非稳态导热的分析计算
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
非稳态准稳态法测材料的导热性能实验
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验非稳态(准稳态)法是一种测量材料导热性能的实验方法，它通过在材料的一侧施加热量，测量另一侧的热流量来计算材料的导热系数。
这种方法相对于稳态法，具有设备简单、操作方便、测量速度快等优点。
下面是关于非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验的详细描述。
一、实验目的本实验的目的是通过非稳态(准稳态)法测量材料的导热性能，包括导热系数、热扩散系数和比热容等参数。
这些参数对于材料的热设计、能源利用和工程应用具有重要意义。
二、实验原理非稳态(准稳态)法基于热传导的傅里叶定律，其基本公式为：q=-k AΔT/L，其中q为热流量，k为导热系数，A为传热面积，ΔT为两侧温度差，L为材料的厚度。
在实验中，通过测量材料的传热面积和两侧温度差，可以计算出材料的导热系数。
三、实验步骤1.准备材料：选择待测材料，并准备相应的支架、加热器和温度传感器等设备。
2.安装样品：将待测材料放置在支架上，将加热器和温度传感器分别与材料的两侧接触，并固定好。
3.开始测量：打开加热器，使加热器输出的热量均匀地施加到材料的左侧，同时使用温度传感器测量材料的右侧温度。
记录下加热时间和温度变化。
4.数据处理：根据测量的数据，绘制温度随时间变化的曲线。
通过曲线可以计算出材料的导热系数、热扩散系数和比热容等参数。
四、实验结果与分析通过实验测量和数据处理，我们可以得到待测材料的导热系数、热扩散系数和比热容等参数。
这些参数可以用来评估材料的导热性能和热特性。
例如，导热系数高的材料可以更好地传递热量，适用于需要高效散热的场合；比热容大的材料可以吸收更多的热量，适用于需要储存和释放热量的场合。
在分析实验结果时，需要注意以下几点：1.实验结果的准确性受到多种因素的影响，如测量设备的精度、环境温度和湿度等。
因此，需要对实验结果进行误差分析，以确定其可信度。
2.对于不同种类的材料，其导热性能和热特性可能存在差异。
因此，需要对不同种类的材料进行分别测量和分析。
半无限大物体非稳态导热分析解
半无限大物体非稳态导热分析解
半无限大物体非稳态导热分析是指在物理学和工程学中，考虑一个物理系统的物理属性在某一时间点，这个物理系统的表面受热，而其内部温度是随时间变化的。
这种情况可以用数学方法来进行分析，以计算出这种热力在这个物理系统内部的分布情况。
半无限大物体非稳态导热分析的基本思路是通过建立一个被加热的物体的热输运方程，来描述物体在时间上的温度变化情况，并且通过求解该方程的相应解来求出物体的温度在某一时间点的分布情况。
通常，该方程可以写成：
ρc∂T/∂t+∇•(k∇T)=q 其中，ρ表示物体的密度，c表示物体的热容，t表示时间变量，k表示物体的导热系数，T表示物体的温度，q表示物体表面受到的热量。
半无限大物体非稳态导热分析可以用来分析任何在热输运过程中会发生温度变化的物体，比如结构件、液体、固体等。
该方法可以用来计算各种工程结构的热行为，以及温度在物体内部的分布情况。
半无限大物体非稳态导热分析的应用非常广泛，可以用来分析汽车发动机的热效应，或者分析电子元件的热行为等等。
它也可以用来分析火灾发生时的热迁移情况，以及地球表面温度变化的原因等等。
总之，半无限大物体非稳态导热分析是一种非常有效的方法，它可以用来分析各种物理热迁移过程，并且可以用来计算物体表面受到热量的分布情况。
它可以用来分析各种工程结构的热行为，以及温度在物体内部的分布情况。
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
非稳态导热微分方程
非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。
其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。
本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。
一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。
非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。
二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。
根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。
具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。
例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。
初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。
边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。
三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。
同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。
二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。
初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。
结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。
通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
第四章 非稳态导热(5)14
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
第3章-非稳态导热分析解法1
ΔΕ
ρ , c, V, t0
Байду номын сангаас
φc
h, t
建立数学模型－利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
