14级高一数学下期期中5月(优班)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。
浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题含答案
浙江培优联盟2024年5月联考高一数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册第8章。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3M =-，{12}N xx =-≤<∣，则M N = （）A ．{}1,0-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-2．已知复数z 满足()22i i z =-，则z 的虚部是（）A B C ．2D ．2-3．已知角α的终边经过点()1,1P --，则cos α=（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．14．正方体的平面展开图如图所示，AB ，CD ，EF ，GH 为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．在ABC △中，6B π=，则“BC =”是“3A π=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()22,0,lg ,0,x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()()3g x f x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()sin cos 0f x x x λλ=+>在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则λ的取值范围是（）A ．03λ<<B ．3λ>C ．13λ<<D ．1λ<<8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==．若球O 的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（）A ．2+B ．C ．3+D ．3+二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点M 在线段11B D （不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线OM 异面的是（）A ．11BC B ．1A B C ．1CD D ．1A A10．已知函数()cos cos2f x x x x =-，则（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上只有1个零点C ．()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．直线56x π=为()f x 图象的一条对称轴11．如图，设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当xOy θ∠=时，定义平面坐标系xOy 为θ的斜坐标系．在θ的斜坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：设1e ，2e 是分别与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量，若12OP xe ye =+，则记(),OP x y =．下列结论正确的是（）A ．设(),a m n = ，(),b s t =，若a b ⊥ ，则0mn st +=B ．设(),a m n = ，(),b s t =，若a b ，则0mt ns -=C ．设(),a m n = ，则a =D ．设()2,1a =- ，()1,2b =- ，若a 与b 的夹角为23π，则3πθ=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数113i z =+，232i z =+，则12z z -在复平面内对应的点位于第________象限．13．已知函数()34f x ax bx =++，若()20242f -=，则()2024f =________．14．如图，点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，直线AP 与平面ABCD 所成的角为60，则点P 的轨迹长度为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-．（1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]2,2-上的值域．16．（15分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点M 为边BC 的中点，点N 在边CD 上．（1）若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM AN ⋅的值；（2）求AM AN ⋅的取值范围．17．（15分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin a c A =．（1）求C 的值；（2）若3c =，且ABC △是锐角三角形，求ABC △面积S 的最大值．18．（17分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为1AD ，1CD 的中点．（1）证明：EF 平面ABCD ．（2）求异面直线EF 与1BC 所成角的大小．（3）求直线BD 与平面1D EF 所成角的正切值．19．（17分）当0a >且1a ≠时，()log log log a a a m n m n ⨯=+对一切0m >，0n >恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式()222log 11log 1log 1⨯=⨯，带着好奇，他进一步对()222log log log m n m n ⨯=⨯进行深入研究．（1）若正数m ，n 满足()222log log log m n m n ⨯=⨯，当8m =时，求n 的值；（2）除整数对()1,1，请再举出一个整数对(),m n 满足()222log log log m n m n ⨯=⨯；（3）证明：当1m >时，只有一对正整数对(),m n 使得等式()222log log log m n m n ⨯=⨯成立．浙江培优联盟2024年5月联考高一数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678CCABBCBC1．解：{}{}1,0,1,2,3{12}1,0,1M N xx =--≤<=- ∣，选C ．2．解：由题意得()22i i 2i 2z =-=+，选C ．3．解：由题意知2cos2α=-，选A ．4．解：将展开图合成一个正方体，易知AB与CD 垂直，EF 与GH 垂直，故有2对，选B ．5．解：因为BC =，所以sin A B =，又6B π=，所以3sin 2A =，3A π=或23π，故选B ．6．解：()()3g xf x =-的零点个数转化为()f x 和函数3y =的图象交点个数，它们的函数图象如图所示，故选C ．7．解：()sin cos f x xx x x λ⎫=+=⎪⎭，令sin ϕ=，cos ϕ=，tan ϕλ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为03x π<<，3x πϕϕϕ<+<+，要使()f x 存在最大值，只需32ππϕ+>，即6πϕ>，所以tan 3ϕλ=>，选B ．8．解：设BC ，11B C 的中点分别为M ，1M ，连接1MM ，取1MM 的中点O ．因为三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，1AB AC ==，所以AB AC ⊥，1111A B A C ⊥，11MM AA ，M ，1M 分别是Rt ABC △，111Rt A B C △的外接圆圆心．连接OB ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以1MM ⊥平面ABC ，所以O 为111ABC A B C -的外接球的球心．连接OB ，因为球O 的表面积为4π，所以球O 的半径为1，即1OB =，所以2OM =，所以(11111121132ABC A B C S -=⨯⨯⨯+++⨯=+，选C ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABCABDBD9．解：如图，由题意易知OM 在平面11BB D D 上，结合答案图分析，易知选ABC ．10．解：()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有1个零点，故B 正确；当,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()f x 不能保证单调递增，故C 错误；当56x π=时，3262x ππ-=，故D 正确．11．解：若a b ⊥ ，则()()()1212cos 0me ne se te ms nt mt ns θ+⋅+=+++= ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 错误；若a b ，则0mt ns -=，故B 正确；a == ，(0,2πθ⎫∈⎪⎭，故C 错误；cos ,a a b a b b ⋅=，即12122212e e e e θ-⋅-+--++-=，解得1cos 2θ=，所以3πθ=，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二解：122i z z -=-+，所以在复平面内对应的点为()2,1-，在第二象限．13．6解：令()3g x ax bx =+，显然可得()g x 为奇函数，则()20242g -=-，所以()20242g =，所以()20246f =．14．36+解：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为60，所以点P 的轨迹在以A 为顶点，底面圆的半径为3，高为1的圆雉的侧面上，又因为点P 是正方体1111ABCD A B CD -表面上的一个动点，所以点P 的轨迹如图所示，则点P的轨迹长为124336π⨯⨯=+．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵当0x >时，()21xf x =-，∴当0x <时，0x ->，()21xf x --=-，…………………………………………2分∴()()()2121xx f x f x --=--=--=-+．…………………………………………5分（2）∵当(]0,2x ∈时，()21xf x =-单调递增，∴()(]0,3f x ∈．……………………7分由奇函数性质可得，当[)2,0x ∈-时，()[)3,0f x ∈-．………………………………9分又()00f =，……………………………………………………11分∴()f x 在[]2,2-上的值域为[]3,3-．…………………………………………13分16．解：（1）∵12AM AB BM AB AD =+=+，………………………………2分13AN AD DN AD AB =+=+，…………………………………………4分∴1123AM AN AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221122323AB AD =+=．…………………………………………7分（2）设[],0,1DN DC λλ=∈，…………………………………………9分∴AN AD DN AD AB λ=+=+，…………………………………………11分∴()12AM AN AB AD AD ABλ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭2211622AB AD λλ=+=+ ，…………………………………………13分∴[]2,18AM AN ⋅∈．…………………………………………15分17．解：（12sin c A =2sin sin A C A =，………………………………2分∴sin 2C =，即3C π=或23π．…………………………………………6分（写出一个给2分）（2）∵ABC △是锐角三角形，∴3C π=，3c =，…………………………………………7分则222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，…………………………………………9分又2222c a b ab ab ab =+-≥-，∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时，等号成立．………………12分∵13sin 24S ab C ab ==，∴max 4S =．…………………………………………15分18．（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，∵E ，F 分别为1AD ，1CD 的中点，∴EFAC ．…………………………………………2分∵AC ⊂平面ABCD ，且EF ⊄平面ABCD ，∴EF平面ABCD ．…………………………………………4分（2）解：∵EFAC 且11BC AD ，∴EF 与1BC 所成角的大小等于1D AC ∠．…………………………………………6分∵11AC AD CD ==，∴160D AC ∠=，即EF 与1BC 所成角的大小为60．………………………………8分（3）解：连接1D O ，过D 作1DG D O ⊥于点G ．∵1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，又BD AC ⊥且1DD BD D = ，∴AC ⊥平面1D DO ．…………………………………………10分∵DG ⊂平面1D DO ，∴DG AC ⊥，又1DG D O ⊥，且1AC D O O = ，∴DG ⊥平面1ACD ，…………………………………………13分∴直线BD 与平面1D EF 所成角的大小等于1DOD ∠．………………………………15分∵正方体的边长为1，∴11DD =，22DO =，∴11tan DD DOD DO∠==．…………………………………………17分19．（1）解：∵()2222log 8log 8log 3log n n n =⨯=，∴222log 8log 3log n n +=，即22log 3n =，∴322n ==4分（2）解：()()222log 44log 4log 44,4⨯=⨯⇒．………………………………6分（3）证明：∵()222log log log m n m n ⨯=⨯，∴2222log log log log m n m n +=⨯，且*,m n ∈N ．当2m =时，221log log n n +=，显然无解．…………………………………………8分当3m =时，2222log 3log log 3log n n +=⨯，可得22322log 3log log 3log 31n ==-，无正整数解，同理，当2n =和3n =时，m 也无正整数解．…………………………………………11分当4m ≥，4n ≥时，2222log 1log 1log 1log 1m n m m ==+--，………………………………13分∵2log 2m ≥，∴由复合函数单调性可得(]2111,2log 1m +∈-，……………………15分又∵2log 2n ≥，∴当且仅当4m n ==时，原等式成立．……………………17分。
内蒙古呼和浩特市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
内蒙古呼和浩特市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．在ABC V 中，B 为钝角，则点()cos ,tan P A B （ ） A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限2．已知角α的终边在函数2y x =的图象上，则212sin cos 3cos ααα--的值为（ ） A ．25-B ．25±C ．2-D ．2±3．如图，在平面直角坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan sin cos ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH4．在平行四边形ABCD 中，G 为ABC V 的重心，满足(),R AG xAB y AD x y =+∈u u u r u u u r u u u r，则x y +=（ ）A ．43B ．53C ．1D ．1-5．“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12- C ．12D 7．已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19- D ．79-8．将函数()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 所具有的性质是（ ） A ．图象关于直线π3x =对称B ．曲线()g x 与直线y =π6C ．()g x 的一个单调递增区间为5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称二、多选题9．下列化简结果正确的是（ ）A ．sin105︒=B ．tan 24tan 361tan 24tan 36︒+︒=-︒︒C ．ππsin 1212D ．1cos 22sin 52sin 22cos522︒︒-︒︒=-10．下列选项正确的是（ ）A ．若一扇形弧长为2，圆心角为60︒，则该扇形的面积为6πB ．πrad 1512=︒C ．经过4小时，时针转了120-︒D ．7πsin05> 11．已知向量()()cos ,sin ,3,4a b θθ==-r r，则（ ）A ．若//a b r r ，则4tan 3θ=- B ．若a b ⊥r r ，则3sin 5θ=C ．a b -r r 的最大值为5D ．若()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -=r r三、填空题12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弦长为.13．已知函数()cos 0y x x ωωω=+>在区间()0,π上有且仅有两个零点，则ω的最大值是14．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆E （正方形ABCD内部，含边界），则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为.四、解答题 15．已知函数()()()()()sin 2πcos πtan 2π9πsin tan π2f αααααα-+-=⎛⎫+- ⎪⎝⎭(1)化简()f α；(2)若()15f α=-，求cos α､tan α的值；(3)若πππ1,,6363f αα⎛⎫⎛⎫∈-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2π5πcos 2cos 36αα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 16．已知向量()1,2a =r ，(),4b x =r ，()4,=-rc x .(1)若向量a r 与b r 共线．求a r 与c b -rr 的夹角；(2)若a r 与c r夹角为锐角，求x 的取值范围； (3)求与a r垂直的单位向量的坐标；(4)若向量a r 与b r 共线，a r 在c r方向上的投影向量的坐标；(5)若向量a r 与b r共线，()+=r r a tc t 的值．17．已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.18．已知函数()()sin 002x A x f πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图像向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递增区间；（3）当5212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最值.19．已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .(1)判断函数()2f x x =，()cos g x x =是否具有性质P ，并说明理由；(2)已知函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？若存在，请求出,ωϕ的值；若不存在，请说明理由.。
2021-2022学年高一5月月考数学下学期期中试题
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.,25,中，52是它的( )A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项 2.已知数列的一个通项公式为,23)1(11-++-=n n n n a 则5a = ( ) A.21 B.－21C.329D.－329 3. 在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为( ) A. B A > B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4．设集合2{|230}M x x x =--<，2{|log 0}N x x =<，则M N 等于（ ）A ．()1,0-B ．()1,3-C ．()0,1D ．()0,35.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 636.设n S 是等差{}n a 数列的前n 项和，若95917a a =，则179SS 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ．127. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于 ( ) A ．1:2:3 B ．3:2:1 C．2 D．28.若不等式220ax bx +-＞的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-412x x 则a ，b 的值分别是( )A ．10,8-=-=b aB ．9,1=-=b aC ．2,1=-=b aD ．9,4-=-=b a9. 在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积是( )A. 24B. 4C. 22D. 210.在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 ( ) A ． 3πB ．6πC ．32π D ．3π或32π 11.在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形12．要使关于x 的方程22()120x a x a +--=+的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是（）A ．11a -<<B ．1a <-或1a >C ．21a -<<D ．2a <-或1a >第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .14．已知x 、y 满足条件040328x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，则25z x y =+的最大值为________．15.设数列{}n a 为等比数列，公比2q =，则2474693535a a a a a a ++++的值为.16.在大海上一高为300米小岛A 上，看到正东方向一船B 的俯角为30°，同时看到正南方向一小船C 的俯角为45°，则此时两小船的距离为米.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.）17．（本题满分10分）（1）求不等式：322-<+-x x 的解集. （2）比较：的大小与 10275++.18. (本题满分12分)已知等差数列{}n a 满足466,10a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若95,33 a b a b ==，求n T ．19．(本题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．20．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C ．（1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．21. (本题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若点（,n n S ）在函数()22f x x x =+上. （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．(本题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.）（13）13（ 14） 19 （15） 1/4 （16） 600三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.）17．