二项分布与两点分布超几何分布正态分布的区别

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超几何分布于二项分布的区别与联系

§超几何分布与二项分布的区别与联系1、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～(,)n p ，并称p 为成功概率。

2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,2,...,.k N K M N M n NC C P X k k m C --⋅=== 此时称随机变量X 服从超几何分布。

注意：超几何分布中必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回去；二是产品数是有限个为N （总数较少）.当这两个条件中任意一个发生改变，则不再是超几何分布.一、当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布【例1】从含有3件次品的10产品中有放回地逐次取，每次取一个，取3次，用X 表示次品数。

（1）求X 的分布列；（2）求()E X 和()D X二、当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布【例2】从批量较大的产品中，随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量ξ表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量ξ的数学期望()E ξ【例3】根据我国相关法规则定，食品的含汞量不得超过1.00ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量（单位：ppm）数据如下表所示：（1）若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ.()【例5】一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类。

高三第一轮复习两点分布,二项分布及超几何分布

两点分布，二项分布及超几何分布【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1．两点分布：若随机变量X 的分布列是其中0<p <1，q ＝1－p ，则离散型随机变量X 服从两点分布，且称p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有ξ件次品，则事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {M ，n}，且m ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.称分布列为超几何分布．如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列，则称随机变量ξ服从超几何分布． 3.二项分布(1)进行n 次试验，如果满足下列条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； ② 每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率为1－p ； ③各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝ .若一个随机变量X 的分布列如上所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 . (2)二项分布的期望与方差．若随机变量X ～B (n ，p )，则EX ＝，DX ＝ . 方法规律总结1.求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列；第四步，根据定义求出期望2.二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤：第一步，先判断随机变量是否服从二项分布；第二步，若服从二项分布，一般是通过古典概型或相互独立事件的概率公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少；第三步，根据二项分布的分布列P(X ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k(k ＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列．【指点迷津】【类型一】两点分布【例1】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100. 因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝ 1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1)99100. (2) 2. 【例2】：据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A 位于一类风区的A 项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B 项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资A ，B 项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E (ξ)，E (η)； (2)某公司计划用不超过100万元的资金投资A ，B 项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B 项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z ＝E (ξ)＋E (η)的最大值．【解析】： (1)投资A 项目的利润ξ则E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . 投资B 项目的利润η则E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y (2)由题意可知x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，x ≥y ，x ，y ≥0，其表示的可行域如图中阴影部分所示．由(1)可知，z ＝E (ξ)＋E (η)＝0.1x ＋0.2y ，当直线y ＝－0.5x ＋5z 过点(50，50)时，z 取得最大值，即当x ＝50，y ＝50时，z 取得最大值15. 故对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元答案：(1) ξ的分布列为E (ξ)＝0.18x －0.08x ＝0.1x . η的分布列为E (η)＝0.21y －0.01y ＝0.2y .(2) 对A ，B 项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元【类型二】超几何分布【例1】：(2015·重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】： (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故EX ＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．答案：(1) 14. (2) 35．【例2】：某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解析】： (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35， P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为EX ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.答案：(1) 99100. (2) 2.【类型三】两项分布【例1】：某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列分别为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．(1)求Z 的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．【解析】：(1)设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1.5y ≤W ，x ＋1.5y ≤12，2x －y ≥0，x ≥0，y ≥0.① 目标函数z ＝1000x ＋1200y .当W ＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A (0，0)，B (2.4，4.8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝2.4，y ＝4.8时，直线l ：y ＝－56x ＋z 1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W ＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7.5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10 200.当W ＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为y ＝－56x ＋z 1200，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：y ＝－56x ＋z1200在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10 800.故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P 1＝P (Z >10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为 P ＝1－(1－P 1)3＝1－0.33＝0.973. 答案：(1)最大获利Z 的分布列为E (Z )＝8160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9708.(2) 0.973. 【例2】：在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选一题，设5名同学选做这三题中任意一题的可能性均为13，每位同学对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析】：(1)设事件A 1表示“甲选22题”，A 2表示“甲选23题”，A 3表示“甲选24题”，B 1表示“乙选22题”，B 2表示“乙选23题”，B 3表示“乙选24题”，由甲、乙选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，所以P(A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P(A 1)P(B 1)＋P(A 2)P(B 2)＋P(A 3)P(B 3)＝3×19＝13.