北师版新课标高中数学必修二练习 《两角和与差的正切函数》提高题
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
新教材北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第四章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系........................................................................................ - 1 - 2两角和与差的三角函数公式.................................................................................. - 11 - 3二倍角的三角函数公式.......................................................................................... - 42 -1同角三角函数的基本关系学习任务核心素养1．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x．(重点、难点)2．会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明．(重点、难点)1．通过对同角三角函数基本关系式的推导，培养学生逻辑推理素养．2．通过利用三角函数基本关系式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养．气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风．这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索．从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点．蝴蝶效应问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？知识点 同角三角函数的基本关系1.同角三角函数基本关系式中的角α是任意的实数吗？提示：角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1中，角α是任意的实数；在商数关系：tan α＝sin αcos α 中，角α满足α≠π2＋k π，k ∈Z .2．由同角三角函数基本关系式变形可得sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α，那么正负号由谁决定？提示：由角α所在的象限决定．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin 2α＋cos 2β＝1. ( ) (2)sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( ) (3)对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立． ( ) (4)若cos α＝0，则sin α＝1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知sin α＝45，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．43 B ．34 C ．±34D ．±43D [∵sin α＝45，α∈(0，π)，∴cos α＝±1－sin 2α＝±35，∴tan α＝sin αcos α＝±43.]类型1 由一个三角函数值求其他三角函数值【例1】 (教材北师版P 138例1改编)(1)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．(2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________．(1)[解] ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角， ①当α是第二象限角时，则sin α＝ 1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.②当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. (2)－125 [∵sin α＋cos α＝713，∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0， ∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α－cos α＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125.]三角函数求值的方法(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．[跟进训练]1．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．[解]由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α. ①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，∴cosα＝－35，sin α＝43cos α＝－45.类型2三角函数式求值【例2】已知tan α＝2.求：(1)2sin α－2cos α4sin α－9cos α；(2)4sin2α－3sinαcos α－5cos2α.(1)三角函数基本关系式中的商数关系：tanα＝sin αcos α，从函数名的角度看有何作用？提示：由tan α＝sin αcos α可知，正切可以化为正弦和余弦；反过来看，即由sin αcos α＝tan α可知，由正弦和余弦可化为正切．(2)三角函数式sin α＋2cos α3sin α－cos α可以用tan α来表示吗？提示：可以，sin α＋2cos α3sin α－cos α的分子和分母同时除以cos α可得sin α＋2cos α3sin α－cos α＝tan α＋2 3tan α－1.(3)三角函数式sin αcos αsin2α＋cos2α和sinαcos α如何用tan α来表示？提示：sin αcos αsin2α＋cos2α的分子和分母同时除以cos2α可得sinαcos αsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1；把sinαcos α看作分母为1的分式，则sin αcos α＝sin αcos αsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1.[解](1)法一：原式＝2tanα－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.法二：原式＝2×2cos α－2cos α4×2cos α－9cos α＝2cos α－cos α＝－2.(2)法一：原式＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.法二：原式＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4（2cos α）2－3×2cos α×cos α－5cos 2α4cos 2α＋cos 2α＝5cos 2α5cos 2α＝1.法三：原式＝4(2cos α)2－3×2cos α×cos α－5cos 2α ＝5cos 2α＝4cos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＝1.1．在例2中，若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[解] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.所以2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×3－24×3－9＝43.2. 在例2的条件下，求sin 2α－2sin αcos α＋1的值．[解] sin 2α－2sin αcos α＋1＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝22－2×222＋1＋1＝1.知切求弦常见的有两类1.求关于sin α、cos α的齐次式值的问题，如果cos α≠0，则可将被求式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值，从而完成被求式的求值问题．2.若不是sin α，cos α的齐次式，可利用方程组的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的值，注意将分母的1化为sin 2α＋cos 2α，将其代入，再转化为关于tan α的表达式后求值．[跟进训练]2．如果tan θ＝2，则1＋sin θcos θ＝________．75[1＋sin θcos θ＝sin2θ＋cos2θ＋sinθcos θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋1＋tanθtan2θ＋1＝22＋1＋222＋1＝75.]类型3三角函数式的化简与证明【例3】(1)化简：sin2αtanα＋cos2αtanα＋2sin αcos α.(2)(教材北师版P141例6改编)求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.[解](1)原式＝sin2α·sinαcos α＋cos2α·cosαsin α＋2sin αcos α＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2αsinαcos α＝（sin2α＋cos2α）2 sinαcos α＝1sin αcos α.(2)证明：法一：左边＝cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1＋cos α）＝cos2α－sin2α＋cosα－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）12（cos α＋sin α）2＋sin α＋cos α＋12＝2（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）（sin α＋cos α＋1）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．法二：∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋cos α＋sin α.∴原式成立．(1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．[跟进训练]3．求证：tanαsin αtan α－sin α＝1＋cos αsin α.[证明]左边＝sin2αcosαsin αcos α－sin α＝sin2αsinα－sin αcos α＝1－cos2αsinα（1－cos α）＝1＋cos αsin α＝右边，所以等式成立．当堂达标1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝()A．－1213B．－513C．513 D.1213A [因为α是第二象限角，sin α＝513， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]2．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B ．34 C ．±34 D ．±43A [∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.] 3．已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sin α＝( ) A ．－35 B ．35 C ．45 D ．－45A [由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝－34sin 2α＋cos 2α＝1，，解得sin α＝－35(因为α是第四象限角，所以sin α<0，所以sin α＝35不合题意，舍去).]4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________． －25 [sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝－25.]5．已知α为第二象限角，化简tan α1sin 2α－1＝________．－1 [因为α是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.同角三角函数间的关系中“同角”的含义是什么？已知α的一个三角函数值求其它三角函数值时应注意什么问题？[提示] (1)“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．2.计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧有哪些？[提示]计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．(3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系．更多三角函数及关系式除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的其他三角函数．事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝x2＋y2，则r＞0，此时(1)称rx为α的正割，记作secα，即sec α＝rx；(2)称ry为α的余割，记作csc α，即csc α＝ry；(3)称xy为α的余切，记作cot α，即cot α＝xy.由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x 轴上时，cot α，csc α没有意义；同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的同学自己探讨．正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即sec α＝1 cos α，csc α＝1sin α，cot α＝1 tan α.另外，由于tan2α＋1＝sin2αcos2α＋1＝sin2α＋cos2αcos2α＝1cos2α＝sec2α，因此tan2α＋1＝sec2α.类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即cosαsec α＝1，sin αcsc α＝1，tan αcot α＝1.每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！2两角和与差的三角函数公式2．1两角和与差的余弦公式及其应用学习任务核心素养1．会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式．(重点)2．熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、难点)1．通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理素养．2．通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养．某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度．设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos 15°＝60cos 15°，BC＝AC sin 15°＝60sin 15°，BD＝AB·tan 60°＝60·cos 15°·tan60°＝603cos 15°，∴x＝BD－BC＝603cos 15°－60sin 15°，如果能求出cos 15°，sin 15°的值，就可求出电视发射塔的高度了．问题 1.30°＝60°－30°，那么cos 30°＝cos 60°－cos 30°吗？类似的15°＝45°－30°，那么cos 15°＝cos 45°－cos 30°吗？α，β∈R，则cos (α－β)＝cos α－cos β吗？2．问如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos (α－β)呢？知识点两角和与差的余弦公式cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．(Cα＋β)cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β．(Cα－β)(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．思考：1.“cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β”正确吗？ 提示：不正确．cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．2．把“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2”用两角和的余弦公式展开，和用诱导公式化简的结果相同吗？提示：相同．