二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均

为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫

⎪⎝⎭，．

3

03

1464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∴；

12

13

1448(1)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；

21

231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；

3

33

141(3)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．

因此，X 的分布列为

2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：

03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101

(2)15

C C P

Y C ===．

因此，Y 的分布列为

辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

超几何分布和二项分布都是离散型分布

超几何分布和二项分布的区别：

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布

二项分布、超几何分布、正态分布

一、选择题

1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，1

2，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7

16

2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝5

9，则P (η≥1) ＝( )

A.13

B.59

C.827

D.1927

3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )

A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582

B ．

C 911

⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38

C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382

D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭

⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )

A ．[0.4,1)

B ．(0,0.6]

C ．(0,0.4]

D ．[0.6,1)

5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题

6．某篮运动员在三分线投球的命中率是1

2，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值

作答) 答案：15

128

7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．

8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，

测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 答案：不合格

三、解答题

9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．

(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．

10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

参考答案

1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝5

16. 答案：A

2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝1

3 ，

∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33

⎝⎛⎭⎫133

＝1927，故选D.

3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911

·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B

4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1

5、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.

6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310

⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128

. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02

C 25

＝0.3，

分布列如下表：

8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.

由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为

P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.

(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为

p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为

10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24

C 310＝310，

P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36

C 310＝16，

其分布列如下：