第三章非稳态导热分析解法

越大，热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各点的温度越接 近周围介质的温度。
§3 — 3 一维非稳态导热的分析解
本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解 及应 用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度 >> 厚度时， 平板 的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至 于可 以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限 大” 平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则 热量 交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问 题。
，则
则：
称时间常数，记为 。
的物理意义：表示物体对外界温度变化的响应程度。 当时间
时，物体的过余温度已是初始过余温度值的 36.8% 。 ③ 确定从初始时刻到某一瞬间这段时间内，物体与流体所交换的热流 量
首先求得瞬时热流量： 将
带入瞬时热流量的定义式得：
=
（ 3-5 ） =
式中负号是为了使 Φ 恒取正值而引入的。 若 （物体被加热），则用 代替 即可。 然后求得从时间 0到 时刻间的总热流量：
优点：简洁方便。 缺点：准确度有限，误差较大。 目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的 方法受到重视。
In
即：
（
） 其中：
（ 3-3 ）
其中： V/A 是具有长度的量纲，记为 ；
毕渥数；
傅立叶数； 而 V 说明 Fov 、 Biv 中的特征长度为 V/A 故得：
（ 3-4 ） 由此可见，采用集总参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指
数曲线关系变化。而且开始变化较快，随后逐渐变慢。 指数函数中的
的量纲与 的量纲相同，如果时间
已知：有一任意形状的物体，其体积为 V ，面积为 A ，初始温度 为 t 0 ，在初始时刻，突然将其置于温度恒为
的流体中，且 t o >
, 固体与流体间的表面传热系数 h ，固体的物性参数均保持常数。 试根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系。
解： ① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
首先根据（ 3—13 ）式给出
随 Fo 及 Bi 变化的曲线（此时 x/δ=0 ），然后根据（ 3 — 14 ）式确定
的值，于是平板中任意一点的
值便为：
（ 3-21 ） 同样，从初始时刻到时刻 τ 物体与环境间所交换的热量，可采用（ 3
— 15 ）、（ 3 — 17 ）作出
曲线。 3 、诺模图法评述
原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消 耗能量，所以，在热流量传递的方向上
。
二、非稳态导热的数学模型
1 、数学模型
非稳态导热问题的求解
规定的 { 初始条件，边界条件 } 下，求解导热微分方程。 2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边 界条件参数的关系。
∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。 ∴物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即 t 仅是 τ 的一元 函数，二与坐标 x 、 y 、 z 无关，即
=0 则：
（a） ∵
可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边 界）。
∴ 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
（b） ∵ t>
, 物体被冷却，∴
如图 3-3 （ a ）。 2 ） 1/h>>
因为 忽略不计，即平板内导热的流量接近于无穷大，所以任意时刻平板中各 点温度接近均匀，随着时间的延长，平板内各点 t →
，而且整体温度下降如图 3-3 （ b ）。 3 ） 1/h=
平板中的温度分布介于二者之间，如图 3-3 （ c ）。
由此可见，表面对流换热热阻 1/h 与导热热阻
（ 3-15 ） 此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。 2 ） 从初始时刻到某一时间 τ ，这段时间内所传递的热量
：
（ 3-16 ） 3）
之比：
其中：
(3-17)
是时刻 τ 物体的平均过余温度，
。 对于无限大平板，当 Fo>0.2 ，将式（ 3-13 ）代入
的定义式，可得：
（ 3-18 ） 对圆柱体、球体
当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取 决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正 规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后 者不存在。 3 、特点；
非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不 相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。
§3 — 2 集总参数法的简化分析 一、集总参数法
1 、定义：当固体内的
<<
时，固体内的温度趋于一致，此时可认为整个固体在同一瞬间均处于同 一温度下，这时需求解的温度仅是时间的一元函数，而与坐标无关，好 象该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度 值那样。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。 2 、集总参数法的计算
应为负值 由（ a ），（ b ）式得：
（ 3-2 ） 这就是瞬时时刻导热微分方程式。 方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即
物体与环境的对流散热量 = 物体内能的减 少量
则有：
② 物体温度随时间的依变关系 引入过余温度： 则上式表示成：
其初始条件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ： 将
分离变量求解微分方程，
对时间 从0 积分，则：
=
=
（3—6） 3 、集总参数法的判别条件
对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件： =h(V/A)/ < 0.1M （ 3-7 ）
则物体中各点间过余温度的偏差小于 5% 。其中 M 是与物体几何 形状有关的无量纲数。
无限大平板： M=1 无限长圆柱： M=1/2 球 ： M=1/3 毕渥数的特征长度为 V/A ，不同几何形状，其值不同，对于： 厚度为 2 的平板：
的相对大小对物体中非稳态导热的温度场的分布有重要影响，因此，引 入表征二者比值的无量纲数，毕渥数。 3 、毕渥数 1 ）定义式：
（ 3-1 ） 毕渥数属特征数（准则数）。 2 ） Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场 的分布规律。 3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。 4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
（ 3-13 ） 其中特征值
之值与 Bi 有关。 由上式（ 3-13 ）可知： Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度
(x ， τ) 与平板中心的过余温度 (0 ， τ)=
（ τ ）之比为：
（ 3-14 ） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当 Fo>0.2 以后，虽然 (x ， τ) 与
定解条件：t(x,0)= (0 x
)
（边界条件）
（边界条件） 引入过余温度：
则
（ 0<x< , ） (3-9) (x,0)= (0 x ) （初始条件）
（边界条件）
（边界条件） 对偏微分方程
分离变量求解得：
（ 3-10 ） 其中离散值
是下列超越方程的根，称为特征值。
…… （ 3-11 ） 其中 Bi 是以特征长度为
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参 与换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热）
温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区 的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶
段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参与换热）
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。
如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若 λ=const ，则 HG 是直线）。
已知：平板厚 2
、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数
，将其突然置于温度为
的流体中冷却。
试分析在以下三种情况： <<1/h 、 >>1/h 、 =1/h 时，平板中温度场的变化。 1 ） 1/h<<
因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到
，随着时间的延长，平板内各点 t→
的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度
与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 为特征长度的傅立叶数、毕渥数及
即：
（ 3-12 ）
二、非稳态导热的正规状况阶段
1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系 前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表
明，当 Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中 心温度的误差小于 1% ，因此，当 Fo>0.2 时，采用以下简化结果：
（ τ ）各自均与 τ 有关，但其比值则与 τ 无关，而仅取决于几何位置（ ）及边界条件（ Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初 始条件分布如何，只要 Fo>0.2 ， 之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的。
由此可见，当 Fo>0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。
2 、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量 1 ） 从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热 量：
第三章非稳态导热分析解法
本章主要要求： １、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方