用两角和的余弦公式展开为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos αcos π2－sin αsin π2＝－sin α，用诱导公式化简为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β. ( ) (2)任意角α，β，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. ( ) (3)任意角α，β，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.( )[提示] (1)正确．如α＝π4，β＝π2，cos (α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22，满足cos (α－β)＝cos α－cos β.(2)错误．由两角差的余弦公式可知不正确． (3)正确．由两角和的余弦公式可知正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√2.cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝( ) A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12B [cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝cos (20°＋10°)＝cos 30°＝32.]类型1 给角求值【例1】 计算：(1)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°； (2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；(3)12cos 15°＋32sin 15°.[解] (1)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205° ＝cos 35°cos 25°＋sin 35°sin(180°＋25°)＝cos 35°cos 25°－sin 35°sin 25°＝cos(35°＋25°)＝cos 60°＝12. (2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. (3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用两角和与差的余弦公式求值的方法技巧,在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的和或差(或同一个非特殊角与特殊角的和或差)，再用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角和或差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[跟进训练]1．(1)化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32(2)cos (x ＋27°)cos (x －18°)＋sin (x ＋27°)sin (x －18°)＝________． (1)B (2)22[(1)cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32. (2)原式＝cos [(x ＋27°)－(x －18°)]＝cos 45°＝22.] 类型2 给值求值【例2】 (教材北师版P 144例2改编)(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos (α－β)等于( )A ．－32 B ．－12 C ．12D ．32(2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，求cos α的值． (1)D [因为sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12， 所以(cos α－cos β)2＝14，(sin α－sin β)2＝74－3，两式相加，得2－2cos (α－β)＝2－ 3. 所以cos (α－β)＝32.] (2)[解] ∵α，β为锐角， ∴0<α＋β<π.又∵cos (α＋β)＝1213>0， ∴0<α＋β<π2， ∴0<2α＋β<π.又∵cos (2α＋β)＝35>0， ∴0<2α＋β<π2，∴sin (α＋β)＝513，sin (2α＋β)＝45，∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos (2α＋β)·cos (α＋β)＋sin (2α＋β)·sin (α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β).[跟进训练]2．已知0<α<β<π2，且sin α＝817，cos (α－β)＝2129，求cos β的值． [解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝817，所以cos α＝1－sin 2α＝1517. 由0<α<β<π2得，－π2<α－β<0，因为cos(α－β)＝2129， 所以sin (α－β)＝－1－cos 2（α－β）＝－2029，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝1517×2129＋817×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2029＝155493. 类型3 给值求角【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，则α－β＝________ (2)已知cos (α－β)＝－35，cos (α＋β)＝35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．(1)已知一个角的三角函数值，如何求这个角的值？[提示] 根据这个角的范围，利用相关三角函数的单调性确定这个角的值． (2)已知cos α＝12，若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α的值是什么？若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2呢？[提示] 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，α的值为π3；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α的值为π3或－π3.(1)π4 [因为α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，所以cos α＝55，cos β＝31010，所以cos (α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为sin α>sin β，所以0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以α－β＝π4.] (2)[解] 由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos (α－β)＝－35，可知sin (α－β)＝45.又∵α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos (α＋β)＝35，∴sin (α＋β)＝－45，∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝－1.∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴2β＝π，故β＝π2.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．[跟进训练]3．已知cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．[解] ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.当堂达标1．下列三角函数式正确的是( ) A ．cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β B ．cos (α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β C ．cos (α＋β)＝cos αcos α＋sin βsin β D ．cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βD [由两角和与差的余弦公式可知选项D 正确．]2．若a ＝(cos 30°，sin 30°)，b ＝(cos 15°，－sin 15°)，则a ·b 等于( ) A ．22 B ．12 C ．32 D ．－12A [a ·b ＝cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°＝cos(30°＋15°)＝cos 45°＝22，故选A.]3．cos 15°＝________6＋24 [cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24.]4．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________．32[原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝3 2.]5．已知锐角α、β满足cos β＝45，sin (α－β)＝－110，则cos α＝________．31010[∵α为锐角，且cos β＝45，∴sin β＝35.又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.又∵sin (α－β)＝－110，从而cos (α－β)＝310，∴cos α＝cos [β＋(α－β)]＝cos βcos (α－β)－sin βsin (α－β)＝45×310－35×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝31010.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何解决“给式求值”或“给值求值”问题？[提示]“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2.如何求解给值求角问题？[提示]“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用学 习 任 务核 心 素 养1．能利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)2．会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. (重点、难点)1．通过对两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养学生逻辑推理素养． 2．通过应用两角和与差的正弦、正切公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养．如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝12，tan β＝13，∠COD ＝α－β.问题 能否求出tan (α－β)和tan (α＋β)的值． 知识点1 两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β．(S α＋β) sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β．(S α－β)1.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A ．12 B ．33 C ．22 D ．32A [sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.] 知识点2 两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切Tα－βtan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)(2)两角和与差的正切公式的变形①Tα＋β的变形tan α＋tan β＝tan_(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan_(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.②Tα－β的变形：tan α－tan β＝tan_(α－β)(1＋tan_αtan_β).tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan_(α－β).tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1.1. 两角和与差的正弦公式在结构上有什么特点？提示：正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．2．两角和与差的正切公式中的“＋”“－”符号有什么规律？提示：等号左边的“＋”“－”和右边分式的分子相同，和分母相反．2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任意角α，β，都有sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. ()(2)存在角α，β，使sin (α－β)≠sin αcos β－cos αsin β. ()(3)使公式tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠kπ＋π2(k∈Z)即可．()[提示](1)正确．由两角和的正弦公式知结论正确．(2)错误．由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin (α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.(3)错误．还应使α±β≠kπ＋π2，k∈Z.[答案] (1)√ (2)× (3)×类型1 给角求值【例1】 (1)计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)计算：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[解] (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)法一：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 法二：∵tan(23°＋37°)＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[跟进训练]1．(1)已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( ) A ．25B ．－25C ．210 D ．－210(2)1＋tan 15°1－tan 15°＝________．(1)C (2)3 [(1)因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝45，cos α＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝45×22－35×22＝210. (2)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]类型2 给值(式)求值【例2】 (教材北师版P 146例3改编)(1)已知sin (3π4＋α)＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos (α＋β)的值．(2)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． (1)[解] ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45. ∴cos (α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋（α＋β）＝sin [⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365.(2)75 [法一：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.]给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[跟进训练]2．(1)已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________． (2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________．(1)3 (2)12 [(1)tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.(2)原式＝sin （20°＋30°）－sin 20°cos30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.]类型3 给值求角【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． (2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝________.(1)若已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，通过求角α的哪个三角函数值来求角α的值比较方便？