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，则ξ～B(5，13)，所以P(ξ＝k)＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k 525－k35，k ＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为所以E ξ＝np ＝5×13＝53.答案：(1) 13. (2) 53.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一．选择题1.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX ＝( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 【解析】：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A.2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582【解析】：“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38×C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.答案：D ．3.在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1]B ．(0，0.4]C ．(0，0.6]D ．[0.6，1]【解析】：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A ．答案：A ．4.随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 【解析】：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 答案：A ．5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X 为“|a －b |的取值”，则X 的数学期望E (X )为( )A.89B.35C.25D.13【解析】：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值有0，1，2.P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，故E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.答案：A. 二．填空题6.设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)的值为 (用最简的分数作答）【解析】：P(X ＝3)＝C 36(12)3(12)3＝516. 答案：516. 7.10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】：由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.答案：12.8.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________．【解析】：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.答案：1927.三．解答题9.某校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若考核为合格，则授予1个学分；若考核为优秀，则授予2个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，且他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．【解析】：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙三人中至少有一人考核为优秀”为事件D ，则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 所有可能的取值是3，4，5，6，P (X ＝3)＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝145，P (X ＝4)＝P (A B C )＋P (ABC )＋P (A B C )＝845，P (X ＝5)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝49，P (X ＝6)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝1645，所以故E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.答案：(1) 4445.(2) X E (X )＝3×145＋4×845＋5×49＋6×1645＝7715.10.某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求这3名学生中选择A 选修课的人数X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)每个学生有4个不同的选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64.(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P (E )＝C 24C 23A 2243＝916，即恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916. (3)方法一：X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 3，14，P (X ＝0)＝343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×142×34＝964，P (X ＝3)＝143＝164，所以X故X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.答案：(1) 64. (2) 916.(3) X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【二级目标】能力提升题组一．选择题1.已知集合A ＝{x |2x 2－x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪y ＝lg1－x x ＋3，在区间(－3，3)上任取一实数x ，则x ∈A ∩B 的概率为( )A.14B.18C.13D.112【解析】：由2x 2－x －3<0，得－1<x<32.由1－xx ＋3>0，得x －1x ＋3<0，∴－3<x<1.∴A ∩B ＝{x|－1<x<1}，故所求概率P ＝26＝13.答案：C.2.某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是( )A ．3×10－4B ．3×10－5C ．3×10－6D ．3×10－7【解析】：P ＝C 910·149×34＋C 1010·1410＝30×1410＋1410＝31×1410＝31×12102＝31×110242≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5. 答案：B ．二．填空题3.[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．【解析】：设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎨⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案：25.三．解答题(1)求在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆的概率；(2)用X 表示在未来三天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续三天里，有连续两天的日车流量都不低于10万辆且另一天的日车流量低于5万辆”，则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.70×0.70×0.05×2＝0.049. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03×(1－0.7)3＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×(1－0.7)2＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×(1－0.7)＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343，所以X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)答案：(1) 0.049.(2) X 的分布列为E (X )＝3×0.7＝【高考链接】1.[2015·福建卷] 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23，所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.答案：(1) 12.(2) X 的分布列为E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2.[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)【解析】： (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝AB∪AB，A，B相互独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.故P(C)＝P(AB)＋P(AB)＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（3）EX＝x－.答案：(1) 0.5. (2)1325. （3）EX＝x－.3.[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【解析】：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.答案：(1) 0.31.(2)2.。

关于超几何分布和二项分布小区别

关于超几何分布和二项分布的小题目徐峰在教学过程中发现学生在学习完超几何分布和二项分布以后，学生不能正确的理解好什么是超几何分布（古典概型利用组合数计数）、什么是二项分布（利用独立性，互斥性）及其区别.下面我通过几个例子说明一下两者的区别超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=k 则P(X=k)此时我们称随机变量X 服从超几何分布（hypergeometric distribution ） 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(n ，M ，N)。

