分布列 超几何分布 条件概率
61随机变量的概率分布、期望与方差
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A；n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B【复习目标】1•了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
2•了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
3•了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。
4 •理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
5•了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
活动一：基础知识1. 随机变量：1) 定义：__________________________________________________________ 。
2) ___________________________________ 表示方法：。
2. 随机变量分布列的定义：假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列3. 概率分布表将①用表的形式表示如下：4. 分布列的性质：概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件:(1) ___________________________(2) ___________________________5. 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 __ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X〜0-1或X〜两点分布.其概率分布表为：其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列(2)说明：①超几何分布的模型是不放回抽样；②超几何分布种的参数是(n, M , N)；③记号H (r; n, M , N)中各个字母的含义： _________________________ 7. n 次独立重复试验 定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成 ，每次试验的结果 仅有两种对立 的状态即A 与A ，每次试验中P(A) p 0,我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验.思考：n 次独立重复试验必须具备哪些条件？ &二项分布 定义：(1 )在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k ( 0 k n )次的概率为___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ O(2)若随机变量X 的分布列为P(X k) c ；p k q n k ,0 p 1, p q 1,k 0,1,2丄n ，则称X服从参数为n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p 9. 随机变量的均值离散型随机变量的均值：般地,则称 _____________________________ 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或其中X i 是随机变量X 的可能取值，p 是概率，P i 0,i 1,2,L , n, P 1P 2 L 几110. 随机变量的方差与标准差 (1 )定义：离散型随机变量X 的分布列为则(X E(X))2描述了 X i (i 1,2丄，n)相对于均值E(X)的偏离程度.n而 V(X) (x EX)2p ii 1为这些偏离程度的加权平均 ，刻画了随机变量与其均值 E(X)的平均偏离程度，我们称 V(X)为随机变量X 的方差,其算数平方根为随机变量 X 的标准差. (2) 方差的意义：方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量，如果 V(X)值大，表示X 取值分散程度大，E(X)的代表性差；而如果 V(X)值小，表示X 取值分散程度小，E(X)的代表性好. (3) 离散型随机变量方差的计算：n①利用定义计算：V(X)X i 2p i2，其中P i 是x 的分布列.i 1②利用公式计算：V(X) E(X 2) (E(X))2.活动二：基础练习1. 袋中有大小相同的红球 6个、白球5个，从袋中每次任意取出 1个球，直到取出的球是白球时为 止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能值为 .为超几何分布列.如果随机变量(n, M,N)的超几何分布，记为并将P(Xr n r C M C N Mr)"C —JC NX 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X ~ H(n ,M ,N),0,1,2,L ,l 记为 H (r; n,M, N)X 服从参数为2. 已知随机变量X的分布列为P (X=i)=丄(i=1 , 2, 3),则P (X=2)= .2a --------------------13 .如果〜B 15,-，则使P ( =k)取最大值的k值为.44 .已知的概率分布则在下列式子中，① E ()=-」；②V()=竺；③P( =0)=正确的个数是3 27 3 ---------------1115 .已知的分布列为=-1,0,1,对应P=-,-,-,且设=2 +1,则的期望是.2 6 36. 甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求的概率分布.活动三：典型例题例1某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1) X的概率分布；(2) X的均值.例2 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 .3(1 )设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率例3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两 个保护区每个活动四：自主检测1 •设一随机试验的结果只有 A 和A ，且(A)=p ,令随机变量X= 1 A出现，则X 的方差V(X)=0 A 不出现2.3 •设 〜B (n , p ),若有E( )=12 , V( )=4，则n 、p 的值分别为4 .设随机变量X 的概率分布为：5. 有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取 胜的概率分别为0.6 , 0.8 , 0.9. (1)若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (2) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (3) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为 ，求随机变量 的概率分布.6. A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为马，服用B 有效的概率为2 .(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用 表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率分布和数学期望.活动五：课后反思(1)本节课我回顾了那些知识： _________________________________________________________________试评定这两个保护区的管理水平(2)本节课我重新认识了哪些道理:(3 )还有哪些问题需要继续探究： ________________________________________________________________。
《二项分布与超几何分布》知识讲解
