1附录：平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算z
非稳态传热计算方法及举例
题目一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，t f1=t f2=t0=5℃；已知两侧对流换热系数分别为h1=11 W/m2K、h2=23W/m2K, 壁材料的导热系数 =0.43W/mK，导温系数a=0.3437×10-6 m2/s。
如果一侧的环境温度t f1突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图形表示）。
问题分析此题为两侧受恒温流体作用,并求其从非稳态传热过程温度场到接近稳态传热的温度场,并算出其热流密度随时间的变化规律。
解法建立离散方程及求解将平板分割成如下网格：共计10个网格，11个节点，以恒温流体1处为节点1，恒温流体2处为节点11。
列写节点方程，边界条件皆为恒温流体传热，初始条件为5摄氏度。
以此对每个单独时刻进行求解，解出该时刻各节点的温度，并在此解的基础上进一步解出之后各时段的温度解，进行迭代计算，直到满足时间要求为止。
非稳态传热计数器计算过程使用Excel实现，具体做法是利用Excel进行解方程，并求出温度解。
因使用10个网格，故方程类型为10元1次方程组，也就是说每个时刻都有10个方程必须联立求解，使用Excel的行列式计算能很容易地用克拉姆方法解出该方程。
之后用该组温度解进行下一次迭代运算，如此反复，直到满足题设要求。
具体的温度求解请查阅非稳态传热计算器.xlsx 文件，为了要求计算器的整洁美观，繁琐的计算过程使用Hide功能隐藏，若需查阅解除Hide指令即可。
使用计算器时仅需输入相关系数，并输入合适的时间步长即可，计算器将按给定的参数计算出平板在之后各个时刻各节点上的温度值。
计算器将列出各节点的温度值随时间变化的计算表格，同时输出三种图形：平板内各节点温度随时间变化规律，平板内各节点温度在某一时刻的变化规律及平板壁面热流密度随时间变化规律。
计算器使用实例（按作业题目要求）两侧受恒温流作用无限大平板非稳态传热计算器(沿轴向分为10个网格)请输入相关参数平板内各节点温度随时间变化规律节点0秒30秒60秒90秒120秒150秒15.00 7.74 9.51 10.78 11.77 12.5825.00 5.656.487.318.08 8.7935.00 5.16 5.45 5.836.26 6.7145.00 5.04 5.13 5.28 5.48 5.7155.00 5.01 5.04 5.09 5.17 5.2865.00 5.00 5.01 5.03 5.06 5.1075.00 5.00 5.00 5.01 5.02 5.0485.00 5.00 5.00 5.00 5.01 5.0195.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00105.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00115.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 平板壁面热流密度随时间变化规律节点0秒30秒60秒90秒120秒150秒1 0.50 0.46 0.45 0.43 0.42 0.4111 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00热流密度方向为向右流动为正值，向左流动为负值。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
非稳态传热
分析方法。此时，Bi
零维问题。
，温度分布只与时间有 0.1 时，
关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时， t t 0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
θ -球、圆柱中心过余温度，
仍然令:
(r , ) r f ( Bi, Fo, ) 0 R
θm= θ（0，τ）
m
(r , ) (r , ) m , 0 m 0
m f ( Bi, Fo), 查图(9-32) 0 (r , ) r 但是: f ( Bi, ), 查图(9-33) m R
t
t(x,τ)
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
2
-δ
0
δ x x x+dx
2 2sin n ( n F0 ) 0 [1 2 ] e n 1 n n sin n cos n
数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板 的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
上式化为：
( x, ) t ( x, ) t
大家好，我 们见过面了
2 a 2 0 x , 0 (9 58) x 0, t0 t 0 , 0 x x 0
第3章-非稳态导热分析解法
V c
hA
hA
V c
=1
0
e 1 36.8%
Vc
hA
上式表明：当传热时间等于
时，物体的过余
Vc
hA
温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 为时间常数，也称弛豫时间，用 c 表示。
V c
hA
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来
的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，
数时，即τ=τc，则
θ /θ
0
0
＝e
1
0.386
1
τ=4τc，时
0
＝e
4.6
0.386 0 1 τ /τ
0.01
s
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3
Bi Biຫໍສະໝຸດ Fohl l 物理意义
＝ 物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无量纲 热阻
无量纲 时间
非正规状况阶段(右侧面不参与换热 )：温度
分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分
为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温
度分布受 t 分布的影响较大。 环境的热影响不断向物体内部扩展的过程， 即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布 控制的阶段。必须用无穷级数描述。
正规状况阶段(右侧面参与换热 )： 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布
求物体温度随时间变化的依 变关系
A
ΔΕ
ρ , c, V, t0
φc
h, t
建立数学模型－利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
第三章-非稳态导热
工程上认为= 4τc时导热
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
( x, ) e a 2 [ A cos( x ) B sin( x )]
