八年级数学 全等三角形复习课件(高效) ppt
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八年级数学全等三角形ppt课件
八年级数学全等三角形 ppt课件
演讲人
目录
01
全等图形、全等三角 形
03
有三边对应相等的两 三角形全等。（即 SSS，"边边边"）
05
角平分线
02
全等三角形
04
直角三角形（Rt△） 的判定
06
线段的垂直平分线
全等图形、全等三角形
全等图形、全等三角形
1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等多边形的面积相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个 三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意： （1）周长相等的两个三角形，不一定全等； （2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。
等腰三角形性质定理的推论
（1）等腰三角形的顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（即"等腰三角形 的三线合一"） （2）等边三角形各角都相等，并且每个角为60o。等边三角形三边对应的都 有"三线合一"的情况。
等腰三角形性质定理的推论
判定定理
1、定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等。（简 写成"等角对等边"）
直角三角形（Rt△）的判定
直角三角形（Rt△）的判定
02.
01.
1、有一个角是90o 的三角形是直角三角 形；
03.
2、一条边上的中线 等于这条边的一半的 三角形是直角三角形；
3、若a2+b2=c2， 则a、b、c为边的三 角形是直角三角形。
演讲人
目录
01
全等图形、全等三角 形
03
有三边对应相等的两 三角形全等。（即 SSS，"边边边"）
05
角平分线
02
全等三角形
04
直角三角形（Rt△） 的判定
06
线段的垂直平分线
全等图形、全等三角形
全等图形、全等三角形
1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等多边形的面积相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个 三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意： （1）周长相等的两个三角形，不一定全等； （2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。
等腰三角形性质定理的推论
（1）等腰三角形的顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（即"等腰三角形 的三线合一"） （2）等边三角形各角都相等，并且每个角为60o。等边三角形三边对应的都 有"三线合一"的情况。
等腰三角形性质定理的推论
判定定理
1、定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等。（简 写成"等角对等边"）
直角三角形（Rt△）的判定
直角三角形（Rt△）的判定
02.
01.
1、有一个角是90o 的三角形是直角三角 形；
03.
2、一条边上的中线 等于这条边的一半的 三角形是直角三角形；
3、若a2+b2=c2， 则a、b、c为边的三 角形是直角三角形。
初二数学《全等三角形完整复习》(最新课件)
并证明。
A
13
连接BO，AD 由（2）知：⊿ABC≌⊿DBF
4
FO
B(E)
C2
D
∴∠1=∠2，AB=DB,AC=DF
∴∠3=∠4
∴AO=DO
AO=DO BA=BD
⊿BＡO≌⊿BＤO
BO=BO
∠ＡBＯ=∠ＤBＯ
又ＡＢ＝ＤＢ，∴ＢＯ⊥ＡＤ，BO平分AD．即BO垂直平分AD.
初二数学《全等三角形完整复习》（最新课件）
7
例3 如图 点C在线段AB上，DA⊥AB， EB⊥AB ,FC⊥AB,且 DA=BC,EB=AC,FC=AB, ∠AFB=51°,求∠DFE的度数。
分析：
E
∠DFE= ∠AFB- ∠AFD- ∠EFB 证明：在Rt⊿DAB和Rt⊿BCF中 D
DA=BC
Rt⊿DAB≌Rt⊿BCF A
C
B
FC=AB
① ② ③ 论是 _________ E
M
C
⊿ABE≌⊿ACF ① ② AC=AB
1 A
2
F
D
B N
⊿ACN≌⊿ABM
⊿AEM≌⊿AFN
AM=AN
MC=NB ∠MDC= ∠NDB
⊿MDC≌⊿NDB CD=BD
DN=DM 初二数学《全等三角形完整复习》（最新课件）
4
例2、在⊿ABC中，AC=5,中线AD=4，则边AB的取值范围是（ ）
初二数学《全等三角形完整复习》
Dr.Feng
初二数学《全等三角形完整复习》（最新课件）
1
知识点 三角形全等的证题思路：
找夹角SAS 已知两边找直角HL
找另一边 SSS
边为角的对 找边 任一 角 AAS 已知一边 边一为角角的 找 找 找 邻夹 夹 边 边角 角 的 的 的 对A 另 另 角 AA SS一 一 ASA S边 角
《全等三角形》数学教学PPT课件(6篇)
加深理解
E A
F
B
C
∆ABC ≌ ∆FDE
对应顶点 对应顶点 对应顶点 对应角 对应角 对应角 对应边 对应边 对应边
41
课堂测试 1.如果∆ABC≌ ∆ADC，AB=AD，∠B=70°, BC=3cm,那么∠D=___7_0,D°C=____3cm
D
课堂测试
2、若△AOC≌△BOD，对应边是 应角是 ；
小组讨论完成
解：∵ △ABD ≌ △EBC，∴AB=EB，BD=BC, ∵BD=ED+EB ∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm.