二项分布：二项分布（Binomial Distribution ），即重复n 次的伯努力试验（Bernoulli Experiment ）,用ξ表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重复试验中发生k 次的概率是k n k kn q p k P C -==)(ξ 上述二项分布记作),(~p n B ξ下面我通过几个例子说明一下两者的区别【例1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数ξ的分布列？解：由题意得0=ξ，1，2，3.ξ服从参数为10=N ,4=M ,3=n 的超几何分布.6112020)0(31036====C C P ξ2112060)1(3102614==•==C C C P ξ10312036)2(3101624==•==C C C P ξ3011204)3(31034====CC P ξ故ξ的分布列把事件发生的概率看做是0.4。

【例2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0，1，2，3则甲赢，若最后一位出现6，7，8，9则乙赢，若最后一位出现4，5是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量X ，求X 的分布列解：由题意得：0=X ，1，2，3216.06.0)0(303===C X P 432.04.06.0)1(213=⨯⨯==C X P 288.04.06.0)2(223=⨯⨯==C X P 064.04.0)3(333===C X P点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为服从10=N ,4=M ,3=n 的超几何分布。

【数学】高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求: （1）有放回抽样时,取到黑球的个数Ｘ的分布列； (2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时,取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验,则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴;12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要; 超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布....。

二项分布

ξ 0 1 … k … 10
P
(
5 6
)10
C110
1 6
(
5 )9 6
…
C1k0
(
1 6
)k
(
5 6
)10−k
…
( 1 )10 6
服从二项分布
练习 2: 设某考卷上有10道选择题,每道选择题有4个
可供选择的答案,其中一个为正确答案,今有一考
生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试
C191 39 52 3 812
=
C191
(
3 8
)10
(
5 8
)2
答案详见《随堂通》第82页
课外思考:
巴拿赫(Banach)火柴盒问题
• 波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在
左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次
使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。
试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的
火柴根数k的分布列。
Cnn pnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 x ~ B(n, p,)
其中n，p为参数,并记 Cnk pk (1 − p)n−k = b(k;n, p)
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N − M )个白球，依次从袋中取 n个球，记下红球的个数x .
⑴如果是有放回地取，则x B(n, M )
N ⑵如果是不放回地取, 则x 服从超几何分布.
P(x
=
k)
=
C C k n−k M N−M
C
n N
(k
=

10.8 二项分布、超几何分布与正态分布

§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布【一】独学：主干知识知识梳理一、二项分布1．伯努利试验只包含试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的，记作X ～B (n ，p )．3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝，D (X )＝(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ D (X )＝二、超几何分布1．定义：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min{n ，M }，则称X 服从．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N 记为H (r ；n ，M ，N )． 2．E (X )＝三、正态分布1．正态密度曲线函数 x ∈R ，其中实数μ(μ∈R )和σ(σ>0)为参数，该函数的图象称为．2．正态密度曲线的特征：(1)当x <μ时，曲线；当x >μ时，曲线．当曲线向左右两边无限延伸时，以为渐近线．(2)曲线关于直线对称．(3)σ越大，曲线越；σ越小，曲线越．(4)在曲线和范围内的区域面积为1.3．正态分布若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值考试要求学习重难点 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．重点：二项分布、超几何分布、正态分布难点：理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 .5．正态分布的均值与方差若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2.常用结论1．两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．4．超几何分布有时也记为 X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N ，D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1N －1. 教材改编题1．已知X ～B (20，p )，且E (X )＝6，则D (X )等于( )A ．1.8B ．6C ．2.1D ．4.22．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝2)＝________.3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,102)．已知P (100<X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．【二】互学：核心题型题型一二项分布例1出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数X 的均值与方差．跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X ，求X 的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．题型二超几何分布例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1))(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和均值．题型三正态分布例3 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16211()16i i s x x ==-∑162211=(16)0.21216i i x x =-=∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则0.9974=，160.99740.9592≈0.0080.09≈．跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X ～B (3，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.657，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)等于( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8（2）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)【三】悟学：总结提升1. 知识点总结：2. 方法小结：3. 存在的疑惑：【四】课后作业：1. 做本节对应的课后习题；2. 复习、订正今天上课内容；3. 预习下一节学案。

