重庆市高三联合数学诊断性考试.doc

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高三数学联合诊断性考试1（理）

D C x yx y -ccbObOaaBA xy y x-bcOOcb -aac Oabxy 届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）数学（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。

1．若集合{}{}2|11,|0M x x N x x =->=< ，那么 A ．MN M = B ．M N C ．M N D ．M N N =2．已知公比为q 的等比数列{}n a ，若()*22n n n b a a n N +=+∈，则数列{}n b 是 A ．公比为q 的等比数列 B ．公比为2q 的等比数列 C ．公差为q 的等差数列 D ．公差为2q 的等差数列3．设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=< ，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．若()12:12,:24160l x m y m l mx y ++=-++= 的图象是两条平行直线，则m 的值是 A ．1m =或2m =- B ．1m = C ．2m =- D ．m 的值不存在 5．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是A ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,,442πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如右图所示，则函数()f x 的图象是7．已知函数21xy x-=+，按向量a 平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a 为A ．()1,1-B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,18．若函数()()()()tan 02lg 0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨-<⎪⎩ ，则()2984f f π⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 9．已知直线12:,:0l y x l ax y =-= ，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是A ．()31,3⎫⎪⎪⎝⎭B ．33⎝C ．3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(3 10．已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等式()12log 1f x -<的解集为A ．{}|11x x -<<B ．{}|28x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|03x x <<11．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g12．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷) (2)

一、单选题1. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（）A．B．C．D．2. 记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．3. 果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y （单位：kg ）与干周x （树干横截面周长，单位：cm ）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A ．时，y 是偶函数B ．模型函数的图象是中心对称图形C ．若，均是正数，则y 有最大值D．苹果树负载量的最小值是4. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．种B．种C．种D ．种5.已知，且，则（）A．B．C．D．6. 如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（）（参考数据：，，）A．B．C．D．7. 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（）（其中，）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷） (2)重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷） (2)二、多选题三、填空题A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米8. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为（）（参考数据：、）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米9.已知等比数列满足，则（）A．B．C．D．10.在正方体中，点P满足，则（）A ．若，则AP 与BD所成角为B ．若，则C．平面D．11.设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a 为常数），，则（）A．B．C．为周期函数D．12. 已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（）．A．B ．直线是图象的一条对称轴C ．在上单调递减D ．是奇函数13. 已知向量，则使得∥且最大时的的值为__________．14.写出一个同时满足下列条件①②的向量______．①；②向量与的夹角．15. 中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为________.49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25四、解答题16. 如图，长方体中，,G是上的动点．(l)求证：平面ADG；(2)判断与平面ADG的位置关系，并给出证明；(3)若G是的中点，求二面角G-AD-C的大小；17. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形．(1)证明：．(2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积．18.已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．19. 研究表明：商店冰淇淋的销售数量（个）和气温成正相关，下表是某商店冰淇淋的销售数量（个）和气温的对照表：气温1015202530水淇淋的销售数量（个）2035405565（Ⅰ）求关于的回归直线方程；（Ⅱ）预测当气温为时，商店冰淇淋店的销售数量约为多少个．参考公式：，，回归直线方程为．参考数据：，．20. 已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值．21. 已知点为抛物线；的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以，为焦点的椭圆为椭圆．（1）若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，且，求椭圆的离心率；（2）若，点为抛物线上一点，点，以为直径的圆与直线交于，，试探究弦的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由．。

重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷(解析版)

2024年重庆市高考数学三诊试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|10}A x x =-=，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，则=a （）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用子集的概念求解.【详解】集合{}2{|10}1,1A x x =-==-，集合{}1,1,3B a a =+-，若A B ⊆，又11a a +>-，所以1111a a +=⎧⎨-=-⎩，解得0.a =故选：B2.设复数z 满足2i 1z z -=，则z 的虚部为（）A.13B.13-C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】设复数i(,R)z a b a b =+∈，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.【详解】设复数i(,R)z a b a b =+∈，因为复数z 满足2i 1z z -=，可得()22i i i 1a b a b +--=，即()22i 1a b b a -+-=，则21a b -=，20b a -=，解得13b =，所以复数z 的虚部为13.故选：A.3.已知一种服装的销售量(y 单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x ，y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则=a （）x 12345y66a31A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据统计图表中的数据，求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解.【详解】解：由统计图表中的数据，可得()11234535x =⨯++++=，()116663155a y a +=⨯++++=，即样本中心为16(3,5a +，因为两变量,x y 的经验回归方程为ˆ 1.37.9yx =-+，则161.337.95a+-⨯+=，解得 4.a =故选：C.4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（）A.B.2πC. D.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为π4，所以底面圆的半径为2sin π4r ==，所以该圆锥的侧面积为π2S ==侧.故选：C5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）A.402400C B.242400C C.122400C D.102400C 【答案】C 【解析】【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

