第四章 环与域
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
上海大学-高等数学-环与域
实例
例7 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系， 则偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与 y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例：
14
实例(续)
例8 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别给下图
例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环. {0}和R也 是实数环R的子环，称为平凡子环.
定理14.12 (子环判定定理) 设R是环, S是R的非空子集, 若 (1) a,b∈S，ab∈S (2) a,b∈S，ab∈S
则 S 是 R 的子环.
5
实例
例3 (1) 整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数n，
解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 关于加法不封闭.
(3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元.
(4) 不是环, A关于加法不构成群.
(5) 不是环, 关于乘法不封闭.
11
格与布尔代数
• 格的定义 • 格的性质 • 格的等价定义 • 子格与格的同态 • 特殊的格 • 布尔代数的性质 • 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果x, yS，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界.
代数学中的群、环和域的基本概念
在代数学中，群、环和域是几个基本的概念。
它们是数学中用于研究代数结构和操作规律的工具。
群、环和域分别是从不同角度对代数系统进行定义和研究的。
本文将重点介绍群、环和域的基本概念。
首先我们来谈谈群的定义。
在代数学中，一个群是一个集合G与一个二元运算（通常是乘法），满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在幺元和存在逆元。
封闭性指的是对于任意的a和b属于G，a b仍然属于G。
结合律是指对于任意的a、b和c属于G，(a b)c = a(b c)。
存在幺元指的是存在一个元素e属于G，使得对于任意的a属于G，a e = e a = a。
存在逆元指的是对于G中的任意元素a，存在一个元素b使得a b = b a = e，其中e是G中的幺元。
通过这些性质，我们可以描述群的基本性质和操作规律。
接下来我们来讨论环的概念。
一个环是一个集合R与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下八个条件：R关于+构成一个阿贝尔群、乘法满足结合律、分配律和乘法有单位元。
阿贝尔群指的是R关于+满足群的四个条件：封闭性、结合律、存在零元和存在逆元。
结合律和分配律即与群相同。
乘法有单位元指的是存在一个元素1属于R，对于任意的a属于R，a1 = 1*a = a。
通过环的性质，我们可以研究乘法在环上的特性和规律。
最后我们来研究域的概念。
一个域是一个集合F与两个二元运算+和（通常是加法和乘法），满足以下九个条件：F关于+构成一个阿贝尔群、F关于构成一个阿贝尔群（去除零元）、乘法满足结合律和分配律。
阿贝尔群和分配律与之前的定义相同，乘法的结合律和分配律也与环相同。
但与环不同的是，域中乘法还需要去除零元，即不存在一个元素0使得0a = a0 = 0。
通过域的性质，我们可以进行更为深入的代数研究。
无论是群、环还是域，它们都是代数学研究中的基础概念。
通过对群、环和域的研究，我们可以分析和证明各种代数结构的特性和规律。
这些概念及其性质构成了代数学中的基本框架，并为更复杂和抽象的数学理论提供了基础。
第4章群环域习题(最新)
第4章：群、环、域§4.1 代数运算习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通的加法和普通乘法运算，其中n 是一个正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通的加法和普通的乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通的加法和普通的乘法运算。
（4）集合}2|{+∈==Z n x x S n，关于普通的加法和普通的乘法运算。
（5）所有n 阶)2(≥n 实可逆矩阵集合)(ˆR nM 关于矩阵加法和矩阵乘法运算。
对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和分配律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
解：（1）任意Z b a ∈,，nZ b n a n ∈⨯+⨯，所以对普通的加法运算封闭。
nZ b a n b n a n ∈⨯⨯=⨯⨯⨯2)(，所以对普通的乘法运算封闭。
（2） 2. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）正实数集合+R 和*运算，其中*运算定义为：b a ab b a b a --=*∈∀+，，R（2）2}{21≥=n a a a A n ，，，， 。
*运算定义为： b b a A b a =*∈∀，，对于封闭的二元运算，判断它们是否满足交换律、结合律和等幂律，并在存在的情况下求出它们的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。
