第3章-温度场数学模型与数值求解
第三讲 温度场的有限元分析
传热基本原理
• 上述偏微分方程式是传热学理论中的最 基本公式，适合于包括铸造、焊接、热 处理过程在内的所有热传导问题的数学 描述，但在对具体热场进行求解时，除 了上述偏微分方程外，还要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
传热基本原理
对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
• 初始条件： 初始条件是指物体开始导热时（即 t
= 0 时）的瞬时温度分布。
• 边界条件： 边界条件是指导热体表面与周围介质
间的热交换情况。
传热基本原理
• 常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变 Tw f (t ) 化关系 第二类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随 时间的变化关系 T q x , y , z , t
• 2、二维稳态热传导方程及边界条件
T T (k x ) (k y ) Q 0 在 内 x x y y 在 1上 在 2上 T (T a T ) n
T ( x, y , t ) T (1 , t ) k
平面稳态温度场的有限元法
• • • 1、泛函与变分 函数 y=f(x) 求y 的极值，即求微分，由dy=0 可得。 泛函J=J [y(x)] 函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的 泛函，求泛函的极值，即求变分， 由 J 0 可得。 • 例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物 靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。 • 显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大， 即下滑的时间并非最短。 A x n 设AB间有n条曲线 yi ( x) i 1, 2,... ， 每条曲线对应一个时间 Ti i 1, 2,...n ， 即T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值 则可得最速下降曲线 p B v y
第三章非稳态导热
第三章⾮稳态导热第三章⾮稳态导热的分析计算 3-1 ⾮稳态导热过程分析⼀、⾮稳态导热过程及其特点导热系统（物体）内温度场随时间变化的导热过程为⾮稳态导热过程。
在过程的进⾏中系统内各处的温度是随时间变化的，热流量也是变化的。
这反映了传热过程中系统内的能量随时间的改变。
我们研究⾮稳态导热过程的意义在于，⼯程上和⾃然界存在着⼤量的⾮稳态导热过程，如房屋墙壁内的温度变化、炉墙在加热（冷却）过程中的温度变化、物体在炉内的加热或在环境中冷却等。
归纳起来，⾮稳态导热过程可分为两⼤类型，其⼀是周期性的⾮稳态导热过程，其⼆是⾮周期性的⾮稳态导热过程，通常指物体（或系统）的加热或冷却过程。
这⾥主要介绍⾮周期性的⾮稳态导热过程。
下⾯以⼀维⾮稳态导热为例来分析其过程的主要特征。
今有⼀⽆限⼤平板，突然放⼊加热炉中加热，平板受炉内烟⽓环境的加热作⽤，其温度就会从平板表⾯向平板中⼼随时间逐渐升⾼，其内能也逐渐增加，同时伴随着热流向平板中⼼的传递。
图3-1显⽰了⼤平板加热过程的温度变化的情况。
从图中可见，当0=τ时平板处于均匀的温度0t t =下,随着时间τ的增加平板温度开始变化，并向板中⼼发展，⽽后中⼼温度也逐步升⾼。
当∞→τ时平板温度将与环境温度拉平，⾮稳态导热过程结束。
图中温度分布曲线是⽤相同的?τ来描绘的。
总之，在⾮稳态导热过程中物体内的温度和热流都是在不断的变化，⽽且都是⼀个不断地从⾮稳态到稳态的导热过程，也是⼀个能量从不平衡到平衡的过程。
⼆、加热或冷却过程的两个重要阶段从图3-1中也可以看出，在平板加热过程的初期，初始温度分布0t t =仍然在影响物体整个的温度分布。
只有物体中⼼的温度开始变化之后(如图中τ>τ2之后)，初始温度分布0t t =的影响才会消失，其后的温度分布就是⼀条光滑连续的曲线。
据此，我们可以把⾮稳态导热过程分为两个不同的阶段，即：初始状况阶段――环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，也就是物体（或系统）仍然有部分区域受初始温度分布控制的阶段；正规状况阶段――环境对物体的热影响已经扩展到整个物体内部，且仍然继续作⽤于物体的过程，也就是物体（或系统）的温度分布不再受初始温度分布影响的阶段。
第三讲 温度场的有限元分析
2
...
