陈君镇论文《因动点产生的线段最值问题》(中考专题复习课教案)
九年级中考复习题——线段最值 教案 (1).docx
中考复习专题————线段最值教学目标：1.在问题转化、建模过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.体验数学在生活实际的广泛应用性，发展数学思维.3.掌握求线段最值的方法.教学重难点：1.利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”构造图形和求最值.2.图形的理解和运用.教学过程：一、引例：1.如图，在直角△AOB中，OA＝OB =32，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P 作⊙O的一条切线PQ（Q为切点），则PQ的最小值为_______.2.如图，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为直角边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是______.二、精讲精练.(1)轴对称系列1.(2017南通)如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为___________2：如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足1 3PAB ABCDS S∆=矩形到A、B两点距离之和PA+PB的最小值是____________3：如图，已知∠AOB =60°，OC平分∠AOB，M在OB上且OM=4，P为OC上一动点，Q 为OB上一动点，则MP+PQ的最小值是________4.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________________．5.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠C=60°，AC=8，D、E、F分别是三边上的动点，则△DEF 周长的最小值为____(2)平移系列：6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？A BCDPOACMPQbaAB小结作业。
初中数学_第三章二次函数《动点产生的线段最值专题》教学设计学情分析教材分析课后反思
第三章二次函数《动点产生的线段最值专题》教学设计【教学目标】1.经历基本线段竖直线段和水平线段的求法，通过问题串的形式，分析表达因动点产生的竖直线段的关键，体验建立函数模型及最值求解的过程。
2.通过变式及拓展练习，体会转化的数学思想的应用，将因动点产生的水平线段、斜线段、周长及面积最值问题转化为竖直线段的最值求法，培养学生构建二次函数模型，并借助基本图形解决问题的意识及能力。
【教学重点】因动点产生的竖直线段的最值求法。
【教学难点】通过转化的数学思想，将新的问题转化为已有的知识经验解决。
【教学过程】课前预热：回忆一下，我们学过的有关线段最值的知识？有关求解线段和差最值的问题？设计意图：回忆已学过的有关线段最值的问题，指出之前学习的有关动点的问题均是动点在直线上运动。
中考中，经常遇到在二次函数的图象上因动点产生的线段最值问题，对于这类问题，往往需要建立函数模型，根据函数的图象与性质，解决最值问题。
一、知识回顾1.在x轴上（平行与x轴的直线上）两点间的距离2.在y轴上（平行与y轴的直线上）两点间的距离设计意图：通过知识回顾两个基本线段竖直线段和水平线段的求法，为本节课的学习作铺垫。
二、问题引入已知二次函数322--=x x y 的图象如图所示.与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点（不与B ,C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点Q .（1） 点A ,B ,C 的坐标分别是：____、_____、____.（2） 直线BC 的解析式：_____________.（3） 设点P 的横坐标为x ，则线段PQ =_______，当x =______时，PQ 有最____值，为_______ .总结：_________________________________________.设计意图：通过问题引入环节，讲解基本线段竖直线段的最值求法，以问题串的形式呈现，逐步搭建台阶，分析出表达线段PQ 的关键是表达点P 、Q 点的坐标，通过竖直线段最值问题的总结，让学生明确具体的求解思路。
数学人教版八年级上册中考几何复习专题——线段最值问题
《中考几何复习专题——线段最值问题》教学设计【教学目标】教学知识点：借助轴对称、平移、旋转等图形的变化，利用“两点之间线段，线段最短”，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的原理解决线段和差最值的问题;感受临界状态和转化的数学思想.能力训练：在将实际问题抽象成基本数学模型的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】重点: 线段和的最小值，线段差的最大值的基本模型.难点:利用平移和旋转解决三条线段和的最小值问题.【教学过程】一、复习线段和最小值，线段差最大值两个基本模型。
(1)“将军饮马问题”如图：A、B为直线同侧两定点，在直线上找一点P，使PA+PB最小。
学生回答解决方法：利用轴对称将同侧点转化为异侧，根据两点之间，线段最短找到点P 。
师生共同完成证明（任意另取一点P ’,借助三角形两边之和大于第三边P’完成证明）。
（2）如图：A 、B 为直线同侧两定点，在直线上找一点P ，使│PA —PB │最大。
点学生回答解决方法：师生共同完成证明（任意另取一点P ’,借助三角形两边之差小于第三边│P’A —P’B’ │>│PA-PB’ │，完成证明）。
