泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试理科数学试卷答案
四川省泸州市2017届高三二诊试题(理)(word版,附答案)
四川省泸州市2017届高三二诊试题（理）考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数2(1i)i-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．-1- i 2. 若X ～N （5，1），则P （6＜X ＜7）=（ ）（参考值：P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）=0.6826；P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544； P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974）A ．0.4772B ．0.1574C ．0.2718D ．0.1359 3. 已知1i 1i=-+ab ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则|i |-a b =（ ） A ．3 B ．2 CD ．5 4．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3π=．1233,10,21,,S S S =++==++++==++++++=依此规律，那么10S =（ ）A ．210B ．230C ．220D ．240 5．设随机变量X 的概率分布列为下图，则(|3|1)P X -==（ ）A ．712 B ．512 C ．14 D ．166.根据如下样本数据得到回归直线方程a x b yˆˆˆ+=，其中1.9ˆ=a ，则=b ˆ（ ）A. 9.4B. 9.5C. 9.6D. 9.7 7．设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （3，p ），若()P ξ≥=519，则P （η≥2）的值为（ ） A ．2027B ．827C ．727 D ．1278．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点）两次，落在水平桌面后，记正 面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”， 则概率()P B A =（ ）A.14 B. 13 C.12 D.259．某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要 求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）A ．1080B ．480C ．1560D ．30010.学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的4个班级，其中甲班级至少分配2 个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．30种B ．26种C ．24种D ．20种 11．已知45)21()1(x ax -+的展开式中2x 的系数为16-，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．212．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（ ）A ．72B ．96C ．120D ．156第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．已知随机变量η=23+ξ，且D ξ=2，则D η=________.14．已知252701271)(2)++-=+++⋅⋅⋅+x x x a a a x a x a x （的展开式中，032=-a ， 则=a a a a +++⋅⋅⋅+0127__________.15．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回 地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的 概率为_________.16．给出下列5种说法：①标准差越小，样本数据的波动也越小； ②回归分析研究的是两个相关事件的独立性；③在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；④相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明回归模型的拟合效果越好. ⑤对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系” 的把握越小．其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17． (本小题满分10分)已知)nx22（N *∈n ）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1． （1）求展开式中含x 32的项；（2）求展开式中二项式系数最大的项．18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，从该校抽取200名学生对其课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？（23名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X ，求X 的数学期望和方差． 参考公式：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++参考数据：19． (本小题满分12分)已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表（1出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程；参考公式：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.20． (本小题满分12分)某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。
2020届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学(理科)试题(教师版)
泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试数学（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =I （ ）A. {}1B. {}1,2C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =I ，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 2.i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ） A. i -B. iC. 1-D. 1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i i i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.3.已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行；当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行.所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件，当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5.若1tan2α=，则cos2=α( )A.45- B.35- C.45D.35【答案】D【解析】【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵1 tan2α=，∴22222211cos sin1tan34cos21cos sin1tan514ααααααα---====+++，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 12π B.32π C. 2π D. 3π【答案】B【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为213π⨯⨯，故原几何体的体积为32π. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.7.