二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列
高中数学知识点总结及公式：离散型随机变量的分布列>常用公式1.离敢型随机变量的分布列的性质土(O Pi > Or </=1, 2, 3,…，n)；〔2) Pi 5 十…十％二1-2.离散型随机变量朋g从参数为M M, Ti的超几何分布』则P(Z= m) = (0 < m- < 0^ E和M中较小的—个.C N3.条件概率公式：F〔E ⑷二鶴^ P(A)>0.4.如果事件眉一生，…「山就互相独立"那么讴个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即卩(久门彼门…PM』=P(A) P(4Q • P(A n) “N如果在一次试验中事件4发生的概率是戸那么在加吹独立重复试验中事件?1恰好发生花次的概率：P n (fc) = C^p ft (1 - p)n-ft (fc = Q7 1, 2,…，n).6・离散型随机变量X的均值或数学期EQO =扫巧 + x 佃+ …+ x rt p n(p i+ 宀+ …+ % = 1).特别地二Q)若*服从两点分布，贝fjE(X)-p(2)^X-B(n f p),则E(X} = xp(3)E(aX ± b) = aE(X) ± b7.离散型随机变量X的方差！D(X)=站一EC?)]% + [x2一E(Z)hi + …+ 必一E(Z)]%・特别地2(1)若X服从两点分布，则D(JQ = p(l - p)(2)若X~B(m p),则D(X) = np(l-p)(3)D(aX + &) = a2D(X)8.正态变量概率密度曲线的函数表达式，i _d)2fM = V^e 2ff2 , %GR,其中“，CT是参数，且CT > 0, —OO < fl <十8,式中“和CT分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为如标准差为(J的正态分布通常记作N(/l，。
2).当“ =0,(7=1时，正态总体称为标准正态分布：记作N(0, 1).标准正态分布的函数表示式是/(x) = -7= e~T, r e R.。
第十三讲 超几何分布及条件概率与独立事件
第十三讲 超几何分布及条件概率与独立事件知识点：◆ 超几何分布：一般地设总数为N 的两类物品,其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 的概率为l m C C C m X P n Nm n M N n M <<⋅==--0,)(其中},{min 1n M =，称随机变量X 服从超几何分布，记为),,(~N M n H X .◆ 超几何分布分布列：例题1：20白球，这些球除颜色外完全相同。
一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多大? 至少摸到3个红球就中奖。
求中奖的概率?例题2：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X 的概率分布列?例题3：盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量。
求X 的分布列?知识点：◆ 条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率”，叫做条件概率，记作P(A|B).◆ 事件的交（积）：由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件称为事件A 与事件B 的交 。
记作A ∩B 或AB◆ 条件概率计算公式: )()()(B P AB P B A P =. ◆ P(A|B)相当于把B 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率，)()(B P AB P B AB B AB B A B )B P(A ====总数包含的样本点数总数包含的样本点数包含的样本点数包含的样本点数发生的条件下样本点数在包含的样本点数发生的条件下在 ◆ 相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.◆ 如果A 、B 相互独立，则)()()()(AB P B P A P B A P -+=+; 相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅◆ 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.◆ 独立重复试验:在相同条件下重复n 次并且各次之间相互独立的一种试验;事件12,,,n A A A 相互独立， 则1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅◆ n 次独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生．．．．K ．次．的概率:k n k k n n P P C k P --=)1()(,①当n k =时,即在n 次独立重复试验中事件A 全部发生．．．．,概率为n n n n n p p p C n P =-=0)1()( ②当0=k 时,即在n 次独立重复试验中事件A 没有发生．．．．,概率为n n n n p p p C P )1()1()0(00-=-= 例题4：盒中有红色玻璃球2个，蓝色玻璃球4个，红色木质球3个，蓝色木质球7个，若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率?若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率?例题5：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率?例题6：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率?例题7：一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）例题8：栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 练习题：1．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 求：①随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；②随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；③随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少?3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少?4．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则ξ得分布列是6．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．①试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大?②在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的分布列.一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中随机抽取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列，并说明5件产品中有3件以上为次品的概率.(精确到0.001)7．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)= . A ．21 B.23 C ．32 D.503 8．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)= . A.21 B.31 C.41 D.81 9．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为 . A.2258 B.21 C.83 D.43 10．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 .11．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则①先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率?②先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率?12．某种元件用满6000小时未坏的概率是43，用满10000小时未坏的概率是21，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率?13．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。
