重庆市高三联合数学诊断性考试.doc

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高三数学联合诊断性考试1（理）

D C x yx y -ccbObOaaBA xy y x-bcOOcb -aac Oabxy 届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）数学（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。

1．若集合{}{}2|11,|0M x x N x x =->=< ，那么 A ．MN M = B ．M N C ．M N D ．M N N =2．已知公比为q 的等比数列{}n a ，若()*22n n n b a a n N +=+∈，则数列{}n b 是 A ．公比为q 的等比数列 B ．公比为2q 的等比数列 C ．公差为q 的等差数列 D ．公差为2q 的等差数列3．设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=< ，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．若()12:12,:24160l x m y m l mx y ++=-++= 的图象是两条平行直线，则m 的值是 A ．1m =或2m =- B ．1m = C ．2m =- D ．m 的值不存在 5．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是A ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,,442πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如右图所示，则函数()f x 的图象是7．已知函数21xy x-=+，按向量a 平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a 为A ．()1,1-B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,18．若函数()()()()tan 02lg 0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨-<⎪⎩ ，则()2984f f π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 9．已知直线12:,:0l y x l ax y =-= ，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是A ．()31,3⎫⎪⎪⎝⎭B ．33⎝C ．3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(3 10．已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集为A ．{}|11x x -<<B ．{}|28x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|03x x <<11．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷) (2)

一、单选题1. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（）A．B．C．D．2. 记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．3. 果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y （单位：kg ）与干周x （树干横截面周长，单位：cm ）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A ．时，y 是偶函数B ．模型函数的图象是中心对称图形C ．若，均是正数，则y 有最大值D．苹果树负载量的最小值是4. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种B．种C．种D ．种5.已知，且，则（）A．B．C．D．6. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（）（参考数据：，，）A．B．C．D．7. 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（）（其中，）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷） (2)重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷） (2)二、多选题三、填空题A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米8. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为（）（参考数据：、）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米9.已知等比数列满足，则（）A．B．C．D．10.在正方体中，点P满足，则（）A ．若，则AP 与BD所成角为B ．若，则C．平面D．11.设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a 为常数），，则（）A．B．C．为周期函数D．12. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（）．A．B ．直线是图象的一条对称轴C ．在上单调递减D ．是奇函数13. 已知向量，则使得∥且最大时的的值为__________．14.写出一个同时满足下列条件①②的向量______．①；②向量与的夹角．15. 中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________.49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25四、解答题16. 如图，长方体中，,G是上的动点．(l)求证：平面ADG；(2)判断与平面ADG的位置关系，并给出证明；(3)若G是的中点，求二面角G-AD-C的大小；17. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形．(1)证明：．(2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积．18.已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．19. 研究表明：商店冰淇淋的销售数量（个）和气温成正相关，下表是某商店冰淇淋的销售数量（个）和气温的对照表：气温1015202530水淇淋的销售数量（个）2035405565（Ⅰ）求关于的回归直线方程；（Ⅱ）预测当气温为时，商店冰淇淋店的销售数量约为多少个．参考公式：，，回归直线方程为．参考数据：，．20. 已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．21. 已知点为抛物线；的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以，为焦点的椭圆为椭圆．（1）若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，且，求椭圆的离心率；（2）若，点为抛物线上一点，点，以为直径的圆与直线交于，，试探究弦的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由．。

重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷(解析版)

2024年重庆市高考数学三诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}A x x =-=，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，则=a （）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用子集的概念求解.【详解】集合{}2{|10}1,1A x x =-==-，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，又11a a +>-，所以1111a a +=⎧⎨-=-⎩，解得0.a =故选：B2.设复数z 满足2i 1z z -=，则z 的虚部为（）A.13B.13-C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.【详解】设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为复数z 满足2i 1z z -=，可得()22i i i 1a b a b +--=，即()22i 1a b b a -+-=，则21a b -=，20b a -=，解得13b =，所以复数z 的虚部为13.故选：A.3.已知一种服装的销售量(y 单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x ，y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则=a （）x 12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】解：由统计图表中的数据，可得()11234535x =⨯++++=，()116663155a y a +=⨯++++=，即样本中心为16(3,5a +，因为两变量,x y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则161.337.95a+-⨯+=，解得 4.a =故选：C.4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，所以底面圆的半径为2sin π4r ==，所以该圆锥的侧面积为π2S ==侧.故选：C5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A.402400C B.242400C C.122400C D.102400C 【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

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参考答案一、选择题一、 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.(理)B (文)A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.A 二、填空题13.50 14.5 15. 60°或(或3π)；16.①③三、解答题17.解：(Ⅰ)由1＜log 3｜x -1｜＜2得3＜｜x -1｜＜9 2分即，3＜x -1＜9或-9＜x -1＜-3 4分解得，3＜x ＜10或-8＜x ＜-2 6分(Ⅱ)当x ∈(1，+∞)时，f (x )=log 3｜x -1｜是增函数，设1＜x 1＜x 2则f (x 1)-f (x 2)=log 3｜x 1-1｜-log 3｜x 2-1｜=log 31121--x x8分∵1＜x 1＜x 2 ∴｜x 1-1｜＜｜x 2-1｜ ∴0＜1121--x x ＜1 10分∴log 31121--x x ＜0 即f (x 1)＜f (x 2)∴f (x )=log 3｜x -1｜是增函数. 12分 18.解：(Ⅰ)∵｜ｚ｜＝22)2cos 211(cos 2θθ++ 2分 22cos 22cos 412++=θθ 8)42(cos 212-+=θ 4分 ∵9≤(cos2θ+4)2≤25∴｜z ｜∈［217,21］ 6分 (Ⅱ)设arg z =α∵παθ 0,0)2cos 211(+则｜tg α｜=θθθθocs 21cos 21cos 22cos 211+=+ 8分≥121221=⋅ 10分 ∴α≥4π ∴arg z 的最小值为4π12分 19.解：(Ⅰ)由题意，点P n (a n ,b n )在点(n ,0)与(n +1,0)的垂直平分线上，∴a n =2121+=++n n n 3分 ∴b n =(a n )2=(n +21)2 6分(Ⅱ)∵C n =]111[21221212+-⋅=+=+-n n n n n a b n n 8分)]113121211(21[lim )(lim 21+-+-+-⋅=+++∞→∞→n c c c n n n )]111(21[lim +-⋅=∞→n n 10分 =2112分20.解：(Ⅰ)设BN ∩MB 1=P ，则CBN M BB BCN Rt BM B Rt CN BM BC BB ∠=∠⇒∆≅∆⇒⎭⎬⎫==111而∠CBN 与∠NBB 1互为余角，∴∠BB 1M 与∠NBB 1也互为余角.∠B 1PB =90°，即BN ⊥MB 1 ① 2分1111B BCC AM BC AM B BCC ABC 平面又面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥BN AM ⊥⇒ ②由①②，∴BN ⊥平面AMB 1. 4分 (Ⅱ)由AM ⊥平面BCC 1B 1，∴AM ⊥MB ，且AM ⊥MB 1∠BMB 1为二面角B —AM —B 1的平面角 6分 ∴tg BMB 1=2241==BM BB ∴二面角B —AM —B 1的正切值为2. 8分 (Ⅲ)N BB A N AB B V V 11--= =.331632421313121=⋅⋅⋅=⋅AM S N BB 12分 21.(Ⅰ)设使用n 月后的月平均消耗为y (元)，则nn n n nn n y 4410300)1(30010000 10300]3000)1(600[)3000600()3000(7000⨯+-⋅+=⨯++-+++++⋅=97003003000000++=n n(文6、理3分) (Ⅱ)y ≥2n n3003000000⋅+9700=69700(元) ∴当且仅当n3000000=300n ，即n =100(月)时，平均成本最低. (文12、理6分) (Ⅲ)设第n 年后可以收回成本.由题意则有50+50·(1-5%)+50·(1-5%)2+…+50·(1-5%)n -1≥300… 8分即7.03.0195.0,695.0195.01=-≤≥--n n10分 ∴n ≥7022.0154.015.9lg 17lg 95.0lg 7.0lg ==--=故，7年后刚好可以收回成本. 12分22.解：(Ⅰ)由y 2=4x 知，焦点F 为(1，0)，准线L ：x =-1 设C 1中，点P (x,y ),B (p,q )，由定比分点公式x =2102,2112+⨯+=+⨯+q y p 得B 的坐标为B (3x -2,3y ) (文3、理2分)再设椭圆中心为O ′，B 在准线L 上的射影为B ′，则有acFB O F B B BF ='=' 即2222)3()33(123123)3()33(y x x x y x ++---=+-+- (文6、理4分)化简，得C 2：y 2=)1(32-x (文8、理6分)(Ⅱ)由⎪⎩⎪⎨⎧-==++)1(2102x y m y x 可得，3y 2=2(-m-y -1) (文10分)3y 2+2y +2m +2=0，由Δ=4-12(2m +2)=-24m -20＞0 (文12、理7分) 得m ＜-65(文14、理8分)(Ⅲ)设交点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-3)1(2,3221+=⋅m y y若以MN 为直径的圆过原点，那么OM ⊥ON ，有K OM ×K ON =-1，,12221-=⋅x y x y 即y 1y 2+x 1x 2=0 10分将x =-y-m 代入上式，得2y 1y 2+m (y 1+y 2)+m 2=0∴0323)1(42=+-+m mm 12分整理为3m 2+2m +4=0 Δ=4-12×4＜0因满足条件的实数m 不存在，故不存在以MN 为直径的圆过原点. 14分。

