高考数学一轮复习 函数的最值与导数教案
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式。
2. 学会利用导数判断函数的单调性，理解函数的极值概念。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决函数问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的定义及几何意义2. 基本初等函数的导数公式3. 导数的计算法则4. 利用导数判断函数的单调性5. 函数的极值及其判定三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的计算法则、利用导数判断函数的单调性、函数的极值及其判定。
2. 难点：导数的应用，如何利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的定义及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示函数的导数与单调性、极值之间的关系。
3. 结合实际例子，让学生感受导数在解决实际问题中的重要性。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何判断函数的单调性、2. 讲解导数的定义：通过几何直观，解释导数的含义，引导学生理解导数表示函数在某点的瞬时变化率。
3. 学习基本初等函数的导数公式：讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。
4. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，举例说明。
5. 利用导数判断函数的单调性：引导学生利用导数符号判断函数的单调性，讲解“增函数”和“减函数”的概念。
6. 函数的极值及其判定：讲解极值的概念，举例说明如何利用导数判断函数的极值。
7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数单调性、极值方面的应用。
9. 拓展：引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理、经济学等。
10. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，检验学生对导数概念、基本初等函数的导数公式、导数计算法则、单调性和极值的理解和应用能力。
函数的极值与导数(教案)
函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。
教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。
教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。
第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。
教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。
教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。
第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数与函数的极值、最值教学案 理 新人教A版-新人教
§3.3导数与函数的极值、最值最新考纲考情考向分析1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．2.会利用导数解决实际问题(生活中的优化问题). 考查函数的极值、最值，常与方程、不等式相结合命题，强化应用意识．题型为解答题，难度较大.1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．概念方法微思考1．对于可导函数f (x)，“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒 不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × ) (3)开区间上的单调连续函数无最值．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1e B.2e C ．eD ．e 2 答案 C解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e.故选C. 3．当x >0时，ln x ，x ，e x的大小关系是________． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x－1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x，故ln x <x <e x.4．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3解析 容积V ＝(a －2x )2x ,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3.题组三 易错自纠5．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.6．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值X围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3－2a <0，f ′2＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <1时，f ′(x )<0； 当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值， 在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)，求函数f (x )的极值． 解 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝2x －2a x＝2x 2－ax. ①当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值，且f (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a ．无极大值．综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值．当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值点求参数例3 (1)(2020·某某八校联考)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在(1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值X 围为________．(2)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52(x －k )k，k ≥1，k ∈Z ，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝______. 答案 (1)(－∞，－1) (2)1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解， 所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a <0， 所以a ∈(－∞，－1)．(2)因为函数的导数为f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52(x －k )k，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k 不是极值点，则k 是奇数， 若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值． 