二维单元
Ni ( x)ui
1
n
注：Ni可为Lagrange、 Hamiton多项式或形函 数，在+1~-1间变化
u ( x, y ) N i ui
1
n
v( x, y ) N i vi
1
n
第三讲 温度场的有限元分析
参考： 《有限单元法在传热学中的应用》，孔祥谦 编著， 北京：科学出版社，第三版，1998.9 （TK124/7）
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
平面稳态温度场的有限元法
• 1、泛函与变分
温度场基本方程推导
• 整理得：
c T T T T (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 t x x y y z z
• 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真 实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布， 即初始条件，称为第一类边界条件 T ( x, y, z, t )t 0 T ( x, y, z ) • 同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换 的规律，即边界条件，有三类边界条件。
边界面上的热流密度q[w/m2]为已知
2T 2T 2 0 2 x y
T k n
q 0
1
平面稳态温度场的有限元法
• 2、平面稳态温度场的泛函 第三类边界条件平面稳态温度场
温度场分析理论总结
温度场分析理论总结温度场分析理论是研究温度分布和传热的一种方法，广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
本文将对温度场分析理论进行总结，包括温度场分析的基本原理、常见的温度场分析方法以及其应用领域和发展趋势。
温度场分析的基本原理是通过对传热方程的求解，得到系统内不同位置上的温度分布。
传热方程一般为热传导方程，描述了热量在系统中的传递过程。
根据热传导方程，可以得到温度场的分布情况，并通过对温度场进行求解，得到系统内不同位置上的温度值。
常见的温度场分析方法包括解析解法和数值解法。
解析解法是通过解析求解热传导方程，得到温度场的解析表达式。
这种方法通常适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到温度场分布。
但对于复杂的几何形状和边界条件的情况，解析解法往往无法得到解析表达式，需要使用数值解法进行求解。
数值解法是通过将区域离散化为有限的网格，将热传导方程离散化为一组代数方程，并通过迭代方法求解这些方程，得到温度场分布。
常见的数值解法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是将区域划分为有限个节点，并在每个节点上近似热传导方程的导数，从而得到一组代数方程。
有限元法和边界元法则是将区域划分为有限个单元，通过对单元内部的温度进行逼近，得到温度场的数值解。
温度场分析理论广泛应用于工程领域，对于设计和优化热传导设备和系统具有重要意义。
比如，在电子器件的散热设计中，通过对温度场的分析，可以评估器件的散热性能，优化散热结构，提高器件的工作效率和寿命。
在热处理过程的温度控制中，通过对温度场的分析，可以控制加热行程和时间，保证材料达到所需的热处理效果。
在建筑空调系统的设计中，通过对温度场的分析，可以确定合理的风流设计，提高空调系统的能效。
温度场分析理论的发展趋势主要体现在以下几个方面。
首先，随着计算机技术的快速发展，数值解法在温度场分析中的应用越来越广泛。
计算机能够快速进行大量数据的计算和处理，大大提高了温度场分析的效率和精度。
热处理过程中温度场的数值模拟及分析
热处理过程中温度场的数值模拟及分析热处理是一种常用的金属加工工艺，通过控制金属材料的加热与冷却过程，可以改变金属材料的组织结构和性能。
温度场是热处理过程中重要的参数之一，直接影响着金属材料的组织和性能的形成与变化。
因此，准确地模拟和分析热处理过程中的温度场对于优化工艺、改善产品质量具有重要意义。
数值模拟是研究温度场的有效方法之一。
它基于数学模型和计算方法，通过计算机的数值计算来获得温度场的分布情况。
在热处理过程中，温度场的分布受到多个因素的影响，如加热功率、材料热导率、热辐射、对流散热等。
数值模拟通过建立数学模型，考虑这些因素，并进行相应的计算，可以得到较为准确的温度场分布。
首先，进行数值模拟需要选择适当的数学模型。
在热处理过程中，常用的模型有热传导方程、能量方程等。
热传导方程是研究物体内部温度分布的基本方程，它考虑了热传导过程中的温度梯度对热流的影响。
