五年级数学―环形路上的行程问题

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五年级奥数-环形道路上的行程问题

五年级奥数-环形道路上的⾏程问题第五讲环形道路上的⾏程问题⼀、知识要点和基本⽅法1．⾏程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间． 2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和． 3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差． 4．流⽔问题中的数量关系式：顺⽔速度＝船速⼗⽔速；逆⽔速度＝船速⼀⽔速；船速＝（顺⽔速度＋逆⽔速度）÷2；⽔速＝（顺⽔速度－逆⽔速度）÷2． 5．应该注意到：（1）顺逆风中的⾏⾛问题与顺逆⽔中的航⾏问题考虑⽅法类似；（2）在⼀条路上往返⾏⾛与在环形路上⾏⾛解题思考⽅法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的⾏程问题．⼆、例题精讲例1 李明和王林在周长为400⽶的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200⽶，是王林每分钟所跑路程的89．如果两⼈从同⼀地点出发，沿同⼀⽅向前进，问⾄少要经过⼏分钟两⼈才能相遇？分析由于两⼈从同⼀地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400⽶，可⽤公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解追及距离＝400⽶；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25 ＝16（分）．答⾄少经过16分钟两⼈才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向⽽⾏．他们在C点第⼀次相遇，C点离A点100⽶；在D 点第⼆次相遇，D点离B点80⽶．求这个圆的周长．图5-1分析第⼀次相遇，两⼈合起来⾛了半圈，第⼆次相遇，两个⼈合起来⼜⾛了⼀圈，所以从开始出发到第⼆次相遇，两个⼈合起来⾛了⼀圈半．也就是说，第⼆次相遇时两⼈合起来所⾛的⾏程是第⼀次相遇时合起来所⾛的⾏程的3倍，也就是每个⼈在第⼆次相遇时所⾛的⾏程是第⼀次相遇时所⾛的⾏程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（⽶）．半个圆圈长：300－80＝220（⽶）．整个圆圈长：220 × 2＝440（⽶）．答这个圆的周长是440⽶．例3 ⼀个圆的周长为1．44⽶，两只蚂蚁从⼀条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬⾏．l分钟后它们都调头⽽⾏，再过3分钟，他们⼜调头爬⾏，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬⾏．这两只蚂蚁每分钟分别爬⾏5．5厘⽶和3．5厘⽶．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是．．（⽶）=72（厘⽶）．1442=072÷先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．所以在15分钟的那次爬⾏中，两只蚂蚁在下半圆爬⾏刚好都是8分钟．由此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第⼀次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬⾏17分钟，此时，爬⾏在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬⾏时间相同），爬⾏在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬⾏8分钟就会相遇，此时总时间⼜⽤去了16（＝8＋8）分钟，因此，第⼆次相遇发⽣在第⼀次相遇后⼜经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 ⼀个圆周长70厘⽶，甲、⼄两只爬⾍从同⼀地点，同时出发同向爬⾏，⽤以每秒4厘⽶的速度不停地爬⾏，⼄爬⾏15厘⽶后，⽴即反向爬⾏，并且速度增加1倍，在离出发点30厘⽶处与甲相遇，问爬⾍⼄原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出⽰意图5－2．观察⽰意图可知：甲共⾏了70－30＝40（厘⽶），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，⼄按原速度⾛了15厘⽶，按2倍的速度⾛了15＋30＝45（厘⽶），假如全按原速⾛，⼄10秒共⾛15＋45÷2＝37．5（厘⽶），由此可求出⼄原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘⽶/秒）．＝375?答爬⾍⼄原来的速度是每秒爬3．75厘⽶例5 如图5-3，沿着边长为90⽶的正⽅形，按逆时针⽅向，甲从A出发，每分钟⾛65⽶，⼄从B出发，每分钟⾛72⽶，当⼄第⼀次追上甲时是在正⽅形的哪⼀条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出⼄追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据⼄在这段时间内所⾛路程，推算出⼄应在正⽅形哪⼀条边上．解设追上甲时⼄⾛了x分钟．依题意，甲在⼄前⽅3 × 90＝270（⽶），故有72x＝65x＋270，解得x＝2707在这段时间内⼄⾛了72×2707＝277717由于正⽅形边长为90⽶，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和⼄应在正⽅形的AD边上．答当⼄第⼀次追上甲时在正⽅形的AD边上．例6 150⼈要赶到90千⽶外的某地去执⾏任务．已知步⾏每⼩时可⾏10千⽶．现有⼀辆时速为70千⽶的卡车，可乘50⼈．请你设计⼀种乘车及步⾏的⽅案，能使这150⼈在最短的时间内全部赶到⽬的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解显然，只有⼈、车不停地向⽬标前进，车⼀直不停地往返载⼈，最后使150⼈与车同时到达⽬的地时，所⽤的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50⼈，因此将150分为3组，每组50⼈来安排乘车与步⾏．图5－4中，实线表⽰汽车往返路线（AE→EC→CF→FD→DB），虚线表⽰步⾏路段．显然每组乘车、步⾏的路程都应⼀样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE ⼗EC 上所⽤的时间与步⾏AC 所⽤时间相同，所以 ()7010x x y y+-= 解⽅程组290x y +=()7010x x y y+-= 得60,15x y ==．则150⼈全部从A 到B 最短时间为602156370107+=⼩时答⽅案是50⼈⼀组，共分3组，先后分别乘60千⽶车，先后分段步⾏30千⽶，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637⼩时．例7 甲、⼄⼆⼈沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同⼀地点出发，沿相反⽅向跑，每⼈跑完第⼀圈到达出发点后⽴即回头加速跑第⼆圈。