因为k ≥1，k ∈Z ，所以k ＝1，若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极小值不满足条件． 思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数f ′(x )．③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根． ④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2019·某某冀州中学模拟)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值X 围是________．答案 (－1,0)解析 若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值．综上所述，a ∈(－1,0)．(2)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )．讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； 当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <1a，由f ′(x )>0，得x >1a，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值，无极大值．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．用导数求函数的最值例4 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．解 f ′(x )＝－x －1－x x 2＋k x ＝kx －1x2. ①若k ≤0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减． ②若0<k <1e ，则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2，由k <1e ，得1k>e ，则x －1k <0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立， 所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒成立， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．综上，当k <1e 时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1e＋k －1，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1.若本例条件中的“k <1e ”改为“k ≥1e ”，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 上的最小值是多少？解 f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2，∵k ≥1e ，∴0<1k≤e， 若0<1k ≤1e ，即k ≥e 时，f ′(x )≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 上恒成立，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 上为增函数，f (x )min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 若1e <1k <e ，即1e <k <e 时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1k 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1k ，e 上为增函数，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝k －1－k ln k .当k ＝1e 时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 上为减函数，无最小值．综上，当1e <k <e 时，f (x )min ＝k －1－k ln k ，当k ≥e 时，f (x )min ＝e －k －1，当k ＝1e时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，e 上无最小值．思维升华 (1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．跟踪训练2 (2020·某某检测)已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )，求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解 g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－a ＋2x ＋ax＝2x －a x －1x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，1－e a ＋e 2－2e ，a ≥2e.1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 答案 C解析 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 2．(2019·某某一中模拟)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4B ．－2C ．4D ．2 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.4．(2019·苏锡常镇调研)f (x )＝e x－x 在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．1＋1e B ．1C ．e ＋1D ．e －1 答案 D解析 f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1)．故选D.5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0<b <1B ．b <1 C ．b >0D ．b <12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正， ∴f ′(0)＝－3b <0，且f ′(1)＝3－3b >0. ∴b >0且b <1.综上，b 的取值X 围为0<b <1.6．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4}D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，对于x ∈[－1,1]总有f ′(x )<0， 则f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2<0，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2<0，不合题意；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫－1a，1a 上为减函数，所以有f (－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4.7．(2020·某某调研)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (2)的值为________． 答案 18解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝10，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经验证a ＝4，b ＝－11符合题意，此时f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值X 围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数f (x )在这两个区间内单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22. ∴a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.10．