能量方程则是考虑了热源与物体之间的热交换过程，可以更全面地描述温度场的变化。
其次，进行数值模拟需要确定边界条件。
边界条件是指在模拟过程中与外界接触的部分，它对于温度场的分布起着重要的影响。
常见的边界条件有热流、热辐射和对流散热等。
热流边界条件是指物体表面受到的外部热量输入或输出，热辐射边界条件是指物体表面受到的辐射热量，而对流散热边界条件则是指物体与周围介质间的热交换。
然后，进行数值模拟需要进行网格剖分。
网格剖分是将模拟区域分成小的单元，用于离散方程和计算。
在温度场的数值模拟中，常用的网格剖分方法有结构化网格和非结构化网格。
结构化网格是指将模拟区域划分为规则的矩形或立方体单元，易于计算和分析。
非结构化网格则是将模拟区域划分为任意形状的单元，适用于复杂几何形状和不均匀材料性质的模拟。
最后，进行数值模拟需要选择合适的求解方法。
在热处理过程中，常用的求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是基于差分逼近的一种方法，将参与方程离散化成代数方程，并通过迭代计算得到数值解。
第3章-温度场数学模型与数值求解
整理得：
Ti
t t
4 T jt Ti t t Ti i C pi x j 1 x x 2 i 2 j t
变形得：
Ti t t
4 t 1 1 x x i C pi x j 1 2 i 2 j
4 T jt t Ti t i C pi x j 1 x x 2 i 2 j
qs
T 0, x x s x
T1 T2 R
(4) 完全接触边界条件 (5) 绝热边界条件 (6) 温度为定值的边界条件
1
T1 T 2 2 x x
T 0 x
T=定值
(7) 比热流量为定值的边界条件
q s 定值
20
第六节 潜热处理（1/5）
1 、定义 液相的内能EL大于固相的内能ES，因此，当合金凝固由液相变为 固相时，必须产生的内能变化。这个内能变化（通常用L表示）称为凝 固潜热，或称为熔化潜热（Latent Heat of Fusion）。
0 Tcast f c ( x, y, z,0)
0 Tmold f m ( x, y, z,0)
19
第五节 初始条件与边界条件（2/2）-边界条件 (1) 热传达边界条件 (2) 热辐射边界条件 (3) 热触热阻边界条件
x x s ; h(Ta Ts ) T 0 x
T 4
x x (T jt Ti t )t x 2 x 2
i
j
16
第四节 基于有限差分方法的离散（7/8）- 三维场合 根据能量守恒定定律得:
i C pi (x) 3 (Ti t t
x x (T jt Ti t )t Ti t ) x x j 1 2 i 2 j
材料数值模拟——温度场模拟
材料数值模拟——温度场模拟材料数值模拟是利用计算机技术对材料的性质进行模拟和预测的方法之一、在材料科学领域，温度场模拟是一种非常重要的数值模拟方法，可以通过对材料的热传导过程进行数值计算，来预测材料的温度分布和温度变化情况。
本文将对温度场模拟进行详细介绍。
首先，温度场模拟是基于热传导方程进行计算的。
热传导方程描述了热量在材料中的传递过程，其一般形式可以写作：∂T/∂t=∇(k∇T)+Q，其中T表示温度，t表示时间，∇表示温度梯度，k表示热导率，Q表示体积热源项。
这个方程可以用来计算材料内部不同位置的温度分布，以及随着时间推移的温度变化。
在进行温度场模拟之前，首先需要确定模型的边界条件。
边界条件包括材料的初始温度分布和外部环境对材料的热辐射和对流散热等影响。
通过对边界条件的设定，可以更准确地模拟实际情况下的温度场。
其次，进行温度场模拟时，需要确定材料的热物理参数。
热物理参数包括热导率、比热容和密度等物性参数。
这些参数是计算热传导方程中的关键参数，对于模拟结果的准确性和可靠性有着重要的影响。
进行温度场模拟的关键步骤是将热传导方程离散化，并通过数值解法求解离散化后的方程。
提供了一种常用的数值求解方法，有限差分法。
有限差分法将连续的热传导方程离散化为差分方程，然后通过迭代计算得到温度场的数值解。
有限差分法不仅适用于简单的几何形状和边界条件，还可以通过适当的扩展和修正来处理复杂的几何形状和边界条件。
此外，为了提高温度场模拟的精度和效率，还可以采用一些优化方法和近似技术。
例如，可以使用自适应网格技术来调整网格的密度，使得在温度变化明显的区域网格更加细化，在温度变化缓慢的区域网格更加稀疏。
还可以使用多重网格方法和并行计算技术来加速计算过程，提高模拟效率。
最后，进行温度场模拟后，可以通过可视化技术将模拟结果以图像或动画的形式展示出来。
这样可以直观地观察温度分布和变化情况，揭示材料内部的热传导过程，并对实际系统的性能进行预测和优化。
目前应用的温度场的数学模型综述
目前应用的温度场的数学模型：1、冶金过程温度场建模，采用瞬态温度场有限单元法。