二．练习强化如图，在正方形ABCD 中，AB=4,点E 为AB 上一点，BE=1A（1）在BD上找一点M，使EM+AM最小，求出最小值. （2）在BD上找一点M，使︱AM-EM ︱最大，求出最大值. （3）MN为BD上的一条动线段，MN= ，求EM+MN+NA 的最小值.（引出“造桥选址问题”）（4）在BD上找一点M，使AM+BM+CM最小，求出最小值. （引出“费马点”问题）三.造桥选址基本模型•A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处可使从A到B的路程最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）学生先独立思考，再合作交流，教师给予”平移”动线段的提示共同解决问题。
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计(可编辑修改word版)
二次函数综合性问题——线段的最值教学设计重庆一中唐小力一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。
主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26 题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。
本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法。
2、过程与方法通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。
3、情感态度价值观（1）使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。
本节课的教学重点是“探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法”，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。
四、教学过程（一）利用例题，复习引入例:如图，已知二次函数y =-x2- 2x + 3 的图象交x 轴于A、B 两点（A 在B 左边）交y 轴于点C .（1）求A、B、C 三点的坐标和直线AC 的解析式.设计意图：这是重庆中考 26 题的第一小问，利用二次函数解析式求解点的坐标，主要是提醒学生注意书写格式，为中考得分打下坚实的基础.（2）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PQ//y 轴交直线AC 于点Q，求线段PQ 的最大值.分析：因为PQ//y 轴，所以点 P 与点Q 的横坐标相同，从而设出点 P，点Q 的坐标，PQ 的长度即为 P，Q 两点的纵坐标之差的绝对值，从而转化为求二次函数的最值问题.（3）P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A,C重合)过P作PM//x轴交直线AC于点M，求线段PM 的最大值.分析：由（2）问的竖直方向的线段转化为水平方向的线段，线段 PM 的长度就转化为横坐标之差的绝对值.总结：以上的线段是水平和竖直方向的线段，均可通过设点坐标的方法，找到两点间的联系，从而化为二次函数的最值问题.问：如果是倾斜方向的线段呢？请看以下几个例题.（4）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),求点P 到直线AC 距离PM 的最大值. 分析：过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q，则△PQM 为等腰直角三角形，于是将求PM 最大值转化为求PQ 的最大值.（5）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q, PH ⊥AC 于H,求∆PQH 周长的最大值.设计意图：第（5）问是第(4)问的延伸，主要是利用等腰直角三角形中斜边与直角边的关系求解，通过讲解第（4）问，让学生独立完成第（5）问，并邀请学生讲解.（6）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),连接BC，过P 作PN//BC 交直线AC 于N，求线段PN 长度的最大值.分析：将（4）问中垂直于AC 的一条直线改为平行于BC 的直线，线段不同，方法类似，即：过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q，经探索发现：∠PQN = 45︒，∠QPN =∠OCB ，所以：△PQN 是一个形状不变的三角形，当PQ 最大时，PN 最大（7）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q , 作PN //BC交直线 AC 于 N ，求∆PQN 周长的最大值.设计意图：第（7）问是第(6)问的延伸，主要是利用△PQN 中∠PQN = 45︒ ，tan ∠PQN = 1，从而找到三边的关系，通过讲解第（6）问，让学生独立完成第（7）问，3并邀请学生讲解.总结：通过这 7 个例子的学习，我们发现对于倾斜方向的线段解决起来比较困难，但是我们可以通过转化的方法，将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段进行求解，也就是我们这节课最重要的解决线段最值的基本方法：化斜为直。
2024年中考数学专题复习教案—最值问题(1)