函数 f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.11．设函数f (x )＝a ln x －bx 2，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)某某数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解 (1)f ′(x )＝ax －2bx ，x >0，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝a －2b ＝0，f 1＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，x >0，f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1，令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增， 在(1，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12. 12．(2019·某某中学调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0，由f ′(x )＝0，得x ＝1e. 所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以x ＝1e是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在． (2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝ea －1. 所以在区间(0，ea －1)上，g (x )为减函数， 在区间(ea －1，＋∞)上，g (x )为增函数． 当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g (x )为增函数，所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )在区间[1，ea －1]上为减函数，在区间[e a －1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (ea －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g (x )为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e.综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0；当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1；当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.13．(2020·某某质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝ex ＋1和y ＝x －1的图象交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是________．答案 5＋ln22解析 由y ＝e x ＋1得x ＝ln y －1， 由y ＝x －1得x ＝y 2＋1，所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，y >0，h ′(y )＝2y －1y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －22⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22y， 当0<y <22时，h ′(y )<0，当y >22时，h ′(y )>0， 即函数h (y )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增， 所以h (y )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＋2＝5＋ln22. 14．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－6，－2]解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0，变为3≥0恒成立，即a ∈R ， 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3. ∴φ′(x )＝－x 2－8x －9x 4＝－x －9x ＋1x4， ∴当x ∈(0,1]时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1]上单调递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6.∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －3x 3min . 同理可求得x ∈[－2,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x －3x 3min ＝φ(－1)＝－2，∴a ≤－2， 综上可得，－6≤a ≤－2.15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x (x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x ，设g (x )＝ln x ＋1e x ， g ′(x )＝1x －ln x －1e x (x >0)，令h (x )＝1x－ln x －1， 则h ′(x )＝－1x 2－1x<0(x >0)， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0,1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0,1]上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e， 而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两个极值点，只需y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0. 16．已知f (x )＝ax －ln x ，当x ∈(0，e]时，是否存在实数a ，使得f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在实数a ，使得f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])的最小值为3，由题意知f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当a ≤0时，在(0，e]上恒有f ′(x )<0，函数f (x )在(0，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，即a ＝4e，不满足a ≤0，舍去． ②当0<1a <e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，即a ＝e 2，满足条件． ③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，即a ＝4e，不满足1a ≥e，舍去．综上所述，当x ∈(0，e]时，存在实数a ＝e 2，使得f (x )的最小值为3.。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