（本题满分10分） 【解析】（1）∵322-<+-x x ∴2230x x -->因式分解得：()230x x (+1)-> 解得：1x <-或32x >∴原不等式的解集为{x <-1或32x ⎫>⎬⎭（2）∵25712=+=+221012=+=+>22>又∵0>0>∴>18. (本题满分12分)【解析】（1）设等差数列{},n a d 的公差为首项为a ，146136,6,10,510.a d a a a d +=⎧==∴⎨+=⎩………3分解得10,2,a d =⎧⎨=⎩ {}22)1(a a 1n n -=-+=∴n d n a 的通项公式数列………6分（2）设各项均为正数的等比数列的公比为(0)q q >3933953522416416n a n a a a b a b b b =-∴====∴==即2141416b q b q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得121q b =⎧⎨=⎩或121q b =-⎧⎨=⎩舍去1(1)1(12)21112n n n n b q T q --∴===---19．(本题满分12分)【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B<π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =20．(本题满分12分)【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bc ．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一由（1）得sin2A ＝sin2B ＋sin2C ＋sin Bsin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ．∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°．所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B)11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形． 21. (本题满分12分)【解析】（1）∵点(),n n S 在函数()22f x x x =+上∴22n S n n =+ 当1n =时，113a S ==当2n ≥时，()()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦显然1n =时，上式也成立21n a n ∴=+（2）()21121222nn n n n a n b n +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭∵()1231111357212222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()2341111113572122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②得：()12341111111132222212222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴∴()12341111111421222222nnn T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11112214211212n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 415(21)22n nn =--+ 15(25)2n n =-+22．（本题满分12分）【解析】设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：943604520031030000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，作出可行域如图．利润目标函数612z x y =+，由几何意义知，当直线l ：612z x y =+经过可行域上的点M 时，612z x y =+取最大值．解方程组31030045200x y x y +=⎧⎨+=⎩，得20x =，24y =，即()20,24M ．答：生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。
十四中学年高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年福建省莆田二十四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：1．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D． A=B=C考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．解答：解：∵A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，∴B∪C={小于90°的角}=C，即B⊂C，B⊂A，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，故选A点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．2．（3分）（2012秋•马鞍山期末）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A． B．﹣C．D．﹣考点：弧度制的应用．专题：计算题．分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．解答：解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨快是逆时针旋转∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为故选C．点评：本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．3．（3分）（2011•宜宾一模）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B． 2 C． D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．4．（3分）（2014•芦淞区校级学业考试）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且和共线，则实数m的值等于（）A．2或﹣B．C．﹣2或D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m），即2m+1=2λ，且3=λm，解方程求得 m 的值．解答：解：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m）=（2λ，λm），∴2m+1=2λ，3=λm．解得 m=﹣2 或．故选C．点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列各式不能化为的是（）A．+﹣B．（+）+C．（+）+（+）D．﹣++考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的多边形法则即可得出．解答：解：A.=，因此不能化为；B.=，因此能化为；C．（+）+（+）==，因此能化为；D.==，因此能化为．综上可得：只有A不能化为．故选：A．点评：本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．6．（3分）（2012•自贡三模）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．7．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则+值等于（）A．﹣25 B．﹣20 C．25 D．﹣10考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知的三边关系可以得到三角形是直角三角形，利用数量积公式化简所求即可．解答：解：由已知|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，所以|AB|2+|BC|2=|CA|2，所以AB⊥BC，并且cosA=，cosC=，所以+=0+4×5×（﹣）+5×3×（﹣）=﹣25；故选；A．点评：本题考查了三角形三边对于向量的数量积计算；关键是熟练数量积公式；特别注意：向量的夹角与三角形内角的关系．8．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知=（﹣5，3），=（﹣1，2）且λ与2+互相垂直，则实数λ的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到λ与2+坐标，因为它们垂直，得到数量积为0，由此解关于λ的方程即可．解答：解：因为=（﹣5，3），=（﹣1，2），所以λ=（﹣5λ﹣1，3λ+2），2+=（﹣7，7），又λ与2+互相垂直，则（λ）•（2+）=0，所以﹣7（﹣5λ﹣1）+7（3λ+2）=0，解得λ=﹣；故选B．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．9．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．解答：解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．10．（3分）（2013春•苍山县期末）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性．分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．11．（3分）（2012•贵州校级模拟）函数是（）A．上是增函数B． [0，π]上是减函数C．[﹣π，0]上是减函数D． [﹣π，π]上是减函数考点：余弦函数的单调性；诱导公式的作用．分析：根据x的范围，确定x+的范围，然后根据正弦函数的单调性确定在相应的区间上的增减性．解答：解：A.在先增后减；B．当x∈[0，π]时，x+，为减函数，正确．C．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．D．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．故选B．点评：本题考查了三角函数的单调性，属于基础题型，应该熟练掌握．12．（3分）（2014春•雅安期末）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D． 10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．二、填空题：13．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），则的坐标为（）．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件，列出向量关系，即可求出的坐标．解答：解：平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），可得==（）==（）．的坐标为：（）．故答案为：（）．点评：本题考查向量共线的充要条件的运用，考查计算能力．14．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则其解析式为y=2sin（2x+）+2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ，即可得解．解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=4，|A|﹣B=0，、∵A＞0，∴A=2，B=2，函数的周期为（﹣）×4=π，又∵ω＞0，∴ω=2，当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴解析式为：y=2sin（2x+）+2．故答案为：y=2sin（2x+）+2．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．15．（3分）（2011春•日照校级期末）函数的最小值是cos．考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由≤x≤，可得≤x﹣≤，从而根据余弦函数的单调性得到 y=cos （x﹣）的最小值．解答：解：∵≤x≤，∴≤x﹣≤，∴y=cos（x﹣）在区间[，]上单调递减，故函数y的最小值等于cos，故答案为：cos．点评：本题考查余弦函数的定义域、单调性和值域，求出≤x﹣≤，是解题的关键，属于基础题．16．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列命题中：（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；（2）如果、均为非零向量，则|+|与||+||一定相等；（3）x=2时，向量=（x，1），=（4，x）共线且方向相同；（4）≠，，则其中假命题是（2）（4）．考点：平面向量数量积的运算；向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的基本概念和相关运算对四个命题分别分析解答．解答：解：对于（1），如果非零向量与的方向相同或相反，根据向量加法的几何意义，那么的方向必与、之一的方向相同；故正确；对于（2），如果、均为非零向量，根据向量加法的几何意义，那么|+|≤||+||；故错误；对于（3），x=2时，向量=（x，1）=（2，1），=（4，x）=（4，2），所以它们共线且方向相同；故正确；对于（4），≠，，则=0，则或者与垂直；故错误；故答案为：（2）（4）．点评：本题考查了向量的基本概念、共线、数量积等基础知识．三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015春•莆田校级期中）已知，求sinα﹣cosα的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：由tanα的值及α的范围，根据正弦、余弦函数的图象得到sinα和cosα都小于0，然后利用同角三角形函数间的基本关系切化弦得到一个关于sinα和cosα的关系式，根据sinα和cosα的平方和等于1得到另一个关系式，两关系式联立得到一个方程组，求出方程组的解即可得到sinα和cosα的值，代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵，∴sinα＜0，cosα＜0，由，解得：，∴．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时会根据tanα的值及α的范围，判断得到sinα和cosα都小于0．18．（2014春•广丰县期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴==tanα=点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．19．（2015春•莆田校级期中）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：（1）（）•（+）（2）|2﹣|（3）与+的夹角．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知首先求出向量的数量积，（1）展开用向量的平方和数量积表示，代入数值计算；（2）先求其平方，展开，利用向量的平方和数量积计算数值，然后开方求模；（3）设与+的夹角为θ，利用数量积公式得到cosθ的值，从而求向量的夹角．解答：解：由题意可得||2=16，||2=4，且•=||||cos120°=﹣4，（1））（）•（+）==16﹣8+8=16；（2）|2﹣|2=4=64+16+4=84，所以|2﹣|=2；（3）设与+的夹角为θ，则cosθ==，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，与的夹角为30°．点评：本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法；关键是熟练掌握数量积公式，灵活运用．20．（12分）（2014春•嘉峪关期末）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．解答：解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．21．（2015春•莆田校级期中）已知y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，求函数y=﹣4asin（3bx+）的周期、最大值及取得最大值时x的值的集合．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质先求出a，b的值，即可得到结论．解答：解：∵b＞0，y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，∴，得a=，b=1，则函数y=﹣4asin（3bx+）=﹣2sin（3x+），则函数的周期T=，当sin（3x+）=﹣1，即3x+=﹣+2kπ，即x=﹣+，k∈Z时，函数y=﹣2sin（3x+）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=﹣+，k∈Z}．点评：本题主要考查三角函数的周期性，最值的性质，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．22．（2012秋•枣强县期末）已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）设M（x，y），我们由M是直线OP上一点，则，求出x与y的关系，进而求出的表达式，进而根据二次函数的性质可得M点的坐标，进而求出答案．（2）根据（1）中答案，代入向量夹角公式，可得答案．解答：解：（1）设M（x，y），则，由题意可知，又．所以x﹣2y=0即x=2y，所以M（2y，y），则，当y=2时，取得最小值，此时M（4，2），即．（2）∵．∴∠AMB的余弦值为点评：本题考查的知识点是平面向量夹角公式，共线向量，向量的夹角公式，是向量的综合应用，难度适中．。
2022-2023学年北京十四中高一(下)期中数学试卷及答案解析
2022-2023学年北京十四中高一（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A ．−23B ．23C ．−32D ．321．（4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ）A ．−12B ．12C ．−32D ．322．（4分）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=（ ）√√A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）若π2<α<π，则点Q （cosα，sinα）位于（ ）A ．8B ．-8C ．4D ．-44．（4分）若正方形ABCD 的边长为22，则CA •BA =（ ）√→→A ．-2π3或2π3B ．-π3或π3C ．-π3或2π3D ．-2π3或π35．（4分）设α∈（-π，π），且cosα=−12，则α=（ ）A ．π2cm 2B ．πcm 2C ．3π2cm 2D ．2πcm 26．（4分）若圆的半径为6cm ,则圆心角为π18的扇形面积是（ ）A ．|b |=3|a |B ．a ∥bC ．a 与b 的夹角为30°D ．a 在b 上的投影向量的模为1027．（4分）如果平面向量a =（2，1），b =（1，3），那么下列结论中正确的是（ ）→→→→→→→→→→√二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.A ．最小正周期是πB ．函数的定义域为{x |x ≠kπ+π6，k ∈Z }C ．图象关于点(π3，0)成中心对称D ．在区间(−5π6，π6)上单调递增8．（4分）下列关于函数y =tan (x +π3)的说法错误的是（ ）A ．[1，3]B ．[2，3]C ．[3，10]D ．[2，10]9．（4分）如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若AB =2，则|AC +MB |的取值范围是（ ）⌢→→√√√√A ．h =8cos π6t +10B ．h =−8cos π3t +10C ．h =−8sin π6t +10D ．h =−8cos π6t +1010．（4分）如图所示，一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周，最低点离地面2m ,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h （m ）与时间t （min ）之间的函数关系是（ ）11．（5分）sin 600°= ．12．（5分）已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a −b )•c = ；a •b =．→→→→→→→→13．（5分）已知|a |=4，|b |=3，|a +b |=13，则a 与b 的夹角为 ．→→→→√→→14．（5分）已知函数f (x )=sin (2x +φ)(|φ|<π2)，那么函数f （x ）的最小正周期是 ：若函数f （x ）在[π2，5π6]上具有单调性，且f (π2)=−f (5π6)，则φ= ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（5分）正△ABC 的边长为1，中心为点O ，过O 的动直线l 与边AB 、AC 分别相交于点M 、N ，AM =λAB ，AN =μAC ，BD =DC ，λμ≠0，给出下列四个结论：①AO =13AB +13AC ；②若AN =2NC ，则AD •NC =−14；③1λ+1μ不是定值，与直线l 的位置有关；④AM •AN 的最小值为29．其中所有正确结论的序号是 ．→→→→→→→→→→→→→→→16．已知f (α)=sin (π−α)cos (4π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且sin (α−π)=25，求f （α）的值．17．已知sinα=513，且α∈（π2，π）．（1）求tanα的值；（2）求cos 2α2sin (α+π4)的值．√18．已知向量a =(1，1)，b =(2，−3)．（1）求向量a ，b 的夹角的余弦值；→→→→（2）求|a −2b |；（3）当k 为何值时，k a −2b 与a +b 平行？平行时它们是同向还是反向？→→→→→→19．已知f (x )=(3sinx −3cosx )cosx +32．（1）求f （x ）的周期和单调递增区间；（2）若x ∈[0，π2]，求f （x ）的最大值和最小值．√20．如图所示，B ，C 两点是函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A >0，ω>0，|φ|<π）图象上相邻的两个最高点，且B 点的横坐标为π12，D 点为函数f （x ）图象与x 轴的一个交点(π3，0)．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的图象可以看作由y =Asinx 的图象如何变换得到；（Ⅲ）若BD ⊥CD ，求A的值．21．定义向量OM =(a ,b )的“相伴函数”为f （x ）=asinx +bcosx ,函数f （x ）=asinx +bcosx 的“相伴向量”为OM =(a ,b )，其中O 为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（Ⅰ）设函数f (x )=−2sin (x −π6)，求证：f （x ）∈S ；（Ⅱ）记向量ON =(1，2)的相伴函数为g （x ），当g （x ）=2且x ∈(0，π2)时，求sinx 的值；（Ⅲ）将（Ⅰ）中函数f （x ）的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到h （x ）的图象．已知A （-3，3），B （3，11），问在y =h （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ．若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．→→→→→。
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。
辽宁省协作校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题(解析版)
