指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)
§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
1200
对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算 器满,足可1以.0知02道x0=在5,由区于间它(80在5,区80间6)[内10有,1一00个0]上点递x0 增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合 要求;
5
4 3y=㏒7x2100
500
1000
当x比较大时，y=2x比y=x2增长得更快。
5、在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足 够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来 越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
因此,总会存在一个x0， 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax.
练习
2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x 的增长情况. y=x4 y y=4x
y=log4x
x
小结 比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
O (1,0)
x
幂函数
3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数， 并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的 增长就越快。
y=x2 y y=x4
6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
y 3x
y 2x
y
O (1,0)
y=log2x y=log3x y=log5x
x
y=x2 y y=x4
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
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4．某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ________．
解析：设这一年的月平均增长率为 x,1 月份产量为 a， 则 a(1＋x)12＝7a，∴x＝ 12 答案： 7－1 12 7－1.
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【例 3】 下面给出 f(x)与 f(x＋1)－f(x)随 x 的增大而得到的函数值列表. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 x x2 2x＋7 x log2x 1 1 9 1 0 2 4 11 1.4142 1 3 9 13 1.7321 1.5850 4 16 15 2 2 5 25 17 2.2361 2.3219 6 36 19 2.4495 2.5850 7 49 21 2.6458 2.8074 8 64 23 2.8284 3 9 81 25 3 3.1699 10 100 27 3.1623 3.3219
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指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增 长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化 规律． 虽然对指数函数、对数函数以及幂函数各自的单调性都有了比较清楚的认识，但是对这三种 函数增长的差异总是认识不清，突破的思路有二：一是使用科学计算器，计算这三个函数所 对应的一系列函数值，再计算并观察函数值的变化量，从中分析三个函数的函数值增长的快 慢情况，感知其增长的差异；二是借助于图像的直观性，感知其增长的差异．
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本
1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
国际象棋大师起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他要什么，发明者说：
“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里 放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
假第定二y千 步=与且颗，2麦再另总x粒计的算外在1质21量0两另02为，4函外04g，数两据8查的函，1目6图数前世像图3界2年没像度小6有的麦4产交下量1为点方26亿8吨，，，2但5不6能满足…发明者要求，1这9就是指数增长. 对由于以y对 上=y数问=x函题x2数你2能的y0=得lo出g图21怎x样（像4的a>结1与)9论和？幂y函1=数62x 2的5图3像6 有4两9 个64 …
抽象概括
尽管对数函数 logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数 y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度 x的增大，y=ax（a>1）的 增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速 度，而y=logax(a 个x0，当x>x0 时，必有logax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快 于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差 甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
内y=，x2 a0x会1小00于xn,但40由0 于ax的9增00 长快于1x6n0的0 增长，25因00此总存在
一个60x0,当x>x0时70 ，必有ax8>0xn. …
y
对1于.15对×数101函8 数1.1y8=×lo1g0221 x（1.2a1>×11)和024幂…函数1.13×1015
指、幂、对函数增长的比较(绝对精品)
总结:要点点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【目标回顾】
1. 2. 3. 通过学习，是否理解并掌握了三种函数增长的差异； 通过学习，是否学会了简单的数据分析； 通过学习，是否掌握了数形结合思想的应用.
作业:巩固提升
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
作业
参见学案，请及时完成.
结语:勇往直前
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
人要学会走路，也得学会摔跤，而 且只有经过摔跤才能学会走路。 ——马克思
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=2x
y=x2 y=log2 x
2
1 04 41源自89 1.584 9
16 16
16 16 2
32
25
64
36
128
49
256
64 3
…
… …
2.321 9 2.584 9 2.807 3
二：请用图形计算器或计算机软件作图，并观 察图像，体会它们增长的快慢？
探究②:得结论
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
图像观察结果
越来越慢 x轴平行一样
慢于 快于 远快于
反馈:学以致用
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
解析：5个.
数形结合，转化为图像交点问题.
解析：2个.
数形结合，转化为图像交点问题.
