第六讲 非稳态导热分析解

第六讲 非稳态导热的分析解
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
§3-3 一维非稳态导热的分析解
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
其中
x
t ( x, ) t f t0 t f
其中
y
t ( y , ) t f t0 t f
即证明了 ( x, ) ( y,是无限长方柱体导热微分方程的解， ) 这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求 解二维导热问题
( x, y, ) ( x, )P1 ( y, )P 2
体的非稳态导热问题的分析解，可以用几 个相应的一维非稳态导热分析解相乘得出， 称为乘积解法。
§3-4 二维及三维问题的求解
考察一无限长方柱体(其截面为 2 1 2 2的长方形)
t ( x, y , ) t f t0 t f
0
tf
21
2 2 a( 2 2 ) x y
念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段， 那在惰性时间以内
时间
即任一点的热流通量：
1 q x 0 x a
e
x
2
4 a
令 x 0 即得边界面上的热流通量
qw
0 a
[0,]内累计传热量
q 0 qw dz 2

c 0

--时刻z的平均过余温度
sin 1 2 1 2 sin 1 ( 1 F0 ) 1 dv 0 e v v 1 sin 1 cos 1
对无限大平板，长圆柱体及球： 及
0

可用一通式表达
2 A exp( 1 F0 ) f ( 1 y ) 0 2 0 A exp( 1 F0 )Bi
2 sin 1 x x F ( x, ) 0 e cos(1 ) f ( Fo, Bi, ) 1 sin 1 cos 1
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (1)先画
m f ( Fo, Bi) 0
(2) 再根据公式(3-28)
绘制其线算图
( x, ) x x cos(1 ) f ( Bi, ) m ( )
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
此处Bn为离散面(特征值)
若令
2 n a
n n
2 n
则上式可改写为：
( x, ) x cos( 1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
平板中任意处与平板中心处过于温度之比
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
若令Q为
[ 0 , ] 内所传递热量
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) 0
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
a
2
μ n为下面超越方程的根
h
n ctg n h

为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
一些Bi数值下的μi
Bi 0.0 0.0 0.1 0.5 1.0 5.0 10 1 5 50 100 ∞
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m 0 m 0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用 （3－31）-（3－33）绘制出。 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却 过程，并且F0>0.2
五、非稳态导热求解方法
求解非稳态导热问题的一般步骤： 1、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考 虑集总参数法； 2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟（Heisler）图或近
注意：特征值 n
特征数（准则数） 区别
2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板
F0 a 2
当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%
( x, ) 2 sin 1 x cos(1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
为53.5W/(m· ℃)，放入1200℃的加热炉中加热，
表面换热系数为407W/（m2· ℃）。问单面加热 30min时的中心温度为多少？如两面加热，要达到 相同的中心温度需多少时间？
例
题
解：⑴单面加热。 毕渥数为， 可知，本题不能用集总参数法简化分析，需要 采用诺谟图方法。 给钢板单面加热，相当于一块厚2le=20cm的钢板 两面对称加热，le=δ=0.1m。
( x, y, ) ( x, ) ( y, )
2 x a x 2 0 x ( x ,0) 1 ( x, ) 及 x0 x 0 0 x ( x, ) x 2 h( , ) x
2 y a y 2 0 y ( y , 0) 1 ( y , ) y0 y 0 0 y ( y , ) y 2 h( 2 , ) y
８如何用查图法计算无限大平板非稳态导热正规状况 阶段的换热问题? ９如何用近似拟合公式法计算无限大平板非稳态导热 问题? 10半无限大平板非稳态导热的计算方法。
热扩散率为
例
题
查图得：
，
则钢板中心的相对过余温度为
，
例 题
钢板的中心温度为
⑵两面加热。 此时，引用尺寸l e=0.05m
仍需要采用诺谟（Heisler）图方法。
例 题

中心处相对过余温度
由
和
，查图得
两面加热时中心处达970℃所需时间为
§3-4 二维及三维问题的求解
在多维导热问题中，几种简单几何形状物
吸热系数
思考题： １非稳态导热的分类及各类型的特点。 ２Bi 准则数, Fo准则数的定义及物理意义。 ３Bi0 和Bi 各代表什么样的换热条件? ４集总参数法的物理意义及应用条件。 ５使用集总参数法，物体内部温度变化及换热量的计算方 法。时间常数的定义及物理意义. ６非稳态导热的正规状况阶段的物理意义及数学计算上的特 点。 ７非稳态导热的正规状况阶段的判断条件。 ８无限大平板和半无限大平板的物理概念。半无限大平板的 概念如何应用在实际工程问题中。
令
yx
4 a
可认为该处温度没有变化
若 即
y 2 erf ( 2 ) 0.9953 0 0.9953
erf ( y )
y
x 4 a
两个重要参数: ① 几何位置 若
y2 x 4 a
对一原为2δ 的平板，若
4 a 即可作为半无限大物体来处理
②
x2 y2 2 若 16 a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
式中常数a ,b ,c ,d 见P128表3-2 a`,b`,c`,d`见P128表3-3
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
( x, y, z, ) ( x, )P1 ( y, )P 2 ( z, )P 3
R
( v , ) 0 ( x , ) 0
2 2
2 1
2l
2 3
( x, y, ) ( x, )P ( y, )c
限制条件： （1） 一侧绝热，另一侧三类
（2） 两侧均为一类
（3） 初始温度分布必须为常数
§3-5 半无限大的物体
半无限大物体的概念
t 2t a x 2 t tw x 0 t t0
t
tw
t0
x
0
引入过余温度 问题的解为
t tw 2 0
误差函数 无量纲变量

x 4 a
0
e
y2
此处
无限大平板
y x

Bi h Bi hR

F0 az F0 az
2
R2
长圆柱体及球 y x R
此处的A，B及函数 f ( 1y ) 见P127表3-1
3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
dy erf ( x
4 a )
误差函数：
erf ( x)
无量纲 坐标
2


x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1

令
x 4a
erf ( ) 0
说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的变化。？ (3) 但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。
μi 0.0 0.2 0.3 0.6 0.8 1.3 1.4 1.5 1.5 1.570
998 217 111 533 603 138 289 400 552 8
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
似公式；
3、若上述方法都不行则采用数值解。 4、最终确定温度分布、加热或冷却时间、热量。
诺谟（Heisler）图是将前述分析解绘制成图线供确定温度 分布时查取。该方法的基本步骤如图所示。
例
题
例题 一初温为20℃、厚10cm的钢板，密度为
7800kg/m3，比热容为460.5J/（· ℃），导热系数
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x ( x , ) 因此 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
0
x 1
y 2
1
( x, y, ) h(1 , y, ) x ( x, y, ) h( x, 2 , ) y ( x, y, ) x
x 0
22
x0
0
y0
( x, y, ) y
y 0
0
利用以下两组方程便可证明
初始条件
t t0
t 0 x
0
ห้องสมุดไป่ตู้x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
x
§3-3 一维非稳态导热的分析解
引入变量－－过余温度
令 上式化为：
( x , ) t( x , ) t
2 a 2 x 0 0 x h x 0 x , 0