三、巩固练习
基础练习（教材第三十二页练习1-2题）
四、课堂小结，请大家回顾一下：
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？学生充分讨论回答。
点评梳理：
（1）全等三角形的概念及表示方法； （2）全等三角形的性质及应用。
思考
将两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点
A
D
重合的边叫对应边
重合的角叫对应角
根据动画效果，你能说出
这两个全等三角形的对应顶点、
B
CE
F 对应边、对应角各是什么吗？
36
全等三角形表示
如果两个三角形全等，那么该如何表示吗？
A
D
右图中的∆ABC和∆DEF全等
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
五、课后练习
1、教材第33-34页，1-6题。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
人教版 数学（初中） （八年级 上）
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
E A
F
B
C
∆ABC ≌ ∆FDE
对应顶点 对应顶点 对应顶点 对应角 对应角 对应角 对应边 对应边 对应边
41
课堂测试 1.如果∆ABC≌ ∆ADC，AB=AD，∠B=70°, BC=3cm,那么∠D=___7_0,D°C=____3cm
D
课堂测试
2、若△AOC≌△BOD，对应边是 应角是 ；
小组讨论完成
解：∵ △ABD ≌ △EBC，∴AB=EB，BD=BC, ∵BD=ED+EB ∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm.
三、巩固练习
基础练习（教材第三十二页练习1-2题）
四、课堂小结，请大家回顾一下：
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？学生充分讨论回答。
点评梳理：
（1）全等三角形的概念及表示方法； （2）全等三角形的性质及应用。
思考
将两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点
A
D
重合的边叫对应边
重合的角叫对应角
根据动画效果，你能说出
这两个全等三角形的对应顶点、
B
CE
F 对应边、对应角各是什么吗？
36
全等三角形表示
如果两个三角形全等，那么该如何表示吗？
A
D
右图中的∆ABC和∆DEF全等
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
五、课后练习
1、教材第33-34页，1-6题。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
人教版 数学（初中） （八年级 上）
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八年级数学_全等三角形复习课件(高效1)_ppt
画△ ABC，其中AB=3cm， BC=5cm。 （2）若两个三角形有两个角对应相 等，那么这两个三角形是否全等？ 画△ ABC，其中∠ B=30°， ∠ C=70°。
（3）若两个三角形有一条边和一 个角分别对应相等，那么这两个 三角形是否全等？
画△ ABC，其中∠B= 60°， BC=3cm。
小结：两个三角形有两个相等 的部分（边或角），这两个三 角形 不一定全等 。
(3):已知两角---
义务教育课程标准实验教科书华东师大版
鹤壁市第四中学
王永传
回忆：怎样的两个三 角形全等？
1、能够完全重合的 两个三角形全等。 2、边、角分别对应 相等的两个三角形全 等。
试一试：如图，△ABC是等腰三
角形，AD是底边上的高，△ABD和 △ACD全等吗？试根据等腰三角形 的有关知识说明理由。
三角形全等的判定方法：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
你能指出上面 两个全等三角 形的对应顶点、 对应边、对应 角吗？
A
D
B
C
E
F
3、全等三角形的表示法
记作△ABC≌ △DEF，读作△ABC全等于△DEF 记两个三角形全等时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上。
“全等”用符号“≌ ”，表示图中的△ABC和△DEF全等，
注意
寻找各图中两个全等 三角形的对应元素。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
（3）若两个三角形有一条边和一 个角分别对应相等，那么这两个 三角形是否全等？
画△ ABC，其中∠B= 60°， BC=3cm。
小结：两个三角形有两个相等 的部分（边或角），这两个三 角形 不一定全等 。
(3):已知两角---
义务教育课程标准实验教科书华东师大版
鹤壁市第四中学
王永传
回忆：怎样的两个三 角形全等？
1、能够完全重合的 两个三角形全等。 2、边、角分别对应 相等的两个三角形全 等。
试一试：如图，△ABC是等腰三
角形，AD是底边上的高，△ABD和 △ACD全等吗？试根据等腰三角形 的有关知识说明理由。
三角形全等的判定方法：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等
（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
你能指出上面 两个全等三角 形的对应顶点、 对应边、对应 角吗？
A
D
B
C
E
F
3、全等三角形的表示法
记作△ABC≌ △DEF，读作△ABC全等于△DEF 记两个三角形全等时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上。
“全等”用符号“≌ ”，表示图中的△ABC和△DEF全等，
注意
寻找各图中两个全等 三角形的对应元素。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
八年级数学全等三角形复习课件(高效)-PPT
就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予
说明。
18
5.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？
A 解：∵AE=CF(已知)
∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)
即AF=CE
F
在△AFD和△CEB中，
AF=CE(已证)
∠AFD=∠CEB(已知)
17
三、熟练转化“间接条件”
判全等
A
D
5如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？
6.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，
AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？
E
FE
B
C
B
D
为什么？
C
A
7.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己
做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，
B
DF=BE(已知)
∴△AFD≌△CEB (SAS)
D E
C
19
6.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
解：∵ ∠CAE=∠BAD(已知)
E
D
∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
C
A
(等量减等量，差相等) 即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D(已知)
角”与
“对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
全等三角形复习课件
△ABC≌△DCB吗?说说理由
B 图（1） C
2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上， B
D
CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 O
A
∠B=20°,CD=5cm，则 ∠C= 20°,BE= 5.说cm说理由.
E C 图（2）
3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，若 A
D
AB=3cm，则CD= 3cm . 说说理由.
• 3、如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:① AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使 ΔABC≌ΔAED的条件有( )个.
• A.4
B.3
C.2
D.1
A
D
B
E
CF
E A
D
B C
C
E 1 A 2
B
D
全等判定的讨论 一、挖掘“隐含条件”判全等
AD
1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则
为什么？
解答
C
A
6、如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、 F、C在同一直线上，有下列四个论断： ①AD=CB，②AE=CF，③∠B＝∠D，④ ∠A＝∠C.请用其中三个作为条件，余下
一个作为结论，编一道数学问题，并写
出解答过程。
三、找“条件”判全等
• 1、已知：∠1=∠2，∠3=∠4，试说明： DB=DC．
）
• A、三条边对应相等
B、两条边及其对应夹角相等
• C、两角和一条边对应相等 D、两条边和一条边所对的角对 应相等
• （二）添“条件”判全等
• 1.已知AB//DE，且AB=DE，请你只添加一个条件，
使△ABC≌△DEF，你添加的条件是
《全等三角形》ppt复习课件资料
有两角和其中一个 角的对边对应相等的两
A
D
个三角形全等(可以
简写成“角角边”或 B
CF
E
“AAS”）。
知识梳理:
A
A
B
C
SSA不能
A
判定全等
B
C
D
B D
知识梳理: 直角三角形全等判定：HL
A
A′
B
C
B′
C′
二、几种常见全等三角形基本图形
A
D
AD
B
CE
如：课本P15 第2题 课本P16 第9题 课本P27 第8题
FB
E
C
F
平移
A E
D F
B
C
E B
A
E
C
D
B
D A
C
如：课本P16 第10题 课本P26 第3题
旋转
A
A
E
C
B
翻折
C
B
D
D A
DA
如：课本P10 第2题
B 课本P13 第2题
DE
CB
C
课本P15 第3题
找找复杂图形中的基本图形
E
GF
C
A
D
设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等 三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图 形，解题就会变得简便。
F
知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习课(共25张PPT)
【思维模式】在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明 这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这 两条线段或角在不可能全等的两个三角形中，还可寻求题目中的已 知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的．
例3： 第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中 ，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5． 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题； （2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也 好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分 线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等 的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书 后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有 关问题的时候，也能带来方便．
6． 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平 分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．
例3： 第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中 ，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5． 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题； （2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也 好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分 线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等 的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书 后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有 关问题的时候，也能带来方便．
6． 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平 分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．
八年级数学上册《三角形的全等》复习课PPT
《全等三角形》复习课
一、问题引入，知识梳理
如图，请大家用直尺和圆规画出∠AOB的角 平分线。
A
O
B
问题1：你能证明这样画出的射线就是角平分
线吗？
问题2：如图，射线OC是∠BOA的平分 线，PE⊥OB，PD⊥OA，你能得出哪些 结论？ 并说明理由。
本章主要知识结构图：
全等三角形的判定 三角形全等
全等三角形的性质
SSS ASA AAS SAS HL
线段相等
角相等
问题3：如图，有下列五个等量关系：①
AD=BC；②AC=BD；③CE=DE；④∠D=∠C；
⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件，
另三个中的一个为结论，写出一个正确的命
题，并证明。
D
C
E
A
B
二、探究应用,形成方法
问题4：如图，OC平分∠AOB，P是OC上一
点 ， D 是 OA 上 一 点 ， E 是 OB 上 一 点 ，
∠ODP+∠OEP=180°。求证
EB
问题5：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， AD=AB，CM⊥AD交AD的延长线于点M。求 证：2AM=AB+AC。
A
BD
C
M
三、交流归纳，能力升华
一、问题引入，知识梳理
如图，请大家用直尺和圆规画出∠AOB的角 平分线。
A
O
B
问题1：你能证明这样画出的射线就是角平分
线吗？
问题2：如图，射线OC是∠BOA的平分 线，PE⊥OB，PD⊥OA，你能得出哪些 结论？ 并说明理由。
本章主要知识结构图：
全等三角形的判定 三角形全等
全等三角形的性质
SSS ASA AAS SAS HL
线段相等
角相等
问题3：如图，有下列五个等量关系：①
AD=BC；②AC=BD；③CE=DE；④∠D=∠C；
⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件，
另三个中的一个为结论，写出一个正确的命
题，并证明。
D
C
E
A
B
二、探究应用,形成方法
问题4：如图，OC平分∠AOB，P是OC上一
点 ， D 是 OA 上 一 点 ， E 是 OB 上 一 点 ，
∠ODP+∠OEP=180°。求证
EB