2024年中考数学专题复习教案—最值问题(1)教学目标：通过专题复习,发展学生应用综合知识分析问题、解决问题的能力,提高综合应试水平. 复习重点：两点之间，线段最短复习策略：讲练结合、举一反三,变式理解. 教学过程：例1.如图,四边形ABCD 中,50C ∠=o ,90B D ∠=∠=o ,E 、F 分别是BC 、DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( D ) A.50° B.60° C.70° D.80°变式：如图,BD 是△ABC 的角平分线,它的垂直平分线分别交AB ,BD ,BC 于点E ,F ,G ,连接ED ,DG .(1)请判断四边形EBGD 的形状,并说明理由；(2)若∠ABC = 30°,∠C = 45°,ED =点H 是BD 上的一个动点,求HG + HC 的最小值. 解:(1)四边形EBGD 是菱形.理由略(2)作EM ⊥BC 于M ,DN ⊥BC 于N ,连接EC 交BD 于点H ,此时HG + HC 最小可求12EM BE ==EM DN =MN DE ==求得DN = NCMC =EC ∴HG + HC的最小值为.例2.如图,在Rt △ABC 中,90B ∠=o ,4AB =,BC ＞AB ,点D 在BC 上,以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中,DE 的最小值是 4.4 .ABCD EOAA BCDEF GM H变式：如图,在Rt △OAB 中,∠O =90°,4OA OB ==,O 的半径为1,点P 在直线AB 上,过点P 作O 的切线PQ ,Q 为切点,求切线长PQ 的最小值. 解:∵P 作O 的切线∴PQ ⊥OQ在Rt OPQ △中,222PQ OP OQ =- ∵1OQ =∴当OP 最小时,PQ 最小OP 的最小值为O 到直线AB 的距离22 ∴PQ 最小值为7.例3.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=o ,2AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点,若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P 、D (P 、D 两点不重合)两点间的最短距离为3 2-2.变式：已知,如图1在Rt △ABC 中,∠A = 90°,22AC AB ==D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若将△ABC绕点A 逆时针旋转,得到11AB C △,设旋转角α(0＜α＜360°),记直线1DB 与1EC 的交点为P . (1)如图2,当α = 135°时,直线1DB 与1EC 的位置关系是11DB EC ⊥； (2)如图3,当α = 90°时,求点P 到直线AD 的距离；(3)当△ABC 绕点A 逆时针旋转一周时,点P 到直线AD 的距离是否存在最大值?若存在,求出P 点到直线AD 的最大距离；若不存在,请说明理由.ABCDAC D 图1AP EB 1C 1图2ECP图3QPBAO解:(2)由1C P DC ⊥可得1B PE △∽1C AE △,由11C E AEB E PE =求得PE = 过点P 作PF AD ⊥于点F 可证1C AE △∽1C FP △ 由11C E AEC P PF=求得PF = (3)可证∠EPD = 90°,点P 在以ED 为直径的圆上当PF 过ED 的中点时,点P 到直线AD 的距离最大,设ED 的中点为O ∴P 点到直线AD的最大距离为1+.作业布置：配套练习专题6 选做题： 教学反思：C 图3。
二次函数线段问题教学设计
九年级下册教学设计科目数学设计者陈志璐学校龙湖一中授课班级学生人数课题二次函数专题——线段的最值问题课型新授授课日期 2019.12.05一、教材分析：本节课是北师大版九年级数学下册内容，是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。
主要内容包括:利用二次函数的相关知识解决河南中考压轴题23题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值问题，争取让学生逐个解決问题，从而得分。
本节课的设计是从求水平或者铅锤的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取数学知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
二、单元（章节）目标1、通过二次函数线段的最值问题的探究，能利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及总结出将倾斜线段转化为水平或者铅锤的方法。
2、逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。
3、通过对解决同题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟恶活动中多动胸筋、独立思考、合作交流的重要性，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
三、学情分析：1、学生的年龄特点和认知特点此阶段学生有比较强烈的自我发展意识。
本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。
2、学生在学习本课前应该具备的基本知识和技能学生在本节课之前，已经学习过二次函数的概念、图像及性质和应用，对二次函数已有了初步的认识。
在此基础上学习二次函数线段最值问题，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，也为中招考试第23题做好复习，为后继学习二次函数面积问题做了铺垫，也为后续学习函数产生了积极的影响。
四、学习目标：1、通过对二次函数线段最值问题的探究，能用设点坐标的方法解决线段的最值问题。
中考数学专题复习《线段最值(将军饮马模型)》课件
MD
A
NB
例4 如图A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到 草地MN某一处去牧马，再到河边ON饮马，然后回到帐篷。请你帮 助确定这一天的最短距离。
分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小 O