2023—2024学年度下学期期中考试高一试题数学考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题 共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. （ ）A.B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】本题先利用诱导公式进行化简，再利用两角和正弦公式，即可得到结果.详解】，故选：C.2. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( )A. y=1-2sin 2πxB. y=sinC.y=tanx D. y=sinπxcosπx【答案】D 【解析】【分析】对，利用二倍角余弦公式化简后判断；对直接判断奇偶性即可；对，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin 的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tanx 是奇函数，周期为2，不合题意；y=sinπxcosπx=sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【的sin 735cos 45sin105sin135︒︒+︒︒=12()()()sin 735cos 45sin105sin135sin 720+15cos 45sin 90+15sin 90+45︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒+=+()sin15cos 45cos15sin 45sin 1545sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+==π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭π2A B C D ()2πx π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭π212【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为.3. 已知，，且，则与的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据模长公式可得，即可由夹角公式求解.【详解】由题意，，，又，所以，．故选：B ．4. 在中，，，则“恰有一解”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理可得，利用一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类求解只有一个解时的范围，即可根据逻辑关系求解.【详解】由，得，方程 的判别式，①，解得．()cos y A x ωϕ=+2πω()sin y A x ωϕ=+2πω()tan y A x ωϕ=+πω()2,1a = 2b = a b ⊥ a b - a 3a b -=a == 2b = a b ⊥ 0a b ⋅= 3a b -=== ∴()2co s a b a a b a a b a a b a a b a -⋅-⋅-====-⨯-⨯,ABC cos B =2AC =AB m =ABC 02m <≤2240a m +-=ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2240a m +-=2240a m +-=2223244161699m m m ∆=-+=-22232441616099m m m ∆=-+=-=6m =±当时， 转化为，解得符合题意；当时 转化为，解得 不符合题意；②，且两根之积，可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时；③，且两根之积，解得，当时，，解得符合题意；当时，解得不符合题意；故若有一解，则或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件故选：B ．5. 英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的n 阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）A. 0.83 B. 0.46C. 1.54D. 2.54【答案】C 【解析】【分析】首先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用，即可求解.6m =2240a m +-=2320a -+=a =6m =-2240a m +-=2320a ++=a =-22232441616099m m m ∆=-+=->240m -<a ABC 02m <<22232441616099m m m ∆=-+=->240m -=2m =±2m =20a =a =2m =-20a +=a =ABC 02m <≤6m =ABC 02m <≤()f x 0x (),a b ()1n +(),x a b ∀∈()()()()()()()()()200000000!1!2!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+⋅⋅⋅ 00x =()()()()()()200000!1!2!!n n f f f f f x x x x n =+++⋅'⋅⋅+''+⋅⋅⋅()f x 0x =0!1=!123n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯sin x cos x e x ln x 357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋅⋅⋅246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅π112sin cos222⎛⎫+ ⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅【详解】，因为，所以，近似值为，所以的近似值为.故选：C6. 扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）A. B. 0C. D. -1【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，其中，，，故，，，，，，，的取值范围为,，故的最小值为；故选：A ．2π1112sin cos 2cos cos112222⎛⎫+==+⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅111cos11 (224720)=-+-+0.54π112sin cos 222⎛⎫+ ⎪⎝⎭1.54AOB 120AOB ∠=︒C AB CA CB ⋅12-32-(cos ,sin )C θθ1πsin()26CA CB θ⋅=-+ O OA x O OA y AOC θ∠=(cos ,sin )C θθ2π03θ≤≤(1,0)A 1(2B -(1cos ,sin )CA θθ=-- 1(cos 2CB θ=-- sin )θ-∴1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB θθθθ⋅=-+--+--111πcos sin()2226θθθ=--=-+2π03θ≤≤∴ππ5π666θ≤+≤∴1πsin()126θ≤+≤11πsin()0226θ∴-≤-+≤∴CA CB ⋅ 1[2-0]CA CB ⋅ 12-7. 2023年下半年开始，某市加快了推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为，基站A ，B 在江的北岸，测得，，，，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A. B. C. 40kmD. 【答案】D 【解析】【分析】利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可．【详解】在中，，，所以，即，得故．在中，．由正弦定理得，，解得，在中，由余弦定理得，，解得、之间的距离为．故选：D．75ACB ∠=︒120ACD ∠=︒30ADC ∠=︒45ADB ∠=︒ACD AC BCD △BC ACB △AB ACD 30ADC ∠=︒120ACD ∠=︒30CAD ∠=︒CAD ADC ∠=∠AC CD ==BDC 180()180(4575)60CBD BCD BDC ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒sin sin BC CDBDC CBD=∠∠()40sin 30cos 45cos30sin 45BC ===︒+︒= cos75cos30cos 45sin 30sin 45=︒-︒=ABC 222222cos 2cos752000AB AC BC AC BC BCA =+-⋅⋅∠=++-⨯⨯︒=AB =A B8. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 函数偶函数 B. 函数关于对称C. 函数的最大值为D. 函数在上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用偶函数定义判断A ；计算，从而判断B ；利用二次复合函数的性质判断C ；利用复合函数的单调性判定D.【详解】根据题意，函数定义域为，故函数为偶函数，A 不符合题意；，，故，即函数关于对称，B 不符合题意；，又，当时，函数取最大值，C 符合题意；当，则，，且为增函数，为()cos sin 2xf x x =-()f x ()f x πx=()f x 98()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭(π)(π)f x f x +=-()f x R ()()()cos sincos sin cos sin 222x x xf x x x x f x --=--=--=-=()f x ()()ππcos πsin cos cos 22x x f x x x -⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭()()ππcos πsincos cos 22x xf x x x ++=+-=--(π)(π)f x f x +=-()f x πx =()22cos sin12sin |sin 12sin |sin 22222x x x x xf x x =-=--=--2192sin 248x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭[]sin0,12x ∈|sin |02x=()f x 1π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sinsin 22x x ⎛=∈ ⎝所以函数在上单调递减，D 不符合题意.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（ ）A. ，，则的外接圆半径是4B. 若，则C. 若，则一定是钝角三角形D. 若，则【答案】BCD 【解析】【分析】根据正弦定理可得，即可判断A ；由正弦定理即可求解BD ，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断C.【详解】A ．，，设的外接圆半径是，则，解得，故A 错误；对于B ，由可得，由正弦定理可得，故B 正确，对于C ．，则，为钝角，故一定是钝角三角形，因此C正确；对于D ，由以及正弦定理可得：，，因为，故D 正确；故选：BCD ．10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭ABC ,,A B C ,,a b c 2a =30A =︒ABC A B >sin sin A B>222a b c +<ABC cos sin a bA B=45A =︒2sin aR A=222cos 2a b c C ab+-=C 2a =30A =︒ABC R 224sin sin 30a R A ===︒2R =A B >a b >sin sin a bA B=sin sin A B >222a b c +< 222cos 02a b c C ab+-=<C ∴ABC cos sin a b A B =sin sin a bA B=sin cos A A =tan 1A ∴=0180,45A A ︒<<︒∴=︒()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π<ϕA.，频率为，初相为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在上的值域为D. 若在上恰有4个零点，则m 的取值范围是【答案】BD 【解析】【分析】利用函数的图象求出，进而根据相关定义即可求解A ，代入验证是否为最值即可求解B ，利用整体法结合三角函数的性质即可求解CD.【详解】根据函数的图象，，，故，所以；当时，，所以，，整理得，，由于，所以当时，，故．对于A ，，频率为，初相为，故A 错误；对于B ：当时，，故B 正确；对于C ：由于，故，故，故C 错误；对于D ：，则，若在上恰有4个零点，则，解得，2A =1ππ6()f x π6x =-()f x π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎣()f x []0,m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭π()2sin(26f x x =-2A =313π4π3π=412124T =-πT =2ω=π3x =π2π(2sin()233f ϕ=+=2ππ2π+32k ϕ+=()k ∈Z π2π6k ϕ=-()k ∈Z ||πϕ<0k =π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-:2ω=πT =1ππ6-π6x =-ππ(2sin()262f -=-=-π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦[]π()2sin(2)0,26f x x =-∈[]0,x m ∈πππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x []0,m π3π24π6m ≤-<19π25π1212m ≤<故的取值范围是，D 正确．故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，的三个顶点都在单位圆上，且则（ ）A. B. C. 为锐角三角形 D. 在上投影的数量【答案】BCD 【解析】【分析】由，可得，化为，得到,即可求解B ．由，可得化为,即可根据投影的公式求解D ，根据，即可根据夹角公式求解A ，根据数量积的正负求解角，即可判断C.【详解】由于的外接圆半径为1，圆心为，．由，可得，化为．，，．故是等腰直角三角形．B 正确，由，可得，,所以，故，A 错误，由得，所以,,,因此均为锐角，故为锐角三角形，C 正确．m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC 3450OA OB OC ++=3cos ,5OA OC =OA OB⊥ ABC AB OC15-3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 0OA OB = OA OB ⊥ 3450OA OB OC ++= 534OC AB OA AB OB AB =-- 15OC AB =- 3455OC OA OB -=-ABC O ∴||||||1OA OB OC === 3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 2229162425OA OB OA OB OC ++= 9162425OA OB ∴++= ∴0OA OB = ∴OA OB ⊥OAB 3450OA OB OC ++= 534OC OA OB =-- 25343OC OA OA OB OA =--⋅=- 35OC OA =- 3cos ,5OC OA OA OC OC OA⋅==-534OC OA OB =-- 3455OC OA OB -=-()()()2239396055555B BC OA OB OC OB OA OB OA OB O OB A A --⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=+=> ⎪⎝⎭()()()2284844055555A AC OB OA OC OA OB OA OA OB OA OB B -⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-=> ⎪⎝⎭ ()()2284392436120555525255C CB OA OC OB OC OA OB O A A OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+⋅+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,A B C ABC ∴()()22534341OC AB OA OB OB OA OA OB ⋅=--⋅-=-=-．在上的投影．D 正确故选：BCD第II 卷（非选择题92共分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理边角互化可求，代入已知面积公式可求．【详解】由题意得，，所以，则， 所以．故答案为：．13. 已知向量，将绕原点O 沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标________.【答案】【解析】【分析】由条件得，设，则，，再求的正弦和余弦，然后由坐标，，即可求出结果．【详解】，设，则，，∴15OC AB =-∴AB OC 11515||OC AB OC -⋅===- ABC ,,A B C ,,a b c 2a b cp ++=ABC S =ABC ()()()sin sin :sin sin :sin sin 5:7:6A B BC C A +++=ABC 4,6,8a b c ===18a b c ++=(sin sin ):(sinsin ):(sin sin )():():()5:7:6A B B C C Aa b b c c a+++=+++=::2:3:4a b c =4,6,8a b c ===92a b cp ++==S =()4,3OP = OP 45︒1OP 1P ||5OP = xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=45︒cos x r α=sin y r α=||5OP == xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=设,，则，故，故答案为：14. 如图，在四边形中，分别在边上，且，，，，与的夹角为，则________.【答案】【解析】【分析】本题关键是对向量进行线性运算，并用基底与线性表示，然后再做数量积运算即可.【详解】由图形结合向量线性运算可得：，由，可得，由可得，由上面两式相加得：，即又由，，与的夹角为，可得，11(P x 1)y 15cos(45)5(cos cos 45sin sin 45)x θθθ=+︒=︒-︒=15sin(45)5(sin cos 45cos sin 45)y θθθ=+︒=︒+︒=1P ABCD E F ，AD BC ，13AE AD =13BF BC =3AB =2DC =AB DC 60︒AB EF ⋅= 7EF AB DC EF ED DC CF =++ 13AE AD =13BF BC =22EF EA D F C B =-+- EF EA AB BF =++ 2222EF EA AB BF =++ 32F D E AB C =+ 23AB EF DC += 3AB =2DC =AB DC 60︒1cos 603232AB DC AB DC ︒⋅=⋅=⨯⨯=所以，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）且.【解析】【分析】（1）先设的坐标，再利用向量垂直关系得到向量积为0和它的模已知列方程组求坐标；（2）利用向量夹角为锐角，肯定向量积大于0，但要注意检验是否有可能夹角为0即可.【小问1详解】由，可得，设，则由，可得，又因为，可得，联立方程组解得：或即或.【小问2详解】由与的夹角为锐角，可得，代入，可得：，解得，当时，，可得，解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形，222+293=7333AB AB AB AB EF AB DC DC +⋅⨯+⋅=⋅== 7()1,2a = ()3,2b =--r ()2c a b ⊥+ c = c a a b λ+ λ()4,2c = ()4,2c =-- 57λ<0λ≠c()1,2a = ()3,2b =-- ()()()2=21,23,21,2a b ++--=- (),c x y = ()2c a b ⊥+ ()()()2=,1,220c a b x y x y ⋅+⋅-=-+= c = 2220x y +=42x y =⎧⎨=⎩42x y =-⎧⎨=-⎩()4,2c = ()4,2c =-- a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> ()1,2a = ()3,2b =-- ()()()()()()1,21,23,21,213,2213222=570λλλλλλ⎡⎤⋅+--=⋅--=-+-->⎣⎦57λ<()//a a b λ+ ()()1,2//13,22λλ--()()21322=0λλ---=0λ57λ<综上可得与的夹角为锐角时，且.16. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若的值.【答案】（1）最小正周期为，单调减区间， （2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用周期公式求解，利用整体法求解单调性，（2）代入化简可得，进而利用和差角公式以及二倍角公式化简即可代入求值.【小问1详解】函数，，，令，，，，，单调减区间，【小问2详解】根据（1）知，，故，a a b λ+ 57λ<0λ≠()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-()f x π28f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos3θππ5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈2327-π())4f xx =+1cos3θ=()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=+-=+-+cos 2sin 2x x =+π4x =+π()4f x x ∴=+2ππ2T ==∴ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+Z k ∈∴π5π2π22π44k x k +≤≤+∴π5πππ88k x k +≤≤+Z k ∈∴π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈π()4f x x =+ππππ2282842f θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故，故17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________，在①；②，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求角A 的大小；（2）若AD 是的角平分线，且，，求线段AD 的长；（3）若，判断的形状.【答案】（1） （2（3）直角三角形【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解；（2）设，结合，列出方程，即可求解；（3）由余弦定理得，再由，联立得到，进而得到方程，求得或，进而得到三角形的形状.1cos 3θ∴=28sin 9θ=()()222cos3cos 2cos 2cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+=-=--181********9327⎛⎫=-⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ABC 2S AC AB =⋅ a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+ABC 2b =3c =b c -=ABC π3sin A A =tan A =cos 1A A =+π1sin()62A -=222sin sin sin sin sinBC A B C +=+222b c a bc +-=1cos 2A =AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 222a b c bc =+-b c -=232a bc =222520b bc c -+=2b c =12b c =【小问1详解】选择①：由，可得，即，即，因为，所以；选择②：因为②，，因为，可得，所以，，可得，因为，可得，所以；选择③，由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】因为AD 是的角平分线，且，设，因为，可得，即，解得，即.【小问3详解】由（1）知，由余弦定理得，因为，平方得，即，代入上式，可得，即，2S AC AB =⋅ 12sin cos 2bc A bc A ⨯=sin A A =tan A =(0,π)A ∈π3A =a c =sin si n A C =sin sin cos sin A C C A C =+(0,π)C ∈sin 0C >cos 1A A =+cos 2sin()16πA A A -=-=π1sin()62A -=(0,π)A ∈ππ66A -=π3A =2sin sin sin 1sin sin sin sinBC A C B B C+=+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A =ABC 2,3b c ==AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 1π1π1π23sin 3sin 2sin 232626x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯11111233222222x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯x =AD =π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-b c -=222123b c bc a +-=222123b c a bc +=+223a bc =232a bc =将代入，可得，解得或，当时，可得，此时，可得为直角三角形；当（不成立，舍去）；综上可得，为直角三角形.18. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.【答案】（1）（2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而求出的最大值；（2）由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积．（3）根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值.232a bc =222a b c bc =+-222520b bc c -+=2b c =12b c =2b c =a =222a c b +=ABC 12b c =12c =-ABC ABCD AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =BD 2AB =6BC =4AD CD ==ABCD A ABCD P ABD △,B D PB PD +2π3A =ABCD AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯BD πA C +=ABD △BCD △2BD cos A A ABCD ()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=【小问1详解】由，，，，可得，由题意可得，即，，当且仅当四点共圆时等号成立即的最大值为；【小问2详解】如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，所以，即，，在中，，①在中，由余弦定理可得，②由①②可得，解得，而，可得，所以此时．所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为【小问3详解】由题意可知所以，即，在中，由余弦定理可得,故,故，AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =AD =AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯AB CD BC CD BD ⨯+≥⨯BD ≥,,,A B C D BD BD 2AB =6BC =4AD CD ==πA C +=cos cos C A =-sin sin A C =ABD △2222cos 416224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯=-BCD △2222cos 3616264cos 5248cos BD BC CD BC CD C A A =+-⋅=++⨯⨯=+2016cos 5248cos A A -=+1cos 2A =-(0,π)A ∈2π3A =sin sin A C ==1111sin sin 24642222ABCD ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯= 2π3A =ABCD πA P +=1cos cos 2P A =-=BPD △222222cos 5248cos BD PB PD PB PD P PB PD PB PD A =+-⋅=+-⋅=+()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=()222832832PB PD PB PD PB PD +⎛⎫+=+⋅≤+ ⎪⎝⎭故，当且仅当时等号成立，故最大值为19. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A 、B 是固定，点C 在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l ，如图2所示，经测量直线AB 与直线l 平行，A 、B 两点距离及点A 、B 到直线l 的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA 、MB 、MC 三条线在点M 处相交，，，设.（1）若时，求MC 的长；（2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.【答案】（1）米（2）①时，取得最小值为米；②答案见解析【解析】【分析】（1）首先求直角三角形中斜边的高，即可求解的值；（2）①首先利用三角函数表示，再根据三角函数关系式，利用换元法，即可求解；②当点是中垂线上，且结合图形，设时，利用角三角函数表示，再利用三角恒等变换，结合基本不等式，计算最小值.【小问1详解】中，，，，则，，点到，所以米；的的PB PD +≤=PB PD ==PB PD +M A M B ⊥MC l ⊥MAB θ∠=π3θ=θMA MB MC ++100-π4θ=MA MB MC ++50MAB △AB MC MA MB MC ++M AB AMC α'∠=αMA MB MC ++MAB △M A M B ⊥100AB =π3MAB θ∠==50MA =MB =M AB =100MC =-【小问2详解】①中，，，设点到的距离为，则，则，则，所以，设，，，，所以，所以，当时，即时，取得最小值为米.②当点是中垂线上，且时，桥面长更小，证明：记，则，，记，因为，而，当且仅当时等号成立，此时由最小值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数表示长度，再结合三角运算和性质，求解最值.MAB △100cos MA θ=100sin MB θ=M AB h 100100100sin cos h θθ=⨯⨯100sin cos h θθ=100100sin cos MC θθ=-()100sin cos 100100sin cos MA MB MC θθθθ++=++-sin cos t θθ+=21sin cos 2t θθ-=ππsin cos ,0,42t θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(t ∈()()22100501100501200MA MB MC t t t ++=--+=--+t =π4θ=MA MB MC ++50+M AB 120AMB ∠= π0,2AMC α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭'50sin MA MB α==50100tan MC α=-()100502cos 10010050sin tan sin g MA MB MC ααααα-=++=+-=+⨯22cos 3sin 2cos 11322tan sin 2222sin cos tan 222αααααααα+-==⋅+≥()tan 0,12α∈tan 2α=()g α10050+<+。
浙江省杭州十四中年高一下学期期中考试数学试题及答案【精品】
注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出 答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。
一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。
1．函数()sin cos f x x x =的最小值是(▲)A ．1 B.－1 C ．12 D ．－122．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =(▲)A ．1B ．2C ．4D ．8 3．函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是(▲)A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =(▲)A ．2 B.3 C ．6 D ．75．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=(▲)A ．7-B ．17-C ．7D ．176．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列, 且2c a =, 则cos B =(▲)A ．34B C D ．147．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(▲)A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是(▲)A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[l,2] 9．在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是(▲) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形 10．在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =(▲)A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。
湖南省桑植一中2014-2015学年高一下学期5月阶段性测试数学试题 Word版含答案
2014-2015年下学期桑植一中高一年级5月阶段性测试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分：150分，时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0|≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则（ ）A. B A ⊆B. A B ⊆C. B B A =D. φ=B A 2.函数]1,0[,23)(∈+=x x x f 的值域为（ ）A.RB. ]1,0[C. ]5,2[D. ),5[+∞ 3.下列函数中，在)0,(-∞上为减函数的是（ ）A.22+-=x yB.14-=x yC.x x y 42+=D.xy 1= 4.下列大小关系正确的是（ ）A. 3.0log 34.044.02<<B. 4.04233.0log 4.0<<C. 4.02434.03.0log <<D. 24.044.033.0log <<5.已知扇形的圆心角为 120，半径为3，则此扇形的面积为（ ） A. π B.45π C. 33π D. 2932π 6.已知),0(,2cos sin π∈α=α-α，则=αtan （ ） A. 1- B. 22-C. 22 D. 1 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 24 B. 2420+ C. 28 D. 2424+8.在等差数列{}n a 中，24)(2)(31210862=++++a a a a a ，则此数列前13项的和为机密★启用前（ ）A. 13B. 52C. 26D. 156 9.已知7||,3||,2||=-==，则与的夹角为（ ）A. 6πB. 3πC. 4πD. 2π10.函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数.设函数)(x f 在[]1,0上为非减函数，且满足以下三个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f x f =；③)(1)1(x f x f -=-.则=+)271()91(f f （ ）A. 21B. 32C. 43D. 83第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若x x x f -=+2)1(，则=)0(f .12.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是 .13.ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ,,所对的边，若 120,2,6===B c b ，则角=C .14.已知b a ,都是正实数，函数b ae y x +=2的图像过点（0,1），则ba 11+的最小值是 .15.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若α⊥l ，则l 与α相交；②若n l m l n m ⊥⊥α⊂α⊂,,,，则α⊥l ；③若α⊥l n l m l ,//,//，则α⊥n ；④若α⊥α⊥n m m l ,,//，则n l //. 其中正确命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量)cos ,3(),1,(sin x x ==，函数x f ∙=)(. （1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设1)6()(+π-=x f x g ，求函数)(x g 的最大值及对称轴.17．（本小题满分12分）已知二次函数bx ax x f +=2)(，若)1(+x f 为偶函数,且方程x x f =)(有且只有一个实数根.求函数)(x f 的解析式.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令)(3*∈⋅=N n a b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和n S .19. （本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面⊥PBD 平面PAC ；（3）若AB PA =，求PD 与平面PAC 所成的角的大小.20．（本小题满分13分）某季节性水果A 在上市当月的第x 天),301(*∈≤≤N x x 的销售价格|6|50--=x p （元/百斤），一水果商在第x 天),301(*∈≤≤N x x 销售水果A 的量为|8|-+=x a q （百斤）（a 为常数），且该水果商在第7天销售水果的销售收入为2009元.（1）求该水果商在第10天销售水果的销售收入.（2）这30天中该水果商在哪一天的销售收入最大，最大为多少元？21.（本小题满分13分）定义在D 上的函数)(x f ,如果满足对任意D x ∈,存在常数0M >,都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 2211)(x m x m x g ⋅+⋅-= （I ）当1a =时,求函数()f x 在(),0-∞上的值域,并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为 有界函数,请说明理由;（Ⅱ）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围; （Ⅲ）已知1->m ,函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ,求)(m T 的取值范围．桑植中一中高一年级5月阶段性测试(数学)参考答案1—5 : B C D C A 6—10: A B C B D11.2 12.]1,(--∞ （或写成)1,(--∞） 13. 30 14.223+ 15.①③④三、解答题（16—18满分各12分，19—21满分各13分，共75分）16.（本小题满分12分） 【解】(1))6sin(2cos sin 3)(π+=+=x x x x f令232622π+π≤π+≤π+πk x k ，即34232π+π≤≤π+πk x k∴)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ+π,342,32 （2）1sin 21)6()(+=+π-=x x f x g ，最大值为3，对称轴方程为Z k k x ∈π+π=,2. 17.（本小题满分12分）【解】∵)1(+x f 为偶函数，∴)1()1(+=+-x f x f即 )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立，即0)2(=+x b a 恒成立，∴ 02=+b a ∴ a b 2-= ∴ ax ax x f 2)(2-=又方程x x f =)(有且只有一个实数根∴ 二次方程0)12(2=+-x a ax 有两个相等的实数根∴ 004)12(2=⨯=+=∆a a ，解得 21-=a ∴x x x f +-=221)( 18.（本小题满分12分）【解】（1）∵1232321==++a a a a ∴ 42=a 又 21=a∴ 等差数列{}n a 的公差2=d ∴ n a n 2=)(*∈N n .（2）由（1）知 )(32*∈⨯=N n n b n n∴数列{}n b 的前n 项和n n n b b b b b S +++++=-1321即n n n n n S 323)1(23634321321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ①∴ =n S 3 1132323)1(23)2(23432+-⨯+⨯-+⨯-++⨯+⨯n n n n n n ② 由①—②得：1232)333(22+⨯-+++⨯=-n n n n S ∴ 233)21()333(3121+-=+++-⋅=++n n n n n n S19.（本小题满分13分）【解】（1）如图,连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //. 又 ∵⊄EF 平面PCD ，⊂PD 面PCD∴//EF 平面PCD .………………………………………………4分 (2) ∵ A B C D 是正方形，∴ AC BD ⊥，又⊥PA 平面ABC ， 所以BD PA ⊥,又A AC PA = ，⊂AC PA ,面PAC ，∴⊥BD 面PAC .又⊂BD 平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .……………………………8分 （3）连结PE ，由第（2）问知⊥BD 面PAC ， 故EPD ∠是PD 与平面PAC 所成的角.∵ AD AB PA ==，90=∠=∠BAD PAD ,∴ BD PD =在PED Rt ∆中，21sin ==∠PD ED EPD , ∴ 30=∠EPD 所以PD 与平面PAC 所成的角为30……………………………………12分 20. （本小题满分13分）【解】（1）由已知第7天的销售价格49=p ，∴ 第7天的销售收入2009)1(497=+⨯=a W ，∴ 40=a .第10天的销售收入1932424610=⨯=W 元. ………………5分（2）设第x 天的销售收入为x W ，则⎪⎩⎪⎨⎧+--+=)32)(56(2009)48)(44(x x x x W x 308761≤≤=≤≤x x x ，当61≤≤x 时，2116)2)48()44(()48)(44(2=-++≤-+=x x x x W x，当且仅当2=x 时取等号. ∴ 当2=x 时取最大值21162=W 元.P FEDCBA当308≤≤x 时，同理可求得当12=x 时取最大值193612=W 元.∵ 1272W W W >>，∴ 第2天该水果商的销售收入最大，最大为2116元. ……13分 21. （本小题满分13分）【解】（I ）当1a =时,11()124x xf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为)(x f 在(),0-∞上递减,所以()(0)3f x f >=,即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞ 故不存在常数0M >,使|()|f x M ≤成立 ，所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数 （Ⅱ）由题意知,3)(≤x f 在[)1,+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f , xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414∴ xx xxa ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-21222124在[)0,+∞上恒成立∴ minmax 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-xxx x a设t x =2,t t t h 14)(--=,tt t p 12)(-=,由x ∈[)0,+∞得 t≥1,（设121t t ≤<,()()2112121241()()0t t t t h t h t t t ---=>()()012)()(21212121<+-=-t t t t t t t p t p所以)(t h 在[)1,+∞上递减,)(t p 在[)1,+∞上递增, （单调性不证,不扣分））)(t h 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-, )(t p 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =所以实数a 的取值范围为[]5,1-（Ⅲ）121)(2+⋅+-=x m x g , ∵ m>0 ,[]1,0∈x ∴ ()g x 在[]0,1上递减, ∴ )0()()1(g x g g ≤≤ 即1)(11≤≤+-x g mm∵ 01<<-m ,[]1,0∈x ∴ ()g x 在[]0,1上递增,∴ )1()()0(g x g g ≤≤ 即个mmx g +-≤≤11)(1 ①当0>m 时,111<+-mm,1)(<x g 此时 1)(≥m T ②当0=m ,即,1)(=x g ,1)(=x g 此时 1)(≥m T , ③当01<<-m 时,m m x g +-<11)(,此时 mmm T +-≥11)( 综上所述当0≥m 时,)(m T 的取值范围是[)+∞,1; 当01<<-m 时,)(m T 的取值范围是 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+-,11m m ．。
高一数学下学期5月阶段性测试试题含解析 试题
兖州区2021-2021学年高一数学下学期5月阶段性测试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8个小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.复数z =〔其中i 为虚数单位〕在复平面内对应的点位于〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】此题首先可以通过复数的运算法那么对复数z =进展化简，得到12z =-+，即可得出复数z 所对应的点的坐标，问题得解．【详解】221322232231313422131313i i i zi i ii i， 所以复数z 所对应的点为12⎛-⎝⎭，它在第二象限，应选B ． 【点睛】此题主要考察复数的运算法那么以及复数所对应的点的坐标，考察运算才能，考察推理才能，是简单题．2.12,e e 是两个不一共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.假设向量a 与b 一共线，那么实数k 的值是〔 〕 A. 2- B. 1-C.13D.43【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量一共线根本定理,设λab ,即可解方程组求得k 的值.【详解】根据平面向量一共线根本定理,假设向量a 与b 一共线 那么满足λab即()211263k e e e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩应选:A【点睛】此题考察了平面向量一共线根本定理的简单应用,属于根底题. 3.给出以下命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的选项是〔 〕 A. ①② B. ②③C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断.【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的， 故②正确；③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴一共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线互相平行，故④正确； 综上可知②④正确，①③错误. 应选：D.【点睛】此题主要考察了圆柱、圆锥、圆台的几何构造特征，属于根底题.4.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，那么3a b -＝〔 〕C. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进展平方，，可得结果. 【详解】由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴那么343a b -=应选：D.【点睛】此题考察的是向量的数量积的运算和模的计算，属根底题。
北京市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷
所以由向量夹角范围为[0,π ] ，得“ mr, nr = 0 ”或“ mr , nr 为锐角”；
反之，若 mr , nr 为锐角，则 mr·ncro=s mr, nr mr nr =0 mr nr > ，
故“
ur r mgn
>
0
”是“
mr ,
nr
为锐角”的必要不充分条件.
故选：B. 8．D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二
3. 2
故选：D. 3．D
【分析】由正弦定理，求得
sin
B
=
b a
sin
A
，再由
a
<
b
，且
0°
<
B
<
180°
，即可求解，得到
答案.
【详解】由题意，在
VABC
中，由正弦定理可得
a sin
A
=
b sin
B
，
即 sin
B
=
b a
sin
A
=
23 2
×sin 30°
=
3， 2
又由 a < b ，且 0° < B < 180° ，
ö ÷ø
,
sin
æçèq
+
p 6
ö ÷ø
ö ÷ø
关于
y
轴对称，
即q
.