[提示] 因为正弦函数y ＝sin x 和正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上都是单调函数，所以通过求sin α或tan α的值，进而求出角α的值比较方便．(2)若已知角α∈(0，π)，通过求角α的哪个三角函数值来求角α的值比较方便？ [提示] 因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上是单调函数，所以通过求cos α的值，进而求出角α的值比较方便．(1)[解] 因为α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， 所以cos α＝255，sin β＝31010，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22， 又α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α－β＝－π4.(2)π4 [因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.]1. 在例3(1)中，求出cos (α－β)的值，再求α－β的值． [解] 因为α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，所以cos α＝255， sin β＝31010，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.因为sin α<sin β，所以0<α<β<π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α－β＝－π4.2．例3(2)的条件改为“tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2”，则α＋β的值是什么？ [解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.所以－π<α＋β<0，tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.解决给值(式)求角问题的方法(1)解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．[跟进训练] 3．已知cos α＝55，sin (α－β)＝1010，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.求： (1)cos (2α－β)的值； (2)β的值．[解] (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin (α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π2，由题意得，sin α＝1－cos2α＝25 5，cos(α－β)＝1－sin2（α－β）＝310 10，cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝55×31010－255×1010＝210.(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.当堂达标1．cos 2 020°cos 1 580°－sin 2 020°sin 1 580°等于() A．0 B．12C．22D．1D[原式＝cos (2 020°＋1 580°)＝cos 3 600°＝1.]2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)等于()A．13B．－13C．3 D．－3A[tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]3．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α等于() A．－17B．－7 C．17D．7D [由cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－34＝7. 故选D.] 4．已知sin α＝35，0＜α＜π2，则cos α＝_____，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝_____．45 7210 [因为sin α＝35，0＜α＜π2，所以cos α＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4 ＋cos αsin π4 ＝7210.]5．已知tan α＝13，tan β＝17，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则2α＋β的值为________．π4 [∵tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12＞0. ∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]＝tan （α＋β）＋tan α1－tan （α＋β）tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 应用两角和与差的公式时应注意哪些问题？ [提示] 应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，12＝cos60°，32＝sin 60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．2．3三角函数的叠加及其应用学习任务核心素养1．进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换．(重点、难点)2．会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题．(重点、难点)1．在利用三角函数公式进行三角恒等变换的过程中，培养学生数学运算素养．2．通过利用辅助角公式解决三角函数的图象和性质问题，培养学生逻辑推理素养．波的叠加在日常生活中经常见到，从数学的角度来讲，波的叠加就是三角函数的叠加，那么两个三角函数叠加后是一个什么类型的函数呢？这就是本节课我们要研究的问题．辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝a2＋b2(aa2＋b2sin α＋ba2＋b2cos α)，根据Sα＋β引入辅助角φ，使得aa2＋b2＝cos φ，ba2＋b2＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin_(α＋φ)(a ，b 不同时为0).其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝ba 来确定．1.对于a sin α＋b cos α，为什么提取a 2＋b 2后就可以转化为sin (α＋φ)? 提示：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin α＋b a 2＋b 2cos α， 令a a 2＋b 2＝cos φ，ba 2＋b 2＝sin φ， 则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝a 2＋b 2sin (α＋φ). 2．a sin α＋b cos α可以转化为a 2＋b 2cos (α＋φ)吗？ 提示：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin α＋b a 2＋b 2cos α， 令a a 2＋b 2＝－sin φ，b a 2＋b 2＝cos φ， 则a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2(cos αcos φ－sin αsin φ)＝a 2＋b 2cos (α＋φ).1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在辅助角公式中a cos α＋b sin α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，tan φ＝ab . ( ) (2)函数y ＝sin x ＋a cos x 的最大值是1＋a .( )(3)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋12，k π，0，k ∈Z .( )[提示] (1)正确．a cos α＋b sin α＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos α＋b a 2＋b 2sin α，令a a 2＋b 2＝sin φ，b a 2＋b 2＝cos φ，则a a 2＋b 2cos α＋ba 2＋b 2sin α＝sin (α＋φ)，所以tan φ＝a b .(2)错误．y ＝sin x ＋a cos x ＝a 2＋1sin (x ＋φ)，所以函数y ＝sin x ＋a cos x 的最大值是a 2＋1.(3)正确．y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋12k π，k ∈Z ，所以函数y ＝3sin 2x －cos 2x 图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋12k π，0.k ∈Z . [答案] (1)√ (2)× (3)√2.求值：cos 10°＋3sin 10°＝________．2sin 40° [cos 10°＋3sin 10°＝2(12cos 10°＋32sin 10°) ＝2sin 40°.]类型1 两角和与差公式的逆用【例1】 (1)sin π12－3cos π12＝________．(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域为[－2，2].由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .逆用两角和与差的公式解题方法逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，或利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)进行转化．[跟进训练]1．(1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． (2)计算2cos π12＋6sin π12的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．22 (1)3 (2)B [(1)∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. (2)2cos π12＋6sin π12＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π12＋32sin π12＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos π12＋cos π6sin π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝22sin π4＝2.]类型2 利用辅助角公式解决三角函数的 图象问题【例2】 (1)函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称C ．关于直线x ＝5π12对称D ．关于直线x ＝π12对称(2)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A ．5π24B ．7π24C ．5π12D ．7π12(1)C (2)B [(1)由题意得f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－1，选项A ，D 错，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2，选项B 错误，C 正确．(2)由题意得，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π6)，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，从而2sin (2x ＋2t －π6)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin (2x －2t )＝2sin (2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )时，实数t min ＝7π24.](1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式后解决问题．(2)对于可化为f (x )＝A sin (ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[跟进训练]2．设函数f (x )＝cos x －3sin x ，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减D [f (x )＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝2cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确．D 项，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D项错误．]类型3 利用辅助角公式解决三角函数的性质问题【例3】 (教材北师版P 148例6改编)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．1．逆用两角和的正弦公式可以把12cos α＋32sin α化简为什么？ [提示] 12cos α＋32sin α＝sin π6cos α＋cos π6sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.2. 逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋3sin α化简为什么？[提示] cos α＋3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos α＋cos π6sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用(带答案)
2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练知识点一 两角和与差的正弦公式1．sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－122．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝( )A ．33－410B ．33＋410C ．3－4310D ．3＋43103．化简：(1)2sin (α－β)cos α－sin (2α－β)＋sin β；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 －3 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x .知识点二 两角和与差的正切公式4．已知tan (α＋π4 )＝3，则tan α＝( )A ．－12B ．12C ．－34D ．345．计算：tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝________.6．已知tan (α＋β)＝34 ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝12 ，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 的值．知识点三 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 7．设cos α＝－55 ，tan β＝13 ，π<α<3π2 ，0<β<π2. (1)求sin (α－β)的值；(2)求α－β的值．8．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，且3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．关键能力综合练一、选择题1．计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝( ) A ．2＋64 B ．2－64C ．6－24 D ．－2＋642．已知tan α＝2，tan β＝－3，则tan (α－β)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．324．已知0<β<α<π2 ，点P (1，43 )为角α终边上的一点，且sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314 ，则β＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．(探究题)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 二、填空题6．tan 15°＝________．7．已知tan α＋tan β＝－6，tan (α＋β)＝－1，则sin （α＋β）cos （α－β） ＝________．8．(易错题)化简：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40°＝________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12 ，32).