导数学习误区分析
导数学生可能存在的问题 典型例题
导数学生可能存在的问题典型例题导数是微积分中的一个重要概念,它与几何、物理等多个领域密切相关。
虽然导数在高中阶段已经开始学习,但是许多学生在学习过程中经常会遇到一些常见的问题。
下面将列举一些导数学生可能存在的问题,并且给出一些解决这些问题的建议。
1.导数的概念理解:许多学生在初学导数时往往对导数的概念和意义理解不深,导致后续的学习困难。
导数可以理解为函数某一点的瞬时变化率,可以用来描述函数曲线在某一点的斜率。
一个典型的例题是给出一个函数,要求计算某一点的导数。
解决建议:在教学中,可以结合具体的实际问题来引入导数的概念。
同时,可以使用图形、几何等方式辅助学生理解导数的意义。
2.导数的计算方法:许多学生在计算导数时容易出错或迷失方向。
导数的计算方法有很多种,包括用定义法、使用公式和规则等。
在实际计算中,可能需要运用到多个方法,例如求导法则、链式法则等。
解决建议:在教学中,可以以简单的函数为例,逐步引导学生掌握不同计算方法。
同时,可以通过大量的练习来加强对计算方法的理解和应用能力。
3.导数应用问题:导数作为一个重要的数学工具,有很多应用领域,例如最值问题、曲线的切线和法线、图形的凸凹性判断等。
但是,许多学生在面对这些应用问题时,往往感到头疼和困惑。
解决建议:在教学中,可以通过引入实际问题的例子来让学生了解导数在不同领域的应用。
并且,可以提供一些辅助工具和方法,例如画图、曲线的性质分析等,帮助学生更好地理解和解决应用问题。
4.极限的理解和运用:导数的概念与极限密切相关,而极限又是许多高阶数学概念的基础。
因此,许多学生在学习导数时也容易困惑极限的理解和运用。
解决建议:在教学中,可以通过引入极限的概念和性质,帮助学生深入理解导数与极限之间的联系。
同时,可以通过大量的例题和练习来加强学生对极限的理解和运用能力。
总结起来,导数学习中的问题主要包括导数的概念理解、计算方法、应用问题和极限的理解和运用。
针对这些问题,教师可以通过选用合适教材和教学方法,引入实际问题和辅助工具,加强学生的练习和实践,帮助学生克服困惑,提高导数的学习效果。
导数在高中数学中的应用误区
导数在高中数学中的应用误区万琨摘要: 导数是高中数学新增内容,它是中学数学与高等数学的连接点,所以学好导数有利于高中毕业生进入高等学府后的再教育。
但是从每年的高考试题分析来看,相当一部分的学生在有关导数的试题上失分较多,实际上这些试题并不太难.原因在哪里呢?本文试图对近几年出现的一些具体题型加以分析。
关键词: 导数; 误区; 极值; 最值; 单调性1.引言导数的思想最初是由法国著名的数学家费马为研究极值问题提出来的。
微积分是数学的重要分支,导数是微积分的一个重要的组成部分。
一方面,不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具,而且,在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。
另一方面,微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。
在上个世纪,导数曾经编入中学数学教材,但是由于教育改革,步入上个世纪九十年代,导数在中学数学教材中又删去了。
但是我们知道导数对于考察同学们的数学思维有着其他高中数学内容所无法替代的作用。
因此随着时代的发展,随着经建设的日益提高、随着高校对人才的选拔需、随着新课程改革的进一步深入、随着西方的现代教育思想的引如、随着体现教育以人为本的思想、导数又重新选编入中学数学教材。
它的选如恰似一股春风吹如人的心田,使人清爽气颐、它的选入犹如犹如长期处于黑暗之中的人见到光明一样,心中充满期待与高兴,它的选入犹如一股新鲜的血液注入人的体内,使人精神焕发,朝气蓬勃。
导数是高中数学和高等数学衔接的纽带,它有利于克服中学数学与高等数学脱节的现象,有利于克服中学尖子生进入高校后对数学产生厌恶之感的现象,使进入高校的新生不在对高等数学有畏惧的心理。
导数作为新内容引入中学数学教材,使广大师生、教研员、命题爱好者为之精神振奋。
尽管它属于高三选修的内容,但因为它对考察学生的数学思维具有积极的推动的作用,因此有关导数的一类新题型深受命题者的青睐。
导数解题中的几个典型错误
1 故 所求 切 线 方 程 为 , 4 x—Y一4— 0 或 —Y+ 2= 0 .
评注: 若求某 点处 的切线方程, 则该点必为
切 点 ; 求 过 某 点 的切 线 方 程 , 无 论该 点是 否 若 则
3a + b c) 立得 20 年亚太 地区数学奥 (b c a, - 4 04 林 匹克竞赛 中的一道不等式题 目:
对于任意正实数 a b C 均有 、、,
( ) ) ) (b c c) a +2( +2( +2 ≥9a +b a. 6 c - 4 例 7 ( 数学通报》2 1 年第 9 1 7 题) 《 00 期 82
也就是 ( +2(。 2 ≥ 3a +b +1. a ) + ) (。 。 ) 6 于是, 应用柯西不等式得 ( ) 。 -)c 42 a +2( 42( ) b 2 -
=
于是, a 有 i≥ a, j 且0≤ tnO 一 )≤ a(  ̄
tn a 一 2一 < 03 即 .,
2 1年第 4 02 期
数 学教 学
—9 2
导数 解 题 中的几 个典 型 错 误
8 02 新疆乌鲁木齐兵团二中 张国治 30 0
导数是新课程高考和竞赛 的重 点内容之一, 解析: 易知点P(,) 曲线 : 1 +4上 24 在 。
,
也是初等数 学与高等数学 的重要衔接 内容・学
≥3a +b +1( +2 ( )c ) 3a ( +b +1( -1 4C) )1 4 -
—— O n t ・. . 0 ≤ —4 t 二 i a i < 0 3 1- —— O
an
≥3a b ), ( +c - 4 故有 ( ) ) +2 a +2( +2( 6 c )≥3a+b ( +
导数中的常见错误例例析 - 镇江市教育信息网.
本题中, 当a 3, b 3时, f ( x) 3x 6 x 3 3( x 1) 0
2 2
恒成立, 故应舍去。
正确答案:a=4,b=-11.
11
本题小结:
本题说明用导数求函数极值 时一定要判断某函数值是不 是极值,要检验相关区间内 导数的符号。
12
三、误解函数单调递增(减)的 充要条件
例3、已知函数f(x)为[1,+∞)内的增函 数,求实数a的取值范围,其中函 3 数 f ( x) ax ax 1
13
某解:∵当 x 1 时, f '( x) 3ax2 a 0 恒成立, 即 又∵ 当
a(3x2 1) 0 恒成立。
x 1 时,3x 1 0,
2
∴
a 0.
