最新高考数学总复习第十章计数原理、概率第2讲排列与组合学案.

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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合课件

解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化．
⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；____2_5_2_0_____
⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．_____3_7_2_0____
(2)(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)随着北京冬奥会的开
幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，
甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则
4．(2020·新高考Ⅱ卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学
生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法
共有( C )
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
[解析] 解法一：将 3 名学生 A、B、C 分成两组有 AB、C，AC、B，
A、BC,3 种方法，再将两组学生 1、2 分到甲、乙两村有甲 1 乙 2、甲 2
[ 引申 ] 本例中 7 人排一排， ① 甲站中间的站法有 ___7_2_0____ 种； ② 甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有___9_6_0____种；③甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有___9_6_0____种．
[解析] ①A36A33＝720；或 A66＝720； ②A22A14A55＝960； ③A22A44A25＝960.
②排成前后两排，前排3人，后排4人；____5_0_4_0_____

高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布2第2讲排列与组合课件理

B．44 种 C．48 种
D．54 种
解析：选 B.由题意知任务 A，E 必须相邻，且只能安排为 AE，
由此分三类完成：(1)当 AE 排第一、二位置时，用○表示其他
任务，则顺序为 AE○○○○，余下四项任务，先全排 D，F 两
项任务，然后将任务 B，C 插入 D，F 两项任务形成的三个空
隙中，有 A22A23种方法．(2)当 AE 排第二、三位置时，顺序为
某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A240＝40×39＝1 560 条留言．
答案：1 560
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________．解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列，有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)．答案：7 200
法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选 3 张，若都不同色，则不同取法的种数为 C14×C14×C14＝64，若 2 张颜色相同，则不同取法的种数为 C23×C12×C24×C14＝144. 若红色卡片有 1 张，则剩余 2 张不同色时，不同取法的种数为 C14×C23×C14×C14＝192，剩余 2 张同色时，不同取法的种数为 C14×C13×C24＝72，所以不同的取法共有 64＋144＋192＋72＝ 472(种)．答案：472

高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2 排列与组合课件(理)

(1)解方程 3Ax8＝4Ax9－1； (2)解方程 Cxx＋＋13＝Cxx－＋11＋Cxx＋1＋Cxx－＋22.
解：(1)利用 3Ax8＝3（8－8！x）！，4Ax9－1＝4（9－9x＋！1）！，得到（38× －8x）！！＝（140×－9x！）！. 利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9 －x)＝4×3. 再化简得到 x2－19x＋78＝0. 解方程得 x1＝6，x2＝13.由于 Ax8和 Ax9－1有意义，所以 x 满足 x≤8 和 x－1≤9.于是将 x2＝13 舍去，原方程的解是 x＝6.
(2)由组合数的性质可得 Cxx－＋11＋Cxx＋1＋Cxx－＋22＝C2x＋1＋Cx1＋1＋C4x＋2＝C2x＋2＋C4x＋2，又 Cxx＋＋13＝Cx2＋3，且 C2x＋3＝Cx2＋2＋C1x＋2，即 C1x＋2＋Cx2＋2＝C2x＋2＋C4x＋2.∴C1x＋2＝Cx4＋2， ∴5＝x＋2，x＝3.经检验知 x＝3 符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为 x＝3.
(2015·河北模拟)某单位要邀请 10 位教师中的 6
位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，
则邀请的不同方法有( )
A．84 种
B．98 种
C．112 种
D．140 种
解：不同的邀请方法有：C12C85＋C86＝112＋28＝140 种．故选 D.
(2015·四川)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没
(1)解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2； (2)计算：C22＋C23＋C24＋…＋C2100.
解：(1)由 3Ax3＝2A2x＋1＋6A2x得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，由 x≠0 整理得 3x2－17x＋10＝0. 解得 x＝5 或23(舍去)．即原方程的解为 x＝5. (2)原式＝(C33＋C23)＋C24＋…＋C2100 ＝(C34＋C24)＋…＋C2100＝…＝C3100＋C2100 ＝C3101＝166650.