函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A. 1-B. 1C. 2-D. 2【答案】A【解析】【分析】 求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】()2321f x x x '=-+，故()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-.令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.8.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A. 20B. 24C. 25D. 26 【答案】D【解析】【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.9.把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ） A. 512π B. 56π C. 6π D. 12π【答案】A【解析】【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值.【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=--⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．10.已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A. []1,2B.C. ⎤⎦D. []1,4【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围.【详解】由题设有1,b c ==2a =，故椭圆22:14x C y +=， 因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=. 又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-， 因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤， 所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11.正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C ，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A. 103π B. 4π C. 133π D. 7π【答案】D【解析】【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,3CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯， 因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3DO ==，故11DO =，又因为3AD =，故23DO =因,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ，因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232OO DO ==， 所以3714OD =+=7，外接球的表面积为74=74ππ⨯.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.12.过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ） A. 5 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】D【解析】【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C .因2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥.又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =.在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以51022c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.()621x -的展开式中2x 的系数为__________（用具体数据作答）.【答案】60【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求2x 的系数.【详解】()621x -的展开式的通项公式为()()61621r r r r T C x -+=-，令62r -=，故4r =，故2x 的系数为()44261260C -⨯=. 故答案为：60.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.14.已知变量x ，y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值为__________．【答案】-5【解析】【分析】画出x ，y 满足的可行域，当目标函数2z x y =-经过点A 时，z 最小，求解即可．【详解】画出x ，y 满足的可行域，由2346x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得()1,2A -，当目标函数2z x y =-经过点()1,2A -时，z 取得最小值为-5.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．15.ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222c a b ab =+-，sin sin 26sin A B A B +=，若3c =，则+a b 的值为__________. 【答案】32【解析】【分析】先利用余弦定理求出C ，再用正弦定理求出2R 并把sin sin 26sin A B A B +=转化为与边有关的等式，结合222c a b ab =+-可求+a b 的值.【详解】因为222c a b ab =+-，故222cos 122a b c C ab +-==，因为()0,C π∈，所以3C π=. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2233R ==， 所以232322323A B A B +=⨯即2a b ab +=. 因为()())22223293+2a b ab a b ab a b a b =+-=+-=+-， 解得32a b +=322a b +=-（舍）. 故答案为：32【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.16.已知变量()12,0,x x m ∈ (m >0)，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值________． 【答案】e 【解析】 【分析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f （x ）＝ln xx，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【详解】不等式两边同时取对数得2112ln ln xxx x <， 即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈即1212ln ln x x x x <成立， 设f （x ）＝ln xx，x ∈（0，m ）， ∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数，函数的导数221x ln x1ln x x ()x x f x '⋅--==， 由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1， 得0＜x ＜e ，即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ）， 则m 的最大值为e 故答案为e【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足()*21N n n S a n +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 中，113b a =，11n n b b +=+()*N n ∈，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .【答案】（1）()*1N 3nn a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）()()2*1111N 223nn T n n n ⎛⎫=++-⋅∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可得()1123n n a n a -=≥，故可利用等比数列的通项公式求出{}n a 的通项.