(完整版)基础随机变量及其分布知识点
随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=常见的两种分布： 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k MN M n NC C P X k k m C--===则随机变量X 的概率分布列如下：{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。
注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记iA 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=八、正态分布1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3．3σ原则：对于正态总体),(2σμN 取值的概率：练习：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x i ,x 2,…3X …x 若取每一个值x i (i=1,2, , -n)的概率为P( x i ) P i ，则称表为随机变量的概率分布，简称 的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) P i > 0,i=1,2 …，n ; (2) P i +P 2+n+P n =1要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布随机变量X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列.要点诠释：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1)为成功率. (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛 ，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究2. 超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则则事件{X=k }n N,M N,n, M,N N •称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列， 则称随机变量 X 服 从超几何分布1. 定义设A 、B 为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概 率叫做条件概率。
用符号 P(B | A) 表示。
发生的概率为P(Xk)k n kC M C N MC N,k 0,1,2,L ,m ,其中min{ M , n},且P(B| A)读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的. 而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2 . P ( A | B)、P (AB)、P (B)的区别P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编(学生版)
概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。
回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。
重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。
题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。
)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
第1讲 概率、随机变量
第1讲 概率、随机变量及其分布列概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法，统计的研究对象是数据，核心是数据分析。
概率为统计的发展提供理论基础，高考中概率与统计考题常常具有鲜明的时代和文化背景，试题难度逐渐加大，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。
基础知识回顾1.古典概型概率公式: ()试验的样本点总数包含的样本点数事件A A P =。
2.条件概率公式:对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫作条件概率，用符号()A B P 来表示，其公式为()()()()()0>=A P A P AB P A B P 3.全概率公式:设n A A A ,...,21n A A A ,...,21是一组两两互斥的事件,Q A A A n = ...21,且()n i A P i ,...,2,1,0=>,则对任意的事件Q B ⊆,有()()()i ni i A B P A P B P ∑==1。
4.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()m k C C C k X P n N k n M N k M ,...,2,1,0,===--，其中{}n M m ,m in =, 且()NM n X E N N M n N M N n •=∈≤≤*,,,,,。
5.二项分布 :一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0<p<1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()()()()()p np X D np X E nk p p C k X P k n k k n -===-==-1,,...,2,1,0,1 6.正态分布: 如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足()()dx x b X a P b au σϕ,⎰=≤<(即x=a ，x=b ，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，那么称随机变量X 服从正态分布记作()2,~σu N X 。
高中数学 概率与统计知识点总结
概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差 (一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++. ②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差 1. 常用的离散型随机变量的分布列 (1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X1 … k… nPC nnp q111C n np q- …C k kn knp q- …C n n n p q则称X ,X B n p ~(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C CC k n kM N M n N--()0,1,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N ,M N ,n ,M ,*N ∈N .