导数及其应用)
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的意义及应用
导数的意义及应用导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。
可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：1.确定函数的递增和递减区间函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。
函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。
通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。
可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。
切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。
导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。
法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。
速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。
如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。
通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。
利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。
通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。
从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
导数的原理与应用
导数的原理与应用一、导数的定义•导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
•函数在某点处的导数，表示该点处函数曲线的切线斜率。
二、导数的计算方法1.利用极限–导数f′(x)可以通过极限 $f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ 来计算。
–这种方法适用于所有类型的函数，但计算较为繁琐。
2.常用的导数公式–f(x)=C，其中C为常数，导数f′(x)=0。
–f(x)=x n，其中n为常数，导数f′(x)=nx n−1。
–$f(x)=\\sin(x)$ ，导数 $f'(x)=\\cos(x)$。
–$f(x)=\\cos(x)$ ，导数 $f'(x)=-\\sin(x)$。
三、导数的性质1.导数的可加性–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+ g′(x)。
2.导数的乘法法则–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\cdot g)'(x)=f'(x) \\cdot g(x)+f(x) \\cdot g'(x)$。
3.导数的链式法则–若函数 y=f(u) 和 u=g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\circg)'(x)=f'(g(x)) \\cdot g'(x)$。
四、导数的应用1.切线和切线方程–导数可以描述函数曲线在某点处的切线斜率。
–切线方程为y=f′(x)(x−x0)+f(x0)，其中x0为切线与函数曲线的交点横坐标。
2.极值和拐点–导数可以用来判断函数的极大值、极小值和拐点。
–在导数图像中，极大值对应导数从正数到负数的转折点，极小值对应导数从负数到正数的转折点，拐点对应导数的极值点。
3.函数图像的性态–导数可以用来研究函数的递增、递减和凹凸性。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数在实际生活中有许多重要的运用，尤其是在科学、工程、经济学和医学等领域。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 物理学中的运动分析导数的最初应用是用于描述物体的运动。
通过对物体位置关于时间的导数，可以得到物体的速度。
通过再次对速度关于时间的导数，可以得到物体的加速度。
这些导数可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，并用于设计飞机、汽车等交通工具。
2. 经济学中的市场分析导数在经济学中有广泛的应用，尤其是在市场分析方面。
通过对市场需求曲线和供应曲线取导数，可以得到需求和供应的弹性。
这些导数可以帮助我们预测价格和数量的变化对市场的影响，从而进行合理的市场调控和决策。
3. 工程学中的优化问题导数在工程学中的应用非常广泛，尤其是在优化问题中。
通过对函数取导数，可以找到函数的最大值和最小值，从而解决工程中的优化问题。
这些导数可以帮助我们设计高效的工程系统，提高工程的性能和效益。
4. 生物学中的生物系统建模导数在生物学中的运用非常重要，尤其是在生物系统建模方面。
通过对生物体的生长、衰老和变异等过程建立数学模型，并计算这些模型的导数，可以帮助我们预测生物体的生长和发展趋势，从而进行合理的生物系统管理和疾病治疗。
5. 医学中的药物剂量计算导数在医学中也有重要的应用，尤其是在药物剂量计算方面。
通过对药物在人体内的分布和代谢过程建立数学模型，并计算这些模型的导数，可以帮助医生根据患者的特点和需要，合理地调整药物的剂量，从而实现最佳的治疗效果和减少不良反应。
导数在实际生活中有许多重要的运用。
它们可以帮助我们更好地理解和描述物理、经济、工程、生物和医学等系统的运动和变化规律，从而提高我们的生活质量和工作效率。
学习导数的基本概念和运算法则对我们来说是非常有益的。
导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算、定积分
索引
考试要求
1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能 求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的形式)的导数；5.了解定积分的概念及 简单应用．
索引
感悟提升
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导 数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直 于x轴，切线方程为x＝x0. 2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点 坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐 标是解题的关键.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 导数的运算
1.下列求导运算不正确的是( A )
A.(sin a)′＝cos a(a 为常数)
C.(
x)′＝2
1 x
B.(sin 2x)′＝2cos 2x D.(ex－ln x＋2x2)′＝ex－1x＋4x
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误. 由导数公式及运算法则知B、C、D正确.
索引
角度2 求曲线的切点坐标
例2 (2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲 线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 __(_e，__1_)__，此时切线方程为____x_－__e_y_＝__0___.