(1)若|a ＋b |＝|c |，求sin (α－β)的值；(2)设α＝5π6 ，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β 的值．学科素养升级练1.(多选题)下列四个式子中不恒成立的是( ) A ．sin (α＋β)＝sin α＋sin βB ．cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．tan (α－β)＝tan α－tan β1－tan αtan βD ．sin (α＋β)sin (α－β)＝sin 2α－sin 2β2．(学科素养——逻辑推理)是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tanβ＝2－3 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．2．2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：sin 18°cos 63°－sin 72°sin 117°＝sin 18°cos 63°－sin (90°－18°)sin (180°－63°) ＝sin 18°cos 63°－cos 18°sin 63°＝sin (18°－63°)＝sin (－45°)＝－sin 45°＝－22.故选A. 2．答案：B解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝35 (0<α<π2 )，所以sin α＝35 ，所以cos α＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝sin αcos π6 ＋cos αsin π6 ＝35 ×32 ＋45 ×12 ＝33＋410 .故选B.3．解析：(1)原式＝2sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)－cos α·sin (α－β)＋sin β＝sin (α－β)cos α－sin αcos (α－β)＋sin β ＝sin [(α－β)－α]＋sin β ＝－sin β＋sin β ＝0.(2)原式＝sin x cos π3 ＋cos x sin π3 ＋2sin x cos π3 －2cos x sin π3 －3 cos2π3 cos x －3 sin 2π3 sin x ＝sin x (cos π3 ＋2cos π3 －3 sin 2π3 )＋cos x (sin π3 －2sin π3 －3 cos 2π3)＝0. 4．答案：B解析：由tan (α＋π4)＝3，得tan (α＋π4 )＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝tan α＋11－tan α＝3，解得tan α＝12 .故选B.5．答案：1解析：∵tan 45°＝tan (12°＋33°)＝tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33° ＝1，∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°. ∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 6．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π41＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝34－121＋34×12 ＝211 .7．解析：(1)因为π＜α＜3π2 ，cos α＝－55 ，所以sin α＝－255，又0＜β＜π2 ，tan β＝13 ，所以sin β＝1010 ，cos β＝31010， 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－255 ×31010 ＋55 ×1010 ＝－22. (2)因为0＜β＜π2 ，所以－π2 ＜－β＜0，又π＜α＜3π2 ，所以π2 ＜α－β＜3π2 ，因为sin (α－β)＝－22 ，所以α－β＝5π4. 8．解析：∵3 tan A ＋3 tan B ＝tan A tan B －1，∴3 (tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， 易知tan A tan B －1≠0，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝tan (A ＋B )＝－33 ，又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6 ，∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3 tan B tan C ＝3 ，tan C ＝33， ∴tan B ＋33 ＋tan B ＝3 ，∴tan B ＝33， ∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 ，∴B ＝π6 ，A ＝2π3 ，∵B ＝C ＝π6，∴△ABC 为等腰三角形．关键能力综合练1．答案：D解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12 ＝－sin 7π12 ＝－sin (π4 ＋π3 )＝－(sin π4 cos π3 ＋cos π4 sin π3 )＝－(22 ×12 ＋22 ×32 )＝－2＋64.故选D.2．答案：B解析：因为tan α＝2，tan β＝－3，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选B.3．答案：C解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30° ＝12 .故选C. 4．答案：D解析：∵|OP |＝7，∴sin α＝437 ，cos α＝17.由已知sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β ＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β ＝3314及诱导公式可得sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin (α－β)＝3314 .∵0<β<α<π2 ，∴0<α－β<π2 ，∴cos (α－β)＝1－sin 2（α－β） ＝1314，∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝437 ×1314 －17 ×3314 ＝32 .又0<β<π2 ，∴β＝π3.故选D. 5．答案：B解析：∵1＝tan 45°＝tan (21°＋24°) ＝tan 21°＋tan 24°1－tan 21°tan 24°，∴1－tan 21°tan 24°＝tan 21°＋tan 24°， 即tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， ∴(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＋1＝2， 同理(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝2，∴(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝2×2＝4.故选B. 6．答案：2－3解析：tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30° ＝1－331＋33 ＝2－3 .7．答案：32解析：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－1，代入tan α＋tan β＝－6，解得tan α·tan β＝－5，sin （α＋β）cos （α－β） ＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan α·tan β ＝－61－5 ＝32.8．答案：2解析：cos 10°（1＋3tan 10°）sin 40° ＝cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）sin 40°＝cos 10°＋3sin 10°sin 40°＝2（12cos 10°＋32sin 10°）sin 40°＝2sin （10°＋30°）sin 40°＝2.9．解析：(1)∵向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ， ∴|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β). ∵|a ＋b |＝|c |，∴|a ＋b |2＝|c |2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1.∴1＋2sin (α－β)＋1＝1，∴sin (α－β)＝－12 .(2)∵α＝5π6 ，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 ，依题意得b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32 .∵a ∥(b ＋c )， ∴－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32 －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12 ＝0，化简得12 sin β－32 cos β＝12 ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝12 .∵0<β<π，∴－π3 <β－π3 <2π3 ，∴β－π3 ＝π6 ，∴β＝π2.学科素养升级练1．答案：ABC解析：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A 式不恒成立； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B 式不恒成立； tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，故C 式不恒成立；sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2β，故D 式恒成立．故选ABC.2．解析：假设存在锐角α，β使得①α＋2β＝2π3 ，②tan α2tan β＝2－3 同时成立．由①得α2 ＋β＝π3，所以tan (α2 ＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝3 .又tan α2 tan β＝2－3 ，所以tan α2＋tan β＝3－3 ，因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3 )x ＋2－3 ＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－3 .若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2 ＝2－3 ，tan β＝1，所以α＝π6 ，β＝π4，所以满足条件的α，β存在，且α＝π6 ，β＝π4 .。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A ．。
4.5-两角和与差的正弦、余弦、正切练习题
§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12C.2解析 原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 答案 A2.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案：A3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 D4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A 5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )． A.33B ．－33 C.539D ．－69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案 C6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237 C ．－247 D ．－83解析 由sin (π＋α)＝－35，得sin α＝35，又α是第二象限角，故cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 C7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.答案：4＋269．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．解析 原式＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·cos －cos 10°·2cos 10° ＝22(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)＝22sin 60°＝ 6. 答案 610．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3， 解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2 θ1＋tan 2 θ－1 ＝45－35－1＝－45. 法二 sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2 θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－1＝－1－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝－1－91＋9－2×31＋9－1＝－45.答案 －4511．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2. 答案 1－ 212．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析 由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsinβ＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtanβ＝12.答案12三、解答题13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求1－tan x 1＋tan x .解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－512，∴1－tan x1＋tan x＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－125. 14．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解析 (1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.15．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B－2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3＜2B ＋π3＜73π，∴2B ＋π3＝π2.∴B ＝π12. (2)f (B )－m ＞2恒成立，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＞2＋m 恒成立．∵0＜B ＜π，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]，∴2＋m ＜－2.∴m ＜－4.16． (1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解析 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。
高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课时作业 北师大