（2）利用分组求和法可求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，1121S a +=，所以113a =， 当2n ≥时，21n n S a +=，①1121n n S a --+=，②所以()1120n n n n S S a a ---+-=， 即13n n a a -=，又因为1103=≠a ，故0n a ≠，所以()1123n n a n a -=≥， 所以{}n a 是首项113a =，公比为13的等比数列， 故()1*111N 333n nn a n -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由11n n b b +=+得：数列{}n b 为等差数列，公差1d =，11313b =⨯=，()111n b n n =+-⨯=，()()()1122n n n T a b a b a b =++++⋅⋅⋅++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()12n S n =+++⋅⋅⋅+ ()111322nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+ ()()2*1111N 223nn n n ⎛⎫=++-⋅∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，114223AB AA A B BC AC =====，，，点F 为棱AB 的中点，点E 为线段11A C 上的动点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）若直线1B E 与平面11A FC 所成角为60︒，求二面角11E BB A --的正切值.【答案】（1）见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）可证BC ⊥面1A EF ，从而可得EF BC ⊥.（2）可证点E 为线段11A C 的三等分点，再过E 作11EG A B ⊥于G ，过G 作1GH BB ⊥，垂足为H ，则EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角，利用解直角三角形的方法可求tan EHG ∠.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求tan EHG ∠.【详解】证明：（1）因为11,AB AA A B F ==为AB 中点，所以1A F AB ⊥.因为平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B Ç平面ABC AB =，1A F ⊂平面11AA B B ， 所以1A F ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，故1A F BC ⊥，又因为222BC AC AB +=，所以BC AC ⊥，则111,⊥⊥BC AC BC A E ， 又1111=⋂AC A E A ，故BC ⊥面1A EF ，又EF ⊂面1A EF ，所以BC EF ⊥. （2）由（1）可得：11B C ⊥面111,A FC B E 在面11A FC 内的射影为11A C ，则11B EC ∠为直线1B E 与平面11A FC 所成的角，即1160B EC ∠=︒. 因为BC AC ⊥，所以1111112B C AC B C ⊥=，，所以1EC =，所以1A E =， 即点E 为线段11A C 的三等分点.解法一：过E 作11EG A B ⊥于G ，则EG ⊥平面1A B ， 所以1EG BB ⊥，过G 作1GH BB ⊥，垂足H ，则EHG ∠为二面角11E BB A --的平面角,因为3EG =，12AG =，22GH =⨯= 则在Rt EHG ∆中，有2tan 3EG EHG GH ∠===， 所以二面角11E BB A --的平面角的正切值为23. 解法二：以点F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()110,2,0,0,2,0,,0)-A A B B C ， 设点()000,,E x y z ，由1112233==u u u u r u u u r u u u r A E AC AC得：)0002(,,3x y z -=，即0x =，02y =，0z =2,E ⎝， 平面11AA B B 的一个法向量()1,0,0m =u r，又=⎝u u u r BE，11==u u u r u u u r BB AA ，设平面1EBB 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则020x y +=⎨⎪+=⎩，令x =1EBB的一个法向量为1)=-r n . 设二面角11E BB A --的平面角为θ，则cos m n m n θ⋅==v v v v即2tan 3θ=，所以二面角11E BB A --的正切值为23.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 19.在直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P ，若以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）若C 上存在两动点A B ，（A ，B 在x 轴异侧）满足32⋅=u u u r u u u rOA OB ，且PAB △的周长为22AB +，求AB 的值.【答案】（1）24y x =；（2）48AB =【解析】 【分析】（1）设(),Q x y ()221122+-+=⨯x x y ，化简后可得轨迹C 的方程. （2）设直线:AB x my n =+，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简32⋅=u u u r u u u rOA OB 并求得8n =，结合焦半径公式及弦长公式可求m 的值及AB 的长. 【详解】（1）设(),Q x y ，则圆心的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为以线段PQ 为直径的圆与y 轴相切，()221122+-+=⨯x x y ，化简得C 的方程为24y x =.(2)由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立24y x =得2440y my n --=， 设()()1122,,A B x y x y ， （其中120y y <） 所以124y y m +=，124y y n ⋅=-，且0n >，因为32⋅=u u u r u u u r OA OB ，所以22121212123216⋅=+=+=u u u r u u u r y y OA OB x x y y y y ，2432n n -=，所以()()840n n -+=，故8n =或4n =- （舍）， 直线:8AB x my =+， 因为PAB ∆的周长为22AB + 所以22PA PB AB AB ++=+. 即2PA PB AB +=+，因为()21212218418PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12AB y y =-==所以24182m +=+，解得m =±所以48AB ===.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.20.为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，其中μ近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费： ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 获赠的随机话费（单位：元） 1020 概率 2313市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？21014.5≈；②若()2~,X Nμσ；则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）0.8186；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质可求()3679.5P Z <≤的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为X 元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=又3665≈-79.565≈+ 所以()3679.5P Z <≤110.95450.682722=⨯+⨯ 0.8186=；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X 有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为12， 得10元的情况为低于平均值，概率121233P =⨯=， 得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率1112272323318P =⨯+⨯⨯=， 得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为1212122339P C =⨯⨯⨯=，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为111123318P =⨯⨯=. 