解：（1）不封闭。
例如1313311313-=--=--⨯=*，+∉-R 1 。
（2）封闭。
A b b a A b a ∈=*∈∀，，，所以*运算在A 上是封闭的。
+∈∀R c b a ,，， 有：b b a =*，而a a b =*，因为b a =不恒成立，即a b b a *≠*，所以*不满足交换律。
因为a c a c b a =*=**)(，a b a c b a =*=**)(， 所以)()(c b a c b a **=**，所以*满足结合律。
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
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子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
第四章-多项式环与有限域
式中， pi(x) 为首一既约多项式， αi是某一正整数， i=1， 2， …， s。
第4章 多项式环与有限域
推论4.2.1 d次多项式 f(x) 不可能有多于d个的一次因式。
定理4.2.4 α为多项式 f(x) 之根的充要条件是：
第4章 多项式环与有限域
三、 最大(高)公因式 定义4.2.3 若 (f(x)， g(x)， …， k(x))是同时除尽多 项式f(x)， g(x)， …， k(x)的次数最高的首一多项式， 则称(f(x)， g(x)， …， k(x))是f(x)， g(x)， …， k(x)的最 大公因式， 用(f(x)， g(x)， …， k(x))或 GCD {f(x)， g(x)， …， k(x)} 表示之。
-f(x)=-fnxn-f n-1 x n-1 -…-f1x-f0。
第4章 多项式环与有限域
4° 交换律和结合律显然成立。 (2) 乘法封闭性成立。 乘法单位元是 f(x)=1。 (3) 无零因子。 设 f(x)≠0， g(x)≠0， 令fα、 gβ分别是f(x)和g(x)的 最高次数的系数， 即fα≠0、 gβ≠0。 因此
1° f(x)， g(x)， k(x)多项式集合中， 若两两互素， 则［f(x)， g(x)， k(x)］=f(x)g(x)k(x)；
2° f(x)， g(x)的最小公倍式［f(x)， g(x)］能除尽 f(x)， g(x) 的一切公倍式；
第4章 多项式环与有限域
定理4.1.2 设R是可换环， I为R的一个理想， 于 是R模I构成一个可换环， 称它为环R以理想I为模的剩 余类环M。
(1) 对任意a,b∈M， 一定存在有元素a,b∈R， 且 a=a+I， b=b+I。 所以
4-5模n剩余类环
2015-5-14
20:47
2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
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例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
,于是 [ a ] 是零因子.
2015-5-14 20:47
(2)若 [a ] 为 Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别4 20:47
定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
《抽象代数》教学大纲
《抽象代数》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061112B中文名称：抽象代数英文名称：AbstractA1gebra课程类别：专业基础课程总学时：48（理论40,实践8）总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：高等代数二、课程的性质、目标和任务抽象代数（或近世代数）是数学与应用数学专业学生的一门专业课，是高等代数的继续和提高，本课程主要研究各种代数系统一-群、环、域等的结构。
通过本课程的学习，使学生获得一定的抽象代数基础知识，受到代数方法的初步训练，提高辩证思维和逻辑推理能力，并为进一步学习专业知识打下基础。
三、课程教学基本要求1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。
2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。
3、作业：每次课后配以一定量的书面作业，按学院统一要求每周批改一次。
4、辅导：每周进行答疑辅导。
四、课程教学内容及要求第一章基本概念（6学时）【教学目标与要求】1、理解代数运算，同态与同构等概念。
2、掌握等价关系，集合的分类等概念。
【教学重点与难点】1、教学重点：代数运算、同态与同构。
2、教学难点：等价关系与集合分类的内在联系。
【教学内容】1.1集合1.2映射与变换1.3代数运算14运算律1.5同态与同构1.6等价关系与集合的分类第二章群（16学时）【教学目标与要求】1、掌握群和半群的定义，熟知群和半群的一些典型实例；理解元素阶的定义和性质。
2、理解并掌握循环群的概念和表示。
3、了解变换群，理解置换群。
4、理解陪集、指数的概念和Iagrange定理。
【教学重点与难点】1、教学重点：群的概念，子群、循环群、置换群、陪集的概念和基本性质。
2、教学难点：变换群。
【教学内容】2.1群的定义和初步性质2.2群中元素的阶2.3子群2.4循环群2.5变换群2.6置换群3.7陪集、指数和1agrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（14学时）【教学目标与要求】1、掌握正规子群和商群的定义和性质。
20+代数学基础(4)环和域
于整数的除法： f=gq+r，
其中，q, r是F[x]中的两个多项式，且deg(r)<deg(g).