14
剖析:因为y’>0(y’<0)是y在某个区间内递 增(减)的充分条件而不是充要条件,所 以对求解单调区间的问题,用y’>0(y’<0) 或 y 0( y 0)来求解都有问题。正确 的解法是:先看y’>0(y’<0)的情况,然 后验证 f '( x) 0 的情况。
25
剖析:根据曲线切线的定义,曲 线的切线与曲线的交点个数未必 为1。一般地,若点A在曲线上时, 以点A为切点的切线是一条,过 点A的切线可能有多条;若点A 不在曲线上时,则只能求出过点 A的切线。
26
正解:经过点P(1,3)的曲线的切 线方程有两种情形。 1、以P点为切点时,易知切线方程为
2 x y 1 0;
此题就是错在对函数在x=1处是否连 续没有进一步研究,显然函数在x=1处 是连续的,所以函数的单调递增区间是 (0,+ ∞)。
导数中常见错误剖析
一 ~ 1 .
1 ~
是 厂 ( ) 一 。的极值.
、
函 数 求导 法 则 掌 握 不 准 致错
【 例 2 】 已知 一 3 ( x 。 +1 ) 。 +2 ( z +1 ) +( 。 +1 ) 35 , 求 Y .
际 问题 .
一
,
则 过 点
~
P( 2 , 4 ) 的切 线方程 是
错解 : 。 . 。 Y 一 .
、
导数 的 定 义理 解 不透 致错
【 例 1 】 若 . ( 。 ) 一2 , 则 l i a丛 r
一
( 2 ) 一4 , . ’ . 过 点 P( 2 , 4 ) 的 切线 方 程 为 : 一4
一
1 .
评析 : 已知 点 P( 2 , 4 ) 在 曲线上 , 但 P ( 2 , 4 ) 也 不 一 定
评析: 一厂 ( ) 在点 z 。 处的导数 厂( 。 ) 一
例 中与 A y =f ( x 。 -k ) 一- 厂 ( ) , 对应 的 自变量增量 为
一
,
为切 点 , 如 图 1所 示 , Z 为 曲线 C 过 P ( z 。 , ) 的切 线 , 但
其 中函数增量 △ 与 自变量增量△ z之 间必须相对应 , 上
o 一 是一 zo 一 一是 .
P( x 。 , Y o ) 不 是 切 点. 另 外 审 题 时要 注 意 “ 在 P 点 处 的 切
线” 与“ 过 P 点的切 线” 是有 区别 的, 前者 P 为切 点, 后 者
则不一定.
四、 对 函数 极 值 概 念 缺 乏正 确 的理 解 致错
导数学习中几个易错点
导数学习中几个易错点一、定义的理解与应用例1.已知函数f (x )=2x 3+5,求0(23)(2)lim x f x f x∆→-∆-∆。
分析:本题很容易这样做: ∵()f x '=6x 2,∴0(23)(2)lim x f x f x∆→-∆-∆=(2)f '=24,或者0(23)(2)limx f x f x∆→-∆-∆=30(23)(2)lim3x f x f x∆→-∆-∆=3(2)f '=72。
这两种做法都是错误的,错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。
解:∵()f x '=6x 2, ∴0(23)(2)limx f x f x∆→-∆-∆=-30[2(3)](2)lim3x f x f x∆→+-∆--∆=-3(2)f '=-72。
评注:当x ∆是x 在x 0处的增量时,-3x ∆也是x 在x 0处的增量。
本题的正确做法是视-3x ∆为增量,套用导数定义求得极限。
二、单调递增就是导数大于零例2.已知向量a=(2x ,x+1),b= (1-x ,t)若函数)(x f =a ·b 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围。
错解:依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(,t x x x f ++-='23)(2。
若)(x f 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设)(x f '>0。
∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当(1)10f t '=->,且(1)50f t '-=->时,)(x f '在(-1,1)上满足)(x f '>0,即)(x f 在(-1,1)上是增函数。
故t 的取值范围是t>5。
剖析:若)(x f '>0,则)(x f 在R 上是增函数反之不成立。
导数中的常见错误例析PPT优秀课件
89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
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五、求切线方程时,把在某点处的 切线与过某点的切线混淆
求函数y=f(x)的图像的切线方程是导数的 重要应用之一。当点P在曲线y=f(x)上时, 求过点P的切线方程有以下两种可能情 形:一是P点就是切点,二是切线以曲 线y=f(x)上另一点为切点,但该切线经 过点P。注意:曲线在点P处的切线,就 是只指前一种情形。
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。
拨开迷雾见真知——求导运算中常见错误剖析
三 二 二
错认 为等 于 ( 1 ) 而 出错 , 原 因是 对 导数 的 定
义 理解不 到位. 此题 中, 可 以看作一 个有 形
正 解 f ( ) 一z ・ 2 +z ・ ( 2 ) 一2
+ x2 ・l n 2一 ( 1+ xl n2 ) ・2 .
方 法. 例 2 函 数 厂( ) : .2 的导数 为
±垒 二
Ax
一
— — — — — — — — 一‘
错 解 f ( z ) 一 ・ ( 2 ) 一2 一 l n 2 . 锚 因l 分 析 本题因导数的运算法则用
错 而导 致 出错 . 两个 函数 相 乘 的导 数 : [ / ( )
运 算 法 则 一 个 劲 儿 往 前 冲 . 其 实 可 以 ( )
一( 2 ~) 一 一2 ~ ・l n 2 ( 注 意 指 数 上 是 一 ) ,
对 于锻 炼我 们 的 运算 能 力 , 巩 固求 导 运算 法
帮 助. 例 4 函数 —z. e ~一 的 导数 为
求 导运 算 是 学 习后 续 导 数 知识 的基 础 ,
程 无疑 是基 础 中的基础 . 例 1 已 知 函 数 f( )一 z ,则
迷雾二: 运算法贝 I J 堡 筻
学 习一 个新 知 识 , 在 理 解 透 彻 其 定 义
我们 需 要牢 牢 掌 握 使 用 这 个 “ 新武器” 的 而 理解 导数 定 义 、 理 清 这 个 新 定 义 的 形 成 过 后 ,
指 t 点 迷 津 正确识记常用函数的导数 ( 2 ・ 去 ) 一 ・ 去 + 2 ・ ( ) = = : 2 x + 公 式 后 , 仔细审题 、 对 题 干 细 节 倍 加 关 注 是
高二数学选修2-2(B版)-导数应用中的两个“误区”