A
B
M
N
分别在OM和ON上求点P、Q，使AP+PQ+BQ的周长最小
模型： 两定两动
模型： 一定两动（三线段一线）
A’
P
O
Q
M
A N
A‘’
解： (1)做点A关于直线OM、ON的对称 点A'、A''
(2)连接A'、A''，交直线OM于点P， 交直线ON于点Q
∴先到P点吃草，再到Q点喝水，再 回驻地A路程最短
技巧：一定点，两动点，都对称，再相连
变式：将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河 边ON喝水，问将军怎么走路程最短？
A
F'
F'
D
F F
B
E
C
F'' F''
C‘ A
M
模型： 一定两动（动定共线）
D
解： 作点C关于BD的对称点C'
过点C'作C'N⊥BC于点N，交BD于点M。
则此时的MN+MC最小。
┓ N B
C
技巧：三个点，一条线，垂线段，是最短
5.如图，在锐角△ABC中，AB= 4 2 ，∠BAC=45°，
∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上 的动点，则线段BM+MN的最小值为________．
中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题
探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中数学线段最值教案
初中数学线段最值教案1. 让学生理解线段的基本概念和性质，掌握线段的表示方法。
2. 培养学生运用线段解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，培养学生的团队精神和创新能力。
二、教学内容1. 线段的基本概念和性质2. 线段的表示方法3. 线段在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：线段的基本概念、性质和表示方法。
2. 难点：运用线段解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：利用实物或图片，引导学生观察并说出线段的特点，从而引出线段的概念。
2. 新课讲解：a. 线段的基本概念：线段是有两个端点的直线段，表示为AB，其中A和B为线段的两个端点。
b. 线段的性质：线段有两个端点，有限长，可以度量。
c. 线段的表示方法：用大写字母表示线段的两个端点，如AB；用小写字母表示线段的长度，如AB=5cm。
d. 线段的画法：用直尺和圆规画线段，注意线段的两个端点要清晰标出。
3. 实例讲解：通过实际问题，让学生运用线段的知识解决问题，如计算两点的距离、设计路线等。
4. 练习与巩固：设计一些练习题，让学生独立完成，检验学生对线段知识的掌握程度。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结线段的基本概念、性质和表示方法。
6. 作业布置：布置一些有关线段的练习题，让学生课后巩固所学知识。
五、教学反思本节课通过观察实物、讲解、实例和练习，让学生掌握了线段的基本概念、性质和表示方法。
在教学过程中，要注意引导学生运用线段解决实际问题，提高学生的数学素养。
同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
中考数学复习 九年级上册 线段的最值问题 优质课件
如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－ 2)2＋k经过A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
(1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在 ，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由．
图2
化折线为直线——“两点之间、线段最短”
如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是 AC上的一动点，DN+MN的最小值为 10 ．
[想一想] 如果把这道题看成“将军 饮马”的问题，你觉得图中 哪条线段可以看成河流，哪 两个点可以看成A和B呢？
10
6
8
如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃
学会思考, 学会学习, 形成解题技巧!
(“将军饮马”问题)
在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一
位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，
然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？
在图2中呢？
转化思想
F
两点之间，线段最短。
FA+FB>AB
化同图侧1为异侧——轴对称变换
明天的你，
奋斗 定会感谢今天
的自己！
上一动点，则PA+PB的最小值为
．
图8
2、如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标
轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则
△CDE周长的最小值是____1_0_．
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
关于求“线段长度的最小值”的浅显认识
关于求“线段长度的最小值”的浅显认识
陈立钧
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)017
【摘要】在动点问题中求最小值问题是近年来中考题的一个热点问题,也是令大部分学生害怕的一个难点.笔者根据多年的教学经验,结合教学体会,由浅入深,通过分析、类比、深入迁移,获得解决问题的方法.