带余除法的例子
• f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1∈F2[x] g(x)=x3+x+1∈F2[x] q=x2+x, r=x2+1
环和域
环的定义
环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘 法“∘”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：
1. (R, +)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）；
2. R关于乘法“∘”满足结合律: (a∘b) ∘c=a∘ (b∘c), 并有 单位元, 记为1；
3. 分配律成立: (a+b) ∘c=a∘c+b∘c, c∘ (a+b)=c∘a+c∘b.
• 不可约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1
加法
a7 x7 a6 x6 a5 x5 a4 x4 a3x3 a2 x2 a1x a0
b7 x7 b6 x6 b5 x5 b4 x4 b3x3 b2 x2 b1x b0
||
(a7 b7 )x7 (a6 b6 )x6 (a5 b5 )x5 (a4 b4 )x4 (a3 b3)x3 (a2 b2 )x2 (a1 b1)x (a0 b0 )
Pn 阶域的存在性
• Zp是阶为p的域；
• 对任意的有限域F和任意的正整数n，F[x]中一定 存在n次不可约多项式.
• 推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存 在一个阶为pn的有限域.
《抽象代数》课程思政教学大纲
《抽象代数》课程思政教学大纲一、课程信息课程名称：抽象代数Abstract Algebra课程代码：06S1114B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：64学时课程学分：4学分修读学期：第5学期先修课程：高等代数1、高等代数2二、课程目标抽象代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。
它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。
它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系。
抽象代数主要讲授群、环、域的基本概念、基本理论、基本性质等。
群方面介绍变换群、置换群、循环群、正规子群、商群、群同态、n元交错群等；环方面介绍模n剩余类环、多项式环、理想、商环、同态及同构等。
域方面介绍域的基本定理、基本性质。
先修课程为高等代数等课程。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.深刻理解群(半群、子群)、环(子环、理想)、域等基本概念；熟练掌握一些群(循环群、置换群、变换群、一般线性群等)，环(整环、除环、模n剩余类环、多项式环等)，域(有理分式域等)的概念以及相关概念(运算与运算律、等价关系与集合的分类、群的同态与同构、环的同态与同构、正规子群与商群、理想与商环、环的特征、单位群等)。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3】2.准确计算群、环、域中零元及单位元、元素的逆、元素的阶，环中的可逆元和零因子；正确写出子群的陪集，商群、商环中的元素表达式；精确确定循环群的生成元及子群、模n剩余类环的子环和理想、代数元的极小多项式等。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】3.熟练应用群的同构对阶数较小的群进行同构分类；熟练应用群(环、域)的有关结果(凯莱定理、同态基本定理、同构定理等)证明群(环、域)中的有关结论。
【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、7.1】4.了解抽象代数发展的历史脉络以及它与一些著名的初等代数、古典数论等问题之间的联系，熟练掌握抽象代数独特的处理问题的思想方法，能够把这种思想方法运用到中学数学教学之中；具备团队合作精神和一定的创新能力。
离散数学代数结构环与域习题及答案
§4.6 环与域习题4.61．设。
证明关于复数地加法与乘法构成环,称为高斯整数环。
证明:（1） A 任意二个元素a+bi 与 c+di,都有（a+bi ）+（c+di ）=a+c +(b+d ) i 仍属于A,满足封闭性要求。
（2）+满足结合律。
（3）有单位元0。
（4）每个元素a+bi 都有逆元-a-bi（5）+满足交换律。
所以<A,+>是交换群。
（6）（a+bi ）×（c+di ）=ac-bd +(ad+bc ) i 仍属于A（（a+bi ）×（c+di ））×（w+ti ）=( ac-bd )w-(ad+bc )t+(( ac-bd )t+(ad+bc )w) i= acw -bdw -adt-bc t+(act-bd t+adw+bc w) i而（a+bi ）×（（c+di ））×（w+ti ）=（a+bi ）×（cw-dt+(ct+dw)i ）= acw -bdw -adt-bc t+(act-bd t+adw+bc w) i所以<A, ×>是半群。
