第4章-非稳态导热的计算分析

无量纲 时间
集总参数法的判定依据
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
hA
e e e cV
h(V
A)•
a
(V A)2
BiV FoV
0
V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征
尺寸。
BiV 0.1M 为判定系统是否为集总参数系统 ， M为形状修正系数。
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
对上述模型采用分离变量法求解，得：
(x, )
0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos n
cos(n
x
)
exp(
a 2
n2 )
μn称为特征值，是以下超越方程的根：
n
tan
n
h
令 Fo a 2
Fra Baidu bibliotek
傅里叶准则
(x, ) 0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos
n
cos(n
x
) exp(Fon2 )
Fo a 2 Bi h x — 无量纲距离
(x, )
x
f (Bi, Fo, )
0
可见，大平壁中离中心平面任一距离x处的无 量纲过余温度是Bi，Fo和无量纲距离的函数。
x, 0
f
Fo,
Bi,
x
n1
Cn
exp
n 2 Fo
cos
n
x
❖ 由于式中含有无穷级数，计算工作量很大 ❖ 计算表明，式中的指数项衰减很快
热电偶测温时，r越小越能反映被测流体温度
的变化
反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动 态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环 境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其 时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数 也是不相同。
当物体冷却或加热过程所 θ/θ0
经历的时间等于其时间常 1
2、温度分布（瞬态非稳态导热）：
一初始温度场均匀并为t0的无限大平壁，突然投入到温 度为t∞的流体中加热。此时，分析
平壁刚投入到流体中
时，表面温度tw立即发生
变化，而温度 随时间的 变化率逐渐减小，并趋近
于t∞；表面温度tw变化后，
温度变化逐渐深入物体内
部 ， 但 要 到 τ2 时 刻 ， 其 中心温度tm才开始变化， tm随时间的变化率开始较
已知：平板厚 2、初温 、t0表面传热系数 h 、平
板导热系数 ，将其突然置于温度为 的流t体中冷
却。
由于单位面积导热热阻与外部对流热阻的相对大小 不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） / 1/ h
由于表面对流换热热阻 1/ h几乎可以忽略，因而过
程一开始平板的表面温度就被冷却到 。t并随着
❖ 关于海斯勒图的使用方法以及拟合公式的具体表 达式可参阅文献
吸热量 ❖ 根据温度分布，可以计算出一段时间内平壁在
非稳态过程中所传递的热量 ❖ 对双面对称加热的平壁而言，平壁从流体中吸
收的热量完全被平壁用来升高其自身温度 ❖ 显然，从平壁放入流体的时刻起到平壁与流体
处于热平衡状态，平壁所吸收热量为
hA(t
t
)
Vc
dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d
hA d Vc
d hA d Vc
积分
0
d
hA
Vc
0
d
ln
hA
t t
hA
e Vc
Vc 0
0 t0 t
其中的指数：
hA
hV
§4-2 集总参数法的简化分析
忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的 分析方法。此时， Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即 t f，(与) 空间位置无关，因此，也称为零维问题。
定义：由于物体内温度相差不大，而近似认为这种非稳 态导热过程中物体内的温度分布与坐标无关，仅随时间 变化，因此物体温度可用任一点的温度表示，而将物体 的质量和热容量等视为集中这一点，这种方法——集总 参数法。
Fo
a 2
2
a
Fo数可以看成是反应非稳态进程的无量纲时间。 Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播 到物体内部，非稳态过程进行得越充分
1）毕渥数的定义：Bi
1
h
h
内部导热热阻 外部表面对流传热热阻
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： Bi 特征数反映了内部导 热热阻与外部(表面)对流传热热阻的相对大 小。
§4-1 概述
一、非稳态导热过程及其特点 ❖ 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态
导热。 ❖ 温度随时间变化，热流也随时间变化。
❖ 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f()
❖ 如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内 燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停 暖过程中墙内与室内空气温度
一、集总参数法分析
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、
比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
Qc h, t∞
热平衡关系为：
内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交 换的热流量Qc
当物体被冷却时（t >t）,由能量守恒可知
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布 对称。中心为原点。
由于是轴对称问题，可以取平板一般分析：
导热微分方程：
t
a
2t x 2
初始条件： 0, t t 0
3）特征长度：是指特征数定义式中的几何 尺度。
对解的讨论
1. Fo准则对温度分布的影响 初始阶段
θm/θ0随F0增大而减小
Fo0.2 时 ， 进 入 正 规 状 况阶段，平壁内所有各点 过余温度的对数都随时间 按线性规律变化，变化曲 线的斜率都相等。
Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温 度变化速率不同
Q0 cV t0 t
Q0 cV t0 t