环形路上的行程问题

广东省育苗杯专题-张观生手录环形路上的行程问题1、一片草坪边有一条环形路，甲、乙二人在一条环形路上练习跑步，甲每分钟跑210米，乙每分钟跑180米，二人同时同地出发，背向而跑，4分钟相遇。

如果二人同时同地出发，同向而跑，甲多少分钟第一次追上乙？2、甲、乙、丙三人在长2970米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走90米，乙每分钟走80米，丙在距离乙180米处遇见甲。

丙每分钟走多少米？3、甲、乙二人在400米环形跑道上的同一点同时出发，背向而跑，两人相遇后，乙立即回头跑，并把速度提高到原速的1.4倍，甲、乙二人同时回到出发点之后甲立即回头跑，并把速度提高到原速的1.5倍。

问甲从出发到二人再次相遇，一共跑了多少米？4、一个湖的湖边有一条小路环绕，小志从小路的A点，小华从小路的B点同时出发，背向而行走（如图）经9分钟二人相遇，再过6分钟，小志走到B点，再过12分钟，二人再次相遇，小志在这条小路绕湖这走一圈要多少分钟？5、一个游泳池长50米，甲、乙二人在两端同时开始往返游泳，甲每秒钟游1.6米，乙每秒钟游1.4米，游了10分钟，两人迎面相遇多少次？练习：1、甲、乙二人在一个环形道路上练习跑步，甲每分钟跑195米，乙每分钟跑225米，两人同时同地出发，同向而跑，乙跑28分钟追上甲；如果两人同时同地出发，背向而跑，多少分钟相遇？2、甲、乙、丙三人在一条环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，丙走12分钟遇见甲再过1.2分钟遇见乙。

已知甲每分钟走75米，乙每分钟走60米，那么这条环形路长多少米？3、甲、乙、丙三人在一环形公路上进行自行车的练习，三人同时在同一地点出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而行，丙遇见乙1.6分钟后遇见甲。

已知甲每分钟行195米，乙每分钟行225米，丙每分钟行180米。

这一环形公路一圈有多少米？4、甲、乙二人在450米的环形跑道的同一点同时出发，背向而走，相遇后乙立即回头走，并把速度提高到原来的1.5倍，二人同时回到出发点，此后甲立即回头跑，并把速度提高到原来的1.25倍。