导数应用中的两个“误区”误区之一:把“导数值为0的点”等同于“极值点”满足0()0f x '=的点0x x =是其为极大(小)值点的必要不充分条件,如果把导数值为0的点等同于极值点,往往容易导致失误.例1 函数23()(1)2f x x =-+的极值点是( )(A )1x = (B )1x =-(C )1x =或1-或0 (D )0x =误解:642()331f x x x x =-++,则由53()61260f x x x x '=-+=得极值点为1x =,1x =-和0x =,故正确答案为(C ). 剖析:事实上,这三点都是导数值为0的点,但是不是极值点呢?由5322()61266(1)(1)f x x x x x x x '=-+=+-知,当(1)x ∈--∞,时,()0f x '<;当(10)x ∈-,时,()0f x '<;当(01)x ∈,时,()0f x '>;当(1)x ∈+,∞时,()0f x '>.()f x 在(1)(10)---∞,,,上单调递减,在(01)(1)+,,,∞上单调递增.因此只有0x =为极小值点,1x =-和1x =都不是极值点.故应选(D ).例2 已知函数4322()2432x b a f x x x ax +=+-+在点1x =处取极值,且函数4321()432x b a g x x x ax -=+--在区间(623)a a --,上是减函数,求实数a 的取值范围.误解:32()(2)2f x x bx a x a '=+-++,由(1)0f '=,得1b a =-,∴32()(1)g x x bx a x a '∴=+---32(1)(1)x a x a x a =+----2()(1)x a x x =-++当x a <时,()0g x '<,()g x 在()a -∞,递减,∴(623)()a a a --⊆-,∞,∴623a a a -<-≤,故所求a 的范围为33a -<≤.剖析:以上解法忽略了一个细节:解题过程只用到(1)0f '=,即1x =是()f x 的导数值为0的点.当1b a =-时,32()(1)(2)2(1)(2)()f x x a x a x a x x x a '=+--++=-+-,如果1a =,那么1x =就只是导数值为0的点而非极值点.因此a 的取值范围应为33a -<≤且1a ≠.误区之二:判断单调性时忽略特殊情形当()f x '在某区间D 上恒大于0时,函数()f x 在D 上为增函数.若反过来,结论如何呢?例3 已知函数322()(41)(1527)23x f x m x m m x =--+--+在实数集R 上是增函数,求实数m 的取值范围.误解:22()2(41)1527f x x m x m m '=--+--,依题意,()f x '在R 上恒大于0,所以24(68)0m m ∆=-+<,得24m <<.剖析:当()0f x '>时,()f x 是增函数,但反之并不尽然.如3()f x x =是增函数,2()3f x x '=并不恒大于0(0x =时,(0)0f '=).因此本题应该有()f x '在R 上恒大于0或个别值等于0,所以24(68)0m m ∆=-+≤,得24m ≤≤.。
注意导数应用中的几个误区
注意导数应用中的几个“误区”江苏省姜堰中学 张圣官(225500)现行高中数学教材第一次将导数知识引入了其中作为必学内容。
确实的,在探究函数的特征(如求函数的极值和判断单调性)时,导数的引进无疑给这方面的学习与研究注入了新的活力,但同时由于概念不清而致误的情形也时常发生,不少参考资料上有时也难免“大意失荆洲”而出现错误。
本文拟对导数应用中常见的几个误区进行剖析,以期引起大家的重视。
误区之一:把“驻点”等同于“极值点”满足0)(0='x f 的点x=x 0(称为驻点)只是它为极大(小)值点的必要而不充分条件,如果一味地把驻点等同于极值点,往往容易导致失误。
例1 函数f(x)=(x 2-1)3+2的极值点是 ( )(A ) x=1 (B )x=-1(C ) x=1或-1或0 (D )x=0误解: f(x)=x 6-3x 4+3x 2+1 ,∴由=')(x f 6x 5-12x 3+6x=0得极值点为x=1,x=-1和x=0,故正确答案为(C )。
剖析:事实上,这三点只是驻点,是不是极值点呢?由)(x f '=6x 5-12x 3+6x=6x(x+1)2(x-1)2知,当x ∈(-∞, -1)时,)(x f '<0 ;当x ∈(-1, 0)时,)(x f '<0 ;当x ∈(0, 1)时,)(x f '>0 ;当x ∈(1, +∞)时,)(x f '>0。
f(x)在(-∞,-1)、(-1,0)单调递减,在(0,1)、(1,+∞)单调递增。
因此只有x=0为极小值点,x=-1或1都不是(称为拐点)。
故应该选(D )。
例2 若函数f(x)=x 4-ax 3+x 2-2有且仅有一个极值点,求a 的取值范围。
误解:令)(x f '=4x 3-3ax 2+2x=x(4x 2-3ax+2)=0得,x=0或4x 2-3ax+2=0 ,∵f(x)有且仅有一个极值点,∴4x 2-3ax+2=0无实根,∴⊿=9a 2-32<0,即a ∈()324324,- 。
导数中常见错误剖析
导数中常见错误剖析
导数是微积分中的重要概念,许多学生在学习中发现,掌握这一概念要花费许多宝贵的时间和精力,同时也容易出现各种各样的错误。
本文将从两个方面讨论导数中常见的错误:用错概念和计算错误。
一、用错概念
对于导数来说,首先要明确一个概念:导数表示的是函数在某一点的变化率,而非函数在某一点的值。
许多学生易混淆这两个概念:当他们计算函数在某一点的导数时,容易将函数的值误以为是该点的导数。
其实,若要确定函数的某点的导数,应该看函数的斜率,而不是函数的值。
另外,学生要能够在计算导数的时候,能够明确概念,例如在计算函数的导数的时候要知道什么是函数。
有时候,学生犯概念性错误:他们认为平面上任意一条直线都是函数,或者把某个不满足函数定义的式子当成函数来计算它的导数,这是错误的。
二、计算错误
许多学生在计算导数的时候,会犯计算错误。
这其中最主要的原因是粗心大意。
例如,在计算函数在某点处的导数时,学生常常会忘记把求导的变量表达式带入函数,而只是把变量的值代入函数,从而得到错误结果。
另外,学生也容易把微分方程看成普通的等式,把其解写成普通等式而不是多元函数,这样就得不到准确结果。
实际上,在计算导数的时候,要进行多次计算,每一步都要认真仔细。
总之,在计算导数的时候,要明确概念,注意细节,仔细算完每
一步,避免出现错误。
只有在正确认识和理解概念的基础上,并做出正确的计算,才能确保得到正确的结果。
函数的导数教学反思
函数的导数教学反思背景导数是高等数学中一个重要的概念,对于理解函数的变化趋势和计算斜率具有重要作用。
在本学期的函数导数教学中,我担任助教角色,负责指导学生掌握导数的概念和计算方法。
经过一段时间的教学实践,我深感在教学过程中存在一些问题,因此进行了反思和总结,以期提高教学质量和效果。
问题分析1. 学生对导数概念理解模糊:在教学过程中,发现很多学生对导数的概念存在模糊理解。
他们往往只记住公式,却不了解导数的本质含义。
