1附录：平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算z

附录

平板在对称热流作用下非稳态导热温度分布计算

问题的数学模型：

22x

t a t ∂∂=∂∂τ δδ≤≤-x 0>τ 定解条件：

λδw

x q x t

-=∂∂±= （第二边界 恒热流） 00=∂∂=x x t

（对称性条件）

i t x t ==0),(ττ （初始温度）

解：由于大平板所受的外加热流恒定且对称，取[0，δ]的部分进行计算。

把边界条件齐次化 ，把关于t 的方程变为u 与w 方程的叠加。

记),(),(),(τττx w x u x t +=

代入方程：

2''222022022()(,)(,)(,)

00(,0)(,0)

0(,),2,02(,)2x x i x w x w w w w u u a aw x x

t x u x w x u u a x

u

x

u

x

u x t w x w w a x

w

x

q w x q aq w x bx cx d e b e ab c q aq w x x d δδττττττλ

ττδλδλ

ττδλδλ==±==±∂∂=+∂∂=+∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=-∂∂=∂∂∂=∂∂=-∂=+++⇒=-

==-==--+

22202(,0)200(,0)2w i x x w i q u x t x d u u a x

u

x

u

x

q u x t x d δδλτδλ

==±=+

-∂∂=∂∂∂=∂∂=∂=+- u 的方程通过分离变量法获得，也可根据齐次边界条件——u 关于x 的一阶导数为0，将u 展开为余弦级数。

答案：

}cos )exp()1(263{),(2122222x a x a q x t n n n n

n w βτββδδδτλδτ--+--=∑∞- 式中：

2

2

⎪⎭⎫ ⎝⎛=δπβn n o n F n n a a 2222)()(ππδττβ== 最后的常数d 通过总加热量和试样内能的增量平衡式来确定。