二项分布与超几何分布的区别与联系

＝233×132＋13×233×13＋132×233 ＝881.
谢谢
谢谢
例题解析
1、从含有 2 件优等品的 5 件产品中，随机抽取 2 件，求
抽取的 2 件产品中的优等品数的分布列及其均值。
解：可能的取值为 0,1,2，
P( i) C2i C32i
C52
(i 0, 1, 2) ，
的分布列为
012
P
3 10
3 5
1 10
均值
E( )
1
3 52 1 10源自4 5结论：在实际应用时，只要N≥10n，不放回抽取可以近似看成是放回抽取，可用二项分布近似描述不合格品个数，即当超几何分布计算非常困难时应考虑用二项分布近似代替。
练习：
[2009 广东理 17 题部分]对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，发现一年中有 219 天空气质量为良或轻度污染，求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为轻微污染的概率.
超几何分布一般地在含有m件次品的n件产品中任取n件其中恰有x件次品则事件xk发生的概率为服从参数为nmn的超几何分布1从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2抽取的2件产品中的优等品数10均值2011广东理17部分从含有2件优等品的5件产品中随机抽取2件求抽取的2件产品中的优等品数的分布列及其均值
二项分布与超几何分布的区别与联系
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CnN
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
3、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ※(2)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布，则 E(X)＝nNM.

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(解析版)