高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.2排列与组合课件理

第二十三页，共52页。
[结论探究 1] 若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？
解先将其余四个同学排好，有 A44种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有 A44A35＝1440 种方法．
第二十四页，共52页。
[结论探究 2] 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？
第三十页，共52页。
冲关针对训练 (2018·北京西城区相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有___3_6____种．
解析记其余两种产品为 D，E，将相邻的 A，B 视为一个元素，先与 D，E 排列，有 A22A33种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A22A33C13＝2×6×3＝36 种不同的摆法．
第三十二页，共52页。
解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C324＝561 种，∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种．
(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334＝5984 种． ∴某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种． (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C125＝2100 种． ∴恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种．
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A41A55A22 ＝960 种方法．
第二十二页，共52页。
(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)A77－A66·A22＝3600 种．解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A62种方法，所以一共有：A26·A55＝ 3600 种． (7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有AA7722＝2520 种．

高考数学一轮复习第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合课件理

(5)方法一：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A44种，所以共有 A66－2A55＋A44＝504 种．
方法二：以元素甲分为两类：①甲在右端有 A55种；②甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 A14·A14·A44种．据分类加法计数原理，故共有 A55＋A14·A14·A44＝504 种站法．
法二：先将所在的泳道编号是 3 个连续数字的 3 名运动员全排列，有 A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余 5 名运动员全排列，有 A66种排法，故共有 A33A66＝4 320 种安排方式．
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第十六页，共三十四页。
考点二组合问题
(1)从一架钢琴挑出的 10 个音键中，分别选择 3 个，4 个， 5 个，…，10 个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．
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第四页，共三十四页。
公式
性质备注
排列数公式
组合数公式 Cnm＝AAmnmm＝
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝n－n！m！
nn－1n－m2！…n－m＋1＝ n！
m！n－m！
Ann＝n×(n－1)×(n－
C0n＝1；
2)×…×3×2×1＝n！；
Cnm＝Cnn－m；
答案：7 200
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第九页，共三十四页。
5．将 2 名女教师，4 名男教师分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 1 名女教师和 2 名男教师组成，则不同的安排方案共有________种．

高考数学总复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2 排列与组合课件理

解析：设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A,3 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B,4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C，则选派 2 名参赛同学的方法可以分为以下 4 类：
第一类：A 中选 1 人参加象棋比赛，B 中选 1 人参加围棋比赛，选派方法为 C12C13＝6 种；
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第十三页，共四十二页。
(2)某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工
程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工
程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这 6 项工程的不同方
法种数为( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
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第十四页，共四十二页。
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第二十六页，共四十二页。
角度 2 分组、分配问题
国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免
费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有 90 种不
同的分派方法．
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第二十七页，共四十二页。
机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同
的着舰方法种数为( C )
A．24
B．36
C．48
D．96
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第二十五页，共四十二页。
解析：根据题意，分 2 种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的 4 架飞机全排列，有 A44＝24 种情况，即此时有 24 种不同的着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的 2 架飞机中任选 1 架，作为最先着舰的飞机，将剩下的 4 架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种情况，即此时有 24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法．故选 C.

高考数学一轮总复习第十章排列与组合

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，拓展提高均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．