问题5：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， AD=AB，CM⊥AD交AD的延长线于点M。求 证：2AM=AB+AC。
A
BD
C
M
三、交流归纳，能力升华
全等三角形复习课件2_ppt
gxf
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL)
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
A
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
B
D
即∠BCE=∠DCA
C
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS)
变式：以上条件不变，将
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上,
A
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
gxf
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
gxf
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL)
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
A
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
B
D
即∠BCE=∠DCA
C
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS)
变式：以上条件不变，将
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上,
A
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
gxf
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
gxf
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
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B A ND P E M F C
∴PD=PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等). (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ 的外角∠ 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和 如图 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证： 的平分线上． 求证：点F在∠DAE的平分线上．
回顾知识点： 回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（ 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”) SSS
边角边:两边 它们的夹角对应相等两个三角形全等（ 边角边 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可 简写成“ 简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成“ （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 可简写成“ 等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边： 斜边 直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 直角边 角形全等（ HL”) 角形全等（可简写成“HL )
(3):已知两角 已知两角--已知两角
角的平分线： 二.角的平分线： 角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法： 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质： 角平分线的性质： 角平分线的性质
2.角平分线的判定： 角平分线的判定： 角平分线的判定
交流平台
本节课你还有不理解的地方吗？ 本节课你还有不理解的地方吗？
A
B
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： A 如果……那么……） D 1 2 （1） ； E （2） ； 3
E B G D C F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
F E D
A B C
拓展题
9.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 请说明理由。
三角形全等的条件（复习） 三角形全等的条件（复习）
一.全等三角形： 全等三角形
1：什么是全等三角形？一个三角形经过 什么是全等三角形？ 哪些变化可以得到它的全等形？ 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？ 全等三角形有哪些性质？ 1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ）：全等三角形的对应边相等 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ）：全等三角形的周长相等 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 ）：全等三角形的周长相等、面积相等。 ）：全等三角形的对应边上的对应中线 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 ）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。 高线分别相等。
B 4 （第18题） C F
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=45°， ∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中 点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交 AF的延长线于E，求证：BC垂直且平 分DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路： 证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) ）：已知两边 （1）：已知两边 ）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 找这边的另一个邻角 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角 已知一边一角--已知一边一角 已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这个角的另一个边 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 找一角 已知角是直角，找一边 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找两角的夹边 找夹边外的任意边(AAS) 找夹边外的任意边 练习
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 要证明两条线段的和与一条线段 时常用的两种方法： 相等时常用的两种方法 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 、可在长线段上截取与 长线段上截取 中一条相等的一段， 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 余的线段与另一条线段相等。 （割） 2、把一个三角形移到另一位置， 、把一个三角形移到另一位置， 移到另一位置 两线段补成一条线段， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补） 它与长线段相等。（补 长线段相等。（