(1)若 f (0) = -
3
j ，求
的值；
2
(2)已知
f
(x)
在区间
éêë-
π32,π3
ù úû
上单调递增，
2023-2024学年浙江省高一下学期5月期中联考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年浙江省高一下册5月期中联考数学模拟试题选择题部分一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()i 11z -=，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z -=得，11i iz -==-，所以1i z =+.故选：A.2.若()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，则x =（）A.2- B.12-C.12D.10【正确答案】A【分析】由向量数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为()1,2a = ，(),3b x = 且4a b ⋅= ，所以12364a b x x ⋅=⨯+⨯=+= ，所以2x =-.故选：A.3.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印机技术制作模型.设模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -所得的几何体（如图），其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，13cm AA =，3D 打印所用的原料密度为30.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是（）A.40.5gB.45gC.49.5gD.54g【正确答案】C【分析】先求出四棱锥O −EFGH 和长方体1111ABCD A B C D -的体积，作差后得到该模型的体积，利用密度即可求出所需原料的质量.【详解】由题意得，四边形EFGH 的面积为21336439cm 22S =⨯-⨯⨯⨯=，∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴31939cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32366108cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为32108999cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.59949.5g ⨯=．故选：C.4.在ABC 中，12BD DC = ，E 为AD 中点，则EB = （）A.4136AB AC +B.2136AB AC -C.5163AB AC - D.7163AB AC +【正确答案】B【分析】根据向量的减法法则和平行四边形法则对向量进行分解转化即可.【详解】因为12BD DC =，E 为AD 中点，所以12EB AB AE AB AD =-=- 121()233AB AB AC =-+ 2136AB AC =-.故选：B.5.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，120ACB ∠=︒，E 是1BB 的中点，则异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值是（）A.34-B.34C.18D.18-【正确答案】B【分析】根据异面直线所成角的定义，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB ，可得1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.【详解】如图，取1CC 中点M ，AC 中点N ，连接11,,,MN MB NB NB在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1AC AA BC ===，所以1AA ⊥平面111A B C ，有11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，则22111122AC AA A C =+=因为,M N 分别为1,CC AC 中点，所以111//,22MN AC MN AC ==又可得11//,MC B E MC B E =，则四边形1MCEB 为平行四边形所以1//CE MB ，则1NMB ∠为异面直线CE 与1AC 所成的角或其补角由1CC ⊥平面111A B C ，11C B ⊂平面111A B C ，可得111CC C B ⊥，所以2211112MB C M C B =+=，在BCN △中，120ACB ∠=︒，1,1NC BC ==，由余弦定理得2212cos12011232NB NC BC NC BC ⎛⎫=+-⋅⋅︒=+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以1NB ===，所以在1MNB中，由余弦定理得22211113cos 24MN MB NB NMB MN MB +-∠===-⋅所以异面直线CE 与1AC 所成的角的余弦值34.故选：B .6.在ABC 中，2,4AB AC ==，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且43AD =，则BC =（）A.B.C.743 D.2743【正确答案】A【分析】设BAD CAD θ∠=∠=，由ABD ACD ABC S S S +=△△△，求得1cos 2θ=，得到π3θ=，结合余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 中，2AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，且43AD =，设BAD CAD θ∠=∠=，可得142sin 23ABD S θ=⨯⨯ ，144sin 23ACD S θ=⨯⨯ ，且124sin 22ABC S θ=⨯⨯ ，因为ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得sin sin 2θθ=，即sin 2sin cos θθθ=，因为π(0,)2θ∈，所以sin 0θ>，可得1cos 2θ=，所以π3θ=，又由余弦定理得2222π24224cos 283BC =+-⨯⨯=，所以BC =.故选：A.7.在正四棱锥P ABCD -中，Q 是AB 上的动点（不包含端点），M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，分别记P MQ C --，P NQ C --，P AB C --的平面角为α，β，γ，则（）A.γαβ>>B.γβα>> C.βγα>> D.βαγ>>【正确答案】D【分析】连对角线得底面的中心O ,则PO 垂直底面，根据二面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.【详解】连接,AC BD 交于O ，因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以有PO ⊥平面ABCD ，过O 作,OE QM OF QN ⊥⊥，垂足为,E F ，连接,PE PF ，因为PO ⊥平面ABCD ，,MQ NQ ⊂平面ABCD ，所以,PO MQ PO NQ ⊥⊥，因为,,OE PO O OE PO ⋂=⊂平面POE ，所以MQ ⊥平面POE ，而PE ⊂平面POE ，所以PE MQ ⊥，因此PEO ∠是二面角P MQ C --的平面角，即PEO α=∠，因此有tan OPOE α=，同理可证：PF QN ⊥，因此PFO ∠是二面角P NQ C --的平面角，即PFO β=∠，因此有tan OPOFβ=，设H 是AB 的中点，连接,PH OH ，则有AB PH ⊥，OH AB ⊥，因此PHO ∠是二面角P AB C --的平面角，即PHO γ=∠，因此有tan OPOHγ=，如图，H 是AB 的中点，所以12OH AB AH ==，Q 是AB 上的动点（不包含端点），M 是AD 上的中点，点N 在线段AD 上且满足2AN ND =，所以OF OE AH <<，所以OH OE OF >>，因此tan tan tan γαβγαβ<<⇒<<，故选：D .8.若O 是ABC 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的最大值是（）A.22+B.32+ C.52D.【正确答案】C【分析】将向量全部转化为三角形边角的关系，结合柯西不等式求解即可.【详解】如图所示：设AB c =，AC b =，BAO θ∠=，CAO α∠=，由()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，得()()222225cos cos 2b c c AO b AO AO c b θα⋅⋅+⋅⋅= 化简得225cos cos 2b c AO c b θα⋅+⋅= ，由O 是ABC 的外心可知，O 是三边中垂线交点，得cos 2c AO θ=，cos 2bAOα= 代入上式得225222b c c b AO c b AO AO ⋅+⋅= ，所以2225b c AO +=，根据题意知，AO 是三角形ABC 外接圆的半径，可得sin 2b B AO =，sin 2c C AO= .所以22sin 2sin 222b c b cB C AO AO AO++=+= ，由柯西不等式可得：()()()2222122b c b c ++≥+，所以()22225b c AO +≤ ，所以25b c AO +≤ ，所以525222AO b c AO AO +≤=，当且仅当“2b c =”时，等号成立.所以sin 2sin B C +的最大值为52.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在ABC 中，若A B <，则sin sin A B<B.在ABC 中，若45,5,4A a b === ，则这样的ABC 有两个C.若a ，b 是非零向量，则a 在b上的投影向量为2a b b⋅bD.若()i ,R z a b a b =+∈，则22||z z =【正确答案】AC【分析】A 选项，由大角对大边结合正弦定理可判断选项正误；B 选项，由余弦定理可判断选项正误；C 选项，由投影向量定义可判断选项正误；D 选项，由复数乘法，复数模定义可判断选项正误.【详解】A 选项，因A B <，由大角对大边，则a b <，又sin sin a bA B=，则sin sin A B <，故A 正确；B选项，由余弦定理，2222290cos a b c bc A c =+-⇒--=，解得c =+或c =-（舍去），即这样的ABC 有且只有一个，故B 错误；C 选项，a 在b 上的投影向量为cos ,a a b e ，其中b e b= 为与b 方向相同的单位向量，则2cos ,a b b a b a a b e a b a b b b⋅⋅=⋅⋅=⋅，故C 正确；D 选项，()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，故D 错误.故选：AC10.a ，b ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，下面条件中能证明a α⊥的是（）A.b α⊂，l ⊂α，a b ⊥r r，a l ⊥，b l O ⋂=B.l αβ= ，αβ⊥，a l ⊥C.αβ⊥，//a βD.l α⊥，//a l 【正确答案】AD【分析】由线面垂直定义，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理可判断选项正误.【详解】A 选项，可知直线a 与平面α内两条相交直线垂直，则a α⊥，故A 正确；B 选项，缺少条件a β⊂，不能保证a α⊥，故B 错误；C 选项，此时a 有可能与两平面交线不垂直，此时不能保证a α⊥，故C 错误；D 选项，因l α⊥，a α，则a α⊥，故D 正确.故选：AD11.在OAB 中，1,2,120OA OB AOB ==∠=︒，点P 是等边ABC （点O 与C 在AB 的两侧）边上的一动点，若OP xOA yOB =+，则有（）A.当12x =时，点P 必在线段AB 的中点处 B.x y +的最大值是92C.OP OA ⋅的最小值是1- D.PO PA ⋅的最大值为17【正确答案】BC【分析】对于A ，过AO 的中点作平行线即可判断；对于B ，先利用平面向量的性质得到x OE '=，2E P y ''=，从而结合图形的性质推得x y +取得最大值时点P 的位置，从而利用余弦定理与三角函数的和差公式求得,EC EO ，从而得以判断；对于C ，结合选项B 中的结论，推得点P 与点B 重合时OP OA ⋅取得最小值，由此判断即可；对于D ，举反例排除即可.【详解】对于A ，记D 为AO 的中点，过D 作//DP OB 交BC 于P ，如图，此时存在R λ∈，使得DP OB λ=，则12OP OD DP OA OB λ=+=+ ，显然满足12x =，但点P 不在线段AB 的中点处，故A 错误；对于B ，延长OA ，在OA 上任一点E '作E P ''平行于OB ，如图，则2OE E P E P OP OE E P OA OB OE OA OB OA OB ''''''''''=+=⋅+⋅=⋅+⋅ ，即x OE '=，2E P y ''=，易得60CBO ABO ∠=︒+∠大于120AOB ∠=︒的外角，则AO 与CB 的延长线必交于一点，故E P ''离OB 越远，其值越大，同时，OE '的值也越大，显然，当P '到达P 点与C 点重合时，OE '与E P ''都取得最大值，此时x y +也取得最大值，此时，在OAB 中，22212cos 142272AB OA OB OA OB AOB ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7AB =，则7AC =，222cos 2277OA AB OB BAO OA AB +-∠===⋅⨯，易知060BAO ︒<∠<︒，所以3sin 7BAO ∠=，则()cos cos 60cos cos60sin sin 60CAO BAO BAO BAO ∠=∠+︒=∠︒-∠︒133227727==，故在OAC 中，2222cos 1727927OC OA AC OA AP CAO ⎛=+-⋅∠=+-= ⎝，所以3OC =，2221971cos 2232OA OC AC AOC OA OC +-+-∠===⋅⨯，又0120AOC ︒<∠<︒，所以60AOC ∠=︒，又//EC OB ，120AOB ∠=︒，所以60CEO ∠=︒，则ECO 为正三角形，所以3EC EO OC ===，所以x y +的最大值为393222EP OE +=+=，故B 正确；对于C ，因为OP xOA yOB =+ ，1cos 1212OA OB OA OB AOB ⎛⎫∠=⨯⨯-=-⋅=⎪⎝⎭⋅ uu r uu u r uu r uu u r ，所以()22E P OP OA OA x OA x xOA yO y OA y OE B OB '''⋅=⋅++⋅==-=- ，由选项B ，结合图像易知OE '的增长速率要比E P ''大，所以要使得2E P OE '''-取得最小值，OE '要取得最小值，此时0OE '=，则2E P OB ''==，即点P 与点B 重合时OP OA ⋅取得最小值，此时20122E P OE '''-=-=-，即OP OA ⋅ 的最小值为1-，故C 正确；对于D ，当点P 与点C 重合时，cos 0CAO ∠=<，60AOC ∠=︒，所以90CAO ∠>︒，18030APO CAO AOC ∠=︒-∠-∠<︒，则3cos cos302APO ∠>︒=，则33211cos 3227P P O PA P O O PA A =∠>⋅=>，故D 错误.故选：BC.关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量的三角形法则得到x OE '=，2E P y ''=，从而确定,x y x y +-取得最值时点P 的位置，从而得解.12.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =E 为AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折成A BE ' ，记二面角A BE C '--的平面角为θ，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A.点A '在平面BCDE 的射影必在线段AC 上B.存在点A '使得A E BD '⊥C.πA BA θ∠'+<D.记A E '和AB '与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则sin sin αβ-的取值范围是0,3⎡⎢⎣⎦【正确答案】AC【分析】根据题意证得BE ⊥平面A MC '，得到平面A MC '⊥平面BCDE ，结合面面垂直的性质定理，可判定A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，得到A N BD '⊥，由A E BD '⊥，证得BD ⊥平面A NE '，得到所以BD NE ⊥，结合A '在平面ABCD 的射影不能时C 点，判定B 不正确；由二面角的定义，得到πA MA θ'+∠=，根据A MA A BA ''∠>∠，可判定C 正确；㓟线面角的定义求得sin sin 1)A N αβ'-=-⋅，结合0A N AM '<≤，可判定D 错误.【详解】在矩形ABCD 中，1,AB BC ==E 为AD 的中点，连接AC ，交BE 于点M ，可得ABC EAB ∽，则ABE ACB ∠=∠且90MBC ABE ∠+∠= ，所以90MBC ACB ∠+∠= ，所以,AM BE MC BE ⊥⊥，即,A M BE MC BE '⊥⊥，因为A M MC M '= 且,A M MC '⊂平面A MC '，所以BE ⊥平面A MC '，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面A MC '⊥平面BCDE ，过点A '作A N '⊥平面BCDE 于点N ，则点N 必在AC 上，所以A 正确；由A N '⊥平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以A N BD '⊥，若A E BD '⊥，且A N A E A ''= 且,A N A E ''⊂平面A NE '，所以BD ⊥平面A NE '，又由NE ⊂平面A NE '，所以BD NE ⊥，显然EC BD ⊥，因为N 必在AC 上，所以点N 与C 重合，由AME BMC ∽，可得3231AM MC ==，且3CM =在A MC ¢中，CM A M '>，所以A '在平面ABCD 上的射影不可能落在点C 处所以不存在点A '使得A E BD '⊥，所以B 不正确；因为二面角A BE C '--的平面角为θ，即A MC θ'∠=，又因为πA MA θ'+∠=，由.AB AM A B A M ''>>得A MA A BA ''∠>∠，所以πA BA θ∠'+<，所以C 正确；因为A E '、A B '平面BCD 所成的角分别为,αβ，即,A EN A BN αβ''∠=∠=，可得sin ,sin A N A NA E A Bαβ''==''，所以sin sin 1)A N A NN A N A N A E A Bαβ'''''-=-=-=-⋅''，由AME BMC ∽，可得12AM AE MC BC ==，所以12AM MC =，又由AC =AM =，因为在翻折的过程中，可得0A N AM '<≤，即03A N '<≤，所以63(0,13)A N '⋅∈，所以D 错误.故选：AC.非选择题部分三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13.用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图为直角边长是2的等腰直角三角形（如图），则ABC 的面积是___________.【正确答案】42【分析】根据斜二测画法法的规则，求得水平放置的ABC 的平面图形，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图（1）所示，由水平放置的ABC 的直观图A B C ''' 为直角边长是2的等腰直角三角形，即2A B B C ''''==且90A B C '''∠= ，可得22A C ''=,如图（2）所示，根据斜二测画法法，可得ABC 的平面图形，可得2,42AB AC ==且90BAC ∠= ，所以1242422ABC S =⨯⨯= .故答案为.4214.圆锥的底面半径为2，表面积为10π，则该圆锥为体积为___________.【正确答案】453π【分析】根据题意列出方程求得圆锥的母线长3l =，进而求得高为225h l r =-=，结合体积公式，即可求解.【详解】设圆锥的高为h ，母线长为l ，因为圆锥的底面半径为2，表面积为10π，所以2π2π210πl ⨯+⨯⨯=，可得3l =，所以圆锥的高2222253h l r =-=-=可得圆锥的体积为22115πππ25333V r h =⨯=⨯⨯=.故答案为.45π315.方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台A 点处测得塔底中心O 在北偏西70︒方向，塔顶仰角的正切值为32，再走到距离A 点25米的点B 处，测得点O 在北偏东80︒方向，塔顶仰角为6π，则该塔的高度为___________米.【正确答案】757【分析】如图，设塔顶为P ，塔高为PO x =，由题目条件可表示出,OA OB ,可得AOB ∠.在AOB 中利用余弦定理可得答案.【详解】如图，设塔顶为P ，则塔高为PO x =，因在A 点处塔顶仰角正切为32，在B 点处塔顶仰角为π6，则3233233,PO PO AO x BO x AO BO =⇒==⇒=.过A 点作一条与东西方向同向的线段交BO 于C ，因点O 在点B 北偏东80︒方向，在A 点北偏西70︒方向，则10,20150ACO CAO AOC ∠=︒∠=︒⇒∠=︒.又25AB =，则在AOB 中利用余弦定理有：2222cos AB OB OA OB OA AOB=+-⋅⋅∠222423497562532362593297x x x x x x ⎛⎫⇒=+-⋅⋅⋅-⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.故75716.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为3AB ⊥面BCD ，2AB =，三棱锥A BCD -外接球与内切球球心分别为1,O O ，则1OO =___________.【正确答案】298【分析】取等边BCD △的中心为2O ，根据球的截面的性质，求得2112OO AB ==，再由体积法，求得内切球的半径为38r =，在BG 上取一点P ，过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得138O P =，得到点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，在直角1OO N 中，即可求解.【详解】如图所示，取等边BCD △的中心为2O ，因为BCD △32BG =，则2213BO BG ==，连接2OO ，根据球的性质，可得2OO ⊥平面BCD ，又由AB ⊥平面BCD ，且2AB =，所以2112OO AB ==，由21333244ABC ABD BCD S S AB BC S ==⋅==⨯=，连接AG ，因为G 为CD 中点，且AC AD ==，所以AG CD ⊥，且52AG ==，所以15324ACD S CD AG =⋅= ，所以棱锥的表面积为335344S =+++=，体积为133234V =⨯⨯设内切球的半径为r ，可得112343V r =⨯⨯=⨯，解得38r =，即1O 到平面BCD 和平面ABC 的距离为38d r ==，因为E 的中点，且BD CD =，所以DE BC ⊥，又因为AB ⊥平面BCD 且，DE ⊂平面BCD ，所以DE AB ⊥，因为AB BC B ⋂=且,AB BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，在BG 上取一点P ，使得34BP =，过点P 作//PF DE ，可得PF ⊥平面ABC ，在直角BPF △中，可得3sin 308PF BP ==，即点P 到平面ABC 的距离为38d =，过点P 作1O P ⊥平面BCD ，使得138O P =，则点1O 即为三棱锥A BCD -的内切球的球心，过点1O 作12O N OO ⊥，可得12231144O N PO BO BP ==-=-=，222135188ON OO NO OO PO =-=-=-=，在直角1OO N 中，可得2222115129()()848OO ON O N =+=+=，故答案为.298方法点睛：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d =+（r 为底面多边形的外接圆的半径，R 为几何体的外接球的半径，d 表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.已知2,1,23a b a b ==-=.（1）求a 与b的夹角；（2）求()()3a b a b -⋅+的值.【正确答案】（1）2π3（2）1-【分析】（1）将2a b -= 两边同时平方可得1a b ⋅=- ，再利用向量数量积公式即可得夹角为2π3；（2）根据平面向量运算法则即可求得()()31a b a b -⋅+=-.【小问1详解】由2a b -= 可得2212a b -= ，即224412a a b b -⋅+= ；将2,1a b == 代入可得1a b ⋅=-，设a 与b的夹角为[],0,πθθ∈，则cos 1a b a b θ⋅==- ，解得1cos 2θ=-，即2π3θ=，所以a 与b 的夹角为2π3；【小问2详解】利用向量运算法则可知，()()223234231a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=--=- ，即()()3a b a b -⋅+的值为1-.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，4AB =，60DAB ∠=︒，PA PD ==PB =M ，N 分别为PB ，DC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：面PAD ⊥面ABCD ．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取PA 中点E ，连接DE ，ME ，由题意可证得//MN DE ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，由题意可证得PO OB ⊥，PO AD ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得PO ⊥面ABCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】取PA 中点E ，连接DE ，ME因为ME 是PAB 中位线，所以//ME AB ，且12EM AB =；又ABCD 是菱形，则//DN AB 且12DN AB =，所以,//ME DN ME DN =，即MNDE 是平行四边形.所以//MN DE ，DE ⊂面PAD ，MN ⊄面PAD ，所以//MN 面PAD ．【小问2详解】取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为460AD AB DAB ==∠=，°，所以△ADB 是正角形，OB AD ⊥，且BO =又因为△PAD 是等腰三角形，2PO AD PA AO ⊥==，，可知PO =因为PB =，由勾股定理知PO OB ⊥又因为AD OB O ⋂=，BO ，AD ⊂面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ，PO ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD.19.