这导致他们在实际问题中无法正确运用导数概念进行分析和计算。
学生对导数概念理解模糊:在教学过程中,发现很多学生对导数的概念存在模糊理解。
他们往往只记住公式,却不了解导数的本质含义。
这导致他们在实际问题中无法正确运用导数概念进行分析和计算。
2. 计算方法难以理解:学生对导数的计算方法普遍感到困难。
他们在应用导数公式时容易出错,对于复杂函数的导数计算更加困难。
这使得他们对导数的实际应用能力受到限制。
计算方法难以理解:学生对导数的计算方法普遍感到困难。
他们在应用导数公式时容易出错,对于复杂函数的导数计算更加困难。
这使得他们对导数的实际应用能力受到限制。
3. 缺乏实际问题的联系:仅仅停留在理论层面的导数教学,往往使学生对导数的应用能力产生怀疑。
他们难以将导数与实际问题联系起来,从而无法体会导数在各个领域中的实际意义。
缺乏实际问题的联系:仅仅停留在理论层面的导数教学,往往使学生对导数的应用能力产生怀疑。
他们难以将导数与实际问题联系起来,从而无法体会导数在各个领域中的实际意义。
解决策略为了解决上述问题,我提出以下教学策略:1. 启发式教学方法:在教学过程中,首先引导学生思考导数的本质意义,通过实例让他们体会导数的定义和作用。
避免仅依赖记忆公式的机械计算,而是鼓励学生运用具体问题进行分析和推导。
启发式教学方法:在教学过程中,首先引导学生思考导数的本质意义,通过实例让他们体会导数的定义和作用。
避免仅依赖记忆公式的机械计算,而是鼓励学生运用具体问题进行分析和推导。
导数学生可能存在的问题 典型例题
导数是高中数学中的重要内容,它在物理、化学、经济学等多个学科中都有着广泛的应用。
然而,许多学生在学习导数的过程中会遇到一些常见问题,导致他们对这一概念的理解产生困难。
接下来,我将从深度和广度这两个角度来对导数学生可能存在的问题进行全面评估,并根据此展开撰写一篇有价值的文章。
一、深度篇1. 基础概念理解不清导数的概念是很多学生觉得抽象和难以理解的地方之一。
在学习导数的初期,他们可能对导数的定义、图像和意义不够清晰。
学生常常困惑于 "导数是什么?" "它代表了什么意义?" "如何求导数?" 等问题。
这会导致学生对导数的理解出现空白,甚至在后续的学习中产生困难。
2. 求导规则和方法掌握不到位在学习导数的过程中,学生还需要掌握各种求导的规则和方法,如常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
然而,很多学生可能由于记忆不足、理解不够深入或者没有足够的练习,导致在应用这些规则时出现错误或者不熟练。
3. 应用题难度递进随着学习的深入,学生需要应用导数解决各种问题,比如求函数的最值、函数的单调区间、函数的凹凸性和拐点等。
这些问题的解决需要对导数的理解和运用达到一定的深度和广度,但许多学生可能在应用问题的过程中遇到困难,不知道如何下手或者求解步骤存在错误。
二、广度篇1. 衍生知识的不足学习导数需要一些衍生知识的支持,比如极限、函数的连续性、函数的导数和微分、导函数和原函数的关系等。
然而,很多学生可能并没有完全掌握这些知识,导致在学习导数的过程中出现理解和应用上的不足。
2. 解题思路的迷茫导数学习中的典型例题通常包括基本函数的求导、函数的性质分析、应用题的解答等。
然而,学生在解题的过程中可能会出现解题思路的迷茫,不清楚该如何运用所学的知识点进行解题。
3. 考试应试技巧的不足导数学习中的考试应试技巧也是一个重要的问题。
学生可能在考试前没有合适的复习方法、时间规划策略和解题技巧,导致在实际考试中失误较多,影响了成绩的发挥。
导数及应用求解中的“误区警示”
导数及应用求解中的 误区警示侯有岐(汉中市四ʻ五学校ꎬ陕西汉中723312)摘㊀要:文章通过举例剖析导数及应用求解中常见的误区ꎬ剖析其出错的原因ꎬ并给出警示.关键词:导数及应用ꎻ误区ꎻ警示中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2024)01-0074-06收稿日期:2023-10-05作者简介:侯有岐(1968.11-)ꎬ男ꎬ陕西省扶风人ꎬ本科ꎬ中学特级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:陕西省第四批基础教育教学名师培养工作专项课题 三新 背景下农村薄弱学校高中生数学运算素养培养的策略研究 ㊀㊀导数是研究函数的重要工具ꎬ在历年高考中都占据着重要的地位ꎬ而且这部分知识既有难度较大的填空题ꎬ也有计算繁琐的解答题.由于学生对一些概念理解不透㊁审题不严㊁考虑不周或忽视结论成立的条件等产生思维混乱ꎬ导致求解失误.本文对导数及应用求解中的常见误区分类例析ꎬ剖析其出错的原因ꎬ并给出警示ꎬ希望能引起同学们的高度重视.1对导数的定义理解不到位致错例1㊀已知函数f(x)=14x4-3x-2ꎬ则limәxң0f(1+2әx)-f(1)әx=.错解㊀因为limΔxң0f(1+2әx)-f(1)Δx=fᶄ(1)ꎬ且由导数的定义可得fᶄ(x)=x3-3.所以fᶄ(1)=-2.剖析㊀在导数定义中ꎬ增量әx的形式是多种多样的ꎬ但无论如何变化ꎬ其实质是分子中x的增量与分母中x的增量必须一致ꎬ否则必须通过一些恰当的变形使之一致.本例分子中x的增量为2Δx(即1+2Δx-1=2Δx)ꎬ而分母中x增量为Δx[1].正解㊀由导数的定义可得fᶄ(x)=x3-3ꎬ所以limΔxң0f(1+2Δx)-f(1)Δx=limΔxң0f(1+2Δx)-f(1)2Δxˑ2=2fᶄ(1)=-4.警示㊀fᶄ(x0)=limΔxң0ΔyΔx=limΔxң0f(x0+Δx)-f(x0)Δx表示函数f(x)在某一点x0处的导数ꎬ即函数在点x0处函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限ꎬ分子分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致ꎬ且必须是非零的变量ꎬ它可以是2Δxꎬ-12Δx等.在导数定义中应特别注意 Δx 与 Δy 的对应形式的多样性ꎬ但不论哪种形式都应突现 Δx 与 Δy 的一致性.2忽视函数的定义域致错例2㊀函数y=-1x+lnx的单调递增区间为.错解㊀由已知得yᶄ=1x2+1x=x+1x2ꎬ令x+1x2>0ꎬ解得x>-1ꎬ故该函数的增区间为(-1ꎬ+ɕ).剖析㊀没有考虑函数y=-1x+lnx的定义域.正解㊀函数y=-1x+lnx的定义域为(0ꎬ+ɕ)ꎬyᶄ=1x2+1x=x+1x2ꎬ令x+1x2>0ꎬ解得x>-1ꎬ故函数的增区间为(0ꎬ+ɕ).警示㊀解决函数类问题一定要养成 定义域优先 的习惯ꎬ否则很容易造成解题错误.3复合函数的求导不彻底致错例3㊀设函数f(x)=cos(3x+φ)ꎬ其中常数φ满足-π<φ<0ꎬ若函数g(x)=f(x)+fᶄ(x)(其中fᶄ(x)是函数f(x)的导函数)是偶函数ꎬ则φ等于(㊀㊀).A.-π3㊀B.-5π6㊀C.-π4㊀D.-2π3错解1㊀由题意得fᶄ(x)=3sin(3x+φ)ꎬ则g(x)=f(x)+fᶄ(x)=cos(3x+φ)+3sin(3x+φ)=2cos(3x+φ-π3).