广宗县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

广宗县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
＞0的解集为（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（0，4）
D ．（4，+∞）
2． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
A
．
4 B
．4
C.4
D ．34
3．
如果向量
满足
，且
，则
的夹角大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．75°
D ．135°
4． 已知F 1、F 2
分别是双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，） B
．（，+∞） C
．（，2） D ．（2，+∞）
5． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ）
A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
6． 6
2
)21(x x -
的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．16
15- D ．1615
7． 圆01222
2=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．
B ．12+
C ．
12
2
+ D ．122+ 8． 若一个球的表面积为12π，则它的体积为（ ） A
． B
． C
． D
．
9． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=
（）x C ．
y=x+
D ．y=ln （x+1）
10．四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
11．（文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 12．是首项
，公差的等差数列，如果
，则序号等于（ ）
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670
二、填空题
13．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 14．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．
15．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
18．设函数
，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数
的值域为 ．
三、解答题
19．已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1=a n +p •3n （n ∈N *，p 为常数），a 1，a 2+6，a 3成等差数列． （1）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{b n }满足b n =，证明b n ≤．
20．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数
，其中是自然对数的底数，曲
线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值； （Ⅲ）若，使得不等式
成立，求实数的取值范围.
21．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ． （Ⅰ）求证：AB ⊥SC ；
（Ⅱ）设D ，F 分别是AC ，SA 的中点，点G 是△ABD 的重心，求证：FG ∥平面SBC ； （Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A ﹣FD ﹣G 的余弦值．
22．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g（x）=log，当x∈[，]时，不等式f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．
23．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
24．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
千克
广宗县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）﹣＞0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．
故选B．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．
2．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
3．【答案】B
【解析】解：由题意故，即
故两向量夹角的余弦值为=
故两向量夹角的取值范围是45°
故选B
【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．
4．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ，
不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x ﹣c ），
与y=﹣x 联立，可得交点M （，﹣），
∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF 2|，即有
＞c 2
，
∴b 2＞3a 2，
∴c 2﹣a 2＞3a 2
，即c ＞2a ．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．
5． 【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}， M ∩N={3}；
∁I M ∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}； ∁I M ∩∁I N={2，7，8}， 故选：D ．
6． 【答案】D
【解析】2612316611()()()22
r
r r r r r
r T C x C x
x --+=-
=-， 令1230r -=，解得4r =．
∴常数项为44
61
15()2
16
C -=
．
7． 【答案】B
【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1 8． 【答案】A
【解析】解：设球的半径为r ，
因为球的表面积为12π，
所以4πr2
=12π，所以r=，
所以球的体积V==4π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力．
9．【答案】D
【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A ，B ，C 不正确，D 正确， 故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面
PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD
所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 11．【答案】C 【解析】
试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．
12．【答案】C
【解析】 由已知，由
得
，故选C
答案：C
二、填空题
13．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由
正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换．
14．【答案】 [﹣，] ．
【解析】解：∵函数奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，
∴不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0等价为f （1﹣m ）＜﹣f （1﹣2m ）=f （2m ﹣1），
即，即，得﹣≤m ≤，
故答案为：[﹣，] 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限
制．
15．【答案】B 【
解
析】
16．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==>因为1
(,)
t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
18．【答案】 {0，1} ．
【解析】
解：
=[
﹣
]+[
+]
=[
﹣
]+[
+]，
∵0
＜
＜1，
∴
﹣
＜
﹣
＜
，
＜
+
＜，
①当0
＜
＜时， 0
＜﹣
＜
，
＜
+＜1，
故y=0；
②
当
=时，
﹣=0
，
+=1， 故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）解：∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），
∴a2=3+3p，a3=3+12p，
∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a n+1=a n+p•3n，
∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•32，…，a n﹣a n﹣1=2•3n﹣1，
将这些式子全加起来得
a n﹣a1=3n﹣3，
∴a n=3n．
（2）证明：∵{b n}满足b n=，∴b n=．
设f（x）=，则f′（x）=，x∈N*，
令f′（x）=0，得x=∈（1，2）
当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
且f（1）=，f（2）=，
∴f（x）max=f（2）=，x∈N*．
∴b n≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
20．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得
）
极小值
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
24．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分）。