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五年级奥数
环形道路上的行程问题
在环形道路上的行程问题，本质上讲就是追及问题或相遇问题。

当两人（或物）同向运动时就是追及问题，追及距离就是两人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当两人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是两人从出发到相遇所行路程和。

例1：
如图,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑.甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米.两人同时同向同地出发,45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇？
例2：
如图，是一个圆形的中央花园,A、B是直径的两端.小军在A点,小勇在B点，同时出发相向而行.他俩第1次在C点相遇,C点离A点有50米;第2次在D点相遇，D点离B点有30米.这个花园一周长多少米？
随堂练习1
1、甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上同向竞走.已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍,甲在乙前面100米处.几分钟后,甲第一次追上乙？
2、如图，A、B是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行.他们在C点第一次相。

五年级奥数-环形道路上的行程问题

第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间． 2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和． 3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差． 4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2． 5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25 ＝16（分）．答至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707在这段时间内乙走了72×2707＝277717由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以 ()7010x x y y+-= 解方程组290x y +=()7010x x y y+-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时答方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时．例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。

环形路行程问题

第七讲环形路上的行程问题环形路行程问题本质：①追及②相遇【追及知识要点】追及概念：两运动物体同时做同向运动，速度慢者在前，快者在后，经一定时间快者追上慢者，像这样的数学问题叫追及问题。

追及问题主要研究下面三种数量之间关系：追及距离：快者和慢者所走的路程差速度差：快者、慢者速度之差追及时间：快者追上慢车者所用时间追及问题中主要的数量关系式：追及距离= 速度差×追及时间〖适用于所有追及问题〗下面来看环形路上的追及问题：追及距离 = 二人初始距离 + 环形道路之长倍数（几倍是看第几次追上）（只适用于环形路）相遇距离 = 二人从出发到相遇所行路程总和例1：如下图，甲乙在环形跑道长跑，甲250 m/min，乙200 m/min。

甲乙同时同地同向出发，45 min后，甲第一次追上乙。

若二人同时同地反向跑，几分钟后相遇（三分钟思考时间）思路：关键是求环形路总长吗甲1 min比乙多跑50 m，那45 min多跑多少米多跑的路程是环形路长吗为什么家庭作业：甲、乙同时同地同向起跑，绕300 m长环行跑道跑，甲6 m/min，乙4 m/min，甲第二次追上乙时，跑了几圈（提示：追及时间×速度差=追及距离）例2：已知等边三角形ABC周长360 m，甲从A点出发，逆时针，速度55 m/min，乙从BC 边上D点(距C点30 m）出发，顺时针，速度50 m/min。

两人同时出发，几分钟相遇当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C点多远思路：相遇问题，快者所走路程+慢者所走路程=初始相距路程例3：甲、乙村相距6 km，小张、小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村间往返走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40 min两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2km的地方两人第二次相遇.小张、小王的速度各是多少例4:绕湖一周是24 km，小张、小王从湖边某一地点同时反向而行.小王速度4 km/h，每走1 h 后休息5 min，小张以6 km/h速度每走50 min后休息10 min。

五年级奥数上第4讲环形路线

A
练习四：有一个环形跑道，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，乙的速度快于甲，第一次相遇在距离A点次相遇在距离B点200米处的地点，已知A、B长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？
B
挑战极限
例题五：小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步项目，小鹿比小山羊稍快，如果从同一起点出发背向而行，1小如果从同一起点出发，同向而行，那么经过1小时才第1次追上，请问小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少，想一想跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，那对于结果有没有影响？
例题四：如图甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动。当乙走了1 相遇，在甲走完一周前60米处第二次相遇，求此圆形场地的周长？【分析】题目中的已知条件很少，知道两个与路程有关的量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？如何利用这两段长度？
练习三：周长为400米的圆形跑道上有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，速度分别多少秒后两人第一次相遇，如果相遇后，两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？
总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多更繁琐，在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程。
练习二：一环形跑道，周长为400米，甲、乙两名运动员，同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑乙时距离起点多少米？
如果不是同地出发，环形路线问题还具有周期性吗？
例题三：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟300米的速度从起点跑出，一分钟后，乙以每分钟2 跑出，请问甲出发后多少分钟第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才【分析】从乙出发到甲第一次追上乙。与从甲第一次追上乙到第二次追上乙间隔的时间一样吗？从第几次性了？