通过曲线拟合方法, 获得了温度与各物性间的关系, 建立了变物性熔渣冷却温度场数学模型, 分析了各种工艺参数对富硼渣温度场分布的影响。
有限元法的应用范例：1)动态分析：计算结构的固有属性，以及动态载荷下的结构的各种响应和动应力，动应变等；2)热分析:计算在热环境下，结构或区域内部的温度分布和热流，以及由热引起的热应力和热变形；3)其他离散：数学上，有限元法的基本思想是通过离散化的手段把微分方程或者变分方程变成袋鼠方程进行求解。
适合处理形状复杂的结构。
复杂的边界条件2、高炉炉衬砌体结构温度场的数学模型：根据几何对称性，基于三维结构图，数学模型主体为描述控制体内三维变物性稳态热传导方程3、沥青路面温度场模型应用的是统计回归法。
以镇漓试验路连续2a实测的气候数据和路面温度场数据为基础，建立了精度更高的路面温度场模型，尤其提高了较深处路面温度的预测效果。
1）测试方案2）影响因素分析：采用分布回归法分析不同环境因素对路面温度影响的显著程度。
本文温度沿深度的衰减因子采用乘幂函数采用分段函数建立了温度场模型，预测值与实测温度数据相关系数R2达到0.92，能预测0～38cm任何深度的路面温度，改善了以往模型在较深处预测精度差的问题;( 2) 气温太阳辐射等环境因素对路面温度影响有明显的延后性，层位越深则延后时间越长，就此提出了不同路面层位气温和太阳辐射影响的延后时长;( 3) 路面温度受气温太阳辐射的影响而产生波动，波动的幅度随深度增加而衰减，采用乘幂函数H－i作为温度衰减因子，表征不同深度路面温度波动幅度的差异更为合适。
3、GA和BP 网络模型的建立：基于GA (遗传算法)结合BP网络的智能算法建立了钢坯表面温度模型, 并且提出了利用BP 算法进行在线补偿的机制, 使模型预报精度进一步提高。
本文在BP 网络的基础上把输出端信号通过延时环节反馈到输入端, 从而形成动态BP 网络。
温度场数值模拟与分析
温度场数值模拟与分析一、引言温度场是工业制造、自然环境等领域中经常涉及到的现象，通过数值模拟和分析可以深入了解温度场的变化规律，并为后续的研究工作提供有效的参考。
本文将介绍温度场的数值模拟方法和分析技术，并结合实际案例进行分析和讨论。
二、数值模拟方法1.有限元方法有限元方法是数值模拟的一种常用方法，其核心思想是将复杂的物理问题抽象为有限个单元，通过单元之间的相对运动以及单元内部的运动来计算物理量的变化。
在温度场的数值模拟中，有限元方法可以通过建立合适的有限元模型、选择适当的数值方法和求解器来计算温度场的分布和变化规律。
2.计算流体力学方法计算流体力学方法是将物理问题建模为一系列守恒方程和运动方程的数学问题，通过求解这些方程来计算物理量的分布和变化。
在温度场的数值模拟中，计算流体力学方法可以通过建立流体系统的数值模型、指定流体系统的初始和边界条件以及选择适当的求解算法来计算温度场。
3.反向传播神经网络方法反向传播神经网络方法是在深度学习技术的支持下，将物理问题转化为神经网络的训练问题，通过优化网络的结构和参数，实现对物理问题的数值模拟。
在温度场的数值模拟中，反向传播神经网络方法可以通过建立网络模型、选择适当的损失函数和优化算法，来计算温度场的分布和变化规律。
三、分析技术1.可视化分析可视化分析是通过图表、图像和动画等可视化方式来展示温度场的分布和变化规律，通过可视化分析可以直观地了解温度场的变化情况，并且可以更好地理解温度场的复杂性。
2.数据挖掘分析数据挖掘分析是通过分析温度场数据中的模式和关联规则，来发现与温度场相关的重要信息和规律。
通过数据挖掘分析可以发现温度场的非线性规律、异常状态和趋势等信息，为后续的研究工作提供有效的参考。
3.时间序列分析时间序列分析是通过分析温度场数据的时间波动和趋势变化，来了解温度场的周期性和逐渐变化趋势。
通过时间序列分析可以发现温度场中的周期性波动规律和变化趋势，为后续的预测和控制工作提供有效的参考。
3温度场有限元分析理论基础
第3章温度场有限元法分析理论基础在制造加工领域中，通过计算机模拟各种加工过程是非常方便有效的方法之一。
磨削过程也可以通过建立数值分析模型模拟整个磨削的过程，不仅可以预测实验可能发生的情况也可以减少实验的次数。
于是，越来越多的学者使用有限元技术对磨削过程进行分析、研究。
通过有限元法分析磨削区温度场既有利于对磨削机理的理解，也是一种优化机械加工工艺的有力工具，而且在考虑多种因素、非线性、动态过程分析等复杂情况时其优势尤为显著。
3.1有限元法简介3.1.1 有限元法的基本思想有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法之一。
目前在工程领域内常用都是数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。
