11F小波习题

近代数学小波简答题+答案

1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？）答：设)()(2R L t ∈ϕ,且其Fourier 变换)(ωϕ满足可允许性（admissibility ）条件+∞<⎰∞+∞-ωωϕd w |||)(|2，则称)(t ϕ为小波函数。

2 Fourier 变换的不足？Fourier 分析的不足，主要表现在以下两点：1） Fourier 分析不能刻画时域信号的局部特性；（只知道信号所含有的频率信息，但不能知道各种不同频率信息在什么时候/位置出现） 2） Fourier 分析对非平稳信号的处理效果不好。

（如音乐、语言、地震、电脉冲等）3 什么是加窗Fourier 变换？用一个时间函数g(t)做窗口函数，该时间函数在有限区间外恒等于零，或很快趋近与零。

用g(t –τ)与待分析函数f(t)相乘，然后对乘积进行Fourier 变换，乘积作用相当与在 t =τ处开了个“窗口”。

即),(τωf G =dt e t g t f Rt i ⎰--ωτ)()(其反演公式为：ττωτωπωd G t g e d t f f R Rti ),()(21)(-=⎰⎰),(τωf G ),(+∞<<-∞+∞<<-∞τω确实包含了f(t)的全部信息。

4.什么是分数傅里叶变换？分数傅里叶变换是傅里叶变换的广义化，傅里叶变换通常指变换整数次，而分数傅里叶变换的变换次数不一定是整数，而是分数，其定义式为，当a=1时，分数傅里叶变换就变成了傅里叶变换。

一、写出离散小波、二进小波的表达式答：（1）离散小波：)2(22,k t j jk j -=--ψψ（2）二进小波：))2(2(2)(2,2τψψτjj j t t j -=--三、二进小波满足什么样的条件时，它的小波变换及其逆变换是存在的？设小波函数)(2R L t ∈）（ψ,若存在两个常数A,B,满足0<+∞<≤B A ,使得B A j Z≤∑≤∈2j )2(ωψ成立，则称)(,2t j τψ小波是)(2R L 上的二进小波，称上式为二进小波的稳定条件，当A=B 时称为最稳定条件。

小波分析考试题(附答案)

《小波分析》试题适用范围：硕士研究生时间：2013年6月一、名词解释（30分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件（1）如果x 、y V1，则x ＋y V1；（2）如果x V1，k K ，则kx V1，则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。

2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为（）。

an ...a a 11，，，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。

，()T n x x x x ,...,,21=，令，称为x 与y 的内积。

()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间解释：线性完备的内积空间称为Hilbert 空间。

线性（linearity ）：对任意f ，g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。

完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

内积（innerproduct ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。

()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）（）和（t t ψϕ1V从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。

小波分析作业

学号：2009202056 姓名：孟云霞小波分析与应用作业----五个名词Riesz 基：在无穷维Hilbert 空间中，称向量族{e n }n ∈N 是H 的一个Riesz 基，如果他是线性无关的，且存在A ＞0，B ＞0使得对任意的f ∈H,总可以找到u n 满足:0n n n f u e +∞==∑，且 22211n n f u f B A ≤≤∑.由Riesz 表示定理可以证明存在ˆn e ，使得ˆ,n n u f e =, 且有 00ˆˆ,,n n n n n n f f e e f e e +∞+∞====∑∑. 注意这里Riesz 基没有正交性的要求。

框架：在Hilbert 空间里的一族函数}{jj J φ∈成为一个框架，如果存在0,A B 〈〈∞ ，使得对于所有的f ∈H 有： 222,jj J A f f B f φ∈≤≤∑称A 与B 是框架界。