（7）二个运算满足分配律。
综上所述,关于复数地加法与乘法构成环。
2．设为实数,称为实数域上地次多项式,令。
证明关于多项式地加法与乘法构成环,称为实数域上地多项式环。
证明:（1） 任意地二个多项式（a 0+a 1x+a 2x 2+….+a n x n ）+（b 0+b 1x+b 2x 2+….+b n x n ） = a 0+ b 0+( a 1+ b 1)x+….+ ( a m + b m )x m +….+ a n x n 仍然属于A,满足封闭性要求。
（2） 加法满足结合律与交换律。
（3） 有单位无0。
}1|{2-=∈+=i Z b a bi a A ，，A A n n n a a a x a x a x a a x f ，，，， 212210)(++++=)(x f n })(|)({N n x f x f A n ∈=，次多项式为实数域上的A（4） 每个多顶式a 0+a 1x+a 2x 2+….+a n x n 都有逆元-a 0-a 1x-a 2x 2-….-a n x n 所以关于多项式地加法是交换群。
第四章环与域
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为，⊕，又R对作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(0Q y x y x对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法：定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)．定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环．定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
离散数学环与域详解
设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，·〉中有逆 元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，·〉 中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a -1表示． 有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群 （？），该群记为A*，并称为环A的乘法群.
§6.2
整环、除环和域
(1)
6.2.1 零因子 设 <A,,*> 是环，如果存在 a,bA，
am+n = am+an = (m+n)a;
amn = (am)n = n(ma)。
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
①a*e=e*a=e
(0*a=a*0=0)
<Z,+, > , +单位元0，是 的零元
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
6.1.2 环的性质
（2）假设 e 是<A,+>的单位元，对a,b,cA有：
③ a-1 * b-1 = a * b
例<Z,+, > , +单位元0，是的零元
2-1 3-1 = 2 3 =6
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(4)
<e,e>记为e, <e,a>记为a, <a,e>记为b, <a,a>记为c,
2019/1/15
<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};
“.”运算定义如下，则<K,*，.>是环。
高等代数：数环与数域
复数域是最大的数域, 它是任何数域的一个扩域.
数环的性质证明
证明：1)数环必包含0; 2)如果一个数环包含有不等于
0的数, 则它必含有无穷个数.
证：1)设S为任意数环,
由数环非空知, 至少有某数a∈S,
又由数环的概念有a-a=0∈S.
2)由1)有a+a=2a∈S, a+2a=3a∈S, …, a+(n-1)a=na∈S,
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
(3)数域必包含1, 数环则不一定.
联系：数域一定是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
2)问：K1∪K2也是数域吗？为什么？
1)证：∵Q⊆K1∩K2, ∴K1∩K2包含非零的数,
任取a, b∈K1∩K2, 则a, b∈K1, 且a, b∈K2,
∴a-b∈K1, 且a-b∈K2, ∴a-b∈K1∩K2;
第四章 环与域
∀0 ≠ x ∈ R, x −1存在.即R \ {0}为乘法群 .
问：在一个环里，会不会每一个元都有逆元？ 例2 R={a},加法和乘法是：a+a=a, aa=a.
R是一个环，且R的惟一元a有一个逆元，就是a本身. 例3 如果环R至少有两个元，则R的零元0一定不可逆.