有限元单元法的基本思想就是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，讲连续体看做是节点处连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题。
求解法就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。
有限元分析的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元法不仅仅计算精度高而且能够适应各种复杂形状，因此称为行之有效的工程分析手段。
3.1.2有限元热分析简介热分析是指用热力学参数或者物理参数随着温度变化的关系进行的分析方法。
国际热分析协会在1977年将热分析定义为：“热分析是测量在程序控制温度下，物质的物理性质与温度依赖关系的一类技术。
”程序控制温度指的是按某种规律加热或冷却，通常是线性升温或降温。
三维热传导问题温度场分布的数值分析
02
导热微分方程及定解条件
02
导热微分方程及定解条件
02
导热微分方程及定解条件
定解条件
02
导热微分方程及定解条件
通过无限大平壁的导热
02
02
（二）用傅里叶定律求解
03
导热问题的数值 求解基础
03
导热问题的数值求解基础
原则上，导热问题的求解就是对导热微分方程 方程式在规定的边界和初 始条件下求解。这种解法称为分析解法。但从前面的分析看出，分析解法只 能求解一些导热体的几何形状或边界条件简单的导热问题。 对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于 数学上的困难还无法得出其分析解。
线不会相交.
• 观察一物体内温度为t及t+Δ t的两个不同温度的等温面,沿等温面法线方向上 的温度增量Δ t与法向距离Δ n比值的极限称为温度梯度,用符号gradt表示
Δt t gradt n lim n Δ n 0Δ n n
01
热传导及导热的基本定律
四、热导率及傅里叶定律
A
04
各种数值解法的介绍
• 定义:一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合,以求解 连续体力学问题的数值方法。 • 有限元法：是将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单 元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似 函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表 达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
03
导热问题的数值求解基础
节点方Байду номын сангаас组的求解
03
导热问题的数值求解基础
高斯-赛德尔迭代法:用最新值进行迭代计算
《传热学》第三章 非稳态热传导
第3章 非稳态导热
3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法-集中参数法 3-3 典型一维物体非稳态导热问题的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导 热。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ∂τ ρcp
（3-1b）
初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例
f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
第3章 非稳态导热
许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化， 或确定其内部温度到达某一限值所需的时间。——非稳态导热 问题 本章讨论非稳态导热问题。首先简述非稳态导热的基本概念， 然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物 体以及多维问题的导热微分方程的分析解法。最后总结求解非 稳态导热问题的一般策略以及应用实例。 与稳态导热类似，非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬 时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传到热量的计算方 法。
多孔介质流_固_热三场全耦合数学模型及数值模拟_盛金昌