如果两个框架界相等，还称框架是紧框架。

但是框架，甚至是紧框架也不是正交基。

只有在紧框架条件下，框架界A=1，并且如果1j φ=对于所有的j J ∈成立，那么}{j φ才能构成H 的一个正交基。

：尺度函数：尺度函数又称为小波父函数。

根据双尺度方程，可以由尺度函数生成小波。

进行信号处理时，先要对信号进行副近。

也就是用尺度函数对信号进行分解。

尺度函数的频带与待分析信号的频带相同，然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解，就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分，此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半，小波函数的频带是另一半(高频部分)，由此实现了对原信号的按频带分解！尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系，但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。

以多尺度分析或者多分辨分析为例。

尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。

近代数学小波计算题答案

2．计算下列分形维数：（1）康托尔集合（the Cantor set）l o g l o g20.631l o g l o g3smDc=-=≈（2）科赫曲线（Koch）log41.262log3sD=-≈（3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵地毯：log log81.893log log3fDβκ==≈垫片:log log31.585log log2fDβκ==≈海绵：log log202.763log log3fDβκ==≈（4）阿波罗尼斯垫圆：解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数（5）皮亚诺曲线：log ln921ln3log()sNDβ===1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维初始元：生成元：（a）（b）（c）(a)log ln81.51ln4log()sNDβ==≈(b)log ln51.4651ln3log()sNDβ==≈(c)log ln51.4651ln3log()sNDβ==≈2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维解：相似维：log ln 20.63111log()ln3s N D β==≈Hausdorff 维：log log 20.631log log 3f D βκ==≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端）ε=1/10 ()N ε=N(1/10)()ln ln 54ln 541.7321ln ln10ln 10B N D εε=-=-=≈二、求下面一维16点离散信号Haar 小波2级分解与重构计算过程及结果，并与Matlab 编程计算结果比较。

x=[ 3 7 8 5 6 5 9 8 3 7 8 5 13 3 9]解： Haar 小波对应的尺度函数为1t 0 1 0{)(≤≤=其它t ϕ低通滤波器系数)(0k h :⎩⎨⎧===⎰--02/1)()()(),()(*,1,10R kk dt t t t t k h ϕϕϕϕ 其它，==k k 10 )(0k h ={1,1,0,0，…….0}/2)(0k h -={0,0,0,0,……0,1,1}/2={1,1}/2由0h 求高通滤波系数1h⎪⎩⎪⎨⎧-=--=02/12/1)1()1()(01k h k h k其它===k k k 102/}0,.......0,0,1,1{)(1-=k h2/}1,1{2/}1,0,...,0,0{)(1-=-=-k h 1 级尺度系数212,9]/,13,6,4,6,7,11,10,1511,11,14,1[10,15,13, )(*)()(001=-=k c k h k C抽偶 2/]12,4,13,10,17,11,13,10[= 2 级尺度系数2/]16,2823,23[ 6,12]/227,23,17,1[23,24,28, )(*)()(102==-=抽偶k c k h k c 1 级小波系数2]/,-2,0,-6,9,-4,-1,3,41,1,-4,1,5[-4,-1,3,- )(*)()(011=-=k c k h k d抽偶 2/]6,2,3,4,1,1,3,4[----= 2 级小波系数2]/2,-3,9,-8,1[-3,2,-6,7 )(*)()(112=-=k c k h k d抽偶2/]8,3,6,3[ ----= 重构：（逐级重构） 2/]8,3,6,3[)(2----=k d2/]8,0,3,0,6,0,3,0[----=−−→−插值器2/]16,0,23,0,28,0,23,0[2/]16,23,28,23[)(插值器2=−−−−→−=k c2,24]/23420,26,8[20,26,22, 22/]8,0,3,0,6,0,3,0[*]1,1[2]/2,0,23,0,16[0,23,0,28*[1,1] )(*)()(*)()(21201=-----+=+=k d k h k c k h k c2/]6,0,2,0,3,0,4,0,1,0,1,0,3,0,4,0[2/]6,2,3,4,1,1,3,4[)(1----=−−→−----=插值器k d22/]24,0,8,0,26,0,20,0,34,0,22,0,26,0,20,0[22/]24,8,26,20,34,22,26.20[)(1=−−→−=插值器k c9]3 13 5 8 7 3 8 9 5 6 5 8 7 [3 2,0,-6]/2-4,0,3,0,-0,1,0,1,0,[0,-4,0,3,*[1,-1] /4,0,8,0,24],0,20,0,26,0,22,0,34[0,20,0,26*[1,1] )(*)()(*)()(11100=+=+=k d k h k c k h k c一、已知)(t ϕ（尺度函数）求小波函数)(t ψ⎩⎨⎧=01)(t ϕ其它210≤≤t解：1）⎩⎨⎧=01)(t ϕ其它210≤≤t 易知，{})(n t -ϕ关于n 为一正交归一基.2）求n h()⎰∞--==,1)2()(2),(dt n t t t t h n n ϕϕϕϕ其中，⎩⎨⎧=-01)2(n t ϕ()其它2/2/12/n t n +≤≤当0=n 时，⎩⎨⎧=01)2(t ϕ其它4/10≤≤t当1=n 时，⎩⎨⎧=-01)12(t ϕ其它4/32/1≤≤t故当0=n 时，⎩⎨⎧=-01)2().(n t t ϕϕ 其它0=n当0=n 时，⎩⎨⎧=-01)2().(n t t ϕϕ其它4/10≤≤t故⎩⎨⎧=-=⎰022/1)2().(2dt n t t h n ϕϕ 其它0=n3）求n g ⎩⎨⎧=-=022/1)1(n nn h g=n 4）求)()()(0,10,1t g t g t nn--==∑ϕϕψ⎰=⋅=021)2(222/1t ϕ 其它4/10≤≤t1)(t ϕt)(t ψ(ϕ。