( x, ) e a 2 [ A cos( x) B sin( x)] （a）
常数A、B和β可由边界条件确定。
0, t0-t 0
(1)
x 0, x 0
(2)
x , - x h
(3)
BiV FoV
0
BiV 越小表明内部导热热阻越小或外部热阻越
大，从而内部温度就越均匀，集总参数法
的误差就越小。 对热电偶测温情况，一
般使BiV=0.001量级或最小。
BiV 0.1M
为判定系统是否为集总参数系 统 ，M为形状修正系数。
厚度为2的大平板 V A＝ M 1 直径为2r的长圆柱体 V A＝ r 2 M 0.5
当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分 析解。
非稳态导热的分析计算(最全版)PTT文档
时间常数关系到测温仪表的响应时间。 被周围温度为tf的流体冷却
令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得： 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： * 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率 被周围温度为tf的流体冷却
由式(4-1)可得
A
A
dt d ' d (e cV ) '( A )(e cV )
d d d
cV
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
A
Q cV dt 'Ae cV d
W (4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q
为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时
d A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积
分得：
d A d cV
'
d
A cV
0 d
ln
'
A cV
'
ttf t' t f
A cV
e
上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' t' tf
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。
由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即：
A(t
θt
f
)
cV
dθt
d
(散热)
A(t f
t)
1附录：平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算z
附录平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算问题的数学模型：22xt a t ∂∂=∂∂τ δδ≤≤-x 0>τ 定解条件：λδwx q x t-=∂∂±= （第二边界 恒热流） 00=∂∂=x x t（对称性条件）i t x t ==0),(ττ （初始温度）解：由于大平板所受的外加热流恒定且对称，取[0，δ]的部分进行计算。
把边界条件齐次化 ，把关于t 的方程变为u 与w 方程的叠加。
记),(),(),(τττx w x u x t +=代入方程：2''222022022()(,)(,)(,)00(,0)(,0)0(,),2,02(,)2x x i x w x w w w w u u a aw x xt x u x w x u u a xuxuxu x t w x w w a xwxq w x q aq w x bx cx d e b e ab c q aq w x x d δδττττττλττδλδλττδλδλ==±==±∂∂=+∂∂=+∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=-∂∂=∂∂∂=∂∂=-∂=+++⇒=-==-==--+22202(,0)200(,0)2w i x x w i q u x t x d u u a xuxuxq u x t x d δδλτδλ==±=+-∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=+- u 的方程通过分离变量法获得，也可根据齐次边界条件——u 关于x 的一阶导数为0，将u 展开为余弦级数。
答案：}cos )exp()1(263{),(2122222x a x a q x t n n n nn w βτββδδδτλδτ--+--=∑∞- 式中：22⎪⎭⎫ ⎝⎛=δπβn n o n F n n a a 2222)()(ππδττβ== 最后的常数d 通过总加热量和试样内能的增量平衡式来确定。
非稳态导热
rVc
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
从0到任意时刻 积分
1 d hA
d
0
rVc 0
t t
hA
e rVc
0 t0 t
上式中右端的指数可作如下变化
hA rVc
h(V /
A)
a
(V / A)2
BiV FoV
式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ;
0
m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
无限大平板中心无量纲过余温度曲线
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ; (x, ) f (Bi, x )
0
m ( ) 0
m ( )
四、无限长圆柱 过程类似 图线类似
无限大平板无量纲过 华北电力大学 余温度曲线
梁秀俊
四、乘积解
高等传热学
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂 直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无 限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六面 体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
z
d d
C1 exp( 2 )
再 积 分 得 ：
C1
exp( 2 )d
0
C2
代 入 定 解 C1 2w / 条 件 可 得 ：C2 w
非稳态传热
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
2014-12-9 18
2014-12-9 24
第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
9
第三章 非稳态导热
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验非稳态（准稳态）法测材料的导热性能实验一、实验目的1、本实验属于创新型实验，要求学生自己选择不同原料、按照不同配比进行加工出新型实验材料，并对该材料的热物性（密度、导热系数、比热容、导温系数）进行实验测量。
2．快速测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热，掌握其测试原理和方法。
3、掌握使用热电偶测量温差的方法。
