导数定义及公式(教学备用)

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导数定义及公式

导数：

1.若f(x)=c,则f‘（x）=

2. 若f(x)=x n（n∈Q∗），则f‘（x）=

3. 若f(x)=sin x,则f‘（x）=

4.若f(x)=cos x,则f‘（x）=

5. 若f(x)= a x,则f‘（x）=

6. 若f(x)= e x,则f‘（x）=

7.若f(x)= log a x,则f‘（x）=8.若f(x)= ln x,则f‘（x）=9.【f(x)±

g(x)】′=

10.【f(x).g(x)】′=

11.【f(x)

g(x)

】′=

12.【cf(x)】′=

13. y=f(u),u=g(x)，则y=f（g（x））；y x′=

sin2x=

（e−x）′=

##导数：一般地，函数y=f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率是

Δy Δx

∆x→0lim = f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x ∆x→0lim ,称函数y=f （x ）在x=x 0处的导数，记作： f ‘（x ）或y ‘|x =x 0。即 f ‘（x 0）=Δy Δx ∆x→0lim = f (x 0+∆x )−f(x 0

)∆x ∆x→0lim 。

##函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率是f ‘（x 0）。相应地，过p 点的切线方程为：

y-f （x 0）=f ‘（x 0）（x-x 0）

##导函数：如果函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导。若函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则f （x ）在（a ，b ）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ，b ）内的导函数（简称导数）记作f ‘（x ）或y ‘或y ‘x 。

导数定义及公式

导数：

1.若f(x)=c,则（x）=

2.若f(x)=（n则（x）=

3.若f(x)=,则（x）=

4.若f(x)=,则（x）=

5.若f(x)=,则（x）=

6.若f(x)=,则（x）=

7.若f(x)=,则（x）=

8.若f(x)=,则（x）=

10.=

12.=

13.，则y=f（g（x））；

##导数：一般地，函数y=f（x）在x=处的瞬时变化率是=

,称函数y=f（x）在x=处的导数，记作：（x）或。即

（）==。

##函数y=f（x）在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P （）处的切线斜率，也就是说曲线y=f（x）在点P（）处的切线斜率（）。相应地，过p点的切线方程为：

y-f（）=（）（x-）

##导函数：如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，就说函数f（x）在开区间（a，b）内可导。若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数（简称导数）记作（x）或或。

即（x）===

一、函数的单调性

一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果（x）

，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果（x）

１.如果（x），则f（x）严格增函数；如果（x），则f（x）

严格减函数。

２.如果在（a，b）内恒有（x），那么f（x）在（a，b）内是常数。

３.（x）是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。

求函数单调区间的步骤：

１.确定y=f（x）的定义域；

２.求导数（x），求出（x）的根；

导数定义三种公式

导数定义：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(h)]/h你的问题：

lim(h→0)[f(0+h)-f(0-h)]/2h=2lim(h→0来自)[f(0-h+2h)-f(0-

h)]/2h=lim(h->0)2f'(0-h)当f'(x)在x=0处连续才有lim(h->0)2f'(0-h)=2f'(0)。

导数的概念及基本运算复习ppt课件

() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a ， b) 内的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
例2 已知曲线 y＝13x3＋43，求曲线过点 P(2,4)的切线方程．【思路分析】点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
【解】设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点
A(x0，13x30＋43)，则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x20， ∴切线方程为：y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，
【思维总结】对于未给出切点的题目，要求切线方程，先设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．

导数的概念导数公式与应用

知识点一：函数的平均变化率

叟

（1）概念：函数JV = /W中，如果自变量X在则处有增量Ax，那么函数值y也相应的有增量^ y=f（x .+△ x）-f（x 0），其比值& 叫做

3_/（阳

+人耳-丁（砒

函数y = /W从则到X[1 +△ x的平均变化率，即A T A X

3_/E）-/（可）

若X[ ■九，吗=州+Ax，则平均变化率可表示为Ax 工殳，称为函数/ W从X]到X?的平均变化率。注意:

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;

②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当Ax取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③Ax是自变量i在*11处的改变量，险H 0 ；而3是函数值的改变量，可以是/00没有变化，应取Ax更

小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

® _/色）-/（可）

函数y二j（x）的平均变化率Ax 兀2 一羽的几何意义是表示连接函数

3_/（可）-了（可）

0。函数的平均变化率是0,并不一定说明函数y二图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数/W的平均变化率Ax