变形、能量传输、流体流动 3 个相互耦合的过程， 多物理场之间的交叉耦合还包括材料性质与独立变 量之间的耦合关系)，然后利用 FEMLAB 软件(基于 偏微分方程组的多物理过程模拟工具)作为平台，成 功地求解了这一全耦合偏微分方程组，避免了松散 耦合法求解多场耦合问题带来的误差，实现了同时 求解多物理场耦合过程。本文的求解方法是一个全 耦合算法，在理论上它能给出最真实的结果。通过 对一个具有已知解析解和数值解的算例的计算分析 来证明本文耦合模型及求解方法的正确性：一维砂 柱的等温固结和非等温固结问题。最后模拟分析了 通过井孔向岩体中注入冷水时流、固、热全耦合过 程，详细地分析了全耦合作用对井壁围岩应力的影 响。
·3030·
岩石力学与工程学报
2006 年
由于应变、流体压力和温度所引起的流体体积的变
化，等号左边的最后 1 项代表由压力梯度和重力作
用而引起的流体流量。
2.2 能量守恒方程 固体骨架和流体共同存在于同一个体积空间，
但它们具有不同的热动力学特性：如比热容和热传
导系数等。因此固体骨架和流体的能量守恒方程需
式中：φ 为岩体孔隙率， ρl 为流体的密度，t 为时 间，Vl 为流体速度矢量， Q 为流体的源汇项。
根据流体流动的动量方程可得 Darcy 定律：
Vl
=
−
k µl
(∇P
−
ρl g)
(2)
式中： µl 为流体的动力黏滞系数，k 为孔隙介质的 渗透率， P 为孔隙压力，g 为重力加速度矢量。
将式(2)代入式(1)，并加上固体骨架的变形项，
温度场有限元计算的研究(1)
温度场有限元计算的研究（1）温度场有限元计算的研究（1）温度场有限元计算是一种常用的研究方法，通过对温度场进行数值模拟，可以预测和分析材料的温度分布和热传导行为。
在工程领域中，温度场有限元计算在热处理过程、电子元器件设计、建筑能耗分析等方面具有广泛的应用。
温度场有限元计算的基本原理是将具体问题抽象为数学模型，并使用有限元方法进行数值求解。
具体而言，温度场有限元计算包括以下几个步骤：建立几何模型、划分网格、确定边界条件、建立求解方程、求解方程组、分析结果。
首先，建立几何模型是温度场有限元计算的基础。
根据具体问题的几何形状，可以建立相应的三维或二维模型，如直线、圆柱、矩形等。
随后，将几何模型划分为有限个单元，每个单元用于近似表示整个模型。
常用的单元包括三角形单元、四边形单元等。
然后，确定边界条件是温度场有限元计算的重要一步。
边界条件包括温度边界条件和热流边界条件。
温度边界条件是指在边界上给定的温度值，如固定温度、恒定流体温度等。
热流边界条件是指在边界上给定的热流密度，如散热器边界、辐射边界等。
接下来，建立求解方程是温度场有限元计算的核心。
常用的求解方程包括热传导方程和边界条件方程。
热传导方程描述了温度场的传热行为，可以根据材料的热传导性质和几何模型的特征进行推导。
边界条件方程则根据具体问题的边界条件进行建立。
在建立求解方程后，进行方程组的求解。
由于常规的求解方法通常难以精确求解大规模的方程组，因此需要使用数值方法进行求解，如有限元法。
有限元法将求解域分为有限个单元，每个单元内部采用多项式函数进行近似，从而将原问题转化为离散的代数问题。
最后，进行结果分析。
通过求解方程组得到的温度场数据可以进一步分析，如计算平均温度、最大温度等。
此外，还可以分析材料的温度分布特征和热传导行为，为工程设计和优化提供参考。
综上所述，温度场有限元计算是一种有效的研究方法，能够预测和分析温度场的变化规律和热传导行为。
在实际应用中，温度场有限元计算可以用于解决各种与温度相关的工程问题，为优化设计和节能减排提供支持。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
焊接温度场与应力场的数值分析
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哈尔滨工程大学硕士学位论文焊接温度场与应力场的数值分析姓名：夏培秀申请学位级别：硕士专业：固体力学指导教师：何蕴增 20050201摘要本文用有限元方法研究了温度场和热应力的分布规律。
模拟对象一是开有圆孔的无限大薄板，另一个是两张对接焊的钢板。
文中对开有圆孔的无限大薄板的研究，一是假设材料的机械性能不随温度变化的情况下，计算出了开有圆孔的无限大薄板的稳恒温度场和弹性热应力的解析解。
二是用有限元法对该薄板进行了两种情况下的计算，一种情况是假设材料的机械性能不随温度变化，另一种情况是材料的机械性能随温度变化。
最后将计算结果进行了对比，证明了有限元解的正确性，同时说明了材料的机械性能随温度变化对板中的径向热应力的影响很大。
本文在对两张钢板对接焊的焊接应力的研究中，首先建立了一种计算简化模型；其次用有限元法对钢板的焊接应力进行了计算，计算结果与文献相吻合，钢板在靠近焊缝的区域内出现了拉应力。