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
导数在生活中的应用3则
导数在生活中的应用3则1.导数在股票投资中的应用：投资者通常会关注股票价格的变化趋势，导数可以用来衡量股票价格的变化速率。
如果股票价格的导数为正，表示股票价格在上升；如果股票价格的导数为负，表示股票价格在下降。
投资者可以根据股票价格的导数来作出买卖决策。
2.导数在医学中的应用：医学中，导数可以用来研究身体对药物的反应。
如果身体对药物的反应速率（即血液中药物浓度的变化速率）为正，表示药物的浓度在增加；如果身体对药物的反应速率为负，表示药物的浓度在减少。
医生可以根据身体对药物的反应速率来调整药物的用量。
3.导数在交通工程中的应用：交通工程中，导1.导数在建筑工程中的应用：建筑工程中，导数可以用来计算建筑物的屈服点。
屈服点是指建筑物在外力作用下，开始变形的点。
如果建筑物的弹性模量的导数为正，表示建筑物在受到外力时会变得更加坚固；如果建筑物的弹性模量的导数为负，表示建筑物在受到外力时会变得更加脆弱。
建筑工程师可以根据建筑物的弹性模量的导数来设计建筑物的结构。
2.导数在机械工程中的应用：机械工程中，导数可以用来计算机械设备的运动学参数。
如果机械设备的速度的导数为正，表示机械设备在变速；如果机械设备的速度的导1.导数在经济学中的应用：经济学中，导数可以用来研究经济变量之间的关系。
如果两个经济变量的函数图像的导数之积为正，表示这两个变量呈正相关；如果两个经济变量的函数图像的导数之积为负，表示这两个变量呈负相关。
经济学家可以根据这些信息来预测经济的发展趋势。
2.导数在生物学中的应用：生物学中，导数可以用来研究生物体内的生化反应速率。
如果生化反应速率的导数为正，表示反应速率在增加；如果生化反应速率的导数为负，表示反应速率在减少。
生物学家可以根据生化反应速率的导数来研究生物体的生理过程。
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)
第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。
导数及其应用函数的极值与导数
2023《导数及其应用函数的极值与导数》contents •导数及其应用概述•函数的极值•导数与极值的关系•导数的其他应用目录01导数及其应用概述函数在某一点的导数如果一个函数在某一点处的变化率恒定，那么该函数在该点处可导。
导数表示函数在某一点处的变化趋势和速度。
导数的几何意义导数在几何上表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的物理意义导数在物理中表示速度或加速度。
1 2 3如果函数在某区间内单调递增（或递减），那么该函数的导数在此区间内大于等于0（或小于等于0）。
函数单调性与导数的关系导数可以通过加、减、乘、除等运算进行计算，并遵循相应的运算法则。
导数的计算法则高阶导数是指一个函数对自变量求导的次数大于1的导数。
高阶导数的计算需要使用递推关系和低阶导数的计算结果。
高阶导数的计算03医学导数在医学中用于研究药物浓度、生理参数等变量的变化规律和趋势，为疾病诊断和治疗提供依据。
导数的应用场景01经济学导数在经济学中用于研究成本、收益、利润等变量的变化规律和趋势。
02工程学导数在工程学中用于研究物体的运动规律、机械振动、流体动力学等问题。
02函数的极值局部极小值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都小，则称该点为局部极小值点，该点对应的函数值为局部极小值。
全局极小值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都小，则称该点为全局极小值点，该点对应的函数值为全局极小值。
全局极大值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都大，则称该点为全局极大值点，该点对应的函数值为全局极大值。
局部极大值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都大，则称该点为局部极大值点，该点对应的函数值为局部极大值。
极值的定义极值的判定条件必要条件一阶导数在该点的值为零。
充分条件二阶导数在该点的符号发生变化（由正变为负或由负变为正）。
根据极值的定义，通过比较函数值与其邻域内的函数值来判断是否为极值点，然后求出极值。
先求出函数的导数，令导数为零得到极值点，然后根据极值的定义判断是否为极值点，并求出极值。
(完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。
若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。
注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。
如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。
函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。
如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。
2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
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导数及其应用
导数的运算
1. 几种常见的函数导数：
①、c '= （c 为常数）； ②、n (x
)'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .
2. 求导数的四则运算法则：
()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''
≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'∙'=' 或 '
∙'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义）
导数几何意义：
0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y
f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21
x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --=
2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ．
变式一：
3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12
- 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方
程是 ( )
A .21y x =-
B .y x =
C .32y x =-
D .23y x =-+
变式二：
5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .
6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则
1299a a a +++的值为 .
7.已知点P 在曲线y =
41
x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4
π) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ 变式三： 8. 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )
A .1
B . 2
C .－1
D .－2
9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+
-都相切，则a 等于
( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64
D ．74-或7 10.若曲线1
2y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =
A 、64
B 、32
C 、16
D 、8
11.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .
12. 设1()(0)x x f x ae b a ae
=++>. （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；
（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32
y x =
；求,a b 的值. 二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，
如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数；
如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数；
如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间.
1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )
A . )2,(-∞
B .(0,3)
C .(1,4)
D . ),2(+∞
2.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .
3.已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x
=-+->，讨论()f x 的单调性.
4.已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈
(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
(2)当23
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值.
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，
① 如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么)(0x f 是极大值；
② 如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件为0x 点两侧导数异号，而不是)(x f '=0.
2、最值的求法：求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1) 求 f (x ) 在区间 (a ，b ) 内的极值(极大值或极小值)；
(2) 将 y = f (x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a )、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.
1.设函数()x f x xe =，则（ ）
A . 1x =为()f x 的极大值点
B .1x =为()f x 的极小值点
C . 1x =-为()f x 的极大值点
D . 1x =-为()f x 的极小值点[学
2.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.
3.设13()ln 1,22f x a x x x =+
++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的极值.。