二、实验测试原理本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。
设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（如下图所示）。
根据导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件，对于任一瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x ，τ)可由下面方程组解得；方程组的解为：式中：τ——时间；λ——平板的导热系数；α——平板的导温系数；t 0——初始温度； —傅立叶准则；δβμn n = ，n=1，2，3…；q c ——沿X 方向从端面向平板加热的恒定热流密度。
随着时间τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。
当F 0＞0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成（2） 0),0(0),()0,(),(),(022=∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂xt q x t t x t x x t a x t cτλτδτττ)1()]exp()cos(2)1(63[),(2211220o n n nn n c F x x q t x t μδμμδδδδατλτ--+--=-+∞=∑)612(),(222-+=-δδατλδτx q t x t c o 2δατ=F由此可见，当F 0＞0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变化的速率是常数，并且到处相同。
这种状态即为准稳态。
在准稳态时，平板中心面X=0处的温度为：平板加热面X=δ处为：此两面的温差为： （3） 已知q c 和δ，再测出△t ，就可以由式（3）求出导热系数：（4）实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件，一般可认为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热对试件中心的温度影响可以忽略不计。
4导热-不稳态导热2009
式中，BiV和FoV准数中的定型尺寸为V/F。
[ ]
[ ]
cρV αF τ = , •τ = 1 即与1/τ的量纲相同，当 αF cρV
薄材的非稳态导热
则有：
θ = =e θ 0 t0 − t f
t −tf
−
αF τ cρV
= e −1 = 36.8%
cρV 上式表明：当传热时间等于 αF
时，物体的过余温度已经达到了初
非稳态导热的基本知识
准数中涉及到的几何尺度称为特征长度，Fo和Bi准数中特征长 度s的选取： 对于厚度为2s的无限大平板取s；对于半径为R的无限长圆柱 和球则取R。
薄材的非稳态导热
1、定义
z 薄材的内部热阻可忽略，其温度场与空间坐标无关，只是时间 的函数，即t=f(τ)，因此也称为零维问题。 z 薄材不是一个纯几何概念，判断物体是否为薄材的标准是Bi。
不同形状物体的非稳态导热
在相同条件下，不同形状的物体进行比较，其加热和冷却过程由快 到慢的顺序依次为： 球体>H=d的圆柱体>立方体>无限长圆柱体>方柱体>平板 参见p255 图13-31
半无限大物体的一维非稳态导热
z 什么是半无限大物体？ 半无限大物体是指受热面位于x=0处，而厚度为x=+∞的物体。在 工程上，对一个有限厚的物体，当界面上发生温度变化，而在我们 所考虑的时间范围内，其影响深度远小于物体本身厚度时，该物体 可视为半无限大物体。 即，所研究物体是否可以看做半无限大物体，受时间和坐标两个因 素的影响。 z 半无限大物体的求解－－第一类边界条件 有一初始温度（t0）均匀，热物性参数为常数，无内热源的半无限 大物体，加热开始时表面（x=0处）温度突然升至tw，并保持不 变，求物体内的温度分布。
第4章-非稳态导热的计算分析
Fo
a 2
2
a
Fo数可以看成是反应非稳态进程的无量纲时间。 Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播 到物体内部，非稳态过程进行得越充分
1）毕渥数的定义：Bi
1
h
h
内部导热热阻 外部表面对流传热热阻
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 特征数反映了内部导 热热阻与外部(表面)对流传热热阻的相对大 小。
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
❖ 关于海斯勒图的使用方法以及拟合公式的具体表 达式可参阅文献
吸热量 ❖ 根据温度分布，可以计算出一段时间内平壁在
非稳态过程中所传递的热量 ❖ 对双面对称加热的平壁而言，平壁从流体中吸
收的热量完全被平壁用来升高其自身温度 ❖ 显然，从平壁放入流体的时刻起到平壁与流体
处于热平衡状态，平壁所吸收热量为
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
是与物体几何形状
Biv
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附录
平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算
问题的数学模型：
22x
t a t ∂∂=∂∂τ δδ≤≤-x 0>τ 定解条件：
λδw
x q x t
-=∂∂±= （第二边界 恒热流） 00=∂∂=x x t
（对称性条件）
i t x t ==0),(ττ （初始温度）
解：由于大平板所受的外加热流恒定且对称，取[0，δ]的部分进行计算。
把边界条件齐次化 ，把关于t 的方程变为u 与w 方程的叠加。
记),(),(),(τττx w x u x t +=
代入方程：
2''222022022()(,)(,)(,)
00(,0)(,0)
0(,),2,02(,)2x x i x w x w w w w u u a aw x x
t x u x w x u u a x
u
x
u
x
u x t w x w w a x
w
x
q w x q aq w x bx cx d e b e ab c q aq w x x d δδττττττλ
ττδλδλ
ττδλδλ==±==±∂∂=+∂∂=+∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=-∂∂=∂∂∂=∂∂=-∂=+++⇒=-
==-==--+
22202(,0)200(,0)2w i x x w i q u x t x d u u a x
u
x
u
x
q u x t x d δδλτδλ
==±=+
-∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=+- u 的方程通过分离变量法获得，也可根据齐次边界条件——u 关于x 的一阶导数为0，将u 展开为余弦级数。
答案：
}cos )exp()1(263{),(2122222x a x a q x t n n n n
n w βτββδδδτλδτ--+--=∑∞- 式中：
2
2
⎪⎭⎫ ⎝⎛=δπβn n o n F n n a a 2222)()(ππδττβ== 最后的常数d 通过总加热量和试样内能的增量平衡式来确定。