环形路上行程问题

五年奥数环形路上行程问题1\一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?2\环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑375米。

求多少时间后甲、乙相遇？3\ 两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。

如果同向而行，几秒后两人再次相遇？4\甲、乙两人沿着300米环形跑道从同一地点同时出发背向跑步。

甲每秒跑3.5米，乙每秒跑2.5米，第5次相遇时，甲还要跑_____米才回到出发点。

5\在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，经过了多少秒？6、一个圆的周长为126厘米米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬行1秒、3秒、5秒••（连续奇数）就调头爬行。

那么，它们相遇时，已爬行的时间是_____秒。

7、在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？8、A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？9\一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。

在三条边上爬行的速度分别为每分钟50厘米、每分钟20厘米、每分钟30厘米。

求它爬行一周的平均速度。

10\小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。

小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走。

半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。

五年级数学—环形路上的行程问题

五年级奥数——环形路上的行程问题1、环形运动问题：环形周长=（大速度+小速度）×相遇的时间环形周长=（大速度-小速度）×相遇的时间环形运动的追及问题和相遇问题：同时同向起点运动，第一次相遇，速度快的比速度慢的多跑一圈。

在环形跑道上同时同向，速度快的在前，慢的在后。

不是封闭的跑道追及问题，速度慢的在前，快的在后。

1.两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑，甲分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙，如果两人同时同地反向而跑，经过多少钟后两人相遇？2.甲，乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处，问几分钟后，甲第1次追上乙？3.如图，A、B是圆的直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C离A点50米；第2次在D点相遇，D点离B点3O米.求这个圆的周长是多少米？4.在一个长800米的环行湖边上，小明，小张两人同时从同一点出发，反向跑步，5分钟两人第一次相遇，小明每分钟跑100米，张静每分钟跑多少米？如果两人同时从同一点出发，同向跑步，多少分钟后小明能追上张静？(湘麓P29)5.有一条长400米的环形跑道，甲乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10钟后第一次相遇，若甲比乙快，那第甲乙二人的速度分别是多少米？(湘麓P29)6.跑马场一周之长为1080。

甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过45分钟，甲追上乙，如果甲的速度分钟减少50米，乙的速度每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟两人相遇。

求原来甲，乙两人每分钟各行多少米？(湘麓P30)※7.在300米的环形跑道上，甲，乙两从同时从起跑线出发反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中想遇多少次？(湘麓P30)8.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。

环形跑道上的行程问题

环形跑道上的行程问题环形问题：环形跑道上的多次相遇追及:(1)从同点背向出发，每次相遇，两人都共行1个全程。

所用基础公式为：环形总长度÷速度和=相遇时间环形总长度÷相遇时间=速度和相遇时间×速度和=一个环形长度(2)从同点同向出发，每次追及，快者比慢者多行1个全程；所用基础公式为：环形长度÷速度差=追及时间环形长度÷追及时间=速度差追及时间×速度差=环形总长度典型题讲解例题1、黑、白两只小狗沿着周长为300米的湖边跑，黑狗的速度为每秒5米，白狗的速度为每秒7米，若两只小狗同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第一次相遇？如果他们继续不停的跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？例题2、有一个周长是40米的圆形水池，甲沿着水池散步，每秒钟走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行，当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？练习1、一环形跑到周长为400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米？例题3、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问：甲出发后多少分钟第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？例题4、甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处第二次相遇.求此圆形场地的周长？练习2、如图，有一个环形跑到，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，且乙的速度快于甲，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长度是跑道总长的四分之一.请问跑道周长多少米？（1200米）例题5、环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反向行走，甲比乙走的快，12分钟后两人相遇。