所以变量X 的分布列为：某家长获赠话费的期望为()17211020304020318918E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题. 21.已知函数()()()sin 12ln xf xg x m x x x==--，.（1）求证：当(]0,x π∈时，()1f x <；（2）若对任意(]00,x π∈存在(]10,x π∈和(]2120,()x x x π∈≠使()()()120g x g x f x ==成立，求实数m 的最小值.【答案】（1）见解析；（2）2ln 11ππ+-【解析】 【分析】 （1）不等式()1f x <等价于(]sin ,0,x x x π<∈，设()(]sin ,0,p x x x x π=-∈，利用导数可证()0p x <恒成立，从而原不等式成立.（2）由题设条件可得()()0g x f x =在(]0,π上有两个不同零点，且[)()(]{}0,1,0,y y g x x π⊆=∈，利用导数讨论()g x 的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得m 的取值范围. 【详解】（1）设()sin p x x x =-，则()cos 1p x x ='-， 当(]0,x π∈时，由()0p x '<，所以()p x 在(]0,π上是减函数，所以()()00p x p <=，故sin x x <. 因为(]0,x π∈，所以sin 1xx<，所以当(]0,x π∈时，()1f x <.（2）由（1）当(]0,x π∈时，()01f x ≤<；任意(]00,x π∈，存在(]10,x π∈和(]2120,()x x x π∈≠使()()()120g x g x f x ==成立， 所以()()0g x f x =在(]0,π上有两个不同零点，且[)()(]{}0,1,0,y y g x x π⊆=∈， （1）当0m =时，()2ln g x x =-在(]0,π上为减函数，不合题意； （2）当0m ≠时，()2mx g x x='-， 由题意知()g x 在(]0,π上不单调， 所以20m π<<，即2m π>， 当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，2,x m π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在2,m π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以()()12ln 1g m πππ=--≥，解得2ln 11m ππ+≥-，因为1(0,]π∈，所以()210g g m ⎛⎫≤=⎪⎝⎭成立， 下面证明存在20,t m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1g t ≥， 取m t e -=，先证明2mem-<，即证20m e m ->， 令()2mh m e m =-，则()210mh m e -'=>在(0,)+∞时恒成立， 所以2200m e m ->->成立， 因为()2ln 121111mmg e mem m πππ--++=+>≥>>--，所以2ln 11m ππ+≥-时命题成立.因为2ln 12ln 22111ππππππ+>>>---，所以2ln 11m ππ+≥-.故实数m 的最小值为2ln 11ππ+-.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r，点P 的轨迹为曲线2C . （Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .【答案】（Ⅰ）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α参数）；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）设点(),P x y ，()11,M x y ，则1122x x y y =⎧⎨=⎩，代入化简得到答案.（Ⅱ）分别计算1C ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，8sin ρθ=，取3πθ=代入计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）设点(),P x y ，()11,M x y ，2OP OM =u u u r u u u u r ，故1122x x y y =⎧⎨=⎩， 故2C 的参数方程为：4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （Ⅱ）12cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩，故2240x y y +-=，极坐标方程为：4sin ρθ=； 24cos :44sin x C y αα=⎧⎨=+⎩，故2280x y y +-=，极坐标方程为：8sin ρθ=. 3πθ=，故14sin 3πρ==28sin 3πρ==，故12AB ρρ=-=【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知()13f x x x =+++.（1）解不等式()6f x <；（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）()5,1-；（2）49【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求222a b c ++的最小值. 【详解】（1）()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎩，由()6f x <得1246x x ≥-⎧⎨+<⎩或3126x -<<-⎧⎨<⎩或3246x x ≤-⎧⎨--<⎩， 解得()5,1x ∈-.（2）()()()()242410f a f b c a b c ++=++++=，所以222a b c ++=，由柯西不等式()()()2222222123123112233a a a bb b a b a b a b ++++≥++得：()()()222222222122a b c a b c ++++≥++ 所以()()22229224a b ca b c ++≥++=， 即22249a b c ++≥ （当且仅当429a b c ===时取“=”）. 所以222a b c ++的最小值为49. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.。
泸州市高2017级第二次教学质量诊断性考试文科数学答案
故 ，3分
因为 ，所以 ，
所以当 时， ；4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)当 时， ；5分
因为 ，所以 ,6分
因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，在 上递增，7分
因为 ，所以 成立，8分
因为 ，9分
下面证明存在 ，使得 ，
取 ，先证明 ，即证 ，
令 ，则 在 时恒成立，
所以 成立，10分
因为 ，11分
所以任意 ，存在 ， 使 成立.12分
22．解：(Ⅰ)设 ，由 ，则 ，1分
所以 ，2分
由于M点在 上，所以 ，3分
从而 的参数方程为 （ 为参数），4分
所以 的普通方程为 ；5分
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，6分
射线 与 的交点 的极径为 ，7分
射线 与 的交点 的极径为 ，8分
所以 ．10分
23．解：（Ⅰ） ，2分
；6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知空白栏中填5，
由题意可知 ，7分
，8分
，9分
，10分
根据公式，可求得 ，
，
所以所求的回归直线方程为： ，11分
由 得 ，
所以该公司下一年投入广告费6.5万元时，可使得销售收益达到8万元．12分
20．解：（Ⅰ）抛物线 的焦点 ，因为 x轴，
所以点 ，2分
因为 的面积为2，
所以 ，即 ，3分
抛物线 的方程为 ；4分
（Ⅱ）由题意 ，设直线 ： ，与 联立得：
，设 ， ，（其中 ），
所以 ， ，且 ，5分
，6分
，所以 ，故 或 （舍），
所以直线 方程为： ，7分
因为 ，
因为 ，8分
，9分
所以 ，10分
四川省2017级高中毕业班诊断性测试理科数学答案
2k
2k
1
1
为定值,此题得证.