小结：通过解答以上两个小题，请同学们理解并掌握 数形结合思想在函数研究中的应用.
y=2x
函数值的变化量 y=x100
y=log2x
3.321 928 1 3.321 928 1 1.584 962 5 0.736 965 6 0.485 426 8 0.362 570 1 0.152 003 1 0.137 503 5 0.125 530 9
指数函数幂函数对数函数增长的比较(完整版)3
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
• 三、指数函数、幂函数、对数函数的增长情况
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
• 教材P120 练习
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知： C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x； (2)依题意知 x1 和 x2 是使两个函数的函数值相等 的自变量 x 的值． 当 x<x1 时，2x>x3，即 f(x)>g(x)； 当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)； 当 x>x2 时，f(x)>g(x)． 因为 f(1)＝2，g(1)＝1， f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8， 所以 x1∈[1,2]，即 a＝1.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
• 思考探究：函数不同增长特点在实际问题中的
应用
再计算按模型 y＝log7x＋1 奖励时，奖金是否超过利润 x 的 25%， 即当 x∈[10,1 000]时， 利用计算器或计算机作 f(x)＝log7x＋1－0.25x 的图象(图略)， 由图象可知 f(x)在[10,1 000]上是单调递减的， 因此 f(x)<f(10)≈－0.316 7<0，即 log7x＋1<0.25x， 所以当 x∈[10,1 000]时，y<0.25x. 这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%. 综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§３．6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【使用说明与预习指导】1、 认真阅读课本第98--103页的内容，认真归纳出98—99页三个表的规律以及100-103页信息技术应用部分得到的规律，规范填写预习案部分的内容，并熟记基础知识。
2、 根据预习到的知识和以前学过的知识，小组合作、讨论完成【探究案】部分的内容，由组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、 及时整理展示、点评的结果（用双色笔），独立完成【检测案】部分的内容并和组员核对结果。
【学习目标】1.通过观察和类比函数图象，体会三种函数增长的快慢。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
3.培养学生数形结合的思想以及分析推理能力 【重点难点】重点：认识指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸，对数增长的含义； 难点：比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
【预习案】1、幂函数的图像和性质： 函数 性质 y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 值 域 单调性奇偶性 定点坐标幂函数的图像一定过 ，一定不过 。
2、指数函数与对数函数的图像和性质： 指数函数对数函数图 像性 质定义域： 定义域： 值 域： 值域： 定点坐标：定点坐标：当0x >时， ，当0x <时， 当1>x 时， ，当10<<x 时， 单调性：单调性：x y a =的图像与1()x y a=的图像关于对称log a y x =的图像与1log ay x =的图像关于 对称x y a =与log a y x =互为 ，它们的图像关于 对称。
【探究案】探究1.在左下图中画函数xy 2=、2x y =的图像。
x0 1 2 3 4 5 x y 2=3x y =探究2.在右下图中画函数xy 3=、3x y =的图像。
x0 1 2 3 4 x y 3=3x y =结合上图及课本98—99页、100—103页的内容可得下面的结论：①在同一坐标系中，指数函数x a y =与幂函数ax y =有 个交点。
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
指数函数,幂函数,对数函数的增长的比较及函数模型 课件
= + > 0 可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型
的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：
2、建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）确切理解题意：明确问题的实际背景，进行科学的抽象、概括，将实际问
题转化为数学问题。
（2）建立相应的数学模型（选择合适的数学模型）
（3）求解函数模型，得出数学结论
（4）将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义，并进行验证，
看是否符合实际。
典 例 剖 析
1
= 80 + 4 21 , = 2 + 120，设甲大棚的资金投入为（单位：万元），
4
每年两个大棚的总收入为 （单位：万元），求 的最大值。
题型六 分段函数模型
例6、通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化
而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的
指数函数、幂函数、对数函
数增长的比较与函数模型
目
标
1
输 入 标 题 名 称
2
输 入 标 题 名 称
3
输 入 标 题 名 称
4
输 入 标 题 名 称
情 景 导 入
每年的3月21日时植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树
活动，某市现有树木面积为10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现
有两种方案如下：
状态,随后学生的注意力开始分散,设 表示学生注意力随时间(分钟)的变化
第3章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标：1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[自主预习·探新知]指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1．三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2．三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a n成立？[提示]不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝x 10比y ＝1.1x 的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x >0，都有2x >log 2x .( )(3)对于任意的x ，都有2x >x 2.( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．x 12>lg x >2xA3．如图3-6-1所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．图3-6-1对数4．当x >4时，a ＝4x ，b ＝log 4x ，c ＝x 4的大小关系是________.【导学号：60712318】a >c >b[合 作 探 究·攻 重 难]于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.