第五讲环形道路上的行程问题

第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707 在这段时间内乙走了72×2707＝277717 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时答方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时．例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。

小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇

小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇在小学奥数的行程问题中，环形线路问题是一个比较有挑战性的专题。

今天，我们就来深入探讨一下环形线路中的行程问题。

首先，我们来了解一下环形线路的基本概念。

环形线路，简单来说，就是一个封闭的曲线形状的道路，比如圆形跑道、环形公园小路等。

在环形线路上运动，物体的运动方向可以是同向的，也可以是反向的。

我们先来看同向运动的情况。

假设甲和乙在环形跑道上同时同地出发，甲的速度比乙快。

由于甲的速度快，所以甲会逐渐追上乙。

当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈。

举个例子，环形跑道的周长是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。

那么甲每分钟比乙多跑 250 200 ＝ 50 米。

甲第一次追上乙所用的时间就是跑道的周长除以甲每分钟比乙多跑的距离，即 400 ÷ 50 ＝ 8 分钟。

接下来，我们再看反向运动的情况。

还是在同样的环形跑道上，甲和乙同时同地出发，方向相反。

那么两人相遇时，他们所跑的路程之和就是跑道的周长。

比如说，跑道周长依然是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。

两人的速度之和就是 250 ＋ 200 ＝ 450 米/分钟。

所以他们相遇所用的时间就是 400 ÷ 450 ＝ 8/9 分钟。

下面我们来看一些稍微复杂一点的环形线路行程问题。

例 1：在一个周长为 600 米的环形跑道上，甲、乙两人同时从同一地点按顺时针方向跑步，甲的速度是每分钟 300 米，乙的速度是每分钟 250 米。

问经过多少分钟甲第一次追上乙？思路：甲要追上乙，就要比乙多跑一圈，也就是 600 米。

甲每分钟比乙多跑 300 250 ＝ 50 米，所以追上乙所用的时间就是 600 ÷ 50 ＝ 12 分钟。

例 2：在周长为 400 米的圆形操场上，小明和小红同时从 A 点出发，小明逆时针跑步，速度是每分钟 200 米，小红顺时针跑步，速度是每分钟 150 米。

行程问题——环形路(教师版)

行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。

当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。

二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。

（250-200）×45=2250（米）。

同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。

如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。

【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？一问分析与解答：具体分析见例题。

环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。

五年级行程问题笔记02九大问题之二环形跑道

小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间
设一半时间为T，则8T+6T=420 => T＝30秒，前半时间跑30×8=240米 ∴后半程用时＝（240-210）÷8+30＝33.75秒
时间=路程差÷速度差=30÷（1-1/12）=30÷11/12=360/11=32又8/11 分钟
（4）环形跑道:半时半程问题 *注意：按时间分成的两半和按路程分成的两半是不同的行程概念。一半对一半就是相等，按时间分成的两半，速度比=路程比；按路程分成的两半，速度比=时间比
林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？
答：315秒后两人再次相遇.
幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？
①首次路程差=周长=200米；首次时间200÷（6-4）=100（秒）；冬6×100=400（米）；晶4×100=400（米）
设一半时间为T，则5T+4T=450 => T＝50秒，前半时间跑50×5=250米∴后半程用时＝（250-225）÷5+50＝55秒
某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑了多少秒？
设一半时间为T，则5T+4T=360 => T＝40秒，前半时间跑40×5=200米 ∴后半程用时＝（200-180）÷5+40＝44秒
小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟

第5讲环形路上的行程问题

第5讲环形路上的行程问题（一）例题1、如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（答案：5）米/分米/分250米/分200米/2、如图是一个图形中央花园，A、B是直径的两端。

小军在A点，小明在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。

问这个花园一周长多少米？（答案：240）3、如图，一个边长为100米的正方形跑道。

甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。

他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？（答案：600）乙4、如图所示是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连结B或者C。

小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米。

开始时，A连结C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连结。

若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了几分钟？（答案：2.1）B5、甲乙两人在一条圆形跑道上同时同向出发，绕圆形跑道跑步。