(∃a ∈ R, 且a ≠ 0, 则0a = 0 ≠ a, 说明0不是R的单位元； 另外，∀b ∈ R, 有0b = 0)
4.2 环的零因子和特征
一、环的零因子 二、环的特征
一、环的零因子
定义：设a≠0是环R的一个元素,如果在R中存在元素 b≠0, 使ab=0, 则称a是环R的一个左零因子. 同样可以定义右零因子. 左或右零因子统称为零因子. 不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正则元. 注: (1) 如果环R有左零因子,则它一定有右零因子, 反之亦然; (2)环中一个元素如果是左零因子，则它不一定是 右零因子．
有 0 + a = a + 0 = a , a + ( − a ) = − a + a = 0.
如果把 a + ( − b )简记为 a − b，在加群中就有减法运 算， 它是加法运算的逆运算 .
4、在加群中以下运算成立：
− a + a = a − a = 0, − ( − a ) = a , a + c = b ⇔ c = b − a,
——环R上的n阶全阵环 定理2 设R是一个有单位元的交换环，则R上n阶全阵环
Rn×n的方阵A在Rn×n中可逆的充要条件是， A的行列式 A 在R中可逆.
六、循环环及表示 一个环R关于其加法作成一个加群，用(R,+)表示，并 称其为环R的加群； 如果加群(R,+)是一个循环群，则称R为一个循环环. 表示: (1) 如果 ( R ,+ ) =< a > , 则循环环可表示为
模n剩余类环
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2020/7/10
08:42
例 1 Z12
解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
直接计算可知,相应的逆元为
[1]1 [1],[5]1 [5],[7]1 [7],[11]1 [11]
为其一同态满射，则在之下单位元的象是单位元，
～
即1 1，从而对任意的整数x有
~
~～
：x x 特别有0＝m m 0.故n m
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08:42
定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环. 注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构.
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
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定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于 整数b，是指
m∣a－b, 并写a≡b (mod m).
整数模m同余类共有m个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
后证明分配律成立
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08:42
2. 剩余类环的性质
定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则
(1) [a] 为 Zm 的零因子 (a, m) 1 (2) [a] 为Zm 的可逆元 (a, m) 1
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第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为ο，⊕，又R对ο作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对ο满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
本章§8定理1：设P 是交换环R 的一个理想．则P 是R 的素理想⇔R ／P 是整环．这样看起来本定理表述显得干净利索．但若整环按定义2(或定义3、4)要求，那么以上定理表述就需变动．究竟要怎样变动，作为练习请读者自己给出． 。