过表面与外界交换的热流量φc 。
方法一
椐非稳态有内热源的导热微分方程：
2 2 2 t t t t 2 2 2 c c x y z
边界条件：着重讨论第三类边界条件
t ( ) w h(tw t f ) n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条件， 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析解都被认为是满足特定问题
界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
V Ah(t t )
物体被冷却，∴φ应为负值
dt cV Ah(t t ) d
适用于本问题的导 热微分方程式
在导热问题中，将边界的对流换热
(或辐射换热)折算成“计算源项”是 有条件的，即在所研究的方向上导热 体内部热阻忽略不计。
fo02时是非正规状况阶段各点温度变化速率不同编辑ppt65coscossinsinsincos与时间无关与时间无关只取决于边界条件只取决于边界条件以平板为例进行分析平板中心处平板中心处过余温度过余温度编辑ppt66平板从初始时刻到热平衡所传递的热量3一段时间间隔内所传导的热量计算式非稳态导热所能传递的最大热量若令q为0内所传递热量平均过余温度编辑ppt67热量计算式sin2sincossin3sincos2sincosexpcoscossinfobifo编辑ppt68三种几何形状物体的正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一为
4-3非稳态导热的数值计算
t k 1 i 1
)
tik
已知k时层的温度值，求k+1 时层的温度值要联立求解方 程组，即求解复杂，但无条件稳定（、x的取值不受 限制）。
三、边界节点的离散方程
t
1. 第三类边界条件：已知tf、h
tf、h
L
节点的热平衡：
N-1点导入 对流换热传 N节点内
+
=
N点的热量 入N点的热量 能的增量 0 1 N 1 N x
2t ( x2 )i,k
tk i 1
tk i 1
2tik
(x)2
节点 时层
( t
)i,k
t k 1 i
tik
空间用中心差分格式 时间用向前差分格式
将上面两式代入微分方程:
t k 1 i
tik
a
tk i 1
tk i 1
(x)2
2tik
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tik 1
k N
稳定性条件: 1 2Fo Bi 2Fo 0
或:
Fo 1 2Bi 2
2. 第二类边界条件：已知qw
建立节点0的差分方程（显式格式） t
t k 1 0
2Fo t1k
(1
2Fo)t0k
tf、
L
稳定性条件:
1 2Fo 0
0 1 N 1 N x 绝热
THANKS
非稳态导热 的数值计算
讨论： 一维、无内热源、常物性、非稳态导热
t f (x, )
t
a
2t x 2
一、显式差分格式
1. 内节点
k 1
1) 离散化: t f (x, )
k
第4章-非稳态导热的分析与计算-简化
h
第4章 非稳态导热的分析与计算
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热／分析解
x, x 2 a Cn exp n 2 cos n 0 n 1
4sin n Cn 2n sin 2n
t |x h t |x t x
第4章 非稳态导热的分析与计算
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热／数学模型
完整的数学模型：
t 2t 控制方程： a 2 x
0 x , 0
初始条件： cV t t0
非稳态导热过程所传递的最大热量
第4章 非稳态导热的分析与计算
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热／吸热量
从初始时刻开始的某时间段的吸热量：
Q c t x, t0 dV cA t x, t0 dx V V
第4章 非稳态导热的分析与计算
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热／分析解
x, 0
x x 2 f Fo, Bi, Cn exp n Fo cos n n1
当Fo>0.2时，取Cn= Fo>0.2：
当Fo>0.2后：
x, x cos 1 0,
——θ(x,τ)与θ(0,τ) 的比值却与τ无关，仅取决于平壁的几
何位置（x/δ）和Bi数 ——初始条件的影响已经消失：正规状况阶段
第4章 非稳态导热的分析与计算
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热／分析解
几何上：平壁
物理上：沿高度和宽度方向的换 热均匀一致
非稳态导热的分析计算(最全版)PTT文档
时间常数关系到测温仪表的响应时间。 被周围温度为tf的流体冷却
令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得： 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： * 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率 被周围温度为tf的流体冷却
由式(4-1)可得
A
A
dt d ' d (e cV ) '( A )(e cV )
d d d
cV
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
A
Q cV dt 'Ae cV d
W (4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q
为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时
d A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积
分得：
d A d cV
'
d
A cV
0 d
ln
'
A cV
'
ttf t' t f
A cV
e
上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' t' tf
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。