(11 分)
(12 分) (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)
(5 分) (6 分) (7 分) (9 分)
(10 分) (12 分)
第2页,共5页
20．解:（1）由表格数据得,
x
5
3 15
25
9
,
y 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 0.32 . 5
又因为 a2=b2+c2,所以 a2 1 3a2 ,解得 a=2. 4
故椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 . 4
（2）因为直线 BC 过点 P(2,1),且与轨迹 E 有两个不同交点,
所以直线 BC 的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线 BC 的方程为 y=k(x-2)+1(k>0).
代入 x2+4y2=4 并整理得(3k2+1)x2-8k(2k-1)x+16k(k-1)=0(Δ>0).
因为 tan A tan B sin A sin B sin Acos B cos A sin B
பைடு நூலகம்
cos A cos B
cos Acos B
sinA B sin C .
cos Acos B cos Acos B
又 tan B sin B ,所以 b sin C 2c sin B ,即 b sin C 2c sin B .
设
B(x1,y1)、C(x2,y2),则
x1
x2
8k2k 1
3k 2 1
,
x1 x2
16kk 1
3k 2 1
.
设直线 AB 和 AC 的斜率分别为 k1 和 k2,则
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学理试题
泸州市高2015级（2018届）第二次教学质量诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷 （选择题 共60分）一、 选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．复数12i2i+-的虚部是A ．iB ．1C ．i -D ．1-2．已知全集U =R ，{|1}M x x =<-，{|(3)0}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是A ．{|31}x x -<<-B ．{|30}x x -<<C ．{|10}x x -<≤D ．{|3}x x <-3．在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法为A ．6B ．12C ．18D ．244．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，过点P 作其准线的垂线，垂足为Q ，若||3PF =，则||FQ 的长度为A ．BC ．D ．5．将函数()sin f x x =的图像向右平移m 个长度单位后得到函数()g x ，若()g x 与()cos()3h x x π=+的零点重合，则m 的一个可能的值为 A ．3πB ．6πC ．23πD ．π6．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B ．与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长C ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省7．设a ，b 是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是A ．若a b ⊥，a α⊥，则//b αB ．若//a α，αβ⊥，则//a βC ．若//a α，//a β，则//αβD ．若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 A ．甲被录用了 B ．乙被录用了 C ．丙被录用了D ．无法确定谁被录用了9．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于 A ．20 B ．21C ．22D ．2310．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A ．24π B ．48πC ．96πD ．384π11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分1PF ，则该双曲线的离心率是A B C ．2 D ．512．已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e xg x =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0gf x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2- D ．1(1ln 2)2+第II 卷 （非选择题 共90分）注意事项：(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.(2)本部分共10个小题，共90分.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x y ，满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ．14．二项式8(x 展开式中的常数项是 （用数字做答）．15．已知函数()sin f x x x =-，若2(2)()f a f a -+≥0，则实数a 的取值范围是 ．16．如图，在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+.若2A π=，D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，则四边形ABDC 面积的最大值为 ．三、解答题：共70分。
四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷(理科)Word版含解析
四川省泸州市2017年高考一诊试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁U（A∪B）=（）A．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若，则=（）A． B． C．D．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．16．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．已知数列{an }满足an=若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=， =﹣．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．20．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足2=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn =（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．四川省泸州市2017年高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A∪B）=（）1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁UA．{3} B．{7，8} C．{7，8，9} D．{1，2，3，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={x|x≤9，x∈N+}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；（A∪B）={7，8，9}．∴∁U故选：C．2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故选：A．3．若，则=（）A． B． C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：若，则cosα==，则=sinαcos+cosαsin=+=，故选：B．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立．【解答】解：由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立，例如p是假命题，q是真命题．