’三、习题4．2解答 １．２．３．４．５．６．７．设R是一个无零因子的环．证明：若R偶数，则R的特征必为2．８．证明：P—环无非零幂零元．§4.3 除环和域一、主要内容1．除环和域的定义及例子．四元数除环．2．有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元．3．有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子．有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单位群．除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环Z的乘群为Z﹡＝｛１，－１｝；数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对乘法作成的群；Gaus s整环的乘群为U(Z[i]) ＝｛１，－１，i－i，｝．二、释疑解难1．阶大于l的有限环可分为两类：”1) 一类是有零因子的有限环．例如，有限集M(M＞1)上的幂集环P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面§５所讲的以合数n为模的剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环．2) 另一类就是无零因子的有限环．实际上根据本节推论和魏得邦定理可知，这种有限环就是有限域．例如，以素数p为模的剩余类环Z p以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形．这就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域．与群定义中要求两个方程ax＝b与ya＝b都有解不同,这里仅要求方程ax＝b或y a＝b (∀0≠a,b∈R)中有一个在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环．如果利用方程ya＝b在R中有解，则将得到R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环．3．关于有单位元环的单位群．设R是阶大于l的有单位元的环．则显然R是除环⇔R的单位群是R－｛０｝；R是域⇔ R－｛０｝是交换群．显然，除环或域有“最大’’的单位群．又显然幂集环P(M)的单位群只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的单位群．三、习题4．3解答1．证略．2．证略．3．证明：域和其子域有相同的单位元．F有相同单位元直接得出) 即F与F1有相同的单位元．(也可由F﹡与14．5．6．§4 环的同态与同构一、主要内容1．环的同态映射和同构映射的定义和例子2．环同态映射的简单性质．设ϕ是环R到环豆R的同态满射，则1) ϕ(0)是R的零元，ϕ(－a)＝－ϕ(a) (∀a∈R) ；2)当R是交换环时，R也是交换环；3)当R有单位元时，R也有；并且R的单位元的象是R的单位元．3．在环同态映射下，是否有零因子不会传递．即若环R~R，则当R有零因子时，R可能没有，当R无零因子时，R却可能有．二、释疑解难1．在§1已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺序．同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘法．即ϕ(a＋b)＝ϕ(a)＋ϕ(b)，ϕ(ab)＝ϕ(a)ϕ(b)．第一式中等号左边的加号“＋”是环R的加法，而等号右边的加号“＋”是环R的代数运算．二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事．对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述．2．由于零因子在环同态映射下不具有传递性，因此，若环R~R，则当R为整环时，R 不一定是整环；又当R不是整环时，R却可能是整环．教材中的例1和例2说明了这一点．3．关于环的挖补定理，三、习题4．4解答1. 证略．2.3.4.5.6.7.§4．5模n剩余类环一、主要内容2．循环环定义、例子和简单性质．’1) 整数环及其子环以及剩余类环及其子环都是循环环．而且在同构意义下这也是全部的循环环．2) 循环环是交换环，但不一定有单位元．而且这种环的子加群同子环、理想三者是一回事．因此，n阶循环环有且只有T(n)(n的正因数个数)个子环(理想)．二、释疑解难1．剩余类环是一类很重要的有限环，因为这种环是一种具体的环，特别是它的特征、子环(理想)、零因子、可逆元和单位群等都很清楚．因此，在环的讨论里常常以它作为例子来加以利用，并说明问题．2．整数环的任二不同的非零子环，作为加群，它们显然是同构的(因为它们都是无限循环群)．但是，作为环，它们并不同构．因为，例如设因此，S与T不能同构．3．剩余类环Z n中任二不同的子环也不能同构．事实上，Z n的任二不同阶的子环当然不能同构．又设置为Z n的任意k阶子环，则k n．但由于(Z n，＋)是n阶循环群，从而对n的每个正因数k，(Z n，＋)有且只有一个k阶子群，于是环Z n有且仅有一个k阶子环．因此，Z n的任二不同的于环当然不同构．4．但是，有有限环存在，其有二不同子环是同构的．