图3-6-2(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f (8)，g (8)，f (2 016)，g (2 016)的大小．[思路探究]先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．[规律方法]三种函数模型的表达形式及其增长特点：(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[跟踪训练]1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3-6-3所示．图3-6-3(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：60712319】[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[思路探究]首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．[解]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．[规律方法]解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.[跟踪训练]2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)【导学号：60712320】[解]设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材.[1．如图3-6-4给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？图3-6-4提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是什么？提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y 2.20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g(x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【导学号：60712321】[思路探究] (1)列出方程组求系数，从而求解析式；(2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．[解] (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f (x )＝12x 2＋12x, g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3. (2)因为f (5)＝15，g (5)＝17.25，f (5)更接近16，所以选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数好．[规律方法] 解决函数应用题时的常用方法：(1)先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.(2)将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.[跟踪训练]3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解] (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， 所以当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列函数中，自变量x 充分大时，增长速度最快的是( )【导学号：60712322】A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x A2．以下四种说法中，正确的是( )A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的x ＞0，x a ＞log a xC ．对任意的x ＞0，a x ＞log a xD ．一定存在x 0，使x ＞x 0，总有a x ＞x n ＞log a xD [对于A ，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B 、C 都受a 的影响．]3．三个变量y 1，y 2，y 3随自变量x 的变化情况如下表：其中关于x ，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________.【导学号：60712323】y 3 y 2 y 1 [由表中数据可知，y 1随x 的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y 2随x 的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y 3随x 的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]4．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x (q >0，q ≠1)；②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)；③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.③，x 2－8x ＋17 [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为③由f (1)＝10，f (3)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝109＋3p ＋q ＝2， 解得p ＝－8，q ＝17，所以，f (x )＝x 2－8x ＋17.]5．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又11 定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.【导学号：60712324】[解] (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16， ∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 PPT
幂函数 y xc (x 0, c 0) 在第一象限 x 1 的右侧， 指数越大，增长越快，即“指大图高”.
【组间淘汰赛】 第一局：幂函数与对数函数的增长情况的比较： 方法1：从“数”的角度看
四、联系实际——感悟数学应用
1.幂指对增长快慢的生活应用 指数增长快：兔子的繁殖、病毒的传播、
“利滚利、一还三”等
四、联系实际——感悟数学应用 1.幂指对增长快慢的生活应用 指数爆炸与对数缓慢增长： ①一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10 为底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万， 才需要把电话号码增加一位就够用了；既说明了对数 增长的缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力； ②在互联网上，每天的数据以指数爆炸剧增，而我们 搜索资料或查找数据，能迅速地从海量数据中找到有 关的网页和文件，也是因为，数据经过合理组织，搜 索工作量是数据量的对数函数.
1.幂函数与对8 数函数的增长情况的比较：
6
4 2
A
y = g(x) y = h(x) B
10
5
5
10
15
20
2 xA = 4.00 xB = 16.00
1
方法 2：从图像4 上看，当 x 0, 4 时， x 2 log2 x;
6
1
当 x 4,16 时8 ， x 2 log2 x;
1
当 x 16, + 时， x 2 log2 x;
扬1眉000吐气.
【1结50论0 】当 x 的值充分大时，指数函数 y 2x 比幂函数
y x100 增长快，而且快很多.