C
变式：以上条件不变， 变式：以上条件不变，将
绕点C旋转一定角度 △ABC绕点 旋转一定角度 绕点 大于零度而小于六十度）， （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？ 以上的结论海成立吗？
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ：如图，已知 在 上 ∠ ， 等于AD吗 为什么？ ∠3=∠4，那么 等于 吗？为什么？ ∠ ，那么AC等于
A G F D H C E
B
13.已知：如图21，AD∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 1):要正确区分“对应边” 1):要正确区分 对边” 对角”的不同含义； 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 ）：表示两个三角形全等时， 表示两个三角形全等时 字母要写在对应的位置上； 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 ）：要记住“有三个角对应相等” 要记住 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 公共角” （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 ）：时刻注意图形中的隐含条件， 时刻注意图形中的隐含条件 公共边” 对顶角” “公共边”、“对顶角”
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 ：如图，已知， ∥ ，请你从下面三个条件中， 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 只写出一种情况） （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： 已知： EG∥AF ∥ 求证： 求证： A
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全 ：如图，已知， ∥ ， ， 。
等三角形？请任选一对给予证明。 等三角形？请任选一对给予证明。 E
答：
D
△ABC≌△DEF ≌
证明： ∵ AB∥DE ∥
A F C B ∴ ∠A=∠D ∠ ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 和 中 AC=DF ∠A=∠D ∠ AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS） ≌ ）
知识回顾： 知识回顾：
包括直角三角形
全等的条件： 一般三角形 全等的条件： 解题 中常 用的 4种 方法 2.SSS； 3.SAS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 4.ASA； 5.AAS. 全等特有的条件： 特有的条件 HL. 直角三角形 全等特有的条件：
D
A
E
B
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, ∵BM是△ABC的角平分线,点P 的角平分线 BM上 在BM上,
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 在角的平分线上。 用法： 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 、如图： 中 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， 平分∠ ， ⊥ 交 于 ， BC=30，BD：CD=3：2，则 ， ： ： ， DE= 12 。 c
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH AD H FM BC M FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 ，C，D在一条 已知， 都是等边三角形， 已知 和 都是等边三角形 且点B， ， 在一条 直线上求证： 直线上求证：BE=AD E 证明： 证明 ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 和 都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∠ ° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE ∠ ∠ 即∠BCE=∠DCA ∠ 在△ACD和△BCE中 和 中 AC=BC ∠BCE=∠DCA ∠ DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ≌ ∴ BE=AD B D A
∴PD=PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等). (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ 的外角∠ 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和 如图 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证： 的平分线上． 求证：点F在∠DAE的平分线上．
回顾知识点： 回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（ 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”) SSS
边角边:两边 它们的夹角对应相等两个三角形全等（ 边角边 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可 简写成“ 简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成“ （可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 可简写成“ 等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边： 斜边 直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 直角边 角形全等（ HL”) 角形全等（可简写成“HL )
(3):已知两角 已知两角--已知两角
角的平分线： 二.角的平分线： 角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法： 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
1.角平分线的性质： 角平分线的性质： 角平分线的性质
2.角平分线的判定： 角平分线的判定： 角平分线的判定
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本节课你还有不理解的地方吗？ 本节课你还有不理解的地方吗？
A
B
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： A 如果……那么……） D 1 2 （1） ； E （2） ； 3
E B G D C F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
F E D
A B C
拓展题
9.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 请说明理由。
三角形全等的条件（复习） 三角形全等的条件（复习）
一.全等三角形： 全等三角形