例如：令R是Z2上的2阶全阵环，则R＝16，且易知都是R的4阶子环，而且易知R1还是一个域．但是，R2无单位元(且不可换，又非零元都是零因子)，因此，R1与R2不能同构．此外易知：也都是环R的4阶子环，而且R1，R2，R3，R4都是互不同构的．对此不再详述，兹留给读者作为练习．有文献已经证明，互不同构的4阶环共有11个．对此不再赘述．三、习题4．5解答1.证明：同余类的乘法是Z n的一个代数运算．2. 试指出环Z8中的可逆元和零因子，再给出它的所有子环．3. 试给出Z10的所有子环，并指出它们各自的特征．4.5.6.7. 证明：整数环的不同子环不同构，证：见上面“释疑解难”部分中的2．8.§4．９环与域上的多项式环一、主要内容1．有单位元环R上多项式环R[x]的性质．1) R[x]是整环⇔R是整环．2) R[x]中多项式的除法——左、右商及左、右余式．2．域F上多项式的根．1) F上n次多项式在扩域内根的个数≤n；2) F上多项式f(x)在扩域内无重根⇔(f(x)，f'(x))＝1．二、释疑解难1．本节均假定环R有单位元，但并未假定R可换．因此，在对R上的多项式在进行除法时，必须分左、右商和左、右余式．从本节习题中可知，一般说左右商不一定相等，左右余式也不一定相等．当然，如果R是交换环，它们则分别相等，就不必再分左与右了．2．域上多项式的根的状况同我们所熟知的数域上多项式的情况一致．但是，环上多项式根的状况，由例子可知，就很不一样．例如，环R上一个n次多项式在R内可能无根(这种情况并不奇怪，因为例如有理数域上多项式在有理数域内也不一定有根)，也可能有多于n个的根(这种情况在数域或域上多项式不会发生)．不过，教材中除下一章惟一分解整环的多项式扩张外．主要用到场上的多项式．例如教材第六章中的最小多项式和多项式的分裂域就属于这种情况．三、习题4．9解答1.2.3. 解经验算得知，f(x)在Z5上无根．4.5.6.§４．6 理想一、主要内容1．左、右理想、理想的定义和例子．2．单环的定义以及单环的一个重要性质．设环R有单位元，则R上全阵环R n×n的理想都是R中某个理想上的全阵环．由此可知：R n×n是单环 R是单环．特别，除环和域上的全阵环都是单环．3．由环中元素山a１，a２，…，a m生成的理想〈a１，a２，…，a m〉．特别，由一个元素a 生成的主理想〈a〉．在一般情况下，主理想〈a〉中元素的表达形式．在特殊环(交换环和有单位元的环)中〈a〉的元素表达形式如下：1) 在有单位元的环R中：4．理想的和与积仍为理想．二、释疑解难1．关于理想的乘法．我们知道，如果A，B是群G的二子集或(正规)子群，则A与B的乘积是如下规定的：AB＝｛ab a∈A,，b∈B｝．但当A，B是环R的理想时，如果仍按以上规定相乘，则一般而言其乘积AB不再是理想．由于这个原因，环中理想的乘法规定为AB＝｛有限和∑i i b a a i∈A,，b i∈B｝．2．对任意环R，则R至少有平凡理想｛０｝和R．通常把R本身叫做R的单位理想，这是由于以下原因：对R的任意理想N，显然都有RN⊆N，NR⊆N．但当R有单位元时，则显然又有RN⊆N， NR⊆N．从而有RN＝NR＝N．这就是说，此时R在理想乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用．3．设R为任意环，a∈R．则易知r∈｝N＝｛ra R是R的一个左理想．若R是交换环，则当然．但是应注意，由于R不一定有单位元，故不一定有a∈N．从而也不能说N是由a生成的理想．例１设R为偶数环，a＝4，则三、习题4．6解答1. 证略．2. 证 1) 略．2) 由于3.4. 证参考上面“释疑解难”部分3．5.8. 8．证明：§4中例3中的环F N，当N为降秩方阵时，不是单环．§4.7商环与环同态基本定理一、主要内容1．设，则所有(关于加法的)陪集x十N(∀x∈R)对于陪集的加法与乘法(a＋N)十(b＋N)＝(a＋b)＋N，(a＋N)(b＋N)＝ab＋N作成一个环，称为R关于理想N的商环，记为R／N．即在同构意义下，任何环能而且只能与其商环同态．此称为环同态基本定理或环的第一同构定理．二、释疑解难1．环同态基本定理有的书包括：但有的书不包括这一结论,而只指出：R~R，N为核⇒R／N≅R．也有书称此为“环的第一同态定理”或“环的第一同构定理”．甚至也有的书虽有此定理，但却未给予任何名称．不过多数的书均明示“环同态基本定理”且指出“R~R，N为核⇒R／N≅R”．当然，这些问题是非本质的，只是在看参考书时留意其差异即可．3．环的第三同构定理与群的第三同构定理也基本类似，只是其中有一部分转移到本节习题中去了．以上环的三个同构定理，从叙述(条件和结论)和证明方法应多与群的三个同构定理作比较，这样不仅可以加深理解而且可以增强记忆．三、习题4．7解答1.2.3.4.故h＋n∈K，H＋N K．因此K＝H十N，即H的象为(H＋N)∕N．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。