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且()m a A =与(,sin n b B =）平行.（1）若217a C ==，求c 的值；（2）若2BD DC =，且||2AD =，求ABC 面积的最大值.【正确答案】（1）877（2）332【分析】（1）利用数量积的坐标运算得sin cos 0a B A =，利用正弦定理求出角A ，最后利用同角基本函数及正弦定理即可求解；（2）利用向量减法运算得1233AD AB AC =+，两边平方得223642c b bc =++，利用基本不等式求得6bc ≤，代入面积公式即可求解.【小问1详解】因为()m a A =与(,sin n b B =）平行，所以sin cos 0,sin 0a B A B =>，由正弦定理知sin sin cos 0A B B A =，得tan A =0πA <<，所以π3A =，所以sin 2A =，由()21cos ,0,π7C C =∈，得27sin 7C =，又a =，由正弦定理sin sin a c A C=得sin 2787sin 7732a C c A ===；【小问2详解】因为2BD DC =，所以1233AD AB AC =+ ，所以222144999AD AB AB AC AC =+⋅+ ，所以221424999c b bc =++，即223642c b bc =++，由基本不等式知2236426c b bc bc =++≥，当且仅当c b ==6bc ≤，所以1333sin 242ABC S bc A bc ==≤.20.如图，点B 是AC 为直径的半圆上的一动点PA ⊥面ABC ，2,1AC PA ==．（1）若E 为PC 的中点，当ABC 的面积最大时，求AE 与面PBC 所成的角的正弦值；（2）过点A 作平面α，分别交PB ，PC 于点M ，N ，当PC α⊥时，求三棱锥P AMN -外接球的体积．【正确答案】（1）15（2）π6【分析】（1）由PA ⊥面ABC 得PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，则BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，又BC ⊥AF ，可得AF ⊥面PBC ，所以∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，求出AF ，AE ，即可得解；（2）过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，可证得PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，取P A 的中点O ，在Rt PNA △，Rt PMA △中，求得ON ＝OP ＝OA ＝OM ＝12PA ，可知O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝1122PA =，即可求出外接球的体积.【小问1详解】∵PA ⊥面ABC ，AB ，BC ⊂面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂面PAB ，∴BC ⊥面PAB ，过点A 作⊥AF PB ，垂足为F ，∵BC ⊥面PAB ，AF ⊂面PAB ，∴BC ⊥AF ，又,,PB BC B PB BC ⋂=⊂面PBC ，∴AF ⊥面PBC ，∴∠AEF 就是AE 与面PBC 所成的角．当△ABC 的面积最大时，B 为弧 AC 中点，AB =，在△PAB 中，1,PA AB PB ===，∵PA AB PB AF ⋅=⋅，∴AF =△PAC 中，122AE PC ==，所以sin315AF AEF AE ∠===．【小问2详解】过A 作AM PB ⊥于M ，作AN PC ⊥于N ，连接MN ，∵AM PB ⊥，,,,AM BC PB BC B PB BC ⊥⋂=⊂面PBC ，∴AM ⊥面PBC ，∵PC ⊂面PBC ，∴AM ⊥PC ，又AN ⊥PC ，AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂面AMN ，∴PC ⊥面AMN ，则面AMN 即为面α，取PA 的中点O ，连接OM ，ON ，在Rt PNA △中，ON ＝OP ＝OA ＝12PA ，在Rt PMA △中，OM ＝12PA ，∴ON ＝OP ＝OA ＝OM ，∴O 为三棱锥P AMN -外接球的球心，半径R ＝1122PA =，∴三棱锥P AMN -外接球的体积36π4π3V R ==．21.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2sin cos cos c os A b A A C =+.（1）求A 角的大小；（2）若D 为AB 的中点，P 是AC 上的动点，且AP AC λ= .若BP DP +，当BP DP +取最小值时，求λ的取值范围.【正确答案】（1）π3（2）12,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理与诱导公式化简已知式子可得sin A A =，从而可求得角A 的大小；（2）作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢，由堆成求得BP DP +的最小值，结合正弦、余弦定理先确定AP 的长，再转化求λ的取值范围.【小问1详解】由正弦定理得2sin sin cos cos cos B A A A C C A=+所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin B A A A C C A A A C A B =+=+=由于π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin A A =，即tan A =，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =；【小问2详解】如图，作B 关于边AC 的对称点B '，连接AB '，并取其中点D ¢，当BP DP BP D P D B '≥'+=+=120BAB '∠=︒，设AB c =，则2c AD '=由余弦定理可得22714cos 222c c BAB c c +-∠==-⋅⋅'，解得2c =，则在三角形AD B '中，2,1AB AD '==，cos sin 1414D B ABD ABD =⇒∠==⇒∠'=''，则()()11sin sin 18060sin 120sin 22APB ABD D BA D BA D BA ∠=︒-∠-︒=︒-∠∠+∠''''23213211414AP =⇒=，在ABC 中，π,23A c ==，设ππ,,62ABC θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理()21,42πsin 3131sin 3222tan 2AC AC θθθ=⇒==⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以12,63APAC λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,2AB AC AB AC ⊥==，点D 为线段1CC 中点，侧面11BCC B 为矩形，1A AB θ∠=.（1）若1120A AB ∠=︒，求二面角1A AB C --的正弦值；（2）若14AA =，[]60,120θ∈︒︒，求AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围.【正确答案】（1）63（2）36⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先证明线面垂直，找出二面角的平面角，结合三角形知识可求答案；（2）先求出点A 到平面11BCC B 的距离，再求AD 的长度，利用线面角的定义可得答案.【小问1详解】分别取11,BC B C 的中点，连接11,//AA EF EF A A 且1EF A A =，所以1AA EF 是平行四边形，因为2AB AC ==，所以AE BC ⊥，因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，即BC EF ⊥，又AE EF E ⋂=，所以BC ⊥平面1AA EF ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AA EF ⊥平面ABC .延长EA ，过点1A 作1A O AE ⊥，垂足为O ，过O 作OG AB ⊥，垂足为G ，连接1A G ，由平面1AA EF ⊥平面ABC ，可知1A O ⊥平面ABC ，1OGA ∠就是二面角1A AB C --的补角的平面角.因为1120A AB ∠= ，所以160A AG ∠= ，设11,2AA a AG a ==，则12A G a =，AE 是CAB ∠的平分线，45OAG ∠= ，所以2AO a =，从而12A O a =，故1116sin 3A O OGA A G ∠==.所以二面角1A AB C --的正弦值为63.【小问2详解】由（1）知1A O ⊥平面ABC ，点O 在线段EA或其延长线上，且11cos OA A AO A A θ∠==，又1A AO AEF ∠=∠，所以1sin sin A AO AEF ∠=∠=点A 到平面11BB C C的距离为sin h AE AEF =∠=，1A 的射影O 在BAC ∠的角平分线上，延长CA ，过O 作OH 垂直于CA 的延长线于H ，由角平分线的性质可得OG OH =,由勾股定理可得11AG A H =，AG AH =;所以11Rt Rt AGA A HA ≌，所以11A AG A AH ∠=∠，即11A AB A AC θ∠=∠=，在ACD 中,由余弦定理知AD =，所以直线AD 与平面11BB C C 所成的线面角α的正弦值为sin h AD α===令1cos t θ=+，60120θ︒≤≤︒，则13[,]22t ∈，所以sinα=，13 [,]22t∈，当且仅当22t=时，sinα取得最大值2；当32t=时，sinα取得最大值6；所以sin[6α∈.。
2023-2024学年湖南省高一下学期期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【正确答案】B【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.2．用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A ．长方体B ．圆锥C ．棱锥D ．圆台【正确答案】D【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.【详解】对于A 项，如图1，用平面1ACD 截长方体，得到的截面是三角形，故A 项正确；对于B 项，如图2，用平面PAB 截圆锥，得到的截面是三角形，故B 项正确；对于C 项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C 项正确；对于D 项，圆台的截面不可能为三角形，故D 项错误.故选：D.3．复平面内表示复数1iiz -=的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.4．已知a ，b 为非零实数，则“1ba≥”是“b a ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b a a a a ⎛⎫≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥ ⎪⎝⎭，即b a ≥成立，故充分性成立；取2b =-，1a =，则b a ≥成立，但1ba≥不成立，故必要性不成立.因此，“1ba≥”是“b a ≥”的充分不必要条件.故选：A 5．函数()4cos 22x xxf x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再由特殊值排除D 即可得解.【详解】因为()4cos 22x xxf x -=-的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，所以4cos()4cos ()()2222x x x xx xf x f x ----===---，即函数为奇函数，排除AB ，当2x =时，224cos 2(2)022f -=<-，排除D.故选：C6．如图，AB 是底部不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，某同学选择地面CD 作为水平基线，使得C ，D ，B 在同一直线上，在C ，D 两点用测角仪器测得A 点的仰角分别是45°和75°，10CD =，则建筑物AB 的高度为（）A ．5B ．52C ．D【正确答案】A【分析】根据正弦定理求出AD ，再在直角三角形中求解即可.【详解】在ACD 中，根据正弦定理可得()sin 10sin 45sin sin 7545CD ACD AD DAC ∠︒===∠︒-︒，在Rt △ABD 中，)sin 75sin 30cos 45cos30sin 4554AB AD =︒=︒︒+︒︒==，故选：A7．如图，在ABC 中，点O 在BC 上，AO AB AC αβ=⋅+⋅ ，则2αβαβ+⋅的最小值为（）A ．5B ．3-C ．D ．3+【正确答案】D【分析】由已知可推得1αβ+=，又212αβαβαβ+=+⋅，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】由题意可得，,,B O C 三点共线，则,BO BC uu u r uu u r共线.则存在唯一实数λ，使得BO BC λ=，01λ<<，即()AO AB AC AB λ-=-uuu r uu u r uuu r uu u r ，整理可得，()1AO AB AC λλ=-+uuu r uu u r uuu r.又AO AB AC αβ=⋅+⋅，所以1αλ=-，βλ=，所以1αβ+=，且0α>，0β>，又212αβαβαβ+=+⋅()1223βααβαβαβ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭33≥=，当且仅当2βααβ=，即1a =，2β=时等号成立.所以，2αβαβ+⋅的最小值为3+故选：D.8．已知a ，b是不共线的两个向量，2a = ，a b ⋅= t ∀∈R ，2b ta -≥ ，则b 的最小值为A ．2B ．4C．D．【正确答案】B【分析】由2b ta -≥可推得，(22416b t ≥--+ .令()(2416f t t =--+，根据函数的最大值，即可得出()2max 16b f t ≥= ，进而得出答案.【详解】由2b ta -≥ 可得，()224b ta b ta-=-≥ ，即22224b ta b t a -⋅+≥ .因为2a =，a b ⋅=(222244124b t b t -+=+-≥ ，所以，(22416b t ≥--+ .令()(2416f t t =--+，因为，(241616t -+≤，所以()max 16f t =.又对t ∀∈R ，2b ta -≥ 恒成立，所以()2max 16b f t ≥= ，所以4b ≥ .故选：B.二、多选题9．向量,a b 满足：4a = ，2b = ，3a b ⋅≥ ，则向量b 在向量a上的投影向量的模的可能值是（）A ．1B ．14C ．34D ．2【正确答案】CD【分析】根据题意，结合向量b 在向量a上的投影向量的模公式，即可求解.【详解】由题意，向量,a b 满足4,2a b == 且3a b ⋅≥ ，所以向量b 在向量a上的投影向量的模为3cos ,4a b b a b a⋅=≥.故选：CD10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列选项正确的是（）A ．a b A B<⇔<B ．sin sin A B A B≥⇔≥C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．()cos cos A B C +=【正确答案】ABC【分析】根据大边对大角，即可得出A 项；根据正弦定理，结合A 项，即可得出B 项；由已知可推出ππ022B A <-<<，根据正弦函数的单调性，即可得出C 项；()()cos cos πA B C +=-，根据诱导公式化简，即可判断D 项.【详解】对于A 项，根据大边对大角，知A 项正确；对于B 项，由A 知，A B a b ≥⇔≥.由正弦定理sin sin a bA B =可得，sin 1sin A a B b=≥，所以sin sin A B ≥.由sin sin A B ≥，根据正弦定理sin sin a bA B=可得，sin 1sin a A b B=≥，所以a b ≥，所以A B ≥，故B 项正确；对于C 项，由已知可得，π2A B +>，所以ππ022B A <-<<，因为正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 项正确；对于D 项，()()cos cos πcos A B C C +=-=-，故D 项错误.故选：ABC.11．已知()0,πx ∈，2sin cos 3x x +=-，则下列结论正确的是（）A ．πsin 43x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭B ．5sin 29x =-C ．sin cos 3x x -=-D ．1tan 0x -<<【正确答案】ABD【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，()24sin cos 9x x +=，展开即可得出B 项；先得出()29s s 4n co 1i x x -=，根据已知可得sin cos 0x x ->，开方即可判断C 项；根据2sin cos 03x x +=-<，结合三角函数的符号，即可推出sin cos x x <，进而得出tan 1x <，即可得出D 项.【详解】对于A项，因为sin cos sin cos 22x x x x ⎫+⎪⎪⎭π243x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 项正确；对于B 项，由已知可得，()24sin cos 9x x +=，即224sin cos 2sin cos 1sin 29x x x x x ++=+=，所以，5sin 29x =-，故B 项正确；对于C 项，()2229s s in c 2o 14sin cos 2in cos s 1sin x x x x x x x +-=-=-=.由已知2sin cos 3x x +=-，()0,πx ∈，可知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x ->，所以，sin cos 3x x -=，故C 项错误；对于D 项，因为2sin cos 03x x +=-<，sin 0x >，cos 0x <，所以sin cos x x <，所以，sin tan 1cos xx x=<.又tan 0x <，所以1tan 0x -<<，故D 项正确.故选：ABD.12．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =为偶函数，则sin 0ϕ=B ．若0ϕ=时，且()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若0ϕ=时，()y f x =的图象在长度为π的任意闭区间上与直线1y =最少有3个交点，最多有4个交点，则5,23ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭D ．若函数()g x f x ϕω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点，则913,5,22ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【正确答案】BD【分析】由已知求出ϕ的表达式，代入即可判断A ；求出x ω的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B 项；先解1sin 2x ω=，然后得出相邻交点最小的距离为2π3ω，最大距离为4π3ω.结合已知列出ω的不等式，求解即可判断C 项；由已知可推出4ω≥，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出ω的取值范围，进而判断D 项.【详解】对于A 项，要使函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>为偶函数，则ππ,2k k ϕ=+∈Z ，则sin 1ϕ=±，故A 项错误；对于B 项，0ϕ=时，()2sin f x x ω=，因为ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以有ππ42ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，故B 项正确；对于C 项，由题意2sin 1x ω=，则1sin 2x ω=，π2π,6x k k ω=+∈Z 或5π2π,6x k k ω=+∈Z ，则π2π,6k x k ωω=+∈Z 或5π2π,6k x k ωω=+∈Z ，所以，相邻交点最小的距离为2π3ω，最大距离为4π3ω.由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于π，相邻五个交点之间的最小距离不大于π，所以，10ππ3ω≤，且4π2πT ω=>，所以，1043ω≤<，故C 项错误；对于D 项，()2sin 2sin g x f x x x ϕϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故ππ2T -≥，所以2ππ2ω≤，所以4ω≥.因为ππ2x ≤≤，所以ππ2x ωωω≤≤.由于4ω≥，所以π2π2ω≥，则①π5π229ππ2ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得952ω≤≤；②5ππ9π22213ππ2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得1392ω≤≤；③9ππ13π22217ππ2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得913ω<≤.④当13ω>时，ππ13ππ222ωωω-=>，满足()sin h x x ω=在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点.综上所述，913,5,22ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：BD思路点睛：D 项，先化简函数表达式，进而根据已知得出ω的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出ω的取值范围.三、填空题13．幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()log n f x x m =+恒过定点___________.【正确答案】(2,0)-【分析】根据幂函数过点求出m ，再由对数函数的性质求出所过定点.【详解】因为幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以1182m⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3m =，即()()log 3n f x x =+，当2x =-时，(2)0f -=，所以函数()()log n f x x m =+恒过定点(2,0)-.故(2,0)-14．若πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【正确答案】13【分析】因为ππ22π33x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，根据诱导公式可得c πc πos 223os 3x x ⎛⎫-⎪⎛⎫-= +⎭ ⎝⎪⎭⎝，然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.【详解】因为ππ22π33x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以，2πc πco s 3s πo 23x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫-=⎝⎭⎭⎣ ⎪⎝⎦πcos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22π112cos 1233x ⎛⎫=-+=-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.1315．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m 的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m ，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P （视为质点）从水中浮现（图中点A ）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P 到水面距离()m y 表示为时间()s t 的函数()y f t =，则()f t =___________.【正确答案】ππ6sin 3(0)606t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.【详解】由题意周期260120T =⨯=秒，所以角速度2ππ12060ω==（rad/s ），当经过时间t 秒()0t ≥，质点P 从A 运动到如图M 所在位置，如图，此时π60MOA t t ω∠==，因为水车半径6OA =米，水车中心离水面距离3AC =米,所以π6AOC ∠=，ππ606MOB t ∠=-，所以P 到水面距离ππππ6sin 6sin 3606606y t AC t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ()6sin 3606f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0)t ≥，故ππ6sin 3606t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)t ≥16．定义在R 上的函数()f x 满足()()122f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=；当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()161xf x =-.若对[),x m ∀∈+∞，都有()12f x ≤，则m 的取值范围是__________.【正确答案】215log 34m ≥-【分析】根据已知可得出函数在区间[]0,1以及区间[]0,2上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以及09,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.进而根据已知条件，推出函数()f x 在9,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的解析式，进而求解()12f x =即可得出0x 的值，进而得出m 的取值范围.