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参考答案一、选择题一、 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.(理)B (文)A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.A 二、填空题13.50 14.5 15. 60°或(或3π)；16.①③三、解答题17.解：(Ⅰ)由1＜log 3｜x -1｜＜2得3＜｜x -1｜＜9 2分即，3＜x -1＜9或-9＜x -1＜-3 4分解得，3＜x ＜10或-8＜x ＜-2 6分(Ⅱ)当x ∈(1，+∞)时，f (x )=log 3｜x -1｜是增函数，设1＜x 1＜x 2则f (x 1)-f (x 2)=log 3｜x 1-1｜-log 3｜x 2-1｜=log 31121--x x8分∵1＜x 1＜x 2 ∴｜x 1-1｜＜｜x 2-1｜ ∴0＜1121--x x ＜1 10分∴log 31121--x x ＜0 即f (x 1)＜f (x 2)∴f (x )=log 3｜x -1｜是增函数. 12分 18.解：(Ⅰ)∵｜ｚ｜＝22)2cos 211(cos 2θθ++ 2分 22cos 22cos 412++=θθ 8)42(cos 212-+=θ 4分 ∵9≤(cos2θ+4)2≤25∴｜z ｜∈［217,21］ 6分 (Ⅱ)设arg z =α∵παθ 0,0)2cos 211(+则｜tg α｜=θθθθocs 21cos 21cos 22cos 211+=+ 8分≥121221=⋅ 10分 ∴α≥4π ∴arg z 的最小值为4π12分 19.解：(Ⅰ)由题意，点P n (a n ,b n )在点(n ,0)与(n +1,0)的垂直平分线上，∴a n =2121+=++n n n 3分 ∴b n =(a n )2=(n +21)2 6分(Ⅱ)∵C n =]111[21221212+-⋅=+=+-n n n n n a b n n 8分)]113121211(21[lim )(lim 21+-+-+-⋅=+++∞→∞→n c c c n n n )]111(21[lim +-⋅=∞→n n 10分 =2112分20.解：(Ⅰ)设BN ∩MB 1=P ，则CBN M BB BCN Rt BM B Rt CN BM BC BB ∠=∠⇒∆≅∆⇒⎭⎬⎫==111而∠CBN 与∠NBB 1互为余角，∴∠BB 1M 与∠NBB 1也互为余角.∠B 1PB =90°，即BN ⊥MB 1 ① 2分1111B BCC AM BC AM B BCC ABC 平面又面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥BN AM ⊥⇒ ②由①②，∴BN ⊥平面AMB 1. 4分 (Ⅱ)由AM ⊥平面BCC 1B 1，∴AM ⊥MB ，且AM ⊥MB 1∠BMB 1为二面角B —AM —B 1的平面角 6分 ∴tg BMB 1=2241==BM BB ∴二面角B —AM —B 1的正切值为2. 8分 (Ⅲ)N BB A N AB B V V 11--= =.331632421313121=⋅⋅⋅=⋅AM S N BB 12分 21.(Ⅰ)设使用n 月后的月平均消耗为y (元)，则nn n n nn n y 4410300)1(30010000 10300]3000)1(600[)3000600()3000(7000⨯+-⋅+=⨯++-+++++⋅=97003003000000++=n n(文6、理3分) (Ⅱ)y ≥2n n3003000000⋅+9700=69700(元) ∴当且仅当n3000000=300n ，即n =100(月)时，平均成本最低. (文12、理6分) (Ⅲ)设第n 年后可以收回成本.由题意则有50+50·(1-5%)+50·(1-5%)2+…+50·(1-5%)n -1≥300… 8分即7.03.0195.0,695.0195.01=-≤≥--n n10分 ∴n ≥7022.0154.015.9lg 17lg 95.0lg 7.0lg ==--=故，7年后刚好可以收回成本. 12分22.解：(Ⅰ)由y 2=4x 知，焦点F 为(1，0)，准线L ：x =-1 设C 1中，点P (x,y ),B (p,q )，由定比分点公式x =2102,2112+⨯+=+⨯+q y p 得B 的坐标为B (3x -2,3y ) (文3、理2分)再设椭圆中心为O ′，B 在准线L 上的射影为B ′，则有acFB O F B B BF ='=' 即2222)3()33(123123)3()33(y x x x y x ++---=+-+- (文6、理4分)化简，得C 2：y 2=)1(32-x (文8、理6分)(Ⅱ)由⎪⎩⎪⎨⎧-==++)1(2102x y m y x 可得，3y 2=2(-m-y -1) (文10分)3y 2+2y +2m +2=0，由Δ=4-12(2m +2)=-24m -20＞0 (文12、理7分) 得m ＜-65(文14、理8分)(Ⅲ)设交点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-3)1(2,3221+=⋅m y y若以MN 为直径的圆过原点，那么OM ⊥ON ，有K OM ×K ON =-1，,12221-=⋅x y x y 即y 1y 2+x 1x 2=0 10分将x =-y-m 代入上式，得2y 1y 2+m (y 1+y 2)+m 2=0∴0323)1(42=+-+m mm 12分整理为3m 2+2m +4=0 Δ=4-12×4＜0因满足条件的实数m 不存在，故不存在以MN 为直径的圆过原点. 14分。