禾2~卞1的几何意义是：直线AB的斜率。

b _丿卫-出_了（可）-/（州）_3 %- 」事实上，

可-X] Al

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念:

1导数的定义：

对函数，在点X ■九处给自变量x以增量Ax,函数y相应有增量A尸俶+加）-佩）。

若极限Al

存在，则此极限称为/ W在点则处的导数，记作广阳或卩薦，此时也称了〔X）在点対

处可导。

注意:

导数定义及公式学习资料

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精品资料
注意：Ａ. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。Ｂ. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。
二、函数的极值：
１.定义，设函数 f（x）在点附近有定义，如果对附近的
=
10.
=
=
12.
=
13.
，则 y=f（g（x））；
=
= =
##导数：一般地，函数 y=f（x）在 x= 处的瞬时变化率是
=
,称函数 y=f（x）在 x= 处的导数，记作：
（x）或
。即（）=
=
。
##函数 y=f（x）在点处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在
点 P（
）处的切线斜率，也就是说曲线 y=f（x）在点 P
导数定义及公式
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导数：
1.若 f(x)=c,则（x）=
2. 若 f(x)= （n
则（x）=
3. 若 f(x)= ,则（x）=
4.若 f(x)= ,则（x）=
5. 若 f(x)= ,则（x）=
6. 若 f(x)= ,则（x）=
7. 若 f(x)=
,则（x）=
8. 若 f(x)= ,则（x）=

导数的两种定义公式法

【原创实用版】

一、导数的定义与公式

1.导数的定义

2.导数的公式

二、导数的两种定义公式

1.函数在某点的导数

2.函数在某区间的平均导数

三、导数的实际应用

1.函数的切线斜率

2.函数的凹凸性

3.函数的最值

正文

导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点或某一区间的变化率。导数有两种定义公式，分别是函数在某点的导数和函数在某区间的平均导数。

一、导数的定义与公式

导数是函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数在某一点的切线斜率。导数的定义公式为：

f"(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

其中，f(x) 表示函数，f"(x) 表示函数在 x 点的导数，h 表示自变量的增量。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之

商的极限即为函数在 x 点的导数。

二、导数的两种定义公式

1.函数在某点的导数

函数在某点的导数可以通过导数的定义公式求解。例如，对于函数

f(x) = x^2，我们可以求得在 x=1 处的导数：

f"(1) = lim(h->0) [f(1+h) - f(1)] / h

= lim(h->0) [(1+h)^2 - 1] / h

= lim(h->0) [h^2 + 2h] / h

= lim(h->0) h + 2

= 2

因此，函数 f(x) = x^2 在 x=1 处的导数为 2。

2.函数在某区间的平均导数

函数在某区间的平均导数可以通过以下公式求解：

f"(a) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

导数定义及公式

lim Δ y ∆x →0 Δ x
=
lim f x+∆x −f(x) ∆x →0 ∆x
一、函数的单调性
一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间 (a， b)内，如果f ‘ （x）> ０，那么函数 y=f（x）在这个区间内单调递增；如果 f ‘ （x）< ０那么函数 y = f x 在这个区间内单调递减。１. 如果f ‘ （x）> ０，则 f（x）严格增函数；如果f ‘ （x） < ０，则 f（x）严格减函数。２. 如果在（a，b）内恒有f ‘ （x）＝０，那么 f（x）在（a， b）内是常数。３. f ‘ （x）> ０是 f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：１. 确定 y=f（x）的定义域；２. 求导数f ‘ （x），求出f ‘ （x）＝０的根；３. 函数的无定义点和f ‘ （x）＝０的根将 f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内f ‘ （x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间。注意：Ａ. 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。Ｂ. 求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数
的定义域。
二、函数的极值：１.定义，设函数 f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的
所有点，都有 f（x）< f（x0 ），则称f（x0 ）是函数 f（x）的一个极大值；如果对x0 附近的所有点，都有 f（x）> f（x0 ），则称 f（x0 ）是函数 f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。２.判断f（x0 ）是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数f ‘ （x）；第二步，求方程f ‘ （x）＝０的根；第三步，检查f ‘ （x）在f ‘ （x）＝０的根左右两侧的值的符号；１.如果“左正右负”，那么 f（x）在这个根处取到极大值；２.如果“左负右正”，那么 f（x）在这个根处取到极小值；３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程f ‘ （x）＝０的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。