【详解】由当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，可得()f x 的图象在该区间内关于直线12x =对称；由当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-，可得()f x 的图象在该区间内关于点()1,0对称.结合已知条件，作出函数()f x 的部分图象如下图由图象可设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且0x x >时，都有()()012f x f x <=，且09,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.设112x ≤≤，则1012x ≤-≤，()11161xf x --=-.因为，当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，所以()()11161xf x f x -=-=-，112x ≤≤.当9,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，14,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()()1454161161x x f x ----=-=-.又函数()f x 满足()()122f x f x +=，所以，()()()4224f x f x f x -=-=，所以，()()5416144x f x f x ---==.令()5161142x f x --==，解得215log 34x =-，即2115log 3,42A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以，215log 34m ≥-.故215log 34m ≥-四、解答题17．已知关于x 的方程2320x ax a -+=，a ∈R .(1)当1a =时，在复数范围内求方程的解；(2)已知复数2i z a =+，若方程2320x ax a -+=有虚根，求z 的模的取值范围.【正确答案】(1)13x =±(2)1z <<【分析】（1）代入1a =，配方得到21239x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，开方即可得出答案；（2）由已知可得Δ0<，求解得出a 的取值范围，进而得出2137z <<，开方即可得出答案.【详解】（1）当1a =时，方程为23210x x -+=，配方可得，21239x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，两边开方可得，13x -=，所以，方程的解为133x =±.（2）要使方程2320x ax a -+=有虚根，则()222434120a a a a ∆=--⨯=-<，所以0<<3a ，所以209a <<.又2241z a =+，所以2137z <<，所以，1z <<.18．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建一个羊驼养殖场，规定ABCD 的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH 为羊驼养殖区，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB ＝x （单位：米），养殖区域EFGH 的面积为S （单位：平方米）．（1）将S 表示为x 的函数，并写出函数的定义域；（2）当AB 为多长时，S 取得最大值？并求出此最大值．【正确答案】（1）S ＝102－200x－x ，定义域为[5，20]；（2）当AB ＝米时，S 取得最大值，最大值为102－【分析】（1）由已知得到AD ＝100x，进一步得到EF ,FG 的长度用x 表示，即可得到S ；（2）利用基本不等式即可求得最大值.【详解】解：（1）因为AB ＝x ，所以AD ＝100x ，EF ＝x －2，FG ＝100x－1，所以S ＝(x －2)(100x －1)＝102－200x－x ，因为0＜x ≤20，0＜100x≤20，解得5≤x ≤20，所以S ＝102－200x －x ，定义域为[5，20]．（2）S ＝102－200x －x ≤102－＝102－，当且仅当x ＝[5，20]时取等号，答：当AB ＝米时，S 取得最大值，最大值为102－19．如图，在四边形ACBD 中，AB 与CD 交于点M ，且CD xCA yCB =+.(1)若2AM MB = ，3CD CM =，求x ，y 的值；(2)若2CB =，4CA =，45ACD ∠=︒，60BCD ∠=︒，求x ，y 满足的等量关系.【正确答案】(1)1x =，2y =(2)=【分析】（1）根据已知条件可推得，2233AM CB =- ，进而得出1233C CA CB M =+ .根据3CD CM =，即可得出,x y 的值；（2）根据数量积公式，求出CA CB ⋅=.进而求出(16CA CD x y ⋅=+ ，又根据数量积公式有CA CD ⋅=，即可得出(1CD y =+.同理可得出(4CD x y =-+，联立即可得出关系式.【详解】（1）由已知可得，AB CB CA =-.又2AM MB =，所以222333AM AB CA ==- .所以，22123333C C A M C A B C A A C B AM C C =+=+-=+.又3CD CM = ，所以122333CD CA CB CA CB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+.又CD xCA yCB =+，所以1x =，2y =.（2）由已知可得，105ACB ∠=︒，则5cos co 0s1ACB ∠=︒()5cos 460=︒+︒cos cos sin sin 45604560=︒︒-︒︒=，则cos 4222CA CB CA CB ACB ⎛⋅=∠=⨯⨯-= ⎝⎭则()CA CD CA xCA yCB ⋅⋅=+(216CA C y x xCA B y ⋅=+-+=，又cos 42CA CD CA CD ACD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ,所以，(16CD x y =+-，则(1CD y =+ .()CB CD CB xCA yCB ⋅⋅=+(24x yC y B =⋅++= .又1cos 22CB CD CB CD BCD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ，所以，(4CD x y =+.所以，有((41x y y -+=+，整理可得，=.20．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图象上两点，且函数()f x 的一个零点为5π12.(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到()y g x =的图象.令()()()F x f x g x =，求()F x 的最大值，若()F x 取得最大值时x 的值为0x ，求0tan 4x .【正确答案】(1)π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)94【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出ω，再由过点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，代入30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求A ，即可得出函数解析式；（2）根据图象平移得出()g x 解析式，利用三角恒等变换化简()F x ，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.【详解】（1）由图象过30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫⎪⎝⎭知π6x =为函数的对称轴，所以5πππ41264T =-=，即πT =，所以2π2π2πT ω===，又函数图象经过5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5πsin 2012A ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5πsin 06ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为图象过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以3πsin 26A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3A =，所以函数解析式为π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =的图象向左平移6π个单位长度可得π3sin 23cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到()cos 2y g x x ==，所以2π1()()()3sin 2cos 23sin 2cos 2cos 262F x f x g x x x x x x ⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭333π34cos 4sin 4444264x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ42π, Z 62x k k +=+∈，即0ππ,Z 122k x k =+∈时，()F x 有最大值94，此时0ππtan 2πtan ta 3n 43x k ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AC 边上的点，()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =-+-.(1)求ABC ∠的大小；(2)若1CD =，2AD BD ==，求BC 的长.【正确答案】(1)π3【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得222a c b ac +-=，然后根据余弦定理即可求得1cos 2ABC ∠=，进而根据角的范围，即可得出答案；（2）在BDC 以及BDA △中，分别根据余弦定理，结合πBDC BDA ∠+∠=，整理化简可得222180c a +-=.在ABC 中，根据余弦定理推出229a c ac +-=.联立两个方程，即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理以及已知可得，()()2222b a a c c c a =-+-，整理可得，222a c b ac +-=.由余弦定理可得，2221cos 222a c b ac ABC ac ac +-∠===.又()0,πABC ∠∈，所以π3ABC ∠=.（2）在BDC 中，由余弦定理可得，22225cos 24BD CD BC a BDC BD CD +--∠==⋅.在BDA △中，由余弦定理可得，22228cos 28BD AD AB c BDA BD AD +--∠==⋅.又πBDC BDA ∠+∠=，所以cos cos BDC BDA ∠=-∠，即225848a c --=-，整理可得222180c a +-=.因为3b AC AD CD ==+=，在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b a c ac ABC =+-∠，即2222π92cos3a c ac a c ac =+-=+-，整理可得，229a c ac +-=.联立222221809c a a c ac ⎧+-=⎨+-=⎩可得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，BC a ==22．已知()241xf x a =-+是定义在R 上的奇函数，()()22x x g x m -=+.(1)若[]1,2x ∈-时，()()()h x f x g x =的最大值为2，求m 的值；(2)设直线1x x =，2x x =与函数()2y f x =⎡⎤⎣⎦的图象分别交于A ，B 两点，直线1x x =，2x x =与函数()2y g x ⎡⎤=⎣⎦的图象分别交于C ，D 两点，若存在12x x ≠，且[]12,0,1x x ∈，使得//AB CD ，求m 的取值范围.【正确答案】(1)815m =或43m =-(2)1881,,225252m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【分析】（1）根据()00f =，求出1a =，然后代入函数验证奇偶性.化简得到()()22x xh x m -=-，结合22x x y -=-的单调性，根据m 与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出()()()()22222211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.令()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，代入整理可得()()()222412222x x x x H x m --=--++，令()222x x t -=+换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即021041a a -=-=+，所以1a =.当1a =时，()24114141x x x f x -=-=++，()()41144141x x x x f x f x -----===-++，因此，()f x 为奇函数.所以，()()()()412241x x xx h x f x g x m --⋅+=+=()()412282224141x x x x x x x x x m m---++--==++()()()21612412241x x x x x x xmm m ----==⋅-=-+.当[]1,2x ∈-时，22x x y -=-单调递增，若0m =，则()0h x =恒成立，不符合题意；若0m >，则()h x 单调递增，此时()()max 15224h x h m ===，所以815m =；若0m <，则()h x 单调递减，此时()()max 3122h x h m =-=-=，所以43m =-.综上所述，815m =或43m =-.（2）由题意可得，()()211,A x f x ⎡⎤⎣⎦，()()222,B x f x ⎡⎤⎣⎦，()()211,C x g x ⎡⎤⎣⎦，()()222,D x g x ⎡⎤⎣⎦，则()()()222121,AB x x f x f x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦uu u r ，()()()222121,CD x x g x g x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦uu u r.由//AB CD 可知，()()()()22222121f x f x g x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()()22222211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由题意可得，存在[]12,0,1x x ∈，()12x x ≠使得()()12H x H x =.()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222222222x x x x x x m ---⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭()()222412222x x x x m --=--++.令()222x xt -=+，该函数关于x 单调递增，且[]0,1x ∈时，254,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.设()241l t m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由题意可知()l t 在254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，当0m =时，不符合题意；当0m ≠时，对勾函数24y m t t =+在20,m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，因此22544m <<，解得1881,,225252m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .。
第十四中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
2020-2021 学年下学期河间十四中期中考试高一数学试题（满分：150分 时间：120分钟）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ）A ．1i i +B ．1i i +-C ．1i i -D ．1i i-- 2．如图所示， C B A '''∆是水平放置的ABC ∆的直观图，//A B y '''轴，//B C x '''轴，2A B ''=，3B C ''=，则ABC ∆中，AC =（ ）A ．2B ．5C ．4D 133．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ） A ．32 B ．32 C ．32- D ．124．如图，长方体1111ABCD A B C D -被两平面分成三部分，其中////EF GH BC ，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知向量()2,4a =，()1,1b =-，()2,3c =，若a b λ+与c 共线，则实数λ=（ ）A ．25B ．25-C ．35D ． 53-6．ABC ∆中，222sin sin sin A B C =+，且sin 2sin cos A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7．甲，乙两楼相距20m ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60︒，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则下列说法正确的有（ ）A ．甲楼的高度为m 3320B ．甲楼的高度为103mC ．乙楼的高度为403D ．乙楼的高度为103m8．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11A D 始终与水面EFGH 平行；④当1E AA ∈时，AE BF +是定值．其中正确说法的是（ ）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是（ ）A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反 D ．,AC BD 模相等10．已知复数121z i=-+（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）． A ．1z 对应的点在第三象限B ．1z 的虚部为1-C ．414z =D ．满足1z z =的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上11．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．712．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若30A =，4b =，3a =，则ABC ∆有两解C ．若ABC ∆为钝角三角形，则222a b c +>D ．若60A =，2a =，则ABC ∆第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量1e ，2e 不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )1e ＋(3x －4y )2e ＝61e ＋32e ，则x ＝________，y ＝________.14．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行；④棱台的侧棱延长后交于一点；⑤两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行． 其中正确命题的序号是 .15．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝32BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________． 16．若正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，若P 为AE 的中点，Q 在BD 上，若PQ //平面BCE ，则点Q 的位置是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）实数k 为何值时，复数(1＋i )·k 2－(3＋5i )k －2(2＋3i )分别是：（1）实数？ （2）虚 数？ （3）纯虚数？ （4）零？18．（12分）已知向量(3,1),(1,2),(1,1)a b c =-=-=.（1）求向量a 与b 的夹角；（2）若()c a kb ⊥+，求实数k 的值.19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .20．（12分）已知复数()()12cos ,2cos 4z b C a c i z a c B i =++=-+，且12z z =，其中B ，C 为ABC ∆的内角，,,a b c 为角､､A B C 所对的边.（1）求角B 的大小；（2）若22b =，求ABC ∆的面积.21．（12分）在①∠ABC=120°，②AB=1)这两个条件中任选一个，补充到下列题目中，进行解答：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=8，∠BAC=45°.(1)求AC的长；(2)若△BCD的面积等于BD的长.22．（12分）将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱（如图），设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A．（1）求面积A以x为自变量的函数关系式；（2）求出截得棱柱体积的最大值．数学答案1．A 11i i i+=-，对应点在第四象限. 2．B 在直观图C B A '''∆中，2A B ''=，3B C ''=，由斜二测画法知，在ABC ∆中，24AB A B =''=，3BC B C ''==，且AB BC ⊥； 所以2222435AC AB BC =+=+=．3．C 1123BM MC BC ==，1BM =， AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 4．D 长方体1111ABCD A B C D -被两平面分成三部分，其中////EF GH BC ，其中两个三棱柱，底面是直角三角形；另一个是底面为6边形的直棱柱，所以这三个几何体中是棱柱的个数为3.5．B 由()2,4a =，()1,1b =-，可得()2,4a b λλλ+=-+，又其与c 共线，故()322λ-=(4λ+),解得25λ=-. 6．C ∵222sin sin sin A B C =+，∴222a b c =+，∴2A π=，∴2B C π+=， ∵sin 2sin cos A B C =，∴2sin cos 1B C =，则22cos 1C =，∴2cos C =， ∴4C π，∴4B C π==，∴ABC ∆是等腰直角三角形．7．C 如图所示， 在Rt ABD △中，∠ABD =60°，BD =20m ，∴,32060tan m BD AD o ==，即甲楼的高度为.320m在ABC ∆中，设AC BC x ==，由余弦定理得：,cos 2222ACB BC AC BC AC AB ∠⋅⋅-+=即2221600=x x x ++，解得：403x =403m .8．C ①由棱柱的特征知：平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故①正确；②因为四边形EFGH 是矩形，EF 的长度变化，EH 长度不变，所以面积是改变的，故②错误；③因为11//A D EH ，11A D ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以11//A D 平面EFGH ，故③正确；④因为水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以1E AA ∈时，AE BF +是定值．故④正确．9．ACD ∵四边形ABCD 是矩形，AD ∥BC , |AC|=|BD|,所以,AD CB 共线，,AC BD 模相等,故A 、D 正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,,AC BD 模相等,但方向不同，故B 不正确;|AD|=|CB|且AD ∥CB ，所以,AD CB 的模相等，方向相反，故C 正确.10．AB 由题意，复数()()()12121111i z i i i i --===---+-+--，所以复数1z 在复平面内对应的点(1,1)--位于第三象限，所以A 正确；由11z i =--，可得复数的虚部为1-，所以B 正确；由()()()2422411124z i i i ⎡⎤=--=--==-⎣⎦，所以C 不正确；由221(1)(1)2z =-+-=，所以满足1z z =的复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，所以D 不正确.11．AD如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，则22225354431CD OC OD =-=--=-=；如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，则22225354437CD OC OD =+=--=+=.12．ABD对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin 4sin302b A ==，则sin b A a b <<，所以，ABC ∆有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC ∆为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立， 所以13sin 32ABC S bc A ==≤△，D 选项正确. 13．15- 12-因为向量1e ，2e 不共线，(2x －3y )1e ＋(3x －4y )2e ＝61e ＋32e所以2361534312x y x x y y -==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，故答案为15-；12- 14．④ 对于①，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；对于②，用平行于底面的一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；对于③，有可能出现两个平面相交；对于④，棱台的侧棱延长后交于一点；对于⑤，两个平面还有可能相交.15．