∴“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件．故选：B．5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），=（﹣1，1），∵=（λ﹣μ，μ），又∵P是BC的中点时，∴=（1，），∴，∴λ=，μ=，∴λ+μ=2，故选：C6．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，T=2第二次循环k=2，T=6；第三次循环k=3，T=14；第四次循环k=4，T=30；由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，可得：3＜n≤4．故正整数n的最小值是4．故选：C．7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，由此能求出组成的五位数是偶数的概率．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n=，组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，∴组成的五位数是偶数的概率是p===．故选：D．8．已知数列{an }满足an=若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【考点】数列递推式．【分析】，若对于任意的n∈N*都有an ＞an+1，可得＜0，a5＞a6，0＜a＜1．解出即可得出．【解答】解：∵满足an =，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，∴＜0，a5＞a6，0＜a＜1．∴a＜0， +1＞a，0＜a＜1，解得．故选：B．9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等式（sin cos+cos2﹣）min≥m对于x∈[﹣，]恒成立，令f（x）=sin cos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．【解答】解：由题意，令f（x）=sin cos+cos2﹣，化简可得：f（x）=+（cos）==sin（）∵x∈[﹣，]∴∈[，]当=时，函数f（x）取得最小值为．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选B．10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．根据三角形ABC 和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．通过证明△OBA≌△OBD，即可得出．【解答】解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，∴△OBA≌△OBD，∴∠BOD=∠AOB=．OA=OD．∴∠．故选：B．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），又由△OAF是等边三角形，则A（，），A在椭圆上，则有+=1，①；a2=b2+c2，②；联立①②，解可得c=（﹣1）a，则其离心率e==﹣1；故选：A．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2] B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，则（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为24 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项．【解答】解：二项式展开式的通项公式为：T=••x r=24﹣r••x2r﹣4，r+1令2r﹣4=0，解得r=2，∴展开式中常数项为T=22•=24．3故答案为：24．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，∴该球的表面积为4π×12=48π，故答案为：48π．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设切点为（t，），求出切线方程，利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．【解答】解：设切点为（t，），y′=，x=t时，y′=t，∴切线方程为y﹣=（x﹣t），即y=tx﹣，∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，∴=，∴t=2，∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，可得a=3，故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；（Ⅱ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴1=﹣2cosC，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由（I）得C=，则A+B=π﹣C=，即B=﹣A，所以，∴sinAcosB=sinAcos（﹣A）=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（cosA+sinA）=sin2A+=（）=∵，∴，则，即，∴sinAcosB的取值范围是．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213身高（cm）121128135141148154160（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，==141，（=9+4+1+0+1+4+9=28，（xi ﹣）（yi﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，所以==， =﹣=141﹣×10=76，所求回归方程为=x+76．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得=×15+76=173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．20．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn，且满足2=an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn =（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）首先利用Sn 与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；结合已知条件等式推出数列{an }是等差数列，由此求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得bn的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，有2=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2=an +1得4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，两式相减得4an =an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），所以（an +an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，因为数列{an }的各项为正，所以an﹣an﹣1﹣2=0，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{an }的通项公式为an=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn =（an+1）•2=2n•22n﹣1=n•4n．所以前n项和Tn=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，4Tn=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3Tn=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1，化简可得Tn=+•4n+1．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x ﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线22．在平面直角坐标系中，曲线C1为C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．2（Ⅰ）求C的极坐标方程；2（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（ a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。