【抽象概括】 实际上，当 a 1, c 0 时，即使 a 很接近 1， c 很大，
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
[读教材·填要点]1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c . 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252； (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 1x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快解析：在同一坐标下分别作出函数y ＝log 12x 和y ＝(12)x 的图像，由图像知C 正确．答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A. 答案：C4．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )． 答案：f (x )＞g (x )5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m ，从2013年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10x B．y＝lg xC．y＝x10D．y＝10x解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．答案：D2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为()解析：y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y＝2x－x2的图像大致是()解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D 二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．解析：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3，…，10年后，y ＝15(1＋x )10.答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时，有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12.∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]．答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分，第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1 000]时，log7x＋1x＜0.25.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．更多资源下载地址：/。
指数函数幂函数对数函数增长速率
指数函数幂函数对数函数增长速率指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们的增长速率对于数学学习和应用都有重要的意义。
本文将从理论和实际应用两个方面，介绍指数函数、幂函数和对数函数的增长速率。
一、理论推导1. 指数函数的增长速率指数函数的一般形式为 $y=a^x$，其中 $a>0$ 且 $aeq1$。
当 $a>1$ 时，指数函数是递增的；当 $0<a<1$ 时，指数函数是递减的。
指数函数的增长速率与底数 $a$ 的大小有关。
当$a>1$ 时，指数函数的增长速率随着 $x$ 的增大而增大；当$0<a<1$ 时，指数函数的增长速率随着 $x$ 的增大而减小。
具体而言，当 $a>1$ 时，指数函数的增长速率可用导数表示：$$frac{dy}{dx}=a^xln a$$可以看出，当 $x$ 很大时，$frac{dy}{dx}$ 也很大，因此指数函数的增长速率很快。
例如，$2^x$ 的增长速率要比 $1.5^x$ 的增长速率快得多。
2. 幂函数的增长速率幂函数的一般形式为 $y=x^a$，其中 $a>0$。
幂函数的增长速率与指数函数有些类似，也与幂指数 $a$ 的大小有关。
当 $a>1$ 时，幂函数的增长速率随着 $x$ 的增大而增大；当 $0<a<1$ 时，幂函数的增长速率随着 $x$ 的增大而减小。
具体而言，当 $a>1$ 时，幂函数的增长速率可用导数表示：$$frac{dy}{dx}=ax^{a-1}$$可以看出，当 $x$ 很大时，$frac{dy}{dx}$ 的大小与 $a$ 的大小有关。
当 $a$ 越大，幂函数的增长速率就越快。
例如，$x^2$ 的增长速率要比 $x^{1.5}$ 的增长速率快得多。
3. 对数函数的增长速率对数函数的一般形式为 $y=log_ax$，其中 $a>0$ 且 $aeq1$。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx
4 24
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
O
aБайду номын сангаас
bx
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
y=log2x
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
《文本》指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1《借助计算器观察函数递增的快慢》(上..doc
《指数函数、嘉函数、对数函数增长的比较》1、指数函数的图像与性质指数函数a。
的图像和性质a > 10 < 6Z < 1图像性质定义域____________________ ,值域___________________图像都经过点____________________当x〉0时， ______________W|XV（）时，___________当x〉0时，_______________当x<0时， _______________在________________________上是增函数在________________________上是减函数2、慕函数的图像与性质⑴一般地，帛函数了 =芝有下列性质：当a〉0时，①图像都通过点、；②在第一象限内，函数值；③在第_象限内，a>\时，图像；④ 在第_象限内，过（1,1）点后,图像o当。
<0时，①图像都通过点；②在第一象限内，函数值，图像是:③在第一象限内，图像,向右；④在第一象限内，过（1,1）点后，|。
|越大，图像3、对数函数的图像与性质y = log/ （" > 0,"。
1）的图像和性质。
图像a>\()<。
< 1上是减函数补充性质三【课堂探究】 指数函数当。
〉1时，指数函数y ="是函数,并且当。
越时，其函数值的增长就,当。
>1时，对数函数y = log,x 是函数,并且当〃越 时，其函数值的增长就越(1) 定义域. (2) 值域3(3) 当工=1时，》〉0,即过定可2当0vxv 1 时，当时,1 23 X(5)在⑸在 'log ；'，其中 a>上是增函数 设 Vi =lo&', y 2 =\ , b> \ (或0 v 。
< 1,0<b<\ )o当x>l 时，“底大图低”，即若a>b,则； 当Ovx< 1时，“底大图高"，即若a>b f 则蓦函数当x> 0,n > 1时，序函数y = x n是增函数，并且当x>l时，n越,其函数值的增长就越> = /对于上述三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？现在比较函数)，=2>y = x2, y = log2 x图像增长快慢比较(如下图)结果：对数函数)，= lOg2X增长最慢，幕函数和指数函数)，=2'快慢叶y=、2则交替进行：在(0,2)上，2'x2i "在(2,4) ±, 2’X2.. 3 \在(4,+8)上，2* __%2\I规律总结：\J(1)在区间(0,+8)上，尽管y = a\a>V), y = \og J x(a>\), y-x"(n〉函数，但它们的增长速度不同.(2)对数函数增长最；(3)当自变量尤大于某一个特定值时，指数函数比幕函数增长快.即总会存在一个毛，当x>x()时，就有lo S/x Z由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”.例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？四、【课堂练习】1、比较下列各题中两个值的大小:(1)3°・8,3°气(2) 0.86,1.25°2；(3)2七1.炉；(4) log32.5,log52.52、比较函数y = 4\> = 与y = log,x的增长情况。