小波理论期末试题

我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的。

2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。

小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。

3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。

事实上，F(w)dw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。

4、在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小。

5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。

在小波变换中，变换系数Wf （a,b ）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。

6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f 。

小波分析考试题(附答案)汇编

似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为，得到的小波函数为，然后重复步骤1和2。

再把小波向右移，得到小波，重复步骤1和2。

按上述步骤一直进行下去，直到信号结束；步骤4: 扩展小波，例如扩展一倍，得到的小波函数为；步骤5: 重复步骤1~4。

五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。

（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。

1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。

Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。

定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性：ΛΛ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈Y I ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。

满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析，如果)(t g 生成一个多分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。

关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。

从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。

小波分析-经典案例

时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。

在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。

其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。

对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。

显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。

在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。

因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。

小波变换

再来看看傅里叶变化
为什么说“再”呢？大家还是存在着疑问。。。光有公式、会做题、有意思么？

再来看看傅里叶变化
再来看看傅里叶变换

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多不同频率不同幅度的正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都为零—— 但有密度上的差别，可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的

如上图所示小波是一个衰减的波形，它在有限的区域内存在（不为零），且其均值为零。小波是尖锐变化而且是无规则的波形。因此用小波能更好的刻画信号的局部特性。
小波变换

在实际中，人们总是研究能量有限的信号f (t) ，因此假定函数f(t) ∈L2 (R) ，同样也有 ψ (t) ∈L2 (R) 。由于应用上的需要，要求由小波变化能重构原信号，对小波函数还要求它满足容许性条件：
在一定条件下，{ψj,k(t)|j,k∈Z} 可பைடு நூலகம்构成L2 (R)的 “基”，用它可以表示f (t) 。由于这种基的生成方式简单，且ψ (t) 又有良好的局部性和其它性质，因此函数f (t) 用小波基表示后有着广泛的应用。
小波变换
投影关系 a为尺度因子，b为平移量下面是f(x)以ψ（x）为基的积分连续小波变换
琅琊山秋游