2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)
2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁B）等于（）RA．（﹣2，4）B．[4，5） C．（﹣3，﹣2）D．（2，4）2．已知是z的共轭复数，若（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）A．B．C．D．4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．166．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β7．已知，则的值是（）A．B．C．D．8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．18πD．22π+410．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．C．（﹣3，1）∪D．11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）A．B．C．D．﹣12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为．14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为．15．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．16．已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣2a n+1a n，a n≠0且a1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求证：直线PA∥平面QMB；（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．20．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．21．已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1参数方程与极坐标]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁B）等于（）RA．（﹣2，4）B．[4，5） C．（﹣3，﹣2）D．（2，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义写出A∩∁R B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}={x|﹣2＜x＜5}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则∁R B={x|x≤﹣3或x≥4}，所以A∩（∁R B）={x|4≤x＜5}=[4，5）．故选：B．2．已知是z的共轭复数，若（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），结合已知列关于a，b的方程组求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得，解得a=1，b=1．∴z=1+i．故选：D．3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先求导，得到f（x）在R上为增函数，即可判断．【解答】解：∵f（x）=2x﹣sinx，∴f′（x）=2﹣cosx＞0恒成立，∴f（x）在R上为增函数，故选：A．4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=3sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．【解答】解：将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y=3in[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，由2x﹣=kπ，k∈z，可得：x=+，故所得函数图象的对称中心为（+，0），k∈z．令k=1可得一个对称中心为（，0）．故选：A．5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=24，不满足a＞b，则b变为24﹣16=8，由b＜a，则a变为16﹣8=8，由a=b=8，则输出的a=8．故选：C．6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．7．已知，则的值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由求出cos（2α+）的值，再根据诱导公式即可求出的值．【解答】解：∵，∴cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=；∴=cos（2α+﹣π）=﹣cos（2α+）=﹣．故选：D．8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==（﹣）=．所以P（A）=．故选：A．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．18πD．22π+4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，进而可得答案．【解答】解：已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，圆柱的底面半径为2，高为6，故体积为：6×π•22=24π，弓形弦到圆心的距离为2﹣1=1，故弓形弦所对的圆心角为：，故弓形的面积为：，弓形柱的高为2，故两个弓形柱的体积为：4×（），故组合体的体积为：24π﹣4×（）=，故选：B10．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．C．（﹣3，1）∪D．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），化为关于m的不等式组，解得即可．【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），∴或或，解得﹣3＜m＜1或x＞，故选：C．11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）A．B．C．D．﹣【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．【分析】当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离．【解答】解：由题意，V==，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，因为AB=AC=，BC=2，所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，△ABC外接圆的半径为r=，设球心到平面ABC的距离为d，所以d==．故选B．12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A． B．C． D．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b 有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，令k=n﹣1，则4k+＜b＜4k+，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==a r，【解答】解：T r+1令3﹣=0，解得r=2．∴=60，a＞0，解得a=2．故答案为：2．14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程求解即可，因为是无理方程需要验根．【解答】解：点A（2，m），B（1，2），C（3，1），∴=（﹣1，2﹣m），=（1，1﹣m），=（﹣2，1），又，∴﹣1×（﹣2）+（2﹣m）×1=，两边平方得（4﹣m）2=2﹣2m+m2，解得m=，经检验m=是原方程的解；∴实数m的值为．