已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。

当甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米；当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。

求跑道长。

（答案：150或550）6、如图，三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。

甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发。

甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字循环运动，已知甲乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。

问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少米？（答案：300）（二）练习1、甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100处。

五年级奥数第七讲_环形路程上的行程问题

五年级奥数第七讲_环形路程上的行程问题五年级奥数第七讲——环形路上的行程问题在环形道路上的形成问题本质上讲就是追击问题或相遇问题。

当二人（或物）同向运动时就是追击问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。

例1、如图所示，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向除法，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？随堂练习1甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。

问几分钟还哦，甲第一次追上乙？例2、如图所示，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端。

小军在A点，小勇在B 点，同时出发相向而行。

他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。

问这个花园一周长多少米？随堂练习2如图所示，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。

他们在C 点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。

求圆的周长。

例3、如图所示，是一个边长为100米的正方形跑道。

甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。

他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？如图所示，有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点出发，同时按逆时针方向奔跑。

甲速每秒6.25米，乙速每秒5米。

跑道长100米，宽60米。

当甲、乙每次跑到拐点A、B、C、D时都要停留5秒。

问当甲第一次追上乙时，甲、乙各跑了多少米？例4、一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时除法，沿圆周相向爬行。

1分钟后它们都调头而行，经过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，……（连续奇数）分钟调头爬行。

第六讲环形道路上行程问题

• 【例1】小张和小王各自以一定的速度在周长为 800米的环形跑道上跑步。小王每分钟跑 100米。 (1＞小张和小王同时从同一个地点出发，反向跑步，5分钟后两人相遇，求小张的速度.
• (2)小张和小王同时从同一地点出发，沿同一方向 _，经过多少分钟两人第•次在途中相遇？解答环形行程问题时要采用化曲为直的方法，两人同时间地竹向而彳/,那么相遇时两人和走了一个环形全程；如果两人同时同地同向而行，那么相遇时正好快的追］：了慢的一个环形全程。
• ①速度和:800÷5=160（米/分）小张:160-100＝ 60(米/分)
• ② 追及问题:800÷160＝5（分钟）800÷（10060）＝20（米/分）
• 【例2】有一条长400米的环形跑道，甲、乙两人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇，若甲比乙快，那么甲、乙二人的速度分别是多少？
• 2、入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果2个、2个的数，余1个； 3个、 3个的数，余2个； 4个、4个的数，余3个； 5个、5个的数，余4个； 6个、6个的数，余 5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
• 答:苹果个数比2，3，4，5，6的最小公倍数小1，（2，3，4，5，6）=60
• 60-1＝59（个）
• 答:这筐苹果至少有59个。
第六讲环形道路上的行程问题
1、 “环形跑道”，也是称为封闭回路，它可以是圆形的、长方形的、三角形的，也可以是由长方形和两个半圆组成的运动场形状。解题时，我们可以运动“转化法”把线路“拉直” 或“截断”，从而把物体在“环形路道”上的运动转化亨我们熟悉的物体在直线上的运动。 2、在行程问题中，与环形有关的行程问题的解决方法長一般行程问题的方法类似，但有两点值得注意•• 一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下一次相遇共行一个全程.二是同地、同向运动时，甲追上乙时甲比乙多行一个行程。

五年级奥数第8讲环形路上的行程问题

学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第 08 讲，本讲课题：环形路上的行程问题内容概要在环形道路上的行程问题本质上讲就是追及问题或相遇问题,当两人(或物)同向运动时就是追及问题,追及距离是两人初始距离及环形道路之长的倍数之和;当两人(或物)反向运动时就是相遇问题,相遇距离是两人从出发到相遇所行路程和：【例1】如图7-1,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑回甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米.两人同时同地同向出发,45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇？随堂练习一甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走,已知乙的平均速度是每分钟80米,甲的平均速度是乙的1.25倍,甲在乙前面100米处.问几分钟后,甲第1次追上乙?【例2】如图7-2是一个圆形中央花园,A 、B 是直径的两端.小军在A 点,小勇在B 点,同时出发相向而行.他俩第1次在C 点相遇,C 点离A 点有50米;第2次在D 点相遇,D 点离B 点有30米.问这个花园一周长多少米?随堂练习二如图7-3,A 、B 是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行.他们在C 点第一次相遇,C 点离A 点100米;在D 点第二次相遇,D 点离B 点80米。

