地球物理测井第4章非稳态导热的计算与分析

τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
t
a
2t x 2
0 x , 0
❖ 定解条件：
❖ ——几何条件：平壁、一维
❖ ——物理条件：常物性、无内热源
❖ 关键：确定温度场t=f（x,y,z,t） ❖ 非稳态导热问题的温度场不仅与空间坐标有关，而且
还随时间τ变化，使物体内任位置处的热流量和热流 密度也随时间变化
❖ 非稳态导热问题的分析和研究过程更复杂
❖ 研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 ❖ （1）简化假设给出物理模型 ❖ （2）给出数学模型（方程＋定解条件） ❖ （3）采用适当的数学方法求解 ❖ （4）分析讨论
4.1 概述
❖ 非稳态导热的分类：
❖ ——周期性的非稳态导热（periodic unsteady heat conduction）：由于边界条件（或内热源）随时间呈 周期性变化，使物体内的温度场也随时间按周期性规 律变化，这种状况通常称为准稳态
——非周期性非稳态导热，也称瞬态导热（transient heat conduction）：物体内任意位置的温度随时间 持续升高（加热过程）或连续下降（冷却过程）
被传导 ❖ ——吸收的结果：不但使进、出平壁的热量不等，而
且导致自身温度升高 ❖ ——传导的结果：热量能够影响到的区域，平壁温度
都将发生变化
❖ 首先，受流体加热的影响，壁面两侧的温度立即发生 变化，由初始温度t0跃升至tw
❖ 进入平壁的热量一边被吸收使平壁温度升高，一边被 传导使热量的影响范围扩大
❖ 通过两侧面进入平壁的热流量：——当平壁刚投入流 体中时，由于流体和壁面间的传热温差最大，热流量 Φ立即达到最大值
❖ ——随着壁面温度的升高而减小，最终趋于零 ❖ ——从初始时刻到任意时刻，热流量曲线下的面积就
是这段时间内流体传给平壁的总热量Q。这些热量全 部被平壁吸收，用于增加平壁的热力学能
❖ τc时刻后，平壁内的温度 随非稳态过程的延续继续 升高，但温度升高幅度越 来越小
❖ 经过无限长时间后，平壁 内的温度又趋于均匀一致 ，并等于加热流体温度
❖ 整个瞬态导热过程可以分为两个阶段： ❖ ——初始阶段（initial regime）：也称为非正规状况
阶段，指在穿透时刻之前阶段，此时平壁内的温度分 布主要受初始温度分布t0的影响
❖ 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于 某个新的稳定温度场
❖ 研究目的： ❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定
物体中某个部位到达某个预定温度所需经历的时间 ，或者在预定时间内可以达到的温度，或者物体的 温度对时间的变化速率 ❖ ——确定非稳态过程的热流量或热量：确定物体在 某一瞬间每一位置处的热流密度、从某一时刻起经 过一段时间后的总传热量
第4章 非稳态导热的计算
与分析
❖ 作业：习题4-2、4-4、4-5
❖ 稳态导热是一种理想化的情况 ❖ 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正
意义上的稳态导热是不存在的 ❖ 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间
变化所造成的影响、误差不大，而将其简化 为稳态导热
❖ 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热 的现象和问题，其中物体内的温度明显随时间而变 化
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 整个瞬态导热过程可以分为两个阶段： ❖ ——正规状况阶段（regular regime）：穿透时刻之
后，非稳态过程进行到一定的程度，平壁初始温度分 布的影响逐渐消失，此后不同时刻的温度分布主要受 热边界条件的影响。这个阶段的非稳态导热称为正规 状况阶段 ❖ 相对于初始阶段，正规状况阶段温度分布的计算要简 单得多
4.2.2 平壁内温度分布的分析解/数学模型
❖ 为了定量计算平壁内的温度场 ，需要建立描述平壁内温度分 布的数学模型
❖ 由于平壁两侧受流体对称加热 ，中心面为对称面
❖ 由于温度场对称，只需研究
厚为δ的半块平壁即可
❖ 将坐标原点置于平壁中心面 ，建立如图所示的坐标系
❖ 按照物理模型的假设：常物性、无内热源、一维平壁
分别均匀一致，可忽略边缘散热 效应 ❖ 一维非稳态导热问题：平壁内的 温度只沿厚度方向变化
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征 ❖ 从平壁投入高温流体中的那一刻（即τ=0）开始，平
壁内不同位置温度变化曲线在不同时刻是不同的 ❖ 原因是：由非稳态过程的特点造成的
❖ 非稳态过程的特点（以厚为dx的微元平壁为例） ❖ ——进入微元平壁的热量一边被吸收（蓄热），一边
❖ ——冷冻食品的解冻过程 ❖ ——烘烤食品（花生米、蛋糕等点心） ❖ ——热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加
热后在水或空气中的冷却过程等 ❖ ——焖井过程热量在地层内的扩散过程
❖ 本章着重讨论非稳态导热问题 ❖ ——非稳态导热的基本概念 ❖ ——对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程 ❖ ——最简单的非稳态导热问题－集总热容系统 ❖ ——井筒周围地层的非稳态导热
❖ 热量没有影响到的地方温度维持初始值不变，壁的中 心区域此时尚未“感受”到两侧壁面突然受热所带来 的影响
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁 中心推进
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间 ，记作τc
❖ 此时整个平壁都“感受”到了 平壁两侧突然受到流体加热所 带来的影响
❖ 定性地、定量两个方面
物理模型
❖ 问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
温流体中对称加热，表面传热系 数均为h，且沿壁面均匀、恒定 ❖ 试分析平壁内的温度变化过程
❖ 简化分析 ❖ ——平壁的长度和宽度远远大于
其厚度 ❖ ——平壁两个侧面上的换热条件