重庆市高三联合诊断性考试(二)-数学试题

重庆市高三联合诊断性考试(二)-数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧= (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体=其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足MⅠ｛a,b｝=｛a,b,c,d｝的集合M的个数共有A．4个B．5个C．6个D．7个2．若复数ｚ＝(a-i)2的辐角主值是，那么实数a的值是A．±1 B．1C．-1D．03．下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是A．B．C．D．4．若x＞0，则的最大值是A．3 B．C．D．05．设A、B、C是ⅠABC的三个内角，且tgA、tgB是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，那么，ⅠABC 是A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cosθ-sinθ圆心的极坐标是A. B. C. D.(文)已知l1：，则l1到l2的角θ等于A.150°B.120°C.60°D.30°7.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么｜a1｜+｜a2｜+…+｜a5｜的值是A.242B.243C.222D.2118.某饭店有200间客房，每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表：width=126 valign=top > 每间客房定价width=126 valign=top > 每天住房率width=126 valign=top > 90元width=126 valign=top > 65%width=126 valign=top > 80元width=126 valign=top > 75%width=126 valign=top > 70元width=126 valign=top > 85%width=126 valign=top >60元width=126 valign=top >95%要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为A.90元B.80元C.70元D.60元9.函数f(x)=的值域为(-∞，+∞)，则实数a的取值范围是A.B.C. D.10.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，ⅠBCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦为A.B.C.D.11.已知点F为双曲线的右焦点，M是双曲线右支上一动点，定点A的坐标是(5，4)，则4｜MF｜-5｜MA｜的最大值为A.12B.20C.9D.1612.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x+3)=-<img width=51 height=44src。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷)

一、单选题二、多选题1.若，且，则向量与的夹角为A．B．C．D．2.已知数列的前n 项和为，，则（）A ．30B ．29C ．28D ．273. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．4.复数的虚部为（）A．B ．1C．D ．5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A．B．C．D．6. 已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是A．B．C．D．7. 已知函数，，下列四个结论不正确的是（）A ．函数的值域是；B．函数的图像关于直线对称；C．函数为奇函数；D ．若对任意，都有成立，则的最小值为．8.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A．B．C ．1D ．29.如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P 是线段上的动点，则下列结论正确的是（）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）三、填空题四、解答题A ．存在点P ，M ，使得平面与平面平行B ．存在点P ，M，使得二面角大小为C ．当P 为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为D ．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为10. 某地某所高中年的高考考生人数是年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校年和年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A ．与年相比，年一本达线人数有所增加B ．与年相比，年二本达线人数增加了倍C．年与年艺体达线人数相同D ．与年相比，年不上线的人数有所增加11. 设随机变量，随机变量，则（）A．B ．，C．D．12.已知正方体的棱长为2，M 为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（）A ．若为中点，当最小时，B．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为C ．直线AB 与平面所成角的正弦值的取值范围为D ．当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大13.在等比数列中，，公比为q ，前n 项和为，若数列也是等比数列，则q 等于_________14.各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式a n =_____．15. 函数的定义域为____．16. 已知数列是正项等比数列，数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)若，，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求17. 已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若为R 上的偶函数，且关于x 的不等式在上恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.(1)求椭圆的方程；(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.20. 已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若，求实数的值；（2）证明：．21. 如图，在中，，点在边上，．(1)求的长；(2)若的面积为，求的长．。

2022届重庆市高三第三次联合诊断数学试题(word版)