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P AB P B A P A =为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p )()C 1n kk kn p p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk k nP X k k n p p -===-⋯，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为Xx 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++⋯+⋯X . (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,) (D aX b +=2a DX . (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x μ=对称；③曲线在x μ=2πσ；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x 轴平移,⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X μσμσ-<+=；②2209().544P X μσμσ-<+=； ③3309().974P X μσμσ-<+=. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k ．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．注：不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图． （三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121ns x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦(nx 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦． （四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数r ＝∑∑∑===----ni nj jini iiy yx x y yx x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上 2．回归直线方程(1)通过求21()ni i i Q y x αβ==--∑的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的α,β的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i n ni ii i x x y y x ynx y b x x xnx ay bx ====⎧---⋅⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上．（3）相关系数22121ˆ()1()ni i i n i i y yR y y ==-∑=--∑．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好． （六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量． （2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22⨯列联表）为y 1 y 2 总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k ,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。
高中数学概率知识点及例题自己整理
1．事件的关系：⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ⊆； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ⊆⊆,，则事件A 与B 相等，记作；⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ⋃（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ⋂（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ⋂为不可能事件（φ=⋂B A ），则事件A 与互斥； ⑹对立事件：B A ⋂为不可能事件，B A ⋃为必然事件，则A 与B 互为对立事件。
2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P()(A)(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；3. 随机变量的分布列 ⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：≥01,2,…； p 12+…=1; ②离散型随机变量：期望：＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + + … ;方差：＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+； ③两点分布：X 0 1 期望：＝p ；方差：＝p(1).P 1－p p①超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P nNk n MN k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP nN n MN M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n Nm n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。
高二数学人选择性必修件超几何分布
在实际应用中，往往需要根据观测数据对总体参数进行估计或假设检验。因此，掌握统计推断方法如参 数估计、假设检验等对于应用超几何分布和负二项分布具有重要意义。
06
总结回顾与课堂互动环节
重点知识点总结回顾
超几何分布的定义
超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回抽样的条件下，成功抽取指定数量 样本的概率分布。
在生物学、医学等领域中，经常需要研究某种罕见事件发生的概率，这时可以利用泊松分 布进行建模和分析。
其他相关拓展知识点
组合数学基础
超几如排列数、组合数、二项式定理等。因此，掌握组 合数学基础知识对于深入理解这些概率分布具有重要意义。
概率论基础
在学习超几何分布和负二项分布之前，需要掌握概率论中的基本概念和公式，如概率空间、随机变量、概率质量函数 、期望、方差等。这些基础知识对于理解和应用这些概率分布具有重要作用。
适用范围及条件
• 适用范围：超几何分布适用于从有限总体中不放回地抽取样本 ，并计算成功抽取指定数量样本的概率。例如，在质量检测、 彩票抽奖、基因测序等领域都有广泛应用。
适用范围及条件
适用条件：使用超几 何分布需要满足以下 条件
2. 抽取的样本量 n 小于等于总体容量 N ；
1. 总体容量 N 是有 限的；
04
超几何分布与二项分布比较
两者联系与区别
联系
超几何分布和二项分布都是描述随机试验中成功次数概率分布的模型，其中二项分布是超几何分布在 总体容量趋于无穷大时的极限情况。
区别
超几何分布描述的是不放回抽样，而二项分布描述的是放回抽样；超几何分布中每次试验成功的概率 不同，而二项分布中每次试验成功的概率相同。
与二项分布关系
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===L min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈要点一、条件概率的概念 1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号表示。
读作：发生的条件下B 发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
二项分布超几何分布与条件概率
13．从标有 ， ， ， ， 的五张卡中，依次抽出 张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；
（2）设有大学生去支教的学校的个数为 ，求 的分布列.
