八年级数学全等三角形复习PPT课件

5.问题：两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等吗？为什么？
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
C
3
AE
1 2
4
D
Hale Waihona Puke 解：AC=ADB理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
6.如图,已知 AB=DC ∠A=∠D 求证：∠ABC= ∠DCB
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL)
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC
M
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，
H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
点评：
1、角平分线的性质定理的作用：证明两条线段相等； 角平分线的判定的作用：证明两个角相等或一条 射线是角的平分线。
注意：1.利用三角形的全等可以 用来证明角相等和线段相等。必 要的时候想到添加辅助线. 2.寻找证明途径的常用方法是： 分析法和综合法
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C A
E B
要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法：
∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到 B
这个角的两边距离相等).
A
ND
M
PF
E
C
同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF.
问题：三角形的三条角平分线 相交于一点吗？为什么？
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可
简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三
角形全等（可简写成“HL”)
全等三角形（复习）
一.全等三角形：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。
2：全等三角形有哪些性质？
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
注意：已知条件中有角平分 线时常利用翻折构造全等三 角形是一种重要的方法。
9.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。
• 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
注意：有时为了解决问题进 行等角的转换是必要的，途 径有：余角，补角的性质， 平行线的性质等。
1、可在长线段上截取与两条线段 D 中一条相等的一段，然后证明剩
余的线段与另一条线段相等。 （割）
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
8.如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°， BD为角平分线,CE⊥BD，交BD的延长线于点E, 求证：BD=2CE
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
点拨：
1.问题：一个锐角和一条边分别相等的直角三角形全等吗？为什么？ 2.问题：两条边分别相等的直角三角形全等吗？为什么？ 3.问题：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？为什么？
4.问题：两边和其中一边上的高分别相等的两个三角形全等吗？为什么？
C
即∠BCE=∠DCA
在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC
变式：以上条件不变， 将△ABC绕点C旋转一定 角度（大于零度而小于
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
六十度），以上的结论 还成立吗？
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
10.求证：两边和第三边上的中线分别相等的 两个三角形全等
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以 按照类似的步骤进行： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程。
2、使用角平分线的性质和判定时一 般要构造成如图所示的几何模型。
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一
条直线上求证：BE=AD
证明：
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
A
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
B
D
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
知识回顾： 包括直角三角形
一般三角形全等的条件：
1.定义（重合）法；
解题 2.SSS；
中常 3.SAS；
不包括其它形
用的 4种
4.ASA；
状的三角形
方法 5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：HL.
回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成