高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布2第2讲排列与组合教案理

第2讲排列与组合1．排列、组合的定义判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：选C.由于lg a －lg b ＝lg ab，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．答案：75有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A47＝840(种)．答案：840排列应用题[典例引领]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解】(1)从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[通关练习]1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为( )A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种，故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种)，故选B.2．(2018·兰州市高考实战模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种解析：选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步计数原理，共有A22A1818种站法．故选D.组合应用题[典例引领]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C 24C 12C 12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种，因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题； (2)分组、分配问题； (3)特殊元素(位置)问题．[典例引领]角度一相邻、相间问题(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种【解析】特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C 12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C 12A 44A 22＝96种，故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题(2018·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种【解析】 5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法，当5名学生分成3，1，1时，共有C 35A 33＝60种方法，根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．【答案】 C角度三特殊元素(位置)问题从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．【解析】分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6个；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2C 23A 33＝36个；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9个．故这样的三位数共有51个．【答案】 51解排列、组合综合应用问题的思路[通关练习]1．高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有( )A ．864B ．432C ．288D ．144解析：选A.选3男2女的选法有C 34C 23＝12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有A 33A 24＝72，所以共有12×72＝864种．2．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24 D ．2A 26解析：选B.法一：将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种)．所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)．法二：先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种)．3．(2017·高考天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960个，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 080对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．易错防范(1)区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关．(2)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.4．某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有( )A．36种B．68种C．104种D．110种解析：选C.分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C37－1)·A22＝68种；第二类有(C27－C23)·A22＝36种，所以共有N＝68＋36＝104(种)．5. 如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( ) A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．7．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020解析：选C.当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．8．(2018·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有( )A．360种B．720种C．780种D．840种解析：选B.由题意知2，3，4，5的颜色都不相同，先涂1：有6种方法，再涂2，3，4，5，有A45种方法，故一共有6·A45＝720(种)．9．(2018·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15 A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．10．(2018·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1，2，3，4，5.要求1，4不相邻．分四类：①先排4，5时，则1只有1种排法，2，3在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；②先排3，5时，则4只有1种排法，2，1在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；③先排1，2时，则4只有1种排法，3，5在剩余的两个位上，这样有A22A22＝4种排法；④先排1，3时，则这样的数只有两个，即21534，43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法，故选B.11．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C.不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C23A33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C13A33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．12．(2018·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(2018·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)解析：从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有A22种，故有N＝C35A22＝20种调整方案．答案：2015．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．答案：66016．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．解析：首先排两个奇数1，3，有A22种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.答案：81．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( ) A．144种B．108种C．72种D．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C24种选法，从4个车库中选取2个车库有C24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C24C24A22＝72种不同的放法．故选C.2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720解析：选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600，故选C.3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有C24·A22＝A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．6．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B中的元素从小到大排列，求第1 081个元素．解：将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C25×22×A22－C14×2＝72(个)；三位数有C35×23×A33－C24×22×A22＝432(个)．(2)存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数，则该两个数字之和为9，与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数．(3)四位数共有C45×24×A44－C34×23×A33＝1 728(个)，因此第1 081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位为1，2，3的四位数有3×C34×23×A33＝576(个)，因此第1 081个元素是4 012.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2024版高考数学一轮复习教材基础练第十章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合教学课件

!
!
!
1.ABD 对于A,左边=
+m·
=
+m·
=
=右边,∴A正确;对于B,右边
(−)!
(−+1)! (−+1)!
(−+1)! (−+1)!
·(−1)!

!
!

=
=·
=r·
=左边,∴B正确;对于C,右边=C−1 +C =C+1
≠左边,∴C错误;对于D,
(−1)!(−)! (−1)!(−)! !(−)!
5 040(种)排列方法.
(2)144 完成这个事件,可以分两步,根据分步乘法计数原理知,共有A33 A44 =3×2×1×4×3×2×1=144(种)排列方法.
(3)720 完成这个事件,可以分两步,首先把甲放在正中间的位置,然后把余下的6名同学进行全排列,共有1×A66 =
720(种)排列方法.
教材素材变式
(4)720 完成这个事件,可以分两步,首先把甲放在第2排的中间位置,然后把余下的6名同学进行全排列,共有
1×A66 =720(种)排列方法.
(5)240 完成这个事件,可以分两步,第一步,甲、乙站在两端的排法有A22 种,第二步,将余下的5名同学进行全排列,
有A55 种排法,故共有A22 ·A55 =240(种)排列方法.
种;
(4)至少有2种假货在内,不同的取法有
种;
(5)至多有2种假货在内,不同的取法有
种.
答案
34×33
=561
2
2
3.(1)561 由题意,从余下的34种商品中选取2种即可,有C34
=
(种)取法.所以,某一种假货必须在内的不同