计划一:自行游路线:南京车站(K348/K345 07:44~08:22 12元)————滁州北———— 11路公交车————琅琊山。晚上 K8377 17:34~18:24 12元门票：95（途牛预订80）看来到滁州，若非自驾，若乘火车，得提前买好往返的票，哪怕回程是站票也得提前购买，否则像今日这般，40分钟的火车行程，得花2个多小时的汽车才能回到南京。计划二：旅行团价格：108（车费景点第一大门票）南京采风旅行社有限公司 84731383 可以派车来学校接，前往国家级风景名胜区、国家首批AAAA级旅游区-琅玡山。

MATLAB小波分析复习题(第一章)

第一章FOURIER 变换与MATLAB 实现1. 设()f x 为定义在[,](0)T T T ->上的周期函数，则()f x 的Fourier 级数为01()cos sin ,2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ 其中,n n a b ==。

2. 设11,[0,)2()11,[,1]2x f x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩，求()f x 的Fourier 级数。

3. 写出()f x 的傅里叶变换()F w 及逆变换()F w 的定义。

4. 写出2||1()()2x f x e heaviside x -=的傅里叶变换与逆变换2()1w F w w=+逆变换()f x 的MATLAB 程序实现清单。

5. 写出时限信号，带限信号，带宽，采样频率，奈圭斯特采样频率的定义。

6. 写出奈圭斯特采样定理。

7. ()f t 的频谱密度函数是什么？()f t 的振幅频谱是什么？()f t 的相位频谱是什么？8. 用MA TLAB 绘出2||1()()2x f x e heaviside x -=的振幅频谱图（幅频谱图）与相位频谱图。

9. 写出周期序列()x n 的离散Fourier 变换()c k 及其()c k 的离散Fourier 逆变换的定义。

10. 利用定义手工计算(4)(1,2,3,4)x =的离散Fourier 变换()X k 。

再使用MA TLAB 命令DFS 与IDFS 进行验证。

11. 已知信号()0.5sin()sin(/2)f t t t =+，今采样间隔为0.01t ∆=从而得到一个离散信号()(),099x n f n t n =∆≤≤。

对()x n 使用离散Fourier 变换的MATLAB 命令DFS 得到()x n 的幅频谱图与相位频谱图。

12．证明并验证Fourier 变换的线性性：[()()][()][()]F x n y n F x n F y n αβαβ+=+。

小波与滤波器习题答案 sol3

∞
ϕ(t − m)ϕ(t − n) dt = δm,n .
−∞
Hence
∞
f 2 (t) dt =
−∞ n∈Z
f 2 [n].
Therefore if f (t) ∈ L2 then f [n] ∈
2
and vice-versa.
(b) P ROBLEM 5. Since V0 ⊂ V1 and f ∈ V0 and g ∈ V1 , g − f ∈ V1 . Clearly, g − f ∈ / W1 in general since V1 ⊕ W1 = V2 which means that the only element common between V1 and W1 is the 0 function. However, it is also true in general that g − f ∈ / W0 . This is because any element g ∈ V1 can be uniquely written as g = g1 + g2 ⇒ g − f = g1 − f + g2 .
18.327/1.130: Wavelets, Filter Banks and Applications Solutions to Problem Set 3
M ARK D ISTRIBUTION P ROBLEM 6.1.3 6.1.5 6.2.7 6.2.8 6.3.2 6.3.3 6.4.4 6.5.4 6.5.7 6.5.9 7.1.8 7.2.2 7.3.7 7.3.8 7.5.4 T OTAL G RADING P OLICY • A reasonable attempt to answer a one-mark question fetched half-marks • Problems not attempted fetched no marks. • Since lifting was not covered before the problem set was due, Problem 6.5.7 was converted into a one-mark bonus question. M ARKS 1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 B ONUS 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 10.0