专题49 两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中01p <<(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验 1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布 1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列()001110C C C C nn n kk n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布 1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．2（1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是XA ．()()3,E m D n ξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m m ξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C【解析】由离散型随机变量的概率关系可知：1n m =-.则()()()()()222011;01111E m n n m D m m m m m mξξ=⨯+⨯==-⎡⎤⎡⎤=--+---=-⎣⎦⎣⎦.例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次. (1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； ②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由. 【解析】（1）①根据题意可得：28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=；②根据题意可得：38510C 419C 2P ==；（2）（i ）根据题意：X 的取值为1，+1n ，()()11n P X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()1111n nE X p n p ⎡⎤=-++--⎣⎦；（ii ）当5n =时，方案一：检验的次数为5次，方案二：检查的次数期望为()()()551611E X p p ⎡⎤=-+--⎣⎦， ()()()5556515151E X p p ⎡⎤-=---=--⎣⎦，记()()5151g p p =--，因为011p <-<，所以()g p 单调递增，当1p =()0g p =，所以当01p <<时，()0g p <，则()5E X <，当11p <<时，()0g p >，则()5E X >，故当01p <<时，选择方案二；当11p <<时，选择方案一；当1p =. 例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组． (1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望； (2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）【解析】（1）设方案一中每组的化验次数为ξ，则ξ的取值为1，11， ∴10(1)0.9970.970P ξ===，10(11)10.9970.030P ξ==-=， ∴ξ的分布列为：设方案二中每组的化验次数为η，则η的取值为1，9， 8(1)0.9970.976P η===，8(9)10.9970.024P η==-=，∴η的分布列为：（2）根据方案一，该社区化验分组数为200，方案一的化验总次数的期望值为：200()200 1.3260E X =⨯=次．根据方案二，该社区化验分组数为250，方案二的化验总次数的期望为250()250 1.192298E η=⨯=次． ∵260298<，∴方案一工作量更少．故选择方案一．变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元． (1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．【解析】(1)设工种为,,A B C 职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量,,X Y Z ，则随机变量的分布列如下：455()(1)(10010)101010E X a a a =-+-⨯⨯=-， 45522()(1)(10010)201010E Y a a a =-+-⨯⨯=-， 45511()(1)(5010)501010E Z b b b =-+-⨯⨯=-，由题意4(10)200000.6(20)200000.3(50)200000.11010a a c -⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯-⨯ (200000.6200000.3200000.1)0.2a a b ≥⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得9275a b +≥．所以每张保单的保费需要满足9275a b +≥；(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 44455412120000(0.6100100.3100100.15010)1720000101010⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯，若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为 20000(0.60.30.1)0.6(9)0.0620000a a b a b ⨯⨯+⨯+⨯⨯=+⨯⨯，由(9)0.06200001720000a b +⨯⨯<⨯，得9283.33a b +<，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立. (1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少； (2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？【解析】(1)设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件A ，则()()()()223221331111p A p C p p C p p p ⎡⎤=+-+---⎣⎦， 12p =，()2532p A ∴=；(2)设每篇文章的评审费用为X 元，则X 的可能取值为90，180，则()()2131801P X C p p ==-，()()2139011P X C p p ==--； ()()()()222113390111801270190E X C p p C p p p p ⎡⎤∴=⨯--+⨯-=-+⎣⎦.令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，则()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--.当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()g p ∴的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴每篇论文平均评审费用的最大值是130元.变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．【解析】（1）()11k P X p k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由题，X 的可能取值为 1k 和1k k + ()111k k P X p k +⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故X 的分布列为()()()()1111111k k kk E X p p p k k k+⎡⎤=-+--=--+⎣⎦ ()()2i 由()1记()()111k f p p k=--+，因为0k >，所以 ()f p 在()0,1p ∈上单调递增，故p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理()ii 记()()11g 1110.9k k k p k k=--+=-+ 当()1g k <且取最小值时，该方案最合理，因为()()1 1.1,20.69g g ==，()()30.604,40.594g g ≈≈，()50.61g ≈ 所以4k =时平均检验次数最少，约为10000.594594⨯=次．题型二：n 次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a ，b ，且2a b =，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（） A ．881B ．89C ．724D ．523【答案】B【解析】由题意21a b a b =⎧⎨+=⎩，解得2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则四名大学生至少有两名创业成功的概率341421181C 3339P ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（） A ．19B ．727C ．827D ．829【答案】A【解析】该同学随机掷一枚骰子，得到1点或5点的概率为13，则该同学掷一枚骰子4次，得到1点或5点的次数超过2次的概率3434441111C 1C 3339P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（） A ．0.064 B ．0.600C ．0.784D ．0.936【答案】D【解析】该同学通过测试的概率为310.40.936-=，故选：D变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球. (1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()E ξ. 【解析】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，所以223112213C 216p ⎛⎫== ⎪⨯⨯⎝⎭（2）由题意知：ξ的可能取值为1.2.3.4，当1ξ=时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球，所以553344111(1)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2ξ=时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒子中的球，故444423111(2)C C 224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3ξ=时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，所以31211(3)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当4ξ=时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，故22211(4)C 24P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.即ξ的分布列为：计算可得：()2E ξ=变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X ，求X 的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【解析】（1）由题意可知，X 可能取值为0，1，2，3 ，当X 0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1)C (1)(1)222216P X ==-+⋅⋅--=，当1X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C ()(1)(1)22216P X ==⋅⋅-⋅-=；当2X =时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C ()(1)22216P X ==⋅⋅-⋅=，当3X =时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)()C ()(1)222216P X ==+⋅⋅-⋅=，故X 的概率分布列如下：5分为事件A ，则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A 31616161616161616162048P A =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048. 变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B 两组，A 组3人，服用甲种中药，B 组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A 组中每人康复的概率都为45，B 组3人康复的概率分别为933,,1044. (1)设事件M 表示A 组中恰好有1人康复，事件N 表示B 组中恰好有1人康复，求()P MN ； (2)求A 组康复人数比B 组康复人数多的概率.