【总页数】1页(P138-138)
【作者】陈立钧
【作者单位】江苏省句容市行香中学,江苏句容212400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.求函数最小值及最小值点的数值方法 [J], 侯谦民
2.例说\"求线段长度\"中的几何模型 [J], 傅旭丹
3.初中几何中巧用“隐圆”解决线段长度最小值问题 [J], 李佳新;
4.从遵义市中考题浅谈求线段长度的策略 [J], 陈志方
5.旧题拓展出新知问题提出促高效--以“等腰三角形中求线段长度”复习课教学为例 [J], 王国维
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
广东省中考数学疑难问题的教学设计《中考复习之动点问题》教学设计
《中考复习之动点问题》教学设计【学情分析】在中考中，关于动点的问题一般是放在最后的拉距离题目里，要想拿到高分，就必须攻克这个难。
而动点问题一般分好几问，从易到难慢慢加深，而且后一个问题基本上都用到前一个问题的结论，它有较强的综合性，题目灵活多变，动静结合。
【教学目标】１、会分析题目，了解动点的运动轨迹，动点的路程，速度等。
２、数形结合，从图形中找到有用的数据。
３、能灵活地利用所学的性质定理解决问题。
【情感目标】通过探索、交流，证明、合作等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】根据动点中的移动距离，找出等量列方程。
【教学难点】１、构建函数模型、方程模型。
２、分情况讨论【教学过程】一、引入：动点问题是近几年中考题的热点和难点。
“动点型问题” 主要考察学生的分析问题、解决问题的能力。
解决动点问题的关键是“动中求静。
用图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题动态几何。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
所以在思考问题是，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
所以，最后一道题目不可怕，要有信心！二、例题分析：例１、如图．△ABC 中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q 分别从A、B 两点同时出发．分别沿AB、BC 方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s 和1 c m / s ．当点P到达点B时．P 、Q两点停止运动．设点s）．当师：1、请同学们试着画出静态图形，注意两个动点的速度问题。
（两名学生在黑板上板演）2、用代数式表示图中有用的线段：AP=2t,BQ=t,所以：BP=6-2t。
（学生讲解）3、找出等量关系（三角函数关系），构建方程模型。
因动点产生的线段最值问题学案
因动点产生的线段最值问题专题探究课学案［教学过程］一、 问题探究导入新知： 探究问题1．一条线段最短问题：探究原理： 。
例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 是AB 上的任意一点，作PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥CB 于点E ，连结DE ，则DE 的最小值为 ．小试牛刀：如图，直线y=-x+4分别于x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段AB 上一动点，PQ 切以点O 为圆心，1为半径的⊙O 与点Q ，求切线长PQ 的最小值。
xy QBAOP解题技巧归纳：探究问题2．两条线段和最小问题：探究原理： 。
例2：如图，已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，点A 位于点B 的右侧，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由？变式１：抛物线的对称轴上是否存在点P ，使|PB-PC|最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由？变式２：抛物线的顶点是点D ，点E （-2，n ）抛物线上，x 轴、y 轴上是否存在点P 、Q ，使四边形PQDE 的周长最小，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由?二．综合拓展能力提升：1.若m 、n 均为正实数，且m+n=3，则9122+++n m 的最小值是（ ） A ．17 B ．22 C ．5 D ．102.如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC=4，D 为AC 的中点，点P、Q为斜边AB上的两动点，且PQ=21AB，求四边形PQCD周长的最小值？［课后作业］总复习学案P165-实战演练1、2D。
初中数学_中考专题——动点问题之三点共线求线段最值教学设计学情分析教材分析课后反思
中考专题复习——动点问题之三点共线求线段最值考点分析：出题背景将动点放在三角形、菱形、矩形、正方形、圆、抛物线中，进行综合考察。
题目灵活多变，新题层出不穷。
所用知识点“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”、“垂线段最短”……判断动点轨迹时会用到“平行线之间的距离处处相等”、“90°的圆周角所对的弦是直径”、“到定点的距离等于定长的点都在圆周上”……。
