2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程练习新人教A版

2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程
1.方程y=3x-2 (x≥1)表示的曲线为( B )
(A)一条直线 (B)一条射线
(C)一条线段 (D)不能确定
解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.
2.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的( B )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
解析:点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,如点M(4,4),但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上,如点M(4,-4).
3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1)( C )
(A)不在圆C上,但在直线l上
(B)在圆C上,但不在直线l上
(C)既在圆C上,也在直线l上
(D)既不在圆C上,也不在直线l上
解析:把M(4,-1)代入圆和直线方程时,均使方程成立,故点M既在圆C上,也在直线l上.故选
C.
4.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是( B )
(A)x2+y2=3 (B)x2+2xy=1(x≠±1)
(C)y=(D)x2+y2=9(x≠0)
解析:设P(x,y),因为k PA+k PB=-1,
所以+=-1,
整理得x2+2xy=1(x≠±1).故选B.
5.已知A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是( A )
(A)x2+y2=1 (B)x2+y2=2
(C)x2+y2=1(x≠±1) (D)x2+y2=2(x≠±)
解析:设动点M(x,y),
则=(-1-x,-y),=(1-x,-y).由·=0,
得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0,即x2+y2=1.故选A.
6.方程xy2-x2y=2x所表示的曲线( C )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
解析:以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以方程xy2-x2y=2x所表示的曲线关于原点对称.故选
C.
7.已知a,b为任意实数,若点(a,b)在曲线f(x,y)=0上,且点(b,a)也在曲线f(x,y)=0上,则f(x,y)=0的几何特征是( D )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
解析:依题意知,点(a,b)与点(b,a)都在曲线f(x,y)=0上,这两点关于直线y=x对称,故选D.
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( B )
(A)π(B)4π(C)8π(D)9π
解析:设P(x,y),由|PA|=2|PB|得
=2,
整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.故选B.
9.若点P(2,-3)在曲线x2-ky2=1上,则实数k= .
解析:将点P(2,-3)代入曲线方程得4-9k=1,所以k=.
答案:
10.已知方程①x-y=0;②-=0;③x2-y2=0;④=1,其中能表示直角坐标系的第一、三象限的
角平分线C的方程的序号是.
解析:①是正确的;②不正确,如点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程
-=0;③不正确,如点(-1,1)满足方程x2-y2=0,但它不在曲线C上;④不正确,如点(0,0)在
曲线C上,但其坐标不满足方程=1.
答案:①
11.方程·(x+y+1)=0表示的几何图形是.
解析:由方程得即x+y+1=0(x≥3)或x=3.
答案:一条射线和一条直线
12.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是.
解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为点B(1,0),半径r=1,
则|PB|2=|PA|2+r2.所以|PB|2=2.
所以P的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
13.已知方程x2+(y-1)2=10.
(1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上;
(2)若点M(,-m)在此方程表示的曲线上,求m的值.
解:(1)因为12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2≠10,
所以点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,而点Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上.
(2)若点M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10所表示的曲线上,
则()2+(-m-1)2=10,
解之得m=2或m=-.
14.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.
解:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),因为⊥,=(x0,-y0), =(1, -y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+=0.(*)
由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
即
代入(*)式得-x+=0,故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
15.已知三角形ABC中,AB=2,AC=BC.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)求三角形ABC的面积的最大值.
解:(1)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,不妨取A(-1,0),B(1,0),
设C(x,y),由AC=BC,
得(x-3)2+y2=8(y≠0),
即为点C的轨迹方程.
(2)由于AB=2,所以S△ABC=×2×|y|=|y|,
因为(x-3)2+y2=8,
所以|y|≤2,
所以S△ABC≤2,
即三角形ABC的面积的最大值为2.
16.若圆O1方程为(x+1)2+(y+1)2=4,圆O2方程为(x-3)2+(y-2)2=1,则方程(x+1)2+(y+1)2-4=(x-3)2+(y-2)2-1表示的轨迹是( D )
(A)经过两点O1,O2的直线
(B)线段O1O2的中垂线
(C)两圆公共弦所在的直线
(D)一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等
解析:将方程(x+1)2+(y+1)2-4=(x-3)2+(y-2)2-1化简整理得4x+3y-7=0,故方程表示的轨迹为直线,由题意得,圆O1的圆心为(-1,-1),半径为2,圆O2的圆心为(3,2),半径为1,可知两圆外离,可设直线上任意一点P(x,y),则它到圆O1的圆心的距离为,
故表示自点P向圆O1所引的切线长,同理可得
表示自点P向圆O2所引的切线长,综合可得D正确.故选D.
17.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且
·=·,则动点P的轨迹C的方程为( A )
(A)x2=4y (B)y2=3x
(C)x2=2y (D)y2=4x
解析:设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),
整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.故选A.
18.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作为等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是.
解析:设点Q,P的坐标分别为(x,y),(1,y0),由OQ⊥OP当x≠0时得k OQ·k OP=-1,
即·=-1,y0=-.①
又由|OQ|=|OP|得=,
即x2+y2=+1.②
将①代入②中,整理得(y2-1)(x2+y2)=0,
因为x2+y2≠0,所以y2-1=0,所以y=±1,x≠0.
所以所求轨迹是两条直线y=±1.
当x=0时也符合.
答案:两条直线y=±1
19.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的
斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为.
解析:因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),
由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).
答案:x2+3y2=4(x≠±1)
20.如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN,M,N为切点,使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
名师点拨:由|PM|=|PN|得|PO1|2-|O1M|2=2(|PO2|2-|O2N|2),然后将该式坐标化可得动点P的轨迹方程.
解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的坐标系,
则O1(-2,0),O2(2,0).
因为|PM|=|PN|,
所以|PM|2=2|PN|2.
又因为两圆的半径均为1,
所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).
设P(x,y),
则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即(x-6)2+y2=33.
所以所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.。