导数及其应用概念及公式总结

合集下载

(七)导数概念及应用

(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题．考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧　x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。

导数表大全高等数学

导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。

在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。

以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。

导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

(完整版)导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。

本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。

导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。

具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。

直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。

如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。

导数的计算可以使用导数公式来简化。

对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。

例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。

而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。

通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。

导数在实际应用中有着广泛的应用。

一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。

例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。

同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。

通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。

另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。

导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。

如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。

这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。

除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。

在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。

在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。

总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。

导数的定义及其应用

导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。

本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。

一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。

具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。

如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。

例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。

二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。

1. 用定义式计算。

根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。

这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。

2. 利用导数的性质计算。

导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。

例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。

3. 利用数值计算方法计算。

数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。

导数的概念导数公式与应用

导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。

具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。

导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。

二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。

这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。

2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln⁡(a)。

这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。

4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln⁡(a))。

5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。

- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。

- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。

- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。

- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。

以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。

三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。

1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。

导数的基本公式及四则运算法则

导数的减法法则
总结词
导数的减法法则是导数的基本运算法则之一，它指出两个函数的导数的差等于它们各自导数的差的负值。
VS
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$ 。
导数的乘法法则
总结词
导数的乘法法则是说，如果一个函数乘以一个常数，那么它的导数就是这个常数乘以该函数的导数。
详细描述
对于对数函数f(x)=ln(x)，其导数为f'(x)=1/x。这个公式告诉我们，对数函数的斜率与x 的倒数有关。
03
导数的四则运算法则
导数的加法法则
总结词
导数的加法法则是指两个函数的导数的和等于它们各自导数的和。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，那么$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$。
04
导数在实际问题中的应用
最大值和最小值问题
总结词
导数在求解最大值和最小值问题中具有广泛应用。
详细描述
通过求导找到函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。在经济学、工程技术和科学研究等领域中，求解最大值和最小值问题是一个常见的问题，导数的应用为这些问
题提供了有效的解决方案。
速度和加速度问题
导数在实际问题中的应用案例分析
总结：导数在实际问题中有着广泛的应用，通过分析导数，我们可以解决许多实际问题，如最优化问题、经济问题等。
例如，在物理学中，导数可以用来描述速度和加速度的变化；在经济学中，导数可以用来分析边际成本和边际收益；在工程学中，导数可以用来设计最优化的方案。

导数初步导数的定义计算与应用

导数初步导数的定义计算与应用导数初步导数是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

导数的定义、计算以及应用都是我们学习微积分的基础知识。

本文将初步介绍导数的定义、计算方法以及一些实际应用。

1. 导数的定义在数学中，导数的定义是函数在某一点上的变化率。

对于一个函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者df(x)/dx。

导数的定义可以通过极限来表示。

当x自变量趋于某一点a时，函数f(x)在点a处的导数可以用以下极限式来定义：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示极限，x→a表示x趋向于a，[f(x) - f(a)] / (x - a)表示函数在x处两点间的差值，即斜率。

2. 导数的计算方法导数的计算在微积分中有一套具体的方法，可以帮助我们计算各种类型的函数的导数。

2.1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = C，其中C是一个常数，其导数为零，即f'(x) = 0。

因为常数函数在任何一点上的斜率都为零，表示该函数的变化率为零。

2.2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n（其中n是一个实数）的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，其导数是f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2 * x。

2.3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是导数计算中常见的函数类型。

以下是一些常见的导数计算公式：指数函数f(x) = a^x（其中a是常数）的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

对数函数f(x) = log_a(x)（其中a是常数）的导数为f'(x) = 1 / [x * ln(a)]。

2.4. 三角函数的导数三角函数在导数计算中也常见，以下是一些常见的三角函数导数计算公式：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

导数的基本概念及性质应用

导数的基本概念及性质应用、能运用导数求解单调区间及极值、新授课:知识点总结:导数的基本概念与运算公式1、导数的概念考点: 1、掌握导数的基本概念及运算公式, 并能灵活应用公式求解能力: 方法: 、理解并掌握极值及单调性的实质, 数形结合讲练结合并能灵活应用其性质解题。

函数y =f （x ）的导数f （X ），就是当AX 0时，函数的增量Ay 与自变量的增量A X 的比啓的极限，即y X △-Af(x A x)-f(x)A X说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 2、导函数函数y = f （X ）在区间（a, b ）内每一点的导数都存在，就说在区 f （X ）间（a, b ）内可导，其导数也是（a ,b ）内的函数，叫做f （X ）的导函数，记作f （X ）或y X ,函数f （X ）的导函数f （X ）在X X o 时的函数值f （x 0），就是 f （X ）在X 0处的导数。

3、导数的几何意义设函数y = f （X ）在点X o 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 M （X 0 , y o ）处的切线斜率。

4、求导数的方法c 0 m(X ) m 1 .mx (m(sin X) cosx(cosx)sin X.X .X(e ) e z X.(a ) X .aIna (In x) X (log ：)1 xIn aQ)（1）基本求导公(2)导数的四则运算G)(3)复合函数的导数设U g(x)在点X 处可导，y =在点f(X)处可导，则复合函数 f[g(x)]在点X 处可导,f x ((X)) f (U)(X)导数性质:1、函数的单调性⑴设函数y = f(x)在某个区间内可导，若 f(X)>0,则f(x)为增函数；若f(X)< 0则为减函数。

⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。

① 确定函数f(x)的定义区间② 求f(X)，令f (X) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。

高等数学中的导数及其应用

高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。

本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。

一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。

设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。

导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。

函数的导数具有一些重要的性质。

首先，常数函数的导数为零。

其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。

加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。

链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。

二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。

下面我们将介绍其中的一些应用。

1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。

对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。

通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。

这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。

2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。

对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。

在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。

法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。

3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。

在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。

假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。

通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。

4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。

导数概念性质几何意义公式应用

│x=x0，即
三、导函数
如果函数 y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数 f(x)在区间内可导。这时函数 y=f(x)对于区间内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y=f(x)的导函数，记作 y'、f'(x)、 dy/dx 或 df(x)/dx，简称导数。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度可以表示曲线在一点的斜率矢量速度的方向还可以表示经济学中的边际和弹性
导数概念性质几何意义公式应用
目录一、概述 ......................................................... 1 二、定义 ......................................................... 2 三、导函数 ....................................................... 2 四、几何意义 ..................................................... 2 五、公式 ......................................................... 2 六、简单函数 ..................................................... 2 七、复杂函数 ..................................................... 4 八、导数的计算 ................................................... 4 九、导数的求导法则 ............................................... 4 十、高阶求导 ..................................................... 5 十一、口诀......................................................... 5 十二、导数与函数的性质............................................. 5 十三、导数种别..................................................... 6 十四、历史沿革..................................................... 7 十五、应用......................................................... 9

导数的基本概念及性质应用

导数的基本概念及性质应用Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。

能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。

３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。

４、求导数的方法（１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln =' ax xa ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。

(完整版)导数的概念、导数公式与应用

导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。

若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。

注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。

如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。

函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。

如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。

若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。

即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。

2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。

注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。

3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。

若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

导数的概念及运算、定积分

考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数
的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x
上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ( D )
A．[－1,2]
B．(3，＋∞)
x.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2
＝12xsin(4x＋π)＝－＝－12sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法
b

f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作

a
F(x) ba，即abf(x)dx＝F(x) ba＝F(b)－F(a)．
1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负. 2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
3．已知t是常数，若t (2x－2)dx＝8，则t＝ 0
A．1
B．－2
( D)
C．－2或4
D．4
解析：由t (2x－2)dx＝8，得(x2－2x) 0
t0＝t2－2t＝8，
解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝___2_e____.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于 ( B )
A．e2

【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结

【高中数学】高中数学导数的定义,公式及应用总结高中数学导数的定义,公式及应用总结导数的定义:当自变量的增量δx=x-x0，δx→0时函数增量δy=f(x)-f(x0)与自变量增量之比的音速存有且非常有限,就说道函数f在x0点可微，称作f在x0点的导数(或变化率).函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在p0[x0，f(x0)]点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

通常地，我们得出结论用函数的导数去推论函数的多寡性(单调性)的法则：设y=f(x)在(a，b)内可微。

如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间就是单调减少的(该点切线斜率减小，函数曲线显得“平缓”，持续上升状)。

如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间就是单调增大的。

所以，当f'(x)=0时，y=f(x)存有极大值或极小值，极大值中最大者就是最大值，极小值中最轻者就是最小值求导数的步骤:求函数y=f(x)在x0处为导数的步骤：①求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0) ②求平均变化率③取极限，得导数。

导数公式：①c'=0(c为常数函数); ②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈q*);熟记1/x的导数③(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(x(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(x(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=hcoshx(coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1)(x<1) (arcothx)'=1/(x^2-1)(x>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)'=e^x;(a^x)'=a^xlna(ln为自然对数) (inx)'=1/x(ln为自然对数) (logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)导数的应用领域:1.函数的单调性(1)利用导数的符号推论函数的多寡性利用导数的符号推论函数的多寡性，这就是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用领域，它体现了数形融合的思想.通常地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. 如果在某个区间内恒存有f'(x)=0，则f(x)就是常数函数. 特别注意：在某个区间内，f'(x)>0就是f(x)在此区间上以增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在r内就是增函数，但x=0时f'(x)=0。

导数高考知识点总结(最全)

导数高考知识点总结(最全)导数高考知识点总结(最全)导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值化率，即y叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变xyf(x0x)f(x0)y=。

如果当x0时，有极限，我们就说函xxx数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

即f（x0）=lim说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均变化率yf(x0x)f(x0)=；xxf(x0x)f(x0)y=lim。

xxx0x0yy有极限。

如果不存在xxy。

x0x例：设f(x)=x|x|,则f′(0)=.f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]：∵limlimlimlim|x|0x0x0x0x0xxx③取极限，得导数f’(x0)=lim∴f′(0)=02．导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f （x0））处的切线的1/斜率是f’（x0）。

相应地，切线方程为y－y0=f（x0）（x－x0）。

例：在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于/点的个数是A．3B．2C．13.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s （t）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

例。

汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）ssss的点中，坐标为整数的4()D．0OA．tOB．tOC．tOD．t练习：已知质点M按规律s2t23做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。