函数最值与导数教案
函数最值与导数教案一、教学目标1. 了解函数的最值以及如何求最值；2. 掌握函数的定义域与值域的概念；3. 理解导数的概念以及导数与函数最值之间的关系。
二、教学内容1. 函数的最值- 定义：函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值；- 求解：可以通过以下步骤求解函数的最大值与最小值：- 求函数的导数，并求导数为零的点；- 将这些点代入函数，得到函数的最值。
2. 定义域和值域- 定义域：函数能够取值的实数集合，符号表示为D(f)；- 值域：函数所有可能的值所组成的集合，符号表示为R(f)。
3. 导数与函数最值- 导数的定义：表示函数在某一点的变化率，符号表示为f'(x)或y'；- 最值与导数的关系：函数的最值通常发生在导数为零的点处，即函数的临界点；- 当导数为零且导数变号时，这些点是函数的极大值或极小值；- 当导数不存在时，函数可能有极值。
三、教学步骤1. 引入函数的最值概念并解释其含义；2. 介绍定义域和值域的概念；3. 讲解导数的概念以及导数与函数最值之间的关系；4. 示范如何求解函数的最值，并进行练；5. 练题的讲解与解答；6. 总结教学内容，并进行小结。
四、教学资源1. 教材：数学教科书；2. 手写板或白板；3. 计算器；4. 练题。
五、教学评估1. 学生练题的完成情况；2. 群体性测验：让学生回答关于函数最值与导数的选择题。
六、教学扩展1. 知识延伸：介绍最值的应用场景，如优化问题中的最优解；2. 拓展练：提供更复杂的函数求最值的练；3. 案例分析：以实际问题为例，分析函数最值与导数的应用。
七、教学反思通过本课的教学，学生能够理解函数的最值概念，掌握函数的定义域和值域的计算方法，并能够运用导数求解函数的最值。
在教学过程中，可以适当引入一些实际问题和案例分析，以增加学生对知识的兴趣和理解程度。
高考数学一轮复习 函数的最值与导数教案
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的最值与导数教案学习内容w学习指导即时感悟 【学习目标】1.理解函数的最大值和最小值的概念；2.掌握用导数求函数的最值的方法和步骤。
【学习重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。
【学习难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。
学习方向【回顾引入】回顾：求极值的步骤：创设情景：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小． 【自主﹒合作﹒探究】问题1：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？(见教材P30面图1.3－14与1.3－15)在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a) ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 f(x 1) f(x 3) f(x 5) ,极小值是 f(x 2)f(x 4) 最大值是 f(x 3) 最小值是 f(x 4) .思考2：⑴ 极值与最值有何关系？⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？极值点或端点处⑶ 怎样求最大值与最小值？回顾知识引入新知得到知识图1 图2①求出极值②极值与端点函数值作比较新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的 与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 例1.试试：上图的极大值点为 x 2,x 4,x 6 ，极小值点为x 1,x 3,x 5；最大值为 f(a) ，最小值为 f(x 5)例2.求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值. ∵f(x)=44313+-x x ,∴4)(2-='x x f .∵[]3,0∈x ,∴由0)(='x f 得x=2，又由0)(>'x f 得x>2，由0)(<'x f 得0<x<2,∴f(x)有极小值f(2)=34- 又f(0)=4,f(3)=1,所以f(x)的最大值为4，最小值为34-。
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的极值最值教学案理解析版
利用导数解决函数的极值问题►考法１根据函数图像判断函数极值的情况【例１】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）D[由题图可知，当x＜—２时，f′（x）＞0；当—２＜x＜１时，f′（x）＜0；当１＜x＜２时，f′（x）＜0；当x＞２时，f′（x）＞0．由此可以得到函数f（x）在x＝—２处取得极大值，在x＝２处取得极小值．]►考法２求已知函数的极值【例２】已知函数f（x）＝（x—２）（e x—ax），当a＞0时，讨论f（x）的极值情况．[解] ∵f′（x）＝（e x—ax）＋（x—２）（e x—a）＝（x—１）（e x—２a），∵a＞0，由f′（x）＝0得x＝１或x＝ln ２a.１当a＝错误!时，f′（x）＝（x—１）（e x—e）≥0，∴f（x）递增，故f（x）无极值．２当0＜a＜错误!时，ln ２a＜１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（—∞，ln ２a）ln ２a（ln ２a,１）１（１，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）↗极大值↘极小值↗２３当a＞错误!时，ln ２a＞１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：２综上，当0＜a＜错误!时，f（x）有极大值—a（ln ２a—２）２，极小值a—e；当a＝错误!时，f（x）无极值；当a＞错误!时，f（x）有极大值a—e，极小值—a（ln ２a—２）２.►考法３已知函数极值求参数的值或范围【例３】（１）已知f（x）＝x３＋３ax２＋bx＋a２在x＝—１时有极值0，则a—b＝________.（２）若函数f（x）＝e x—a ln x＋２ax—１在（0，＋∞）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（）Ａ．（—e２，—e）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，—e）（１）—7 （２）D[（１）由题意得f′（x）＝３x２＋6ax＋b，则错误!解得错误!或错误!经检验当a＝１，b＝３时，函数f（x）在x＝—１处无法取得极值，而a＝２，b＝9满足题意，故a—b＝—7．（２）∵f′（x）＝e x—错误!＋２a，（x＞0）∴由f′（x）＝0得a＝错误!.令g（x）＝错误!（x＞0）．由题意可知g（x）＝a在（0，＋∞）上恰有两个零点．又g′（x）＝—错误!（x＞0），由g′（x）＞0得0＜x＜１，且x≠错误!.由g′（x）＜0得x＞１．∴函数g（x）在错误!，错误!上递增，在（１，＋∞）上递减．又g（0）＝0，g（１）＝—e，结合图形（图略）可知a∈（—∞，—e），故选Ｄ．][规律方法] １．利用导数研究函数极值问题的一般流程２．已知函数极值点和极值求参数的两个要领（１）列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．（２）验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．２Ａ．２或6 Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．6（２）（２0１9·广东五校联考）已知函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）A[（１）法一：f′（x）＝（x—c）（３x—c），当f′（x）＝0时，x１＝错误!，x＝c.２因为极大值点是x＝２，所以c＞0，并且错误!＜c.当x∈错误!时，f′（x）＞0，当x∈错误!时，f′（x）＜0，当x∈（c，＋∞）时，f′（x）＞0，所以x＝错误!是极大值点，错误!