近代数学小波证明题+答案

一，证明：低通滤波器0h 与高通滤波器1h 的关系： )1()1()(01k h k h k --=证明： 0)()()()(1010=+++πωπωH H w H w H （1） ∴一定存在一个以π2为周期的函数)(ωλ使)()()(01πωωλ+=H w H （2） )()()2()()(001ωπωλπωπωλH H w H +=++= （3）将（2）,（3）带入（1）中有0)]()()[()(00=+++πωλωλπωωH H （4）若（4）式成立则)()(πωλωλ++=0 有一个特解为：)2()(ωωλωg e i = （5）其中，)(ωg 为周期为π2的函数将（5）代入（2）中有)()2()(01πωωωω+=H g e H i 取 ωωim eg =)(对所有的ω都成立，则有)()(0)12(1ωω+=+-H e H m i （6）当 0=m 时，)()(01πωωω+=-H e H i 显然（6）是（1）的解，由ki ke k h ωω-∑=H )(21)(00ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11则（6）式左右两边分别为 ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11 (7)∑∑-+----==+H kik kkki i i e k h e k h e e ωπωωωπω)1(21)1( )(21)(0)(00 (8)比较（7）（8）两式有)1()1()(01k h k h k --= 证毕一、证明因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

证明：由)(/1)(,at a t b a τψψ-=，可知其能量为 dt at a dt t E b a 22,|)(/1||)(|⎰⎰+∞∞-+∞∞--==τψψ 令at x τ-=则有adx dt = ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-===∴dx x dx x a a ax d x a E 222|)(||)(/1|)(|)(/1|ψψψ)(t ψ的能量E dt t E =='⎰+∞∞-2|)(|ψ由此可见因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

小波分析练习题(做了123456)

题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤<⎧=⎨⎩其它，请利用Haar 尺度关系式将信号()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0,w w v 分量。

这三项便分别为W 1,W 0,V 0题2：简述信号分解和重构的Mallat 算法（要求写出算法步骤并列出分解重构公式。

）分解初始化：选择适当的f j，用来逼近f迭代：由f j分解为f j-1和W j-1，……，以此类推，最后得到f0和W0终止：j=0，并生成下面那两个系数重构：差不多就是倒着说回去。

下面那个系数就是重构出来的f的系数（k(2)j jka x k φ-∑，好像是这个玩意）题3：设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析：（1）写出双正交条件；,,,,,,,,()()()()()()()()()()()(),,l n m n j k j l k nj k j m k nx x x x x x x x x k x k x k x k ϕϕψψϕψϕψϕϕψψϕϕδδψψδδ----<>=<>=⊂⊂⊂⊂⊂-2-1012设存在尺度函数、和小波函数和构成双正交多分辨率分析，则、、、应满足基本条件：（1）平移系{}、{}、{}、{}无关但不正交；（2）满足双正交条件：（3）两种空间嵌套序列：V V V V V ,,,{}{}j j k j j k V span V span ϕ⊂⊂⊂⊂⊂==-2-1012V V V V V 其中,,1111{}{}()(2)()(2)()(2)()(2)j j kj j k j j j j j j j j j j k k k Z k Z k k k Zk ZW span W span V W V W V V W V V W x x k x x k x x k x x k ψφφφφψφψφ----∈∈∈∈==⊥⊥=+=+=-=-=-=-（4）正交补关系：设（5）双尺度方程变为：（2）写出4个双尺度方程（尺度系数分别为,,,k k k k h h g g ）；()(2)()2(2)k k k kt h t k t h t k φφφφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ ()(2)()2(2)k k k k t g t k t g t k ψφψφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ （3）写出尺度系数间的对应关系。

小波分析作业(含自编程序)

地球科学学院小波分析课程作业课程名称：小波分析指导老师：学生姓名：学号：几种时频分析方法1 短时傅里叶变换为了研究信号在局部时间范围内的瞬时频率特性，1946年，D.GABOR 引进了短时傅氏变换或窗口傅氏变换的概念，其基本原理是取一个称为(t)g 窗口的函数，使它在有限的区间范围外恒等于零或趋于零。