重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}24B x x ==，则()U A B =（） A ．{}2,2-B ．{}2,4C ．{}4D ．{}22．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为（）A ．12x π=B ．12x π=-C ．6x π=D ．6x π=-3．已知0a >且1a ≠，“函数()xf x a =为增函数”是“函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知O 为ABC 的重心，记OA a =，OB b =，则AC =（） A ．2a b --B ．2a b -+C ．2a b -D ．2a b +5．已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下2×2列联表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.828则下列说法中正确的是（）A ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” B ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”7．中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福；第二是钱币，寓意求财：第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是（） A ．12B ．712 C ．58D ．458．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1*1π1sin4n n n n a a n +++-=∈N ，则2022S =（） A ．22-B ．0C ．22D ．2二、多选题 9．已知复数21iz =-+，则（） A ．2z = B ．z 的虚部为-1C ．2z 为纯虚数D ．z 在复平面内对应的点位于第一象限10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（）A ．1AB B ．1AC C ．1A AD ．1AD11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅12．在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，DC 上（不包含端点）运动，且满足6EBF π∠=，则BEF 的面积可以是（）A ．2B ．C ．3D ．4三、填空题 13．曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 14．cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________.15．已知点()2,3A -，()2,1B ，圆C ：()2220x y r r +=>与线段AB （包含端点）有公共点，则r 的取值范围是___________.16．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()1124n n n n n a a a a ++-=-. (1)证明：1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；(2)求n S .18．在平面四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，CD =120ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒. (1)证明：AC 平分BAD ∠； (2)求ABD △的面积.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱P A 的中点，且BE ∥平面PCD .(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的余弦值.20．甲､乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲､乙每次射击击中目标的概率分别为23和12，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击. (1)求甲､乙得分相同的概率；(2)设乙的得分为X ，求X 的分布列及数学期望.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，左右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，且1MF x ⊥轴，217MF MF =.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x ty m =+（0t ≠且02m <<）与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于原点的对称点为1A ､关于x 轴的对称点为2A ，直线2BA 与x 轴交于点D ，若ABD △与1ABA △的面积相等，求m 的值.22．已知函数()1e ln xf x x ax -=--，a R ∈.(1)当1e 2a =-时，求函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，若函数()f x 有唯一零点0x ，证明：012x <<.参考答案：1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．ABC 10．BCD 11．BD 12．BC 13．22y x =-+ 14．12-##0.5-15r ≤≤16．4 17．（1）()1124n n n n n a a a a ++-=-,1124n n n n na na a a ++∴-=-，即()()1122n n n a a n ++=⋅+1221n n a an n +∴=⋅++，故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列. （2）由（1）知，()1112121n n nn a a n n --=⨯⇒=+⋅+， 021223242(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅， 1232223242(1)2n n S n =⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅， 212222(1)2n n n n S -∴-=+++++⋅-12222(1)212n n n --⨯=+-+⋅-2n n =-⋅，2n n S n ∴=⋅18．(1)证明见解析【分析】（1）根据余弦定理及三角函数，再结合角平分线的定义即可证明；（2）利用三角函数及二倍角的正弦公式，再结合三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，由余弦定理及已知，得22212cos 416224282AC AB BC AB AC ABC =+-⋅⋅∠=++⨯⨯⨯=，即AC =在Rt ADC 中，4AD =，所以cos AD CAD AC ∠===，在ABC 中，由余弦定理得所以222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠===⋅⋅，所以cos cos CAD BAC ∠==∠.故AC 平分BAD ∠. （2）由（1）知，4,AD AC ==cos CAD ∠=在Rt ADC 中，sin DC CAD AC ∠==sin sin 22sin cos 2DAB DAC DAC DAC ∠=∠=∠⋅∠== 所以ABD △的面积为 11sin 2422ABDSAB AD DAB =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=所以ABD △19．(1)证明见解析【分析】（1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，由面面平行的判定定理证得面//BEQ 面PCD ，由面面平行的性质定理证得BQ CD ∥，再有题目证得BQ ⊥面ADP ，则CD ⊥面PAD .（2）以Q 点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面APB 和平面PBC 的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案. （1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，因为E 是棱P A 的中点，所以//EQ PD ，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EQ 面PCD ，∵//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=.∴面//BEQ 面PCD ，面BEQ ⋂面ABCD BQ =，面PCD 面ABCD CD =，所以BQ CD ∥，2BQ =，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，PQAD Q =.∴BQ ⊥面ADP ，BQ CD ∥，∴CD ⊥面PAD . （2）因为BQ ⊥面ADP，PA PD ==PQ AD ⊥，建立如图所示得空间直角坐标系，()0,0,0Q ，()0,1,0A -，()0,0,1P ，()2,0,0B ，()1,1,0C ，()=2,0,1PB -，()=0,1,1AP ，设平面APB 法向量为(),,n x y z =，00n PB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以200x z y z -=⎧⎨+=⎩，则()1,2,2n =-- ()=1,1,1PC -，设平面PBC 法向量为()111,,m x y z =，0m PC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以 11111200x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，则()1,1,2m = 设平面APB 和平面PBC 所成角为θ，所以1cos cos ,m n θ-+==二面角A PB C --20．(1)727(2)分布列答案见解析，数学期望：121144【分析】（1）由题意可知，满足甲､乙得分相同有3种情况，分别计算概率后再求和即可；（2）根据甲先射击及一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止可得到X 可取，再分别求出概率即可求解分布列即期望. （1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则1111326P =⨯=； ②甲、乙第一次都击中，第二次均未击中，则221111332218P =⨯⨯⨯=；③甲、乙均击中两次，32211113332227P =⨯⨯⨯⨯=.所以11176182727P =++=总. （2）由题意，可得X 可取0,1,2,3,4.则，11211222122111(0)32332333233322P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=111211122211(1)322332233322P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯221111333224+⨯⨯⨯⨯=32221111211112121113(2)3222332223233272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111211117(3)3222233222144P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=111111(4)3222248P X ==⨯⨯⨯⨯=所以X 的分布列如下：X 的期望()11137112101234247214448144E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)2214x y +=【分析】（1）短轴长为2得b ，由椭圆定义和217MF MF =得14=a MF ，274=aMF ，由2222112=+MF MF F F 得2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=ab ac ，可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程利用韦达定理12y y ⋅，12y y +代入直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=--，令0y =得4x m=，从而得到D 、1A 坐标，求出1A D 的中点坐标代入直线方程x ty m=+可得答案. （1）因为短轴长为2，所以1b =，因为217MF MF = ，21111782+=+==MF MF MF MF MF a ，所以14=a MF ，21774==aMF MF ，又因为1MF x ⊥轴，所以2222112=+MF MF F F ，2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=a b a c ，解得2a =，∴2214x y +=.（2）()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程得2244=+⎧⎨+=⎩x ty m x y ，整理得()2224240+++-=t y tmy m ， 212244m y y t -⋅=+，12242y m y t -++=+，2121242y y m y y tm -=+，直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=-- 令0y =，()()()112121221121211212221222ty y ty y ty y m y y x y x y y yx m t y y y y y m m y y y +++===+++=+++++⋅44x m m m m=-+=， 4,0D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()111,A x y --，1A D 的中点坐标为11211,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x y m ，由中点在x ty m =+上，可得1121122-=-+x ty m m ， ()1112121112222-+=--=+ty m ty m ty m m m ， 232=m m ，解得243m =，02m <<，所以m =22．(1)在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）根据题意得()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x -+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，易知()20f '=，分析即可求解单调性；（2）根据（1）可知()f x '在()0,∞+上单调递增，又e 1x x ≥+恒成立，所以()01111af a '+=->+，()10f a '=-<，所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=，分析可知()f x 单调性，得到()()0min f x f t =，再通过分析证明，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =，即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=，设()00001ln u x a x ax x =+--，分析单调性，再分别判断()1u 和()2u 的正负，即可求解. （1）根据题意得：()f x 的定义域为()0,∞+，所以()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x-+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，易知()112e e 022f '=--+=，所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增.（2）因为0a >，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()11e x f x a x-'=--，所以()121e 0x f x x -+''=>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，当0x <时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，所以e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，所以()1111e 111011a a f a a a a a a'+=-->+-=-++->+，又()10f a '=-<，所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=，当()00,x t ∈时，()00f t '<，()f x 单调递减，当()0,x t ∈+∞时，()00f t '>，()f x 单调递增，所以()()0min f x f t =，又e 1x x ≥+，所以()ln 1x x ≥+，所以1ln x x -≥，当1x =时，等号成立，则ln x x >，所以()()111e ln e e 1x x x f x x ax x ax a x ---=-->--=-+，即()()1e1x f x a x ->-+，又e 1x x ≥+，所以1e x x -≥，所以12e 2x x -≥，所以22e 4x x -≥，又12e e x x -->，所以21e 4x x ->，所以()()()21e 114x x f x a x a x ->-+>-+，即()()214x f x a x >-+，所以()()()()21614114104a f a a a ++>-+⨯+=⎡⎤⎣⎦，当0x →时，()0f x >，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =，即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=，设()00001ln u x a x ax x =+--，所以()0200110u x a x x '=---<，所以()0u x 在()1,+∞单调递减，所以()110u =>， ()12ln 202u a =--<，所以012x <<.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟2024届高三第二次诊断性考试数学试题试卷

重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟2024届高三第二次诊断性考试数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（） A ．13B ．23C ．1D ．432．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 3．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（）A ．1322i -+ B ．3122i -+ C ．1322i -- D ．3122i -- 4．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.55．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．68．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=9．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则y x -的值为（）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-11．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（）A ．22B ．23C ．2D ．312．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）． A 10 B 6C 23D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷)

一、单选题1. 设函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为（）A．B．C．D．2. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（）A ．2B．C ．3D．3. 已知，，，则，，的大小关系是（）．A．B．C．D．4. 已知为虚数单位，若，则（）A．B ．2C．D．5.若双曲线的渐近线与圆相切，则C 的渐近线方程为（）A．B．C．D．6. 某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种7. 已知函数若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8. 如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9.设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（）A ．存在点，使得B ．存在点，使得C ．存在点，使得D ．存在点，使得10.已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（）A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差11. 下列为真命题的有（）A ．90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5B．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8C ．甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18D ．已知随机变量，且，则12. 若复数，则（）A ．的共轭复数B．C ．复数的虚部为D ．复数在复平面内对应的点在第四象限13. 已知，命题“存在，使”为假命题，则的取值范围为______.14. 设=（2，x ）， =（-4，5），若与的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.15. 《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.16. 已知函数.（1）若时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.17. 如图，旗杆AB高8m，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，使绳子的末端分别与地面接触，记接触点为C，D（和旗杆脚B不在同一条直线上）.(1)如果C，D两点和旗杆脚B的距离都是6m，就证明旗杆和地面垂直，请写出证明过程；(2)如果E为绳子AC的中点，在旗杆AB上是否存在一点F，使EF和地面平行？如果存在，请确定点F的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.18.是等腰直角三角形，且，四边形是直角梯形，，，且，平面平面.(1)求证：平面；(2)若点是线段上的一个动点，问点在何位置时三棱锥的体积为.19. 如图，在平面四边形APBC中，，，，．将△PAB沿AB折起得到三棱锥，使得．(1)求证：平面ABC；(2)若点E在棱上，，求二面角的余弦值．20. 已知函数.（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.①若，求证：为在上的上界函数；②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.21. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.。