重庆市高三联合诊断性考试(二)-数学试题

重庆市高三联合诊断性考试(二)-数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧= (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体=其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足MⅠ｛a,b｝=｛a,b,c,d｝的集合M的个数共有A．4个B．5个C．6个D．7个2．若复数ｚ＝(a-i)2的辐角主值是，那么实数a的值是A．±1 B．1C．-1D．03．下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是A．B．C．D．4．若x＞0，则的最大值是A．3 B．C．D．05．设A、B、C是ⅠABC的三个内角，且tgA、tgB是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，那么，ⅠABC 是A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cosθ-sinθ圆心的极坐标是A. B. C. D.(文)已知l1：，则l1到l2的角θ等于A.150°B.120°C.60°D.30°7.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么｜a1｜+｜a2｜+…+｜a5｜的值是A.242B.243C.222D.2118.某饭店有200间客房，每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表：width=126 valign=top > 每间客房定价width=126 valign=top > 每天住房率width=126 valign=top > 90元width=126 valign=top > 65%width=126 valign=top > 80元width=126 valign=top > 75%width=126 valign=top > 70元width=126 valign=top > 85%width=126 valign=top >60元width=126 valign=top >95%要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为A.90元B.80元C.70元D.60元9.函数f(x)=的值域为(-∞，+∞)，则实数a的取值范围是A.B.C. D.10.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，ⅠBCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦为A.B.C.D.11.已知点F为双曲线的右焦点，M是双曲线右支上一动点，定点A的坐标是(5，4)，则4｜MF｜-5｜MA｜的最大值为A.12B.20C.9D.1612.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x+3)=-<img width=51 height=44src。

重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题(康德卷)