设任意信号(t)f ，并假设该信号在一个以时间τ为中心，且范围有限的窗口函数)-(t τg 内是稳定的，这样，窗口内函数)-(t)g(t τf 的傅氏变换就定义为短时傅氏变换，表示为dt e T t i STFT ωτωτ--)-f(t)g(t ),(⎰∞∞=STFT 是通过滑动时窗来计算其频谱，因而它的时间分辨率和频率分辨率受Heisenberg 测不准原理约束。

因此利用短窗口有较高的时间分辨率，但是频率分辨率差。

2 小波变换常见的小波变换有连续、二进制以及离散小波变换等。

在连续小波变换中，仅要求小波函数满足容许条件即可，这使得在选择小波函数时具有很大的自由度。

对任意地震信号函数)((t)2R L f ∈，其连续小波变换定义为 )f(t)dt a b -t (a 1(t)f(t)dt b)(a,-*-b a,⎰⎰∞∞∞∞==ϕψw T 式中，ａ为尺度因子，ｂ为平移参数，函数ψ（ｔ）称为母小波。

小波分析具有可调的时频窗口，被广泛地应用于地震信号处理中，但是也存在着一定的局限性，主要表现在难以选择小波基、固定的基函数、恒定的多分辨率，信号的能量—时间—频率分布也很难定量给出。

3 S 变换为了解决短时傅氏变换只能以一种分辨率进行时频分析及小波变换不能直接与频率对应的缺陷，1996年美国地球物理学家Stockwell 在前人的基础上提出了S 变换。

S 变换中，基本小波是由简谐波与高斯函数的乘积构成的，基本小波中的简谐波在时间域仅作伸缩变换，而高斯函数则进行伸缩和平移。

这一点与连续小波变换不同，在连续小波变换中，简谐波与高斯函数进行同样的伸缩和平移。

小波分析硕士试题及答案

01()2()(2)()2()(2)n Z n Zt g n t n t g n t n ϕϕψϕ∈∈⎨=-⎪⎪=-∑∑小波函数：()(2)nt h t n φφ=-∑ 5、Mallat 算法答： 1989年，Mallat 在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat ）算法。

Mallat分解算法：,1,2(1)j k n j n k n Zc h c ++∈=∑，,1,2(2)j k n j n k n Z d g c ++∈=∑ Mallat 重构算法：1,2,2,(3)j n n k j k n k j k n Z n Zc h c gd +--∈∈=+∑ 6、双尺度方程答：双尺度方程，本质就是将j V 的基函数表示成1j V +的基函数的线性和。

因为0101(),()t V V t W V ϕψ∈⊂∈⊂，所以()t ϕ和()t ψ都可以用1V 空间的一个基(2)n Z t n φ∈-线性表示： ()(2)()(2)n n t h t n t g t n φφϕφ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∑∑，即为双尺度方程。

一、简述小波的定义及其主要性质。

（10分）答：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与傅里叶变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。