两角和与差的正切函数一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南昌高一检测)tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)等于( )A. B.1 C. D.【解析】选B.原式=1-+(tan10°+tan20°)=1-(tan10°+tan20°)+(tan10°+tan20°)=1.2.已知tan(α-β)=,tan=-,则tan的值为( )A.-B.C.D.-【解题指南】α+可以表示为α-β与β+和的形式.【解析】选B.分析题中角度之间的关系可知,tan=tan===.3.(2014·合肥高一检测)在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tanC等于( )A.2B.-2C.4D.-4【解题指南】根据根与系数的关系求得tanA+tanB与tanAtanB,再求ta n(A+B)=-tanC.【解析】选 A.由于tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根,那么根据根与系数的关系,有tanA+tanB=-,tanA·tanB=-.则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=2.4.在△ABC中,若0<tanBtanC<1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.由条件知,tanB>0,tanC>0,因为0<tanBtanC<1,所以1-tanBtanC>0,根据两角和的正切公式可得tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角.故选B.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1,所以B,C均为锐角,所以<1,所以cos(B+C)>0,所以cosA<0,所以A为钝角.故选B.5.已知sinα=且α为锐角,tanβ=-3且β为钝角,则角α+β的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.sinα=,且α为锐角,则cosα=,tanα=,所以tan(α+β)===-1,又α+β∈,故α+β=.6.(2014·安庆高一检测)已知tanα和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是( )A.b=a+cB.2b=a+cC.c=a+bD.c=ab【解析】选C.tanα+tan=-,tanαtan=,所以tan==1.所以-=1-.所以-b=a-c,所以c=a+b.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·抚州高一检测)的值为.【解析】原式==tan(105°-60°)=tan 45°=1.答案:1【变式训练】计算:= .【解析】原式==·tan30°=.答案:8.已知tanα=,tan(α-β)=,则tanβ= .【解析】tanβ=tan[α-(α-β)]===-.答案:-9.(2013·宁波高一检测)若tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0,α,β∈,则α+β为. 【解析】tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),因为tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0,所以1-tanαtanβ=-tan(α+β)(1-tanαtanβ),所以tan(α+β)=-1,又因为α,β∈,所以π<α+β<2π,所以α+β=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·长春高一检测)已知角α的终边经过点P(-3,-4),求tan的值.【解析】由已知得OP==.由三角函数的定义得sinα==-,cosα==-,tanα==.tan===-.11.(2014·西安高一检测)已知tanα与tan是方程x2+px+q=0的两根,且tanα∶tan=3∶2,求p和q的值.【解析】由已知tanα∶tan=3∶2得tanα∶=3∶2,所以2tan2α+5tanα-3=0,解得tanα=或tanα=-3.当tanα=时,tan=,此时tanα+tan=-p,tanαtan=q,所以p=-,q=.当ta nα=-3时,tan=-2,p=-=5,q=tanαtan=6.所以p=-,q=或p=5,q=6.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·南昌高一检测)的值为( )A.2+B.C.2-D.【解析】选C.分析角度关系,可知sin6°=sin(15°-9°)=sin15°cos9°-cos15°sin9°,cos6°=cos(15°-9°)=cos15°cos9°+sin15°sin9°,所以原式=tan15°=tan(45°-30°)==2-.2.(2014·合肥高一检测)已知cos=-,且x是第三象限角,则的值为( )A.-B.-C.D.【解题指南】先求tan,再逆用公式Tα+β即得.【解析】选D.由cos=-,且x是第三象限角知sin=-.所以tan==,所以==tan=.3.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°= ( )A.mB.(1-m)C.(m-1)D.(m+1)【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°===,所以tan 28°+tan 32°=(1-m).4.(2014·汉中高一检测)已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,则tan=( )A.7B.-7C.D.-【解析】选A.因为a=(cos x,2),b=(2sinx,3),且a∥b,故3cosx=4sinx,即tanx=,所以tan===7.【变式训练】已知α+β=π,则(1-tanα)(1-tanβ)=( )A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.-1=tan(α+β)=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若锐角α,β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,则α+β= .【解析】因为(1+tanα)(1+tanβ)=4,所以1+(tanα+tanβ)+3tanαtanβ=4,即tanα+tanβ=(1-tanαtanβ).所以tan(α+β)===.又因为0<α+β<π,所以α+β=.答案:6.(2014·宝鸡高一检测)计算:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]= . 【解析】因为tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan30°=,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+·[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.答案:1【变式训练】计算:= .【解析】由tan60°=tan(18°+42°)==,得到tan18°+tan42°=-tan18°tan42°,则===-1.答案:-1三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·西安高一检测)一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的最小值.【解析】因为mx2+(2m-3)x+(m-2)=0有两根tanα,tanβ,所以解得m≤,且m≠0,由一元二次方程的根与系数的关系得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,所以tan(α+β)====-m≥-=-.故tan(α+β)的最小值为-.【误区警示】解答本题时易忽视Δ≥0且m≠0,即实数m的取值范围求错而致误.8.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=.(2)tan·tanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=.(2)tan·tanβ=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan==.又tan tanβ=2-,所以tan+tanβ=3-.因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根. 解得x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾.所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=.所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.。
高中数学两角和与差的三角函数精选题
两角和与差的三角函数精选题一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A ．2-B 2C ．12-D ．122．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．563．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74πB ．94πC ．54π或74π D ．54π或94π6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．27．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12- C ．12D 2二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=．11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=．12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为 ．13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=．14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是 ．15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=．16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b += ．18．设()c o s 3f x x x=+，若对任意实数x 都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是 ．19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=．20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=．三．解答题（共5小题）21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．22．已知ta n 2α=． （1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4A π+的值．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．两角和与差的三角函数精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A．2-B2C ．12-D ．12【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【解答】解：s in 20c o s 10c o s 160s in 10︒︒-︒︒s in 20c o s 10c o s 20s in 10=︒︒+︒︒s in 30=︒12=．故选：D ．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查． 2．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．56【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan tan [()]βαβα=+-的值．【解答】解：1ta n3α=，1ta n ()2αβ+=，则11ta n ()ta n 123ta n ta n [()]111ta n ()ta n 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选：A ．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 3．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数， 得34a π…．则a 的最大值是34π．故选：C ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值． 【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得434a a ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，∴4a π…．则a 的最大值是4π．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74π B ．94π C ．54π或74π D ．54π或94π【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得co s()βα-与c o s 2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，2[2πα∴∈，2]π，又10s in 252α<=<，52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，c o s 25α∴==-；又s in ()10βα-=，(2πβα∴-∈，)π，c o s ()10βα∴-==-c o s ()c o s [2()]c o s 2c o s ()s in 2s in ()(5105102αβαβααβααβα∴+=+-=---=---． 又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π，17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=，故选：A ．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【解答】解：由2ta n ta n ()74πθθ-+=，得ta n 12ta n 71ta n θθθ+-=-，即22tan 2tan tan 177tan θθθθ---=-，得22tan 8tan 80θθ-+=，即2tan 4tan 40θθ-+=，即2(ta n 2)0θ-=，则ta n 2θ=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等． 7．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12-C ．12D 2【分析】将原式分子第一项中的度数471730︒=︒+︒，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】解：sin 47sin 17c o s 30c o s 17︒-︒︒︒s in (1730)s in 17c o s 30c o s 17︒+︒-︒︒=︒s in 17c o s 30c o s 17s in 30s in 17c o s 30c o s 17︒︒+︒︒-︒︒=︒1s in 302=︒=．故选：C ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=12-．【分析】把已知等式两边平方化简可得22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin ()1αβ+=-，可得结果．【解答】解：sin co s 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin c o s c o s 1ααββ++=，①，co s sin 0αβ+=，两边平方可得：22c o s 2c o s sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，即22sin ()1αβ++=，2sin ()1αβ∴+=-． 1s in ()2αβ∴+=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=10 ．【分析】根据同角的三角函数的关系求出s in 5α=，c o s 5α=，再根据两角差的余弦公式即可求出． 【解答】解：(0,)2πα∈，ta n 2α=，s in 2c o s αα∴=，22sin co s 1αα+=，解得s in 5α=，c o s 5α=c o s ()c o s c o s s in s in444525210πππααα∴-=+=+=，10【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=5-．【分析】()fx ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时，函数()f x 取得最大值，得到sin 2c o s θθ-=，与22sin co s 1θθ+=联立即可求出c o s θ的值．【解答】解：方法一：()s in 2c o s in o s )in ()55f x x x x x x α=-=-=-（其中c o s 5α=，s in 5α=，x θ=时，函数()f x 取得最大值，sin ()1θα∴-=，即sin 2c o s θθ-=又22sin co s 1θθ+=，联立得22(2c o s c o s 1θθ++=，解得c o s 5θ=-．方法二：()s in 2c o s in ()f x x x x ϕ=-=+（其中ta n 2ϕ=-，(,))22ππϕ∈-，因为当x θ=时，()f x 取得最大值，所以2()2k k Z πθϕπ+=+∈，所以2()2k k Z πθπϕ=+-∈，所以c o s c o s (2)s in 25k πθπϕϕ=+-==-．故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=43-．