一、单选题二、多选题1.若，且，则向量与的夹角为A．B．C．D．2.已知数列的前n 项和为，，则（）A ．30B ．29C ．28D ．273. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．4.复数的虚部为（）A．B ．1C．D ．5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A．B．C．D．6. 已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是A．B．C．D．7. 已知函数，，下列四个结论不正确的是（）A ．函数的值域是；B．函数的图像关于直线对称；C．函数为奇函数；D ．若对任意，都有成立，则的最小值为．8.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）A．B．C ．1D ．29.如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P 是线段上的动点，则下列结论正确的是（）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）三、填空题四、解答题A ．存在点P ，M ，使得平面与平面平行B ．存在点P ，M，使得二面角大小为C ．当P 为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为D ．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为10. 某地某所高中年的高考考生人数是年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校年和年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（）A ．与年相比，年一本达线人数有所增加B ．与年相比，年二本达线人数增加了倍C．年与年艺体达线人数相同D ．与年相比，年不上线的人数有所增加11. 设随机变量，随机变量，则（）A．B ．，C．D．12.已知正方体的棱长为2，M 为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（）A ．若为中点，当最小时，B．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为C ．直线AB 与平面所成角的正弦值的取值范围为D ．当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大13.在等比数列中，，公比为q ，前n 项和为，若数列也是等比数列，则q 等于_________14.各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式a n =_____．15. 函数的定义域为____．16. 已知数列是正项等比数列，数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)若，，设数列和中的所有项按从小到大的顺序排列构成数列，记数列的前项和为，求17. 已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若为R 上的偶函数，且关于x 的不等式在上恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点.(1)求椭圆的方程；(2)若过点且倾斜角为钝角的直线与椭圆交于两点（其中点在轴下方），为的中点，为原点，求当最大时，的面积.20. 已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若，求实数的值；（2）证明：．21. 如图，在中，，点在边上，．(1)求的长；(2)若的面积为，求的长．。

2022届重庆市高三第三次联合诊断数学试题(word版)