由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即：
A(t
θt
f
)
cV
dθt
d
(散热)
A(t f
t)
第三章_非稳态导热问题的分析解
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
第4章-非稳态导热的计算分析
是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关， 但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ） 和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应 的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布 对称。中心为原点。
第3章-非稳态导热分析解法3
任一点的热流密度：
1 0 qx x a
0 a
e
x
2
4 a
令 x 0 即得边界面上的热流密度
qw
[0,]内累计传热量
q
0
q w d 2
c 0
吸热系数
导热理论分析方法的基本思路
1、根据几何条件、物理条件简化导 热微分方程式 几何条件：导热体的 几何形状和大小，
f (Bi,
x
), f (Bi, Fo)
Bi<0.1，集中参数法
( x, ) (Bi, ) m ( )
x
P130：图3-8
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f (Bi,
x
) f (Bi, Fo)
m ( ) (Bi, Fo) 0
Q f 3 Bi , Fo Q0
特征尺寸R为圆柱体或球体的半径， r为圆柱体或球体的径向方向。
§3-4 半无限大的物体
• 半无限大系统：一个半无限大 的空间，也就是一个从其表面可 以向其深度方向无限延展的物体 系统。
• 很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以 视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。
Bi h Bi hR
F0 a F0 a
2
R2
此处的A，B及函数 f(μ1,η) 见P127表3-1
3、 非稳态导热正规状况的工程计算法 （1）拟合公式法
( , ) A exp( 12 Fo) f ( 1 ) 0
Q 1 A exp( 12 Fo) B Q0
x 2 4 a
erf ( 2 ) 0 . 9953 0
热传导的规律和计算方法
热传导的规律和计算方法【热传导的规律和计算方法】热传导是物质中热量从高温区传递到低温区的过程。
了解热传导的规律和计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解热传导的机制，还可以在实际应用中进行热传导问题的计算和分析。
本文将介绍热传导的规律以及常用的计算方法。
一、热传导的规律热传导的规律可以用热传导定律来描述，即傅里叶热传导定律。
该定律可以表示为：q = -kA(dT/dx)式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；dT/dx表示温度梯度，即温度随空间位置x的变化率，单位为摄氏度/米（°C/m）。
根据傅里叶热传导定律，热量传导速率正比于截面积和温度梯度的乘积，并与导热系数成反比。
这意味着截面积越大、温度梯度越大以及导热系数越小，热量传导速率就越大。
热传导的规律可以总结为以下几点：1. 热传导是由高温区到低温区的热量传递过程；2. 热传导速率与截面积和温度梯度的乘积成正比；3. 热传导速率与导热系数成反比。
二、热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括两种情况：稳态热传导和非稳态热传导。
1. 稳态热传导计算方法稳态热传导是指热传导过程中温度分布保持不变的情况。
在这种情况下，我们可以根据物体两端的温度差和导热系数来计算热量传导速率。
热量传导速率的计算公式为：q = -kA(T2-T1)/L式中，q表示热量传导速率，单位为瓦特（W）；k表示导热系数，单位为瓦特/米·摄氏度（W/m·°C）；A表示传热的截面积，单位为平方米（m^2）；T2和T1分别表示物体的两端温度，单位为摄氏度（°C）；L表示物体的长度，单位为米（m）。
2. 非稳态热传导计算方法非稳态热传导是指热传导过程中温度分布会随时间变化的情况。
在这种情况下，我们需要根据物体的初始温度分布、导热系数和边界条件来求解热传导的温度分布和热量传导速率。
一维非稳态导热问题的数值计算
一维非稳态导热问题的数值计算一、本文概述导热是热量在物质内部由高温部分传向低温部分的过程，它在自然界和工程应用中无处不在，如建筑物的保温隔热、热机的热传递等。
一维非稳态导热问题作为导热理论中的一个重要分支，研究的是热量在一维空间内随时间变化的传递过程。
由于其实用性和理论深度，一维非稳态导热问题一直是热传导研究领域的热点之一。
然而，一维非稳态导热问题的解析解往往难以求得，因此数值计算成为了解决这类问题的主要手段。
数值计算不仅能提供问题的近似解，还能通过改变计算条件和参数，模拟各种实际场景，为工程实践提供有力支持。
本文旨在探讨一维非稳态导热问题的数值计算方法。
我们将首先介绍一维非稳态导热问题的基本理论和数学模型，然后详细阐述几种常用的数值计算方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
在此基础上，我们将通过具体的算例，分析这些数值方法的计算精度和效率，并讨论其在实际应用中的优缺点。
本文的目标读者主要是对导热理论和数值计算方法感兴趣的学者和工程师。
希望通过本文的介绍，读者能对一维非稳态导热问题的数值计算有更深入的理解，并能将其应用于实际问题的求解中。
二、一维非稳态导热问题的数学模型一维非稳态导热问题是在某一方向上热量随时间变化的热传导过程。
在实际应用中，这类问题常见于金属棒、电缆、管道等物体的热量传递过程。
为了对这一问题进行深入研究，需要建立相应的数学模型。
一维非稳态导热的基本方程是热传导方程，它描述了热量在物体内部随时间和空间的变化。
在一维情况下，该方程可以表示为：\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2} ]其中，(T(x, t)) 表示物体在位置 (x) 和时间 (t) 的温度，(\alpha) 是热扩散系数，它决定了热量在物体内部传递的速度。