因为函数g(x)为偶函数ꎬ所以φ-π3=kπ(kɪZ)ꎬ解得φ=kπ+π3(kɪZ).又-π<φ<0ꎬ所以φ=-2π3.故选D.错解2㊀由题意得fᶄ(x)=-sin(3x+φ)ꎬ则g(x)=f(x)+fᶄ(x)=cos(3x+φ)-sin(3x+φ)=2cos(3x+φ+π4).因为函数g(x)为偶函数ꎬ所以φ+π4=kπ(kɪZ)ꎬ解得φ=kπ-π4(kɪZ).又-π<φ<0ꎬ所以φ=-π4.故选C.剖析㊀复合函数的求导应该按求导法则由外及里层层求导ꎬ直到求导到自变量x为止.错解的原因是f(x)的导函数求错了ꎬ事实上fᶄ(x)=-3sin(3x+φ).正解㊀由题意得g(x)=f(x)+fᶄ(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2cos(3x+φ+π3).因为函数g(x)为偶函数ꎬ所以φ+π3=kπ(kɪZ)ꎬ解得φ=kπ-π3(kɪZ).又-π<φ<0ꎬ所以φ=-π3.故选A.警示㊀复合函数求导时ꎬ选择中间变量是关键ꎬ必须正确分析复合函数的复合层次ꎬ然后从外向里逐层求导ꎬ求导后ꎬ要把中间变量转换成自变量的函数.出错原因往往是由于在复合函数求导时ꎬ复合过程划分不彻底产生的.4混淆 过某点 的切线与在 某点处 的切线例4㊀求过点A(2ꎬ-2)ꎬ且与曲线f(x)=3x-x3相切的直线方程.错解㊀经检验点A(2ꎬ-2)在曲线f(x)上ꎬ求导得fᶄ(x)=3-3x2ꎬ所以切线的斜率为fᶄ(x)=-9ꎬ故切线方程为y+2=-9(x-2)ꎬ即9x+y-16=0.剖析㊀错解混淆了 过某点 与 在某点 处的切线的概念ꎬ尽管点A在曲线上ꎬ但题目要求的是 过 点A的切线ꎬ因此应考虑A(2ꎬ-2)是切点和不是切点两种情况ꎬ所以用 切点待定法 求解.正解㊀设切点坐标为Mx0ꎬ3x0-x30()ꎬ则切线斜率为k=fᶄ(x0)=3-3x20.则在点M处的切线方程为y-3x0+x30=(3-3x20)(x-x0).因为点A(2ꎬ-2)在切线上ꎬ将点A(2ꎬ-2)代入得-2-3x0+x30=(3-3x20)(2-x0).化简ꎬ得x30-3x20+4=0.即(x0+1)(x0-2)2=0.解得x0=-1或x0=2.所以切线方程为y=-2或9x+y-16=0.警示㊀(1)曲线的切线不一定和曲线只有一个交点ꎻ(2) 在 某一点的切线和 过 某一点的切线是两个不同的概念ꎻ(3) 在 某一点的切线若有则只有一条ꎬ而 过 某一点的切线往往不只是一条ꎬ一般用 切点待定法 求解ꎬ如本题.5混淆 导数为0 与 有极值 的逻辑关系㊀㊀例5㊀已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0ꎬ则m+n=(㊀㊀).A.4㊀㊀B.11㊀㊀C.4或11㊀㊀D.3或9错解㊀因为fᶄ(x)=3x2+6mx+nꎬ由题意得fᶄ(-1)=0ꎬf(-1)=0ꎬ{即3-6m+n=0ꎬ-1+3m-n+m2=0ꎬ{解得m=1ꎬn=3ꎬ{或m=2ꎬn=9.{故m+n=4或11.故选C.剖析㊀错解对 导数为0 与 有极值 的逻辑关系分辨不清ꎬ把 极值点 等同于 导数的零点 ꎬ没有把求出的mꎬn值代入检验.事实上ꎬfᶄ(x)=0的点只是可导函数f(x)极值点的必要不充分条件.正解㊀因为fᶄ(x)=3x2+6mx+nꎬ由题意得fᶄ(-1)=0ꎬf(-1)=0.{即3-6m+n=0ꎬ-1+3m-n+m2=0.{解得m=1ꎬn=3ꎬ{或m=2ꎬn=9.{当m=1ꎬn=3{时ꎬfᶄ(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2ȡ0ꎬ不合题意ꎬ舍去ꎻ当m=2ꎬn=9{时ꎬfᶄ(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1).令fᶄ(x)>0ꎬ得x<-3或x>-1ꎻ令fᶄ(x)<0ꎬ得-3<x<-1.所以f(x)在(-ɕꎬ-3)ꎬ(-1ꎬ+ɕ)上单调递增ꎬ在(-3ꎬ-1)上单调递减ꎬ符合题意.则m+n=2+9=11.故选B.警示㊀fᶄ(x0)=0是可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要不充分条件ꎬ导数为0的点只是可导函数存在极值的可疑点ꎬ若它的两侧导数异号ꎬ它才是函数的极值点ꎻ若它的两侧导数同号ꎬ则不为极值点ꎬ所以在求得导数为0的点后ꎬ还要进行检验ꎬ否则容易出错.6混淆 导数值的正负 与 函数增减性 的逻辑关系㊀㊀例6㊀已知函数f(x)=-x3+ax2+4x(aɪR)ꎬ若f(x)在区间(0ꎬ2)上是单调递增的ꎬ求实数a的取值范围.错解㊀因为f(x)=-x3+ax2+4x(aɪR)ꎬ所以fᶄ(x)=-3x2+2ax+4.由于f(x)在区间(0ꎬ2)上单调递增ꎬ所以有fᶄ(x)>0在(0ꎬ2)上恒成立.即a>3x2-2x在(0ꎬ2)上恒成立.令g(x)=3x2-2xꎬxɪ(0ꎬ2)ꎬ则gᶄ(x)=32+2x2>0.所以g(x)在(0ꎬ2)上单调递增.故g(x)<3ˑ22-22=2ꎬ故a>2.故实数a的取值范围为(2ꎬ+ɕ).剖析㊀错误之处就是忽视了fᶄ(x)=0的情况.事实上ꎬ当fᶄ(x)在某个区间内的个别点处为零ꎬ其余点处为正(或负)时ꎬf(x)在这个区间上仍然是单调递增(或递减)函数ꎬ故应令fᶄ(x)ȡ0在(0ꎬ2)上恒成立.正解㊀因为f(x)=-x3+ax2+4x(aɪR)ꎬ所以fᶄ(x)=-3x2+2ax+4.由于f(x)在区间(0ꎬ2)上单调递增ꎬ所以有fᶄ(x)ȡ0在(0ꎬ2)上恒成立.即aȡ3x2-2x在(0ꎬ2)上恒成立.令g(x)=3x2-2xꎬxɪ(0ꎬ2)ꎬ则gᶄ(x)=32+2x2>0.所以g(x)在(0ꎬ2)上单调递增.故g(x)<3ˑ22-22=2ꎬ故aȡ2.故实数a的取值范围为[2ꎬ+ɕ).警示㊀由函数的单调性㊁极值等问题求解参数的取值范围是高考命题的一个重点.解决此类问题的关键在于正确理解单调性㊁极值的概念和其求解㊁判断的方法.要注意以下细节问题: (1)fᶄ(x)>0(fᶄ(x)<0)(xɪ(aꎬb))是f(x)在(aꎬb)上单调递增(减)的充分不必要条件.实际上ꎬ可导函数f(x)在(aꎬb)上为单调递增(减)函数的充要条件为:对于任意xɪ(aꎬb)ꎬ有fᶄ(x)ȡ0(fᶄ(x)ɤ0)且fᶄ(x)在(aꎬb)的任意子区间上都不恒为0.因而这类题求出参数范围后ꎬ应对 = 成立的值进行检验ꎬ看是否符合题意ꎻ(2)解题中对 恒成立㊁能成立㊁恰成立 等概念区分不清也易致错.7误认为函数的极值只能在导数为零的点处取得㊀㊀例7㊀求函数f(x)=1-(x-2)23的极值.错解㊀当xʂ2时ꎬfᶄ(x)=-23(x-2)-13ꎬfᶄ(x)=0无解.当x=2时ꎬfᶄ(x)不存在ꎬ因此ꎬf(x)在x=2处不可导.所以f(x)无极值.剖析㊀在确定极值时ꎬ只讨论满足fᶄ(x)=0的点x0附近导数的符号变化情况是不全面的ꎬ在导数不存在的点处也可能存在极值[2].正解㊀当xʂ2时ꎬfᶄ(x)=-23(x-2)-13ꎬfᶄ(x)=0无解.当x=2时ꎬfᶄ(x)不存在ꎬ因此ꎬf(x)在x=2处不可导.