二项分布与正态分布

二项分布与正态分布

[最新考纲]

1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．

2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．

3．能解决一些简单的实际问题.

知识梳理

1．条件概率及其性质

设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则

P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

4．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a

bφμ，σ(x)d x，则称随

⎠⎛

a

机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．

函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x

＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π.

(2)正态总体三个基本概率值

①P (μ－σ

②P (μ－2σ

③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.

辨 析 感 悟

1．条件概率与相互独立事件的概率

(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )

(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )

(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5. ( )

2．二项分布与正态分布

(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，

μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．( )

(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．( )

(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那

么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－133－1＝49.( )

[感悟·提升]

1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝

P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )

是一种重要的求条件概率的方法． 2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．

3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：

一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.

考点一 条件概率

【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12

(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，

用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，

则P (B |A )＝________.

规律方法 (1)利用定义，求P (A )和P (AB )，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A )

.

【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．

A.11

27 B.11 24

C.8

27 D.9 24

考点二相互独立事件同时发生的概率

【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．