重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题

一、单选题1. 定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为（）A．B．C．D．2. 对于函数，给出下列四个命题：①该函数的值域为；②当且仅当时，该函数取得最大值；③该函数是以为最小正周期的周期函数；④当且仅当时，.上述命题中正确命题的个数为A．B．C．D．3. 设非空集合S ={x | m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S . 给出如下三个命题：①若m =1，则S ={1}；②若m =，则 ≤ l ≤ 1；③ l =，则其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．34. 复数满足，则（）A．B．C．D．5. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（）A．B．C．D．6. 王先生家住A 小区，他工作在B 科技园区，从家开车到公司上班路上有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.若分别走，路线，则王先生遇到红灯次数的数学期望分别为（）A．，B．，C．，D．，7.设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则A ．（1,2）B ．（1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)8.已知四棱锥底面为正方形，平面，则（）重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题重庆市2023届高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C ．平面D ．平面9. 已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（）A ．当平面时，B．当时，的最小值为C ．若，则的轨迹长度为D ．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为10.函数在上单调递减的充分不必要条件是（）A．B．C．D．11. 在棱长为1的正方体中，，，分别为线段，，上的动点（，，均不与点重合），则下列说法正确的是（）A．存在点，，，使得平面B．存在点，，，使得C ．当平面时，三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为D ．记，，与平面所成的角分别为，，，则12. 设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，，，则下列结论正确的是（）A ．0<q <1B．C ．S n 的最大值为S 7D ．T n 的最大值为T 613. 已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是______.14. 已知向量，，且，则与的夹角为________．15. 已知二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)16.如图，正三棱柱的底面边长的3，侧棱，D是延长线上一点，且．(1)求证：直线平面；(2)求二面角的大小；(3)求三棱锥的体积．17. 某种水果的单个质量在500g以上视为特等品.随机抽取1000个该水果，结果有50个特等品.将这50个水果的质量数据分组，得到下边的频率分布表.（1）估计该水果的质量不少于560g的概率；（2）若在某批水果的检测中，发现有15个特等品，据此估计该批水果中没有达到特等品的个数.18. 某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．19. 已知函数，______，求在的值域.从①若，的最小值为；②两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为．这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20.记的内角所对的边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.21. 已知椭圆：过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点．(1)若的面积为，求直线的方程；(2)设过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，求证：为定值．。

重庆市高三联合数学诊断性考试

重庆市高三联合诊断性考试(二)数学试2001.5 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.)]sin()[sin(21cossinβαβαβα-++=)]sin()[sin(21sincosβαβαβα--+=)]cos()[sin(21coscosβαβαβα-++=)]cos()[cos(21sinsinβαβαβα--+-=S台侧=21(c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，lV=hSSSS)(31+'+'其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足M∪｛a,b｝=｛a,b,c,d｝的集合M的个数共有A．4个B．5个C．6个D．72．若复数ｚ＝(a-i)2的辐角主值是23π，那么实数aA．±1 B．1 C．-1 D．03．下列坐标所表示的点不是．．函数)62(tgπ-=xy的图象的对称中心的是A．)0,3(πB．)0,35(π- C．)0,34(πD．)0,32(π4．若x＞0，则22113xxy--=的最大值是A．3 B．23C．29D．05．设A、B、C是△ABC的三个内角，且tg A、tg B是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，那么，△ABC是A.钝角三角形B.C.等腰直角三角形D.等边三角形6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cos θ-3sin θ圆心的极坐标是A.)3,1(πB.)3,1(π-C.)3,2(π- D.)3,2(π(文)已知l1：0133:0332=+-=+-y x l y x 和，则l 1到l 2的角θA.150°B.120°C.60°D.30°7.设(2-x )5=a0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，那么｜a 1｜+｜a 2｜+ …+｜a 5A.242B.243C.222D.211 8.某饭店有200A.90元B.80元C.70元D.609.函数f (x )=)2(log 221++ax x 的值域为(-∞，+∞)，则实数aA.)22,22(- B. ]22,22[-C.),22()22,(+∞⋃--∞D. ),22[]22,(+∞⋃--∞10.如图，A1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成A.1030B.21C.1530 D.101511.已知点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5，4)，则4｜MF ｜-5｜MA ｜的最大值为A.12B.20C.9D.1612.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f (x +3)=-)(1x f -，又当-3≤x ≤-2时，f (x )=2x ，则f (113.5)A.51B.- 51C.5.31D.- 5.31第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.6个人分乘的两辆不同的车，每辆车最多可乘坐4个，则不同的乘车方法种数为 .(用数字作答)14.抛物线x 2-8x -4y +a =0的焦点在x 轴上，则抛物线上一点P (m ，3)到此抛物线的准线的距离是 .15.一个圆锥的全面积是底面积的7倍，则此圆锥的侧面展开为扇形后，它的圆心角的大小为 .(用角度作答)16.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .其中，正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共74字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log 3｜x -1｜. (Ⅰ)当1＜f (x )＜2时，求x(Ⅱ)当x ∈(1,+∞)时，试判定f (x )的单调性，并用函数单调的定义证明你的结论.18.(本小题满分12分)已知复数ｚ＝)20(,)2cos 211(cos 2πθθθ ≤++i （Ⅰ）求｜ｚ (Ⅱ)求ａｒｇｚ的最小值． 19．(本小题满分12分)在直角坐标平面上有一点列P １（ａ１，ｂ１）、Ｐ２（ａ２，ｂ２）、…、Ｐｎ（ａｎ，ｂｎ），对于每个自然数ｎ，点P ｎ在函数ｙ＝ｘ２的图象上，且点P ｎ、点(ｎ，０）与点(ｎ＋１，０）构成一个以点P ｎ(Ⅰ)求对每个自然数ｎ，以点Pｎ的纵坐标所构成的数列ｂｎ(Ⅱ)令Ｃｎ＝)(lim ,2121n n n n c c c na b ++++-∞→ 求20．(本小题满分12分)在正三棱柱ABC —A １B １C １中，各棱长均为4，M 、N 分别是棱BC 、CC １的中点(Ⅰ)求证：BN ⊥平面AMB １ (Ⅱ)求二面角B —AM —B １(Ⅲ)求三棱锥B —AB１N21．(本小题满分12分)某航运公司用300万元买回客运飞船一艘，此船投入7000元，第n 月的维修费和工资支出为［６００（ｎ(Ⅰ)设月平均消耗为ｙ(元)，写出ｙ与ｎ(月)(Ⅱ)这艘飞船在投入客运后的第几个月，营运成本最低?(Ⅲ)如果该飞船第一年的纯收入为50万，由于每年维修费用的增加和竞争的加剧，其纯收入每年按5%递减.那么，该船多少年后可收回成本?22．(本小题满分14分)已知抛物线C：ｙ２＝４ｘ，一动椭圆C１的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线L分别重合．(Ⅰ)点P在椭圆C１的短轴的一个端点B与焦点F的连线上，且P分所成比为２∶１，求点P的轨迹方程C２(Ⅱ)若直线ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与轨迹C ２相交于M、N两点，求ｍ(Ⅲ)以MN为直径的圆是否过坐标原点?若能，求出相应的ｍ。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷)(2)