但当x<2时ꎬfᶄ(x)>0ꎻ当x>2时ꎬfᶄ(x)<0ꎬ且函数f(x)在x=2处有定义.所以f(x)在点x=2处取得极大值ꎬ且极大值为1.警示㊀可导函数的极值点一定是其导数为零的点ꎻ反之ꎬ导数为零的点不一定是该函数的极值点.因此ꎬ导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件ꎬ其充分条件是这点两侧的导数异号.另外ꎬ使fᶄ(x)无意义的点也要讨论ꎬ因为不可导点也可能是极值点.8隐含条件利用不充分致错例8㊀已知函数f(x)=x44+b3x3-2+a2x2+2ax在点x=1处取极值ꎬ且函数g(x)=x44+b3x3-a-12x2-ax在区间(a-6ꎬ2a-3)上单调递减ꎬ求实数a的取值范围.错解㊀fᶄ(x)=x3+bx2-(2+a)x+2aꎬ由fᶄ(1)=0ꎬ得b=1-a.所以gᶄ(x)=x3+bx2-(a-1)x-a=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).因为x2+x+1>0ꎬ所以ꎬ当x<a时ꎬgᶄ(x)<0ꎬg(x)在(-ɕꎬa)单调递减ꎬ所以(a-6ꎬ2a-3)⊆(-ɕꎬa).所以a-6<2a-3ɤaꎬ即-3<aɤ3.故所求a的取值范围为(-3ꎬ3].剖析㊀上述解法的错误之处是没有充分挖掘题目的隐含条件aʂ1ꎬ造成扩大a的取值范围的情况.事实上ꎬ由fᶄ(1)=0ꎬ得b=1-aꎬ此时ꎬfᶄ(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a)ꎬ当a=1时ꎬfᶄ(x)=(x-1)2(x+2)ꎬ函数f(x)在x=1处没有极值.正解㊀fᶄ(x)=x3+bx2-(2+a)x+2aꎬ由fᶄ(1)=0ꎬ得b=1-a.所以fᶄ(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a).如果a=1ꎬ那么x=1就只是使导函数值为0的点而非极值点ꎬ故b=1-a且aʂ1.gᶄ(x)=x3+bx2-(a-1)x-a=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).因为x2+x+1>0ꎬ所以ꎬ当x<a时ꎬgᶄ(x)<0ꎬg(x)在(-ɕꎬa)单调递减ꎬ所以(a-6ꎬ2a-3)⊆(-ɕꎬa).所以a-6<2a-3ɤaꎬ即-3<aɤ3.综上可知ꎬa的取值范围为(-3ꎬ1)ɣ(1ꎬ3].警示㊀研究函数的极值与其导函数的关系时ꎬ求出fᶄ(x)的零点后ꎬ要判断导函数在零点两侧的函数值符号.若符号相反ꎬ则该零点是可导函数f(x)的极值点ꎻ若符号相同ꎬ则不是极值点.解本题时易忽视aʂ1.因此ꎬ题目中的隐含条件能否挖掘彻底㊁利用是否充分ꎬ往往是我们成功解题的关键.9混淆函数的 单调区间是 与函数 在区间上单调 致错㊀㊀例9㊀已知函数f(x)=lnx+x2+ax的单调递减区间为(12ꎬ1)ꎬ则(㊀㊀).A.aɪ(-ɕꎬ-3]㊀㊀㊀B.a=-3C.a=3D.aɪ(-ɕꎬ3]错解㊀因为fᶄ(x)=1x+2x+aꎬ又f(x)=lnx+x2+ax的单调递减区间为(12ꎬ1)ꎬ所以fᶄ(x)=1x+2x+aɤ0在区间(12ꎬ1)上恒成立.即不等式aɤ-1x-2x在区间(12ꎬ1)上恒成立.㊀令g(x)=-1x-2xꎬ易知g(x)在区间(12ꎬ22)上单调递增ꎬ在(22ꎬ1)上单调递减.又g(12)=g(1)=-3ꎬ所以g(x)>-3.则aɤ-3.故选D.剖析㊀混淆函数的 单调区间是 与函数 在区间上单调 的区别致误.正解㊀因为fᶄ(x)=1x+2x+aꎬ又f(x)=lnx+x2+ax的单调递减区间为(12ꎬ1)ꎬ即fᶄ(x)=1x+2x+a<0的解集为(12ꎬ1).所以不等式2x2+ax+1<0的解集为(12ꎬ1).所以12ꎬ1是2x2+ax+1=0的两根.所以12+1=-a2ꎬ解得a=-3.故选B.警示㊀在解决与函数的单调性有关的问题时要注意下列几个概念的区别: 在区间上单调 指该区间是函数相应单调区间的子区间ꎻ 单调区间是 指该区间就是函数的相应最大单调区间ꎻ 存在单调区间 指该区间内有相应单调性ꎬ也可能有别的单调性ꎬ即该区间内可能既有增区间ꎬ也有减区间.10数形结合思想使用中图象失真致错例10㊀已知函数f(x)=(12)x+34ꎬx>0ꎬ(2x-x2)exꎬxɤ0ꎬìîíïïï若函数g(x)=f(x)+2k有两个不同的零点ꎬ则实数k的取值范围为.错解㊀设g(x)=(2x-x2)exꎬ则gᶄ(x)=(2-x2)ex.令gᶄ(x)=0ꎬ解得x=-2或x=2(舍).当xɪ(-ɕꎬ-2)时ꎬgᶄ(x)<0ꎬ函数g(x)单调递减ꎻ当xɪ(-2ꎬ0)时ꎬgᶄ(x)>0ꎬ函数g(x)单调递增.所以g(x)在x=-2时ꎬ取极小值g(-2)=-2(2+1)e2.设h(x)=(12)x+34ꎬ根据指数函数单调性易知ꎬh(x)在(0ꎬ+ɕ)上单调递减ꎬ所以h(x)ɪ(34ꎬ74).㊀若函数g(x)=f(x)+2k有两个不同的零点ꎬ则-2(2+1)e2<-2k<0或34<-2k<74ꎬ解得0<k<2+1e2或-78<k<-38.故实数k的取值范围为(0ꎬ2+1e2)ɣ(-78ꎬ-38).㊀剖析㊀上述解法的错误之处是数形结合思想使用中图象失真致错ꎬ想当然地认为ꎬ在g(x)=(2x-x2)ex中ꎬ当xң-ɕ时ꎬyң+ɕꎬ而没有充分验证ꎬ犯了思维定式的错误.正解㊀设g(x)=(2x-x2)exꎬ则gᶄ(x)=(2-x2)ex.令gᶄ(x)=0ꎬ解得x=-2或x=2(舍).当xɪ(-ɕꎬ-2)时ꎬgᶄ(x)<0ꎬ函数g(x)单调递减ꎻ当xɪ(-2ꎬ0)时ꎬgᶄ(x)>0ꎬ函数g(x)单调递增.所以g(x)在x=-2时ꎬ取极小值g(-2)=-2(2+1)e2.当xң-ɕ时ꎬyң0且x<0时ꎬy=g(x)=2x-x2()ex<0.设h(x)=(12)x+34ꎬ根据指数函数单调性易知ꎬh(x)在(0ꎬ+ɕ)上单调递减ꎬ当xң0时ꎬyң74ꎻ当xң+ɕ时ꎬyң34ꎬ如图1所示.图1㊀例10正解若函数g(x)=f(x)+2k有两个不同的零点ꎬ则-2(2+1)e2<-2k<0ꎬ解得0<k<2+1e2.所以实数k的取值范围为(0ꎬ2+1e2).警示㊀为了确保图象的准确性必须注意到:对于函数g(x)ꎬ当xң-ɕ时ꎬyң0且x<0时ꎬy=g(x)=2x-x2()ex<0ꎻ对于函数h(x)ꎬ当xң0时ꎬyң74ꎻ当xң+ɕ时ꎬyң34作出函数图象ꎬ否则就造成图象失真导致错误.11结束语除了上述几类典型的易错问题以外ꎬ常见的还有忽视函数的定义域㊁构造原函数不当㊁错把fᶄ(x0)当成关于x的变量函数㊁忽视切点在曲线上的隐含条件致错等ꎬ由于篇幅所限ꎬ在此不作赘述.总之ꎬ学习中要认真总结ꎬ多加思考ꎬ明确易混易错问题的类型ꎬ弄清致错根源ꎬ防患于未然.参考文献:[1]侯有岐.高考易错题自测卷:导数[J].教学考试ꎬ2017(20):69-73.[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M].北京:人民教育出版社ꎬ2020.[责任编辑:李㊀璟]。
高中数学总结归纳 导数在函数应用中的六大陷阱