考的较多的还是“将军饮马问题”和“圆周上的旋转”。
教学目标：1、理解并掌握实际生活中最短问题的实质就是垂线段最短；两点之间，线段最短；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边2、培养学生动手操作进行模拟实验的意识，发展、提高学生的空间想象能力，渗透模型解题法。
重点、难点分析：教学重点：借助两大变换转实现三点共线，进而达到化“折”为“直”。
教学难点：①在旋转变换中，通过空间想象发现动点的运动轨迹；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
②正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；教学过程一、三点共线之轴对称——诗词中数学通过《诗词大会》之——“看图说诗”引入“将军饮马”问题，进而分析模型特点——两定一动一直线，归纳解题方法原理——“两点之间线段最短”、“三角形任意两边之和大于第三边”，进而归纳解题模型：1、确定对称轴——动点所在直线2、作对称点；3、连线。
【设计意图】：通过《诗词大会》之“看图说诗”这个小活动，打破初四复习课的单调，提高学生的学习兴趣，丰富数学的文化内涵，引出第一个数学模型——轴对称型的三点共线。
1、（2017安顺）正方形ABCD的边长为1，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为___【设计意图】：直接套用解题模型，体现了模型解题法的优越性。
2、如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值是________．【设计意图】：是模型解题的变式和升级——以正方形为背景、两个动点的两条线段和最小问题，找出问题本质利用对称化“折”为“直”，再用“两点之间线段最短”，实现共线，总结出数学模。
人教版七年级数学上册《动点下的线段最值问题》教学设计
《动点下的线段最值问题》教学设计方案教学版本：人教版学科：数学年级：九年级下章节：中考第二轮复习教学目的：1.掌握因动点产生的线段最值问题中动点的确定方法。
2.会求解因动点产生的线段最值问题。
教学重点：因动点产生的线段最值问题。
教学难点：理解几何模型中“相对不动点”。
教学过程：一、由困惑导入以下两题选自学生练习时出现的问题。
1、（2018 陕西）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC 的外接圆半径R的值为.问题探究（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P 是⊙O上一动点，求PM的最大值.第1题第2题2、在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线3=xy上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为3+2A，则P A的最小值为（）A.3B.2C.3D.2变式：如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=23，⊙O 的半径是1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），求PQ的最小值？二、例题讲解例1、(2012•扬州)如图，线段 AB 的长为2， C 为 AB 上一个动点，分别以 AC、 BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD和△BCE，那么DE长的最小值？（至少用两种方法解答）反思：（构建模型）（一）两定点：两点之间，线段最短派生定理：三角形的任意两边之和（差）大于（小于）第三边。
（二）一定点一定直线：点到直线的距离中，垂线段最短。
例2、如图，已知边长为2的正△ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值？反思：（构建模型）相对不动点：位置可以改变，但到定点的距离不变的点。
（相对不动点、定点、动点就可以构成三角形模型）变式：如图,∠MON =90°,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ,ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在OM 上运动,矩形ABCD 的形状保持不变,其中AB =2,BC =1,运动过程中,点D 到点O 的最大距离为( ) A.12 B.5 C.5145 D.25三、小结“动点下的线段最值问题”解题思路：四、作业如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是___.五、课后反思：动点下线段最值的理论据是“两点之间，线段最短”。
线段和的最值问题
中考专项------------- 线段和的最小值问题 东矿中学 陈素丽
教学目标 知识与技能
1. 学会利用对称变换，平移变换，旋转变换解决线段和的最小问题。
2. 培养学生用运动，变化的观点看待几何图形，帮助学生形成自主的
变换意识。
过程与方法：
1. 理解三种数学类型中求线段和最小值的实质都是线段共线时的最小
2. 通过运用几何模型中求最值问题会转换思想和数形结合思想.