1：什么是全等三角形？一个三角形经过 什么是全等三角形？ 哪些变化可以得到它的全等形？ 哪些变化可以得到它的全等形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 它的全等形。 2：全等三角形有哪些性质？ 全等三角形有哪些性质？ 1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ）：全等三角形的对应边相等 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ）：全等三角形的周长相等 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 ）：全等三角形的周长相等、面积相等。 ）：全等三角形的对应边上的对应中线 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 ）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。 高线分别相等。
B 4 （第18题） C F
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=45°， ∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中 点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交 AF的延长线于E，求证：BC垂直且平 分DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路： 证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) ）：已知两边 （1）：已知两边 ）：已知两边---- 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 找这边的另一个邻角 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角 已知一边一角--已知一边一角 已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这个角的另一个边 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 找一角 已知角是直角，找一边 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找两角的夹边 找夹边外的任意边(AAS) 找夹边外的任意边 练习
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 要证明两条线段的和与一条线段 时常用的两种方法： 相等时常用的两种方法 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 、可在长线段上截取与 长线段上截取 中一条相等的一段， 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 余的线段与另一条线段相等。 （割） 2、把一个三角形移到另一位置， 、把一个三角形移到另一位置， 移到另一位置 两线段补成一条线段， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补） 它与长线段相等。（补 长线段相等。（
C
变式：以上条件不变， 变式：以上条件不变，将
绕点C旋转一定角度 △ABC绕点 旋转一定角度 绕点 大于零度而小于六十度）， （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？ 以上的结论海成立吗？
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ：如图，已知 在 上 ∠ ， 等于AD吗 为什么？ ∠3=∠4，那么 等于 吗？为什么？ ∠ ，那么AC等于
A G F D H C E
B
13.已知：如图21，AD∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 1):要正确区分“对应边” 1):要正确区分 对边” 对角”的不同含义； 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 ）：表示两个三角形全等时， 表示两个三角形全等时 字母要写在对应的位置上； 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 ）：要记住“有三个角对应相等” 要记住 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； 公共角” （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 ）：时刻注意图形中的隐含条件， 时刻注意图形中的隐含条件 公共边” 对顶角” “公共边”、“对顶角”
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 ：如图，已知， ∥ ，请你从下面三个条件中， 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 只写出一种情况） （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： 已知： EG∥AF ∥ 求证： 求证： A
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全 ：如图，已知， ∥ ， ， 。
等三角形？请任选一对给予证明。 等三角形？请任选一对给予证明。 E
答：
D
△ABC≌△DEF ≌
证明： ∵ AB∥DE ∥
A F C B ∴ ∠A=∠D ∠ ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 和 中 AC=DF ∠A=∠D ∠ AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS） ≌ ）
知识回顾： 知识回顾：
包括直角三角形
全等的条件： 一般三角形 全等的条件： 解题 中常 用的 4种 方法 2.SSS； 3.SAS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 4.ASA； 5.AAS. 全等特有的条件： 特有的条件 HL. 直角三角形 全等特有的条件：
D
A
E
B
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, ∵BM是△ABC的角平分线,点P 的角平分线 BM上 在BM上,
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 在角的平分线上。 用法： 用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 、如图： 中 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， 平分∠ ， ⊥ 交 于 ， BC=30，BD：CD=3：2，则 ， ： ： ， DE= 12 。 c
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH AD H FM BC M FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 ，C，D在一条 已知， 都是等边三角形， 已知 和 都是等边三角形 且点B， ， 在一条 直线上求证： 直线上求证：BE=AD E 证明： 证明 ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 和 都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∠ ° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE ∠ ∠ 即∠BCE=∠DCA ∠ 在△ACD和△BCE中 和 中 AC=BC ∠BCE=∠DCA ∠ DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ≌ ∴ BE=AD B D A