高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用

一、选择题

1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B )

(A)m>-2(B)m≥-2

(C)m<2 (D)m≤2

解析:函数定义域为(0,+∞),

又f'(x)=2x+m+.

依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立,

∴m≥-恒成立,设g(x)=-,

则g(x)=-≤-2,

当且仅当x=时等号成立.

故m≥-2,

故选B.

2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式

e x·f(x)>e x+1的解集为( A )

(A){x|x>0} (B){x|x<0}

(C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0

解析:构造函数g(x)=e x·f(x)-e x,

因为g'(x)=e x·f(x)+e x·f'(x)-e x

=e x[f(x)+f'(x)]-e x>e x-e x=0,

所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数.

又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,

所以原不等式转化为g(x)>g(0),

解得x>0.

故选A.

3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.

4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正

数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B )

(A)(B)

(C)(-1,0) (D)(-∞,-1)

解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),可看成是

直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以

k PB

5.(2013淄博一检)已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为( A )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:设f(x)=+ln x=+ln x-1,

则f'(x)=-+=.

当x∈时,f'(x)<0,

故函数f(x)在上单调递减;

当x∈(1,2]时,f'(x)>0,

故函数f(x)在(1,2]上单调递增,

∴f(x)min=f(1)=0,

∴a≤0,即a的最大值为0.

故选A.

二、填空题

6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x (x>0),为使耗电量最小,则速

度应定为.

解析:由y'=x2-39x-40=0,

得x=-1或x=40,

由于0

当x>40时,y'>0.

所以当x=40时,y有最小值.

答案:40

7.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是.

解析:方程可化为a=x3-3x2,

设f(x)=x3-3x2,

则f'(x)=3x2-6x,

由f'(x)>0,得x>2或x<0;

由f'(x)<0,得0

所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,

故f(x)在x=0处有极大值,f(0)=0.

在x=2处有极小值f(2)=-4.

要使方程有三个不同的实根,则有-4

答案:(-4,0)

8.(2013天津模拟)函数f(x) =x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是.

解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),

令3x2+6ax+3(a+2)=0,

即x2+2ax+a+2=0.

因为函数f(x)既有极大值又有极小值,

所以方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根,

即Δ=4a2-4a-8>0,

解得a>2或a<-1.

答案:a>2或a<-1

三、解答题

9.(2013银川模拟)设函数f(x)=aln x-bx2(x>0),

(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,

①求实数a,b的值;

②求函数f(x)在上的最大值.

(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围.

解:(1)①f'(x)=-2bx,

∵函数f (x)在x=1处与直线y=-相切,

∴

解得

②f(x)=ln x-x2,