一、单选题二、多选题1. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是奇数的概率为（）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.12. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为–8，–1，4，x ，10，13，且这组数的中位数是7，那么这组数据的众数是A ．7B ．6C ．4D ．103. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A．B．C．D．4. 函数（，且）的图象恒过的点为（）A．B．C．D．5. 下列函数中，定义域为的是（）A．B．C．D．6. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，若取出的2个数互质，则取出两个数都是奇数的概率为（）A．B．C．D．7. 下列条件是“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件的是（）A．B．C．D．8. 某班共有50名同学，班主任李老师将大家分成了5个学习小组，每组10人，在某次数学测试中，甲、乙两小组的测试成绩的茎叶图如图所示，则对该次测试的成绩，下列说法错误的是（）A ．甲组学生成绩的众数是78B ．乙组学生成绩的中位数是79C ．甲组学生的成绩更稳定D ．乙组学生的平均成绩更高9. 如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（）A．//平面B ．与不垂直C．存在点、，使得D ．的最小值是10. 设，其中若对一切恒成立，则以下结论正确的是（）．A ．；B ．；C．是奇函数；D ．的单调递增区间是；重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）(2)重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）(2)三、填空题四、解答题11.设函数，则下列结论正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的单调递增区间为，D ．将函数的图象向左平移个单位可得的图象12. 已知空间中的两条直线和两个平面，则”的充分条件是（）A．B．C．D．13. 已知，则___________.14. 从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，由此可估计该小区居民户用电量的平均值大约为________度．15. 下列事件中：①若x ∈R ，则x 2＜0；②没有水分，种子不会发芽；③刘翔在2008年奥运会上，力挫群雄，荣获男子110米栏冠军；④若两平面α∥β，m ⊂α且n ⊂β，则m ∥n .其中__________是必然事件，__________是随机事件.16. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)求C ；(2)若点D 在CB 的延长线上，CB ＝BD ，AD ＝l ，求的取值范围．17.设数列满足，，设．（1）求证：是等比数列；（2）设的前项和为，求的最小值．18. 2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m（），其质量指标等级划分如表：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]质量指标等级废品次品三级二级一级特级为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(1)若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及以上产品”，求事件A发生的概率；(2)若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望；(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表（2<t<4）：质量指标值m [70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]利润y（元）－3t2t3t4t5t每件产品的平均利润达到最大值时，试确定t值及此最大值（结果保留一位小数）．（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且平面底面(1)求证：；(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知是数列的前项的和，，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，记是数列的前项的和．求当取最大值时的的值．21. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．。

重庆市2023届高三第一次联合诊断检测数学试卷+答案(康德卷)

2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学数学测试卷共4页,满分150分.考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={−1,0,1,2,3},B={x∣x2−x−2<0},则A∩B=A.{−1,0,1,2}B.{−1,0}C.{1,2}D.{0,1}2.cos198∘cos132∘+cos42∘sin18∘=A.−√32B.−12C.√32D.13.设复数z满足zi+z‾⋅i=1,则z的虚部为A.−12B.12C.−1D.14.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”,2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”,2010年广州亚运会吉祥物“阿祥”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”,2022年北京冬奥会吉样物“冰墩墩”,2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”,若他从这15个吉祥物中随机取出两个,这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是A.110B.15C.25D.235.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下:(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能看到房顶的位置,测量出人与镜子的距离;(2)将镜子后移,重复(1)中的操作;(3)求建筑物高度.如图所示,前后两次人与镜子的距离分别a1m,a2m(a2>a1),两次观测时镜子间的距离为am,人的“眼高”为ℎm,则建筑物的高度为A.aℎa2−a1m B.(a2−a1)ℎam C.a(a2−a1)ℎm D.aℎ2a2−a1m6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,5S9=9a9−36,则a4=A.−2B.−1C.1D.27.已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,两条渐近线分别为l 1,l 2,过F 且与l 1平行的直线与双曲线C 及直线l 2依次交于点B,D ,点B 恰好平分线段FD ,则双曲线C 的离心率为A.43B.√2C.√3D.28.已知a =25,b =e −35,c =ln5−ln4,则A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知两组样本数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5和y 1,y 2,y 3,y 4,y 5的均值和方差分别为x ‾,y ‾和s 12,s 22,若x i +y i =100且x i >y i (i =1,2,3,4,5),则A.x ‾>y ‾B.x ‾+y ‾=100C.s 12>s 22D.s 12=s 2210.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,点E,F,G 分别是棱AB,AD,AA 1上的点,则一定成立的是A.|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2B.|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |C.(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ =0 11.已知函数f (x )=2sin (ωx +π3)(ω>0),则使得“y =f (x )的图象关于点(π4,0)中心对称”成立的一个充分不必要条件是A.f (x )的最小正周期为3π4B.f (x )的图象向右平移π8个单位长度后关于原点对称C.f (−π4)=√3D.f (x )的图象关于直线x =π16对称 12.已知函数f (x )=x 4−x 2+x −1,则A.f (x )有两个零点B.过坐标原点可作曲线f (x )的切线C.f(x)有唯一极值点D.曲线f(x)上存在三条互相平行的切线三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2√x−1x )9的展开式中常数项为.14.已知a>0,b>0,2a+b=2,则1a +2b的最小值是.15.已知定义域为(0,+∞)的减函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=−1,则不等式f(x+2)+ f(x+4)>−3的解集为.16.在△PAB中,AB=4,∠APB=π3,点Q满足QP⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则QA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c(cosA+sinA).(1)求角C;(2)求a+√2bc的最大值.18.(12分)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,设b n=lg2a n+1−lg2a n.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)设数列{b n}的前5项和为35,b4=9,求数列{a n}的通项公式.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面ABB1A1是正方形,且平面A1BC⊥平面ABB1A1.(1)求证:AB⊥BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为π6,E为线段A1C的中点,求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小.20.