66设2BD x =,则3=AB x ，3AD x =，4BC x =， 过点A 作AE BD ⊥，在ABD ∆中，所以DE x =，222AE AD DE x =-=，得6sin AE ADE AD ∠== 所以sin si 36n BDC ADE ∠=∠=，在BCD △中，利用正弦定理sin sin BC BD BDC C=∠， ∴2sin 6x C =，整理得6sin C =． 16．BD 的中点 当Q 为BD 的中点时，PQ //平面BCE ，证明如下： 连接AC .∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ∩BD =Q ，且Q 为AC 的中点.又P 为AE 的中点，∴PQ //EC .又PQ ⊄平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，∴PQ //平面BCE .∴点Q 为BD 的中点时，PQ //平面BCE .17．解：令()()222(1)(35)2(23)3456z i k i k i k k k k i =+-+-+=--+--.(1)当2560k k --=时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.(2)当2560k k --≠时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1. (3)当22340560k k k k ⎧--=⎨--≠⎩时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当22340560k k k k ⎧--=⎨--=⎩时，z ＝0，解得k ＝－1. 18．解：（1）设a 与b 的夹角为θ，由题意，2c 211os 49a ba b θ⋅===-⨯++. 因为[0,π]θ∈，故3π4θ=. （2）(3,12)a kb k k +=-+-，因为()c a kb ⊥+，所以()0c a kb ⋅+=， 即3120k k -++-=，解得2k =-.19．解：（1）∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ， ∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴1//A E 平面BCHG ， 20．解：（1）∵12z z =，∴cos (2)cos b C a c B =-，①，4a c +=②， 由①得2cos cos cos a B b C c B =+在△ABC 中，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， si 2s n(in c )sin()s s i o n B C B A A A π=+=-=，∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=， （2）∵22b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=， 由②得2()38a c ac +-=，得83ac =，∴1sin 2ABC S ac B =△=183232323⨯⨯=. 21．解：(1)如图，选条件①，在△ABC 中，由正弦定理得：8sin12046sin sin sin 45AC BC AC ABC BAC ⋅=⇒==∠∠ 选条件②， 在△ABC 中，由余弦定理得：222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠228[4(31)]284(31)cos12046=+--⋅⋅-⋅=，46AC ∴=(2)梯形ABCD 中，AB //CD ，o BCD 60=∠，由三角形面积定理得： ,1032032sin 21=⇒=⋅=∠⋅⋅=∆CD CD BCD CD BC S BCD 在△BCD 中，由余弦定理得：222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠228102810cos60221=+-⋅⋅⋅=，221BD ∴=22．解：（1）长方形一条边长为x ，对角线长为2，∴24-x ， 24A x x ∴=-2，02x ∴<<，∴面积A 以x 为自变量的函数关系式为)02A x x =<<.（2）截得的棱柱的体积)102V x x ===<<， ∴当22x =，即x max 2V =，即截得棱柱体积的最大值为2.。
四川省大竹县文星中学2014-2021学年高一下期5月月考数学 Word版含解析
四川省大竹县文星中学2022-2021学年高一下期5月月考 数学试卷1. 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)CA ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∁RB ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}，故选C.2. 已知向量OA →＝(2,2)、OB →＝(4,1)，在x 轴上的一点P ，使AP →·BP →为最小值，则P 点的坐标是( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(2,0) D ．(4,0)A设P (x 0,0)，则AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1， ∴x 0＝3时，取最小值．3.对于不重合的两直线m 、n 和平面α，下列说法中正确的是( ) A ．假如m α，n ⃘α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α B ．假如m α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥nC ．假如m α，n ⃘α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交D ．假如m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n B直线CC 1⃘平面 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AB 平面AC ，AC ，直线AB 和直线CC 1是异面直线，但是直线CC 1∩平面AC ＝C ，排解选项A ；直线AB 平面AC ，直线B 1C 1⃘平面AC ，直线AB 和直线B 1C 1是异面直线，但是直线B 1C 1∥平面AC ，排解选项C ；直线A 1B 1∥平面AC ，直线B 1C 1∥平面AC ，直线A 1B 1和直线B 1C 1共面，但是直线A 1B 1∩直线B 1C 1＝B 1，排解选项D.4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥ n B ．若α∥β，m α，n β，则m ∥n C ．若m ⊥ n ，mα，n β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β D本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系． m ⊥α，m ∥n ∴n ⊥α，又n ∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β.5. 圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．0条B由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，得圆心和半径分别为O 1(－2,2)，r 1＝1. 由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，得圆心和半径分别为O 2(2,5)，r 2＝4. 由于d (O 1，O 2)＝5，r 1＋r 2＝5，即r 1＋r 2＝d (O 1，O 2)， 所以两圆外切，由平面几何学问得两圆有3条公切线．6. ．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 D设动圆圆心为(x ，y )．当两圆内切时，(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1＝3，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9； 当两圆外切时，(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1＝5，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.7. 使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．－42≤m ≤4 2B ．－4≤m ≤4 2C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2B 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如图所示．则m 是直线y＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2.8. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤1)2x (x >1)，则f ＝( ) A.15 B ．3 C ．23D ．139D本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23，f ＝f (23)＝(23)2＋1＝139.9. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3}D令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x (x ≥0)－x 2－3x (x <0).∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3(x ≥0)－x 2－4x ＋3(x <0).当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}．10. 函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可知两个函数的图象有2个交点．11. 已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )}(n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335D∵f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，∴{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．∴S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335.12. 若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，则ab 的为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3C由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3. 圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b2＝5，∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.故ab ＝2.二、填空题13. 已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b ＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．a 2＋b 2＝a 2b 2 ∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋yb ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得： |－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2.14.两圆相交于点A (1,3)、B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 3AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上．∴m ＋12－1＋c ＝0，∴m ＋2c ＝1.又∵k AB ＝－1＝3－(－1)1－m ＝41－m ，∴m ＝5.∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.15. 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3. 4考查三视图和三棱锥的体积公式．该几何体直观图如图所示，其中AB ＝4，PF ＝2，CE ＝3.V P －ABC ＝13·S △ABC ·PF＝13×12×4×3×2＝4. 16. 下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中真命题的序号是________． ②④①错，必需是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可举一个斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此二对角线组成的平行四边形为矩形，故正确．三、解答题17. ．如图是某几何体的三视图，(1)你能想象出它的几何结构并画出它的直观图吗？(2)依据三视图的有关数据(单位：mm)，计算这个几何体的表面积．(1)由三视图可知这个几何体是由两个圆柱夹一个圆台组成的，其中下面圆柱底面直径为60mm ，母线长40mm ，中间圆台上、下底直径分别为40mm ，60mm ，高为20mm ，上面圆柱的底面直径为20mm ，高为40mm ，其直观图如图所示．(2)由三视图可知圆台母线长 l ＝202＋102＝105(mm)．∴所求的表面积S ＝S 下圆柱下底＋S 下圆柱侧＋S 圆台侧＋(S 圆台上底－S 上圆柱下底)＋S 上圆柱侧＋S 上圆柱上底 ＝π(602)2＋2π·602·40＋π·(602＋402)·105＋π·(402)2＋2π·202·40＝900π＋2400π＋5005π＋400π＋800π ＝(4 500π＋5005π)(mm 2) ＝(45π＋55π)(cm 2)．18.如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .(1)证明：由于AB ⊥平面P AD ， 所以PH ⊥AB ，由于PH 为△P AD 中AD 边上的高， 所以PH ⊥AD . 由于AB ∩AD ＝A ，所以PH ⊥平面 ABCD .(2)连接BH ，取BH 中点G ，连接EG ， 由于E 是PB 的中点，所以 EG ∥PH ， 由于PH ⊥平面ABCD ， 所以 EG ⊥平面 ABCD ， 则 EG ＝12PH ＝12，V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME ， 由于E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .由于 DF 綊12AB ，所以 ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形． 所以 EF ∥MD ，由于 PD ＝AD, 所以 MD ⊥P A . 由于 AB ⊥平面 P AD, 所以 MD ⊥AB .由于 P A ∩AB ＝A ，所以 MD ⊥平面P AB . 所以 EF ⊥平面 P AB .18.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． (1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，则有 32＋(－y )2＋12＝(－1)2＋y 2＋32，由于此式对任意y ∈R 恒成立， 即y 轴上全部点均满足条件|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA |＝|MB |， 所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形． ∵|MA |＝(3－0)2＋(0－y )2＋(1－0)2＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝10或y ＝－10.故y 轴上存在点M 使△MAB 为等边三角形， 点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．19. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝4＋1t，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益w (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． (1)依题意得，w (t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t)(115－|t －15|)．(2)由于w (t )＝⎩⎨⎧(4＋1t)(t ＋100)，(1≤t <15，t ∈N *)，(4＋1t )(130－t )，(15≤t ≤30，t ∈N *).①当1≤t <15时，w (t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t，即t ＝5时取等号．②当15≤t ≤30时，w (t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，可证w (t )在t ∈上单调递减，所以当t ＝30时，w (t )取最小值为40313.由于40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20. 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 又P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解， 即x 1、x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根． ∴x 1＋x 2＝－2③ x 1x 2＝4m －275.④又P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14． 将③④代入，得y 1y 2＝m ＋125.⑤将④⑤代入①，解得m ＝3.将m ＝3代入方程②，检验得Δ>0成立，∴m ＝3. 21. 已知圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，且经过点A (5,2)，B (3,2)， (1)求圆C 的标准方程；(2)直线l 过点P (2,1)且与圆C 相交，所得弦长为26，求直线l 的方程； (3)设Q 为圆C 上一动点，O 为坐标原点，试求△OPQ 面积的最大值．(1)设圆心P (x 0，y 0)，由题意可知，圆心应在线段AB 的中垂线上，其方程为x ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，2x －y －3＝0得圆心P (4,5)， ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －2)，整理得kx －y ＋1－2k ＝0， 则圆心到直线的距离为d ＝|4k －5－2k ＋1|k 2＋1＝|2k －4|k 2＋1.由题意可知，d 2＋(6)2＝r 2，即(2k －4)2k 2＋1＋6＝10，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y －2＝0或x ＝2. (3)直线OP 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.∴圆心到直线的距离为d ＝|4－2×5|22＋1＝65 5.则圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋10，又∵|OP |＝12＋22＝5，∴△OPQ 面积的最大值为12|OP |(d ＋r )＝12×5⎝⎛⎭⎫655＋10＝3＋522. 22. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，g (x )＝(6＋a )·2x －1. (1)若f (1)＝f (3)，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，推断函数F (x )＝21＋g (x )的单调性，并给出证明；(3)当x ∈时，f (x )≥a (a ∉(－4,4))恒成立，求实数a 的最小值． (1)∵f (1)＝f (3)，∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2， 即－a2＝2，故a ＝－4.(2)由(1)知，g (x )＝(6－4)·2x －1＝2x ， F (x )＝21＋2x(x ∈R )函数F (x )在R 上是减函数 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. ∴Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝21＋2x 2－21＋2x 1＝2(2 x 1＋1－2 x 2－1)(1＋2 x 1)(1＋2 x 2)＝2(2 x 1－2 x 2)(1＋2 x 1)(1＋2 x 2). 依据指数函数性质及x 1<x 2，得2 x 1－2 x 2<0， 由上式得Δy <0，所以F (x )在R 上是减函数． (3)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24，x ∈， 又a ∉(－4,4)，故－a2∉(－2,2)．①当－a2≥2，即a ≤－4时，f (x )在上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋2a ，故7＋2a ≥a ，即a ≥－7. 所以－7≤a ≤－4.②当－a2≤－2，即a ≥4时，f (x )在上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－2a ，故7－2a ≥a ，即a ≤73，这与a ≥4冲突，故此情形不存在． 因此，实数a 的最小值为－7.。
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新蔡二高2014-2015学年第二学期期中考试
2014 级 数学 考试卷 (优)
命题：管久红 审题：李建国
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、四边形ABCD 中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD （ ）
A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
2、若a ，b 是两个不平行的非零向量，并且a ∥c , b ∥c ，则向量c 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 不存在
3、化简（-）+（-）的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、下列四式不能化简为AD 的是（ ）
A ．（ +CD ）+ BC
B ．（ +）+（ B
C +CM ）
C ．-+
D ． +-
5、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ）
A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
6、函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ）
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．2
7、函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ）
A ．6x π=-
B ．12
x π=- C ．6x π= D ．12x π
=
8、为得到函数πcos 3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）
A ．向左平移π6个长度单位
B ．向右平移π
6个长度单位
C ．向左平移5π6个长度单位
D ．向右平移5π
6个长度单位
9、设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则 （ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
10、已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
11、若1
(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）
Ａ．21 Ｂ．2
1
- Ｃ．2- Ｄ．2
12、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x 二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 14、若3
sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
15、在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，设→-→--=a AB ，→
-→--=b AC ，
则=→
--AD （用→-a ，→
-b 表示）
16、下列命题中：正确命题的序号有_____________ （1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行. 三、解答题 17、（本小题10分）已知角α终边上一点P （－4，3），
求)
2
9sin()211cos()
sin()2cos(απαπαπαπ
+---+的值
18、（本小题12分）
如图 ，梯形ABCD 中，DC//AB ,AB DC 2
1= ，E 是CB 的中点。
设→-→--=a AB ， →-→--=b AD ，以 →-a 、→-b 为基向量，求→--AC ，→
--AE
（2） 求)(x g 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-3,6的最大和最小值
21、（本小题12分）已知函数f(x)＝2cos x(sin x - cos x)．
(1) 求
)4
3(
πf 的值；
(2) 求函数f(x)单调递增区间．
考场__ ____考号__________________ 班级_______ 姓名____________
18、（本小题12分）
如图 ，梯形ABCD 中，DC//AB ,AB DC 2
1= ，E 是CB 的中点。
设→-→--=a AB ， →-→--=b AD ，以 →-a 、→-b 为基向量，求→--AC ，→
--AE
（2） 求)(x g 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-3,6的最大和最小值
21、（本小题12分）已知函数f(x)＝2cos x(sin x - cos x)．
(1) 求
)4
3(
πf 的值；
(2) 求函数f(x)单调递增区间．。