导数定义及公式(教学备用)

导数：
1.若f(x)=c,则f‘（x）=
2. 若f(x)=x n（n∈Q∗），则f‘（x）=
3. 若f(x)=sin x,则f‘（x）=
4.若f(x)=cos x,则f‘（x）=
5. 若f(x)= a x,则f‘（x）=
6. 若f(x)= e x,则f‘（x）=
7. 若f(x)= log a x,则f‘（x）=
8. 若f(x)= ln x,则f‘（x）=
9.【f(x)±g(x)】′=
10.【f(x).g(x)】′=
11.【f(x)
g(x)
】′=
12.【cf(x)】′=
13. y=f(u),u=g(x)，则y=f（g（x））；
y x′=
sin2x=
（e−x）′=
##导数：一般地，函数y=f （x ）在x=x 0处的瞬时变化率是
Δy Δx ∆x→0lim =
f (x 0+∆x )−f(x 0)
∆x
∆x→0
lim ,称函数y=f （x ）在x=x 0处的导数，记作：
f ‘
（x ）或y ‘
|x =x 0。

即 f ‘
（x 0）=Δy Δx
∆x→0lim =
f (x 0+∆x )−f(x 0)
∆x
∆x→0
lim 。

##函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率，也就是说曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率是f ‘（x 0）。

相应地，过p 点的切线方程为：
y-f （x 0）=f ‘（x 0）（x-x 0）
##导函数：如果函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导。

若函数f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则f （x ）在（a ，b ）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ，b ）内的导函数（简称导数）记作f ‘（x ）或y ‘或y ‘x 。

即f ‘
（x ）=y ‘
=
Δy Δx
∆x→0lim =
f (x+∆x )−f(x)∆x
∆x→0
lim
一、函数的单调性
一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f‘（x）>０，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f‘（x）<０那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

１.如果f‘（x）>０，则f（x）严格增函数；如果f‘（x）<０，则f（x）严格减函数。

２.如果在（a，b）内恒有f‘（x）＝０，那么f（x）在（a，b）内是常数。

３.f‘（x）>０是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。

求函数单调区间的步骤：
１.确定y=f（x）的定义域；
２.求导数f‘（x），求出f‘（x）＝０的根；
３.函数的无定义点和f‘（x）＝０的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内f‘（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间。

注意：Ａ.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。

Ｂ.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。

应优先考虑函数的定义域。

二、函数的极值：
１.定义，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f（x）<f（x0），则称f（x0）是函数f（x）的一个
极大值；如果对x0附近的所有点，都有f（x）>f（x0），则称
f（x0）是函数f（x）的一个极小值。

极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。

２.判断f（x0）是极大值或极小值的方法：
第一步，确定函数的定义域，求导数f‘（x）；
第二步，求方程f‘（x）＝０的根；
第三步，检查f‘（x）在f‘（x）＝０的根左右两侧的值的符号；
１.如果“左正右负”，那么f（x）在这个根处取到极大值；
２.如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；
３. 如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这
个根处无极值。

在此步聚中，最好利用方程f‘（x）＝０的根，顺次将函数的定
义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。

※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，如函数f（x）＝x3，点x＝０就不是极值点，但f‘（０）＝０；
※函数的极大值不一定大于极小值；
※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。

三函数的最值：
设函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，y=f（x）在
区间（a，b）内有导数，求y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值，其步骤为：
先求函数y=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数y=f（x）的各极值与端点的函数值f（a）、f（b ）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

如果在区间[a，b]上，函数y=f（x）的图象是一条连续不
断的曲线，则函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。

※提示：
１.若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（a）为最小值，f（b）为最大值；若若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，则f（a）为最大值，f （b）为最小值。

２.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。

３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求
可导函数的最值时，不需要对各导数为０的点讨论，其是极大值还是极小值，
只需将导数为０的点的函数和端点函数值时行比较。

在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义２只
有一个点使f‘（x）＝０的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能
知道是最大（小）值。

３不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来，而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。

四．定积分及应用
定积分定义：若函数y=f （x ）在区间[a ，b]上连续用分点a =x 0<x 1<⋯⋯<x i−1<x i <x n =b,将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i−1，x i ]上任取一点ξi （i=1，2，3，⋯n ），
作和式∑f （ξi ）n i=1∆x =∑b−a n
f （ξi ）n i=1
，当n →∞时，上述和式无
限接近某个常数，这个常数叫函数y=f （x ）在区间[a ，b]上定
积分，记作∫f （x ）b a dx 。

即∫f （x ）b a
dx ＝n→∞lim
∑b−a n
f （ξi ）n i=1
其中 f （x ）叫做被积函数，a 做积分下限，b 做积分上限。

定积分∫f （x ）b
a dx 不是一个表达式，是一个常数。

定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f （x ）在区间[a ，b]上连续且恒有f （x ）≥０，那么定积分∫f （x ）b
a dx 表示直线x=a,x=
b （a ≠b ），y=0和曲线y=f （x ）所围成的曲边梯形的面积；
定积分性质：∫kf （x ）b a dx =k ∫f （x ）b
a dx (k 为常数) ∫[f (x )±g(ｘ)]
b a dx =∫f （x ）b a dx ±∫g （x ）b
a dx ∫f （x ）
b a dx =−∫f （x ）a
b dx 以上是线性性质，下面是对区间可加性
∫f （x ）c a dx ＝∫f （x ）b a dx +∫f （x ）c
b
dx （a <b <c ）
微积分基本定理－－牛顿－莱布尼兹公式
一般地，如果f （x ）在区间[a ，b]上的连续函数，并且Ｆ‘
（x ）＝f （x ），那么∫f （x ）b
a dx ＝Ｆ（
b ）－Ｆ（a ）。

定积分的简单应用： 一、 求平面图形面积的应用 １. 定积分与平面图形面积的关系
通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也可为０.
（１） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴上方，定积分值取正值，且
等于曲边梯形的面积；
（２） 当对应的曲边梯形位于Ｘ轴下方，定积分值取负值，且
等于曲边梯形面积的相反数；
（３） 当位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积等于位于Ｘ轴下方的
曲边梯形的面积时，定积分的值为０，且等于位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积减去位于Ｘ轴下方的曲边梯形的面积。

２. 利用定积分求平面图形面积的步骤
（１） 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （２） 借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分上、
下限；
（３） 将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
（４） 计算并求出结果 二、 定积分在物理学中的应用
１. 求变速直线运动的路程 s=∫v （t ）b
a dt ２. 求变力F 所做的功 w=∫F （x ）
b a
dx。