并从理论上分析了该结果的合理性。
焊接应力的存在，会直接影响到结构的承载能力，为了保证焊接结构的安全可靠，准确的推断焊接过程中的力学行为和焊接应力是十分重要的课题。
因此本文的研究成果对科学研究和工程设计都具有重要意义。
关键词：热传导；热应力；热应变；有限元法；对接焊钢板ＡＢＳＴＲＡＣＴＩｎｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒ，ｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｍａｌｓｔｒｅｓｓｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ＳＯｔｈａｔｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｍｏｄｅｌｓｗｏｕｌｄｂｅｓｉｍｕｌａｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｍｏｄｅｌ，ａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｓｈｅｅｔｗｉｔｈａｃｉｒｃｕｌａｒｏｐｅｎｉｎｇ；ｓｅｃｏｎｄｏｎｅ，ｔｗｏｂｕｔｔ—ｗｅｌｄｅｄｓｔｅｅｌｂｏａｒｄｓ．Ｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｆｏｒｍｅｒｍｏｄｅｌ，ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｔｅａｄｙｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｅｌａｓｔｉｃｔｈｅｒｍａｌｓｔｒｅｓｓｗｅｒｅｇｉｖｅｎｗｉｔｈｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌｄｏｎｌｔｃｈａｎｇｅｗｉｔｈｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．ＡｌｓｏＦＥＭｗａｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｗｏｃａｓｅｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃａｉｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｃａｓｅｄｏｎ。
13教学3--多物理场有限元-温度场问题有限单元法
对稳态问题，由于温度不随时间变化，因此热平衡方程为：
x
k
x
T x
y
ky
T y
rQ
0
构造满足第一类边界条件的近似温度场函数 T ，并代入到热平 衡方程以及第二和第三类边界条件式当中，将得到如下的余量:
RW
x
kx
T x
y
ky
T y
rQ
R2
kx
T x
nx
ky
T y
ny
q
T
T
R3 kx x nx k y y ny h(Ta T )
令余量的加权积分和为零（加权余量法）：
W RW1dΩ 2 R2 2dΓ 3 R3 3dΓ 0
使热平衡方程和第二、第三类边界条 件在加权积分的意义上得到满足。
将余量的表达式代入上式，通过分部积分，可以得到：
-
W
1
x
kx
7、在ANSYS中施加温度载荷和边界条件的方法
（1）给定温度自由度 对已知温度的节点，给定温度自由度约束。
D, NODE, LAB, VALUE
NODE——给定温度的节点号
ALL，所有选择的节点 节点component名 LAB——TEMP，给定温度自由度
VALUE——温度值
（2）对流热交换 对流边界条件作为面载荷施加于实体的表面，用于施加
z
系统从外界吸收的热量等于系 统内能的增量和系统对外界做功 之和。
对热传导问题，可以表示为：
s v
Q1 Q2 Q3
x
y
Q1 ——单位时间内，经外表面s传入微元体的热量 Q2 ——单位时间在微元体内的热源所产生的热量 Q3 ——单位时间内微元体热焓的增量
目前应用的温度场的数学模型综述
目前应用的温度场的数学模型：1、冶金过程温度场建模，采用瞬态温度场有限单元法。
通过曲线拟合方法, 获得了温度与各物性间的关系, 建立了变物性熔渣冷却温度场数学模型, 分析了各种工艺参数对富硼渣温度场分布的影响。
有限元法的应用范例：1)动态分析：计算结构的固有属性，以及动态载荷下的结构的各种响应和动应力，动应变等；2)热分析:计算在热环境下，结构或区域内部的温度分布和热流，以及由热引起的热应力和热变形；3)其他离散：数学上，有限元法的基本思想是通过离散化的手段把微分方程或者变分方程变成袋鼠方程进行求解。
适合处理形状复杂的结构。