小波性能除了正交性以外还有光滑性、紧支性、衰减性、对称性以及消失矩和时频窗面积。

二、阐述Fourier 变换和小波变换的各自的特点，并比较它们之间的优缺点。

小波习题解答ab

小波习题解答
June 16, 2011
一、对双尺度方程
ϕ(t) =
n
hn ϕ(2t − n) 1 2
两边做Fourier变换
ω ω ϕ ˆ(ω ) = H ( )ϕ ˆ( ) 2 2
H (ω ) =
hn e−inω
n
继续分解,有极限式
∞ ϕ ˆ(ω ) = Π+ j =1 H (
∴ 取ω=0得
ω )ϕ ˆ(0) 2j ϕ ˆ(0) = 0
n m n n (−1) hn
=0 h2n+1 = 1
h2 n =
hm eimω e−ikω
hn hn−k
K n
|H (ω + π )|2 = =
1 4 1 4
hn (−1)n e−inω
n m
hm (−1)m eimω e−ikω
(−1)k
K n
hn hn−k
1
两边相加，注意对于奇数的 k ,对应项相消 1 2 上式为一个Fourier 级数 ⇒ 也可这样做： hn hn−2k
k n
e−i2kω ≡ 1
n hn hn−2k
= 2 δ 0k
ϕ(t − k ), ϕ(t − l) = δkl hn ϕ(2t − 2k − n),
n n
hn ϕ(2t − 2l − n) hp−2l ϕ(2t − p)
p
= δkl = δkl
hs−2k ϕ(2t − s),
s
1 2 即
hs−2k hp−2l = δkl
1 7 f 的信号向量是 f (t) 在 t = 0 8 , 8 , · · · , 8 的抽样 (2)VM 有8个系数 db4 滤波器有8个非0系数，推算得 VM −1 和 WM −1 都有7个非0系数. 周期性： C M 以 2M 为周期 ⇔ Ck = Ck+2M ∀k ∈ Z M −1 Ck = n M h(n − 2k )Cn

小波试题打印版2011113

2.Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；3.描述MRA；4.分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；5.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；6.Meyer小波的构造方法；7.构造Daubechies系列小波中的一个或两个；8.说明正交小波包的思想（空间再分割）；9.给出Malvar小波的构造方法（共有3种）；10.正交小波包的定义；11.小波包的频域表达形式；12.小波包的两种正交性；13.小波空间的小波包再分割；14.小波算法：分解和合成；矩阵形式；15.小波包算法：分解和合成；矩阵形式；16.MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；17.Gabor变换的时-频分析特性；18.连续小波的时-频分析特性；19.二进小波的时-频分析特性；20.正交小波的时-频分析特性；21.小波包的时-频分析特性；22.Malvar小波的时-频分析特性；23.二维小波分析和图像处理；24.小波采样定理；25.小波与快速算法；26.分数傅立叶变换：*）经典分数傅立叶变换（旋转）；**）加权分数傅立叶变换（置换）；27.小波变换的数值含义分析；28.小波变换的工程含义分析；29.小波变换与局部分析和奇性分析。

从Fourier 变换改进的角度去引入小波，并从基的处理去看待小波的发展，可以分为四个阶段（Fourier 本身被看作一个阶段）。

⑴ Fourier 变换Fourier 变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号()f x 的Fourier 变换()()⎰+∞∞-ω-=ωx x f F x d e i表示信号的频谱。

正是Fourier 变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier 变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。

小波分析11sss

例：L2([0,1])
1 0 t 1 t 其它 0
1 0 t 1 2 t 1 1 2 t 1 0 其它
(t)
1
st , g t 0
或
(t)
0 1
1
t
ˆ , g 0 ˆ s

st , g t
xt ii t
(t)为变换的核函数（基函数）。
一般地，对任意平方可积的实函数，有线性展开：
t e jt Fourier变换：正弦变换： t sin t
Hartley变换： t cost sin t
xt ii t
i

2 ji t T
简谐信号叠加
1 i T
T 2
T 2
x t e
2 ji t T
dt
x(t)分解为无穷多个正交分量的线性累加（线性展开）。 2 jm 令 t T =2/T代表频率间隔(基频)。
gm t e
N 0 1 N
i 0,1, , N 1
随着N的增大，sN对s(t) （或gN对g(t) ）的近似越好。
当N→∞，内积的求和越来越大，计算平均内积：
1 sN , g N N
RN
1 N
s ti g ti
i 0
N 1
i 0 N b
s ti g ti t
(t) 应满足以下三个特性：
■任何复杂的信号f(t)，都能由一个母函数(t) 经过伸缩和平移产生的基底的线性组合表示； ■新的基函数(t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信号。正交基函数应尽量简单，使计算复杂度降低。具有好的去相关和能量集中特性。稀疏化表示。

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。

这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。

这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。

在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。

如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。

这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。

为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。

其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。

短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。

但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。

小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。