18．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望．
A． B． C． D．
7．设随机变量X服从二项分布 ，则函数 存在零点的概率是( )A． B． C． D．
8．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）
A． B． C． D．
9．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}， 如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为
A． B． C． D．
10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为 ，则小球落入 袋中的概率为（）
A． B． Biblioteka ． D．11．有4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为_______．
16．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．
离散型随机变量的分布列超几何分布
《离散型随机变量及其分布列 超几何分布》解读江西省于都县第二中学 谢才兴 邮编：342300一、学习目标1．理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的两个性质，会求离散型随机变量的的分布列；2．知道超几何分布，会利用超几何分布求离散型随机变量的分布列. 二、知识梳理1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=aξ+b ，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量.3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列:ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…6.离散型随机变量分布列的两个性质： ①p i ≥0(i =1，2，...)； ②P 1+P 2+ (1)7.超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称分布列X1…mP C0M·C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N三、热点例析题型一：离散型随机变量的概念离散型随机变量的考查主要以客观题形式出现，主要考查对概念的理解，对概念的理解一是看结果是否可以有限，即是否可以一一列举，能够按一次次序列举出来的是离散型随机变量，二是随机事件的结果能否用变量来表示.例1．已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.③④分析：本题在于考查离散型随机变量的概念.解析：③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.答案：C评析：随机主量本质上讲就是以随机试验的每一个结果为自变量的一个函数，它与函数有所不同，函数f(x)的自变量是实数x，而随机变量概念中，随机变量的自变量是试验结果（即样本点）.[练习] 1．投掷两枚硬币，不是随机变量的为( )A．掷硬币的个数 B．正面向上的个数C．反面向上的个数 D．正面向上和反面向上的个数之差的绝对值2.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( ) =4 =5 C.X=6 ≤4题型二求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的步骤是：首先求出离散型随机变量X的每一个取值，其次是求每个一取值的概率，最后是列表求得分布列.例2设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4Pm求：(1)2X ＋1的分布列；(2)|X －1|的分布列．分析：首先利用离散型随机变量的性质求出m ，分别求出2X +1，|X －1|的取值，再根据取值的概念求得各次的分布列.解：由分布列的性质知：0．2＋＋＋＋m ＝1，∴m ＝. 首先列表为：X0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123(1)2X ＋1的分布列：2X ＋11 3 5 7 9 P(2)|X －1|的分布列：|X －1|0 1 2 3 P关键，[练习] 3.[2013·衢州质检] 随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝ck ·（k ＋1），k ＝1，2，3，4，其中c 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )4．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 题型三 超几何分布的应用超几何分布作为常见的一种分布列，它是新课标高考的高频考点之一，它主要应用于一件事下的两类不同的形态中，即红球与白球，正品与次品等.例3．[2013·孝感模拟] 袋子中装有大小、形状完全相同的m 个红球和n 个白球，其中m ，n 满足m >n ≥2且m ＋n ≤10(m ，n ∈N ＋)，若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．(1)求m ，n 的值；(2)从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为X ，求X 的分布列．分析：根据题设条件与组合数性质，求出m ，n 的值，要注意m >n ≥2，m ＋n ≤10这个条件.解：(1)依题意得C 2m ＋C 2n C 2m ＋n ＝C 1m C 1n C 2m ＋n ，即(m －n )2＝m ＋n ，则m ＋n 是完全平方数．又m >n ≥2，m ＋n ≤10，∴m ＋n ＝9，m －n ＝3， ∴m ＝6，n ＝3.(2)X 的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 33C 39＝184；P (X ＝1)＝C 23C 16C 39＝314；P (X ＝2)＝C 13C 26C 39＝1528；P (X ＝3)＝C 36C 39＝521.X 的分布列为X 0 1 2 3 P1843141528521M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *. [练习]5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为 ( )．6．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．[练习参考答案]1．A ．提示： 掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0，1，2，是随机变量；反面向上的个数为0，1，2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0，2，是随机变量，故选A.2．C ．提示：第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=63．D ．提示：由题意，得c 2＋c 6＋c 12＋c 20＝1，即c ＝54，于是P 12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝c 2＋c 6＝23c ＝23×54＝56，故选D. 4．23．提示： ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13， ∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.5．提示：用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220，故选C.6.解:(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P(A)＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k)＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X 0 1 2 3 P112512512112《条件概率与独立事件 、二项分布》解读江西省于都县第二中学 谢才兴 邮编：342300一、学习目标1．了解条件概率的概念，理解并掌握条件概率的公式，并能应用公式作相关概率的计算．2．理解两个事件相互独立的概率公式，会判断两件事是否为独立事件，并了解互斥事件与独立事件的区别与联系．掌握独立事件的计算公式，并能利用公式解决相关问题的概率．3．理解并掌握二项分布及其概率公式，能运用这一公式解决一些简单的实际问题．二、知识梳理1．对于两个事件A 与B ，如果P (A )>0，称P (B |A )= P (AB )P (A )，为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.2.相互独立事件(1)概念：如果两个事件A 与B 满足等式P (AB )＝P (A )P (B )，称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B ，即：若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 相互独立．