【分析】由θ得范围求得4πθ+的范围，结合已知求得c o s ()4πθ+，再由诱导公式求得s in ()4πθ-及c o s ()4πθ-，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得ta n ()4πθ-的值． 【解答】解：θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Zππππθπ-+<+<+∈，又3s in ()45πθ+=，4c o s()45πθ∴+===．3c o s ()s in ()445ππθθ∴-=+=，4s in ()c o s ()445ππθθ-=+=．则4s in ()454ta n ()ta n ()3443c o s ()45πθππθθπθ--=--=-=-=--．故答案为：43-．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，可知ta n ta n 1ta n ()1ta n ta n 7αβαβαβ++==-，即2ta n 112ta n 7ββ-+=+，解得ta n 3β=．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查． 13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=5-．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出ta n θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出s in θ与c o s θ的值，即可求出s in c o s θθ+的值．【解答】解：ta n 11ta n ()41ta n 2πθθθ++==-，1ta n 3θ∴=-，而222221c o s1c o s s in c o s ta n θθθθθ==++，θ为第二象限角，c o s 10θ∴==-s in 10θ==则s in c o s 10105θθ+==-故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是 π，单调递减区间是 ．【分析】由三角函数公式化简可得3()in (2)242f x x π=-+，易得最小正周期，解不等式3222242k x k πππππ+-+剟可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得2()sin sin c o s 1f x x x x =++11(1c o s 2)s in 2122x x =-++3in (2)242x π=-+，∴原函数的最小正周期为22Tππ==，由3222242k x k πππππ+-+剟可得3788k x k ππππ++剟，∴函数的单调递减区间为3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈故答案为：π；3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=79-．【分析】方法一：根据教的对称得到1s in s in 3αβ==，co s co s αβ=-，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，1s in s in 3αβ∴==，co s co s αβ=-，22227c o s ()c o s c o s s in s in c o s s in 2s in 1199αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=-方法二：1s in 3α=，当α在第一象限时，c o s 3α=，α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第二象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=-，117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-1:s in 3α=，当α在第二象限时，c o s 3α=-α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第一象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-综上所述7c o s ()9αβ-=-．方法三：α，β角的终边关于y 轴对称，2k αβππ∴+=+，kZ∈，17c o s ()c o s ((2))c o s (2)c o s 22s in 212()2139k αβαππααπαα∴-=-+-=-=-=-=⨯-=-．故答案为：79-．【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=10．【分析】由α为锐角求出4πα+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出s in ()4πα+的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：α为锐角，(44ππα∴+∈，3)4π，3c o s ()45πα+=，4s in ()45πα∴+==，则43s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in444444525210ππππππαααα=+-=+-+=⨯-⨯=．故答案为：10【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=4 ．【分析】利用()()f m g m =s in ()(1)m b a θ-=-，利用三角函数的有界性，推出a ，b 的关系，结合a ，b 均为大于1的自然数，讨论a ，b 的范围，求出a ，b 的值即可． 【解答】解：由()()f m g m =，即(sin )co s a bm b m+=+，s in c o s a m m b a b-=-，s in ()(1)[m b a θ-=-注：s in θ=1sin ()1m θ--剟(1)b a ∴-a，b 均为大于1的自然数10a ∴-<，(1)0b a -<，(1)b a ∴--…，(1)b a -…b =…． 4a …时221(1)a a <-，2b<，4a ∴<，当2a =时，b …，2b=，当3a=时，b …无解， 综上：2a=，2b=，4a b +=．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．18．设()s i n 3c o s 3f x x x =+，若对任意实数x都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是2a … ．【分析】构造函数()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，利用正弦函数的特点求出()m a x F x ，从而可得答案． 【解答】解：不等式|()|f x a…对任意实数x 恒成立，令()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，则()m a x a F x …．()in 3c o s 32s in (3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴-剟0()2F x ∴剟()2m a x F x =2a ∴…．即实数a 的取值范围是2a … 故答案为：2a …．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=17-．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又3c o s 205α=-<确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同． 【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2(2(21)k απ∈+，2(21))()k k Z ππ++∈，又3c o s 205α=-<，所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈，于是有4s in 25α=，s in 24ta n 2c o s 23ααα==-，所以41ta nta n 2134ta n (2)4471ta nta n 2143παπαπα-++===--+．方法二：α为第三象限的角，3c o s 25α=-，3224224322k k k k ππαππππαππα+<<+⇒+<<+⇒在二象限，s in (2)s in c o s 2c o s s in 24c o s 2s in 21444s in 2ta n (2)54c o s 2s in 27c o s (2)c o sc o s 2s ins in 2444πππαααπααααπππααααα+++=+====--+-【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能． 20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=5972-．【分析】已知两等式分别平方，相加并利用同角三角函数间的基本关系化简，求出c o s c o s sin sin αβαβ-，即为co s()αβ+的值．【解答】解：已知两等式分别平方得：2221(sin sin )sin 2sin sin sin9αβααββ-=-+=①，2221(c o s c o s )c o s 2c o s c o s c o s 4αβααββ+=++=②，①+②得：1322(c o s c o s s in s in )36αβαβ+-=，即59c o s c o s s in s in 72αβαβ-=-，则59c o s ()c o s c o s s in s in 72αβαβαβ+=-=-．故答案为：5972-【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 三．解答题（共5小题） 21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π 求得2ω=．再根据图象关于直线3x π=对称，结合22ππϕ-<…可得ϕ 的值．（Ⅱ）由条件求得1s i n ()64πα-=．再根据6πα-的范围求得c o s ()6πα-的值，再根据3c o s ()s in s in [()]266πππααα+==-+，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=．再根据图象关于直线3x π=对称，可得232k ππϕπ⨯+=+，kz∈．结合22ππϕ-<…可得6πϕ=-．（Ⅱ）2())2463fαππα=<<，∴in ()64πα-=，1s in ()64πα∴-=．再根据062ππα<-<，c o s ()64πα∴-==，3c o s ()s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in2666666πππππππααααα∴+==-+=-+-1142428=⨯=．【点评】本题主要考查由函数sin ()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． 22．已知ta n 2α=． （1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可． （2）利用二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：ta n 2α=．（1）ta n ta n 214ta n ()34121ta n ta n4παπαπα+++===---；（2）2222s in 22s in c o s 2ta n 41s in s in c o s c o s 21s in c o s 121ta n 24s in c o s ta n αααααααααααααα====+--++--+-．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r ，则sin ()απ+的值可得； （Ⅱ）由已知条件即可求s in α，c o s α，co s()αβ+，再由co sc o s [()]c o s (βαβααβααβα=+-=+++代值计算得答案． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y=-，||1rO P ===，4s in ()s in 5y rαπα∴+=-=-=；（Ⅱ）由35x =-，45y=-，||1r O P ==，得4s in 5α=-，3c o s 5α=-，又由5s in ()13αβ+=，得12c o s ()13αβ+==±，则1235456c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-， 或1235416c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=．c o s β∴的值为5665-或1665．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4Aπ+的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得c o s B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得s inA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得c o s A，再由倍角公式求得s in 2A ，c o s 2A ，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在A B C ∆中，a b>，故由3s in5B =，可得4c o s 5B=．由已知及余弦定理，有22242c o s 2536256135b a ca c B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．由正弦定理s in s in a b AB=，得s in s in 13a B A b==b ∴=，s in13A =（Ⅱ）由（Ⅰ）及ac<，得c o s 13A =，12s in 22s in c o s 13AA A ∴==，25c o s 212s in13A A =-=-．故125s in (2)s in 2c o s c o s 2s in44413213226AA A πππ+=+=⨯-⨯=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）2()sin 22c o s f x a x x=+，2()sin 22c o s f x a x x∴-=-+，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22co s sin 22co s a x x a x x ∴-+=+，2s in 20a x ∴=，a ∴=；（2）()14f π=+，2s in2c o s ()1124a a ππ∴+=+=，a ∴=2()in 22c o s in 2c o s 212s in (2)16f x x x x x x π∴=+=++=++，()1f x =-2s in (2)116x π∴++=-s in (2)62x π∴+=-， 2264x k πππ∴+=-+，或52264xk πππ+=+，k Z∈，524x k πππ∴=-+，或1324xk ππ=+，kZ∈，[x π∈-，]π， 1324x π∴=或1924xπ=或524xπ=-或1124xπ=-【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．。
2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数练习(含解析)北师大版必修4