为了求解这一方程，需要定义初始条件和边界条件。
初始条件指的是物体在初始时刻的温度分布，通常表示为：T(0, t) = T_1(t), \quad T(L, t) = T_2(t) ]其中，(T_1(t)) 和 (T_2(t)) 是边界上的温度分布函数，(L) 是物体的长度。
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验
非稳态(准稳态)法测材料的导热性能实验非稳态（准稳态）法测材料的导热性能实验一、实验目的1、本实验属于创新型实验，要求学生自己选择不同原料、按照不同配比进行加工出新型实验材料，并对该材料的热物性（密度、导热系数、比热容、导温系数）进行实验测量。
2．快速测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热，掌握其测试原理和方法。
3、掌握使用热电偶测量温差的方法。
二、实验测试原理本实验是根据第二类边界条件，无限大平板的导热问题来设计的。
设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（如下图所示）。
根据导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件，对于任一瞬间沿平板厚度方向的温度分布t(x ，τ)可由下面方程组解得；方程组的解为：式中：τ——时间；λ——平板的导热系数；α——平板的导温系数；t 0——初始温度； —傅立叶准则；δβμn n = ，n=1，2，3…；q c ——沿X 方向从端面向平板加热的恒定热流密度。
随着时间τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。
当F 0＞0.5时，级数和项变得很小，可以忽略，式（1）变成（2） 0),0(0),()0,(),(),(022=∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂xt q x t t x t x x t a x t cτλτδτττ)1()]exp()cos(2)1(63[),(2211220o n n nn n c F x x q t x t μδμμδδδδατλτ--+--=-+∞=∑)612(),(222-+=-δδατλδτx q t x t c o 2δατ=F由此可见，当F 0＞0.5后，平板各处温度和时间成线性关系，温度随时间变化的速率是常数，并且到处相同。
这种状态即为准稳态。
在准稳态时，平板中心面X=0处的温度为：平板加热面X=δ处为：此两面的温差为： （3） 已知q c 和δ，再测出△t ，就可以由式（3）求出导热系数：（4）实际上，无限大平板是无法实现的，实验总是用有限尺寸的试件，一般可认为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，两侧散热对试件中心的温度影响可以忽略不计。
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一温度均匀的物体，两侧被具有 恒定温度tf的高温介质所包围
§4-2 集总参数分析法
导热热阻<<对流换热热阻 条件： 所需求解的温度仅为时间 τ 的函数而与坐标无关， 即 t＝f(τ) 集 总 参 数 分 析 法 (Lumped Parameter Analysis)：壁内各 处温度相差不大，温度梯度 极小，可以把整个导热系统 看作一个处于平均温度下的 物体。
A ) ( )(e cV
'
A cV
)
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
dt Q cV 'Ae d
A cV
W
(4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q 为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时 间内传入流体的总热量：
'
t tf 上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
ttf
'
e
A cV
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' e ' t tf
A cV
e 0.368 36.8%
1
即导热在此时的过余温度θ已下降到初始过余 温度θ′的36.8% ρcV／（αA)称为时间常数τc 如果导热体的热容量(ρcV)小，换热条件好(αA ) 大，则单位时间所传递的热量大，导热体的温 度变化快，将使导热体的温度迅速接近流体温 度。
作业：4-1；4-2；4-3
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： dθ dt A(t (散热) θt f ) cV d
dt A(t f t ) cV (吸热) d
当τ＝4τc= 4ρcV／（αA)时，则：源自 '
e
A cV
e
4
0.0183 1.83%
工程上习惯认为，τ＝4τc时导热体已达到热 平衡状态。 时间常数关系到测温仪表的响应时间。
由式(4-1)可得
dt d ' d (e d d d
A cV
Q Qd cV (1 e
' 0
A cV
)J
(4-3)
二、计算判断
毕渥数的定义：
L Bi 1
L
毕渥数的物理意义：固体的导热热阻与对 流换热热阻之间的对比关系。
V A 0.1 M Biv
表面积
大平壁: M=1 长圆柱(正方形长柱体）: M= １／２ 球（正立方体）: M=１／３
* 负号是由于dt为负值 令过余温度 θ ＝ t － tf ，则 dt ＝ dθ ，代入上式得：
d
A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积 分得： d A d ' 0 d A cV d cV A ln cV '
1.定义：温度场随时间变化
§4-1 概 述
2.分类：* 周期性非稳态导热
* 非周期性非稳态导热(瞬态导热)
3.目的：* 在加热或冷却时，确定物体内部某一 位置达到预定温度所需要的时间，以及在该时间 内物体吸收或放出的热量；
* 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体 内部的温度分布和温度场随时间的变化率