数守恒和电荷数守恒，题述核反响方程左边反响物的质量数和电荷数分别为236和92，生成物中“a+b〞整体的质量数和电荷数应该分别为234和92，只有选项D符合要求。
3、如下说法正确的答案是()A．铀核裂变的核反响是：92238U→ 90234Th＋24HeB．24He核由两个中子和两个质子组成C．24He＋1327Al→1530P＋01n是α衰变方程D．氢原子吸收一个光子从低能级跃迁到高能级，氢原子的电势能增加了答案解析：92238U→ 90234Th＋24He是α衰变方程，A错误；24He核由两个中子和两个质子组成，B正确；24He＋1327Al→1530P＋01n属于人工核转变，C错误；氢原子吸收一个光子从低能级跃迁到高能级，氢原子的电势能增加，总能量增加，动能减小，D正确．答案：BD4、铀核裂变是核电站核能的重要来源，其一种裂变反响式是95235U＋01n→ 68144Ba＋3689Kr ＋301n.如下说法正确的有()A．上述裂变反响中伴随着中子放出B．铀块体积对链式反响的发生无影响C．铀核的链式反响可人工控制D．铀核的半衰期会受到环境温度的影响答案解析：由核反响方程知有中子生成，A正确；铀块体积和铀块纯度对链式反响的发生都有重要影响，B错误；核反响堆的铀核链式反响的速度可人工控制，C正确；放射性元素的半衰期由核本身的因素决定，与环境温度无关，D错误．答案：AC5、在众多的裂变反响中，有一种反响方程为92235U＋01n→ 56141Ba＋3692Kr＋aX，其中X 为某种粒子，a为X的个数，如此()A．X为中子，a＝2 B．X为中子，a＝3C．X为质子，a＝2 D．X为质子，a＝3答案解析：由质量数、核电荷数守恒得，92235U＋01n→ 56141Ba＋3692Kr＋301n，所以X为中子，a＝3，故B正确．答案：B6、下面关于结合能和平均结合能的说法中，正确的有〔〕A．核子结合成原子核吸收的能量或原子核拆解成核子放出的能量称为结合能B．平均结合能越大的原子核越稳定，因此它的结合能也一定越大C．重核与中等质量原子核相比拟，重核的结合能和平均结合能都大D．中等质量原子核的结合能和平均结合能均比轻核的要大答案 D7、一个电子(质量为m，电量为－e)和一个正电子(质量为m，电量为e)，以相等的初动能Ek 相向运动，并撞到了一起，发生“湮灭〞，产生两个频率一样的光子，设产生光子的频率为ν；假设这两个光子的能量都是hν，动量分别为p和p′，如下关系中正确的答案是________。
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超球谐展开的收敛行为)))He 原子的1S 态
超球坐标表象中,超球谐的高简并度使得我们在实际计算中不能按角动量量子数增加的顺序选取基函数,而仅能选取几个子集.究竟选择哪些子集带来的误差小,每一子集下截止于多大的量子数,这些问题对于超球坐标理论的应用和推广有重要的意义.我们利用相关函数-超球谐-广义Laguerre 函数方法(CFHHGLF)[1],直接求解He 原子n 1
S (n =1~3)态的Schr Êdinger 方程,通过讨论本征能随超球谐子集的收敛行为,分析上述问题.
选取非对称超球坐标,相关因子为ex p[-Z (r 1+r 2)],将波函数依次向三维空间角动量量子数l =0,1,2,3,,,n ,及广义角动量为偶数的超球谐展开.l =0的收敛本征能与组态相互作用(CI)变分计算的径向极限值s_limits [2]一致,分别为-21879029a.u.(11S),-21144200a.u.(21S),和-21060794a.u.(31S).l =1,2,3的收敛本征能与Jankow s -ki [2]的sp_limits (-21900520[2]~-21900517a.u.,本文计算值),spd_limits (-21145766[2]~-21145769a.u.),spdf_limits (-21061215[2]~-21061215a.u.)非常相近.l =8时的21S 态本征能(-21145974a.u.),l =6时的31S 态本征能(-21061272a.u.)均与精确的Hy lleraas CI(HCI)变分计算的结果吻合.l =15时11S 的结果与H CI 值小数点后第5位仅相差1(-21903724[3]~-21903713a.u.),这说明CFHHGLF 方法在精度上已可与变分法相比拟.我们还得出下列结论:
(1)l X 0的超球谐函数对不同态本征能的校正,从11S 到31S 态逐渐减小.
(2)相对于精确值,l =2时的本征能仍有较大的偏差.l =4以后,21S 和31S 态的本征能仅在小数点后第6位变化.而含对间电子相关的11S 态,l =5的本征能相对于l =4还下降了01000086a.u..这说明Klar [4]曾指出的超球谐展开截止于l =2是不合适的,要得到精确的能量,还需考虑较大l 的超球谐函数,且电子相关能越大,需选取的l 亦越大.
(3)l =0的超球谐函数仅能给出径向相关能;要得到角度相关能必须考虑l X 0的超球谐.随l 的增加,简并超球谐的贡献减小,故在每一l 下,超球谐函数的数目不必取得太多.致谢 本工作为山东大学青年基金(AA 05)、山东大学跨世纪人才基金(A03)资助项目.参 考 文 献
1 Wang Y X,Deng C H,Feng D C.S olutions of the Schr Êdinger equations for the lithium and excited helium (21S )atoms w ith
a correlation_functi on hyperspherical harmonic and generalized Laguerre function expansi on method.Phys Rev A,1995,51
(1):73~78
2 Jankow ski K,M alinow ski P,Polasik M.Convergence patterns of the confi guratuioninteraction expansion for excited 21S and
31S states of the helium atom.J Phys B,1977,10:1231~1237
3 Drake G W F,Yan Z C.Vari ational eigenvalues for the S states of helium.Ch em Phys Letter,1994,229:486~490
4 Klar H,Klar M.An accurate treatment of tw o_electron systems using hyperspherical coordinates.J Phys B,1980,15:1057
~1072
王沂轩¹ 弭云杰¹ 邓从豪¹ 卢秀慧º
(¹山东大学化学院,济南250100;º济南大学化学系,济南250002)1119第43卷 第10期科 学 通 报1998年5月
研究通讯。