4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2
4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】重点、难点1、理解指数函数、幂函数、对数函数增长速度；（重点）2、会对指数函数、幂函数、对数函数增长进行比较；（难点）学科素养通过对指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，培养数学运算素养.【知识清单】1、指数函数、幂函数、对数函数增长的趋势当自变量x趋于无穷大时，指数函数y=a x(a>1)增长速度最快，其次是幂函数y=x a(a>0)，增长速度最慢的是对数函数y=log a x.【基础过关】1、已知函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【经典例题】题型一指数函数、幂函数、对数函数增长速度例1、函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________例2、已知函数：①y ＝2x ；①y ＝log 2x ；①y ＝x －1；①y ＝12x ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．①①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①①【课堂达标】1．下面给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tB ．C ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 22．设0.5log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则下列选项中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的数量y （只）与引入时间x （年）的关系为()2log 1y a x =+，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为（ ） A ．300B ．400C ．600D ．7004．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个.() A ．5B ．6C ．7D ．85.将121.2，121.5，1按从小到大的顺序排列为______.6.已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1(,2)2，则k α+=_______【能力提升】1．设0.90.117.log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===，则比较,,a b c 大小顺序是（ ） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<2．在某试验中，测得变量x 和变量y 之间的对应数据如下表.则下列函数中，最能反映变量x 和y 之间的变化关系的是( ) A ．2x y =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =3．下列函数中，既是偶函数，又是(0,)+∞上的增函数是（ ）A ．12y x =B ．12log ||y x =C ．22x x y -=+D ．22x x y -=-4．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y =B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －15．已知等式23log log m n =，m ，(0,)n ∈+∞成立，那么下列结论：（1）m n =；（2）1n m <<；（3）1m n <<；（4）1n m <<；（5）1m n <<；其中可能成立的是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（5）C ．（3）（4）D ．（4）（5）6.给定函数（1）1y x =；（2）21y x =-+；（3）1y x =-；（4）3y x =，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是__________7．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围.8．如图所示，某种药物服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间满足函数关系式；不超过1小时为y=kt ，1小时后为1()2t a y -=．（1）写出y 与t 之间的函数关系式． （2）如果每毫升血液中含药量不少于14微克时治疗有效，那么服药后治疗有效的时间是多长？5【参考答案】【知识清单】 【基础过关】 1、A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 考点：幂函数的图像特征． 2、D 【解析】 【分析】根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果. 【详解】当01a <<时，函数x y a =与log a y x =都是减函数，所以观察图像知，D 正确．故选D 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题. 【经典例题】例1、2yx6【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2y x =. 例2、D 【解析】 【分析】 【详解】图一与幂函数图像相对应，所以应为①；图二与反比例函数相对应，所以应为①；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为①． 所以对应顺序为①①①①，故选D ． [课堂达标] 1．A 【解析】 【分析】从所给的散点图可知，图象大约过()()()2,4,4,16,6,64，依此可判断出结果. 【详解】从所给的散点图可知，图象大约过()()()2,4,4,16,6,64，所以该函数模型应为指数函数． 故选：A 【点睛】本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.72．A 【解析】 【分析】对于根据指数对数函数的图象和性质，通过判断,,a b c 和0，1之间的大小关系得,,a b c 之间的大小关系． 【详解】解：0.50.5log 3log 10a =<=，0.2110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭=>， 故a b c <<， 故选A ． 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，先判断出各个量的范围，进而得到它们的大小关系． 3．A 【解析】 【分析】先利用1x =时，100y =求得a 的值，由此求得函数y 的解析式，再令7x =求得所求结果. 【详解】将1x =，100y =代入()2log 1y a x =+中，所得()2100log 11a =+，解得100a =，则()2100log 1y x =+，所以当7x =时，()2100log 71300y =+=. 故选：A. 【点睛】8本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由题意，n 次分裂后，共有2n 个，故可得方程，从而得解． 【详解】由题意，n 次分裂后，共有2n 个，所以有2128n =， ①7n =，故选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题．