【解析】（1）依题意有，()2134412C 155125P M ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，()129111133C 1044104432P N =⨯⨯+⨯⨯⨯=，又事件M 与N 相互独立，则()()()1239125321000P MN P M P N ==⨯=；（2）设A 组中服用甲种中药康复的人数为X ，则43,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21341121C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22314482C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()3334643C 5125P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，设B 组中服用乙种中药康复的人数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，()111101044160P Y ==⨯⨯= ()12911113151C 10441044160P Y ==⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()12931133632C 10441044160P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯=， A 组康复人数比B 组康复人数多的概率()()()()()10201P P X P Y P X P Y P Y ⎡⎤==⨯=+=⨯=+=⎣⎦ ()()()()14593012.5000P X P Y P Y P Y ⎡⎤+=⨯=+=+==⎣⎦ 变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立． (1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X 分，求随机变量X 的概率分布列与数学期望．【解析】（1）记事件A ：“比赛结束，甲得6分”，则事件A 即为乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲，所以21221224820()+C +=333392727P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（2）由题意得，X 可取2,4,6，则224(2)39P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 121228(4)C 33327P X ==⨯⨯⨯=，21212117(6)C 333327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭，即X 的分布列为X 的数学期望为()2469272727E X =⨯+⨯+⨯=．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A ，因为甲答对每个题的概率均为35，所以甲答错每个题的概率均为25.则甲答了3题都错，被淘汰的概率为33328C 5125⎛⎫= ⎪⎝⎭；甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为22323272C 555625⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为2224322432C 5553125⎛⎫⎛⎫⋅⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以选手甲被海的概率()87243299212562531253125P A =++=. （2）易知X 的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，则()3333333273C C 5525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322165C 55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X 的分布列为则()21625622541 3456255625E X=⨯+⨯+⨯=.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A．532B．516C．316D．332【答案】A【解析】小球落到第⑤个格子的概率是4151152232 C⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.故选：A例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则()D X=（）A．157B．207C．2521D．6049【答案】D【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为33347=+，因为是有放回的取球，所以35,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以3360()517749D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭ 故选：D例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为2011005=，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中202014()C 55k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,20k =，当1k时，由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎨=≥=-⎩，得201191202020121120201414C C 55551414C 5555k k k kk k k k k kk k C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得4(1)20214k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得162155k ≤≤，又k ∈Z ，∴4k =，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4. 故选：C.变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（） A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128【答案】B【解析】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易知X 的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()43C 4kk P k ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭414k-⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()22243127802C 44128P X P ξ⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31343140(3)44P X P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=，40443181(160)(4)C 44256P X P ξ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()()808040P X P X P X ≥-==-+=+()160P X =， 27278124312864256256=++=，故选：B ．变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3【答案】B【解析】由已知X 服从与参数为5，p 的二项分布，∴ ()5(1)D X p p =⨯⨯-，2235(2)(1)P X C p p ==-，3325(3)(1)P X C p p ==-，又() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=， ∴ (1)0.24p p -=，1p p -<， ∴ 0.6p =，故选：B.变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.【解析】（1）由题意可知每个坑要补种的概率3213311112222P C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n 个坑中有3个坑要补种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122nn n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得56n ≤≤.因为n *∈N ，所以5n =，6.当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当5n =或6n =时，有3个坑要补种的概率最大，最大概率516. （2）易知X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，且14,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此4040111(0)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)224P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224113(2)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4313111(3)242P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4404111(4)2126P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等． (1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？【解析】（1）∵抽取一辆电动车为绿色的概率为14∴4辆电动车至少有3辆是绿色的概率3334441313113C C 44416256256⎛⎫⎛⎫=⋅⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2…，n213131(0),(1),(2),44444⎛⎫====⨯==⨯⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭P P P ξξξ，1313(1),()444n nP n P n ξξ-⎛⎫⎛⎫=-=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列如下：13333()2(1)44444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦E n n ξ记213332(1)444-⎛⎫⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n S n ①∴213333(2)(1)4444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n nn S n n ②①-②得：2113333(1)44444n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11331443333(1)33(1)344441334n n n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=--⋅=-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎝=-⎭⎭-∴3()3334⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭nE ξ，∴ξ的数学期望不能超过3．变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．【解析】（1）记事件A 为至少有1人通过手机收看，由题意知，通过手机收看的概率为12，没有通过手机收看的概率为112-，则()3171128P A ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭；（2）由题意知：13,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0，1，2，3，()03031280C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()121312121C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21231262C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()30331213C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以X 的分布列为：所以()313E X ⨯==.变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅰ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()24P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅰ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，。