2.3 两角和与差的正切函数填一填两角和与差的正切公式展开式 记法 和的正切tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βT (α＋β)差的正切tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βT (α－β)判一判1.存在α、β2．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan π2＋tan α1－tan π2·tan α.( ) 3．tan(α－β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.( )4．对任意α、β，T (α－β)适合．( )5．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )6．对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )7．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )8．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )想一想1.公式T (α±β)提示：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形有哪些？提示：(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.(2)公式的特例： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 思考感悟：练一练1.已知tan α＝4A.711 B ．－711 C.713 D ．－7132．已知tan α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4－α＝( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－123．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.564.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.知识点一给角求值1.11＋tan 15°＝( )A.33B. 3 C ．1 D.122．tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37°＝________.知识点二 给值求值3.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－4＝5，则tan α＝________. 4．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tan β及tan(2α－β)．知识点三 给值求角5.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝4，且β∈(0，π)，则β的值为________．6．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．综合知识 与韦达定理的联系7.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π2，则α＋β＝________.基础达标一、选择题1．tan 15°＋tan 105°等于( ) A ．－2 3 B ．2＋ 3C ．4 D.4332．已知cos α＝－45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17B ．－7C.17D ．7 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2 4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．35．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )A ．－47 B.47C.18 D ．－186．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．37．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4B.3π4 C ．－π4 D ．－3π48．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B ＝( )A.14B.13C.12D.53 二、填空题9．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________． 10.tan 20°tan －50°－1tan 20°－tan 50°＝________.11．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________. 12．已知tan(α＋β)＝3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，那么tan β＝________. 三、解答题13．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值．14．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．能力提升 15.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12， 求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β的值． 16.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点，已知A ，B 两点的横坐标分别是210和255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．2．3 两角和与差的正切函数一测 基础过关判一判1．√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.× 7．√ 8.× 练一练1．B 2.D 3.A 4. 3 二测 考点落实1．解析：1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan 30°＝33.答案：A2．解析：∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23° tan37°＝ 3. 答案： 33．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝15， 所以tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：324．解析：∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0.∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan α·tan α－β ＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan α·tan α－β＝34＋121－34×12＝2.5．解析：解法一：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋β·tan α＝7－341＋7×34＝1，又因为β∈(0，π)，所以β＝π4.解法二：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，将tan(α＋β)＝7，tan α＝34代入上式得7＝34＋tan β1－34tan β，解得tan β＝1.因为β∈(0，π)，所以β＝π4.答案：π46．解析：因为tan α＝17<1且α为锐角，所以0<α<π4.又因为sin β＝1010<5010＝22且β为锐角． 所以0<β<π4，所以0<α＋2β<3π4.①由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， 所以tan β＝13.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12，所以tan(α＋2β)＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.7．解析：因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.答案：－2π3三测 学业达标1．解析：tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A.答案：A2．解析：因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.答案：D3．解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.答案：B4．解析：a ·b ＝2cos α－sin α＝0得tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan α·ta nπ4＝2－11＋2＝13.答案：B5．解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋β·tan α－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.答案：A6．解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.答案：A7．解析：由题知tan α＝12，tan β＝－13，0<α<π2，π2<β<π，∴0<α－β<π，∴tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β·tan α＝－13－121－13×12＝－1∴β－α＝3π4.答案：B8．解析：∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，故2331－tan A tan B＝3， ∴tan A tan B ＝13.答案：B9．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.答案：210．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan 50°－20° ＝1tan 30°＝ 3. 答案： 311．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝35－131＋35×13＝29.答案：2912．解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2， 则tan α＝13，又tan(α＋β)＝tan β＋tan α1－tan αtan β＝3，所以tan β＝43.答案：4313．解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.14．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β ＝13＋121－13×12＝1.因为tan β＝－17，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝12>0，得α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2， 所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.15．解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝2，- 11 - 解得tan α＝13. 所以sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin β－αcos β－α＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 16．解析：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cos α＝210，cos β＝255. 由于α，β为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.从而tan α＝7，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－72＝－3. (2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝－3＋121＋32＝－1，又0<α<π2，0<β<π2， 所以0<α＋2β<3π2，从而α＋2β＝3π4.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的正切函数优化训练北师大版必修
2
5
8
可知 0°＜α＜45°， 0°＜β＜45°， 0°＜γ＜45° ,
得 0＜α+ β+ γ＜135° .
所以，α+ β+γ=45 ° .
6.求证： tan（A-B ）+tan （ B-C） +tan （ C-A） =tan（ A-B ）· tan（ B-C）· tan（ C-A） .
证明：（ A-B ） + （ B-C）=A-C.
7
4
1 tan tan
13 7 4 =1.
13 1
74
又∵ 0< α< ,0< β< ,∴ 0< α+ β<π.
2
2
而在 (0,π)内只有 tan =1.
4
∴α+ β= .
4
答案 :B
2.在△ ABC 中，已知 tanA、 tanB 是方程 3x2+8x-1=0 的两个根，则 tanC 等于（
）
A.2
16
35
tan tan
tan(α-β)=
4 12
16
.
1 tan tan
35 1 ( )( )
63
4 12
9.设一元二次方程 mx2+(2m-1)x+(m+1)=0 的两根为 tanα、tanβ,求 tan(α+ β)的取值范围 .
解:因为
tanα、tanβ为方程的两根 ,则有Δ=(2m-1) 2-4m(m+1) ≥ 0,且
由两角和的正切公式变形为
tan［（A-B ）+ （ B-C）］ = tan( A B) tan( B C ) . 1 tan( A B) ? tan( B C )
【精品提分练习】高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数学案北师大版必修40108284
2.3 两角和与差的正切函数内容要求 能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．知识点 两角和与差的正切公式【预习评价】 1．tan 105°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C.－3－33D ．－2＋ 3答案 A2.tan 49°＋tan 11°1－tan 49°tan 11°＝________. 答案3题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的． 【训练1】 (1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 解 (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°·tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－ta n 10°·tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.【探究1】 若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.答案 75【探究2】 已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.【探究3】 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3. 【探究4】 已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，且tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，求tan C .解 因为tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π.所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.规律方法 “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角． 题型三 给值求角【例2】 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝α－β＋tan α1－α－βα＝12＋131－13×12＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)． 又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，故2α－β＝－3π4.规律方法 在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应． 【训练2】 已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β的值． 解 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.课堂达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 A2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 答案 B3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.答案π44．在△ABC 中，tan A ＝34，tan B ＝513，那么tan C 的值等于________．解析 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34＋5131－34×513＝－5937.答案 －59375．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.课堂小结1．公式T α±β的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.基础过关1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A. 答案 A2.1＋tan 75°1－tan 75°＝( ) A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3解析 原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. 答案 D3．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( )A ．－34B.98 C ．－98D.112解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－251－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案 D4．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β＝________.