导数在函数应用中的六大陷阱“导数”的引入,给函数问题注入了生机与活力,开辟了研究函数问题的新思路、新方法、新途径. 但初学导数在函数问题中的应用时,同学们常常会出现这样或那样的错误,有的错误还不易察觉.下面就介绍六大陷阱, 注意防范.陷阱1:忽视函数的定义域例1求函数()2ln f x x x =-的单调区间.错解: 1()2.f x x'=- 由0)(>'x f ,得10;2x x <>或由0)(<'x f ,得10.2x <<∴)(x f 的单增区间是(2,+∞),单减区间是(-∞,2). 点评:本题错在忽视了函数的定义域. 单调性是函数的局部性质,单调区间应是函数定义域的一个子集. 求单调区间时应先确定函数定义域,再来解不等式0)(>'x f 和0)(<'x f . 正确答案是:函数的的单调递增区间为(12,+∞),此单调递减区间为(0,12) 陷阱2:忽视有极值的条件例2已知1)6()(23++++=x a ax x x f 在R 上有极值,求实数a 的取值范围.错解:由题意知,0)6(23)(2=+++='a ax x x f 在R 上有实数解,所以,0≥∆ 即.630)6(1242≥-≤⇒≥+-a a a a 或点评:本题错在将有极值的必要条件0)(0='x f 当作充要条件使用. 显然, 当3-=a 时,0)1(3)6(23)(22≥-=+++='x a ax x x f ,1不是极值点, )(x f 在R 上没有极值; 当6=a 时,0)2(3)(2≥+='x x f , 2-不是极值点, )(x f 在R 上也没有极值. 对于可导函数)(x f ,0)(0='x f 是在0x 处取得极值的必要而非充分的条件,解题时还要验证在0x 附近)(0x f '是否异号.本题应该由0>∆确定a 的取值范围,正确答案是.63>-<a a 或陷阱3:忽视给定的区间例3求函数51232)(23+--=x x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值.错解:由01266)(2=--='x x x f 得,1,221-==x x .当21>-<x x 或时, 0)(>'x f ;当21<<-x 时, .0)(<'x f 因此,)1(-f 是极大值,)2(f 是极小值. 而)1(-f =12 , )2(f =-15 , )0(f =5, )3(f =-4,故函数)(x f 的最大值为12、最小值为-15.点评:本题错在忽视了给定的区间. 显然12-=x ∉ [0,3],12-=x 不是)(x f 给定区间上的极值点, 21=x 是给定区间上极值点. 只要比较)2(f 、)0(f 、)3(f 的大小即可. 正确的答案是:最大值为5、最小值为-15.陷阱4:忽视极值点与切点的区别例4已知函数()c bx ax x f ++=24的图像经过点(0,1),且在1=x 处的切线方程是2-=x y ,求()x f 的解析式.错解:()bx ax x f 243+='. 将1=x 代入2-=x y 中,得121-=-=y .由题意知,⎪⎩⎪⎨⎧='-==0)1(1)1(1)0(f f f , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=02411b a c b a c , 解得,a =2,4-=b ,c =1.因此().14224+-=x x x f点评:本题错在将切点当作极值点,得到0)1(='f 的错误结论. 其实,虽然切点和极值点都与导数有关,但它们却是两个完全不同的概念,不能混为一谈. 这里)1(f '表示函数()x f 的图像在点(1,-1)处的切线斜率,应有1)1(='f ,再联立1)1(,1)0(-==f f 便可得到正确答案:,1,29,25=-==c b a 因此().1292524+-=x x x f 陷阱5:忽视函数单增(或单减)的充要条件例5已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求实数a 的取值范围.错解:163)(2-+='x ax x f . ∵)(x f 在R 上是减函数,∴0)(<'x f ,即1632-+x ax <0在R x ∈上恒成立,所以012360<+=∆<a a 且,因此 .3-<a点评:本题错在将0)(<'x f 视为)(x f 在R 上是减函数的充要条件. 其实当a =-3时,98313133)(323+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=x x x x x f ,与函数3)(x x f -=(此函数在R 上单减)的单调性作比较可知,98313)(3+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f 在R 上也单减,满足题意,因此本题中的0)(<'x f 只是)(x f 在R 上是减函数的充分而非必要的条件,利用这个条件求a 的范围就漏掉了a =-3这个解. 事实上,可导函数)(x f 在),(b a 上单增(或单减)的充要条件是:对于任意),(b a x ∈,都有0)(≥'x f (或0)(≤'x f ),且)(x f '在),(b a 的任意子区间上都不恒为零. 在高中阶段,主要出现的是有一个或有限多个使0)(='x f 的点x 的情况. 比如, 函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单增,03)(2≥='x x f 在),(+∞-∞上恒成立, 其中有一个=0x 0,使0)(0='x f 成立. 因此, 本题应由0)(≤'x f ,即不等式1632-+x ax ≤0在R x ∈上恒成立, 来求a 的取值范围, 于是012360≤+=∆<a a 且, 解得.3-≤a 故正确答案是.3-≤a陷阱6:忽视分类讨论例6求函数=(]为大于零的常数)t t x xx ,,0(2∈+的单调区间和最值. 错解:)(x f '=221x -=()()222x x x -+. 由0)(>'x f 得22-<>x x 或;由0)(<'x f 得022≠<<-x x 且. 因此,函数)(x f 的单减区间是(0,2],单增区间是[2,t], )2(f =22是最小值,无最大值(+→0x 时,xx x f 2)(+=+∞→). 点评:t 为大于零的常数,0)(='x f 的两个零点是否在所给的区间 (0,t] 内,有待于t 的取值,本题误认为t >2,忽视了对常数t 的分类讨论. 正确的解法是:①当t >2时,就是上述答案;②当t=2时,)(x f 的单减区间就是(]2,0, )2(f =22是最小值,无最大值(+→0x 时,xx x f 2)(+=+∞→);③当0<t <2时,函数)(x f 的单减区间是(]t ,0,t t t f 2)(+=是最小值,无最大值(+→0x 时, x x x f 2)(+=+∞→).。
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导数学习误区分析