(12分)驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施,其中科目一的考试通过率低成为热点话题,某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试,为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计.该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人,对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成2×2列联表如下:附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.(1)完成题中的2×2列联表,并判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响?（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率,已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2:1,现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查,设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格,求X 的分布列与数学期望.21.(12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,√2),点O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上的动点M,P,Q满足直线MP,MQ的斜率互为相反数,且点M不在坐标轴上,设直线PQ,OM的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值.22.(12分)已知函数f(x)=ax−lnx,a>0.(1)讨论f(x)的零点个数;（2）若对∀x∈(0,+∞),不等式e ax≥ax⋅f(x)恒成立,求a的取值范围.数学参考答案一、单选题 1∼8DCBBABBC第8题提示:由e x≥1+x,∴e −35>25,又ln (1+x )≤x,∴ln5−ln4=ln (1+14)<14二、多选题 9.ABD10.ABD 11.ABD 12.ACD第11题提示:y =f (x )的图象关于点(π4,0)中心对称,则π4ω+π3=kπ,其中k ∈Z ,ω=12k−43,所以充要条件是ω∈S ={ω∣ω=12k−43,k ∈Z,ω>0}.对于A,2πω=3π4⇒ω=83=12⋅1−43,故A 正确;对于B,可知(−π8,0)是原函数的对称点,−π8ω+π3=kπ⇒ω=−24k+83=12(−2k+1)−43∈S ,故B 正确;对于C,sin (−π4ω+π3)=√32,−π4ω+π3=2kπ+π3或2kπ+2π3,ω=−8k或−24k+43,ω不一定在S 中,C 错误;对于D,π16ω+π3=kπ+π2⇒ω=16k +83=12(4k+1)−43∈S ,故D 正确.第12题提示:f (x )=(x −1)(x 3+x 2+1),对于函数g (x )=x 3+x 2+1,g ′(x )=3x 2+2x ,可得g (x )在x =−23,x =0处分别取极大值和极小值,由g (0)>0,知g (x )只有一个零点,f (x )有两个零点,A 正确;假设B 成立,设切点坐标为(x 0,f (x 0)),切线方程y =(4x 03−2x 0+1)(x −x 0)+x 04−x 02+x 0−1即y =(4x 03−2x 0+1)x −3x 04+x 02−1, ∴−3x 04+x 02−1=0,但显然−3x 04+x 02−1<0,B 错误;f ′(x )=4x 3−2x +1,f ′′(x )=12x 2−2,∴f ′(x )在x =−√66,√66分别取到极大值和极小值,由f ′(√66)>0知f ′(x )只有一个零点,f (x )有一个极值点;若D 正确,则存在实数m 使得f ′(x )=4x 3−2x +1=m 有三个不同的根, 此时只需m ∈(f ′(√66),f ′(−√66))即可成立,故D 正确.三、填空题13.−537614.415.(−2,0)16.−8825第15题提示:∵−3=3f (2)=f (8),f (x +2)+f (x +4)>−3⇒{f (x 2+6x +8)>f (8)x +2>0x +4>0⇒{x 2+6x +8<8x >−2⇒−2<x <0第16题提示:设AB 中点为M,QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒QP⃗⃗⃗⃗⃗ =4MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2由∠APB =π3,知P 点轨迹是以AB 为弦,圆周角为π3的优弧,∴当PM ⊥AB 时,|QM |最大,此时△PAB 是等边三角形,|QM |=2√35,|QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1225−4=−8825. 四、解答题 17.(10分)解:（1）由正弦定理sinB =sinC (cosA +sinA ),sin (A +C )=sinCcosA +sinCsinA⇒sinAcosC =sinCsinA, tanC =1, C =π4(2)由正弦定理得:a +√2bc =sinA +√2sinB sinC =√2(sinA +√2sin (A +π4))=√2(2sinA +cosA )=√10sin (A +φ), 其中sinφ=√5cosφ=√5,又A ∈(0,3π4),故A +φ∈(φ,3π4+φ),∴sin (A +φ)max =1,∴√10sin (A +φ)max =√10,故a+√2b c的最大值为√1018.(12分)解:（1）设{a n }的公比为q (q >0),∴b n =(lga n+1+lga n )(lga n+1−lga n )=lga 12q 2n−1⋅lgq=(2lga 1+(2n −1)lgq )⋅lgq故b n+1=(2lga 1+(2n +1)lgq )⋅lgq ,所以b n+1−b n =2lg 2q , 故{b n }是以2lg 2q 为公差的等差数列;(2)∵数列{b n }的前5项和为35,∴5b 3=35,b 3=7,又b 4=9,故{b n }的公差2,故b n =2n +1,即(2lga 1+(2n −1)lgq )⋅lgq =2n +1, 故lg 2q =1且(2lga 1−lgq )lgq =1,从而q =10, a 1=10或q =110,a 1=110,所以a n =10n 或110n19.(12分)解:（1）设A 1B 中点为M ,则AM ⊥A 1B∵平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1,∴AM ⊥平面A 1BC,∴AM ⊥BC 又直三棱柱ABC −A 1B 1C 1,∴BB 1⊥BC ∴BC ⊥平面ABB 1A 1,∴AB ⊥BC(2)由(1)直线AC 与平面A 1BC 所成的角为∠ACM =π6,不妨设AB =2,AM =√2,AC =2√2,BC =√AC 2−AB 2=2 以B 为原点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x,y,z 轴正向建立坐标系A (2,0,0), C (0,2,0), E (1,1,1)设平面ABE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z ){n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x =0x +y +z =0,令y =1,n ⃗ =(0,1,−1)同理可得平面CBE 的法向量为m ⃗⃗ =(1,0,−1) 设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小为θ∴cosθ=n ⃗ ⋅m ⃗⃗ |n ⃗ |⋅|m ⃗⃗ |=12, θ=π320.（12分) 解：(1）由题得K 2=50(20⋅15−5⋅10)225⋅25⋅30⋅20=813>3.841∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响(2)由题该地7月份不合格率为525=15,8月份不合格率为1525=35,抽取7月份首次参加考试的学员概率为23,抽取8月份首次参加考试的学员概率为13 X 可能的取值为0,1,2P (X =0)=(23)2(45)2+C 21⋅23⋅13⋅45⋅25+(13)2(25)2=49P (X =2)=(23)2(15)2+C 21⋅23⋅13⋅15⋅35+(13)2(35)2=19P (X =1)=1−P (X =2)−P (X =0)=49EX =0⋅49+1⋅49+2⋅19=2321.(12分) 解:(1)由题ca =√22,4a 2+2b 2=1,a 2=b 2+c 2,联立解得a 2=8,b 2=4椭圆方程为x 28+y 24=1(2)设N (x 0,y 0),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线l NP :y =k (x −x 0)+y 0联立椭圆方程得(2k 2+1)x 2+4(y 0−kx 0)kx +2(y 0−kx 0)2−8=0x 1+x 0=4(kx 0−y 0)k 2k 2+1,∴x 1=2k 2x 0−4ky 0−x 02k 2+1y 1=k (x 1−x 0)+y 0=y 0−2kx 0−2k 2y 02k 2+1同理可得x 2=2k 2x 0+4ky 0−x 02k 2+1,y 2=y 0+2kx 0−2k 2y 02k 2+1∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=4kx 08ky 0=x 02y 0,k 2=y 0x 0∴k 1k 2=1222.（12分)解:（1）f ′(x )=a −1x=ax−1x∴f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增f min (x )=f (1a)=1+lna当a >1e 时,f (1a )>0,f (x )的零点个数为0;当a =1e 时,f (x )的零点个数为1; 当0<a <1e 时,f (x )的零点个数为2 （2）由题e axax ≥ax −lnx =ln e ax ax+lna令t =e ax ax,对于g (x )=e x x,g ′(x )=e x (x−1)x 2,∴g (x )≥g (1)=e,t ≥e∴t ≥lnt +lna 对t ≥e 恒成立对于ℎ(t )=t −lnt,ℎ′(t )=t−1t,∴ℎ(t )在[e,+∞)上单调递增∴ℎ(t )≥ℎ(e )=e −1 ∴lna ≤e −1,0<a ≤e e−1。