导数公式及导数的运算法则

导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。

导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。下面

将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。

一、导数的定义

对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：

f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h

其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。该定义表明导数表示函

数在其中一点处的斜率或变化率。

二、导数的主要公式

1.常数的导数公式

如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。

2.幂函数的导数公式

如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式

如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。指数函数e^x的导数仍然是e^x。

4.对数函数的导数公式

如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。

5.三角函数的导数公式

- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。

- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中

sec^2表示secant的平方。

6.反三角函数的导数公式

- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。

- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算

【套路秘籍】

一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0

lim x ∆→ Δy

Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，

即f ′(x 0)＝0

lim x ∆→Δy

Δx ＝0

lim

x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式

三.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝

f ′（x ）

g （x ）－f （x ）g ′（x ）

[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0

高二数学第一讲导数概念及基本公式

高二数学第一讲导数概念及根本公式

一；根底知识指正；

〔1〕导数的定义及定义求解步骤；

函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即

0000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆ 说明：〔1〕导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率

〔2)导函数：

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，

即: 0()()()lim x f x x f x f x y x

∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系。

1〕函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2〕函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f(x)的导函数

3〕函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的

导数的方法之一。

〔2〕0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim

导数的概念及运算

x x
(2)
(e )′ = e .
x x
3.导数运算法则导数运算法则
法则1 两个函数的和或差）法则1: 两个函数的和（或差）的导数，导数，等于这两个函数的导数的和或差），），即（或差），即：
[ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x).
法则2: 法则2:
[Cf ( x )]′ = C f ′( x ).( C 为常数 )
A． ′( x ) > 0，g ′( x ) > 0 B． f ′(x) > 0，g′(x) < 0 ．． f C．f ′( x ) < 0，g ′( x ) > 0 ． D．f ′( x) < 0，g ′( x) < 0 ．
• 例2：设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x ：，－－＋）＝xf‘（），），讨论（x>0）.令F（x）＝（x），讨论）令（）＝ F（x）在（0.＋∞）内的单调性。（）＋）内的单调性。
′
7 练习1：求曲线 y = x + 6 x 在点 P (1，)处
6 3 2
的切线方程。的切线方程。 10x − y − 3 = 0
练习 2：求以下函数的导数 ln x + 2 (1) y = x2 (2 ) y = tan x

导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算

知识点一：函数的平均变化率

（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。

若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。

注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；

②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数

没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限

存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。

即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。

注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在

附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

(完整版)导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算

常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：

+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；

;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x

x x x ln )(;)(''==；

e x x x x a a log 1

)(log ;1)(ln ''==

法则1： )()()]()(['

''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=

法则3： )0)(()

()()()()(])()([2'

''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：

1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率

x f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/

x f 或0/x x y =，即x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，

都对应着一个确定的导数)(/

x f ，从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/

y ，即)(/

x f ＝/

y ＝

x f x x f x ∆-∆+→∆)

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）

用定义求导数公式

（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数）

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx

（3）f(x)=cosx

f'(x)

=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

=lim -sinxsinΔx/Δx

=-sinx

（4）f(x)=a^x

常用导数公式推导过程教学

一、导数的定义

在微积分中，导数是用来衡量函数在某一点上变化率的概念。对于一个函数f(f)来说，其在f处的导数为：

$$f'(x) = \\lim_{{h \\to 0}} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

这里的导数f′(f)也可以记作 $\\frac{df}{dx}$。

二、常用导数公式

1. 常数函数的导数

对于常数函数f(f)=f来说，其导数为0，即f′(f)=0。

2. 幂函数的导数

幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。

3. 指数函数的导数

指数函数f(f)=f f的导数为f′(f)=f f。

4. 对数函数的导数

对数函数 $f(x) = \\log_a(x)$ 的导数为 $f'(x) =

\\frac{1}{x\\ln(a)}$。

5. 三角函数的导数

•正弦函数 $f(x) = \\sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \\cos(x)$。

•余弦函数 $f(x) = \\cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\\sin(x)$。

•正切函数 $f(x) = \\tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \\sec^2(x)$。

•余切函数 $f(x) = \\cot(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\\csc^2(x)$。

三、导数的运算法则

导数具有一些运算法则，使得我们能够根据已知函数的导数求得新的函数的导数。常用的导数运算法则包括：

1.导数的和与差：$(f \\pm g)' = f' \\pm g'$

2.导数的积：$(f \\cdot g)' = f'g + fg'$

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