＝２，解得c＝6．故选Ｄ．法二：因为f′（x）＝（x—c）（３x—c）．又因为f（x）在x＝２处取极值，所以f′（２）＝0，即（２—c）（6—c）＝0．所以c＝２或c＝6．当c＝6时，f′（x）＝３（x—２）（x—6），易知x∈（—∞，２）和x∈（6，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈（２,6）时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２为极大值点．当c＝２时，f′（x）＝３（x—２）错误!，易知x∈错误!和x∈（２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈错误!时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２是极小值点．因此c＝6．故选Ｄ．（２）f（x）＝x ln x—ax２（x＞0），f′（x）＝ln x＋１—２ax.令g（x）＝ln x＋１—２ax，则g′（x）＝错误!—２a＝错误!.∵函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，∴g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根．当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，＋∞）上递增，当x趋向于0时，g（x）趋向于—∞，当x趋向于＋∞时，g（x）趋向于＋∞，故存在x0∈（0，＋∞），使得f（x）在（0，x0）上递减，在（x0，＋∞）上递增，故f（x）存在极小值f（x0），符合题意．当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝错误!.当0＜x＜错误!时，g′（x）＞0，函数g（x）递增；当x＞错误!时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，∴x＝错误!时，函数g（x）取得极大值．∵当x趋向于0和x趋向于＋∞时，均有g（x）趋向于—∞，要使g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根，且f（x）有极值，必须g错误!＝ln 错误!＞0，解得0＜a＜错误!.综上可知，实数a的取值范围是错误!，故选Ａ．]利用导数解决函数的最值问题【例４】已知函数f（x）＝ln x—ax（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）当a＞0时，求函数f（x）在[１,２]上的最小值．[解] （１）f′（x）＝错误!—a（x＞0），１当a≤0时，f′（x）＝错误!—a＞0，即函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）．２当a＞0时，令f′（x）＝错误!—a＝0，可得x＝错误!，当0＜x＜错误!时，f′（x）＝错误!＞0；当x＞错误!时，f′（x）＝错误!＜0，故函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.综上可知，当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）；当a＞0时，函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.（２）１当0＜错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在区间[１,２]上是减函数，所以f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.２当错误!≥２，即0＜a≤错误!时，函数f（x）在区间[１,２]上是增函数，所以f（x）的最小值是f （１）＝—a.３当１＜错误!＜２，即错误!＜a＜１时，函数f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．又f（２）—f（１）＝ln ２—a，所以当错误!＜a＜ln ２时，最小值是f（１）＝—a；当ln ２≤a＜１时，最小值为f（２）＝ln ２—２a.综上可知，当0＜a＜ln ２时，函数f（x）的最小值是f（１）＝—a；当a≥ln ２时，函数f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.[规律方法] 求函数f x在[a，b]上的最大值、最小值的步骤１求函数在a，b内的极值.２求函数在区间端点的函数值f a，f b.３将函数f x的极值与f a，f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.（１）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（２）求函数f（x）在区间错误!上的最大值和最小值．[解] （１）因为f（x）＝e x cos x—x，所以f′（x）＝e x（cos x—sin x）—１，f′（0）＝0．又因为f（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝１．（２）设h（x）＝e x（cos x—sin x）—１，则h′（x）＝e x（cos x—sin x—sin x—cos x）＝—２e x sin x.当x∈错误!时，h′（x）<0，所以h（x）在区间错误!上递减．所以对任意x∈错误!有h（x）<h（0）＝0，即f′（x）<0．所以函数f（x）在区间错误!上递减．因此f（x）在区间错误!上的最大值为f（0）＝１，最小值为f错误!＝—错误!.利用导数研究生活中的优化问题【例５】已知一企业生产某产品的年固定成本为１0万元，每生产千件需另投入２．7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝错误!（１）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式．（２）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入—年总成本）[解] （１）由题意得W＝错误!即W＝错误!（２）１当0＜x≤１0时，W＝8．１x—错误!x３—１0则W′＝8．１—错误!x２＝错误!＝错误!，因为0＜x≤１0所以当0＜x＜9时，W′＞0，则W递增；当9＜x≤１0时，W′＜0，则W递减．所以当x＝9时，W取最大值错误!＝３8．6万元．２当x＞１0时，W＝98—错误!≤98—２错误!＝３8．当且仅当错误!＝２．7x，即x＝错误!＞１0时取最大值３8．综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．[规律方法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步１分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f x.２求函数的导数f′x，解方程f′x＝0.,３比较函数在区间端点和f′x＝0的点的函数值的大小，最大小者为最大小值.,４回归实际问题，结合实际问题作答.为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为１00元/平方米，底面的建造成本为１60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为１２000π元（π为圆周率）．（１）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域．（２）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] （１）因为蓄水池侧面的总成本为１00×２πrh＝２00πrh元，底面的总成本为１60πr２元，所以蓄水池的总成本为（２00πrh＋１60πr２）元．又根据题意得２00πrh＋１60πr２＝１２000π，所以h＝错误!（３00—４r２），从而V（r）＝πr２h＝错误!（３00r—４r３）．由h＞0，且r＞0可得0＜r ＜５错误!，故函数V（r）的定义域为（0,５错误!）．（２）因为V（r）＝错误!（３00r—４r３），所以V′（r）＝错误!（３00—１２r２）．令V′（r）＝0，解得r１＝５，r２＝—５（因为r２＝—５不在定义域内，舍去）．当r∈（0,５）时，V′（r）＞0，故V（r）在（0,５）上为增函数；当r∈（５,５错误!）时，V′（r）＜0，故V（r）在（５,５错误!）上为减函数．由此可知，V（r）在r＝５处取得最大值，此时h＝8，即当r＝５，h＝8时，该蓄水池的体积最大．。