作者:宋勇
来源:《高中生学习·高二文综版》2015年第06期
判断函数单调性时易忽视的一种特殊情况
例1 已知函数[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是减函数,求实数[a]的取值范围.
错解 [fx=-x2+2ax-1],因为[fx]在[R]上是减函数,所以[fx
正解 [fx
事实上,当[a=1]时,[fx=-x-12].
则当[x∈-∞,1]时,[fx
当[x∈1,+∞]时,[fx
当[x=1时,fx=0],而函数[fx]在[x=1]处连续.
因此[fx]在[R]上是减函数.
同理可知当[a=-1]时,[fx]在[R]上是减函数.
所以[a]的取值范围为[-1≤a≤1].(有条件的同学可用几何画板作出[a=±1]时的函数图象.)
点拨错误的根源是将函数单调性的充分条件误认为是充要条件,在根据函数的单调性求解参数问题时最容易犯这种错误. 解决这类问题时既要注意其充分性,又要注意其必要性.已知函数单调性求参数的取值范围,可转化为不等式恒成立问题.一般地,函数[f(x)]在区间[I]上单调递增(递减)等价于不等式[fx≥0(fx≤0)]在区间[I]上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围,并验证[fx=0]是否有有限个解.
求函数的极值点二种易混淆的情形
1. 误认为导数为零的点一定是极值点
例2 函数[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]处有极值[10],求[a],[b]的值.
错解 [fx=3x2-2ax-b],由题意得,[f1=0],且[f1=10],
即[3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,]解得[a=3,b=-3,]或[a=-4,b=11.]
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件.只有同时满足在[x0]附近导数的符号相反,才能判定在[x=x0]处取得极值,因此上述解法在解出[a],[b]的值后,还应检验[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近导数符号的变化情况.经检验发现只有[a=-4],[b=11]符合条件.
2. 误认为极值只能在导数为零的点处取得
例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.
错解由于[fx=x2-x-6 ,x≤-2或x≥3,-x2+x+6, -2
于是[fx=2x-1 , x3,-2x+1 ,-2
令[fx=0]得,[x=12.]
当[-20].
当[12
所以当[x=12]时,函数有极大值[254].
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件. 在确定极值时,只讨论满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的,在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中,显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况,从而产生了解答不完备的现象.正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处函数取到极小值0.
点拨第一种情况误认为[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的充要条件,忽视了判断满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况.要求紧扣[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件这个原则.第二种情况误认为极值只能在导数为零的点处取得,对极值的认识缺乏延伸.要求同学们结合概念从函数图象的角度体会极值不仅仅在导数为零的点处取得.
求曲线的切线方程的三种不同情况
1. 已知在曲线上一点求切线方程
例4 求曲线[y=1x]在点[A](1,1)处的切线方程.
解析 [f(x)=-1x2],设切线的斜率为[k],
[∴k=f(1)=-1].
[∴切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0].
2. 已知过曲线上一点求切线方程
例5 求曲线[fx=x3-3x2+2x]过原点的切线方程.
错解 [fx=3x2-6x+2],设切线的斜率为[k],则[k=f0=2],所以所求曲线切线方程为[y=2x].
正解“过某点”与“在某点处”是不同的,在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线,此点并不一定是切点. 本题过原点的切线有两条,其中一条以原点为切点,另一条以点[P32,-38]为切点.
[fx=3x2-6x+2],设切线的斜率为[k].
(1)当切点是原点时,[k=f0=2],所以所求曲线的切线方程为[y=2x].
(2)当切点不是原点时,设切点是[x0,y0],
则有[y0=x30-3x20+2x0],[k=y0x0=x20-3x0+2]①.
又[k=fx0=3x20-6x0+2]②,
由①②得,[x0=32],[k=y0x0=-14].
故所求曲线的切线[y=-14x].
综上,切线方程为[y=2x]或[y=-14x.]
3. 已知过曲线外的一点求切线的方程
例6 求过点[A(2,0)]且与曲线[y=1x]相切的直线方程.
解析 [f(x)=-1x2],设切线的斜率为[k].
设切点[Px0,y0],则[y0=1x0x0≠0].
[∴k=-1x02],切线方程为[y-y0=-1x02(x-x0)],
即[y-1x0=-1x02(x-x0)].
又[∵切线方程过点A2,0],
即[0-1x0=-1x02(2-x0)x0≠0],
[∴x0=1,切点P1,1,]
[故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0].
点拨对这三种情况,首先要判断点是否在曲线上,其次看曲线上的是否作为切点. “过曲线上某点”与“在曲线上某点处”是不同的. 在某点处的切线表明此点是切点;而过某点的切线,此点并不一定是切点,应该分是切点和不是切点两种情况来考虑.
同学们在以下几个方面经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等思维过程,就能改进自己的学习方式,体会学习的成就感.如:在知识形成过程的“关键点”,在应用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”,在数学知识之间的“联接点”,在数学问题研究的“发散点”,在思维发展的“临界点”.。