重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}24B x x ==，则()U A B =（） A ．{}2,2-B ．{}2,4C ．{}4D ．{}22．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为（）A ．12x π=B ．12x π=-C ．6x π=D ．6x π=-3．已知0a >且1a ≠，“函数()xf x a =为增函数”是“函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知O 为ABC 的重心，记OA a =，OB b =，则AC =（） A ．2a b --B ．2a b -+C ．2a b -D ．2a b +5．已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下2×2列联表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001k2.7063.841 6.635 10.828则下列说法中正确的是（）A ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” B ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”7．中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福；第二是钱币，寓意求财：第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是（） A ．12B ．712 C ．58D ．458．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1*1π1sin4n n n n a a n +++-=∈N ，则2022S =（） A ．22-B ．0C ．22D ．2二、多选题 9．已知复数21iz =-+，则（） A ．2z = B ．z 的虚部为-1C ．2z 为纯虚数D ．z 在复平面内对应的点位于第一象限10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（）A ．1AB B ．1AC C ．1A AD ．1AD11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅12．在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，DC 上（不包含端点）运动，且满足6EBF π∠=，则BEF 的面积可以是（）A ．2B ．C ．3D ．4三、填空题 13．曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 14．cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________.15．已知点()2,3A -，()2,1B ，圆C ：()2220x y r r +=>与线段AB （包含端点）有公共点，则r 的取值范围是___________.16．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()1124n n n n n a a a a ++-=-. (1)证明：1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；(2)求n S .18．在平面四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，CD =120ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒. (1)证明：AC 平分BAD ∠； (2)求ABD △的面积.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱P A 的中点，且BE ∥平面PCD .(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的余弦值.20．甲､乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲､乙每次射击击中目标的概率分别为23和12，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击. (1)求甲､乙得分相同的概率；(2)设乙的得分为X ，求X 的分布列及数学期望.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，左右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，且1MF x ⊥轴，217MF MF =.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x ty m =+（0t ≠且02m <<）与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于原点的对称点为1A ､关于x 轴的对称点为2A ，直线2BA 与x 轴交于点D ，若ABD △与1ABA △的面积相等，求m 的值.22．已知函数()1e ln xf x x ax -=--，a R ∈.(1)当1e 2a =-时，求函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，若函数()f x 有唯一零点0x ，证明：012x <<.参考答案：1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．ABC 10．BCD 11．BD 12．BC 13．22y x =-+ 14．12-##0.5-15r ≤≤16．4 17．（1）()1124n n n n n a a a a ++-=-,1124n n n n na na a a ++∴-=-，即()()1122n n n a a n ++=⋅+1221n n a an n +∴=⋅++，故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列. （2）由（1）知，()1112121n n nn a a n n --=⨯⇒=+⋅+， 021223242(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅， 1232223242(1)2n n S n =⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅， 212222(1)2n n n n S -∴-=+++++⋅-12222(1)212n n n --⨯=+-+⋅-2n n =-⋅，2n n S n ∴=⋅18．(1)证明见解析【分析】（1）根据余弦定理及三角函数，再结合角平分线的定义即可证明；（2）利用三角函数及二倍角的正弦公式，再结合三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，由余弦定理及已知，得22212cos 416224282AC AB BC AB AC ABC =+-⋅⋅∠=++⨯⨯⨯=，即AC =在Rt ADC 中，4AD =，所以cos AD CAD AC ∠===，在ABC 中，由余弦定理得所以222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠===⋅⋅，所以cos cos CAD BAC ∠==∠.故AC 平分BAD ∠. （2）由（1）知，4,AD AC ==cos CAD ∠=在Rt ADC 中，sin DC CAD AC ∠==sin sin 22sin cos 2DAB DAC DAC DAC ∠=∠=∠⋅∠== 所以ABD △的面积为 11sin 2422ABDSAB AD DAB =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=所以ABD △19．(1)证明见解析【分析】（1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，由面面平行的判定定理证得面//BEQ 面PCD ，由面面平行的性质定理证得BQ CD ∥，再有题目证得BQ ⊥面ADP ，则CD ⊥面PAD .（2）以Q 点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面APB 和平面PBC 的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案. （1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，因为E 是棱P A 的中点，所以//EQ PD ，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EQ 面PCD ，∵//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=.∴面//BEQ 面PCD ，面BEQ ⋂面ABCD BQ =，面PCD 面ABCD CD =，所以BQ CD ∥，2BQ =，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，PQAD Q =.