高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合教学案理新人教A版

10.2 排列与组合考纲要求1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值．排列数公式A mn ＝________________，右边的第一个因数是n ，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是n －m ＋1，共____个连续正整数相乘．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成A m n ＝__________，它主要有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律．2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C m n ＝A A mn m m＝__________________，其分子的组成与排列数A m n 相同，分母是m 个元素的全排列数．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成C mn ＝______，它有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证．3．组合数公式有两个性质：(1)C m n ＝______，该公式说明，从n 个不同元素中取出m个元素与从n 个不同元素中取出n －m 个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)1C m n +＝__________________，该公式说明，从a 1，a 2，…，a n＋1中取出m 个元素的组合数1C m n+可以分成两类：第一类含有元素a 1，共1C m n -个；第二类不含元素a 1，共C m n 个．1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )．A ．8289A AB ．8289AC C ．8287A AD ．8287A C2．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4843．设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1＜a 2＜a 3，a 3－a 2≤6，则满足条件的集合A 的个数为( )．A ．78B ．76C ．84D ．834．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种．5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．一、有限制条件的排列问题【例1－1】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．【例1－2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)．方法提炼对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．请做演练巩固提升5二、组合问题【例2－1】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )．A．14 B．16 C．20 D．48【例2－2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．方法提炼1．注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2．有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数．请做演练巩固提升1三、排列与组合的综合应用【例3－1】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是( )．A．152 B．126 C．90 D．54【例3－2】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？方法提炼排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准．请做演练巩固提升3排列组合的综合应用【典例】(2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有224222C CA＝3种分法，A＝2种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有22A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A答题指导：1．仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；2．深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；3．对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；4．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种 B．10种 C．18种 D．20种2．(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A．10种 B．15种C．20种 D．30种3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )．A．10 B．20 C．30 D．404．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．5．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)参考答案基础梳理自测知识梳理1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m n ！(n －m )！2．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！3．C n m n - 1C C m m n n -+基础自测1．A 解析：运用插空法．先将8名学生排列，有A 88种排法；再把2位老师插入8名学生形成的9个空中，有A 29种排法，因此共有A 88A 29种排法．2．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 13C 24C 13C 14＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.3．D 解析：易知在满足a 1＜a 2＜a 3的集合A 中，仅有{1,2,9}不满足a 3－a 2≤6，故满足条件的集合A 的个数为C 39－1＝83.4．24 解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有A 22A 33A 22＝24.5．72 解析：其余三个人站成一排有A 33＝6种，甲、乙两人插空有A 24＝12种，共6×12＝72种．考点探究突破【例1－1】40 解析：先将3,5排列，共有A 22种排法；再将4,6插空排列，有2A 22种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有C 15种排法．由分步乘法计数原理，共有A 22·2A 22·C 15＝40种．【例1－2】解：(1)①直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．(3)可先排丙、丁有A 24种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种)，或看作定序问题A 44A 22＝12(种)．【例2－1】B 解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有C 12C 24＝12种选法；(2)甲企业无人选中，有C 34＝4种选法，所以由分类计数原理可知共有12＋4＝16种可能．间接法：C 36－C 22C 14＝16.【例2－2】解：(1)依题意，应选一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)．(3)至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)或采用排除法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为： C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选，有C 412种；；第二类女队长不当选：C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44.故选法共有：C 412＋C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44＝790(种)．【例3－1】B 解析：(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23A 33＝18；若有1人从事司机工作，则方案有C 13C 24A 33＝108种，所以不同安排方案种数是18＋108＝126.(间接法)5人从事4项工作，所有不同安排方案的种数是C 25A 44＝240.不符合要求的有两类：一是甲、乙都从事开车工作，有A 33＝6种；二是甲、乙有1人从事开车工作，它包括只有1人从事开车工作和有2人从事开车工作，故共有C 12C 13A 33＋C 12C 24A 33＝36＋72＝108种．所以不同安排方案种数是240－6－108＝126.【例3－2】解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84(种)．演练巩固提升1．B 解析：可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C 24＝4×32＝6种．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C 14＝4种，∴共有6＋4＝10种．2．C 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 23＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 24＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.3．B4．140 解析：∵从10名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 410种不同挑选方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 48种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C 410－C 48＝210－70＝140种．5．解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A 33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A 55种排法，由分步计数原理，有A 33A 55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A 44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有A 35种方案，故符合条件的排法共有A 44A 35＝1 440种不同排法．(3)甲、乙两人先排好，有A 22种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙两人中间，有A 35种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的两人再排，又有A 33种排法，这样总共有A 22A 35A 33＝720种不同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A 44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A 22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有A 25种排法．这样，总共有A 44A 22A 25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A 47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A 47＝840种不同排法．。