高三数学一轮教学资料 导数的应用-极值、最值活动导学案
第1页 共4页 《导数的应用—极值、最值》活动导学案【学习目标】1.会用导数研究函数的极值和最值；2.会求函数的极值和最值.【重难点】掌握求函数极值和最值的的一般方法.【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1.函数x x y 22-=在R 上有极 值，该值的大小为 .2.函数1112)(3+-=x x x f 的极小值为 .3.函数x ax x x f 2)(23++=的极值点有两个，则实数a 的取值范围是 .4.函数]2,2[,cos 21ππ-∈+=x x y 的最大值为 .二、互动研讨 求函数8235323+-=x x y 的极值小组讨论一、 利用导数研究函数的极值1、设函数2312)(bx ax ex x f x ++=-，已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，求a 和b 的值.(2)已知函数x b ax x f ln )(2+=在1=x 处有极值21.求a 和b 的值.2、设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．小组讨论二、 利用导数求函数的最值1、 (2012·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．2、 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值．3.已知函数x ax x x f 3)(23+-=.（1）若)(x f 在),1[+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）若3=x 是函数)(x f 的极值点，求)(x f 在区间],1[a 上的最值.4.已知函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和32-=x 时都取得极值. （1）求b a ,的值；第3页 共4页 （2）若23)1(=-f ，求)(x f 的极值； （3）若对于]2,1[-∈∀x 都有c x f 3)(<恒成立，求c 的取值范围.三、检测反馈1.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值，则=a .2.函数)(x f 的导函数x x x f 4)('2-=，则函数)(x f 取得极大值的=x .3.函数],0[,sin 21)(π∈-=x x x x f 的值域为 .4.已知函数)(x f 的导函数为))(1()('a x x a x f -+=，若)(x f 在a x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是 .5、],0[,cos 3sin )(π∈-=x x x x f 的单调增区间为 .6、函数)0(ln 2)(2<+=a x a x x f 的单调减区间为 .7、若函数a x ax x y 23123-+-=在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是8、已知函数x x ax x f ln 21)(--=在),0(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .。
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山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数的最值与导
数教案
学习内容w
学习指导即时感悟 【学习目标】
1.理解函数的最大值和最小值的概念；
2.掌握用导数求函数的最值的方法和步骤。
【学习重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。
【学习难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。
学习方向
【回顾引入】
回顾：求极值的步骤：
创设情景：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小． 【自主﹒合作﹒探究】
问题1：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？(见教材P30面图1.3－14与1.3－15)
在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a) ；
在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 f(x 1) f(x 3) f(x 5) ,极小值是 f(x 2)
f(x 4) 最大值是 f(x 3) 最小值是 f(x 4) .
思考2：⑴ 极值与最值有何关系？
⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？
极值点或端点处
⑶ 怎样求最大值与最小值？
回顾知识
引入新知
得到知识
图1 图2
①求出极值②极值与端点函数值作比较
新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的 与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 例1.试试：
上图的极大值点为 x 2,x 4,x 6 ，极小值点为x 1,x 3,x 5；
最大值为 f(a) ，最小值为 f(x 5)
例2.求函数
3
1()443
f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值. ∵f(x)=443
13
+-x x ,∴4)(2-='x x f .
∵[]3,0∈x ,∴由0)(='x f 得x=2，
又由0)(>'x f 得x>2，由0)(<'x f 得0<x<2,∴f(x)有极小值f(2)=3
4- 又f(0)=4,f(3)=1,所以f(x)的最大值为4，最小值为3
4-。
例3. 已知函数
32()39f x x x x a =-+++，
总结求最值步骤
分析题目 总结方法
（1）求()
f x的单调区间；
（2）若()
f x在区间[2,2]
-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
(1)增区间为(-1,3),减区间为(-∞,-1)(3,+∞)
(2)最小值为-7
【当堂达标】
1.P31页练习
2.函数y = f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M = m,则f′(x)
( A )
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.以上都有可能
3.若函数3
=--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M N
f x x x a
()3
-
自我达标的值为（ D ）
A．2 B．4 C．18 D．20
【反思﹒提升】
【拓展﹒延伸】
A组
1.下列说法正确的是( D )
A. 函数的极大值就是函数的最大
B. 函数的极小值就是函数的最小值
C. 函数的最值一定是极值
D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值 B 组
2.函数32()3(1)f x x x x =-< （ C ） A ．有最大值但无最小值 B ．有最大值也有最小值 C ．无最大值也无最小值 D ．无最大值但有最小值 C 组
3.已知函数b ax ax x f +-=236)(。
若f （x ）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a 、b 的值 解：a=2,b=3,或a=-2,b=-29
课下检验。