高三数学联合诊断性考试(理)[最新版]

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届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）数学（理科试卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分） 1．如果A={x |x >－1}，那么正确的结论是（）A ．0AB ．{0}∈AC ．{0}AD ．φ∈A2．给定两个向量)2()2(),1,(),2,1(b a b a x b a -+==与若平行，则x 的值等于（）A ．1B ．21C ．2D ．31 3．对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是（）A ．t t g 21log )(=B ．tt g )21()(=C ．g(t)=(t －1)2D ．g(t)=cost4．数列{a n }是等差数列，S 10>0,S 11<0，则使a n <0的最小的n 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．将函数y=f (x )·sin x 的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到函数 y=－cos2x 的图象.则f (x )可以是（）A ．－2sin xB ．2sin xC ．－2cos xD ．2cos x6．已知),0()21(),2(2122<=>-+=-b y a a a x b 则x ,y 之间的大小关系是（）A ．x >yB ．x <yC ．x =yD ．不能确定7．已知a 、b 为两个非零向量，有以下命题：①2a =2b ，②a ·b =2b ，③|a |、=|b |且a ∥b .其中可以作为a =b 的必要但不充分条件的命题是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．229．方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是（）10．抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则OB OA ⋅等于（）A ．－43B ．43 C ．－3 D ．311．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R.命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1<a <2 D ．a ≤1或a ≥212．对某地农村家庭拥有电器情况抽样调查如下：有电视机的占60%；有洗衣机的占55%；有电冰箱的占45%；至少有上述三种电器中的两种及两种以上的占55%；三种都有的占20%.那么没有任何一种电器的家庭占的比例是（） A ．5% B ．10% C ．12% D ．15%第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13．△ABC 中，若)cos(cos ,5tan tan C B AC B -=⋅则的值为 .14．把点A （2，1）按向量a =（－2，3）平移到B ，此时点B 分向量OC （O 为坐标原点）的比为－2，则C 点的坐标为 .15．当x =3时，不等式)10)(64(log )2(log 2≠>->--a a x x x a a 且成立，则此不等式的解集是 .16．奇函数f (x )的定义域为),,0()0,(+∞-∞ 值域为R ，当且仅当x >1时，f (x )>0.关于f (x )有如下命题：①f (－1)=0；②方程f (x )=0有无穷解；③f (x )有最小值，但无最大值；④f (x )的图象关于原点对称，且f (x )是周期函数.其中正确命题的序号是 . 三、解答题：（本大题6个小题，共74分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.） 17．（12分）已知函数.2321)3(,2)0(,cos sin cos 2)(2+==+=πf f x x b x a x f 且（1）求f (x )的最大值与最小值；（2）若)tan(),()(,,βαβαπβα+=∈≠-求且f f Z k k 的值.18．（12分）（1）已知|a|=4，|b|=3，（2a－3b）·（2a+b）=61，求a与b的夹角θ；（2）设OA=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），在OC上是否存在点M，使MA ，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.MB19．（12分）定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),且当x∈[－1，1]时，f(x)=x3.（1）求f(x)在[1，5]上的表达式；≠，求实数a的取值范围.（2）若A={x| f(x)>a,x∈R},且Aφ20．（12分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入－年薪支出）21．（12分）椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222b y a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等. （1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.22．（14分）已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n }*)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列. （1）求{a n }的通项a n ;（2）设),(n n n a f a b ⋅= 若{b n }的前n 项和是S n ，且.312:,11224224<-+<-+a na S a a n n 求证数学答案一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分） CBAB 、DADA 、CACD 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分） 13．32；14.（0,2）；15.{}R x x x ∈<<,42|；16. ①② 三、解答题：（本大题6个小题，共74分） 17．（12分）解：（1）由f (0)=2a =2, 得a =1 ,2,4321)3(=+=b b a f 得π…………（3分） ∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)42sin(2++πx …………（5分）∴f (x )的最大值是12+，最小值是21-.………………（6分）（2）∵)42sin()42sin(),()(πβπαβα+=+∴=f f .……（7分）∴)42(242)42(242πβπππαπβππα+-+=+++=+k k 或…………（9分）∴Z k k k ∈+=+=-,4)(ππβαπβα或舍去………………（11分）∴1)4tan()tan(=+=+ππβαk .………………（12分）18．（12分）解：（1）∵（2a －3b ）·（2a +b ）=61，∴.6134422=-⋅-b b a a …（12分）又|a |=4，|b |=3，∴a ·b =－6.…………………………………………（4分）. ,21||||cos -=⋅=∴b a ba θ………………………………………………（5分）∴θ=120°.………………………………………………………………（6分）（2）设存在点M ，且)10)(3,6(≤<==λλλλOC OM ).31,63(),35,62(λλλλ--=--=∴MB MA,0)31)(35()63)(62(=--+--∴λλλλ…………………………（8分）).511,522()1,2()10(,151131:,01148452==∴===+-∴OM OM 或分或解得 λλλλ∴存在M （2，1）或)511,522(M 满足题意.……………………（12分）. 19．（12分）解：∵f (x +2)=-f (x ), x ∈R ，∴f (x )= －f (x －2).……………（1分）当x ∈[1，3]时，x －2∈[－1,1],∴f (x )= －f (x －2)= －(x －2)3=(2－x )3.……（3分）又f (x )= －f (x +2)=f (x +4), ∴f (x )是以4为周期的函数.………………（4分）当x ∈[3，5]时，x －4∈[－1,1], f (x )=f (x －4)= (x －4)3. ………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-=∴]5,3[)4(]3,1[)2()(33x x x x x f …………………………………………（7分）（2）当],1,1[,)2()(,]3,1[3-∈∴-==∈y x x f y x 时当x ∈[3,5]时，y= f (x )=(x －4)3, ∴y ∈[－1,1],∴f (x )在[1，5]上的值域为[－1,1].…………………………（9分）又f (x )是以4为周期的函数，∴当x ∈R 时，f (x ) ∈[－1,1]……（10分） ∴当a <1时，存在x 使f (x )>a ，故a 的取值范围为a <1.………（12分）20．（12分）解：设初中x 个班，高中y 个班，则⎩⎨⎧≤+≤+≤)2(12005828)1(3020y x y x ……………（4分）设年利润为s ，则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯=……（6分）作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x +2y=s 过点A 时，s 有最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1200582830y x y x 解得A （18，12）.……（10分）6.45122182.1max =⨯+⨯=∴s （万元）.即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获最大年利润为45.6万元.……（12分） 21．（12分）解：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>a ,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0).)6().3,2(.3),(2)4(,5)(14)(,)2().2,2(,,00022022022022022022000分舍去分又得点坐标代入椭圆方程将分的中点为 b a P b y a x a x a x a a x b y a x b y a a x C y a x C AP C S S PCD ACD ∴=∴-==∴=+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=+--∴∴=∆∆ （2）,300ab a x y K K PB PD =-== …………………………（7分） )10()23,2(),2,2()(2)9(0321)(3:00222222分即舍去分直线 b a C y a x C a x a x a ax x b y a x a x a b y PD D D -==∴=+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+-= ∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,222222=+=∴=∴-=a b a ec a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.…………（12分） 22．（14分）解：设2，f (a 1), f (a 2), f (a 3),……，f (a n ),2n+4的公差为d ，则2n+4=2+(n+2－1)d ⇒d=2,…………………………（2分）22log 222)11(2)(+=⇒+=+=-++=∴n a n nd d n a f n a n.22+=∴n n a a ……………………（4分）（2）222222)22(log )(++++=⋅=⋅=n n a n n n n a n a a a f a b ，22264)22(264+++⋅+++=∴n n n a n a n a a S)14(.312111)13(111)12(111)11()111(1212,0,112)10(.220,,012,0)1)(12(1210,112)8(],)1(111[121)22(2)1()1(2,1,)22(][24)1()22(2)22(6422222222424222422224242222424242224422264242222862分分分分又分解得故又分 =+-<+-<-++-<-+---=-+∴><-<<<-<+-=-+⇒<<<-+-+---=-+-+--=∴≠+-+++=-++⋅+⋅-+++=∴++++++a a aa a aa a a a na S a aa a a a a a a a aa a n aa a a a a n a a a a S a a n a a a S a a n a n a n a a S a n nn nn n n n nn n n n n n n n n n注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。

重庆市巴南区2024届高三诊断(一)数学试题(原卷版)