高考数学大一轮复习第十章计数原理 10.2 排列与组合学案理北师大版-北师大版高三全册数学学

§10.2 排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A mn 表示．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C mn 表示． 3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！；(2)C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！性质(3)0！＝1；A nn ＝n ！；(4)C mn ＝C n －mn ；C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( ×)(6)k C k n＝n C k－1n－1.( √)题组二教材改编2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种答案 B解析第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A．180 B．240C ．540D ．630答案 C解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答) 答案 45解析设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).题型一排列问题1．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( ) A ．18 B ．108 C ．216 D ．432 答案 D解析根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共C 23A 22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A 33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A 24种排法．综上，共有C 23A 22A 33A 24＝3×2×6×12＝432(种)排法，故选D.2．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( ) A ．1 108种 B ．1 008种 C ．960种 D ．504种答案 B解析将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有A 22A 66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．方法二(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练 (1)在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为( )A．30 B．36C．60 D．72答案 A解析因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种．其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24－C24＝30(种)．故选A.(2)(2017·武汉二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种 C．65种 D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．题型三排列与组合问题的综合应用命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题典例 (1)(2018·青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．答案 60解析 2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60. (2)(2017·上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种答案 B解析根据题意，分两种情况讨论：①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C 23×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式；②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C 13×C 12×C 12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B. 命题点2 分组与分配问题典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案 90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法．(2)(2017·广州调研)有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．答案 36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)． (2)分组、分配问题的求解策略 ①对不同元素的分配问题a ．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．b ．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．c ．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种答案 D解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C 12种方法；再选3名男生，有C 36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．(3)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种．答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种)．1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 答案 C解析由于lg a －lg b ＝lg ab(a >0，b >0)，∴lg a b 有多少个不同的值，只需看a b不同值的个数．从1,3,5,7,9中任取两个作为a b ，有A 25种取法，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数为A 25－2＝18.2．(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!答案 C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( ) A ．16 B ．18 C ．24 D ．32 答案 C解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A 33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．4．(2018·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( ) A ．A 55种 B ．A 22种 C ．A 24A 22种 D ．C 12C 12A 22A 22种答案 D解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C12A22A22种摆放方法．5．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A．6 B．18C．20 D．24答案 B解析由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.6．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72答案 D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)答案11解析把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．8．(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．(2017·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有______种．答案 36解析 2名内科医生的分法为A 22，3名外科医生与3名护士的分法为C 23C 13＋C 13C 23，共有A 22(C 23C 13＋C 13C 23)＝36(种)不同的分法．10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．答案 240解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 35＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个)．11．(2018·郑州模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．答案 120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知，共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．12．(2017·衡水四模)某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．13．(2018·合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A ．120B ．240C ．360D ．480答案 C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 14C 13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 25种方法；若相邻，有C 15A 22种，故共有C 14C 13(A 25＋C 15A 22)＝360(种)，故选C.14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．答案 150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150(种)放法．15．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a ，b ，c 三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有( ) A ．96种 B ．124种 C ．130种 D ．150种答案 D解析这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：第一种，“2,2,1”，其安排方法有C 25C 23C 11A 33A 22＝90(种)；第二种，“3,1,1”，其安排方法有C 35C 12C 11A 33A 22＝60(种)，满足题意的安排方法共有90＋60＝150(种)．故选D.16．(2017·洛阳预测)设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.。

高考数学一轮总复习教学课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合

法共有 +4×4× =504 种.
法二(间接法) 甲、乙、丙、丁等 6 人全排列有种排法,其中甲在最
左边时,有种排法,乙在最右边时,有种排法,其中都包含了甲在最
左边且乙在最右边的情形,有种排法,故共有 -2 + =504 种排法.
(9)排成前后两排,前排2人,后排4人.
-
√
-
解析:(1)对于
!