复杂的边界条件2、高炉炉衬砌体结构温度场的数学模型：根据几何对称性，基于三维结构图，数学模型主体为描述控制体内三维变物性稳态热传导方程3、沥青路面温度场模型应用的是统计回归法。
以镇漓试验路连续2a实测的气候数据和路面温度场数据为基础，建立了精度更高的路面温度场模型，尤其提高了较深处路面温度的预测效果。
1）测试方案2）影响因素分析：采用分布回归法分析不同环境因素对路面温度影响的显著程度。
本文温度沿深度的衰减因子采用乘幂函数采用分段函数建立了温度场模型，预测值与实测温度数据相关系数R2达到0.92，能预测0～38cm任何深度的路面温度，改善了以往模型在较深处预测精度差的问题;( 2) 气温太阳辐射等环境因素对路面温度影响有明显的延后性，层位越深则延后时间越长，就此提出了不同路面层位气温和太阳辐射影响的延后时长;( 3) 路面温度受气温太阳辐射的影响而产生波动，波动的幅度随深度增加而衰减，采用乘幂函数H－i作为温度衰减因子，表征不同深度路面温度波动幅度的差异更为合适。
3、GA和BP 网络模型的建立：基于GA (遗传算法)结合BP网络的智能算法建立了钢坯表面温度模型, 并且提出了利用BP 算法进行在线补偿的机制, 使模型预报精度进一步提高。
本文在BP 网络的基础上把输出端信号通过延时环节反馈到输入端, 从而形成动态BP 网络。
温度场的控制方程
温度场的控制方程1. 引言温度场的控制方程是描述温度分布和变化的数学模型。
它在许多领域中都具有重要的应用，例如热传导、流体力学、材料科学等。
本文将介绍温度场的控制方程及其应用。
2. 控制方程的基本形式温度场的控制方程可以用偏微分方程来表示。
一般而言，它可以写成以下形式：∂T=α∇2T+Q∂t其中，T表示温度场，t表示时间，α为热扩散系数，∇2T表示温度场的拉普拉斯算子，Q为外部热源项。
3. 热传导问题热传导是指物体内部由于温度差异而发生的热量传递现象。
在热传导问题中，我们通常关注如何计算物体内部各点的温度分布。
利用控制方程可以建立热传导问题的数学模型。
通过求解这个模型，我们可以得到物体内部各点的温度分布随时间变化的规律。
4. 热传导方程的求解方法热传导方程是一个偏微分方程，求解它需要借助适当的数值方法。
常用的求解方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法将连续的温度场离散化为一系列离散点上的温度值，并通过迭代计算来逼近真实的温度分布。
这样，我们就可以得到物体内部各点的温度随时间变化的数值解。
5. 温度场控制问题除了求解温度场的分布，控制方程还可以用于研究温度场的控制问题。
在某些应用中，我们希望通过调节外部条件或施加控制器来实现对温度场的控制。
在材料科学中，我们可以通过调节加热功率或冷却速率来控制材料内部的温度分布，以实现特定的材料性能。
在流体力学中，我们可以通过改变流体入口条件或施加外部力来控制流体中各点的温度。
6. 控制方程在工程中的应用控制方程在工程领域中具有广泛应用。
在建筑工程中，我们可以利用控制方程来研究建筑物内部的温度分布，以设计合理的供暖和通风系统。
在电子设备设计中，我们可以利用控制方程来优化散热系统，以保证电子设备在工作过程中的稳定温度。
在能源领域，我们可以通过控制方程来优化能源转换和传输过程中的热损失。
7. 结论温度场的控制方程是描述温度分布和变化的重要数学模型。
它在热传导问题、温度场控制问题和工程应用中具有广泛应用。
温度场资料
温度场
温度场是描述空间中温度分布的一种物理概念。
在自然界中，物体的温度通常是不均匀的，不同位置的温度有所差异。
温度场这一概念可以帮助我们研究和理解这种分布规律。
温度场的基本概念
温度场可以用数学模型来描述。
在一个三维空间中，我们可以将温度场表示为一个函数T(x, y, z)，其中x、y、z表示空间中的坐标。
这个函数告诉我们在每个空间点的温度是多少。
温度场的形成
温度场的形成受到多种因素的影响。
首先是热量的传导。
热量会自高温区传导至低温区，导致温度场的形成。
同时，热辐射和对流也会对温度场产生影响。
各种因素综合作用，形成了复杂的温度场。
应用与意义
温度场的研究在很多领域有着广泛的应用。
在工程领域中，了解物体表面的温度分布可以帮助设计更合理的散热系统；在气象学中，温度场的研究可以帮助预测天气变化；在地质学中，温度场可以用来推断地球内部的结构等等。
温度场的数学模型
为了更准确地描述温度场，我们可以利用热传导方程等数学模型来进行计算。
这些模型可以考虑不同的热源、导热系数等因素，从而更好地反映真实情况。
结语
温度场是一个复杂而又有趣的物理概念。
通过深入研究温度场，我们可以更好地理解物体之间的热力交换过程，为各种领域的应用提供理论支持。
希望大家对温度场有了更深入的了解，从而能够在实际工作中更好地应用和发展这一概念。