故答案为：．15．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：16．已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知数列{a n }满足a n +1=a n ﹣2a n +1a n ，a n ≠0且a 1=1（1）求证：数列是等差数列，并求出{a n }的通项公式；（2）令，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n +1=a n ﹣2a n +1a n ，a n ≠0且a 1=1，取倒数可得﹣=2，即可得出．（2）=（﹣1）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：∵a n +1=a n ﹣2a n +1a n ，a n ≠0且a 1=1，∴﹣=2，∴数列是等差数列，首项为1，等差数列为2．∴=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，解得a n =．（2）解：=（﹣1）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1，∴T 2n =﹣+…+﹣==．18．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．（1）当BD=AD时，求的值；（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用正弦定理可求=2，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sin∠ADC=2sinBcosB，在△ADC中，利用正弦定理可求的值；（2）设AC=x，则AB=2x，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求sinC的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵cosB=，可得：sinB==，∵，AB=2AC，∴=2，…3分∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，∴在△ADC中，===…6分（2）设AC=x，则AB=2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=，解得：x=1，或x=，因为：BD=2DC，所以：DC=…10分又由（1）知sinC=2sinB=，===；①当x=1时，S△ADC==．②当x=时，S△ADC综上，△ADC的面积为或…12分19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4（1）求证：直线PA∥平面QMB；（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．由已知可得四边形BCDQ 是矩形．由BQ∥CD，又Q是AD的中点，可得点O是AC的中点．又M是棱PC 的中点，可得OM∥PA，即可证明直线PA∥平面QMB．（2）Q为AD的中点，PA=PD，PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．由PA=PD=PC，可得点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．O为△ADC的外心，可得PO⊥平面ABCD．过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设平面QMB的法向量为=（x，y，z），，可得，直线PB与平面QMB所成角的正弦值=．【解答】（1）证明：连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．∵Q为AD的中点，BC=AD=2，∴BC=DQ，又BC∥DQ，∠ADC=90°，∴四边形BCDQ是矩形．∴BQ∥CD，又Q是AD的中点，∴点O是AC的中点．又M是棱PC的中点，∴OM∥PA．又AP⊄平面QMB，OM⊂平面QMB，∴直线PA∥平面QMB．（2）解：∵Q为AD的中点，PA=PD，∴PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∴∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．∴∠PQB=60°，∴PA=PD=PC，∴点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．．∵△ADC为等腰直角三角形，∴O为△ADC的外心，∴PO⊥平面ABCD．在Rt△PQO中，∵∠PQO=60°．∴PO=2．过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．取B（0，2，0），Q（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（﹣2，2，0）．∵M是PC的中点，∴M（﹣1，1，）．=（﹣1，﹣1，），=（0，﹣4，0）．设平面QMB的法向量为=（x，y，z），，．取=，又=．∴直线PB与平面QMB所成角的正弦值是：==．∴直线PB与平面QMB所成角的余弦值为．20．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【分析】（1）一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2；（2）①利用该正态分布，Z～N，即可求P（81＜z＜119）；②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～，即可求EX．【解答】解：（1）由题意，=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，样本方差s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+2×0.24+2×0.15+2×0.1+2×0.08+2×0.04=366；（2）Z～N，P（81＜z＜119）=P=0.6826；②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～，EX=2400×0.6826=1638.24．21．已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），得到f（x）≥f（e），证出结论即可；（2）假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，得到m（k）=e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1，求出函数的导数，设F（k）=lnk+﹣1，根据函数的单调性证出矛盾即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=lnx+1﹣k，x∈（0，e k﹣1）时，f′（x）＜0，此时h（x）递减，x∈（e k﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，此时h（x）递增，令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），故x=e时，f（x）有最小值是f（e），故f（x）=xlnx﹣2（x﹣1）≥f（e）=2﹣e，即lnx+≥2恒成立；（2）由题意得：x1lnx1﹣k（x1﹣1）=0，lnx0+1﹣k=0，假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，消元得：e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1=0，设m（k）=e k﹣1lnk﹣e k﹣1+1，则m′（k）=e k﹣1（lnk+﹣1），设F（k）=lnk+﹣1，则F′（x）=﹣，k∈（0，1）时，F′（x）＜0，即此时函数F（k）递减，k∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（k）递增，∴F（k）≥F（1）=0，∴m′（k）＞0，故函数m（k）在（0，+∞）递增，∵m（1）=0，∴k=1，但k=1时，x1=e k1k=1，与已知x1＞1矛盾，故k不存在．请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1参数方程与极坐标]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆C的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2017年2月1日。