A,因为 =
,所以
(-)!
A 不正确;
+
对于 B,(n+2)(n+1)
=(n+2)(n+1)n·(n-1)…(n-m+1)=

+ ,

故 B 正确;对于 C, + + +…+
= + + + +…+
解:(9)分两步完成,先选 2 人站前排,有种排法,余下 4 人站后排,
有种排法,共有 =720 种排法.
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
直接利用排列数公式列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,
同时注意捆绑元素的内部排列
解:(6)先排甲、乙、丙有种不同的排列方法,然后在甲、乙、丙
3 人排好形成的 4 个空隙中,选择前 3 个或后 3 个排其他 3 人,各有
种排法,因此满足条件的排列方法有 2 =72 种.
(7)6人排好后,从左向右看甲、乙、丙3人的顺序一定;
解:(7)由于甲、乙、丙3人的顺序一定,则满足条件的排法共有
D 正确.故选 BD.

高三数学一轮总复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列 10.2 排列与组合课件.ppt

(3)排列数公式
n！
Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝□4 _n_－__m__！__。
Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝□5 __n_！___，规定0！＝1.
5
2．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个 □6 ___不__同___的元素中取m(m≤n)个元素合成一
(1)选其中5人排成一排；
解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法。
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
解析：(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法。
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
解析：(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A
123 312 231 A.6种 B．12种 C．24种 D．48种
解析：如图，不同填法有：C13·C12·C12＝12(种)。 C13 C12 C11 C12 C11 C11 C11 C11 C11
答案：B
12
4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、 4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为( )
9
1．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作
为A、B的值，则所得不同直线的条数是( )
A．20
B．19
C．18
D．16
解析：重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋2y＝0，∴有A
2 5
－2＝
18(条)。
答案：C
10
2．某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门。学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 ()

2025版高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第二节排列与组合课件

每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(
)
A．60种
B．120种
C．240种
D．480种
答案：C
解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1
名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其
余每组1人，共有 25 种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有44 种安
端插入不相邻元素．
巩固训练3
(1)[2024·河南郑州模拟]黄金分割最不等的a，b两段，使
得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋
b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，
答案：C
解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61 ＝6(种)情况，再从剩下的5种
课外读物中各自选1本不同的读物，有 15 41 ＝20(种)情况，由分步乘法计数原理
可得共有6×20＝120(种)选法，故选C.
2．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文
艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
(
)
A．12种
B．24种
C．36种
D．48种
答案：B
解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有
2233 21 ＝24(种)不同的排列方式．故选B.
3．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道
速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，
4．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共
选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为

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第2讲排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知识梳理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！(2)C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n).特别地C0n＝1性质(1)0！＝1；A n n＝n！(2)C m n＝C n－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.( )(4)k C k n＝n C k－1n－1.( )解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C x n＝C m n，则x＝m或n－m，故(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24.答案 B3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A.18B.24C.30D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.答案 C4.(2017·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A66＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33A34＝144个.答案720 1445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).解析末位数字排法有A12，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.答案486.(2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种.甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法.其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种).答案49考点一排列问题【例1】(2017·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A 55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同排法.(3)法一 (位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400(种)不同排法.法二 (元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400(种)不同排法.(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排法种数为12A 88＝20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一 (特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种；其余人6个人进行全排列，有A 66种.共有A 16·A 16·A 66种. 由分类加法计数原理，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960(种).法二 (特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960(种).法三 (间接法)8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种.因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960(种).规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 (1)(2017·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( ) A.120 B.240C.360D.480(2)(2017·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30B.600C.720D.840解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种方法；若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.答案(1)C (2)C考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 (1)(2017·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( ) A.90B.115C.210D.385(2)(2017·湖州市质检)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A.60种B.63种C.65种D.66种解析 (1)分三类，取2个黑球有C 24C 26＝90种，取3个黑球有C 34C 16＝24种，取4个黑球有C 44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种). 答案 (1)B (2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种).规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A.A 26C 24B.12A 26C 24 C.A 26A 24 D.2A 26(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析 (1)法一将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26(种).所以不同的安排方法有12C 24A 26(种).法二先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60. 答案 (1)B (2)60[思想方法]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.[易错防范]1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.。

最新高考数学总复习第十章计数原理、概率第2讲排列与组合学案.

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