∴BQ ⊥面ADP ，BQ CD ∥，∴CD ⊥面PAD . （2）因为BQ ⊥面ADP，PA PD ==PQ AD ⊥，建立如图所示得空间直角坐标系，()0,0,0Q ，()0,1,0A -，()0,0,1P ，()2,0,0B ，()1,1,0C ，()=2,0,1PB -，()=0,1,1AP ，设平面APB 法向量为(),,n x y z =，00n PB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以200x z y z -=⎧⎨+=⎩，则()1,2,2n =-- ()=1,1,1PC -，设平面PBC 法向量为()111,,m x y z =，0m PC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以 11111200x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，则()1,1,2m = 设平面APB 和平面PBC 所成角为θ，所以1cos cos ,m n θ-+==二面角A PB C --20．(1)727(2)分布列答案见解析，数学期望：121144【分析】（1）由题意可知，满足甲､乙得分相同有3种情况，分别计算概率后再求和即可；（2）根据甲先射击及一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止可得到X 可取，再分别求出概率即可求解分布列即期望. （1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则1111326P =⨯=； ②甲、乙第一次都击中，第二次均未击中，则221111332218P =⨯⨯⨯=；③甲、乙均击中两次，32211113332227P =⨯⨯⨯⨯=.所以11176182727P =++=总. （2）由题意，可得X 可取0,1,2,3,4.则，11211222122111(0)32332333233322P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=111211122211(1)322332233322P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯221111333224+⨯⨯⨯⨯=32221111211112121113(2)3222332223233272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111211117(3)3222233222144P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=111111(4)3222248P X ==⨯⨯⨯⨯=所以X 的分布列如下：X 的期望()11137112101234247214448144E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)2214x y +=【分析】（1）短轴长为2得b ，由椭圆定义和217MF MF =得14=a MF ，274=aMF ，由2222112=+MF MF F F 得2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=ab ac ，可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程利用韦达定理12y y ⋅，12y y +代入直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=--，令0y =得4x m=，从而得到D 、1A 坐标，求出1A D 的中点坐标代入直线方程x ty m=+可得答案. （1）因为短轴长为2，所以1b =，因为217MF MF = ，21111782+=+==MF MF MF MF MF a ，所以14=a MF ，21774==aMF MF ，又因为1MF x ⊥轴，所以2222112=+MF MF F F ，2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=a b a c ，解得2a =，∴2214x y +=.（2）()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程得2244=+⎧⎨+=⎩x ty m x y ，整理得()2224240+++-=t y tmy m ， 212244m y y t -⋅=+，12242y m y t -++=+，2121242y y m y y tm -=+，直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=-- 令0y =，()()()112121221121211212221222ty y ty y ty y m y y x y x y y yx m t y y y y y m m y y y +++===+++=+++++⋅44x m m m m=-+=， 4,0D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()111,A x y --，1A D 的中点坐标为11211,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x y m ，由中点在x ty m =+上，可得1121122-=-+x ty m m ， ()1112121112222-+=--=+ty m ty m ty m m m ， 232=m m ，解得243m =，02m <<，所以m =22．(1)在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）根据题意得()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x -+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，易知()20f '=，分析即可求解单调性；（2）根据（1）可知()f x '在()0,∞+上单调递增，又e 1x x ≥+恒成立，所以()01111af a '+=->+，()10f a '=-<，所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=，分析可知()f x 单调性，得到()()0min f x f t =，再通过分析证明，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =，即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=，设()00001ln u x a x ax x =+--，分析单调性，再分别判断()1u 和()2u 的正负，即可求解. （1）根据题意得：()f x 的定义域为()0,∞+，所以()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x-+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，易知()112e e 022f '=--+=，所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增.（2）因为0a >，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()11e x f x a x-'=--，所以()121e 0x f x x -+''=>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，当0x <时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，所以e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，所以()1111e 111011a a f a a a a a a'+=-->+-=-++->+，又()10f a '=-<，所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=，当()00,x t ∈时，()00f t '<，()f x 单调递减，当()0,x t ∈+∞时，()00f t '>，()f x 单调递增，所以()()0min f x f t =，又e 1x x ≥+，所以()ln 1x x ≥+，所以1ln x x -≥，当1x =时，等号成立，则ln x x >，所以()()111e ln e e 1x x x f x x ax x ax a x ---=-->--=-+，即()()1e1x f x a x ->-+，又e 1x x ≥+，所以1e x x -≥，所以12e 2x x -≥，所以22e 4x x -≥，又12e e x x -->，所以21e 4x x ->，所以()()()21e 114x x f x a x a x ->-+>-+，即()()214x f x a x >-+，所以()()()()21614114104a f a a a ++>-+⨯+=⎡⎤⎣⎦，当0x →时，()0f x >，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =，即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=，设()00001ln u x a x ax x =+--，所以()0200110u x a x x '=---<，所以()0u x 在()1,+∞单调递减，所以()110u =>， ()12ln 202u a =--<，所以012x <<.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