情感与态度：
1.通过设计“龙凤湿地跨线桥”问题的引入，激发学生的学习的兴趣和
热爱家乡的美好情
2.在“互助互动”的学习氛围中培养合作意识和学好数学的自信心
教学重点 教学重点：
利用“两点之间线段最短”这一公理解决线段和最小值的问题
教学难点：
1. 探索变换的基础，捕捉题目中具备何种变换的基础信息。
2. 八“两折线”和“三折线”转直，求出线段和的最小值的问题。
教学方式 1.交互式教学方式
与方法 2.构建性教学方式
3.归纳比较法
4.创设情形法
教学过程 教师活动 学生活动 设计
一. 回忆
课本原型（八年级(上)）
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，
奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？
• 理论依据：两点之间，线段最短
• 用途：求两条线段和的最小值
A A , B
，。
人教版九年级数学上册专题复习《线段和差最值问题》教学设计
《线段和差最值问题》教学设计一、教学目标1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题；3.通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯.二、学情分析从心理特点来看，九年级的学生思想成熟,有想法,对直观事物的感知能力强,想象力丰富,正逐步从形象思维过渡到抽象思维.在知识储备上,他们在八年级上册已经学习过《最短路径问题》,对坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识也进行了复习，具备一定的解决问题的能力，可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.所以,我们可以在教学过程中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高.三、重点难点1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.综合运用所学知识解决线段和差最值问题；3.如何把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上.四、教学过程（一）情景引入1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.如图，若A地、B地在河的同侧．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？师生活动:情景引入1，问题简单，学生很快回答出来.在情景引入1的铺垫下，学生自然想到作对称点来解决情景引入2问题.设计意图:教师通过改编后的“将军饮马问题”引入，虽然有悖实际，但从理论上看，由易到难，能很好地服务于教学，让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.（二）合作探究一1.如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点B 与点C的距离之和最小，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接这个对称点与另一点与直线相交；(3)交点即为所求点，此线段长即为该最小距离.2.变式如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使PA–PC的值最大，求出点P的坐标 .方法归纳：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大时”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；(3)交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值.师生活动:合作探究一的第1题是一种常见题型，学生独立思考后回答解题思路，并对求点P的坐标提出不同的方法.合作探究一的第2题是第1题变式，不常见，学生小组讨论交流后回答解题思路，总结解题方法.设计意图:让学生通过解决线段和最小、线段差最大问题，体会解决线段和差最值问题基本策略和基本原理.（三）合作探究二1.如图，CF= BC，E是AB中点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.方法归纳：求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称.2.拓展如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.方法归纳：求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去.师生活动:合作探究二的第1题，学生尝试回答解题思路，并相互补充，最后达成共识：求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称，将所求线段转移到同一条直线上去.合作探究二的第2题，是几条线段和最小的问题的拓展延伸，第⑵的②问有一定难度，若学生小组讨论交流后还存在困难，教师适当点拨:（1）由第（1）问的三角形全等可知线段 AM、EN有何数量关系？（2）由题目中的将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，联想到△BMN是什么三角形？从而可知线段BM 、MN有何数量关系？（3）此时，AM＋BM＋CM就转化为EN＋MN＋CM，当M点在何处时，可使EN ＋MN ＋CM 的值最小？师生共析，得出解题思路，总结解题方法。
2019年中考专题复习——最值问题(一)教案
最值问题（一）----求线段和的最小值问题复习目标： 1．熟练掌握求线段和的最小值问题的各种基本模型，并灵活运用各种模型解决问题。
2．通过归纳总结各种基本模型，使之系统化、条理化。
并体会各种模型的内在联系与区别，从而提高模型的识别能力。
3.渗透转化、数形结合思想，培养学生良好的思维品质和习惯。
复习重点： 以“两点之间线段最短”与“垂线段最短”为理论依据，利用轴对称与平移变换，化“折”为“直”的方法来解决线段和的最小值问题。
复习难点：提高各种基本模型的识别能力，并能灵活运用。