5、11221 1.2 1.5<<【解析】 【分析】构造函数y x =【详解】解：构造函数y x =y x =在(0,)+∞上单调递增，又1.5>1.2>1，1.5 1.21>>即11221 1.2 1.5<<，9故答案为：11221 1.2 1.5<< 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，根据式子特点找到函数y x =6.0 【解析】试题分析：因为是幂函数，所以，得12()2α=，1α∴=-，0k α∴+=.考点：幂函数的定义. 【能力提升】 1．A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质推导出01,0a b <<<，利用指数函数的性质推导出1c >，由此能求出结果．【详解】解：0.70.70.70log 1log 0.9log 0.71a =<=<=，1.1 1.1log 0.9log 10b =<=，0.901.1 1.11c =>=， b a c ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础10题． 2．D 【解析】 【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论. 【详解】将0.50x =， 1.01y =-代入计算，可以排除A ； 将 2.01x =0.98y =代入计算，可以排除B ，C ； 将各数据代入函数2log y x =，可知满足题意. 故选：D . 【点睛】本题主要考查拟合函数，注意排除法的应用，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】根据函数解析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断. 【详解】对12y x =，其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故其不是偶函数，故A 错误； 对12log ||y x =，其在(0,)+∞是减函数，故B 错误；11 对22x x y -=+，其是偶函数，且在()0,+∞上为增函数，故C 正确；对22x x y -=-，其是奇函数，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质，属综合基础题. 4．C 【解析】由幂函数的定义知y x =3y x =，1y x -= 均为幂函数，2y x =为正比例函数，不是幂函数，选C.5、AB【解析】【分析】依题意，可设2t m =，3t n =，结合指数函数的性质，分0t =，0t <及0t >讨论即可得解．【详解】设23log log m n t ==，则2t m =，3t n =，当0t =时，1m n ==，故（1）正确；当0t <时，01n m <<<，故（2）正确；当0t >时，1n m >>，故（5）正确；故选：AB.【点睛】12本题考查对数式与指数式互化以及利用幂函数的单调性比较大小的问题，本题也可以采用数形结合法来处理，是一道中档题.6、(1)(2)(3)【解析】【分析】 由减函数的定义和常见函数的性质可以直接判断.【详解】由减函数的定义和常见函数的性质可得: (1)1y x=在()0,∞+上单调递减,满足题意; (2)21y x =-+在R 上单调递减,满足题意; (3)1y x =-在(),1-∞上单调递减,满足题意; (4)3y x =在R 上单调递增,不符合题意. 故答案为: (1)(2)(3).【点睛】本题考查了常见函数单调性的问题,属于基础题.7、[3,1]m ∈-【解析】【分析】 根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】解：设函数35y x =，函数为R 上的单调递增函数33255()(3)m m m +≤-， 23m m m ∴+≤-+13 22-30m m ∴+≤31m ∴-≤≤所以，m 的取值范围为：[3,1]m ∈-【点睛】本题考查了幂函数的单调性问题，考查不等式问题，属于基础题．8．（1）y=f （t ）=()()t 34t 0t 11()t 12，-⎧≤≤⎪⎨≥⎪⎩； （2）服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=41516小时.【解析】【分析】（1）由题设条件中的图象，利用数形结合思想能求出服药后y 与t 之间的函数关系式（2）得到关于t 的不等式组，即可解出结果．【详解】（1）当0≤t≤1时，y=4t ；当t≥1时，y=（12）t -a ，代入点(1,4)，解得a=3， ①y=f （t ）=()()t 34011()12t t t -⎧≤≤⎪⎨≥⎪⎩，；（2）①因为f （t ）≥0.25，即t340.251()0.252t -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1165tt⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，①116≤t≤5，所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=41516小时．【点睛】本题考查函数关系式的求法，考查函数的生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．141516。
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对数函数y=logax的性质分析
函 数
y = loga x （a>1) y = loga x (0<a<1)
图
象
定义域
(0,)
(0,)
值
域
R
在（ 0， ）上是增函数
R
在（ 0， ）上是减函数
单调性 过定点 奇偶性
都过定点（ 1， 0）
小结
比较了指数函数、幂函数、对数函数的增长
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大 时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn的增长速度,而 y=logax的增长速度则越来越慢.
非奇非偶函数
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并 且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增 长就越快。
y 3x
y 2x
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数， 并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的 增长就越快。 y
y=log2x y=log3x y=log5x O
(1,)
x
幂函数
3.当x＞0，n＞0时，幂函数y=xn是增函数， 并且对于x＞1，当n越大时，其函数值的 增长就越快。
y=x2
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1
y y=x4
O 1
2
3
x
y 3x
y 2x
y
y=log2x y=log3x y=log5x O
y=x2
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1
y y=x4
(1,0)
x
O 1
2
3
x
对于上述三种增加的函数,它们的函数值 的增长快慢有何差别呢? 对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取 近似值)比较
练习
1、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关 系是( D ) A. 0.32＜20.3＜log20.3; B. 0.32＜log20.3＜20.3; C. log20.3＜20.3＜0.32; D. log20.3＜0.32＜20.3;
指数函数、幂函数、对 数函数增长的比较
函数
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
图 指 数 象 函 定义域 数 R 性 (0, ) 没有最值 值 域 质 没有奇偶性 定 点 （ 0， 1 ） 一 性 在R上是增函数 在R上是减函数 览 质 表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1