函数的极值与导数优秀教学设计

函数的极值与导数教学设计
【内容分析】
本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用.
【学情分析】
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫.
【教学目标】
（1）理解极大值、极小值的概念.
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】
极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤
【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示.
【数学思想】数形结合、合情推理.
【知识百科】
1.函数的最值
函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值.
2.函数的极值
函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极
大值或者极小值点的横坐标.
；点
x
2()x
f x x e -=（4）极值点一定出现在定义区间的内部.
（ ）2.求函数的极值并作出函数图像.f (x )=x 3
‒12x 【变式训练】
1.设c bx ax x x f 8332)(2
3
+++=在1=x 及2=x 时取得极值，求实数a ，b 的值2.求函数x x
x f ln 33
)(+=
的极值并作出函数图像．3.求函数
的单调区间和极值.以上问题课内5分钟可以完成第1、2小题，第三题可以作为课外思考练习题处理.
辑关系.（10分钟完成任务）
方法小结
【尝试小结】求可导函数f(x)的极值的步骤求函数极值的方法与步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
学生尝试小结（1分钟学生小结）
附件：第一章第三节 函数的极值与导数 导学精要
【学习目标】
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
【重点难点】
1.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
2.理解极大值、极小值的概念；
【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示.
【数学思想】数形结合、合情推理.【知识百科】
1.函数的最值
函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值.
2.函数的极值
函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标.
【知识链接】复习1
（1）请作出.
函数f(x)=x 2‒2x 的图像并指出函数的单调区间（2）试作出函数图像.
f(x)=x 3‒3x 复习2
(1)设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，0y '>那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x)在为这个区间内为 函数.
0y '<
(2)用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数.（注意先确定函数的定义域）份f (x)②令 解不等式,得x 的范围就是单调递增区间.③令 解不等式,得x 的范围就是单调递减区间.
【学习过程】 知识点1 函数的极值的概念
仔细阅读课本第26-27页内容，尝试完成下列问题：问题1 函数极值的概念抽象
函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关()y f x =,,,,,,,a b c d e f g h 系？ 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，导数的符号有什
()y f x =()y f x =么规律？
（1）图3-10中可以看出，函数在点 的函数值 比它在()y f x =x a =()f a 点附近其它点的函数值都 ， ；且在点附近的左侧
x a =()f a '=x a = 0，右侧 0. 类似地，函数在点的函数值比()f x '()f x '()y f x =x b =()f b 它在点附近其它点的函数值都 ， ；而且在点附近的
x b =()f b '=x b =左侧 0，右侧 0.
()f x '()f x '我们把点a 叫做函数的 ，叫做函数的 ；点b 叫()y f x =()f a ()y f x =做函数的 ，叫做函数的 .
()y f x =()f b ()y f x =从而类比推理可以得到图3-11中一共有 个极值点，有 个极小值点，有 个极小值；有 个极大值点，有 个极大值.我们发现函数的极值 （填是或不是）唯一的； 函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.
（2） 统称为极值点， 统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .
问题2 函数极值的概念强化
（1）极值是一个局部概念.由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>，如下图
1x 4x )(4x f )(1x f
f f f f
归纳总结判别关于函数f (x 0)极值的方法就是：
（1）若满足，且在的两侧符号是________，则是的0x 0)(0='x f 0x )(x f '
0x )(x f 极值点，是极值；
)(0x f （2）如果在两侧满足“________”，则是的_______,是)(x f '0x 0x )(x f )(0x f _______；
（3）如果在两侧满足“________”，则是的_______，是)(x f '0x 0x )(x f )(0x f _______.
知识点2 函数极值概念的应用
例 求函数的极值并作出图像.
f (x )=13
x 3
‒4x +4解：因为x ∈R,f (x )=13
x 3
‒4x +4,所以
f (x )=x 2‒4=(x +2)(x ‒2)
令解得 或 .f (x )=0,x =x =下面分两种情况讨论：
当;f (x )>0,即x 2‒4>0, 解得x >2或x <‒2当解得 .
f (x )<0,即x 2‒4<0，(x ；x =‒2时，f x 有极大值，并且极大值为f ‒2= 当 .
x =2时，f (x )有极小值，并且极小值为f (2)=1x 3
2()x f x x e -=【尝试小结】求可导函数f(x)的极值的步骤
【课堂检测】1.判断对错
（1）函数的极值在区间端点处取得. （ ）（2）函数的极小值一定小于它的极大值. （ ）（3）f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值（ ）（4）极值点一定出现在定义区间的内部. （ ）
2.求函数的极值并作出函数图像.
f (x )=x 3‒12x 【变式训练】
1.设c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值，求实数a ，b 的值．
2.求函数x x
x f ln 33
)(+=
的极值并作出函数图像．3.求函数 的单调区间和极值.。