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重庆市高三联合诊断性考试(二)
数学试题
2001.5
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
)]sin()[sin(21
cos sin βαβαβα-++=
)]sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+=
)]cos()[sin(21
cos cos βαβαβα-++=
)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=
正棱台、圆台的侧面积公式
S 台侧=
2
1
(c ′+c )l
其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式
V 台体=h S S S S )(3
1+'+'
其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足M ∪｛a,b ｝=｛a,b,c,d ｝的集合M 的个数共有
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
2．若复数ｚ＝(a-i )2
的辐角主值是
2
3π
，那么实数a 的值是 A ．±1 B ．1
C ．-1
D ．0
3．下列坐标所表示的点不是．．函数)6
2(tg π
-=x y 的图象的对称中心的是 A ．)0,3
(
π
B ．)0,35(π-
C ．)0,34(π
D ．)0,32(π
4．若x ＞0，则2
2113x x y --=的最大值是
A ．3
B ．23
C ．2
9
D ．0
5．设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且tg A 、tg B 是方程6x 2
-5x +1=0的两个实数根，那
么，△ABC 是
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cos θ-3sin θ圆心的极坐标是 A.)3
,1(π B.)3,1(π
-
C.)3
,2(π
- D.)
3
,
2(π
(文)已知l 1：0133:0332=+-=+-y x l y x 和，则l 1到l 2的角θ等于 A.150° B.120° C.60° D.30°
7.设(2-x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5
，那么｜a 1｜+｜a 2｜+ …+｜a 5｜的值是 A.242 B.243 C.222 D.211 8.某饭店有200间客房，每间客房的定价与每天的住房率的关系如下表：
每间客房定价
每天住房率
90元 65% 80元 75% 70元 85% 60元
95%
要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为
A.90元
B.80元
C.70元
D.60元
9.函数f (x )=)2(log 22
1++ax x 的值域为(-∞，+∞)，则实数a 的取值范围是 A.
)22,22(- B. ]22,22[-
C.),22()22,(+∞⋃--∞
D. ),22[]22,(+∞⋃--∞
10.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦为
A.
1030 B.21 C.
1530 D.10
15
11.已知点F 为双曲线19
162
2=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5，4)，则4｜MF ｜-5｜MA ｜的最大值为
A.12
B.20
C.9
D.
16
12.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f (x +3)=-)
(1
x f -，又当-3≤x ≤-2时，f (x )=2x ，则f (113.5)的值为
A.51
B.- 51
C.5.31
D.- 5
.31
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.6个人分乘的两辆不同的车，每辆车最多可乘坐4个，则不同的乘车方法种数为 .(用数字作答)
14.抛物线x 2
-8x -4y +a =0的焦点在x 轴上，则抛物线上一点P (m ，3)到此抛物线的准线的距离是 .
15.一个圆锥的全面积是底面积的7倍，则此圆锥的侧面展开为扇形后，它的圆心角的大小为 .(用角度作答)
16.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .
其中，正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f (x )=log 3｜x -1｜.
(Ⅰ)当1＜f (x )＜2时，求x 的取值范围；
(Ⅱ)当x ∈(1,+∞)时，试判定f (x )的单调性，并用函数单调的定义证明你的结论. 18.(本小题满分12分)
已知复数ｚ＝)20(,)2cos 2
1
1(cos 2πθθθπ≤+
+i （Ⅰ）求｜ｚ｜的范围； (Ⅱ)求ａｒｇｚ的最小值． 19．(本小题满分12分)
在直角坐标平面上有一点列P １（ａ１，ｂ１）、Ｐ２（ａ２，ｂ２）、…、Ｐｎ（ａｎ，ｂｎ），
对于每个自然数ｎ，点P ｎ在函数ｙ＝ｘ２
的图象上，且点P ｎ、点(ｎ，０）与点(ｎ＋１，０）构成一个以点P ｎ为顶点的等腰三角形．
(Ⅰ)求对每个自然数ｎ，以点P ｎ的纵坐标所构成的数列ｂｎ的通项公式；
(Ⅱ)令Ｃｎ＝
)(lim ,21
21n n n n c c c n
a b ++++-∞→Λ求的值．
20．(本小题满分12分)
在正三棱柱ABC —A １B １C １中，各棱长均为4，M 、N 分别是棱BC 、CC １的中点
(Ⅰ)求证：BN ⊥平面AMB １；
(Ⅱ)求二面角B —AM —B １的正切值； (Ⅲ)求三棱锥B —AB １N 的体积．21．(本小题满分12分)
某航运公司用300万元买回客运飞船一艘，此船投入
营运后，每月需开支燃油费、维修费和员工工资已知每月的燃油费用为7000元，第n 月的维修费和工资支出为［６００（ｎ－１）＋３０００］元如果把购船费和所有支出性费
用平摊到投入营运后的每一月，叫做每月平均消耗当平均消耗最低时，营运成本最低．问：
(Ⅰ)设月平均消耗为ｙ(元)，写出ｙ与ｎ(月)的函数关系；
(Ⅱ)这艘飞船在投入客运后的第几个月，营运成本最低?
(Ⅲ)如果该飞船第一年的纯收入为50万，由于每年维修费用的增加和竞争的加剧，其纯收入每年按5%递减.那么，该船多少年后可收回成本?
下列数据供参考：
X 7 7.5 8.5 9 9.5
lg x0.846 0.875 0.929 0.954 0.978
22．(本小题满分14分)
已知抛物线C：ｙ２＝４ｘ，一动椭圆C１的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线L
分别重合．
(Ⅰ)点P在椭圆C１的短轴的一个端点B与焦点F的连线上，且P分BF所成比为２∶
１，求点P的轨迹方程C２；
(Ⅱ)若直线ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与轨迹C２相交于M、N两点，求ｍ的取值范围；
(Ⅲ)以MN为直径的圆是否过坐标原点?若能，求出相应的ｍ值，若不能，请说明理由．。