教学过程:一．牛刀小试1.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理，正确的是（ ） A ．两点确定一条直线 B ．两点之间线段最短C ．垂线段最短D ．三角形两边之和大于第三边2.如图，从直线l 外一点A 到这条直线的所有线段中，最短的线段是(A ．AB B ．AC C ．AD D ．AE 第2题图 归纳： 理论依据：两点之间,线段最短； 垂线段最短二．模型再现（一）基本模型1如图，点A 、B 在直线l 的异侧，请在直线l 上求作 一点P ，使PA+PB 最小．变式1：如图，点A 、B 在直线l 的异侧，线段PQ 在直线l 运动，且PQ=1， 请在直线l 上作出PQ ，使PA+QB 最小．变式2：（造桥选址问题）如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路线AMNB 最短？请画出最短路径.（假定河的两岸是平行直线，桥MN 要与河岸垂直.）中考专题复习l m AlAlAlDC EB变式3：（将军马饮问题）如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马，然后返回B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请画出最短路径.（二）基本模型2 如图，点A 是∠MON 内任意一点，请在射线OM 、ON 上分别作出点P 、Q使得PA+PQ+QA 最小.三．模型归类，触类旁通 基本模型：1.两定点()2.(一点两线型)总结: 理论依据：两点之间线段最短；垂线段最短 基本方法：对称或平移基本思想：化折为直(本质是转化思想)lAB B' 1B四．模型应用1．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD=120°，点E 在AB 的中点，点F 是AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值为 .2.四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 边上一点，1,3==EC BE ，点F 为CD 的中点，若点M 、N 是对角线BD 上的两动点，且2=MN ，则四边形EFMN 的周长的最小值为 .3.如图，∠MON=45°，P 是∠MON 内一点，PO=10， Q 、R 分别是OM 、ON 上的动点，那么△PQR 周长的最小值为 .变式1：如图，∠MON=45°，P 是∠MON 内一点，PO=10，若∠MOP=15°. Q 、R 分别是OM 、ON 上的动点，求PQ+QR 的最小值为 .变式2：如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，试求作△DEF 使得△DEF 的周长最小.五.回顾与反思六.课外习题（另附）第1题图CB第2题图E第3题图B1.已知︒=∠30MON ，点B A 、在OM 上，2,4==AB OA ，点P 在ON 上 （1）求PB PA +的最小值（2）求22PB PA +的最小值（3）求PB PO +21的最小值 （4）变式： 当∠MON=45°时，求PO PB 22+的最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《因动点产生的线段最值问题》（中考专题复习课教案）
漳州正兴学校陈君镇
一、教学目标
1.掌握因动点产生的线段最值问题中动点的确定方法。
2.会求解因动点产生的线段最值问题。
二、教学重难点
1.重点：因动点产生的线段最值问题。
2.难点：因动点产生的线段差的最大值问题
三、导入
知识背景：
课本原型（七年级下册）：如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？
四、教学过程
（一）、因动点产生的线段和的最小值问题
1、数学模型1———A、B两点同侧：
2、数学模型1的应用
（二）、因动点产生的线段差的最大值问题1、数学模型2———A、B两点异侧：
2、数学模型2的应用
（三）、小结
（四）、拓展提升
（2011•福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理。
专题：计算题；代数几何综合题。
分析：（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB 交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN
的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解答：解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x1=﹣3，x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）．
证明：∵直线l：，
当x=﹣3时，，
∴点A在直线l上．
（2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：对称，∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，，
∴顶点，
代入二次函数解析式，解得，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为．
（3）解：直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由，
解得，
即，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴HN+MN的最小值是MB，，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．
点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．
五、教学反思
在《因动点产生的线段最值问题》这课中，我首先由生活中的情景——要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？以解解问题的方式引入，让学生思考，并在图中寻找出牛奶站所在的位置；然后由此归纳出一般化的数学模型1———A、B两点在直线l同侧时，PA+PB存在最小值；紧接着给出此类数学模型的两方面的应用，即在几何背景和函数背景下的应用，数学模型2也是采用类似的方法讲解。
通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：
1.由如何在图中找出牛奶站所在的位置这一实际问题的背景引入，学生很感兴趣，让学生真正感受到生活中处处有数学。
同时，把抽象的数学问题简单化、生活化，把中考压轴题的难点分解了，使学生更容易接受和理解，并最终掌握下来。
2.在讲解数学模型时，归纳到位，让学生充分思考并让学生叙述如何找点的过程，帮助学生理解数学模型。
3.在数学模型的应用时，重点讲解在函数背景下的应用，通过详细的分析，使学生掌握此类问题的解法，并规范学生的书写。
同时，我也感觉到本节课的不妥之处：
1.在数学模型的讲解时，学生被动的接受，理解不够深刻，可以充分调动学生的积极性，使学生实现自主学习和自主探究。
2.各个教学环节的时间分配不够合理，出现前松后紧的现象。
总之，通过此次的教学让我收获了很多，也成长的很多。