解析 ∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝7.答案 75．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α＝________.解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－7， ∴tan α＝－34＜0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.答案 356．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)． 解 (1)原式＝－＋cos 15°sin 8°－－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值． 解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴1＋tan α1－tan α＝12.∴tan α＝－13. (2)原式＝2tan α－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝－56.能力提升8．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1)D.3(a ＋1)解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )． 答案 B9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan 10°D.3tan 20°解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 答案 A10．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.解析sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－＝－32.答案 －3211．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.答案 112.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为2 10，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.审定部编版试题欢迎您下载！ 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 解法一：由①得α2＋β＝π3. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根． 解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾． ∴tan β＝1，tan α2＝2－3， ∴β＝π4， 代入①得α＝π6， 满足tan α2＝2－ 3. 解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－β·tan β＝2－3⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－3⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0，tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6. 若tan β＝2－3，代入②得tan α2＝1.不合题意． 故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．。
数学北师大必修课后导练：两角和与差的三角函数 含解析
课后导练基础达标 1.sin18°等于（ ） A.cos20°cos2°+sin20°sin2° B.cos20°cos2°-sin20°sin2° C.sin20°cos2°+cos20°sin2° D.sin20°cos2°-cos20°sin2° 解析：选项A 为cos(20°-2°)=cos18°; B 为cos(20°+2°)=cos22°; C 为sin(20°+2°)=sin22°; D 为sin （20°-2°）=sin18°. 答案：D 2.化简sin1225πcos 611π-cos 1211πsin 65π的值是（ ） A.22-B.22C.-sin 12πD.sin 12π 解析：先用诱导公式将角转化，再逆用公式即得.原式=-sin 12πcos 65π+cos 12πsin 65π=sin(65π-12π)=sin43π=22. 答案：B 3.满足cosα·cosβ=23+s inα·sinβ的一组α、β的值是（ ） A.α=1213π β=43π B.α=2π β=3πC.α=2π β=6πD.α=3π β=6π解析：将原式变形：cosα·cosβ-sinα·sinβ=23∴cos(α+β)=23, ∴α+β=2kπ±6π(k ∈Z ), ∴只有A 选项适合. 答案：A4.计算︒-︒︒-︒2cos 35cos 25sin 35sin 的值等于（ ）A.33-B.-3C.33 D.3 解析：将35°拆成30°+5°，25°拆成30°-5°展开化简. 原式=︒-=︒︒-︒︒=︒-︒-︒+︒︒-︒-︒+︒30tan15sin 30sin 25sin 30cos 2)530cos()530cos()530sin()530sin(=-3.答案：B 5.︒-︒80sin 310sin 1的值是（ ）A.1B.2C.4D.41 解析：原式=︒︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos=︒︒-︒20sin 21)1030sin(2=4.答案：C6.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为___________. 解析：根据原式可逆用两角差的余弦公式来求解. 原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案：21 7.若tanα=21,则tan(α+4π)=__________________. 解析：tanα(α+4π)=2111214tan tan 14tan tan -+=•-+παπα=3. 答案：38.tanα=21，tanβ=31,0<α<2π,π<β<23π,求α+β的值. 解析：∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=312113121•-+=1.又∵0<α<2π,π<β<23π,∴π<α+β<2π,∴α+β=45π. 9.求下面函数的值：(1)tan20°+tan40°+3tan20°tan40°;(2)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin(3)︒︒-︒20cos 70cos 80sin 2;(4)(tan10°-3)︒︒50sin 10cos解析：(1)原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40° =3(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3. (2)原式=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(=tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. (3)原式=320cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin )2060sin(2=︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒.(4)原式=（tan10°-tan60°）︒︒•︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒=︒︒50sin 10cos 60cos 10cos )50sin(50sin 10cos )60cos 60sin 10cos 10sin (50sin 10cos =-2.10.已知sin （α+β）=31,sin(α-β)=51,求βαtan tan 的值.解析：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin cos cos sin )1(,31sin cos cos sin βαβαβαβα①+②,得2sinαcosβ=158③ ①-②，得2cosαsinβ=152④③÷④得βαβαsin cos cos sin =4,即βαtan tan =4. 综合运用11.在△ABC 中，若cosA=54,cosB=135,则cosC 的值是（ ） A.6516 B.6556 C. 6516或6556 D.6516-解析：在△ABC 中，0<A<π,0<B<π,cosA=54>0,cosB=135>0, 得0<A<2π,0<B<2π,从而sinA=53,sinB=1312,∴cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B) =sinA·sinB-cosA·cosB =53×1312-54×135=6516. 答案：A12.已知tan(α+β)=52,tan(β-5π)=41，那么tan(α+5π)的值为（ ） A.183- B.183 C.1213 D.223解析：tan(α+5π)=tan ［(α+β)-(β-5π)］=223415214152=•+-.答案：D 13.求值︒︒-︒︒︒+︒7sin 75sin 68cos 7sin 75cos 68sin =________________.解析：原式=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒7sin 75sin )775cos(7sin 75cos )775sin(=︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒7sin 75sin 7sin 5sin 7cos 75cos 7sin 75cos 75cos 7sin 7cos 75sin=tan75°=2+3.答案：2+3 14.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为____________.解析：原式=ααααααcos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin ⨯=︒+︒-︒+︒x =1. 答案：115.频率相同的正弦电流相加，得到的仍是一个正弦电流，已知I 1=3sin(100πt+4π),I 2=sin(100πt -4π)，若I 1+I 2=I 3,I 3=Asin(ωt+θ)，其中A>0,ω>0,0<θ<2π，求A 、ω、θ.解析：∵I 2=sin(100πt -4π) =cos(2π-100πt+4π) =cos(43π-100πt)=-cos(π-43π+100πt) =-cos(100πt+4π),∴I 3=I 1+I 2=3sin(100πt+4π)-cos(100πt+4π) =2［23sin(100πt+4π)21-cos(100πt+4π)］ =2sin(100πt+4π-6π) =2sin(100πt+12π).∴A=2,ω=100π,θ=12π.拓展探究16.如下图所示，工人师傅要把宽是4 cm 和8 cm 的钢板焊接成60°角，下料时x 应满足什么条件？思路分析:可寻找关于x 的三角函数的某种关系，寻求x 满足的条件. 解：由题图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x,在△ABC 中，sinx=AB4,① 在△ABD 中，sin(60°-x)=AB8,②由①②得xx sin )60sin(-︒=2，即sin(60°-x)=2sinx ，23cosx 21-sinx=2sinx. ∴25sinx=23cosx.∴tanx=53.∴当x 满足tanx=53时，符合要求.。
北师版新课标高中数学必修二练习 《两角和与差的正切函数》同步测试
《两角和与差的正切函数》同步测试1．若0＜α＜2π，0＜β＜2π，且tan α=71，tan β=43，则α+β等于（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．43π解析：∵tan α=71，tan β=43，∴tan （α+β）=437114371tan tan 1tan tan ⨯-+=-+βαβα=1． 又∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+β<π．而在（0，π）内只有tan 4π=1．∴α+β=4π．答案：B2．在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2+8x -1=0的两个根，则tan C 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4 解析：由于tan A 、tan B 是方程3x 2+8x -1=0的两个根， 根据韦达定理，有tan A +tan B =38-，tan A ·tan B =31-． 则tan C =tan ［π-（A +B ）］=-tan （A +B ）=2)31(138tan tan 1tan tan =----=-+-BA BA ．答案：A3．（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________． 解析：原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223．4．tan70°+tan50°3-tan50°·tan70°=_______________．解析：原式=tan （70°+50°）（1-tan70°tan50°）-3tan70°tan50° =3-（1-tan70°tan50°）3-tan70°tan50°=3-． 答案：3-5．如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为21、51、81，求证：α+β+γ=45°．证明：由于tan α=21，tan β=51， 可知tan （α+β）=97512115121tan tan 1tan tan =•-+=-+βαβα． 由题意可知tan γ=81，则tan （α+β+γ）=tan ［（α+β）+γ］=819718197tan )tan(1tan )tan(•-+=+-++γβαγβα=1． 根据α、β、γ都是锐角，且0＜tan α=21＜1，0＜tan β=51＜1，0＜tan γ=81＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°， 得0＜α+β+γ＜135°． 所以，α+β+γ=45°．6．求证：tan （A -B ）+tan （B -C ）+tan （C -A ）=tan （A -B ）·tan （B -C ）·tan （C -A ）． 证明：（A -B ）+（B -C ）=A -C ． 由两角和的正切公式变形为 tan ［（A -B ）+（B -C ）］=)tan()tan(1)tan()tan(C B B A C B B A -•---+-．∴tan （A -B ）+tan （B -C ）=tan （A -C ）·［1-tan （A -B ）·tan （B -C ）］．左=tan （A -C ）［1-tan （A -B ）·tan （B -C ）］+tan （C -A ）=tan （A -C ）-tan （A -C ）·tan （A -B ）·tan （B -C ）+tan （C -A ）=tan （C -A ）·tan （A -B ）·tan （B -C ）=右．7．已知α∈（0，4π），β∈（0，π），且tan （α-β）=21，tan β=71-，求tan （2α-β）的值及角2α-β．解：tan α=tan ［（α-β）+β］=31)71(2117121tan )tan(1tan )tan(=-⨯--=•--+-ββαββα． tan （2α-β）=tan ［α+（α-β）］=213112131)tan(tan 1)tan(tan ⨯-+=-•--+βααβαα=1．又 β∈（0，π），tan β=71-<0，∴β∈（2π，π）． ∵α∈（0， 4π），∴2α∈（0， 2π）．∴2α-β∈（-π，0）．∴2α-β=43-π．8．已知sinα=53 （90°＜α＜180°），cosβ=1312（270°＜β＜360°），求tan （α+β）和tan（α-β）的值．解：∵sinα=53，90°<α<180°，∴cosα=43-． ∴tan α=54-． ∵cosβ=1312，270°<β<360°，∴sinβ=135-．∴tan β=125-．∴tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=3356165167)125)(43(112543-=--=-----． tan （α-β）=6316)125)(43(112543tan tan 1tan tan -=--++-=+-βαβα．9．设一元二次方程mx 2+（2m -1）x +（m +1）=0的两根为tan α、tan β，求tan （α+β）的取值范围．解：因为tan α、tan β为方程的两根，则有Δ=（2m -1）2-4m （m +1）≥0，且m ≠0，解得m ≤81，m ≠0，所以m ∈（-∞，0）∪（0，81］． 由韦达定理得tan α+tan β=m m 12--，tan α·tan β=mm 1+，于是，tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan •-+=121112-=+---m m m m m ．因为2m -1≤2×81-1=-43且2m -1≠-1， 所以tan （α+β）的取值范围是（-∞，-1）∪（-1，-43］．。