(2)性质：若A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．(3) 若A 与B 相互独立，则A _与B ，A 与B _，A _与B _也都相互独立． 3. 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(X ＝k)＝C k n p k q n －k，其中k ＝0，1，2，3，…，n ，q ＝1－p.于是得到随机变量X 的概率分布如下：nn n n n n p n q 0中的第k ＋1项(k ＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X 为二项分布，记作X ～B(n ，p)．4. “互斥”与“相互独立”的区别与联系三、热点例析题型一 条件概率的应用条件概率公式揭示了条件概率P (B |A )与事件P (A )，P (AB )之间的关系，为了方便也常将公式变形为乘法公式：P (AB )= P (B |A ) P (A )，另条件概率主要有两种求法，一种是列举筛选法，二是公式法．例1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B 与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件； A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④【分析】由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；∵P(B|A1)＝P(B∩A1)P(A1)＝12×51112＝511，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④.【答案】A【点评】本题考查了条件概率、互斥事件与独立事件等概念，其中条件概率的计算采用了公式法．【练习】1. (2013·聊城模拟)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为____________．2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )题型二 利用独立事件概率公式解决实际问题应用相互独立事件同时发生的概率公式的解题步骤为：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生概率，再求其积或和.例 2.有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n (n ＝1，2，3)关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．(1) 求仅闯过第一关的概率；(2) 记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列．【分析】每次抛掷骰子都是相互独立的，；因此应根据独立事件方法求解. 【解】(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P(A )＝34·616＝932.(2) 由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝14，P(ξ＝1)＝932，P(ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024，P(ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024，即随机变量ξ的概率分布列为 ξ 0 1 2 3 P149324051 024751 024事件是相互独立的，而且它们同时发生，另当遇到“至少”、 “至多”等词语时，常考虑其对立事件.【练习】3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________． 4．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．题型三 二项分布的应用二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布解决实际问题关键在于在实际问题中建立二项分布模型.例3．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X (元)的概率分布．【分析】(1)是超几何分布问题，(2)是二项分布，这两问极易混淆，解题时要十分注意.【解】 (1) 设“一次抽奖中奖”为事件A ，则P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝1620＝45.(2) X 可取0，10，20，P(X ＝0)＝2＝，P(X ＝10)＝C 12××＝，P(X ＝20)＝2＝. X 的概率分布列为1）在一次实验中事件A 发生的概率是一个常数p ；（2）n 次实验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次结果是相互独立的；（3）公式P (X ＝k )＝C k n p k qn －k表示n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率.【练习】5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )6．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．【配套练习参考答案】1．13．提示：“第一次闭合后出现红灯”记为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”记为事件B ，则P(A)＝12，P(AB)＝16.∴P (B|A)＝1612＝13.2．B ．提示：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝110410＝14.3．512．提示：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.4．解析 (1)依题意X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P168132812481881181(2)设A i B i 表示事件”第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2.依题意知P(A 1)＝P(B 1)＝，P(A 2)＝P(B 2)＝， A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2， 所求的概率为P(A)＝P(A 1B 1)＋P(A 1B 1)＋P(A 1B 1)＋P(A 2B 2)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 1)P(B 1)＋P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＝×＋×＋×＋×＝.5．B ．提示：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B (4，13)，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－(1－13)4－C 14(1－13)3(13)＝1127. 6．解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15. (ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，710. ∴P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X0 1 2 P9100 2150 49100。
数学高中概率知识点
数学高中概率知识点在高中数学中，概率是一个重要的知识板块，它与我们的日常生活和实际应用有着紧密的联系。
下面就让我们一起来深入了解一下高中概率的相关知识点。
一、随机事件与概率在我们的生活中，存在着很多不确定的现象，比如明天是否会下雨，投篮是否能命中等等。
这些不确定的现象在数学中被称为随机现象，而随机现象中的每一个结果被称为随机事件。
随机事件可以分为基本事件和复合事件。
基本事件是不能再分解的最简单的随机事件，而复合事件则是由多个基本事件组合而成。
概率是用来衡量随机事件发生可能性大小的一个数值。
对于一个随机事件 A，它发生的概率记为 P(A)，其取值范围在 0 到 1 之间。
如果P(A) ＝ 0，则表示事件 A 不可能发生；如果 P(A) ＝ 1，则表示事件 A一定会发生；如果 0 ＜ P(A) ＜ 1，则表示事件 A 有可能发生。
计算概率的方法有多种，其中最基本的是古典概型和几何概型。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
如果一个随机试验具有以下两个特征：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
那么这个随机试验就称为古典概型。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里总共有 8 个球，取出红球的情况有 5 种，所以取出红球的概率为 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型是用于处理无限多个等可能结果的随机试验。