这是该非稳态导热过程所吸收的总热量 从初始时刻起到某一时刻τ的这段时间内，平壁 所吸收的热量为：
Q V c t x, t0 dV
Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响
❖ 平壁内温度分布表达式中含有Fo数和Bi数，这说 明非稳态导热的物理过程和特征要受到这两个量 纲一量的影响
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
第四章 非稳态导热的计算分析
❖ §4-1 概述 ❖ §4-2 一维非稳态导热 ❖ §4-3 集总参数法 ❖ §4-5 井筒周围的非稳态导热
１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用。
2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 一维非稳态导热问题。
3 、了解内容： 二维和三维非稳态导热
hA
hA
1 Vc
此时， e1 36.8% 0
Vc
上式表明：当传热时间等于 h时A ，物体的
过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。
称
Vc为时间常数，用
hA
表示r 。
时间常数
cV 称为系统的时间常数，记为r，也称弛豫时
hA 间。
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件 好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导 热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / h A) 小
❖ 掌握特征数的定义及其物理意义是传热学学习 的重要内容
Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响 将Fo数的定义式改写为：
a Fo 2 2 a
式中，τ和δ2/a都具有时间的量纲 ——分子τ表示：边界上发生热扰动时刻算起到计 算时刻为止的时间 ——分母δ2/a表示：热扰动经过一定厚度的固体 层传播到面积δ2上所需要的时间
❖ 传热学中，通常将表示某一物理现象或物理过程 特征的量纲一的量，称为特征数或准则数
Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响
❖ 出现在特征数中的几何尺度称为特征长度，用 符号l表示，characteristic length
❖ 对两边对称加热的厚为2δ的平壁非稳态导热问 题，用平壁的半厚度δ作为其特征长度
A2
cV A V 2c
过余温度比
h(V A) a
(V
A)2 Biv Fov
Biv
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov 是傅立叶数
hA
e e Vc
Biv Fov
0
方程中指数的量纲：
物体中的温度 呈指数分布
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
即与 1的量纲相同，当 时V，c 则
❖ 当Fo>0.2时，取无穷级数的首项而舍弃其他项，
所得结果的误差小于1％
❖ 当Fo>0.2时，取无穷级数的首项而舍弃其他项， 相当于将无穷级数中的Cn（n≥2）取为零
❖ 于是在Fo>0.2后，有
x,
0
4sin 1 21 sin 21
exp
12 Fo
cos
1
x
❖ 当Fo>0.2后平壁内任意位置处的过余温度与平壁 对称面（中心面）的过余温度θ(0,τ)之比为
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关， 但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ） 和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应 的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
小，以后增大又减小，最
后，tm→t∞
3、热量变化
物体投入到流体 中后，由于开始时表 面的传热温差最大， 表面热流量立即达到 最大值，以后随着tw 的增大而减小，最后 趋于0，阴影部分面 积表示总的吸热量Q。
4、学习非稳态导热的目的：
(1) 物体某一部分加热（冷却）到某一确定温度 所需的时间
(2) 物体在非稳态导热过程中的温度分布，热应 力、热变形分析
2. Bi准则对温度分布的影响
Bi （Bi=α / ）表征了给定导热系统内的导热
热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系 。
当 Bi 时，意味着表面
传热系数 α ，对流
换热热阻趋于0。平壁的 表面温度几乎从冷却过程 一开始，就立刻降到流体
温度 t 。
二、讨论
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的 温度变化特征与边界条件参数的关系。
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t)
t 2t a
x2
0, t t 0
x 0, t x 0
x , - t x h(t t )
引入过余温度 t(x, ) t
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, x 0
x , - x h x
时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。t
（2） 1/ h /
这时，平板内部导热热阻 /几 乎可以忽略， 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随 着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 。 t
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述 两种极端情况之间。
hA
Vc0 (1 e Vc )
J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
Biv和 Fov 物理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物 体内部，因而，物体各点地温度就越接 近周围介质的温度。
(3) 物体在非稳态导热过程中的温度变化率 (4) 某一时刻物体表面的热流量及经过一段时间
总的吸热量
5、求解方法：
❖ 分析解法：分离变量法、积分变换、拉 普拉斯变换
❖ 近似分析法： 集总参数法、积分法 ❖ 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、
有限元法、分子动力学模拟
§4-2对流边界条件下的非稳态导热