高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分 120分钟完卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合{}2|250A x x x =−>，{}0,1,2,3,4B =，则()A B =R （） A. {}1,2B. {}0,1,2C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3 2. 已知复数5i 12i z =+，则z =（） A. 12i +B. 12i −C. 2i +D. 2i − 3. 已知π1sin 63x +=− ，则2πcos 23x −= （） A 79− B. 29− C. 29 D. 794. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）A. 13B. 512C. 12 D. 7125. 若数列{}n a 的前n 项积2115n T n =−，则n a 的最大值与最小值的和为（） A. 3− B. 1− C. 2 D. 36. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F ，G 分别是边BC ，CD ，AD 的中点，点P 是线段EF 上的动点，则GP AP ⋅ 的最小值为（）A. 238B. 3C. 278D. 48.的7. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M ，N 满足1F M MP = ，22ON OP OF =+ ，若四边形MONP 的周长等于4b ，则椭圆C 的离心率为e =（）A. 12 B. C. D. 8. 已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=−，()01f =−，且当(]0,4x ∈时，()ln x f x x =.若关于x 的不等式()f x a >在[]48,48−上有且只有60个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. (]1,0−B. ln20,2C. ln21,2− D. ln2ln3,23二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9. 已知函数()22cos sin f x x x =−，则（） A. ()cos 2f x x =B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 在π0,3 上单调递减D. ()f x 在ππ,36 −上单调递增 10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校 2000 103 乙校 3000 8 2记这两个学校学生一周运动的总平均时间为x ，方差为2s ，则（）A. 8.7x =B. 8.8x =C. 2 3.36s =D. 2 3.56s =11. 如图，平行六面体1AC 中，1145A AD A AB ∠=∠=°，AD AB =，AC 与BD 交于点O ，则下列说法正确的有（）A. 平面11ACC A ⊥平面11BDD BB. 若1A O AO =，则平行六面体的体积11112B BDD V AC S =⋅四边形 C. 111122AO AB AD AA =++ D. 若60BAD ∠=°，则1cos A AC ∠ 12. 已知函数()()1ln f x x x =−，下列选项正确的是（） A. ()f x 有最大值B 31e e f f <C. 若e x ≥时，()()e 0f x a x −−≤恒成立，则1a ≤D. 设12,x x 为两个不相等的正数，且121221ln ln 11x x x x x x −=−，则12112x x +> 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 2()nx x −展开式中的各二项式系数之和为256，则4x 的系数是_______14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________. 15. 已知等比数列{}n a 满足：1220a a +=，2380a a +=.数列{}n b 满足()2log n n b a n ∗=∈N，其前n 项和为n S ，若8n n b S λ≤+恒成立，则λ的最小值为______. .16. 已知抛物线24y x =上存在两点,A B （,A B 异于坐标原点O ），使得90AOB ∠=°，直线AB 与x 轴交于M 点，将直线AB 绕着M 点逆时针旋转90°与该抛物线交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最小值为________．四、解答题（共6小题，共70分）17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(cos )ca B B +．（1）求角A ；（2）若ABC ，且1a =，求ABC 的周长． 18. 已知数列{}n a 的首项11a =，且满足132n n n a a ++=×.（1）求证：{}2n n a −是等比数列；（2）求数列{}n a 的前项和n S .19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X 近似地服从正态分布(,100)N µ，其中µ近似为样本平均数x ，求9(64)4P X <≤；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)，[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①()0.6827P X µδµδ−<≤+=；②(22)0.9545P X µδµδ−<≤+=；③(33)0.9973P X µδµδ−<≤+=．20. 如图所示，三棱锥−P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）证明：BC ⊥平面PAB ；（2）若6PA AB ==，3BC =，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D ，使得二面角B AD C −−的D 的位置；若不存在，说明理由． 21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F −、2(6,0)F ，12MF F △内切圆与直线12F F 相切于点(4,0)D ，记点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线2x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，连接BP AQ ，.若直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0，试比较cos BAQ ∠与cos BPQ ∠的大小. 22. 已知函数2()(sin cos )cos (0)f x ax a x x x x a x =−+++>．（1）当1a =时，（I ）求(π,(π))f 处的切线方程；（II ）判断()f x 的单调性，并给出证明；（2）若()1f x >恒成立，求a 的取值范围．在的。

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重庆市高三联合诊断性考试(二)
数学试题
2001.5
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[sin(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
正棱台、圆台的侧面积公式
S 台侧=
2
1
(c ′+c )l
其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式
V 台体=h S S S S )(3
1+'+'
其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足M ∪｛a,b ｝=｛a,b,c,d ｝的集合M 的个数共有
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
2．若复数ｚ＝(a-i )2
的辐角主值是
2
3π
，那么实数a 的值是 A ．±1 B ．1
C ．-1
D ．0
3．下列坐标所表示的点不是．．函数)6
2(tg π
-=x y 的图象的对称中心的是 A ．)0,3
(
π
B ．)0,35(π-
C ．)0,34(π
D ．)0,32(π
4．若x ＞0，则2
2113x x y --=的最大值是
A ．3
B ．23
C ．2
9
D ．0
5．设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且tg A 、tg B 是方程6x 2
-5x +1=0的两个实数根，那
么，△ABC 是
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cos θ-3sin θ圆心的极坐标是 A.)3
,1(π B.)3,1(π
-
C.)3
,2(π
- D.)
3
,
2(π
(文)已知l 1：0133:0332=+-=+-y x l y x 和，则l 1到l 2的角θ等于 A.150° B.120° C.60° D.30°
7.设(2-x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5
，那么｜a 1｜+｜a 2｜+ …+｜a 5｜的值是 A.242 B.243 C.222 D.211 8.某饭店有200间客房，每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表：
每间客房定价
每天住房率
90元 65% 80元 75% 70元 85% 60元
95%
要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为
A.90元
B.80元
C.70元
D.60元
9.函数f (x )=)2(log 22
1++ax x 的值域为(-∞，+∞)，则实数a 的取值范围是 A.
)22,22(- B. ]22,22[-
C.),22()22,(+∞⋃--∞
D. ),22[]22,(+∞⋃--∞
10.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦为
A.
1030 B.21 C.
1530 D.10
15
11.已知点F 为双曲线19
162
2=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5，4)，则4｜MF ｜-5｜MA ｜的最大值为
A.12
B.20
C.9
D.
16
12.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f (x +3)=-)
(1
x f -，又当-3≤x ≤-2时，f (x )=2x ，则f (113.5)的值为
A.51
B.- 51
C.5.31
D.- 5
.31
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.6个人分乘的两辆不同的车，每辆车最多可乘坐4个，则不同的乘车方法种数为 .(用数字作答)
14.抛物线x 2
-8x -4y +a =0的焦点在x 轴上，则抛物线上一点P (m ，3)到此抛物线的准线的距离是 .
15.一个圆锥的全面积是底面积的7倍，则此圆锥的侧面展开为扇形后，它的圆心角的大小为 .(用角度作答)
16.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .
其中，正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f (x )=log 3｜x -1｜.
(Ⅰ)当1＜f (x )＜2时，求x 的取值范围；
(Ⅱ)当x ∈(1,+∞)时，试判定f (x )的单调性，并用函数单调的定义证明你的结论. 18.(本小题满分12分)
已知复数ｚ＝)20(,)2cos 2
1
1(cos 2πθθθπ≤+
+i （Ⅰ）求｜ｚ｜的范围； (Ⅱ)求ａｒｇｚ的最小值． 19．(本小题满分12分)
在直角坐标平面上有一点列P １（ａ１，ｂ１）、Ｐ２（ａ２，ｂ２）、…、Ｐｎ（ａｎ，ｂｎ），
对于每个自然数ｎ，点P ｎ在函数ｙ＝ｘ２
的图象上，且点P ｎ、点(ｎ，０）与点(ｎ＋１，０）构成一个以点P ｎ为顶点的等腰三角形．
(Ⅰ)求对每个自然数ｎ，以点P ｎ的纵坐标所构成的数列ｂｎ的通项公式；
(Ⅱ)令Ｃｎ＝
)(lim ,21
21n n n n c c c n
a b ++++-∞→Λ求的值．
20．(本小题满分12分)
在正三棱柱ABC —A １B １C １中，各棱长均为4，M 、N 分别是棱BC 、CC １的中点
(Ⅰ)求证：BN ⊥平面AMB １；
(Ⅱ)求二面角B —AM —B １的正切值； (Ⅲ)求三棱锥B —AB １N 的体积．21．(本小题满分12分)
某航运公司用300万元买回客运飞船一艘，此船投入
营运后，每月需开支燃油费、维修费和员工工资已知每月的燃油费用为7000元，第n 月的维修费和工资支出为［６００（ｎ－１）＋３０００］元如果把购船费和所有支出性费
用平摊到投入营运后的每一月，叫做每月平均消耗当平均消耗最低时，营运成本最低．问：
(Ⅰ)设月平均消耗为ｙ(元)，写出ｙ与ｎ(月)的函数关系；
(Ⅱ)这艘飞船在投入客运后的第几个月，营运成本最低?
(Ⅲ)如果该飞船第一年的纯收入为50万，由于每年维修费用的增加和竞争的加剧，其纯收入每年按5%递减.那么，该船多少年后可收回成本?
下列数据供参考：
X 7 7.5 8.5 9 9.5
lg x0.846 0.875 0.929 0.954 0.978
22．(本小题满分14分)
已知抛物线C：ｙ２＝４ｘ，一动椭圆C１的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线L
分别重合．
(Ⅰ)点P在椭圆C１的短轴的一个端点B与焦点F的连线上，且P分BF所成比为２∶
１，求点P的轨迹方程C２；
(Ⅱ)若直线ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与轨迹C２相交于M、N两点，求ｍ的取值范围；
(Ⅲ)以MN为直径的圆是否过坐标原点?若能，求出相应的ｍ值，若不能，请说明理由．。

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