其特点是试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等。
在几何概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
比如，在一个时间段内等待公共汽车，假设公共汽车在这个时间段内任何时刻到达的可能性相等，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
03分布列.学生版
分布列
考试内容
概率
取有限值的离散型随机变量及其分布列 超几何分布 条件概率 事件的独立性 n 次独立重复试验与二项分布 取有限值的离散型随机变量的均值、方差
思维导图
要求层次
A
B
C
√
√
√
√
√
√
知识梳理 离散型随机变量及其分布列 1、相关概念 （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变 量常用希腊字母 ξ、η 等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 离散型随机变量．若 ξ 是随机变量，η＝aξ+b，其中 a、b 是常数，则 η 也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做 连续型随机变量
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量 X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列． （2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
超几何分布列． （1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是 N，M，n 上述超几何分布记作 X～H（N，M，n）． 条件概率 1、条件概率的定义：对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫 做条件概率，用符号 P（B|A）来表示． （1）条件概率公式：称为事件 A 与 B 的交（或积）．
（2）离散型随机变量：如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X 为离散型随机 变量．
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1．设离散型随机变量ξ的分布列如表，则p＝（）
A．1B．C．D．
2．100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）
A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21
3．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）
A．B．C．D．
5．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）
A．B．C．D．
6．一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为（）
A．B．C．D．
7．将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A．B．C．D．
8．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率
为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝（）
A．0.4B．0.6C．0.1D．0.2
9．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）
A．B．C．D．
10．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A．P1P2B．1﹣P1P2
C．P1（1﹣P2）D．（1﹣P1）（1﹣P2）
11．张先生计划在2个不同的微信群中发放3个金额各不相等的红包，则每个群都收到红包的概率是（）
A．B．C．D．
12．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（）
A．B．C．D．
13．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（A|B）的值为（）
A．B．C．D．
14．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A．B．C．D．
15．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是（）
A．B．C．D．
16．已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）
A．B．C．D．
17．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）
A．B．C．D．
18．某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，甲、乙两位同学各自选择其中一门，每位同学选择每门数学类选修课的可能性相同，则这两位同学所选的课不同的概率为（）A．B．C．D．
19．随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为（）
A．B．C．D．
20．已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到
红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（）
A．B．C．D．
21．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（）
A．（）10（）2B．（）9（）2（）
C．（）9（）2D．（）10（）2
22．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为（）
A．B．C．D．
23．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村
庄中交通不方便的村庄数，则P（X＝4）＝．（用数字表示）
24．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．25．已知超几何分布满足X～H（3，5，8），则P（X＝2）＝．
26．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为．27．若随机变量X的分布列为P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4），则P（＜X＜）＝．28．已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是
29．一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个，已知从袋中随机摸出1个球，摸到黑球的概率是．现从袋中随机摸出2个球，至少摸到1个白球的概率是．
30．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B|A）的值等于．
31．甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为
32．为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是
33．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为（结果用数值表示）
34．若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为．
35．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为．
36．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
37．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，
（1）请列出X的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
38．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．
39．袋子A和袋子B均装有红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是P．
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率；
（2）若A、B两个袋子中的总球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率为，求P的值．
40．某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算
（1）2件都是正品的概率
（2）至少有一件次品的概率．。