求圆的周长？【例3】如图7-4,一个边长为100米的正甲A 方形跑道.甲从A 点出发,乙从C 点出发都逆时针同时起跑,甲的速度每秒7米,乙的速度每秒5米他们拐弯处都要停留5秒,当甲第一次追上乙时,乙跑了多少米?随堂练习三如图7-5,有一条长方形跑道,甲从A 点出发,乙从C 点出发,同时按逆时针方向奔跑甲速每秒6.25米,乙速每秒5米.跑道长100米,宽60米.当甲、乙每次跑到拐点A 、B 、C 、D 时都要停留5秒.问当甲第1次追上乙时,甲、乙各跑了多少米?【例4】如图7-6所示是一个玩具火车轨道,A 点有个变轨开关,可以连结B 或者C 。

五年级奥数——环形路上的的行程问题

年级五年级授课日期授课主题第7讲——环形路上的行程问题教学内容i.检测定位在环形道路上的行程问题本质上就是追及问题或相遇问题.当两人（或物）同向运动时就是追及问题，追及距离是两人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当两人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇问题是两人从出发到相遇所行路程和.【例1】如图7-1，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑.甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米.两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向跑，经过多少分钟后两人相遇？分析与解根据图7-1①用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长..225045200-250（米））（=⨯ 同理在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长.（图7-1②）.52002502250（分钟））（=+÷即经过5分钟两人相遇.随堂练习1甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处.问几分钟后，甲第1次追上乙？【例2】如图7-2是一个圆形中央花园，A 、B 是直径的两个端点.小军在A 点，小勇在B 点，同时出发相向而行.他俩第一次在C 点相遇，C 点离A 点有50米；第2次在D 点相遇，D 点离B 点有30米.问这个花园一周长多少米？分析与解第1次相遇，两人合起来走了半周长，从C 点开始第2次在D 点相遇两人走了一周长，两次共走了一周长半.小军从A →C →D 走了50米的3倍，即走了.150350（米）=⨯去掉BD 之间30米的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为.240230-150米）（=⨯ 随堂练习2如图7-3，A 、B 是圆直径的两个端点，亮亮在A 点，明明在B 点，相向而行.他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点有100米；在D 点第2次相遇，D 点离B 点有80米.求圆的周长.【例3】如图7-4，一个边长为100米的正方形跑道.甲从A 点出发，乙从C 点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米.他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？分析与解如图7-4，由题意知甲（在后）、乙（在前）相距200米（即追及距离200米）且甲第一次追及乙要多拐两个弯，即要多休息.1025秒=⨯设甲纯跑步时间为y 秒，则乙纯跑步时间为秒10+y .则有,200)10(57+⨯-y y解得 ).(125秒=y甲应跑路程为.8757125米=⨯当甲跑了800米又到达A 点时，用时为秒，28.149757800≈⨯+÷他将在A 点逗留5秒，到秒28.154528.149=+又离开A 点.而乙跑完600（=800-200）米到达A 点时，用时.145555600秒=⨯+÷而在第秒1505145=+时离开A 点.因此，从起跑到149.28秒至150秒的间隔内甲、乙都在A 点，即甲第1次追上乙，此时乙跑了600米.随堂练习3如图7-5，有一条长方形跑道，甲从A 点出发，乙从C 点出发，同时按逆时针方向奔跑.甲速每秒6025米，乙速每秒5米.跑道长100米，宽为60米.当甲、乙每次跑到拐点A 、B 、C 、D 时都要停留5秒.问当甲第1次追上乙时，甲、乙各跑了多少米？【例4】图7-6所示是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连结B 或者C 。

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