【数学】超几何分布与二项分布的区别与联系

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。

一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。

其分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。

2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。

此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。

二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。

超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。

实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。

二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。

这就是二者之间的区别。

本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。

解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。

从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。

超几何分布和二项分布的联系和区别

超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中张智民在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的答复就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义: (一)超几何分布的定义在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=nNk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1〕独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)=n Nk-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则P(X=k)=kn k p p --)1(C k n(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。

超几何分布与二项分布的区别课件

展望未来，随着大数据时代的到来，超几何分布和二项分布在数据分析和统计学中的应用将更加广泛，学习者需要不断更新自己的知识和技能，以适应时代的发展。
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超几何分布应用场景
有限总体、不放回抽样、成功与失败事件
例如：从50件产品中随机抽取10件，其中合格品3件，不合格品47件，求抽取的10件产品中合格品的数量。
超几何分布特点
01
02
03
有限总体
超几何分布适用于从有限总体中抽样的情况。
不放回抽样
超几何分布描述的是不放回的抽样方式。
成功与失败事件
超几何分布适用于描述具有成功与失败事件的情况，其中成功事件的概率是已知的。
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03 二项分布介绍
二项分布定义
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
公式表示为B(n, p)，其中n是试验次数，p是单次试验成功的概率。
二项分布应用场景
例如，投掷硬币正面朝上的概率是p=0.5，那么投掷n次硬币出现正面的次数就服从二项分布。
概率计算复杂度
超几何分布的概率计算相对复杂，需要使用递归或模拟的方法；而二项分布的概率计算相对简单，可以直接使用公式计算。
应用场景上的区别
01
应用场景
超几何分布在有限总体且总体数量较大时使用，例如彩票中奖概率分析；
二项分布在无限总体或总体数量较小时使用，例如抛硬币试验。
02 03
适用范围
超几何分布在处理具有限制条件的数据时适用，例如在一定数量的商品中随机抽取若干件；二项分布在处理具有独立重复试验特点的数据时适用，例如多次抛硬币的结果。
课程目标

二项分布与超几何分布的区别与联系ppt

二项分布与超几何分布的区别与联系
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1．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响． (2)一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率都为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
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[2010·天津理]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率；
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解析：(1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～B5，23.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率
（含90分）的人数记为，求的数学期望。
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[2010 广东理 17 题部分] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），发现当中有 12 件重量超过 505 克。
（1）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列。（2）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
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2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为

超几何分布、二项分布、正态分布[1]

超几何分布、二项分布、正态分布1、超几何分布：一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝①其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。

记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。

如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝min(n，M)，满足超几何分布。

2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。

3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。

如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。

3、正态分布曲线。

(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。

(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。

正态密度曲线图象特征：①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。

②正态曲线关于直线x＝μ对称。

③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。

④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。

4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为x～N(μ，σ2)。

二项分布与超几何分布比较

低碳非低碳来自 B 小区,求这族4人中恰族t 2人是低碳比例二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。

在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。

下面举例进行对比辨析。

1•有放回抽样：每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

2. 不放回抽样:取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型。

因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样。

所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的（特别注意：二项分布是在n 次独立重复试验的3个条件成立时应用的）。

超几何分布和二项分布的区别：（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2 ）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）。

练习题：1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取 3次，每次取1个球。

求:（1）有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列。

2.今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克）耗电度数X .785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数X 0.785等。

某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。

若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：（II ） A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。

如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记表示25个人中低碳族人数，求 E .3. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5 人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.(I)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(U)设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望．4. (2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B类、C类.检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整.已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品，B类品和C类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.(1) 求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2) 若检验员一天抽检3次，以软示一天中需要调整设备的次数，求E 的分布列.5. 甲、乙两人参加2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔.打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才能入选.(1) 求甲答对试题数E的概率分布；(2) 求甲、乙两人至少有一人入选的概率.(2oi2*an一模)甲、乙两名同学在§次與语口语测试中的咸绩统计如留的莖叶團所凤(1) 现莫从中选派一人泰加英话口语竞赛，从两同学的平均成議和方差分析，派谨参加更合适I(2) 若解频率视为槪率，前学生甲在今后的三次英语口语孟赛成麵进行预测，i己这三次成攝中鬲干汕分的次数为◎求电的分布列及數学期璽昭”(?t：样本数据“吁―> 龈的万差s*=-y L(x1~x r+ix^_x T+"-+(x ~r T] F其中工表示稈本均值丿6.7.仙⑷BI川aw为了蘇檢魅频瓢漏麟忆从械甦帳机齡了眩同勒这附禅鼬媒用数[婷叶跚示⑴竝睢薛赭解査蛹賊虽(2)处睢薛中耿选俯師学柚析髓冊楠込册城關司学中糊低千釉冊U瓠求血般狮期。